- Tập hợp, cặp phần tử và tổ hợp cơ bản
- Mệnh đề, điều kiện cần–đủ và phản ví dụ
- Cộng số không âm, bảng và sơ đồ
- Tư duy thuật toán từng bước
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủLàm quen với một vài yếu tố của Lí thuyết đồ thị
Làm sao biến mạng đường, lịch trình hay quan hệ kết nối thành mô hình đỉnh–cạnh để tìm một hành trình hợp lí?
Bản đồ đồ thị có bảng đỉnh–cạnh, hồ sơ Euler/Hamilton và một lộ trình ngắn nhất kèm giới hạn dữ liệu.
PHẠM VI • NỀN • ĐÍCH
Học đủ yêu cầu, không dùng kiến thức chưa có
Nhận biết đồ thị, đường đi Euler, đường đi Hamilton và thuật toán tìm đường tối ưu trong trường hợp đơn giản; vận dụng vào tình huống đường đi thực tế.
- Mô hình hóa đối tượng thành đỉnh và quan hệ thành cạnh
- Tính bậc và dùng đúng định lí bắt tay
- Phân biệt đường đi Euler với Hamilton
- Kiểm điều kiện Euler cùng điều kiện liên thông
- Tìm đường đi ngắn nhất ở đồ thị nhỏ
- Dùng Dijkstra chỉ khi trọng số không âm
- Đánh giá giới hạn của mô hình đường đi thực tế
Đỉnh, cạnh, bậc và biểu diễn
Nền: Tập hợp và cặp không thứ tự.
Đầu ra: Lập được danh sách kề và tính đúng bậc.
- Mô hình mạng lớp học
- Kiểm định lí bắt tay
Đường đi Euler
Nền: Chẵn–lẻ và liên thông.
Đầu ra: Phân loại được chu trình/đường đi Euler đơn giản.
- Vẽ một nét
- Tìm hai đầu bậc lẻ
Đường đi Hamilton
Nền: Đường đi qua đỉnh.
Đầu ra: Nhận biết và không lẫn tiêu chuẩn Euler.
- Thử tuyến tham quan
- Phản ví dụ Euler–Hamilton
Đường đi ngắn nhất
Nền: Trọng số không âm và bảng nhãn.
Đầu ra: Thực hiện Dijkstra trên đồ thị nhỏ, truy vết đường.
- Cập nhật nhãn
- So với liệt kê đường
Dự án và cổng kiểm
Nền: Toàn chuyên đề.
Đầu ra: Mô hình hóa một mạng thực và nêu giới hạn dữ liệu.
- Bản đồ trường
- Bảo vệ hàm mục tiêu
TRỰC GIÁC → PHÁT BIỂU → ĐIỀU KIỆN
Kiến thức trọng tâm có hàng rào chống nhầm
Mẹo nhớ chỉ được giữ nếu không làm mất đối tượng, quy ước hoặc điều kiện áp dụng.
Đồ thị, đỉnh, cạnh và bậc
Hiểu bản chất: Đỉnh đại diện đối tượng; cạnh đại diện một kết nối được chọn trong mô hình.
G=(V,E); trong đồ thị vô hướng, tổng bậc các đỉnh bằng 2|E|.
Điều kiện: Phải công bố đồ thị có hướng/vô hướng, có trọng số hay không; phạm vi cơ bản ưu tiên đồ thị hữu hạn đơn.
Ví dụ: Mỗi tuyến đường nối hai giao điểm đóng góp 1 vào bậc của mỗi đầu.
Neo nhớ: MỘT CẠNH – HAI ĐẦU – HAI LẦN BẬC.
Cảnh báo: Tổng bậc chẵn là điều kiện cần, không tự đủ để mọi dãy bậc tạo được đồ thị đơn.
Tự hỏi: “Đối tượng, quy ước, đơn vị và điều kiện đã được khóa chưa?”
Đường đi và chu trình Euler
Hiểu bản chất: Bài toán muốn dùng mỗi cạnh đúng một lần.
Với phần có cạnh liên thông: 0 đỉnh bậc lẻ ⇔ có chu trình Euler; 2 đỉnh bậc lẻ ⇔ có đường đi Euler mở.
