Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản

Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.

Lời giải: Chu kì cơ bản của y = sin x là 2π.

Giải thích: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.

Lỗi cần tránh: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.

Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).

Gợi ý: Tìm các điểm có hoành độ bằng giá trị đã cho.

Lời giải: Nghiệm là x = π/4; 7π/4.

Giải thích: Hai nghiệm đối xứng qua trục Ox khi giá trị không ở biên.

Lỗi cần tránh: Lấy cả 2π dù khoảng bên phải mở.

Cách khác: Dùng đồ thị y = cos x.

Gợi ý: cos x là hoành độ trên đường tròn lượng giác.

Lời giải: cos x là hoành độ trên đường tròn lượng giác. Hoành độ bằng 0 tại π/2 và 3π/2 trong nửa khoảng đã cho.

Giải thích: cos x là hoành độ trên đường tròn lượng giác. Hoành độ bằng 0 tại π/2 và 3π/2 trong nửa khoảng đã cho.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: equation-cos-1-0

Gợi ý: cos x=cos a khi x=±a+2kπ.

Lời giải: cos x=cos a khi x=±a+2kπ. Trong [0;2π), nhận x=π/6 và x=2π−π/6=11π/6.

Giải thích: cos x=cos a khi x=±a+2kπ. Trong [0;2π), nhận x=π/6 và x=2π−π/6=11π/6.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: equation-cos-equal-4-0

Gợi ý: Đọc giá trị sin của góc đặc biệt.

Lời giải: y = sin 90° = 1.

Giải thích: Giá trị hàm là tung độ trên đường tròn đơn vị.

Lỗi cần tránh: Thay giá trị cos thay cho sin.

Cách khác: Dùng bảng giá trị hoặc tọa độ điểm biểu diễn.

Gợi ý: sin(3x)=0 khi x=jπ/3.

Lời giải: sin(3x)=0 khi x=jπ/3. Điều kiện 0≤x<2π cho j=0,1,…,5, nên có 6 nghiệm.

Giải thích: sin(3x)=0 khi x=jπ/3. Điều kiện 0≤x<2π cho j=0,1,…,5, nên có 6 nghiệm.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: equation-count-3-1

Gợi ý: cos x=0 khi x=π/2+kπ.

Lời giải: cos x=0 khi x=π/2+kπ. Giá trị dương nhỏ nhất đạt với k=0, bằng π/2.

Giải thích: cos x=0 khi x=π/2+kπ. Giá trị dương nhỏ nhất đạt với k=0, bằng π/2.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-trig-smallest-1-3

Gợi ý: x=jπ/6.

Lời giải: x=jπ/6. j=0,…,11; có 12 nghiệm.

Giải thích: x=jπ/6. j=0,…,11; có 12 nghiệm.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-trig-count-0-4

Gợi ý: Sin, cos xác định mọi x; tan cần cos x ≠ 0; cot cần sin x ≠ 0.

Lời giải: Tập xác định: ℝ \ {π/2 + kπ | k∈ℤ}.

Giải thích: Điểm loại là nơi mẫu của tỉ số lượng giác bằng 0.

Lỗi cần tránh: Loại nghiệm của tử thay vì mẫu.

Cách khác: Viết hàm dưới dạng sin/cos hoặc cos/sin rồi đặt mẫu khác 0.

Gợi ý: Trên đường tròn lượng giác, đường thẳng tung độ −1/2 cắt đường tròn tại hai điểm trong [0;2π).

Lời giải: Trên đường tròn lượng giác, đường thẳng tung độ −1/2 cắt đường tròn tại hai điểm trong [0;2π). Đọc số đo theo chiều dương và loại 2π, thu được x = 7π/6; 11π/6.

Giải thích: Trên đường tròn lượng giác, đường thẳng tung độ −1/2 cắt đường tròn tại hai điểm trong [0;2π). Đọc số đo theo chiều dương và loại 2π, thu được x = 7π/6; 11π/6.

Lỗi cần tránh: Nhầm nghiệm của sin với cos hoặc lấy cả đầu mút 2π.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Tại nghiệm, cos x ≠ 0; chia cho cos x đưa phương trình về tan x = 1.

Lời giải: Tại nghiệm, cos x ≠ 0; chia cho cos x đưa phương trình về tan x = 1. Dùng chu kì π của hàm tang và lọc trong [0;2π), thu được x = π/4; 5π/4.

Giải thích: Tại nghiệm, cos x ≠ 0; chia cho cos x đưa phương trình về tan x = 1. Dùng chu kì π của hàm tang và lọc trong [0;2π), thu được x = π/4; 5π/4.

Lỗi cần tránh: Chia cho cos x mà không nhận xét điều kiện hoặc viết chu kì nghiệm là 2π.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: sin t = 0 khi t = kπ; suy ra x = kπ − π/6.

Lời giải: sin t = 0 khi t = kπ; suy ra x = kπ − π/6. Chọn k = 1, 2 cho x lần lượt 5π/6 và 11π/6 trong nửa khoảng.

Giải thích: sin t = 0 khi t = kπ; suy ra x = kπ − π/6. Chọn k = 1, 2 cho x lần lượt 5π/6 và 11π/6 trong nửa khoảng.

