Nhiều giới hạn cùng lúc
Ngân sách, giờ công và nguyên liệu phải đồng thời được thỏa.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Thực tế hiếm khi chỉ có một giới hạn. Hệ bất phương trình giúp mô tả nhiều ràng buộc đồng thời, tìm miền khả thi và lựa chọn phương án tối ưu có thể giải thích được.
Lấy giao điều kiện, tìm phương án tốt nhất
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn phương án tốt nhất
So sánh hàm mục tiêu tại các đỉnh giúp ra quyết định có căn cứ.
Thấy miền khả thi
Vùng giao cho biết toàn bộ phương án có thể thực hiện.
Loại phương án vi phạm
Mỗi ứng viên được kiểm với toàn hệ, không dựa vào cảm giác.
- Kiểm tra nghiệm của một hệ bất phương trình.
- Biểu diễn miền nghiệm bằng giao các nửa mặt phẳng.
- Tìm và kiểm các đỉnh của miền nghiệm.
- Lập mô hình và giải bài toán tối ưu tuyến tính đơn giản.
- Miền nghiệm một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Giao các tập hợp và từ khóa “đồng thời”.
- Giải hệ hai phương trình để tìm giao điểm.
- Lập bảng và so sánh giá trị tại hữu hạn điểm.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Nhiều điều kiện phải đúng đồng thời
Hiểu đơn giản: Một cặp số là nghiệm của hệ khi nó thỏa tất cả dòng trong hệ.
Tập nghiệm của hệ là giao các tập nghiệm thành phần.
Ví dụ: (1;1) thỏa x≥0, y≥0, x+y≤3.
Hình nên dùng: Nhiều lớp màu chồng nhau; phần đậm nhất là miền giao.
Mô phỏng: Bật từng ràng buộc để thấy miền bị thu hẹp.
Mẹo nhớ: Hệ = và = giao.
Sai lầm: Điểm thỏa một dòng đã vội kết luận là nghiệm hệ.
Ghi chú: Mỗi điều kiện mới chỉ có thể giữ nguyên hoặc thu hẹp miền.
Vẽ từng miền rồi lấy giao
Hiểu đơn giản: Không cố đoán miền cuối ngay từ đầu.
Biểu diễn lần lượt mỗi bất phương trình trên cùng hệ trục và lấy phần giao.
Ví dụ: x≥0, y≥0, x+y≤4 tạo tam giác ở góc phần tư I.
Hình nên dùng: Ba đường biên tạo một đa giác.
Mô phỏng: Từng ràng buộc xuất hiện theo bước.
Mẹo nhớ: Một dòng – một biên – một phía; cuối cùng lấy giao.
Sai lầm: Tô chồng nhưng không xác định vùng chung cuối cùng.
Ghi chú: Ghi tọa độ các đỉnh để kiểm tra và dùng cho tối ưu.
Giao của các đường biên
Hiểu đơn giản: Đỉnh xuất hiện nơi hai cạnh biên gặp nhau.
Giải các cặp phương trình đường biên rồi giữ giao điểm thỏa toàn hệ.
Ví dụ: x=0 và x+y=4 cho đỉnh (0;4).
Hình nên dùng: Đa giác với đỉnh được gắn nhãn.
Mô phỏng: Chọn hai biên để tính giao điểm.
Mẹo nhớ: Tìm giao điểm rồi phải thử lại toàn hệ.
Sai lầm: Giữ mọi giao điểm của các đường biên dù nằm ngoài miền.
Ghi chú: Miền có thể không bị chặn, rỗng hoặc chỉ là đoạn/điểm.
So sánh giá trị tại các đỉnh
Hiểu đơn giản: Với miền đa giác bị chặn, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của biểu thức tuyến tính nằm ở một đỉnh.
Tính F = px + qy tại tất cả đỉnh của miền nghiệm rồi so sánh.
Ví dụ: Trên tam giác (0;0),(4;0),(0;3), tính F tại cả ba đỉnh.
Hình nên dùng: Các đường mức song song dịch chuyển qua đa giác.
Mô phỏng: Kéo thanh k của px+qy=k để tìm điểm chạm cuối.
Mẹo nhớ: Ràng buộc → miền → đỉnh → bảng giá trị → kết luận có đơn vị.
Sai lầm: Chọn đỉnh có x hoặc y lớn nhất mà không tính đúng hàm mục tiêu.
Ghi chú: Nếu cạnh song song đường mức, nhiều điểm trên cạnh cùng tối ưu.
Từ câu chuyện đến mô hình kiểm được
Hiểu đơn giản: Gọi biến, ghi đơn vị, lập từng ràng buộc và mục tiêu.
Mô hình gồm miền khả thi và hàm mục tiêu; đáp án phải quay lại bối cảnh.
Ví dụ: Chọn số bàn và ghế để không vượt gỗ, giờ công và tối đa hóa lợi nhuận.
Hình nên dùng: Bảng định mức hai sản phẩm theo nhiều nguồn lực.
Mô phỏng: Nhập phương án sản xuất và xem có khả thi, lợi nhuận bao nhiêu.