Điều kiện: Phải kiểm liên thông sau khi bỏ các đỉnh cô lập không có cạnh.
Ví dụ: Dãy bậc 1,2,2,1 có đường Euler bắt đầu và kết thúc ở hai đỉnh bậc 1.
Neo nhớ: EULER ĐẾM CẠNH; LẺ 0 KHÉP, LẺ 2 MỞ.
Cảnh báo: Bốn đỉnh lẻ thì không có đường Euler đi mỗi cạnh đúng một lần.
Tự hỏi: “Đối tượng, quy ước, đơn vị và điều kiện đã được khóa chưa?”
Đường đi Hamilton
Hiểu bản chất: Bài toán muốn ghé mỗi đỉnh đúng một lần.
Đường Hamilton đi qua mỗi đỉnh đúng một lần; chu trình Hamilton còn quay về đỉnh đầu.
Điều kiện: Không có tiêu chuẩn bậc lẻ đơn giản như Euler trong phạm vi này.
Ví dụ: Một đồ thị có thể có Hamilton mà không có Euler hoặc ngược lại.
Neo nhớ: HAMILTON GHÉ ĐỈNH.
Cảnh báo: Không áp dụng quy tắc 0/2 đỉnh lẻ của Euler cho Hamilton.
Tự hỏi: “Đối tượng, quy ước, đơn vị và điều kiện đã được khóa chưa?”
Đồ thị có trọng số
Hiểu bản chất: Mỗi cạnh mang chi phí như quãng đường hoặc thời gian.
Độ dài một đường đi là tổng trọng số các cạnh trên đường đó.
Điều kiện: Các trọng số phải cùng ý nghĩa, cùng đơn vị và phù hợp thời điểm dữ liệu.
Ví dụ: Đường hai cạnh 2+2 có thể tốt hơn đường một cạnh trọng số 100.
Neo nhớ: ÍT CẠNH KHÔNG ĐỒNG NGHĨA ÍT CHI PHÍ.
Cảnh báo: Không cộng phút với kilômét trong một hàm mục tiêu chưa chuẩn hóa.
Tự hỏi: “Đối tượng, quy ước, đơn vị và điều kiện đã được khóa chưa?”
Thuật toán Dijkstra
Hiểu bản chất: Luôn chốt đỉnh chưa xét có nhãn nhỏ nhất rồi nới lỏng các cạnh kề.
Khởi tạo d(s)=0, đỉnh khác ∞; lặp chọn nhãn nhỏ nhất chưa chốt và cập nhật d(v)=min(d(v),d(u)+w(u,v)).
Điều kiện: Trọng số hữu hạn không âm; muốn lấy đường phải lưu đỉnh trước.
Ví dụ: AB=2, BC=1 nên nhãn C có thể giảm từ 5 xuống 3 qua B.
Neo nhớ: CHỌN NHỎ – CHỐT – NỚI LỎNG – TRUY VẾT.
Cảnh báo: Cạnh âm làm bước chốt tham lam không còn được bảo đảm.
Tự hỏi: “Đối tượng, quy ước, đơn vị và điều kiện đã được khóa chưa?”
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Đề hay vì buộc học sinh nghĩ đúng bản chất
Mỗi ví dụ có phân tích, hướng làm, các bước, giải thích, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtĐồ thị đơn có dãy bậc [2,2,2,2]. Tính tổng bậc và số cạnh.
Phân tích: Định lí bắt tay: tổng bậc = 2|E|.
Hướng làm: Khóa đối tượng, quy ước và điều kiện trước; dự báo kết quả rồi mới tính hoặc dựng hình.
- Tổng bậc=8; số cạnh=4.
Vì sao: Mỗi cạnh chạm hai đầu mút nên được tính hai lần trong tổng bậc.
Cách khác: Đếm mỗi đầu cạnh rồi chia đôi.
Tự kiểm: Kết quả: 4 cạnh. Kiểm lại bằng một bất biến, phép biến đổi ngược hoặc đường đi độc lập.
02 • Nhận biếtĐồ thị đầy đủ K5 có bao nhiêu cạnh?
Phân tích: Mỗi cặp đỉnh có đúng một cạnh.
Hướng làm: Khóa đối tượng, quy ước và điều kiện trước; dự báo kết quả rồi mới tính hoặc dựng hình.
