Tách lỗi đại số và lỗi hình
Biết sai do thay điểm, đường biên, phía tô hay giao miền.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài tập cuối Chương 2
Cổng cuối chương kiểm tra đủ bốn bước: lập điều kiện, biểu diễn miền, tìm đỉnh và giải thích phương án. Mỗi đề đều có 15% câu ôn Chương 1 để giữ mạch logic.
Ràng buộc rõ, miền đúng, kết luận có đơn vị
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Từ dữ kiện đến ràng buộc
Không giải khi chưa gọi biến, ghi đơn vị và điều kiện không âm.
Ra quyết định có chứng cứ
Mọi phương án được so sánh trên cùng miền khả thi.
Chuẩn bị cho hình và hàm số
Đọc đồ thị, giao điểm và miền là kĩ năng xuyên suốt THPT.
- Kiểm tra và biểu diễn miền nghiệm một bất phương trình.
- Lấy giao chính xác các miền của một hệ.
- Tìm đủ đỉnh và tối ưu biểu thức tuyến tính đơn giản.
- Lập, giải và diễn giải mô hình thực tế có nhiều ràng buộc.
- 15% câu ôn mệnh đề và phép giao tập hợp.
- Đường thẳng, điểm thử và kiểu đường biên.
- Giải hệ phương trình để tìm giao điểm.
- Bảng giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Một bất phương trình, vô số cặp nghiệm
Hiểu đơn giản: Ta cần tìm các cặp (x;y), không phải chỉ một số x như ở THCS.
ax + by ≤ c (hoặc <, ≥, >), với a và b không đồng thời bằng 0.
Ví dụ: (1;2) là nghiệm của x + y ≤ 4 vì 1 + 2 ≤ 4.
Hình nên dùng: Mặt phẳng tọa độ với nhiều điểm nghiệm.
Mô phỏng: Nhập một điểm và nhận phản hồi thuộc/không thuộc miền.
Mẹo nhớ: Nghiệm là cặp có thứ tự (x;y).
Sai lầm: Chỉ tìm x hoặc chỉ tìm y.
Ghi chú: Nếu có dấu bằng kèm theo, điểm trên đường biên là nghiệm.
Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng
Hiểu đơn giản: Đường ax + by = c chia mặt phẳng thành hai phía.
Đường biên của ax + by ≤ c là ax + by = c.
Ví dụ: Đường biên của 2x + y ≤ 4 đi qua (0;4) và (2;0).
Hình nên dùng: Đường thẳng với hai giao điểm trục.
Mô phỏng: Thay hệ số để quan sát đường biên thay đổi.
Mẹo nhớ: Biên: đổi ≤, <, ≥, > thành =.
Sai lầm: Vẽ đường biên bằng cách đoán mà không tìm hai điểm.
Ghi chú: Biên nét liền với ≤, ≥; nét đứt với <, >.
Chọn đúng một phía
Hiểu đơn giản: Chọn một điểm không nằm trên biên, thường là O(0;0), rồi thay vào.
Nếu điểm thử làm bất phương trình đúng, chọn nửa mặt phẳng chứa điểm đó.
Ví dụ: Với x + y ≤ 3, O thỏa 0 ≤ 3 nên lấy phía chứa O.
Hình nên dùng: Hai nửa mặt phẳng khác màu và một điểm thử.
Mô phỏng: Bấm hai phía để kiểm dự đoán.
Mẹo nhớ: Biên → điểm thử → phía đúng → xét có lấy bờ.
Sai lầm: Dùng điểm thử nằm trên đường biên.
Ghi chú: Nếu c = 0 thì O nằm trên biên; hãy chọn điểm khác.
Nửa mặt phẳng có hoặc không kể bờ
Hiểu đơn giản: Mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho một nửa mặt phẳng.
Miền nghiệm là tập mọi điểm M(x;y) thỏa bất phương trình.
Ví dụ: y > 2x − 1 là miền phía trên, không kể đường y = 2x − 1.
Hình nên dùng: Trục tọa độ, đường đứt và vùng tô.
Mô phỏng: Đổi dấu > thành ≥ để thấy đường biên đổi.
Mẹo nhớ: ≤/≥: kể bờ; </>: không kể bờ.
Sai lầm: Tô đúng phía nhưng dùng sai kiểu đường biên.
Ghi chú: Cần ghi chú rõ vùng tô là miền nghiệm hay vùng bị loại.
Biến ràng buộc thực tế thành bất phương trình
Hiểu đơn giản: Mỗi nguồn lực có hạn tạo một điều kiện “không quá”.
Tổng mức sử dụng = tổng (định mức × số lượng), so sánh với năng lực.
Ví dụ: 2 giờ cho A, 3 giờ cho B, tối đa 30 giờ ⇒ 2x + 3y ≤ 30.
Hình nên dùng: Bảng nguồn lực – định mức – giới hạn.
Mô phỏng: Thay số sản phẩm để xem còn vượt nguồn lực hay không.
Mẹo nhớ: Gọi biến có đơn vị; viết điều kiện không âm.
Sai lầm: Quên x ≥ 0, y ≥ 0 hoặc quên tính nguyên khi là số sản phẩm.
