Thấy cấu trúc thay vì học mẹo
Bài học giúp biến thời điểm thủy triều, pha dao động, lịch quay và tín hiệu tuần hoàn thành mô hình có thể kiểm tra.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 4. Phương trình lượng giác cơ bản
Giải sin x=a, cos x=a, tan x=a, cot x=a bằng đường tròn và chu kì; lọc nghiệm đúng khoảng và kiểm bằng thay ngược.
Tìm một góc chưa đủ; phải tìm toàn bộ vòng quay
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Ra quyết định có căn cứ
Biết chọn công cụ, kiểm điều kiện, ước lượng trước và giải thích kết quả.
Nối bài trước với bài sau
Kích hoạt bài 1–3, đồ thị và nghiệm phương trình và chuẩn bị cho Cổng cuối Chương 1.
Mỗi lỗi là một dữ kiện
Sổ lỗi biến câu sai thành lịch ôn cá nhân thay vì bằng chứng rằng em kém Toán.
- Giải bốn phương trình cơ bản.
- Viết đủ nghiệm tổng quát.
- Giải phương trình đưa được về dạng cơ bản.
- Lọc nghiệm trên đoạn–khoảng.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 1–3, đồ thị và nghiệm phương trình.
- Đọc đúng kí hiệu, điều kiện và đơn vị.
- Ước lượng dấu, khoảng hoặc cỡ kết quả trước khi tính.
- Biết thay ngược hoặc dùng biểu diễn thứ hai để tự kiểm.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Phương trình sin, cos
Hiểu đơn giản: Tìm các điểm có cùng tung độ hoặc hoành độ.
sinx=sina ⇔ x=a+k2π hoặc x=π−a+k2π; cosx=cosa ⇔ x=±a+k2π.
Ví dụ: sinx=1/2 ⇒ x=π/6+k2π hoặc 5π/6+k2π.
Hình nên dùng: Đường thẳng ngang/dọc cắt đường tròn.
Mô phỏng: Chọn a và hiện hai họ nghiệm.
Mẹo nhớ: Sin: a và π−a; cos: ±a.
Sai lầm: Chỉ viết một nghiệm.
Ghi chú: Với giá trị biên, hai họ có thể trùng.
Phương trình tan, cot
Hiểu đơn giản: Mỗi giá trị lặp sau nửa vòng.
tanx=tana ⇔ x=a+kπ; cotx=cota ⇔ x=a+kπ.
Ví dụ: tanx=1 ⇒ x=π/4+kπ.
Hình nên dùng: Các tia cùng hệ số góc.
Mô phỏng: Xem đồ thị theo từng nhánh.
Mẹo nhớ: Tan–cot: cộng kπ.
Sai lầm: Cộng 2kπ.
Ghi chú: Kiểm điểm loại của hàm.
Lọc nghiệm
Hiểu đơn giản: Nghiệm tổng quát là vô hạn; bài toán có thể chỉ cần một đoạn.
Thay x=a+kT vào điều kiện miền để tìm k nguyên.
Ví dụ: x=kπ/2 trên [0;2π] cho k=0,1,2,3,4.
Hình nên dùng: Trục số đánh các nghiệm.
Mô phỏng: Thanh trượt k.
Mẹo nhớ: Lọc k nhưng kết luận x.
Sai lầm: Đưa điều kiện của x thẳng cho k sai hệ số.
Ghi chú: Ghi rõ đầu mút đóng hay mở.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Đổi đơn vị, thu gọn góc và tự kiểm hệ thức
Nhập một góc bất kì. Công cụ giữ nguyên số vòng quay, đưa góc về [0°; 360°) và chỉ tính tan khi cos khác 0.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtMẫu tư duy 1: PTLG-NB-04
Đề bài: Giải sin x = 0 trên đoạn [0; 2π].
Phân tích: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Các nghiệm trên [0;2π] là x = 0; π; 2π.
- Kết luận: 0; π; 2π.
Vì sao: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
02 • Nhận biếtMẫu tư duy 2: PTLG-NB-05
Đề bài: Giải sin x = 1/2 trên đoạn [0; 2π].
