Tách đúng nguyên nhân lỗi
Phân biệt lỗi khái niệm, điều kiện, công thức, thao tác và diễn giải.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài tập cuối Chương 1
Kiểm định toàn mạch góc–công thức–đồ thị–phương trình; đúng 15 câu trong 100 câu gọi lại nền Toán 10 và các nút trước đó.
Không chỉ ra đáp án; phải chỉ ra công cụ, điều kiện và phép kiểm
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Nhìn mạch cả chương
Một câu tổng hợp phải gọi đúng nhiều nút kiến thức theo thứ tự.
Đánh giá năng lực
Có nhiều lựa chọn, đúng–sai, trả lời ngắn và tự luận; đề nội bộ ghi rõ tính tham khảo.
Chỉ qua khi sửa được lỗi
Điểm số chưa đủ; học sinh phải giải thích ba câu sai gần nhất.
- Đổi đúng độ–radian.
- Biểu diễn góc lượng giác và góc cùng điểm cuối.
- Đọc sin, cos, tan, cot trên đường tròn.
- Dùng đúng các hệ thức lượng giác cơ bản.
- Dùng đúng công thức cộng–hiệu.
- Suy ra công thức nhân đôi.
- Biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
- Chọn công thức ngắn nhất theo dữ kiện.
- 15% ôn nối từ chương hoặc lớp trước.
- Giá trị lượng giác góc 0°–180°, tọa độ và đường tròn đơn vị
- Bài 1, góc đặc biệt, hệ thức sin²α + cos²α = 1
- Bài 1–2, hàm số, tập xác định và phép biến đổi đồ thị
- Bài 1–3, đồ thị và nghiệm phương trình
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Góc lượng giác
Hiểu đơn giản: Góc có chiều quay và có thể quay nhiều vòng.
Số đo tổng quát α + k·360° hoặc α + 2kπ, k∈ℤ.
Ví dụ: 30° và 390° cùng điểm cuối.
Hình nên dùng: Đường tròn có mũi tên chiều dương.
Mô phỏng: Kéo tia quay qua nhiều vòng.
Mẹo nhớ: Cùng điểm cuối: cộng nguyên vòng.
Sai lầm: Cộng π thay vì 2π.
Ghi chú: Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ.
Đơn vị radian
Hiểu đơn giản: Radian đo góc bằng tỉ số độ dài cung trên bán kính.
180° = π rad; 1° = π/180 rad.
Ví dụ: 60° = π/3 rad.
Hình nên dùng: Cung tròn có độ dài bằng bán kính.
Mô phỏng: Thanh trượt đổi độ–radian.
Mẹo nhớ: Độ nhân π/180; rad nhân 180/π.
Sai lầm: Giữ cả kí hiệu ° và rad.
Ghi chú: Máy tính phải đúng chế độ.
Giá trị trên đường tròn
Hiểu đơn giản: Điểm M(cos α; sin α) nằm trên đường tròn đơn vị.
sin²α + cos²α = 1; tan α = sin α/cos α; cot α = cos α/sin α.
Ví dụ: M(−1/2;√3/2) ứng với cos α=−1/2, sin α=√3/2.
Hình nên dùng: Đường tròn có trục dấu.
Mô phỏng: Kéo điểm M và đọc tọa độ.
Mẹo nhớ: Hoành cos, tung sin.
Sai lầm: Đổi hoành–tung.
Ghi chú: Tan, cot cần mẫu khác 0.
Công thức cộng
Hiểu đơn giản: Tách góc tổng–hiệu thành các góc quen thuộc.
sin(a±b)=sina cosb±cosa sinb; cos(a±b)=cosa cosb∓sina sinb.
Ví dụ: sin75°=sin(45°+30°).
Hình nên dùng: Hai cung ghép trên đường tròn.
Mô phỏng: Chọn a,b rồi xem từng hạng.
Mẹo nhớ: Sin giữ dấu; cos đổi dấu.
Sai lầm: Viết cos(a+b) với dấu cộng giữa hai tích.
Ghi chú: Công thức đúng với mọi a,b.
Công thức nhân đôi
Hiểu đơn giản: Cho hai góc trong công thức cộng bằng nhau.
sin2a=2sina cosa; cos2a=cos²a−sin²a=2cos²a−1=1−2sin²a.
Ví dụ: Nếu sin a=3/5, cos a=4/5 thì sin2a=24/25.