Ghi chú: Miền nghiệm liên tục có thể cần lọc các điểm nguyên theo bối cảnh.
Nhiều điều kiện phải đúng đồng thời
Hiểu đơn giản: Một cặp số là nghiệm của hệ khi nó thỏa tất cả dòng trong hệ.
Tập nghiệm của hệ là giao các tập nghiệm thành phần.
Ví dụ: (1;1) thỏa x≥0, y≥0, x+y≤3.
Hình nên dùng: Nhiều lớp màu chồng nhau; phần đậm nhất là miền giao.
Mô phỏng: Bật từng ràng buộc để thấy miền bị thu hẹp.
Mẹo nhớ: Hệ = và = giao.
Sai lầm: Điểm thỏa một dòng đã vội kết luận là nghiệm hệ.
Ghi chú: Mỗi điều kiện mới chỉ có thể giữ nguyên hoặc thu hẹp miền.
Vẽ từng miền rồi lấy giao
Hiểu đơn giản: Không cố đoán miền cuối ngay từ đầu.
Biểu diễn lần lượt mỗi bất phương trình trên cùng hệ trục và lấy phần giao.
Ví dụ: x≥0, y≥0, x+y≤4 tạo tam giác ở góc phần tư I.
Hình nên dùng: Ba đường biên tạo một đa giác.
Mô phỏng: Từng ràng buộc xuất hiện theo bước.
Mẹo nhớ: Một dòng – một biên – một phía; cuối cùng lấy giao.
Sai lầm: Tô chồng nhưng không xác định vùng chung cuối cùng.
Ghi chú: Ghi tọa độ các đỉnh để kiểm tra và dùng cho tối ưu.
Giao của các đường biên
Hiểu đơn giản: Đỉnh xuất hiện nơi hai cạnh biên gặp nhau.
Giải các cặp phương trình đường biên rồi giữ giao điểm thỏa toàn hệ.
Ví dụ: x=0 và x+y=4 cho đỉnh (0;4).
Hình nên dùng: Đa giác với đỉnh được gắn nhãn.
Mô phỏng: Chọn hai biên để tính giao điểm.
Mẹo nhớ: Tìm giao điểm rồi phải thử lại toàn hệ.
Sai lầm: Giữ mọi giao điểm của các đường biên dù nằm ngoài miền.
Ghi chú: Miền có thể không bị chặn, rỗng hoặc chỉ là đoạn/điểm.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB PHƯƠNG ÁN
Kiểm miền khả thi và mục tiêu
Hệ cố định: x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6; F = 3x + 4y.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • THÔNG HIỂUVẽ miền nghiệm
Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm x+2y≤4.
Phân tích: Đường biên x+2y=4 đi qua (4;0),(0;2).
Hướng làm: Vẽ biên, thử O, quyết định có lấy bờ.
- Vẽ đường thẳng qua (4;0),(0;2).
- O(0;0) thỏa 0≤4.
- Tô nửa mặt phẳng chứa O, kể cả đường biên.
Vì sao: Dấu ≤ nhận các điểm trên biên.
Cách khác: Viết y≤−x/2+2 và tô phía dưới đường.
Tự kiểm: Dùng đường liền.
02 • NÂNG CAONhận tham số để điểm thuộc miền
Đề bài: Tìm m để A(2;m) là nghiệm của x+3y≤8.
Phân tích: Thay tọa độ A để tạo bất phương trình một ẩn m.
Hướng làm: Thay x=2, y=m.
- 2+3m≤8.
- 3m≤6.
- m≤2.
Vì sao: Mỗi giá trị m≤2 cho một điểm A nằm trong miền.
Cách khác: Từ y≤(8−x)/3, tại x=2 suy ra y≤2.
Tự kiểm: Không coi m là hoành độ.
03 • THÔNG HIỂUMiền tam giác
Đề bài: Tìm miền nghiệm x≥0, y≥0, x+y≤4.
Phân tích: Hai trục và đường x+y=4 tạo ba cạnh.
Hướng làm: Lấy giao ba nửa mặt phẳng.
- x≥0: bên phải Oy.
- y≥0: phía trên Ox.
- x+y≤4: phía chứa O.
- Miền là tam giác có đỉnh (0;0),(4;0),(0;4).
Vì sao: Các cạnh đều được lấy vì dấu không nghiêm.
Cách khác: Nhận miền [góc phần tư I] bị chặn bởi x+y=4.
Tự kiểm: Ghi đủ ba đỉnh.
04 • NÂNG CAOLọc giao điểm hợp lệ
Đề bài: Với x≥0,y≥0,x≤3,y≤2,x+y≤4, liệt kê các đỉnh.
Phân tích: Tìm giao các biên rồi loại điểm vi phạm x+y≤4.
Hướng làm: Đi quanh biên miền theo thứ tự.
- Các đỉnh: (0;0),(3;0),(3;1),(2;2),(0;2).
- (3;2) bị loại vì 3+2>4.
Vì sao: Không phải mọi giao điểm của các đường biên đều là đỉnh miền nghiệm.
Cách khác: Bắt đầu từ hình chữ nhật [0;3]×[0;2] rồi cắt góc bởi x+y≤4.
Tự kiểm: Thử lại mỗi đỉnh trong toàn hệ.