Mẹo nhớ: Không âm – tài nguyên – nhu cầu – mục tiêu.
Sai lầm: Giải đúng mô hình nhưng quên điều kiện nguyên của số sản phẩm.
Ghi chú: Luôn kiểm tra phương án tối ưu có ý nghĩa thực tế.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB PHƯƠNG ÁN
Kiểm miền khả thi và mục tiêu
Hệ cố định: x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6; F = 3x + 4y.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • CƠ BẢNKiểm tra nghiệm của hệ
Đề bài: Kiểm tra M(1;2) với hệ x≥0, y≥0, x+y≤4.
Phân tích: Phải kiểm đủ ba dòng.
Hướng làm: Thay lần lượt.
- 1≥0 đúng.
- 2≥0 đúng.
- 1+2=3≤4 đúng.
- Vậy M là nghiệm của hệ.
Vì sao: Hệ dùng quan hệ “và”, không phải “hoặc”.
Cách khác: Quan sát M nằm trong tam giác miền nghiệm.
Tự kiểm: Không dừng sau dòng đầu tiên.
02 • THÔNG HIỂUMiền tam giác
Đề bài: Tìm miền nghiệm x≥0, y≥0, x+y≤4.
Phân tích: Hai trục và đường x+y=4 tạo ba cạnh.
Hướng làm: Lấy giao ba nửa mặt phẳng.
- x≥0: bên phải Oy.
- y≥0: phía trên Ox.
- x+y≤4: phía chứa O.
- Miền là tam giác có đỉnh (0;0),(4;0),(0;4).
Vì sao: Các cạnh đều được lấy vì dấu không nghiêm.
Cách khác: Nhận miền [góc phần tư I] bị chặn bởi x+y=4.
Tự kiểm: Ghi đủ ba đỉnh.
03 • VẬN DỤNGTối ưu tại đỉnh
Đề bài: Trên miền x≥0,y≥0,x+y≤4, tìm max F=2x+3y.
Phân tích: Tính F tại ba đỉnh.
Hướng làm: Lập bảng giá trị.
- F(0;0)=0.
- F(4;0)=8.
- F(0;4)=12.
- Max F=12 tại (0;4).
Vì sao: Hàm mục tiêu tuyến tính đạt cực trị tại đỉnh của đa giác bị chặn.
Cách khác: Dịch đường 2x+3y=k theo chiều tăng k.
Tự kiểm: Không chọn (4;0) chỉ vì x lớn nhất.
04 • NÂNG CAOLọc giao điểm hợp lệ
Đề bài: Với x≥0,y≥0,x≤3,y≤2,x+y≤4, liệt kê các đỉnh.
Phân tích: Tìm giao các biên rồi loại điểm vi phạm x+y≤4.
Hướng làm: Đi quanh biên miền theo thứ tự.
- Các đỉnh: (0;0),(3;0),(3;1),(2;2),(0;2).
- (3;2) bị loại vì 3+2>4.
Vì sao: Không phải mọi giao điểm của các đường biên đều là đỉnh miền nghiệm.
Cách khác: Bắt đầu từ hình chữ nhật [0;3]×[0;2] rồi cắt góc bởi x+y≤4.
Tự kiểm: Thử lại mỗi đỉnh trong toàn hệ.
05 • THỰC TẾKế hoạch sản xuất
Đề bài: A dùng 2 kg gỗ, 1 giờ; B dùng 1 kg gỗ, 2 giờ. Có 10 kg gỗ và 8 giờ. Lợi nhuận lần lượt 3 và 4 đơn vị. Lập mô hình.
Phân tích: Có hai ràng buộc tài nguyên và một hàm mục tiêu.
Hướng làm: Gọi x,y là số A,B.
- Gỗ: 2x+y≤10.
- Giờ: x+2y≤8.
- x,y≥0; nếu là sản phẩm thì x,y nguyên.
- Tối đa hóa F=3x+4y.
Vì sao: Mô hình phải tách miền khả thi và mục tiêu.
Cách khác: Dùng bảng hai sản phẩm × hai nguồn lực.
Tự kiểm: Kết luận cuối phải quay lại số sản phẩm, không chỉ nêu tọa độ.
06 • NHẬN BIẾTVí dụ theo mục tiêu HBPT-NB-08
Đề bài: Vẽ miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 10, y ≤ 9. Miền có hình gì?
Phân tích: Bốn đường biên song song với hai trục.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- Miền là hình chữ nhật có các đỉnh (0;0), (10;0), (10;9), (0;9).
- Kết luận: Hình chữ nhật: (0;0), (10;0), (10;9), (0;9).
Vì sao: Hai cặp điều kiện chặn x và y trong các đoạn độc lập.
Cách khác: Viết miền dưới dạng [0;10] × [0;9].
Tự kiểm: Tự kiểm: Bỏ các cạnh biên dù dấu là ≤ hoặc ≥.
07 • THÔNG HIỂUVí dụ theo mục tiêu HBPT-TH-05
Đề bài: Một xưởng làm x sản phẩm A và y sản phẩm B, với x ≤ 8, y ≤ 5, x + y ≤ 9, x,y ≥ 0. Viết hệ ràng buộc.