Hình nên dùng: Sơ đồ ba dạng cos2a.
Mô phỏng: Thay sin, cos quan sát ba kết quả trùng.
Mẹo nhớ: Chọn dạng khớp dữ kiện.
Sai lầm: Quên bình phương.
Ghi chú: Ba dạng cos2a hoàn toàn tương đương.
Biến đổi tích–tổng
Hiểu đơn giản: Đổi hình thức để rút gọn hoặc giải phương trình.
2cosa cosb=cos(a−b)+cos(a+b); 2sina sinb=cos(a−b)−cos(a+b).
Ví dụ: 2cos3x cosx = cos2x + cos4x.
Hình nên dùng: Cặp sóng chồng lên nhau.
Mô phỏng: Thanh trượt hai góc.
Mẹo nhớ: Tích cần hệ số 2.
Sai lầm: Làm mất hệ số 1/2.
Ghi chú: Dùng khi giúp giảm bậc hoặc tách tần số.
Sin và cos
Hiểu đơn giản: Tung độ–hoành độ của điểm quay biến thành hàm theo thời gian.
D=ℝ; T=2π; sin lẻ, cos chẵn; tập giá trị [−1;1].
Ví dụ: sin(x+2π)=sinx.
Hình nên dùng: Đường tròn nối với đồ thị sóng.
Mô phỏng: Kéo điểm quay sinh đồ thị.
Mẹo nhớ: Sin bắt đầu 0; cos bắt đầu 1.
Sai lầm: Đổi hai đồ thị.
Ghi chú: Đồ thị lặp vô hạn.
Tan và cot
Hiểu đơn giản: Là tỉ số nên có điểm không xác định.
tan=sin/cos, D=ℝ\{π/2+kπ}; cot=cos/sin, D=ℝ\{kπ}; T=π.
Ví dụ: tan0=0 nhưng cot0 không xác định.
Hình nên dùng: Đồ thị với đường tiệm cận.
Mô phỏng: Kéo x gần điểm loại.
Mẹo nhớ: Mẫu bằng 0 thì loại.
Sai lầm: Vẽ đường qua tiệm cận.
Ghi chú: Mỗi nhánh đơn điệu tăng trong miền chuẩn.
Đọc đồ thị
Hiểu đơn giản: Mỗi điểm cho một cặp đầu vào–đầu ra.
Nghiệm f(x)=m là hoành độ giao của y=f(x) và y=m.
Ví dụ: sinx=1/2 có hai giao điểm mỗi chu kì.
Hình nên dùng: Đường ngang cắt sóng.
Mô phỏng: Thay m và đếm giao điểm.
Mẹo nhớ: Đồ thị giúp kiểm số nghiệm.
Sai lầm: Đếm cả điểm ngoài miền.
Ghi chú: Đồ thị cho trực giác; nghiệm chính xác cần công thức.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Đổi đơn vị, thu gọn góc và tự kiểm hệ thức
Nhập một góc bất kì. Công cụ giữ nguyên số vòng quay, đưa góc về [0°; 360°) và chỉ tính tan khi cos khác 0.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtMẫu tư duy 1: C1-NB-04
Đề bài: Giải phương trình tan x = 0.
Phân tích: Tan có chu kì π: x = arctan(a) + kπ.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- x = kπ, k∈ℤ
- Kết luận: x = kπ, k∈ℤ.
Vì sao: Mọi nghiệm cách nhau một chu kì π.
Cách khác: Kiểm một nghiệm đại diện rồi cộng kπ.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Viết +2kπ như phương trình sin/cos.
02 • Nhận biếtMẫu tư duy 2: C1-NB-05
Đề bài: Tính chính xác sin 135° và cos 135°.
Phân tích: Quy về góc đặc biệt và xét dấu theo vị trí tia cuối.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- sin 135° = √2/2; cos 135° = −√2/2.
- Kết luận: sin = √2/2; cos = −√2/2.
Vì sao: Giá trị tuyệt đối lấy từ tam giác đặc biệt; dấu lấy từ góc phần tư.
Cách khác: Đọc trực tiếp tọa độ điểm trên đường tròn lượng giác.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Đúng giá trị nhưng sai dấu.
03 • Thông hiểuMẫu tư duy 3: C1-NB-06
Đề bài: Biết sin α = 7/25, cos α = 24/25. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.
Phân tích: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- sin²α + cos²α = (7² + 24²)/25² = 625/625 = 1.