Phân tích: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Các nghiệm trên [0;2π] là x = π/6; 5π/6.
- Kết luận: π/6; 5π/6.
Vì sao: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
03 • Thông hiểuMẫu tư duy 3: PTLG-NB-06
Đề bài: Giải cos x = √2/2 trên [0; 2π).
Phân tích: Tìm các điểm có hoành độ bằng giá trị đã cho.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Nghiệm là x = π/4; 7π/4.
- Kết luận: π/4; 7π/4.
Vì sao: Hai nghiệm đối xứng qua trục Ox khi giá trị không ở biên.
Cách khác: Dùng đồ thị y = cos x.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Lấy cả 2π dù khoảng bên phải mở.
04 • Thông hiểuMẫu tư duy 4: PTLG-NB-07
Đề bài: Giải phương trình tan x = 0.
Phân tích: Tan có chu kì π: x = arctan(a) + kπ.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- x = kπ, k∈ℤ
- Kết luận: x = kπ, k∈ℤ.
Vì sao: Mọi nghiệm cách nhau một chu kì π.
Cách khác: Kiểm một nghiệm đại diện rồi cộng kπ.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Viết +2kπ như phương trình sin/cos.
05 • Vận dụngMẫu tư duy 5: PTLG-NB-08
Đề bài: Giải sin 2x = 0 trên [0; 2π].
Phân tích: Đặt 2x = kπ rồi lọc theo đoạn của x.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ/2. Trên [0;2π]: x = 0; π/2; π; 3π/2; 2π.
- Kết luận: 0; π/2; π; 3π/2; 2π.
Vì sao: Sau khi giải nghiệm tổng quát phải lọc đúng miền.
Cách khác: Đặt t = 2x, giải trên t ∈ [0;4π].
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Lọc k theo [0;2π] thay vì lọc x.
06 • Vận dụngMẫu tư duy 6: PTLG-NB-09
Đề bài: Giải sin x = 0 trên đoạn [0; 2π].
Phân tích: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Các nghiệm trên [0;2π] là x = 0; π; 2π.
- Kết luận: 0; π; 2π.
Vì sao: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
07 • Vận dụng caoMẫu tư duy 7: PTLG-NB-10
Đề bài: Giải sin x = 1/2 trên đoạn [0; 2π].
Phân tích: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Các nghiệm trên [0;2π] là x = π/6; 5π/6.
- Kết luận: π/6; 5π/6.
Vì sao: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
08 • Vận dụng caoMẫu tư duy 8: PTLG-NB-11
Đề bài: Giải cos x = √2/2 trên [0; 2π).
Phân tích: Tìm các điểm có hoành độ bằng giá trị đã cho.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Nghiệm là x = π/4; 7π/4.
- Kết luận: π/4; 7π/4.
Vì sao: Hai nghiệm đối xứng qua trục Ox khi giá trị không ở biên.
Cách khác: Dùng đồ thị y = cos x.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Lấy cả 2π dù khoảng bên phải mở.
09 • Thực tếMẫu tư duy 9: PTLG-NB-12
Đề bài: Giải phương trình tan x = −1.
Phân tích: Tan có chu kì π: x = arctan(a) + kπ.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- x = −π/4 + kπ, k∈ℤ
- Kết luận: x = −π/4 + kπ, k∈ℤ.
Vì sao: Mọi nghiệm cách nhau một chu kì π.
Cách khác: Kiểm một nghiệm đại diện rồi cộng kπ.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Viết +2kπ như phương trình sin/cos.
10 • Thực tếMẫu tư duy 10: PTLG-NB-13
Đề bài: Giải sin 2x = 0 trên [0; 2π].
Phân tích: Đặt 2x = kπ rồi lọc theo đoạn của x.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ/2. Trên [0;2π]: x = 0; π/2; π; 3π/2; 2π.
- Kết luận: 0; π/2; π; 3π/2; 2π.
Vì sao: Sau khi giải nghiệm tổng quát phải lọc đúng miền.