Phân tích: Mỗi giới hạn trở thành một bất phương trình; các điều kiện phải đồng thời đúng.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- {x ≥ 0; y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x + y ≤ 9}.
- Kết luận: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9.
Vì sao: Từ “và” trong bài toán dẫn tới giao các miền nghiệm.
Cách khác: Lập bảng: ràng buộc A, ràng buộc B, tổng năng lực, điều kiện không âm.
Tự kiểm: Tự kiểm: Gộp các giới hạn riêng thành một bất phương trình duy nhất.
08 • VẬN DỤNGVí dụ theo mục tiêu HBPT-VD-02
Đề bài: Điểm M(4; 2) có thuộc miền nghiệm của 1x + 2y ≤ 9 không?
Phân tích: Thay tọa độ M vào vế trái rồi so sánh với vế phải.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- 1·4 + 2·2 = 8; 8 ≤ 9. Vậy M thuộc miền nghiệm.
- Kết luận: Thuộc.
Vì sao: Một cặp số là nghiệm khi thay vào làm bất phương trình đúng.
Cách khác: Tính hiệu vế trái trừ vế phải rồi xét dấu.
Tự kiểm: Tự kiểm: Thay x và y ngược vị trí hoặc quên dấu của số âm.
09 • VẬN DỤNG CAOVí dụ theo mục tiêu HBPT-VDC-04
Đề bài: Tìm các đỉnh miền nghiệm của x ≥ 0, y ≥ 0, 1x + 2y ≤ 12.
Phân tích: Miền là tam giác trong góc phần tư I; tìm giao với hai trục.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- Các đỉnh là O(0;0), A(12;0), B(0;6).
- Kết luận: (0;0), (12;0), (0;6).
Vì sao: Cho y = 0 được x = 12; cho x = 0 được y = 6.
Cách khác: Giải từng cặp phương trình biên x = 0, y = 0 và ax + by = c.
Tự kiểm: Tự kiểm: Đảo hai hoành độ và tung độ của giao điểm.
10 • THỰC TẾVí dụ theo mục tiêu HBPT-TT-07
Đề bài: Tìm các đỉnh miền nghiệm của x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 1y ≤ 18.
Phân tích: Miền là tam giác trong góc phần tư I; tìm giao với hai trục.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- Các đỉnh là O(0;0), A(6;0), B(0;18).
- Kết luận: (0;0), (6;0), (0;18).
Vì sao: Cho y = 0 được x = 6; cho x = 0 được y = 18.
Cách khác: Giải từng cặp phương trình biên x = 0, y = 0 và ax + by = c.
Tự kiểm: Tự kiểm: Đảo hai hoành độ và tung độ của giao điểm.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Kế hoạch chi tiêu
Thỏa đồng thời ngân sách, thời gian và nhu cầu tối thiểu.
Xếp lịch hoạt động
Phân bổ số buổi cho hai hoạt động dưới nhiều giới hạn.
Khẩu phần hợp lí
Đảm bảo năng lượng tối thiểu nhưng không vượt chi phí.
Thiết kế thí nghiệm
Chọn cặp thông số nằm trong vùng an toàn và có hiệu quả cao.
Phân bổ công suất
Nhiều thiết bị dùng chung giới hạn tải và thời gian.
Tối đa lợi nhuận
Sản lượng thỏa nguyên liệu, giờ công và nhu cầu thị trường.
Quản lí tài nguyên
Phương án khai thác phải đồng thời dưới nhiều ngưỡng.
Quy hoạch tuyến tính
Nền tảng của vận trù học, logistics và phân tích quyết định.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Vì sao hệ phải lấy giao?
Vì một nghiệm phải thỏa điều kiện thứ nhất và thứ hai và mọi điều kiện còn lại.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Chỉ kiểm một dòng của hệ
Một điểm phải thỏa đồng thời mọi bất phương trình.
Lấy hợp thay vì giao
Hệ biểu thị “và”, nên lấy vùng chồng chung.
Đoán miền cuối
Vẽ từng đường biên, chọn từng phía rồi mới lấy giao.
Giữ mọi giao điểm đường biên
Thử lại giao điểm trong toàn hệ.
Bỏ đỉnh trên trục
Xét cả giao với x=0 và y=0 khi có điều kiện không âm.
Không xét miền rỗng hoặc không bị chặn
Quan sát đầy đủ hình dạng trước khi tối ưu.
Chọn đỉnh theo cảm giác
Tính hàm mục tiêu tại mọi đỉnh rồi so sánh.
Quên trường hợp cả cạnh tối ưu
Kiểm đường mức có song song và trùng hướng với cạnh miền hay không.
Mô hình thiếu đơn vị
Ghi rõ ý nghĩa và đơn vị của x, y, hàm mục tiêu.
Đáp án không nguyên trong bài đếm sản phẩm
Lọc các điểm nguyên khả thi trước khi kết luận.