- Kết luận: 1.
Vì sao: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 49 + 576 = 625.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
04 • Thông hiểuMẫu tư duy 4: C1-NB-07
Đề bài: Tìm tập xác định của y = sin x.
Phân tích: Sin, cos xác định mọi x; tan cần cos x ≠ 0; cot cần sin x ≠ 0.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Tập xác định: ℝ.
- Kết luận: ℝ.
Vì sao: Điểm loại là nơi mẫu của tỉ số lượng giác bằng 0.
Cách khác: Viết hàm dưới dạng sin/cos hoặc cos/sin rồi đặt mẫu khác 0.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Loại nghiệm của tử thay vì mẫu.
05 • Vận dụngMẫu tư duy 5: C1-NB-08
Đề bài: Giải cos x = √2/2 trên [0; 2π).
Phân tích: Tìm các điểm có hoành độ bằng giá trị đã cho.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Nghiệm là x = π/4; 7π/4.
- Kết luận: π/4; 7π/4.
Vì sao: Hai nghiệm đối xứng qua trục Ox khi giá trị không ở biên.
Cách khác: Dùng đồ thị y = cos x.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Lấy cả 2π dù khoảng bên phải mở.
06 • Vận dụngMẫu tư duy 6: C1-NB-09
Đề bài: Xác định dấu của sin 225° và cos 225°.
Phân tích: Đặt tia cuối trên đường tròn lượng giác: sin là tung độ, cos là hoành độ.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- sin 225° âm; cos 225° âm.
- Kết luận: sin âm; cos âm.
Vì sao: Dấu được đọc từ tọa độ điểm biểu diễn trên đường tròn đơn vị.
Cách khác: Phác trục Ox, Oy và đánh dấu vị trí tia cuối.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Học thuộc tên góc phần tư nhưng đổi nhầm vai trò hoành độ–tung độ.
07 • Vận dụng caoMẫu tư duy 7: C1-NB-10
Đề bài: Tính cos(45° + 45°) bằng công thức cộng.
Phân tích: Viết công thức trước, rồi mới thay giá trị góc đặc biệt.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- cos(45° + 45°) = 0.
- Kết luận: 0.
Vì sao: Công thức cộng giúp quy góc tổng–hiệu về các giá trị đã biết.
Cách khác: Nhận ra góc trong ngoặc rồi kiểm trực tiếp bằng bảng góc đặc biệt.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Đổi nhầm dấu trong công thức cos(a ± b).
08 • Vận dụng caoMẫu tư duy 8: C1-NB-11
Đề bài: Cho y = sin x. Nêu chu kì cơ bản.
Phân tích: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Chu kì cơ bản của y = sin x là 2π.
- Kết luận: 2π.
Vì sao: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
09 • Thực tếMẫu tư duy 9: C1-NB-12
Đề bài: Giải sin x = 1/2 trên đoạn [0; 2π].
Phân tích: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Các nghiệm trên [0;2π] là x = π/6; 5π/6.
- Kết luận: π/6; 5π/6.
Vì sao: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
10 • Thực tếMẫu tư duy 10: C1-NB-13
Đề bài: Tìm số đo trong [0°; 360°) cùng điểm cuối với góc 1395°.
Phân tích: Trừ đi một số nguyên lần 360°.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- 1395° − 3·360° = 315°.
- Kết luận: 315°.
Vì sao: Hai góc hơn kém nhau k·360° có cùng tia cuối.
Cách khác: Lấy phần dư của 1395 khi chia cho 360.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Trừ 180° nên thu được tia đối, không phải cùng tia cuối.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Giá trị lượng giác của góc lượng giác trong gia đình
Xác định mô hình, điều kiện, kết quả và giới hạn diễn giải trong bối cảnh vòng quay, hướng chuyển động, dao động tuần hoàn và định vị góc.
Công thức lượng giác trong trường học
Xác định mô hình, điều kiện, kết quả và giới hạn diễn giải trong bối cảnh tổng hợp dao động, xử lí tín hiệu, góc nghiêng và chuyển động quay.
Hàm số lượng giác trong đời sống
Xác định mô hình, điều kiện, kết quả và giới hạn diễn giải trong bối cảnh thủy triều, âm thanh, điện xoay chiều, nhịp sinh học và mùa vụ.