- |E|=C(5,2)=10.
Vì sao: Không đếm cạnh AA và không đếm AB, BA thành hai cạnh trong đồ thị vô hướng đơn.
Cách khác: Tổng bậc n(n−1), rồi chia 2.
Tự kiểm: Kết quả: 10. Kiểm lại bằng một bất biến, phép biến đổi ngược hoặc đường đi độc lập.
03 • Nhận biếtMột đồ thị liên thông có dãy bậc [2,2,2,2]. Kết luận về Euler.
Phân tích: Đếm số đỉnh bậc lẻ.
Hướng làm: Khóa đối tượng, quy ước và điều kiện trước; dự báo kết quả rồi mới tính hoặc dựng hình.
- 0 đỉnh bậc lẻ, nên có chu trình Euler.
Vì sao: Điều kiện liên thông được nêu rõ; nếu bỏ điều kiện này, chỉ đếm bậc là chưa đủ.
Cách khác: Thử khởi hành ở một đỉnh lẻ nếu có đúng hai đỉnh lẻ.
Tự kiểm: Kết quả: chu trình Euler. Kiểm lại bằng một bất biến, phép biến đổi ngược hoặc đường đi độc lập.
04 • Nhận biếtĐường đi Euler và đường đi Hamilton khác nhau ở đối tượng phải đi qua thế nào?
Phân tích: Một loại phủ cạnh, loại kia phủ đỉnh.
Hướng làm: Khóa đối tượng, quy ước và điều kiện trước; dự báo kết quả rồi mới tính hoặc dựng hình.
- Euler đi qua mỗi cạnh đúng một lần; Hamilton đi qua mỗi đỉnh đúng một lần (theo quy ước đường đi Hamilton đơn).
Vì sao: Một đồ thị có thể có loại này mà không có loại kia.
Cách khác: Neo nhớ: Euler–edge (cạnh), Hamilton–home vertices (đỉnh).
Tự kiểm: Kết quả: Euler phủ cạnh; Hamilton phủ đỉnh. Kiểm lại bằng một bất biến, phép biến đổi ngược hoặc đường đi độc lập.
05 • Nhận biếtTrong đồ thị có trọng số, trọng số trên cạnh có thể biểu diễn những đại lượng nào?
Phân tích: Nó là chi phí của việc đi qua cạnh.
Hướng làm: Khóa đối tượng, quy ước và điều kiện trước; dự báo kết quả rồi mới tính hoặc dựng hình.
- Có thể biểu diễn quãng đường, thời gian, chi phí hoặc đại lượng phù hợp khác; phải thống nhất ý nghĩa và đơn vị.
Vì sao: Đường ít cạnh nhất không nhất thiết là đường có tổng trọng số nhỏ nhất.
Cách khác: Ghi đơn vị ngay cạnh mỗi trọng số trước khi tối ưu.
Tự kiểm: Kết quả: Chi phí thống nhất như quãng đường, thời gian hoặc tiền. Kiểm lại bằng một bất biến, phép biến đổi ngược hoặc đường đi độc lập.
06 • Nhận biếtĐồ thị đơn có dãy bậc [2,2,4,2]. Tính tổng bậc và số cạnh.
Phân tích: Định lí bắt tay: tổng bậc = 2|E|.
Hướng làm: Khóa đối tượng, quy ước và điều kiện trước; dự báo kết quả rồi mới tính hoặc dựng hình.
- Tổng bậc=10; số cạnh=5.
Vì sao: Mỗi cạnh chạm hai đầu mút nên được tính hai lần trong tổng bậc.
Cách khác: Đếm mỗi đầu cạnh rồi chia đôi.
Tự kiểm: Kết quả: 5 cạnh. Kiểm lại bằng một bất biến, phép biến đổi ngược hoặc đường đi độc lập.
07 • Nhận biếtĐồ thị đầy đủ K10 có bao nhiêu cạnh?
Phân tích: Mỗi cặp đỉnh có đúng một cạnh.
Hướng làm: Khóa đối tượng, quy ước và điều kiện trước; dự báo kết quả rồi mới tính hoặc dựng hình.
- |E|=C(10,2)=45.