05 • THỰC TẾKế hoạch sản xuất
Đề bài: A dùng 2 kg gỗ, 1 giờ; B dùng 1 kg gỗ, 2 giờ. Có 10 kg gỗ và 8 giờ. Lợi nhuận lần lượt 3 và 4 đơn vị. Lập mô hình.
Phân tích: Có hai ràng buộc tài nguyên và một hàm mục tiêu.
Hướng làm: Gọi x,y là số A,B.
- Gỗ: 2x+y≤10.
- Giờ: x+2y≤8.
- x,y≥0; nếu là sản phẩm thì x,y nguyên.
- Tối đa hóa F=3x+4y.
Vì sao: Mô hình phải tách miền khả thi và mục tiêu.
Cách khác: Dùng bảng hai sản phẩm × hai nguồn lực.
Tự kiểm: Kết luận cuối phải quay lại số sản phẩm, không chỉ nêu tọa độ.
06 • NHẬN BIẾTVí dụ theo mục tiêu C2-NB-08
Đề bài: Miền nghiệm của 4x + 6y ≥ 27 có chứa O(0;0) không?
Phân tích: Thay x = 0, y = 0.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- Tại O, vế trái bằng 0; 0 < 27. Vì vậy O không thuộc miền nghiệm.
- Kết luận: Không.
Vì sao: Điểm O thường là điểm thử nhanh nếu không nằm trên đường biên.
Cách khác: Chọn điểm (1;0) nếu O thuộc đường biên.
Tự kiểm: Tự kiểm: Dùng O làm điểm thử khi c = 0, tức O nằm ngay trên biên.
07 • THÔNG HIỂUVí dụ theo mục tiêu C2-TH-05
Đề bài: Xác định đường biên của bất phương trình 2x + 4y ≥ 17.
Phân tích: Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- Đường biên là 2x + 4y = 17.
- Kết luận: 2x + 4y = 17.
Vì sao: Đường biên chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Cách khác: Tìm hai điểm thỏa dấu bằng rồi kẻ đường thẳng qua chúng.
Tự kiểm: Tự kiểm: Giữ nguyên dấu ≤ hoặc ≥ khi viết phương trình đường biên.
08 • VẬN DỤNGVí dụ theo mục tiêu C2-VD-02
Đề bài: Phủ định phát biểu “Mọi số nguyên x đều thỏa x² + 2 > 0”.
Phân tích: Đổi “mọi” thành “tồn tại” rồi phủ định >.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- “Tồn tại số nguyên x sao cho x² + 2 ≤ 0”.
- Kết luận: ∃x ∈ ℤ: x² + 2 ≤ 0.
Vì sao: Phủ định lượng từ và phủ định mệnh đề bên trong phải thực hiện đồng thời.
Cách khác: Viết bằng kí hiệu: ¬(∀x∈ℤ, A(x)) ⇔ ∃x∈ℤ, ¬A(x).
Tự kiểm: Tự kiểm: Chỉ đổi > thành ≤ nhưng vẫn giữ từ “mọi”.
09 • VẬN DỤNG CAOVí dụ theo mục tiêu C2-VDC-04
Đề bài: Kiểm tra M(6; 8) có là nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 30.
Phân tích: Thay M vào cả ba bất phương trình; phải đúng đồng thời.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- 6 ≥ 0, 8 ≥ 0 và 2·6 + 3·8 = 36 > 30. M không là nghiệm.
- Kết luận: Không là nghiệm.
Vì sao: Nghiệm của hệ nằm trong giao của mọi miền nghiệm.
Cách khác: Đánh dấu M trên hình rồi kiểm tra có nằm trong miền giao hay không.
Tự kiểm: Tự kiểm: Chỉ kiểm tra một bất phương trình trong hệ.
10 • THỰC TẾVí dụ theo mục tiêu C2-TT-07
Đề bài: Kiểm tra M(2; 0) có là nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, 1x + 2y ≤ 10.
Phân tích: Thay M vào cả ba bất phương trình; phải đúng đồng thời.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- 2 ≥ 0, 0 ≥ 0 và 1·2 + 2·0 = 2 ≤ 10. M là nghiệm.
- Kết luận: Là nghiệm.
Vì sao: Nghiệm của hệ nằm trong giao của mọi miền nghiệm.
Cách khác: Đánh dấu M trên hình rồi kiểm tra có nằm trong miền giao hay không.
Tự kiểm: Tự kiểm: Chỉ kiểm tra một bất phương trình trong hệ.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Ngân sách mua sắm
Chọn hai loại hàng sao cho tổng chi không vượt mức.
Phân bổ giờ học
Hai môn học cùng dùng một quỹ thời gian giới hạn.
Khẩu phần
Lượng hai món phải đáp ứng hoặc không vượt một chỉ tiêu.
Miền tham số
Xác định các cặp thông số làm mô hình thỏa điều kiện.
Phân bổ công suất
Nhiều thiết bị dùng chung giới hạn tải và thời gian.
Tối đa lợi nhuận
Sản lượng thỏa nguyên liệu, giờ công và nhu cầu thị trường.
Quản lí tài nguyên
Phương án khai thác phải đồng thời dưới nhiều ngưỡng.