Phương trình lượng giác cơ bản trong khoa học
Xác định mô hình, điều kiện, kết quả và giới hạn diễn giải trong bối cảnh thời điểm thủy triều, pha dao động, lịch quay và tín hiệu tuần hoàn.
Giá trị lượng giác của góc lượng giác trong kỹ thuật
Xác định mô hình, điều kiện, kết quả và giới hạn diễn giải trong bối cảnh vòng quay, hướng chuyển động, dao động tuần hoàn và định vị góc.
Công thức lượng giác trong sản xuất
Xác định mô hình, điều kiện, kết quả và giới hạn diễn giải trong bối cảnh tổng hợp dao động, xử lí tín hiệu, góc nghiêng và chuyển động quay.
Hàm số lượng giác trong thiên nhiên
Xác định mô hình, điều kiện, kết quả và giới hạn diễn giải trong bối cảnh thủy triều, âm thanh, điện xoay chiều, nhịp sinh học và mùa vụ.
Phương trình lượng giác cơ bản trong nghề nghiệp
Xác định mô hình, điều kiện, kết quả và giới hạn diễn giải trong bối cảnh thời điểm thủy triều, pha dao động, lịch quay và tín hiệu tuần hoàn.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Góc lượng giác là gì?
Góc có chiều quay và có thể quay nhiều vòng. Mốc chính xác cần nhớ: Số đo tổng quát α + k·360° hoặc α + 2kπ, k∈ℤ. Hãy thử ví dụ: 30° và 390° cùng điểm cuối. Lỗi cần chặn: Cộng π thay vì 2π.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Lẫn độ với radian
Cộng π thay vì 2π. Cách sửa: Cùng điểm cuối: cộng nguyên vòng. Sau đó kiểm bằng: Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ.
Trừ 180° thay vì 360°
Giữ cả kí hiệu ° và rad. Cách sửa: Độ nhân π/180; rad nhân 180/π. Sau đó kiểm bằng: Máy tính phải đúng chế độ.
Đổi vai trò sin–cos
Đổi hoành–tung. Cách sửa: Hoành cos, tung sin. Sau đó kiểm bằng: Tan, cot cần mẫu khác 0.
Bỏ điều kiện của tan
Cộng π thay vì 2π. Cách sửa: Cùng điểm cuối: cộng nguyên vòng. Sau đó kiểm bằng: Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ.
Bỏ điều kiện của cot
Giữ cả kí hiệu ° và rad. Cách sửa: Độ nhân π/180; rad nhân 180/π. Sau đó kiểm bằng: Máy tính phải đúng chế độ.
Sai dấu góc phần tư
Đổi hoành–tung. Cách sửa: Hoành cos, tung sin. Sau đó kiểm bằng: Tan, cot cần mẫu khác 0.
Quên k∈ℤ
Cộng π thay vì 2π. Cách sửa: Cùng điểm cuối: cộng nguyên vòng. Sau đó kiểm bằng: Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ.
Nhầm góc âm
Giữ cả kí hiệu ° và rad. Cách sửa: Độ nhân π/180; rad nhân 180/π. Sau đó kiểm bằng: Máy tính phải đúng chế độ.
Không rút gọn phân số π
Đổi hoành–tung. Cách sửa: Hoành cos, tung sin. Sau đó kiểm bằng: Tan, cot cần mẫu khác 0.
Dùng máy tính sai chế độ DEG/RAD
Cộng π thay vì 2π. Cách sửa: Cùng điểm cuối: cộng nguyên vòng. Sau đó kiểm bằng: Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ.
Lẫn độ với radian – tình huống 11
Giữ cả kí hiệu ° và rad. Cách sửa: Độ nhân π/180; rad nhân 180/π. Sau đó kiểm bằng: Máy tính phải đúng chế độ.
Trừ 180° thay vì 360° – tình huống 12
Đổi hoành–tung. Cách sửa: Hoành cos, tung sin. Sau đó kiểm bằng: Tan, cot cần mẫu khác 0.
Đổi vai trò sin–cos – tình huống 13
Cộng π thay vì 2π. Cách sửa: Cùng điểm cuối: cộng nguyên vòng. Sau đó kiểm bằng: Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ.
Bỏ điều kiện của tan – tình huống 14
Giữ cả kí hiệu ° và rad. Cách sửa: Độ nhân π/180; rad nhân 180/π. Sau đó kiểm bằng: Máy tính phải đúng chế độ.