Tự kiểm sau khi làm: chỉ kiểm một dòng của hệ
Một điểm phải thỏa đồng thời mọi bất phương trình. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: lấy hợp thay vì giao
Hệ biểu thị “và”, nên lấy vùng chồng chung. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: đoán miền cuối
Vẽ từng đường biên, chọn từng phía rồi mới lấy giao. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: giữ mọi giao điểm đường biên
Thử lại giao điểm trong toàn hệ. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: bỏ đỉnh trên trục
Xét cả giao với x=0 và y=0 khi có điều kiện không âm. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: không xét miền rỗng hoặc không bị chặn
Quan sát đầy đủ hình dạng trước khi tối ưu. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: chọn đỉnh theo cảm giác
Tính hàm mục tiêu tại mọi đỉnh rồi so sánh. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: quên trường hợp cả cạnh tối ưu
Kiểm đường mức có song song và trùng hướng với cạnh miền hay không. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: mô hình thiếu đơn vị
Ghi rõ ý nghĩa và đơn vị của x, y, hàm mục tiêu. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: đáp án không nguyên trong bài đếm sản phẩm
Lọc các điểm nguyên khả thi trước khi kết luận. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Học bằng truy hồi
Đóng phần lí thuyết, tự nói lại khái niệm và cho một ví dụ đúng, một phản ví dụ.
Làm theo ba lượt
Lượt 1 hiểu mẫu; lượt 2 làm không nhìn; lượt 3 giải thích vì sao từng bước hợp lệ.
Dùng sổ lỗi
Ghi loại sai, nguyên nhân và một câu tự kiểm; không chỉ chép lại đáp án.
Ôn cách quãng
Ôn sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày bằng câu ngắn thay vì đọc lại toàn bài.
Trộn 15% bài cũ
Mỗi phiên luyện có ba câu nền cũ để buộc não chọn đúng công cụ.
Ưu tiên trường hợp biên
Sau khi giải, thử đầu mút, dấu bằng, số 0 hoặc một điểm trên đường biên.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn1 2 3 4 5
Nhiều điều kiện phải đúng đồng thờiHệ = và = giao.
Vẽ từng miền rồi lấy giaoMột dòng – một biên – một phía; cuối cùng lấy giao.
Giao của các đường biênTìm giao điểm rồi phải thử lại toàn hệ.
So sánh giá trị tại các đỉnhRàng buộc → miền → đỉnh → bảng giá trị → kết luận có đơn vị.
Từ câu chuyện đến mô hình kiểm đượcKhông âm – tài nguyên – nhu cầu – mục tiêu.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
HBPT-NB-01Bất phương trình 2x + 3y ≤ 19 mô tả miền nào so với đường biên?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng O(0;0) làm điểm thử; đường biên được tính vì có dấu ≤.
Lời giải: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O(0;0).
Vì sao: Vế trái tại O bằng 0 và vế phải dương.
Sai ở đâu: Không tô đường biên dù dấu ≤ có nhận dấu bằng.
Cách khác: Chuyển về y ≤ biểu thức bậc nhất của x rồi đọc phía dưới đường thẳng.
HBPT-NB-02Một sản phẩm A tốn 4 giờ, B tốn 7 giờ; tổng thời gian không quá 34 giờ. Gọi x, y là số sản phẩm. Lập bất phương trình thời gian.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thời gian dùng = thời gian A + thời gian B; “không quá” dùng ≤.
Lời giải: 4x + 7y ≤ 34, với x ≥ 0, y ≥ 0.
Vì sao: Mỗi biến nhân với mức tiêu hao tương ứng rồi cộng lại.
Sai ở đâu: Dùng dấu ≥ cho cụm “không quá”.
Cách khác: Lập bảng hai cột: số lượng – thời gian mỗi sản phẩm – tổng.
HBPT-NB-03Điểm M(-1; 1) có thuộc miền nghiệm của 4x + 2y ≥ -3 không?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay tọa độ M vào vế trái rồi so sánh với vế phải.
Lời giải: 4·-1 + 2·1 = -2; -2 ≥ -3. Vậy M thuộc miền nghiệm.
Vì sao: Một cặp số là nghiệm khi thay vào làm bất phương trình đúng.
Sai ở đâu: Thay x và y ngược vị trí hoặc quên dấu của số âm.
Cách khác: Tính hiệu vế trái trừ vế phải rồi xét dấu.
HBPT-NB-04Kiểm tra M(0; 0) có là nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, 1x + 2y ≤ 6.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay M vào cả ba bất phương trình; phải đúng đồng thời.
Lời giải: 0 ≥ 0, 0 ≥ 0 và 1·0 + 2·0 = 0 ≤ 6. M là nghiệm.
Vì sao: Nghiệm của hệ nằm trong giao của mọi miền nghiệm.
Sai ở đâu: Chỉ kiểm tra một bất phương trình trong hệ.
Cách khác: Đánh dấu M trên hình rồi kiểm tra có nằm trong miền giao hay không.
HBPT-NB-05Tìm các đỉnh miền nghiệm của x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 24.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Miền là tam giác trong góc phần tư I; tìm giao với hai trục.
Lời giải: Các đỉnh là O(0;0), A(12;0), B(0;8).
Vì sao: Cho y = 0 được x = 12; cho x = 0 được y = 8.