Vì sao: Không đếm cạnh AA và không đếm AB, BA thành hai cạnh trong đồ thị vô hướng đơn.
Cách khác: Tổng bậc n(n−1), rồi chia 2.
Tự kiểm: Kết quả: 45. Kiểm lại bằng một bất biến, phép biến đổi ngược hoặc đường đi độc lập.
08 • Nhận biếtMột đồ thị liên thông có dãy bậc [1,2,2,1]. Kết luận về Euler.
Phân tích: Đếm số đỉnh bậc lẻ.
Hướng làm: Khóa đối tượng, quy ước và điều kiện trước; dự báo kết quả rồi mới tính hoặc dựng hình.
- 2 đỉnh bậc lẻ, nên có đường đi Euler mở.
Vì sao: Điều kiện liên thông được nêu rõ; nếu bỏ điều kiện này, chỉ đếm bậc là chưa đủ.
Cách khác: Thử khởi hành ở một đỉnh lẻ nếu có đúng hai đỉnh lẻ.
Tự kiểm: Kết quả: đường đi Euler mở. Kiểm lại bằng một bất biến, phép biến đổi ngược hoặc đường đi độc lập.
09 • Nhận biếtĐường đi Euler và đường đi Hamilton khác nhau ở đối tượng phải đi qua thế nào?
Phân tích: Một loại phủ cạnh, loại kia phủ đỉnh.
Hướng làm: Khóa đối tượng, quy ước và điều kiện trước; dự báo kết quả rồi mới tính hoặc dựng hình.
- Euler đi qua mỗi cạnh đúng một lần; Hamilton đi qua mỗi đỉnh đúng một lần (theo quy ước đường đi Hamilton đơn).
Vì sao: Một đồ thị có thể có loại này mà không có loại kia.
Cách khác: Neo nhớ: Euler–edge (cạnh), Hamilton–home vertices (đỉnh).
Tự kiểm: Kết quả: Euler phủ cạnh; Hamilton phủ đỉnh. Kiểm lại bằng một bất biến, phép biến đổi ngược hoặc đường đi độc lập.
10 • Nhận biếtTrong đồ thị có trọng số, trọng số trên cạnh có thể biểu diễn những đại lượng nào?
Phân tích: Nó là chi phí của việc đi qua cạnh.
Hướng làm: Khóa đối tượng, quy ước và điều kiện trước; dự báo kết quả rồi mới tính hoặc dựng hình.
- Có thể biểu diễn quãng đường, thời gian, chi phí hoặc đại lượng phù hợp khác; phải thống nhất ý nghĩa và đơn vị.
Vì sao: Đường ít cạnh nhất không nhất thiết là đường có tổng trọng số nhỏ nhất.
Cách khác: Ghi đơn vị ngay cạnh mỗi trọng số trước khi tối ưu.
Tự kiểm: Kết quả: Chi phí thống nhất như quãng đường, thời gian hoặc tiền. Kiểm lại bằng một bất biến, phép biến đổi ngược hoặc đường đi độc lập.
ỨNG DỤNG CÓ GIỚI HẠN
Thực tế nhưng không suy diễn quá mô hình
Tìm tuyến đường
Đỉnh là giao điểm, cạnh là tuyến; trọng số có thể là quãng đường hoặc thời gian nhưng phải chọn một hàm mục tiêu rõ.
Đi qua các tuyến phố
Euler giúp kiểm khả năng đi mỗi tuyến một lần; bài toán cho phép lặp cạnh là mở rộng, không đánh tráo với điều kiện cơ bản.
Ghé mỗi điểm
Hamilton mô hình hóa việc ghé các địa điểm; không dùng tiêu chuẩn bậc Euler để kết luận.
Kết nối và chi phí
Đồ thị mô tả liên kết; dữ liệu trễ thay đổi theo thời gian nên kết quả tĩnh cần ghi thời điểm đo.
SỔ LỖI CHUYÊN ĐỀ
Tám lỗi phải nhận ra trước khi qua cổng
Không nêu loại đồ thị
Khóa vô hướng/có hướng, trọng số và cạnh lặp trước khi suy luận.
Nhầm Euler với Hamilton
Euler phủ cạnh; Hamilton phủ đỉnh.