Bỏ điều kiện của cot – tình huống 15
Đổi hoành–tung. Cách sửa: Hoành cos, tung sin. Sau đó kiểm bằng: Tan, cot cần mẫu khác 0.
Sai dấu góc phần tư – tình huống 16
Cộng π thay vì 2π. Cách sửa: Cùng điểm cuối: cộng nguyên vòng. Sau đó kiểm bằng: Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ.
Quên k∈ℤ – tình huống 17
Giữ cả kí hiệu ° và rad. Cách sửa: Độ nhân π/180; rad nhân 180/π. Sau đó kiểm bằng: Máy tính phải đúng chế độ.
Nhầm góc âm – tình huống 18
Đổi hoành–tung. Cách sửa: Hoành cos, tung sin. Sau đó kiểm bằng: Tan, cot cần mẫu khác 0.
Không rút gọn phân số π – tình huống 19
Cộng π thay vì 2π. Cách sửa: Cùng điểm cuối: cộng nguyên vòng. Sau đó kiểm bằng: Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ.
Dùng máy tính sai chế độ DEG/RAD – tình huống 20
Giữ cả kí hiệu ° và rad. Cách sửa: Độ nhân π/180; rad nhân 180/π. Sau đó kiểm bằng: Máy tính phải đúng chế độ.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Khóa điều kiện trước
Viết miền xác định, quy ước chỉ số hoặc điều kiện dữ liệu trước khi biến đổi.
Một công thức – một ý nghĩa
Không học bảng rời; nói được mỗi đại lượng trong công thức đại diện cho điều gì.
Dùng hai biểu diễn
Đại số phải được kiểm bằng đồ thị, đường tròn, bảng hoặc tình huống thực tế.
Dự đoán trước khi bấm máy
Ước lượng dấu, khoảng giá trị và cỡ kết quả để phát hiện thao tác sai.
Sổ lỗi 1–7–30
Ghi nguyên nhân lỗi và gọi lại sau 1 ngày, 7 ngày, 30 ngày.
Giải thích thành lời
Nếu chưa giải thích được vì sao dùng công thức thì chưa được coi là đã thuộc.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Bài tập cuối Chương 11 2 3 4 5 6
Góc lượng giácSố đo tổng quát α + k·360° hoặc α + 2kπ, k∈ℤ. Cùng điểm cuối: cộng nguyên vòng.
Đơn vị radian180° = π rad; 1° = π/180 rad. Độ nhân π/180; rad nhân 180/π.
Giá trị trên đường trònsin²α + cos²α = 1; tan α = sin α/cos α; cot α = cos α/sin α. Hoành cos, tung sin.
Công thức cộngsin(a±b)=sina cosb±cosa sinb; cos(a±b)=cosa cosb∓sina sinb. Sin giữ dấu; cos đổi dấu.
Công thức nhân đôisin2a=2sina cosa; cos2a=cos²a−sin²a=2cos²a−1=1−2sin²a. Chọn dạng khớp dữ kiện.
Biến đổi tích–tổng2cosa cosb=cos(a−b)+cos(a+b); 2sina sinb=cos(a−b)−cos(a+b). Tích cần hệ số 2.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
C1-NB-01Đổi góc 45° sang radian.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân số đo độ với π/180 rồi rút gọn.
Lời giải: 45° = 45π/180 = π/4 rad.
Vì sao: Độ và radian là hai đơn vị của cùng một góc; 180° = π rad.
Sai ở đâu: Viết thêm kí hiệu ° sau kết quả radian hoặc quên rút gọn phân số.
Cách khác: Rút gọn tỉ số 45/180 trước, sau đó gắn π.
C1-NB-02Biết sin α = 7/25, cos α = 24/25. Tính tan α.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tan α = sin α/cos α vì cos α ≠ 0.
Lời giải: tan α = (7/25):(24/25) = 7/24 ≈ 0,2917.
Vì sao: Hai phân số có cùng mẫu nên tỉ số bằng tỉ số hai tử.
Sai ở đâu: Nhân sin với cos hoặc đảo tan thành cos/sin.
Cách khác: Dùng tam giác vuông: tan = cạnh đối/cạnh kề.
C1-NB-03Xét tính chẵn–lẻ của y = sin x.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính f(−x) và so với f(x), −f(x).
Lời giải: y = sin x là hàm lẻ.
Vì sao: Cos đối xứng qua Oy; sin, tan, cot đối xứng qua gốc tọa độ.
Sai ở đâu: Nhìn đồ thị không đúng tỉ lệ rồi kết luận.