Cách khác: Đặt t = 2x, giải trên t ∈ [0;4π].
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Lọc k theo [0;2π] thay vì lọc x.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình nhìn qua phương trình lượng giác cơ bản
Tình huống 1 dùng thời điểm thủy triều, pha dao động, lịch quay và tín hiệu tuần hoàn; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Trường học nhìn qua phương trình lượng giác cơ bản
Tình huống 2 dùng thời điểm thủy triều, pha dao động, lịch quay và tín hiệu tuần hoàn; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Đời sống nhìn qua phương trình lượng giác cơ bản
Tình huống 3 dùng thời điểm thủy triều, pha dao động, lịch quay và tín hiệu tuần hoàn; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Khoa học nhìn qua phương trình lượng giác cơ bản
Tình huống 4 dùng thời điểm thủy triều, pha dao động, lịch quay và tín hiệu tuần hoàn; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Kỹ thuật nhìn qua phương trình lượng giác cơ bản
Tình huống 5 dùng thời điểm thủy triều, pha dao động, lịch quay và tín hiệu tuần hoàn; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Sản xuất nhìn qua phương trình lượng giác cơ bản
Tình huống 6 dùng thời điểm thủy triều, pha dao động, lịch quay và tín hiệu tuần hoàn; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Thiên nhiên nhìn qua phương trình lượng giác cơ bản
Tình huống 7 dùng thời điểm thủy triều, pha dao động, lịch quay và tín hiệu tuần hoàn; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Nghề nghiệp nhìn qua phương trình lượng giác cơ bản
Tình huống 8 dùng thời điểm thủy triều, pha dao động, lịch quay và tín hiệu tuần hoàn; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Phương trình sin, cos là gì?
Tìm các điểm có cùng tung độ hoặc hoành độ. Mốc chính xác cần nhớ: sinx=sina ⇔ x=a+k2π hoặc x=π−a+k2π; cosx=cosa ⇔ x=±a+k2π. Hãy thử ví dụ: sinx=1/2 ⇒ x=π/6+k2π hoặc 5π/6+k2π. Lỗi cần chặn: Chỉ viết một nghiệm.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Thiếu họ nghiệm sin
Chỉ viết một nghiệm. Cách sửa: Sin: a và π−a; cos: ±a. Sau đó kiểm bằng: Với giá trị biên, hai họ có thể trùng.
Thiếu họ nghiệm cos
Cộng 2kπ. Cách sửa: Tan–cot: cộng kπ. Sau đó kiểm bằng: Kiểm điểm loại của hàm.
Dùng chu kì 2π cho tan
Đưa điều kiện của x thẳng cho k sai hệ số. Cách sửa: Lọc k nhưng kết luận x. Sau đó kiểm bằng: Ghi rõ đầu mút đóng hay mở.
Quên k∈ℤ
Chỉ viết một nghiệm. Cách sửa: Sin: a và π−a; cos: ±a. Sau đó kiểm bằng: Với giá trị biên, hai họ có thể trùng.
Nhận 2π ở khoảng mở
Cộng 2kπ. Cách sửa: Tan–cot: cộng kπ. Sau đó kiểm bằng: Kiểm điểm loại của hàm.
Không kiểm |a|≤1
Đưa điều kiện của x thẳng cho k sai hệ số. Cách sửa: Lọc k nhưng kết luận x. Sau đó kiểm bằng: Ghi rõ đầu mút đóng hay mở.
Chia hai vế làm mất nghiệm
Chỉ viết một nghiệm. Cách sửa: Sin: a và π−a; cos: ±a. Sau đó kiểm bằng: Với giá trị biên, hai họ có thể trùng.
Lọc nhầm biến 2x
Cộng 2kπ. Cách sửa: Tan–cot: cộng kπ. Sau đó kiểm bằng: Kiểm điểm loại của hàm.
Sai chế độ máy tính
Đưa điều kiện của x thẳng cho k sai hệ số. Cách sửa: Lọc k nhưng kết luận x. Sau đó kiểm bằng: Ghi rõ đầu mút đóng hay mở.