Bỏ điều kiện liên thông
Đếm bậc chỉ có ý nghĩa Euler khi phần chứa cạnh liên thông.
Tổng bậc bằng số cạnh
Trong đồ thị vô hướng, tổng bậc bằng hai lần số cạnh.
Dùng điều kiện cần như đủ
Tổng bậc chẵn chưa chứng minh một dãy là dãy bậc của đồ thị đơn.
Tham lam chọn cạnh nhẹ
Dijkstra chọn đỉnh có tổng nhãn nhỏ nhất, không chọn cạnh nhỏ nhất rời rạc.
Dùng Dijkstra với cạnh âm
Thuật toán nguyên dạng yêu cầu mọi trọng số không âm.
Không nêu giới hạn dữ liệu
Kết quả thực tế phụ thuộc đơn vị, thời điểm và tính ổn định của trọng số.
HỌC THÔNG MINH
Nhớ bằng cấu trúc và phép kiểm
Dịch tình huống
Đối tượng nào là đỉnh, quan hệ nào là cạnh, chi phí nào là trọng số?
Xác định mục tiêu
Đi hết cạnh, ghé hết đỉnh hay giảm tổng trọng số?
Khóa điều kiện
Liên thông? số đỉnh lẻ? trọng số không âm?
Kiểm độc lập
Với đồ thị nhỏ, liệt kê đường để đối chiếu thuật toán.
THẺ 1/8
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Đủ đề, gợi ý, lời giải, lý do và lỗi sai
Mỗi mức có đúng 20 bài; ba bài đầu mỗi mức chỉ gọi lại nền đã học trước đó.
100 câu phù hợp
11.3-NB-01Một tập có 4 phần tử. Có bao nhiêu cặp phần tử không xét thứ tự?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chọn 2 phần tử từ n phần tử.
Lời giải: C(4,2)=6.
Vì sao: Trong đồ thị đơn đầy đủ, mỗi cặp đỉnh tạo đúng một cạnh.
Sai ở đâu: Dùng n(n−1), đã đếm hai thứ tự của một cặp.
Cách khác: Tính 1+2+⋯+3.
11.3-NB-02Có 5 điểm được nối thành một vòng khép kín, mỗi điểm nối hai điểm kề. Tổng số đoạn nối là bao nhiêu?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mỗi đỉnh bậc 2; tổng bậc bằng hai lần số cạnh.
Lời giải: Tổng bậc 2·5; số cạnh=10/2=5.
Vì sao: Đây là mô hình chu trình đơn.
Sai ở đâu: Đếm n−1 như một đường đi mở.
Cách khác: Liệt kê từng cạnh quanh vòng.
11.3-NB-03Phủ định của phát biểu ‘mọi đỉnh đều có bậc chẵn’ là gì?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đổi ‘mọi’ thành ‘tồn tại’ và phủ định tính chẵn.
Lời giải: Tồn tại ít nhất một đỉnh có bậc lẻ.
Vì sao: Logic lượng từ giúp phát biểu đúng điều kiện Euler.
Sai ở đâu: Viết mọi đỉnh đều lẻ.
Cách khác: ¬(∀v, chẵn(v)) ⇔ ∃v, lẻ(v).
11.3-NB-04Đồ thị đơn có dãy bậc [2,2,2,2]. Tính tổng bậc và số cạnh.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Định lí bắt tay: tổng bậc = 2|E|.
Lời giải: Tổng bậc=8; số cạnh=4.
Vì sao: Mỗi cạnh chạm hai đầu mút nên được tính hai lần trong tổng bậc.
Sai ở đâu: Cho số cạnh bằng tổng bậc.
Cách khác: Đếm mỗi đầu cạnh rồi chia đôi.
11.3-NB-05Đồ thị đầy đủ K5 có bao nhiêu cạnh?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mỗi cặp đỉnh có đúng một cạnh.
Lời giải: |E|=C(5,2)=10.
Vì sao: Không đếm cạnh AA và không đếm AB, BA thành hai cạnh trong đồ thị vô hướng đơn.
Sai ở đâu: Dùng n² hoặc n(n−1).
Cách khác: Tổng bậc n(n−1), rồi chia 2.
11.3-NB-06Một đồ thị liên thông có dãy bậc [2,2,2,2]. Kết luận về Euler.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đếm số đỉnh bậc lẻ.