Cách khác: Dùng các hệ thức sin(−x), cos(−x), tan(−x), cot(−x).
C1-NB-04Giải phương trình tan x = 0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tan có chu kì π: x = arctan(a) + kπ.
Lời giải: x = kπ, k∈ℤ
Vì sao: Mọi nghiệm cách nhau một chu kì π.
Sai ở đâu: Viết +2kπ như phương trình sin/cos.
Cách khác: Kiểm một nghiệm đại diện rồi cộng kπ.
C1-NB-05Tính chính xác sin 135° và cos 135°.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Quy về góc đặc biệt và xét dấu theo vị trí tia cuối.
Lời giải: sin 135° = √2/2; cos 135° = −√2/2.
Vì sao: Giá trị tuyệt đối lấy từ tam giác đặc biệt; dấu lấy từ góc phần tư.
Sai ở đâu: Đúng giá trị nhưng sai dấu.
Cách khác: Đọc trực tiếp tọa độ điểm trên đường tròn lượng giác.
C1-NB-06Biết sin α = 7/25, cos α = 24/25. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Lời giải: sin²α + cos²α = (7² + 24²)/25² = 625/625 = 1.
Vì sao: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 49 + 576 = 625.
C1-NB-07Tìm tập xác định của y = sin x.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Sin, cos xác định mọi x; tan cần cos x ≠ 0; cot cần sin x ≠ 0.
Lời giải: Tập xác định: ℝ.
Vì sao: Điểm loại là nơi mẫu của tỉ số lượng giác bằng 0.
Sai ở đâu: Loại nghiệm của tử thay vì mẫu.
Cách khác: Viết hàm dưới dạng sin/cos hoặc cos/sin rồi đặt mẫu khác 0.
C1-NB-08Giải cos x = √2/2 trên [0; 2π).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tìm các điểm có hoành độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Nghiệm là x = π/4; 7π/4.
Vì sao: Hai nghiệm đối xứng qua trục Ox khi giá trị không ở biên.
Sai ở đâu: Lấy cả 2π dù khoảng bên phải mở.
Cách khác: Dùng đồ thị y = cos x.
C1-NB-09Xác định dấu của sin 225° và cos 225°.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đặt tia cuối trên đường tròn lượng giác: sin là tung độ, cos là hoành độ.
Lời giải: sin 225° âm; cos 225° âm.
Vì sao: Dấu được đọc từ tọa độ điểm biểu diễn trên đường tròn đơn vị.
Sai ở đâu: Học thuộc tên góc phần tư nhưng đổi nhầm vai trò hoành độ–tung độ.
Cách khác: Phác trục Ox, Oy và đánh dấu vị trí tia cuối.
C1-NB-10Tính cos(45° + 45°) bằng công thức cộng.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Viết công thức trước, rồi mới thay giá trị góc đặc biệt.
Lời giải: cos(45° + 45°) = 0.
Vì sao: Công thức cộng giúp quy góc tổng–hiệu về các giá trị đã biết.
Sai ở đâu: Đổi nhầm dấu trong công thức cos(a ± b).
Cách khác: Nhận ra góc trong ngoặc rồi kiểm trực tiếp bằng bảng góc đặc biệt.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Cho y = sin x. Nêu chu kì cơ bản.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Đổi góc 45° sang radian.
Gợi ý: Nhân số đo độ với π/180 rồi rút gọn.
Lời giải: 45° = 45π/180 = π/4 rad.
Giải thích: Độ và radian là hai đơn vị của cùng một góc; 180° = π rad.
Lỗi cần tránh: Viết thêm kí hiệu ° sau kết quả radian hoặc quên rút gọn phân số.
Cách khác: Rút gọn tỉ số 45/180 trước, sau đó gắn π.
TỰ LUẬN 2Biết sin α = 7/25, cos α = 24/25. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.
Gợi ý: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Lời giải: sin²α + cos²α = (7² + 24²)/25² = 625/625 = 1.
Giải thích: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 49 + 576 = 625.
TỰ LUẬN 3Cho y = sin x. Nêu chu kì cơ bản.
Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Lời giải: Chu kì cơ bản của y = sin x là 2π.
Giải thích: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Lỗi cần tránh: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
TỰ LUẬN 4Giải sin x = 0 trên đoạn [0; 2π].
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = 0; π; 2π.