Quy hoạch tuyến tính
Nền tảng của vận trù học, logistics và phân tích quyết định.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Nghiệm bất phương trình hai ẩn là gì?
Là một cặp có thứ tự (x;y) làm bất phương trình đúng khi thay vào.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Quên a và b không đồng thời bằng 0
Kiểm tra dạng ax+by⋚c trước khi gọi là bậc nhất hai ẩn.
Chỉ kiểm một dòng của hệ
Một điểm phải thỏa đồng thời mọi bất phương trình.
Coi nghiệm là một số
Viết nghiệm dưới dạng cặp có thứ tự (x;y).
Lấy hợp thay vì giao
Hệ biểu thị “và”, nên lấy vùng chồng chung.
Thay nhầm hoành độ và tung độ
Ghi x trước, y sau rồi thay từng vị trí.
Đoán miền cuối
Vẽ từng đường biên, chọn từng phía rồi mới lấy giao.
Vẽ sai đường biên
Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng và tìm hai điểm chính xác.
Giữ mọi giao điểm đường biên
Thử lại giao điểm trong toàn hệ.
Dùng điểm thử nằm trên biên
Chọn điểm khác; O chỉ dùng khi không nằm trên đường biên.
Bỏ đỉnh trên trục
Xét cả giao với x=0 và y=0 khi có điều kiện không âm.
Tô sai phía
Thay điểm thử và chọn phía chứa điểm nếu bất phương trình đúng.
Không xét miền rỗng hoặc không bị chặn
Quan sát đầy đủ hình dạng trước khi tối ưu.
Dùng nét liền cho dấu nghiêm
</> không lấy bờ nên dùng nét đứt.
Chọn đỉnh theo cảm giác
Tính hàm mục tiêu tại mọi đỉnh rồi so sánh.
Dùng nét đứt cho ≤/≥
≤/≥ nhận dấu bằng nên đường biên phải được lấy.
Quên trường hợp cả cạnh tối ưu
Kiểm đường mức có song song và trùng hướng với cạnh miền hay không.
Đổi chiều sai khi chia số âm
Khi chia hai vế cho số âm phải đổi chiều bất đẳng thức.
Mô hình thiếu đơn vị
Ghi rõ ý nghĩa và đơn vị của x, y, hàm mục tiêu.
Quên điều kiện không âm trong thực tế
Ghi x≥0, y≥0 và điều kiện nguyên nếu là số vật.
Đáp án không nguyên trong bài đếm sản phẩm
Lọc các điểm nguyên khả thi trước khi kết luận.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Học bằng truy hồi
Đóng phần lí thuyết, tự nói lại khái niệm và cho một ví dụ đúng, một phản ví dụ.
Làm theo ba lượt
Lượt 1 hiểu mẫu; lượt 2 làm không nhìn; lượt 3 giải thích vì sao từng bước hợp lệ.
Dùng sổ lỗi
Ghi loại sai, nguyên nhân và một câu tự kiểm; không chỉ chép lại đáp án.
Ôn cách quãng
Ôn sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày bằng câu ngắn thay vì đọc lại toàn bài.
Trộn 15% bài cũ
Mỗi phiên luyện có ba câu nền cũ để buộc não chọn đúng công cụ.
Ưu tiên trường hợp biên
Sau khi giải, thử đầu mút, dấu bằng, số 0 hoặc một điểm trên đường biên.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Bài tập cuối Chương 21 2 3 4 5 6
Một bất phương trìnhĐường biên + điểm thử + nửa mặt phẳng.
Một hệLấy giao mọi miền thành phần.
ĐỉnhGiao biên và phải thỏa toàn hệ.
Mô hìnhBiến, đơn vị, ràng buộc, mục tiêu.
Tối ưuSo sánh hàm mục tiêu tại các đỉnh.
Kết luậnKiểm tính nguyên và quay lại bối cảnh.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
C2-NB-01Trong U = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}, cho A = {-1; 0; 1; 2; 3}. Tìm phần bù CᵁA.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy các phần tử thuộc U nhưng không thuộc A.
Lời giải: CᵁA = {-2; 4}.
Vì sao: Phần bù chỉ có nghĩa khi biết tập vũ trụ U.
Sai ở đâu: Lấy tất cả số không thuộc A mà bỏ qua phạm vi U.
Cách khác: Tính trực tiếp hiệu U \ A.
C2-NB-02Phủ định phát biểu “Mọi số nguyên x đều thỏa x² + 3 > 0”.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đổi “mọi” thành “tồn tại” rồi phủ định >.
Lời giải: “Tồn tại số nguyên x sao cho x² + 3 ≤ 0”.
Vì sao: Phủ định lượng từ và phủ định mệnh đề bên trong phải thực hiện đồng thời.
Sai ở đâu: Chỉ đổi > thành ≤ nhưng vẫn giữ từ “mọi”.
Cách khác: Viết bằng kí hiệu: ¬(∀x∈ℤ, A(x)) ⇔ ∃x∈ℤ, ¬A(x).
C2-NB-03Viết A = {x ∈ ℤ | 1 ≤ x ≤ 4} bằng cách liệt kê.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy các điểm nguyên từ đầu trái đến đầu phải, kể cả hai đầu.
Lời giải: A = {1; 2; 3; 4}.