Không thay ngược
Chỉ viết một nghiệm. Cách sửa: Sin: a và π−a; cos: ±a. Sau đó kiểm bằng: Với giá trị biên, hai họ có thể trùng.
Thiếu họ nghiệm sin – tình huống 11
Cộng 2kπ. Cách sửa: Tan–cot: cộng kπ. Sau đó kiểm bằng: Kiểm điểm loại của hàm.
Thiếu họ nghiệm cos – tình huống 12
Đưa điều kiện của x thẳng cho k sai hệ số. Cách sửa: Lọc k nhưng kết luận x. Sau đó kiểm bằng: Ghi rõ đầu mút đóng hay mở.
Dùng chu kì 2π cho tan – tình huống 13
Chỉ viết một nghiệm. Cách sửa: Sin: a và π−a; cos: ±a. Sau đó kiểm bằng: Với giá trị biên, hai họ có thể trùng.
Quên k∈ℤ – tình huống 14
Cộng 2kπ. Cách sửa: Tan–cot: cộng kπ. Sau đó kiểm bằng: Kiểm điểm loại của hàm.
Nhận 2π ở khoảng mở – tình huống 15
Đưa điều kiện của x thẳng cho k sai hệ số. Cách sửa: Lọc k nhưng kết luận x. Sau đó kiểm bằng: Ghi rõ đầu mút đóng hay mở.
Không kiểm |a|≤1 – tình huống 16
Chỉ viết một nghiệm. Cách sửa: Sin: a và π−a; cos: ±a. Sau đó kiểm bằng: Với giá trị biên, hai họ có thể trùng.
Chia hai vế làm mất nghiệm – tình huống 17
Cộng 2kπ. Cách sửa: Tan–cot: cộng kπ. Sau đó kiểm bằng: Kiểm điểm loại của hàm.
Lọc nhầm biến 2x – tình huống 18
Đưa điều kiện của x thẳng cho k sai hệ số. Cách sửa: Lọc k nhưng kết luận x. Sau đó kiểm bằng: Ghi rõ đầu mút đóng hay mở.
Sai chế độ máy tính – tình huống 19
Chỉ viết một nghiệm. Cách sửa: Sin: a và π−a; cos: ±a. Sau đó kiểm bằng: Với giá trị biên, hai họ có thể trùng.
Không thay ngược – tình huống 20
Cộng 2kπ. Cách sửa: Tan–cot: cộng kπ. Sau đó kiểm bằng: Kiểm điểm loại của hàm.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Khóa điều kiện trước
Viết miền xác định, quy ước chỉ số hoặc điều kiện dữ liệu trước khi biến đổi.
Một công thức – một ý nghĩa
Không học bảng rời; nói được mỗi đại lượng trong công thức đại diện cho điều gì.
Dùng hai biểu diễn
Đại số phải được kiểm bằng đồ thị, đường tròn, bảng hoặc tình huống thực tế.
Dự đoán trước khi bấm máy
Ước lượng dấu, khoảng giá trị và cỡ kết quả để phát hiện thao tác sai.
Sổ lỗi 1–7–30
Ghi nguyên nhân lỗi và gọi lại sau 1 ngày, 7 ngày, 30 ngày.
Giải thích thành lời
Nếu chưa giải thích được vì sao dùng công thức thì chưa được coi là đã thuộc.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Phương trình lượng giác cơ bản1 2 3
Phương trình sin, cossinx=sina ⇔ x=a+k2π hoặc x=π−a+k2π; cosx=cosa ⇔ x=±a+k2π. Sin: a và π−a; cos: ±a.
Phương trình tan, cottanx=tana ⇔ x=a+kπ; cotx=cota ⇔ x=a+kπ. Tan–cot: cộng kπ.
Lọc nghiệmThay x=a+kT vào điều kiện miền để tìm k nguyên. Lọc k nhưng kết luận x.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
PTLG-NB-01Cho y = sin x. Nêu chu kì cơ bản.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Lời giải: Chu kì cơ bản của y = sin x là 2π.