Giải thích: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Lỗi cần tránh: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
TỰ LUẬN 5Biết sin α = 8/17, cos α = 15/17. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.
Gợi ý: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Lời giải: sin²α + cos²α = (8² + 15²)/17² = 289/289 = 1.
Giải thích: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 64 + 225 = 289.
TỰ LUẬN 6Cho y = cot x. Nêu chu kì cơ bản.
Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Lời giải: Chu kì cơ bản của y = cot x là π.
Giải thích: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Lỗi cần tránh: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
TỰ LUẬN 7Giải sin x = 0 trên đoạn [0; 2π].
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = 0; π; 2π.
Giải thích: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Lỗi cần tránh: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
TỰ LUẬN 8Đổi góc 120° sang radian.
Gợi ý: Nhân số đo độ với π/180 rồi rút gọn.
Lời giải: 120° = 120π/180 = 2π/3 rad.
Giải thích: Độ và radian là hai đơn vị của cùng một góc; 180° = π rad.
Lỗi cần tránh: Viết thêm kí hiệu ° sau kết quả radian hoặc quên rút gọn phân số.
Cách khác: Rút gọn tỉ số 120/180 trước, sau đó gắn π.
TỰ LUẬN 9Cho y = tan x. Nêu chu kì cơ bản.
Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Lời giải: Chu kì cơ bản của y = tan x là π.
Giải thích: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Lỗi cần tránh: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
TỰ LUẬN 10Giải sin x = 0 trên đoạn [0; 2π].
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = 0; π; 2π.
Giải thích: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Lỗi cần tránh: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
TỰ LUẬN 11Đổi góc 90° sang radian.
Gợi ý: Nhân số đo độ với π/180 rồi rút gọn.
Lời giải: 90° = 90π/180 = π/2 rad.
Giải thích: Độ và radian là hai đơn vị của cùng một góc; 180° = π rad.
Lỗi cần tránh: Viết thêm kí hiệu ° sau kết quả radian hoặc quên rút gọn phân số.
Cách khác: Rút gọn tỉ số 90/180 trước, sau đó gắn π.
TỰ LUẬN 12Biết sin α = 5/13, cos α = 12/13. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.
Gợi ý: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Lời giải: sin²α + cos²α = (5² + 12²)/13² = 169/169 = 1.
Giải thích: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 25 + 144 = 169.
TỰ LUẬN 13Giải sin x = 0 trên đoạn [0; 2π].
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = 0; π; 2π.
Giải thích: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Lỗi cần tránh: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
TỰ LUẬN 14Đổi góc 60° sang radian.
Gợi ý: Nhân số đo độ với π/180 rồi rút gọn.
Lời giải: 60° = 60π/180 = π/3 rad.
Giải thích: Độ và radian là hai đơn vị của cùng một góc; 180° = π rad.
Lỗi cần tránh: Viết thêm kí hiệu ° sau kết quả radian hoặc quên rút gọn phân số.
Cách khác: Rút gọn tỉ số 60/180 trước, sau đó gắn π.
TỰ LUẬN 15Biết sin α = 3/5, cos α = 4/5. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.
Gợi ý: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Lời giải: sin²α + cos²α = (3² + 4²)/5² = 25/25 = 1.
Giải thích: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 9 + 16 = 25.
TỰ LUẬN 16Cho y = cos x. Nêu chu kì cơ bản.
Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Lời giải: Chu kì cơ bản của y = cos x là 2π.
Giải thích: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Lỗi cần tránh: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
TỰ LUẬN 17Đổi góc 45° sang radian.
Gợi ý: Nhân số đo độ với π/180 rồi rút gọn.
Lời giải: 45° = 45π/180 = π/4 rad.
Giải thích: Độ và radian là hai đơn vị của cùng một góc; 180° = π rad.
Lỗi cần tránh: Viết thêm kí hiệu ° sau kết quả radian hoặc quên rút gọn phân số.
Cách khác: Rút gọn tỉ số 45/180 trước, sau đó gắn π.
TỰ LUẬN 18Biết sin α = 7/25, cos α = 24/25. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.
Gợi ý: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Lời giải: sin²α + cos²α = (7² + 24²)/25² = 625/625 = 1.
Giải thích: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 49 + 576 = 625.
TỰ LUẬN 19Cho y = sin x. Nêu chu kì cơ bản.
Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Lời giải: Chu kì cơ bản của y = sin x là 2π.