Vì sao: Dấu ≤ nhận cả hai đầu mút.
Sai ở đâu: Bỏ đầu mút hoặc lấy thêm số không nguyên.
Cách khác: Đọc các điểm nguyên trên đoạn [1; 4].
C2-NB-04Bất phương trình 4x + 3y ≤ 20 mô tả miền nào so với đường biên?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng O(0;0) làm điểm thử; đường biên được tính vì có dấu ≤.
Lời giải: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O(0;0).
Vì sao: Vế trái tại O bằng 0 và vế phải dương.
Sai ở đâu: Không tô đường biên dù dấu ≤ có nhận dấu bằng.
Cách khác: Chuyển về y ≤ biểu thức bậc nhất của x rồi đọc phía dưới đường thẳng.
C2-NB-05Kiểm tra M(0; 0) có là nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 1y ≤ 9.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay M vào cả ba bất phương trình; phải đúng đồng thời.
Lời giải: 0 ≥ 0, 0 ≥ 0 và 3·0 + 1·0 = 0 ≤ 9. M là nghiệm.
Vì sao: Nghiệm của hệ nằm trong giao của mọi miền nghiệm.
Sai ở đâu: Chỉ kiểm tra một bất phương trình trong hệ.
Cách khác: Đánh dấu M trên hình rồi kiểm tra có nằm trong miền giao hay không.
C2-NB-06Điểm M(2; 3) có thuộc miền nghiệm của 2x + 2y ≥ 10 không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay tọa độ M vào vế trái rồi so sánh với vế phải.
Lời giải: 2·2 + 2·3 = 10; 10 ≥ 10. Vậy M thuộc miền nghiệm.
Vì sao: Một cặp số là nghiệm khi thay vào làm bất phương trình đúng.
Sai ở đâu: Thay x và y ngược vị trí hoặc quên dấu của số âm.
Cách khác: Tính hiệu vế trái trừ vế phải rồi xét dấu.
C2-NB-07Trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 30, tìm giá trị lớn nhất của F = 3x + 3y.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính F tại ba đỉnh của miền tam giác.
Lời giải: F(0;0)=0; F(15;0)=45; F(0;10)=30. Do đó F lớn nhất bằng 45 tại (15;0).
Vì sao: Biểu thức tuyến tính đạt cực trị tại một đỉnh của đa giác miền nghiệm.
Sai ở đâu: Chỉ thử một điểm bên trong miền.
Cách khác: Dịch đường thẳng mức F = k theo chiều tăng của k đến điểm cuối cùng còn chạm miền.
C2-NB-08Miền nghiệm của 4x + 6y ≥ 27 có chứa O(0;0) không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay x = 0, y = 0.
Lời giải: Tại O, vế trái bằng 0; 0 < 27. Vì vậy O không thuộc miền nghiệm.
Vì sao: Điểm O thường là điểm thử nhanh nếu không nằm trên đường biên.
Sai ở đâu: Dùng O làm điểm thử khi c = 0, tức O nằm ngay trên biên.
Cách khác: Chọn điểm (1;0) nếu O thuộc đường biên.
C2-NB-09Vẽ miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 9, y ≤ 8. Miền có hình gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bốn đường biên song song với hai trục.
Lời giải: Miền là hình chữ nhật có các đỉnh (0;0), (9;0), (9;8), (0;8).
Vì sao: Hai cặp điều kiện chặn x và y trong các đoạn độc lập.
Sai ở đâu: Bỏ các cạnh biên dù dấu là ≤ hoặc ≥.
Cách khác: Viết miền dưới dạng [0;9] × [0;8].
C2-NB-10Một sản phẩm A tốn 3 giờ, B tốn 7 giờ; tổng thời gian không quá 49 giờ. Gọi x, y là số sản phẩm. Lập bất phương trình thời gian.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thời gian dùng = thời gian A + thời gian B; “không quá” dùng ≤.
Lời giải: 3x + 7y ≤ 49, với x ≥ 0, y ≥ 0.
Vì sao: Mỗi biến nhân với mức tiêu hao tương ứng rồi cộng lại.
Sai ở đâu: Dùng dấu ≥ cho cụm “không quá”.
Cách khác: Lập bảng hai cột: số lượng – thời gian mỗi sản phẩm – tổng.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Điểm (-1;-1) là nghiệm của 1x + 3y ≤ -3.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Trong U = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}, cho A = {-1; 0; 1; 2; 3}. Tìm phần bù CᵁA.
Gợi ý: Lấy các phần tử thuộc U nhưng không thuộc A.
Lời giải: CᵁA = {-2; 4}.
Giải thích: Phần bù chỉ có nghĩa khi biết tập vũ trụ U.
Lỗi cần tránh: Lấy tất cả số không thuộc A mà bỏ qua phạm vi U.
Cách khác: Tính trực tiếp hiệu U \ A.
TỰ LUẬN 2Điểm M(2; 3) có thuộc miền nghiệm của 2x + 2y ≥ 10 không?
Gợi ý: Thay tọa độ M vào vế trái rồi so sánh với vế phải.
Lời giải: 2·2 + 2·3 = 10; 10 ≥ 10. Vậy M thuộc miền nghiệm.