Sai ở đâu: Đảo hai hoành độ và tung độ của giao điểm.
Cách khác: Giải từng cặp phương trình biên x = 0, y = 0 và ax + by = c.
HBPT-NB-06Trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 1y ≤ 15, tìm giá trị lớn nhất của F = 3x + 4y.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính F tại ba đỉnh của miền tam giác.
Lời giải: F(0;0)=0; F(5;0)=15; F(0;15)=60. Do đó F lớn nhất bằng 60 tại (0;15).
Vì sao: Biểu thức tuyến tính đạt cực trị tại một đỉnh của đa giác miền nghiệm.
Sai ở đâu: Chỉ thử một điểm bên trong miền.
Cách khác: Dịch đường thẳng mức F = k theo chiều tăng của k đến điểm cuối cùng còn chạm miền.
HBPT-NB-07Một xưởng làm x sản phẩm A và y sản phẩm B, với x ≤ 8, y ≤ 5, x + y ≤ 9, x,y ≥ 0. Viết hệ ràng buộc.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mỗi giới hạn trở thành một bất phương trình; các điều kiện phải đồng thời đúng.
Lời giải: {x ≥ 0; y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x + y ≤ 9}.
Vì sao: Từ “và” trong bài toán dẫn tới giao các miền nghiệm.
Sai ở đâu: Gộp các giới hạn riêng thành một bất phương trình duy nhất.
Cách khác: Lập bảng: ràng buộc A, ràng buộc B, tổng năng lực, điều kiện không âm.
HBPT-NB-08Vẽ miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 10, y ≤ 9. Miền có hình gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bốn đường biên song song với hai trục.
Lời giải: Miền là hình chữ nhật có các đỉnh (0;0), (10;0), (10;9), (0;9).
Vì sao: Hai cặp điều kiện chặn x và y trong các đoạn độc lập.
Sai ở đâu: Bỏ các cạnh biên dù dấu là ≤ hoặc ≥.
Cách khác: Viết miền dưới dạng [0;10] × [0;9].
HBPT-NB-09Kiểm tra M(0; 10) có là nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 1y ≤ 12.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay M vào cả ba bất phương trình; phải đúng đồng thời.
Lời giải: 0 ≥ 0, 10 ≥ 0 và 3·0 + 1·10 = 10 ≤ 12. M là nghiệm.
Vì sao: Nghiệm của hệ nằm trong giao của mọi miền nghiệm.
Sai ở đâu: Chỉ kiểm tra một bất phương trình trong hệ.
Cách khác: Đánh dấu M trên hình rồi kiểm tra có nằm trong miền giao hay không.
HBPT-NB-10Tìm các đỉnh miền nghiệm của x ≥ 0, y ≥ 0, 1x + 2y ≤ 10.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Miền là tam giác trong góc phần tư I; tìm giao với hai trục.
Lời giải: Các đỉnh là O(0;0), A(10;0), B(0;5).
Vì sao: Cho y = 0 được x = 10; cho x = 0 được y = 5.
Sai ở đâu: Đảo hai hoành độ và tung độ của giao điểm.
Cách khác: Giải từng cặp phương trình biên x = 0, y = 0 và ax + by = c.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Điểm (0;0) là nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Bất phương trình 2x + 3y ≤ 19 mô tả miền nào so với đường biên?
Gợi ý: Dùng O(0;0) làm điểm thử; đường biên được tính vì có dấu ≤.
Lời giải: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O(0;0).
Giải thích: Vế trái tại O bằng 0 và vế phải dương.
Lỗi cần tránh: Không tô đường biên dù dấu ≤ có nhận dấu bằng.
Cách khác: Chuyển về y ≤ biểu thức bậc nhất của x rồi đọc phía dưới đường thẳng.
TỰ LUẬN 2Trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 1y ≤ 15, tìm giá trị lớn nhất của F = 3x + 4y.
Gợi ý: Tính F tại ba đỉnh của miền tam giác.
Lời giải: F(0;0)=0; F(5;0)=15; F(0;15)=60. Do đó F lớn nhất bằng 60 tại (0;15).
Giải thích: Biểu thức tuyến tính đạt cực trị tại một đỉnh của đa giác miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Chỉ thử một điểm bên trong miền.
Cách khác: Dịch đường thẳng mức F = k theo chiều tăng của k đến điểm cuối cùng còn chạm miền.
TỰ LUẬN 3Trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 36, tìm giá trị lớn nhất của F = 4x + 3y.
Gợi ý: Tính F tại ba đỉnh của miền tam giác.
Lời giải: F(0;0)=0; F(18;0)=72; F(0;12)=36. Do đó F lớn nhất bằng 72 tại (18;0).
Giải thích: Biểu thức tuyến tính đạt cực trị tại một đỉnh của đa giác miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Chỉ thử một điểm bên trong miền.
Cách khác: Dịch đường thẳng mức F = k theo chiều tăng của k đến điểm cuối cùng còn chạm miền.
TỰ LUẬN 4Trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, 1x + 2y ≤ 6, tìm giá trị lớn nhất của F = 1x + 2y.
Gợi ý: Tính F tại ba đỉnh của miền tam giác.