Giải thích: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Lỗi cần tránh: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
TỰ LUẬN 20Giải sin x = 0 trên đoạn [0; 2π].
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = 0; π; 2π.
Giải thích: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Lỗi cần tránh: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: C1-NB-01, C1-NB-02, C1-NB-03, C1-NB-04, C1-NB-05, C1-NB-06, C1-NB-07, C1-NB-08, C1-NB-09, C1-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C1-NB-01: π/4 rad
- C1-NB-02: 7/24
- C1-NB-03: lẻ
- C1-NB-04: x = kπ, k∈ℤ
- C1-NB-05: sin = √2/2; cos = −√2/2
- C1-NB-06: 1
- C1-NB-07: ℝ
- C1-NB-08: π/4; 7π/4
- C1-NB-09: sin âm; cos âm
- C1-NB-10: 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 1
10 câu đại diện: C1-NB-11, C1-NB-12, C1-NB-13, C1-NB-14, C1-NB-15, C1-NB-16, C1-NB-17, C1-NB-18, C1-NB-19, C1-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C1-NB-11: 2π
- C1-NB-12: π/6; 5π/6
- C1-NB-13: 315°
- C1-NB-14: 527/625
- C1-NB-15: [−1;1]
- C1-NB-16: 0; π; 2π
- C1-NB-17: 135°
- C1-NB-18: 336/625
- C1-NB-19: 1
- C1-NB-20: 0; π/2; π; 3π/2; 2π
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: C1-TH-01, C1-TH-02, C1-TH-03, C1-TH-04, C1-TH-05, C1-TH-06, C1-TH-07, C1-TH-08, C1-TH-09, C1-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C1-TH-01: 1
- C1-TH-02: ℝ \ {kπ | k∈ℤ}
- C1-TH-03: π/4; 7π/4
- C1-TH-04: sin âm; cos âm
- C1-TH-05: 1
- C1-TH-06: π
- C1-TH-07: π/6; 5π/6
- C1-TH-08: 300°
- C1-TH-09: 161/289
- C1-TH-10: ℝ
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: C1-TH-11, C1-TH-12, C1-TH-13, C1-TH-14, C1-TH-15, C1-TH-16, C1-TH-17, C1-TH-18, C1-TH-19, C1-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C1-TH-11: 0; π; 2π
- C1-TH-12: 120°
- C1-TH-13: 240/289
- C1-TH-14: √3/2
- C1-TH-15: 0; π/2; π; 3π/2; 2π
- C1-TH-16: 2π/3 rad
- C1-TH-17: 8/15
- C1-TH-18: lẻ
- C1-TH-19: x = −π/4 + kπ, k∈ℤ
- C1-TH-20: sin = −1/2; cos = −√3/2
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: C1-VD-01, C1-VD-02, C1-VD-03, C1-VD-04, C1-VD-05, C1-VD-06, C1-VD-07, C1-VD-08, C1-VD-09, C1-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C1-VD-01: π
- C1-VD-02: π/6; 5π/6
- C1-VD-03: 270°
- C1-VD-04: 119/169
- C1-VD-05: ℝ
- C1-VD-06: 0; π; 2π
- C1-VD-07: 90°
- C1-VD-08: 120/169
- C1-VD-09: 0
- C1-VD-10: 0; π/2; π; 3π/2; 2π
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 50–65 phút; dừng sau một mục tiêu đo được, không ép học hết trang.
- Hỏi con “vì sao dùng công thức này?” thay vì chỉ hỏi “đáp án bao nhiêu?”.
- Theo dõi ba lỗi lặp lại trong sổ lỗi; không so tốc độ của con với bạn khác.
- Chỉ chuyển bài khi trắc nghiệm đạt từ 80% và con tự chữa được câu sai.
- Ôn ngắn sau 1–7–30 ngày hiệu quả hơn học dồn trước kiểm tra.
- Mở tiết bằng một tình huống hoặc phản ví dụ, sau đó mới chuẩn hóa định nghĩa.
- Tách lỗi khái niệm, lỗi điều kiện, lỗi biến đổi và lỗi tính toán khi chữa bài.
- Mỗi phiếu luyện giữ khoảng 15% câu gọi lại kiến thức tiền đề trực tiếp.
- Dùng ba dạng trắc nghiệm mới như bước chuẩn bị năng lực, không biến tiết học thành luyện mẹo.
- Yêu cầu học sinh kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai hoặc thay ngược.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.