Vì sao: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Sai ở đâu: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
PTLG-NB-02Tìm tập xác định của y = cos x.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Sin, cos xác định mọi x; tan cần cos x ≠ 0; cot cần sin x ≠ 0.
Lời giải: Tập xác định: ℝ.
Vì sao: Điểm loại là nơi mẫu của tỉ số lượng giác bằng 0.
Sai ở đâu: Loại nghiệm của tử thay vì mẫu.
Cách khác: Viết hàm dưới dạng sin/cos hoặc cos/sin rồi đặt mẫu khác 0.
PTLG-NB-03Xét tính chẵn–lẻ của y = tan x.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính f(−x) và so với f(x), −f(x).
Lời giải: y = tan x là hàm lẻ.
Vì sao: Cos đối xứng qua Oy; sin, tan, cot đối xứng qua gốc tọa độ.
Sai ở đâu: Nhìn đồ thị không đúng tỉ lệ rồi kết luận.
Cách khác: Dùng các hệ thức sin(−x), cos(−x), tan(−x), cot(−x).
PTLG-NB-04Giải sin x = 0 trên đoạn [0; 2π].
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = 0; π; 2π.
Vì sao: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Sai ở đâu: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
PTLG-NB-05Giải sin x = 1/2 trên đoạn [0; 2π].
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = π/6; 5π/6.
Vì sao: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Sai ở đâu: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
PTLG-NB-06Giải cos x = √2/2 trên [0; 2π).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tìm các điểm có hoành độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Nghiệm là x = π/4; 7π/4.
Vì sao: Hai nghiệm đối xứng qua trục Ox khi giá trị không ở biên.
Sai ở đâu: Lấy cả 2π dù khoảng bên phải mở.
Cách khác: Dùng đồ thị y = cos x.
PTLG-NB-07Giải phương trình tan x = 0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tan có chu kì π: x = arctan(a) + kπ.
Lời giải: x = kπ, k∈ℤ
Vì sao: Mọi nghiệm cách nhau một chu kì π.
Sai ở đâu: Viết +2kπ như phương trình sin/cos.
Cách khác: Kiểm một nghiệm đại diện rồi cộng kπ.
PTLG-NB-08Giải sin 2x = 0 trên [0; 2π].
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đặt 2x = kπ rồi lọc theo đoạn của x.
Lời giải: sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ/2. Trên [0;2π]: x = 0; π/2; π; 3π/2; 2π.
Vì sao: Sau khi giải nghiệm tổng quát phải lọc đúng miền.
Sai ở đâu: Lọc k theo [0;2π] thay vì lọc x.
Cách khác: Đặt t = 2x, giải trên t ∈ [0;4π].
PTLG-NB-09Giải sin x = 0 trên đoạn [0; 2π].
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = 0; π; 2π.
Vì sao: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Sai ở đâu: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
PTLG-NB-10Giải sin x = 1/2 trên đoạn [0; 2π].
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = π/6; 5π/6.
Vì sao: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Sai ở đâu: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Giải cos x = √2/2 trên [0; 2π).
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Cho y = sin x. Nêu chu kì cơ bản.
Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Lời giải: Chu kì cơ bản của y = sin x là 2π.
Giải thích: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Lỗi cần tránh: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
TỰ LUẬN 2Giải cos x = √2/2 trên [0; 2π).
Gợi ý: Tìm các điểm có hoành độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Nghiệm là x = π/4; 7π/4.
Giải thích: Hai nghiệm đối xứng qua trục Ox khi giá trị không ở biên.
Lỗi cần tránh: Lấy cả 2π dù khoảng bên phải mở.
Cách khác: Dùng đồ thị y = cos x.
TỰ LUẬN 3Giải cos x = √2/2 trên [0; 2π).
Gợi ý: Tìm các điểm có hoành độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Nghiệm là x = π/4; 7π/4.
Giải thích: Hai nghiệm đối xứng qua trục Ox khi giá trị không ở biên.
Lỗi cần tránh: Lấy cả 2π dù khoảng bên phải mở.