Lỗi cần tránh: Giữ nghiệm x = −π/6 nằm ngoài khoảng đã cho.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Không trượt nên độ dài cung bằng nhau: số vòng bánh thứ hai bằng 2/3 lần số vòng bánh thứ nhất và quay ngược chiều

Lời giải: Không trượt nên độ dài cung bằng nhau: số vòng bánh thứ hai bằng 2/3 lần số vòng bánh thứ nhất và quay ngược chiều. Hai số 2,3 nguyên tố cùng nhau; để cả hai số vòng là số nguyên, số vòng bánh một phải là bội của 3. Nhỏ nhất là 3, khi đó bánh hai quay 2 vòng.

Giải thích: Không trượt nên độ dài cung bằng nhau: số vòng bánh thứ hai bằng 2/3 lần số vòng bánh thứ nhất và quay ngược chiều. Hai số 2,3 nguyên tố cùng nhau; để cả hai số vòng là số nguyên, số vòng bánh một phải là bội của 3. Nhỏ nhất là 3, khi đó bánh hai quay 2 vòng.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: sin x + cos x = √2 sin(x + π/4) ≤ √2.

Lời giải: sin x + cos x = √2 sin(x + π/4) ≤ √2. Dấu bằng chỉ tại x = π/4 trong [0; 2π), nên có đúng một nghiệm. Kết quả đúng là Có đúng 1 nghiệm; vì vậy kết luận đã nêu là sai.

Giải thích: sin x + cos x = √2 sin(x + π/4) ≤ √2. Dấu bằng chỉ tại x = π/4 trong [0; 2π), nên có đúng một nghiệm. Kết quả đúng là Có đúng 1 nghiệm; vì vậy kết luận đã nêu là sai.

Lỗi cần tránh: Cho rằng phương trình sin luôn có hai nghiệm dù vế phải đạt giá trị cực đại.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Đặt t=tanα∈(0;1); sin(2α)=2t/(1+t²)=3/5.

Lời giải: Đặt t=tanα∈(0;1); sin(2α)=2t/(1+t²)=3/5. Giải 3t²−10t+3=0 cho t=1/3 hoặc 3; điều kiện t<1 chọn t=1/3.

Giải thích: Đặt t=tanα∈(0;1); sin(2α)=2t/(1+t²)=3/5. Giải 3t²−10t+3=0 cho t=1/3 hoặc 3; điều kiện t<1 chọn t=1/3.

Lỗi cần tránh: Chọn nghiệm t=3 dù α nhỏ hơn π/4.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Đặt s=sin x; cos(2x)=1−2s², nên 2s²+s−1=0 có s=1/2 hoặc s=−1.

Lời giải: Đặt s=sin x; cos(2x)=1−2s², nên 2s²+s−1=0 có s=1/2 hoặc s=−1. sin x=1/2 cho π/6,5π/6; sin x=−1 cho 3π/2.

Giải thích: Đặt s=sin x; cos(2x)=1−2s², nên 2s²+s−1=0 có s=1/2 hoặc s=−1. sin x=1/2 cho π/6,5π/6; sin x=−1 cho 3π/2.

Lỗi cần tránh: Quên nghiệm sin x=−1 khi giải phương trình bậc hai.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Tính f(−x) và so với f(x), −f(x).

Lời giải: y = sin x là hàm lẻ.

Giải thích: Cos đối xứng qua Oy; sin, tan, cot đối xứng qua gốc tọa độ.

Lỗi cần tránh: Nhìn đồ thị không đúng tỉ lệ rồi kết luận.

Cách khác: Dùng các hệ thức sin(−x), cos(−x), tan(−x), cot(−x).

Gợi ý: Đặt t=sin x∈[−1;1]

Lời giải: Đặt t=sin x∈[−1;1]. Tam thức (2t−1)(t−1)=0 cho sin x=1/2 hoặc sin x=1. Trên mỗi chu kì nửa kín có lần lượt 2 và 1 nghiệm, không trùng nhau. Có 4 chu kì nên 12 nghiệm.

Giải thích: Đặt t=sin x∈[−1;1]. Tam thức (2t−1)(t−1)=0 cho sin x=1/2 hoặc sin x=1. Trên mỗi chu kì nửa kín có lần lượt 2 và 1 nghiệm, không trùng nhau. Có 4 chu kì nên 12 nghiệm.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: sin2x−sin x=sin x(2cos x−1)

Lời giải: sin2x−sin x=sin x(2cos x−1). Nhánh sin x=0 cho x=jπ, j=0,…,14, có 15 nghiệm. Nhánh cos x=1/2 có hai nghiệm trong mỗi chu kì 2π, tổng 14 nghiệm; không trùng nhánh đầu. Tổng 29.

Giải thích: sin2x−sin x=sin x(2cos x−1). Nhánh sin x=0 cho x=jπ, j=0,…,14, có 15 nghiệm. Nhánh cos x=1/2 có hai nghiệm trong mỗi chu kì 2π, tổng 14 nghiệm; không trùng nhánh đầu. Tổng 29.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Đặt t=sin x∈[−1;1]

Lời giải: Đặt t=sin x∈[−1;1]. Tam thức (2t−1)(t−1)=0 cho sin x=1/2 hoặc sin x=1. Trên mỗi chu kì nửa kín có lần lượt 2 và 1 nghiệm, không trùng nhau. Có 9 chu kì nên 27 nghiệm.

Giải thích: Đặt t=sin x∈[−1;1]. Tam thức (2t−1)(t−1)=0 cho sin x=1/2 hoặc sin x=1. Trên mỗi chu kì nửa kín có lần lượt 2 và 1 nghiệm, không trùng nhau. Có 9 chu kì nên 27 nghiệm.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.