Lời giải: 0 đỉnh bậc lẻ, nên có chu trình Euler.
Vì sao: Điều kiện liên thông được nêu rõ; nếu bỏ điều kiện này, chỉ đếm bậc là chưa đủ.
Sai ở đâu: Không kiểm liên thông của phần chứa cạnh.
Cách khác: Thử khởi hành ở một đỉnh lẻ nếu có đúng hai đỉnh lẻ.
11.3-NB-07Đường đi Euler và đường đi Hamilton khác nhau ở đối tượng phải đi qua thế nào?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Một loại phủ cạnh, loại kia phủ đỉnh.
Lời giải: Euler đi qua mỗi cạnh đúng một lần; Hamilton đi qua mỗi đỉnh đúng một lần (theo quy ước đường đi Hamilton đơn).
Vì sao: Một đồ thị có thể có loại này mà không có loại kia.
Sai ở đâu: Đồng nhất ‘đi hết’ mà không nói hết cạnh hay hết đỉnh.
Cách khác: Neo nhớ: Euler–edge (cạnh), Hamilton–home vertices (đỉnh).
11.3-NB-08Trong đồ thị có trọng số, trọng số trên cạnh có thể biểu diễn những đại lượng nào?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nó là chi phí của việc đi qua cạnh.
Lời giải: Có thể biểu diễn quãng đường, thời gian, chi phí hoặc đại lượng phù hợp khác; phải thống nhất ý nghĩa và đơn vị.
Vì sao: Đường ít cạnh nhất không nhất thiết là đường có tổng trọng số nhỏ nhất.
Sai ở đâu: Cộng các trọng số khác đơn vị trong cùng mô hình.
Cách khác: Ghi đơn vị ngay cạnh mỗi trọng số trước khi tối ưu.
11.3-NB-09Đồ thị đơn có dãy bậc [2,2,4,2]. Tính tổng bậc và số cạnh.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Định lí bắt tay: tổng bậc = 2|E|.
Lời giải: Tổng bậc=10; số cạnh=5.
Vì sao: Mỗi cạnh chạm hai đầu mút nên được tính hai lần trong tổng bậc.
Sai ở đâu: Cho số cạnh bằng tổng bậc.
Cách khác: Đếm mỗi đầu cạnh rồi chia đôi.
11.3-NB-10Đồ thị đầy đủ K10 có bao nhiêu cạnh?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mỗi cặp đỉnh có đúng một cạnh.
Lời giải: |E|=C(10,2)=45.
Vì sao: Không đếm cạnh AA và không đếm AB, BA thành hai cạnh trong đồ thị vô hướng đơn.
Sai ở đâu: Dùng n² hoặc n(n−1).
Cách khác: Tổng bậc n(n−1), rồi chia 2.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phương án nhiễu sinh từ lỗi thật
Cổng đạt đề xuất 80%; đọc giải thích cả khi chọn đúng.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Đồ thị đầy đủ K4 có bao nhiêu cạnh?
5 ĐỀ LUYỆN CÓ HƯỚNG CHẤM
Phân bố đủ năm nấc độ khó
Đề mức 1
11.3-NB-01, 11.3-NB-02, 11.3-NB-03, 11.3-NB-04, 11.3-NB-05, 11.3-NB-06, 11.3-NB-07, 11.3-NB-08, 11.3-NB-09, 11.3-NB-10.
Xem đáp án
- 11.3-NB-01: 6
- 11.3-NB-02: 5
- 11.3-NB-03: Có ít nhất một đỉnh bậc lẻ
- 11.3-NB-04: 4 cạnh
- 11.3-NB-05: 10
- 11.3-NB-06: chu trình Euler
- 11.3-NB-07: Euler phủ cạnh; Hamilton phủ đỉnh
- 11.3-NB-08: Chi phí thống nhất như quãng đường, thời gian hoặc tiền
- 11.3-NB-09: 5 cạnh
- 11.3-NB-10: 45
Đề mức 2
11.3-TH-01, 11.3-TH-02, 11.3-TH-03, 11.3-TH-04, 11.3-TH-05, 11.3-TH-06, 11.3-TH-07, 11.3-TH-08, 11.3-TH-09, 11.3-TH-10.