Lời giải: F(0;0)=0; F(6;0)=6; F(0;3)=6. Do đó F lớn nhất bằng 6 tại (6;0).
Giải thích: Biểu thức tuyến tính đạt cực trị tại một đỉnh của đa giác miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Chỉ thử một điểm bên trong miền.
Cách khác: Dịch đường thẳng mức F = k theo chiều tăng của k đến điểm cuối cùng còn chạm miền.
TỰ LUẬN 5Xác định đường biên của bất phương trình 1x + 4y ≤ 16.
Gợi ý: Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng.
Lời giải: Đường biên là 1x + 4y = 16.
Giải thích: Đường biên chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên dấu ≤ hoặc ≥ khi viết phương trình đường biên.
Cách khác: Tìm hai điểm thỏa dấu bằng rồi kẻ đường thẳng qua chúng.
TỰ LUẬN 6Vẽ miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 11, y ≤ 10. Miền có hình gì?
Gợi ý: Bốn đường biên song song với hai trục.
Lời giải: Miền là hình chữ nhật có các đỉnh (0;0), (11;0), (11;10), (0;10).
Giải thích: Hai cặp điều kiện chặn x và y trong các đoạn độc lập.
Lỗi cần tránh: Bỏ các cạnh biên dù dấu là ≤ hoặc ≥.
Cách khác: Viết miền dưới dạng [0;11] × [0;10].
TỰ LUẬN 7Vẽ miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 9, y ≤ 8. Miền có hình gì?
Gợi ý: Bốn đường biên song song với hai trục.
Lời giải: Miền là hình chữ nhật có các đỉnh (0;0), (9;0), (9;8), (0;8).
Giải thích: Hai cặp điều kiện chặn x và y trong các đoạn độc lập.
Lỗi cần tránh: Bỏ các cạnh biên dù dấu là ≤ hoặc ≥.
Cách khác: Viết miền dưới dạng [0;9] × [0;8].
TỰ LUẬN 8Vẽ miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 7, y ≤ 6. Miền có hình gì?
Gợi ý: Bốn đường biên song song với hai trục.
Lời giải: Miền là hình chữ nhật có các đỉnh (0;0), (7;0), (7;6), (0;6).
Giải thích: Hai cặp điều kiện chặn x và y trong các đoạn độc lập.
Lỗi cần tránh: Bỏ các cạnh biên dù dấu là ≤ hoặc ≥.
Cách khác: Viết miền dưới dạng [0;7] × [0;6].
TỰ LUẬN 9Một sản phẩm A tốn 5 giờ, B tốn 7 giờ; tổng thời gian không quá 39 giờ. Gọi x, y là số sản phẩm. Lập bất phương trình thời gian.
Gợi ý: Thời gian dùng = thời gian A + thời gian B; “không quá” dùng ≤.
Lời giải: 5x + 7y ≤ 39, với x ≥ 0, y ≥ 0.
Giải thích: Mỗi biến nhân với mức tiêu hao tương ứng rồi cộng lại.
Lỗi cần tránh: Dùng dấu ≥ cho cụm “không quá”.
Cách khác: Lập bảng hai cột: số lượng – thời gian mỗi sản phẩm – tổng.
TỰ LUẬN 10Tìm các đỉnh miền nghiệm của x ≥ 0, y ≥ 0, 1x + 2y ≤ 6.
Gợi ý: Miền là tam giác trong góc phần tư I; tìm giao với hai trục.
Lời giải: Các đỉnh là O(0;0), A(6;0), B(0;3).
Giải thích: Cho y = 0 được x = 6; cho x = 0 được y = 3.
Lỗi cần tránh: Đảo hai hoành độ và tung độ của giao điểm.
Cách khác: Giải từng cặp phương trình biên x = 0, y = 0 và ax + by = c.
TỰ LUẬN 11Tìm các đỉnh miền nghiệm của x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 1y ≤ 12.
Gợi ý: Miền là tam giác trong góc phần tư I; tìm giao với hai trục.
Lời giải: Các đỉnh là O(0;0), A(4;0), B(0;12).
Giải thích: Cho y = 0 được x = 4; cho x = 0 được y = 12.
Lỗi cần tránh: Đảo hai hoành độ và tung độ của giao điểm.
Cách khác: Giải từng cặp phương trình biên x = 0, y = 0 và ax + by = c.
TỰ LUẬN 12Tìm các đỉnh miền nghiệm của x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 30.
Gợi ý: Miền là tam giác trong góc phần tư I; tìm giao với hai trục.
Lời giải: Các đỉnh là O(0;0), A(15;0), B(0;10).
Giải thích: Cho y = 0 được x = 15; cho x = 0 được y = 10.
Lỗi cần tránh: Đảo hai hoành độ và tung độ của giao điểm.
Cách khác: Giải từng cặp phương trình biên x = 0, y = 0 và ax + by = c.
TỰ LUẬN 13Miền nghiệm của 3x + 6y ≤ 3 có chứa O(0;0) không?
Gợi ý: Thay x = 0, y = 0.