Giải thích: Một cặp số là nghiệm khi thay vào làm bất phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: Thay x và y ngược vị trí hoặc quên dấu của số âm.
Cách khác: Tính hiệu vế trái trừ vế phải rồi xét dấu.
TỰ LUẬN 3Tìm các đỉnh miền nghiệm của x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 1y ≤ 15.
Gợi ý: Miền là tam giác trong góc phần tư I; tìm giao với hai trục.
Lời giải: Các đỉnh là O(0;0), A(5;0), B(0;15).
Giải thích: Cho y = 0 được x = 5; cho x = 0 được y = 15.
Lỗi cần tránh: Đảo hai hoành độ và tung độ của giao điểm.
Cách khác: Giải từng cặp phương trình biên x = 0, y = 0 và ax + by = c.
TỰ LUẬN 4Điểm M(-2; -2) có thuộc miền nghiệm của 4x + 2y ≥ -11 không?
Gợi ý: Thay tọa độ M vào vế trái rồi so sánh với vế phải.
Lời giải: 4·-2 + 2·-2 = -12; -12 < -11. Vậy M không thuộc miền nghiệm.
Giải thích: Một cặp số là nghiệm khi thay vào làm bất phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: Thay x và y ngược vị trí hoặc quên dấu của số âm.
Cách khác: Tính hiệu vế trái trừ vế phải rồi xét dấu.
TỰ LUẬN 5Với n ∈ ℤ, phát biểu “n chẵn khi và chỉ khi n = 2k với k ∈ ℤ” dùng điều kiện cần hay đủ?
Gợi ý: Cụm “khi và chỉ khi” biểu thị hai chiều.
Lời giải: Đây là điều kiện cần và đủ.
Giải thích: n chẵn ⇒ tồn tại k nguyên để n = 2k; và n = 2k ⇒ n chẵn.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra một trong hai chiều.
Cách khác: Tách ⇔ thành hai mệnh đề kéo theo rồi kiểm tra từng mệnh đề.
TỰ LUẬN 6Một xưởng làm x sản phẩm A và y sản phẩm B, với x ≤ 8, y ≤ 5, x + y ≤ 9, x,y ≥ 0. Viết hệ ràng buộc.
Gợi ý: Mỗi giới hạn trở thành một bất phương trình; các điều kiện phải đồng thời đúng.
Lời giải: {x ≥ 0; y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x + y ≤ 9}.
Giải thích: Từ “và” trong bài toán dẫn tới giao các miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Gộp các giới hạn riêng thành một bất phương trình duy nhất.
Cách khác: Lập bảng: ràng buộc A, ràng buộc B, tổng năng lực, điều kiện không âm.
TỰ LUẬN 7Miền nghiệm của 4x + 6y ≥ 7 có chứa O(0;0) không?
Gợi ý: Thay x = 0, y = 0.
Lời giải: Tại O, vế trái bằng 0; 0 < 7. Vì vậy O không thuộc miền nghiệm.
Giải thích: Điểm O thường là điểm thử nhanh nếu không nằm trên đường biên.
Lỗi cần tránh: Dùng O làm điểm thử khi c = 0, tức O nằm ngay trên biên.
Cách khác: Chọn điểm (1;0) nếu O thuộc đường biên.
TỰ LUẬN 8Một xưởng làm x sản phẩm A và y sản phẩm B, với x ≤ 8, y ≤ 5, x + y ≤ 9, x,y ≥ 0. Viết hệ ràng buộc.
Gợi ý: Mỗi giới hạn trở thành một bất phương trình; các điều kiện phải đồng thời đúng.
Lời giải: {x ≥ 0; y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x + y ≤ 9}.
Giải thích: Từ “và” trong bài toán dẫn tới giao các miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Gộp các giới hạn riêng thành một bất phương trình duy nhất.
Cách khác: Lập bảng: ràng buộc A, ràng buộc B, tổng năng lực, điều kiện không âm.
TỰ LUẬN 9Trong U = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}, cho A = {-2; -1; 0; 1; 2}. Tìm phần bù CᵁA.
Gợi ý: Lấy các phần tử thuộc U nhưng không thuộc A.
Lời giải: CᵁA = {-3; 3}.
Giải thích: Phần bù chỉ có nghĩa khi biết tập vũ trụ U.
Lỗi cần tránh: Lấy tất cả số không thuộc A mà bỏ qua phạm vi U.
Cách khác: Tính trực tiếp hiệu U \ A.
TỰ LUẬN 10Một sản phẩm A tốn 5 giờ, B tốn 7 giờ; tổng thời gian không quá 79 giờ. Gọi x, y là số sản phẩm. Lập bất phương trình thời gian.
Gợi ý: Thời gian dùng = thời gian A + thời gian B; “không quá” dùng ≤.
Lời giải: 5x + 7y ≤ 79, với x ≥ 0, y ≥ 0.
Giải thích: Mỗi biến nhân với mức tiêu hao tương ứng rồi cộng lại.
Lỗi cần tránh: Dùng dấu ≥ cho cụm “không quá”.
Cách khác: Lập bảng hai cột: số lượng – thời gian mỗi sản phẩm – tổng.
TỰ LUẬN 11Kiểm tra M(4; 0) có là nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, 1x + 2y ≤ 6.