Cách khác: Dùng đồ thị y = cos x.
TỰ LUẬN 4Giải cos x = √2/2 trên [0; 2π).
Gợi ý: Tìm các điểm có hoành độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Nghiệm là x = π/4; 7π/4.
Giải thích: Hai nghiệm đối xứng qua trục Ox khi giá trị không ở biên.
Lỗi cần tránh: Lấy cả 2π dù khoảng bên phải mở.
Cách khác: Dùng đồ thị y = cos x.
TỰ LUẬN 5Tính y = sin x tại x = 90°.
Gợi ý: Đọc giá trị sin của góc đặc biệt.
Lời giải: y = sin 90° = 1.
Giải thích: Giá trị hàm là tung độ trên đường tròn đơn vị.
Lỗi cần tránh: Thay giá trị cos thay cho sin.
Cách khác: Dùng bảng giá trị hoặc tọa độ điểm biểu diễn.
TỰ LUẬN 6Giải sin 2x = 0 trên [0; 2π].
Gợi ý: Đặt 2x = kπ rồi lọc theo đoạn của x.
Lời giải: sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ/2. Trên [0;2π]: x = 0; π/2; π; 3π/2; 2π.
Giải thích: Sau khi giải nghiệm tổng quát phải lọc đúng miền.
Lỗi cần tránh: Lọc k theo [0;2π] thay vì lọc x.
Cách khác: Đặt t = 2x, giải trên t ∈ [0;4π].
TỰ LUẬN 7Giải sin 2x = 0 trên [0; 2π].
Gợi ý: Đặt 2x = kπ rồi lọc theo đoạn của x.
Lời giải: sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ/2. Trên [0;2π]: x = 0; π/2; π; 3π/2; 2π.
Giải thích: Sau khi giải nghiệm tổng quát phải lọc đúng miền.
Lỗi cần tránh: Lọc k theo [0;2π] thay vì lọc x.
Cách khác: Đặt t = 2x, giải trên t ∈ [0;4π].
TỰ LUẬN 8Giải sin 2x = 0 trên [0; 2π].
Gợi ý: Đặt 2x = kπ rồi lọc theo đoạn của x.
Lời giải: sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ/2. Trên [0;2π]: x = 0; π/2; π; 3π/2; 2π.
Giải thích: Sau khi giải nghiệm tổng quát phải lọc đúng miền.
Lỗi cần tránh: Lọc k theo [0;2π] thay vì lọc x.
Cách khác: Đặt t = 2x, giải trên t ∈ [0;4π].
TỰ LUẬN 9Tìm tập xác định của y = tan x.
Gợi ý: Sin, cos xác định mọi x; tan cần cos x ≠ 0; cot cần sin x ≠ 0.
Lời giải: Tập xác định: ℝ \ {π/2 + kπ | k∈ℤ}.
Giải thích: Điểm loại là nơi mẫu của tỉ số lượng giác bằng 0.
Lỗi cần tránh: Loại nghiệm của tử thay vì mẫu.
Cách khác: Viết hàm dưới dạng sin/cos hoặc cos/sin rồi đặt mẫu khác 0.
TỰ LUẬN 10Giải sin x = 1/2 trên đoạn [0; 2π].
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = π/6; 5π/6.
Giải thích: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Lỗi cần tránh: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
TỰ LUẬN 11Giải sin x = 1/2 trên đoạn [0; 2π].
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = π/6; 5π/6.
Giải thích: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Lỗi cần tránh: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
TỰ LUẬN 12Giải sin x = 1/2 trên đoạn [0; 2π].
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = π/6; 5π/6.
Giải thích: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Lỗi cần tránh: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
TỰ LUẬN 13Nêu tập giá trị của y = cos x.
Gợi ý: Dùng đồ thị hoặc ý nghĩa tọa độ/tỉ số.
Lời giải: Tập giá trị là [−1;1].
Giải thích: Sin và cos bị chặn; tan và cot nhận mọi giá trị thực.
Lỗi cần tránh: Nhầm tập xác định với tập giá trị.