Lời giải: Tại O, vế trái bằng 0; 0 ≤ 3. Vì vậy O thuộc miền nghiệm.
Giải thích: Điểm O thường là điểm thử nhanh nếu không nằm trên đường biên.
Lỗi cần tránh: Dùng O làm điểm thử khi c = 0, tức O nằm ngay trên biên.
Cách khác: Chọn điểm (1;0) nếu O thuộc đường biên.
TỰ LUẬN 14Một xưởng làm x sản phẩm A và y sản phẩm B, với x ≤ 8, y ≤ 5, x + y ≤ 9, x,y ≥ 0. Viết hệ ràng buộc.
Gợi ý: Mỗi giới hạn trở thành một bất phương trình; các điều kiện phải đồng thời đúng.
Lời giải: {x ≥ 0; y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x + y ≤ 9}.
Giải thích: Từ “và” trong bài toán dẫn tới giao các miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Gộp các giới hạn riêng thành một bất phương trình duy nhất.
Cách khác: Lập bảng: ràng buộc A, ràng buộc B, tổng năng lực, điều kiện không âm.
TỰ LUẬN 15Một xưởng làm x sản phẩm A và y sản phẩm B, với x ≤ 8, y ≤ 5, x + y ≤ 9, x,y ≥ 0. Viết hệ ràng buộc.
Gợi ý: Mỗi giới hạn trở thành một bất phương trình; các điều kiện phải đồng thời đúng.
Lời giải: {x ≥ 0; y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x + y ≤ 9}.
Giải thích: Từ “và” trong bài toán dẫn tới giao các miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Gộp các giới hạn riêng thành một bất phương trình duy nhất.
Cách khác: Lập bảng: ràng buộc A, ràng buộc B, tổng năng lực, điều kiện không âm.
TỰ LUẬN 16Một xưởng làm x sản phẩm A và y sản phẩm B, với x ≤ 8, y ≤ 5, x + y ≤ 9, x,y ≥ 0. Viết hệ ràng buộc.
Gợi ý: Mỗi giới hạn trở thành một bất phương trình; các điều kiện phải đồng thời đúng.
Lời giải: {x ≥ 0; y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x + y ≤ 9}.
Giải thích: Từ “và” trong bài toán dẫn tới giao các miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Gộp các giới hạn riêng thành một bất phương trình duy nhất.
Cách khác: Lập bảng: ràng buộc A, ràng buộc B, tổng năng lực, điều kiện không âm.
TỰ LUẬN 17Điểm M(2; 3) có thuộc miền nghiệm của 2x + 2y ≥ 10 không?
Gợi ý: Thay tọa độ M vào vế trái rồi so sánh với vế phải.
Lời giải: 2·2 + 2·3 = 10; 10 ≥ 10. Vậy M thuộc miền nghiệm.
Giải thích: Một cặp số là nghiệm khi thay vào làm bất phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: Thay x và y ngược vị trí hoặc quên dấu của số âm.
Cách khác: Tính hiệu vế trái trừ vế phải rồi xét dấu.
TỰ LUẬN 18Kiểm tra M(6; 8) có là nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 30.
Gợi ý: Thay M vào cả ba bất phương trình; phải đúng đồng thời.
Lời giải: 6 ≥ 0, 8 ≥ 0 và 2·6 + 3·8 = 36 > 30. M không là nghiệm.
Giải thích: Nghiệm của hệ nằm trong giao của mọi miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra một bất phương trình trong hệ.
Cách khác: Đánh dấu M trên hình rồi kiểm tra có nằm trong miền giao hay không.
TỰ LUẬN 19Kiểm tra M(10; 3) có là nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, 1x + 2y ≤ 12.
Gợi ý: Thay M vào cả ba bất phương trình; phải đúng đồng thời.
Lời giải: 10 ≥ 0, 3 ≥ 0 và 1·10 + 2·3 = 16 > 12. M không là nghiệm.
Giải thích: Nghiệm của hệ nằm trong giao của mọi miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra một bất phương trình trong hệ.
Cách khác: Đánh dấu M trên hình rồi kiểm tra có nằm trong miền giao hay không.
TỰ LUẬN 20Kiểm tra M(0; 0) có là nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 1y ≤ 9.
Gợi ý: Thay M vào cả ba bất phương trình; phải đúng đồng thời.
Lời giải: 0 ≥ 0, 0 ≥ 0 và 3·0 + 1·0 = 0 ≤ 9. M là nghiệm.
Giải thích: Nghiệm của hệ nằm trong giao của mọi miền nghiệm.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra một bất phương trình trong hệ.