Gợi ý: Thay M vào cả ba bất phương trình; phải đúng đồng thời.
Lời giải: 4 ≥ 0, 0 ≥ 0 và 1·4 + 2·0 = 4 ≤ 6. M là nghiệm.
Giải thích: Nghiệm của hệ nằm trong giao của mọi miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra một bất phương trình trong hệ.
Cách khác: Đánh dấu M trên hình rồi kiểm tra có nằm trong miền giao hay không.
TỰ LUẬN 12Một sản phẩm A tốn 3 giờ, B tốn 7 giờ; tổng thời gian không quá 89 giờ. Gọi x, y là số sản phẩm. Lập bất phương trình thời gian.
Gợi ý: Thời gian dùng = thời gian A + thời gian B; “không quá” dùng ≤.
Lời giải: 3x + 7y ≤ 89, với x ≥ 0, y ≥ 0.
Giải thích: Mỗi biến nhân với mức tiêu hao tương ứng rồi cộng lại.
Lỗi cần tránh: Dùng dấu ≥ cho cụm “không quá”.
Cách khác: Lập bảng hai cột: số lượng – thời gian mỗi sản phẩm – tổng.
TỰ LUẬN 13Với n ∈ ℤ, phát biểu “n chẵn khi và chỉ khi n = 2k với k ∈ ℤ” dùng điều kiện cần hay đủ?
Gợi ý: Cụm “khi và chỉ khi” biểu thị hai chiều.
Lời giải: Đây là điều kiện cần và đủ.
Giải thích: n chẵn ⇒ tồn tại k nguyên để n = 2k; và n = 2k ⇒ n chẵn.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra một trong hai chiều.
Cách khác: Tách ⇔ thành hai mệnh đề kéo theo rồi kiểm tra từng mệnh đề.
TỰ LUẬN 14Trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, 1x + 2y ≤ 6, tìm giá trị lớn nhất của F = 1x + 2y.
Gợi ý: Tính F tại ba đỉnh của miền tam giác.
Lời giải: F(0;0)=0; F(6;0)=6; F(0;3)=6. Do đó F lớn nhất bằng 6 tại (6;0).
Giải thích: Biểu thức tuyến tính đạt cực trị tại một đỉnh của đa giác miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Chỉ thử một điểm bên trong miền.
Cách khác: Dịch đường thẳng mức F = k theo chiều tăng của k đến điểm cuối cùng còn chạm miền.
TỰ LUẬN 15Xác định đường biên của bất phương trình 2x + 4y ≥ 15.
Gợi ý: Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng.
Lời giải: Đường biên là 2x + 4y = 15.
Giải thích: Đường biên chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên dấu ≤ hoặc ≥ khi viết phương trình đường biên.
Cách khác: Tìm hai điểm thỏa dấu bằng rồi kẻ đường thẳng qua chúng.
TỰ LUẬN 16Trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 30, tìm giá trị lớn nhất của F = 3x + 3y.
Gợi ý: Tính F tại ba đỉnh của miền tam giác.
Lời giải: F(0;0)=0; F(15;0)=45; F(0;10)=30. Do đó F lớn nhất bằng 45 tại (15;0).
Giải thích: Biểu thức tuyến tính đạt cực trị tại một đỉnh của đa giác miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Chỉ thử một điểm bên trong miền.
Cách khác: Dịch đường thẳng mức F = k theo chiều tăng của k đến điểm cuối cùng còn chạm miền.
TỰ LUẬN 17Trong U = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2}, cho A = {-3; -2; -1; 0; 1}. Tìm phần bù CᵁA.
Gợi ý: Lấy các phần tử thuộc U nhưng không thuộc A.
Lời giải: CᵁA = {-4; 2}.
Giải thích: Phần bù chỉ có nghĩa khi biết tập vũ trụ U.
Lỗi cần tránh: Lấy tất cả số không thuộc A mà bỏ qua phạm vi U.
Cách khác: Tính trực tiếp hiệu U \ A.
TỰ LUẬN 18Bất phương trình 2x + 3y ≤ 16 mô tả miền nào so với đường biên?
Gợi ý: Dùng O(0;0) làm điểm thử; đường biên được tính vì có dấu ≤.
Lời giải: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O(0;0).
Giải thích: Vế trái tại O bằng 0 và vế phải dương.
Lỗi cần tránh: Không tô đường biên dù dấu ≤ có nhận dấu bằng.
Cách khác: Chuyển về y ≤ biểu thức bậc nhất của x rồi đọc phía dưới đường thẳng.
TỰ LUẬN 19Vẽ miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 9, y ≤ 8. Miền có hình gì?
Gợi ý: Bốn đường biên song song với hai trục.
Lời giải: Miền là hình chữ nhật có các đỉnh (0;0), (9;0), (9;8), (0;8).
Giải thích: Hai cặp điều kiện chặn x và y trong các đoạn độc lập.
Lỗi cần tránh: Bỏ các cạnh biên dù dấu là ≤ hoặc ≥.
Cách khác: Viết miền dưới dạng [0;9] × [0;8].
TỰ LUẬN 20Bất phương trình 4x + 3y ≤ 16 mô tả miền nào so với đường biên?