Cách khác: Quan sát chiều cao mà đồ thị đạt được.
TỰ LUẬN 14Giải phương trình tan x = −1.
Gợi ý: Tan có chu kì π: x = arctan(a) + kπ.
Lời giải: x = −π/4 + kπ, k∈ℤ
Giải thích: Mọi nghiệm cách nhau một chu kì π.
Lỗi cần tránh: Viết +2kπ như phương trình sin/cos.
Cách khác: Kiểm một nghiệm đại diện rồi cộng kπ.
TỰ LUẬN 15Giải phương trình tan x = 1.
Gợi ý: Tan có chu kì π: x = arctan(a) + kπ.
Lời giải: x = π/4 + kπ, k∈ℤ
Giải thích: Mọi nghiệm cách nhau một chu kì π.
Lỗi cần tránh: Viết +2kπ như phương trình sin/cos.
Cách khác: Kiểm một nghiệm đại diện rồi cộng kπ.
TỰ LUẬN 16Giải phương trình tan x = 0.
Gợi ý: Tan có chu kì π: x = arctan(a) + kπ.
Lời giải: x = kπ, k∈ℤ
Giải thích: Mọi nghiệm cách nhau một chu kì π.
Lỗi cần tránh: Viết +2kπ như phương trình sin/cos.
Cách khác: Kiểm một nghiệm đại diện rồi cộng kπ.
TỰ LUẬN 17Xét tính chẵn–lẻ của y = sin x.
Gợi ý: Tính f(−x) và so với f(x), −f(x).
Lời giải: y = sin x là hàm lẻ.
Giải thích: Cos đối xứng qua Oy; sin, tan, cot đối xứng qua gốc tọa độ.
Lỗi cần tránh: Nhìn đồ thị không đúng tỉ lệ rồi kết luận.
Cách khác: Dùng các hệ thức sin(−x), cos(−x), tan(−x), cot(−x).
TỰ LUẬN 18Giải sin x = 0 trên đoạn [0; 2π].
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = 0; π; 2π.
Giải thích: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Lỗi cần tránh: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
TỰ LUẬN 19Giải sin x = 0 trên đoạn [0; 2π].
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = 0; π; 2π.
Giải thích: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Lỗi cần tránh: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
TỰ LUẬN 20Giải sin x = 0 trên đoạn [0; 2π].
Gợi ý: Xác định các điểm trên đường tròn có tung độ bằng giá trị đã cho.
Lời giải: Các nghiệm trên [0;2π] là x = 0; π; 2π.
Giải thích: Phương trình sin thường có hai nghiệm trong một chu kì, trừ các giá trị biên.
Lỗi cần tránh: Chỉ lấy một góc tham chiếu hoặc viết nghiệm ngoài đoạn.
Cách khác: Dùng đồ thị y = sin x và đường thẳng ngang.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: PTLG-NB-01, PTLG-NB-02, PTLG-NB-03, PTLG-NB-04, PTLG-NB-05, PTLG-NB-06, PTLG-NB-07, PTLG-NB-08, PTLG-NB-09, PTLG-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- PTLG-NB-01: 2π
- PTLG-NB-02: ℝ
- PTLG-NB-03: lẻ
- PTLG-NB-04: 0; π; 2π
- PTLG-NB-05: π/6; 5π/6
- PTLG-NB-06: π/4; 7π/4
- PTLG-NB-07: x = kπ, k∈ℤ
- PTLG-NB-08: 0; π/2; π; 3π/2; 2π
- PTLG-NB-09: 0; π; 2π
- PTLG-NB-10: π/6; 5π/6
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 1
10 câu đại diện: PTLG-NB-11, PTLG-NB-12, PTLG-NB-13, PTLG-NB-14, PTLG-NB-15, PTLG-NB-16, PTLG-NB-17, PTLG-NB-18, PTLG-NB-19, PTLG-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- PTLG-NB-11: π/4; 7π/4