Cách khác: Đánh dấu M trên hình rồi kiểm tra có nằm trong miền giao hay không.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: HBPT-NB-01, HBPT-NB-02, HBPT-NB-03, HBPT-NB-04, HBPT-NB-05, HBPT-NB-06, HBPT-NB-07, HBPT-NB-08, HBPT-NB-09, HBPT-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- HBPT-NB-01: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
- HBPT-NB-02: 4x + 7y ≤ 34; x,y ≥ 0
- HBPT-NB-03: Thuộc
- HBPT-NB-04: Là nghiệm
- HBPT-NB-05: (0;0), (12;0), (0;8)
- HBPT-NB-06: 60 tại (0;15)
- HBPT-NB-07: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9
- HBPT-NB-08: Hình chữ nhật: (0;0), (10;0), (10;9), (0;9)
- HBPT-NB-09: Là nghiệm
- HBPT-NB-10: (0;0), (10;0), (0;5)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 2
10 câu đại diện: HBPT-NB-11, HBPT-NB-12, HBPT-NB-13, HBPT-NB-14, HBPT-NB-15, HBPT-NB-16, HBPT-NB-17, HBPT-NB-18, HBPT-NB-19, HBPT-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- HBPT-NB-11: 72 tại (18;0)
- HBPT-NB-12: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9
- HBPT-NB-13: Hình chữ nhật: (0;0), (8;0), (8;7), (0;7)
- HBPT-NB-14: Không là nghiệm
- HBPT-NB-15: (0;0), (6;0), (0;18)
- HBPT-NB-16: 6 tại (6;0)
- HBPT-NB-17: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9
- HBPT-NB-18: Hình chữ nhật: (0;0), (6;0), (6;5), (0;5)
- HBPT-NB-19: Là nghiệm
- HBPT-NB-20: (0;0), (9;0), (0;6)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: HBPT-TH-01, HBPT-TH-02, HBPT-TH-03, HBPT-TH-04, HBPT-TH-05, HBPT-TH-06, HBPT-TH-07, HBPT-TH-08, HBPT-TH-09, HBPT-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- HBPT-TH-01: 1x + 4y = 16
- HBPT-TH-02: Không
- HBPT-TH-03: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
- HBPT-TH-04: 48 tại (0;12)
- HBPT-TH-05: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9
- HBPT-TH-06: Hình chữ nhật: (0;0), (11;0), (11;10), (0;10)
- HBPT-TH-07: Là nghiệm
- HBPT-TH-08: (0;0), (8;0), (0;4)
- HBPT-TH-09: 45 tại (15;0)
- HBPT-TH-10: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: HBPT-TH-11, HBPT-TH-12, HBPT-TH-13, HBPT-TH-14, HBPT-TH-15, HBPT-TH-16, HBPT-TH-17, HBPT-TH-18, HBPT-TH-19, HBPT-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- HBPT-TH-11: Hình chữ nhật: (0;0), (9;0), (9;8), (0;8)
- HBPT-TH-12: Không là nghiệm
- HBPT-TH-13: (0;0), (5;0), (0;15)
- HBPT-TH-14: 48 tại (12;0)
- HBPT-TH-15: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9
- HBPT-TH-16: Hình chữ nhật: (0;0), (7;0), (7;6), (0;6)
- HBPT-TH-17: Là nghiệm
- HBPT-TH-18: (0;0), (18;0), (0;12)
- HBPT-TH-19: 36 tại (0;9)
- HBPT-TH-20: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: HBPT-VD-01, HBPT-VD-02, HBPT-VD-03, HBPT-VD-04, HBPT-VD-05, HBPT-VD-06, HBPT-VD-07, HBPT-VD-08, HBPT-VD-09, HBPT-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- HBPT-VD-01: 5x + 7y ≤ 39; x,y ≥ 0
- HBPT-VD-02: Thuộc
- HBPT-VD-03: 2x + 4y = -13
- HBPT-VD-04: Hình chữ nhật: (0;0), (12;0), (12;11), (0;11)
- HBPT-VD-05: Là nghiệm
- HBPT-VD-06: (0;0), (6;0), (0;3)
- HBPT-VD-07: 24 tại (12;0)
- HBPT-VD-08: x,y ≥ 0; x ≤ 8; y ≤ 5; x+y ≤ 9
- HBPT-VD-09: Hình chữ nhật: (0;0), (10;0), (10;9), (0;9)
- HBPT-VD-10: Là nghiệm
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Học 25 phút, nghỉ 5 phút; mỗi buổi chỉ cần một mục tiêu rõ.
- Hỏi con “Con đang dùng định nghĩa nào?” thay vì hỏi ngay đáp số.
- Nếu con sai lặp lại, yêu cầu con tạo một ví dụ nhỏ hơn và kiểm bằng lời.
- Không dùng điểm số một bài để gắn nhãn năng lực; theo dõi loại lỗi trong 2–3 tuần.
- Dấu hiệu đã hiểu: con giải thích được vì sao cách sai không dùng được.
- Mở đầu bằng tình huống có mâu thuẫn nhận thức, sau đó mới chuẩn hóa kí hiệu.
- Tổ chức dự đoán cá nhân → trao đổi cặp → phản biện toàn lớp.
- Yêu cầu học sinh nêu điều kiện, đơn vị và trường hợp biên trước khi tính.
- Dùng phiếu ra về 3 phút để phát hiện đúng loại lỗ hổng.
- Chấm cả lập luận và thao tác tự kiểm, không chỉ chấm kết quả cuối.
- Nhãn “tham khảo cấu trúc Hà Nội” chỉ dùng cho đề nội bộ mô phỏng, không gọi là đề chính thức.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.