Gợi ý: Dùng O(0;0) làm điểm thử; đường biên được tính vì có dấu ≤.
Lời giải: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O(0;0).
Giải thích: Vế trái tại O bằng 0 và vế phải dương.
Lỗi cần tránh: Không tô đường biên dù dấu ≤ có nhận dấu bằng.
Cách khác: Chuyển về y ≤ biểu thức bậc nhất của x rồi đọc phía dưới đường thẳng.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: C2-NB-01, C2-NB-02, C2-NB-03, C2-NB-04, C2-NB-05, C2-NB-06, C2-NB-07, C2-NB-08, C2-NB-09, C2-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C2-NB-01: {-2; 4}
- C2-NB-02: ∃x ∈ ℤ: x² + 3 ≤ 0
- C2-NB-03: {1; 2; 3; 4}
- C2-NB-04: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
- C2-NB-05: Là nghiệm
- C2-NB-06: Thuộc
- C2-NB-07: 45 tại (15;0)
- C2-NB-08: Không
- C2-NB-09: Hình chữ nhật: (0;0), (9;0), (9;8), (0;8)
- C2-NB-10: 3x + 7y ≤ 49; x,y ≥ 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 2
10 câu đại diện: C2-NB-11, C2-NB-12, C2-NB-13, C2-NB-14, C2-NB-15, C2-NB-16, C2-NB-17, C2-NB-18, C2-NB-19, C2-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C2-NB-11: (0;0), (5;0), (0;15)
- C2-NB-12: 4x + 4y = 4
- C2-NB-13: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9
- C2-NB-14: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
- C2-NB-15: Là nghiệm
- C2-NB-16: Không thuộc
- C2-NB-17: 36 tại (0;9)
- C2-NB-18: Không
- C2-NB-19: Hình chữ nhật: (0;0), (12;0), (12;11), (0;11)
- C2-NB-20: 5x + 7y ≤ 59; x,y ≥ 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: C2-TH-01, C2-TH-02, C2-TH-03, C2-TH-04, C2-TH-05, C2-TH-06, C2-TH-07, C2-TH-08, C2-TH-09, C2-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C2-TH-01: Điều kiện cần và đủ
- C2-TH-02: {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
- C2-TH-03: x < 7
- C2-TH-04: (0;0), (6;0), (0;3)
- C2-TH-05: 2x + 4y = 17
- C2-TH-06: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9
- C2-TH-07: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
- C2-TH-08: Là nghiệm
- C2-TH-09: Thuộc
- C2-TH-10: 30 tại (10;0)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: C2-TH-11, C2-TH-12, C2-TH-13, C2-TH-14, C2-TH-15, C2-TH-16, C2-TH-17, C2-TH-18, C2-TH-19, C2-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C2-TH-11: Không
- C2-TH-12: Hình chữ nhật: (0;0), (8;0), (8;7), (0;7)
- C2-TH-13: 3x + 7y ≤ 69; x,y ≥ 0
- C2-TH-14: (0;0), (15;0), (0;10)
- C2-TH-15: 4x + 4y = 15
- C2-TH-16: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9
- C2-TH-17: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
- C2-TH-18: Là nghiệm
- C2-TH-19: Thuộc
- C2-TH-20: 18 tại (0;6)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: C2-VD-01, C2-VD-02, C2-VD-03, C2-VD-04, C2-VD-05, C2-VD-06, C2-VD-07, C2-VD-08, C2-VD-09, C2-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C2-VD-01: {-3; 3}
- C2-VD-02: ∃x ∈ ℤ: x² + 2 ≤ 0
- C2-VD-03: {0; 1; 2; 3}
- C2-VD-04: Không
- C2-VD-05: Hình chữ nhật: (0;0), (11;0), (11;10), (0;10)
- C2-VD-06: 5x + 7y ≤ 79; x,y ≥ 0
- C2-VD-07: (0;0), (3;0), (0;9)
- C2-VD-08: 2x + 4y = 2
- C2-VD-09: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9
- C2-VD-10: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Học 25 phút, nghỉ 5 phút; mỗi buổi chỉ cần một mục tiêu rõ.
- Hỏi con “Con đang dùng định nghĩa nào?” thay vì hỏi ngay đáp số.
- Nếu con sai lặp lại, yêu cầu con tạo một ví dụ nhỏ hơn và kiểm bằng lời.
- Không dùng điểm số một bài để gắn nhãn năng lực; theo dõi loại lỗi trong 2–3 tuần.
- Dấu hiệu đã hiểu: con giải thích được vì sao cách sai không dùng được.
- Mở đầu bằng tình huống có mâu thuẫn nhận thức, sau đó mới chuẩn hóa kí hiệu.
- Tổ chức dự đoán cá nhân → trao đổi cặp → phản biện toàn lớp.
- Yêu cầu học sinh nêu điều kiện, đơn vị và trường hợp biên trước khi tính.
- Dùng phiếu ra về 3 phút để phát hiện đúng loại lỗ hổng.
- Chấm cả lập luận và thao tác tự kiểm, không chỉ chấm kết quả cuối.
- Nhãn “tham khảo cấu trúc Hà Nội” chỉ dùng cho đề nội bộ mô phỏng, không gọi là đề chính thức.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.