- PTLG-NB-12: x = −π/4 + kπ, k∈ℤ
- PTLG-NB-13: 0; π/2; π; 3π/2; 2π
- PTLG-NB-14: 0; π; 2π
- PTLG-NB-15: π/6; 5π/6
- PTLG-NB-16: π/4; 7π/4
- PTLG-NB-17: x = π/4 + kπ, k∈ℤ
- PTLG-NB-18: 0; π/2; π; 3π/2; 2π
- PTLG-NB-19: 0; π; 2π
- PTLG-NB-20: π/6; 5π/6
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: PTLG-TH-01, PTLG-TH-02, PTLG-TH-03, PTLG-TH-04, PTLG-TH-05, PTLG-TH-06, PTLG-TH-07, PTLG-TH-08, PTLG-TH-09, PTLG-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- PTLG-TH-01: 1
- PTLG-TH-02: [−1;1]
- PTLG-TH-03: 2π
- PTLG-TH-04: π/4; 7π/4
- PTLG-TH-05: x = kπ, k∈ℤ
- PTLG-TH-06: 0; π/2; π; 3π/2; 2π
- PTLG-TH-07: 0; π; 2π
- PTLG-TH-08: π/6; 5π/6
- PTLG-TH-09: π/4; 7π/4
- PTLG-TH-10: x = −π/4 + kπ, k∈ℤ
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: PTLG-TH-11, PTLG-TH-12, PTLG-TH-13, PTLG-TH-14, PTLG-TH-15, PTLG-TH-16, PTLG-TH-17, PTLG-TH-18, PTLG-TH-19, PTLG-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- PTLG-TH-11: 0; π/2; π; 3π/2; 2π
- PTLG-TH-12: 0; π; 2π
- PTLG-TH-13: π/6; 5π/6
- PTLG-TH-14: π/4; 7π/4
- PTLG-TH-15: x = π/4 + kπ, k∈ℤ
- PTLG-TH-16: 0; π/2; π; 3π/2; 2π
- PTLG-TH-17: 0; π; 2π
- PTLG-TH-18: π/6; 5π/6
- PTLG-TH-19: π/4; 7π/4
- PTLG-TH-20: x = kπ, k∈ℤ
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: PTLG-VD-01, PTLG-VD-02, PTLG-VD-03, PTLG-VD-04, PTLG-VD-05, PTLG-VD-06, PTLG-VD-07, PTLG-VD-08, PTLG-VD-09, PTLG-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- PTLG-VD-01: ℝ \ {π/2 + kπ | k∈ℤ}
- PTLG-VD-02: lẻ
- PTLG-VD-03: √2/2
- PTLG-VD-04: 0; π/2; π; 3π/2; 2π
- PTLG-VD-05: 0; π; 2π
- PTLG-VD-06: π/6; 5π/6
- PTLG-VD-07: π/4; 7π/4
- PTLG-VD-08: x = −π/4 + kπ, k∈ℤ
- PTLG-VD-09: 0; π/2; π; 3π/2; 2π
- PTLG-VD-10: 0; π; 2π
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 50–65 phút; dừng sau một mục tiêu đo được, không ép học hết trang.
- Hỏi con “vì sao dùng công thức này?” thay vì chỉ hỏi “đáp án bao nhiêu?”.
- Theo dõi ba lỗi lặp lại trong sổ lỗi; không so tốc độ của con với bạn khác.
- Chỉ chuyển bài khi trắc nghiệm đạt từ 80% và con tự chữa được câu sai.
- Ôn ngắn sau 1–7–30 ngày hiệu quả hơn học dồn trước kiểm tra.
- Mở tiết bằng một tình huống hoặc phản ví dụ, sau đó mới chuẩn hóa định nghĩa.
- Tách lỗi khái niệm, lỗi điều kiện, lỗi biến đổi và lỗi tính toán khi chữa bài.
- Mỗi phiếu luyện giữ khoảng 15% câu gọi lại kiến thức tiền đề trực tiếp.
- Dùng ba dạng trắc nghiệm mới như bước chuẩn bị năng lực, không biến tiết học thành luyện mẹo.
- Yêu cầu học sinh kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai hoặc thay ngược.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.