Xem đáp án
- 11.3-TH-01: 21
- 11.3-TH-02: 8
- 11.3-TH-03: Có ít nhất một đỉnh bậc lẻ
- 11.3-TH-04: Hai đỉnh lẻ là hai đầu mút khác nhau
- 11.3-TH-05: Không; không dùng tiêu chuẩn bậc lẻ của Euler
- 11.3-TH-06: Cạnh âm phá vỡ bước chốt tham lam
- 11.3-TH-07: Không bị loại bởi định lí bắt tay; chưa đủ để kết luận tồn tại
- 11.3-TH-08: Hai đỉnh lẻ là hai đầu mút khác nhau
- 11.3-TH-09: Không; không dùng tiêu chuẩn bậc lẻ của Euler
- 11.3-TH-10: Cạnh âm phá vỡ bước chốt tham lam
Đề mức 3
11.3-VD-01, 11.3-VD-02, 11.3-VD-03, 11.3-VD-04, 11.3-VD-05, 11.3-VD-06, 11.3-VD-07, 11.3-VD-08, 11.3-VD-09, 11.3-VD-10.
Xem đáp án
- 11.3-VD-01: 10
- 11.3-VD-02: 6
- 11.3-VD-03: Có ít nhất một đỉnh bậc lẻ
- 11.3-VD-04: 6
- 11.3-VD-05: Cùng một đỉnh
- 11.3-VD-06: 5
- 11.3-VD-07: Cùng một đỉnh
- 11.3-VD-08: 7
- 11.3-VD-09: Hai đỉnh bậc lẻ
- 11.3-VD-10: 6
Đề mức 4
11.3-VDC-01, 11.3-VDC-02, 11.3-VDC-03, 11.3-VDC-04, 11.3-VDC-05, 11.3-VDC-06, 11.3-VDC-07, 11.3-VDC-08, 11.3-VDC-09, 11.3-VDC-10.
Xem đáp án
- 11.3-VDC-01: 28
- 11.3-VDC-02: 4
- 11.3-VDC-03: Có ít nhất một đỉnh bậc lẻ
- 11.3-VDC-04: Sai; A–D=100, A–B–D=4
- 11.3-VDC-05: Không thể theo nguyên yêu cầu
- 11.3-VDC-06: Sai; A–D=100, A–B–D=4
- 11.3-VDC-07: Không thể theo nguyên yêu cầu
- 11.3-VDC-08: Sai; A–D=100, A–B–D=4
- 11.3-VDC-09: Không thể theo nguyên yêu cầu
- 11.3-VDC-10: Sai; A–D=100, A–B–D=4
Đề ứng dụng tổng hợp
11.3-TT-01, 11.3-TT-02, 11.3-TT-03, 11.3-TT-04, 11.3-TT-05, 11.3-TT-06, 11.3-TT-07, 11.3-TT-08, 11.3-TT-09, 11.3-TT-10.
Xem đáp án
- 11.3-TT-01: 15
- 11.3-TT-02: 7
- 11.3-TT-03: Có ít nhất một đỉnh bậc lẻ
- 11.3-TT-04: 5 phút trong mô hình tĩnh
- 11.3-TT-05: 6 phút trong mô hình tĩnh
- 11.3-TT-06: 7 phút trong mô hình tĩnh
- 11.3-TT-07: 8 phút trong mô hình tĩnh
- 11.3-TT-08: 5 phút trong mô hình tĩnh
- 11.3-TT-09: 6 phút trong mô hình tĩnh
- 11.3-TT-10: 7 phút trong mô hình tĩnh
NGUỒN VÀ GIỚI HẠN
Khóa chuẩn trước khi xuất bản
Nguồn chương trình quyết định phạm vi; ví dụ và lời giải được viết mới, tính lại và kiểm thử.
01
Chương trình GDPT môn Toán – kèm Thông tư 32/2018/TT-BGDĐTNguồn cấp một khóa tên chuyên đề, phạm vi, yêu cầu cần đạt và tổng thời lượng 35 tiết.
Mở nguồn ↗02Thông tư 12/2022/TT-BGDĐT – Chương trình GDTX cấp THPTNguồn chính thống đối chiếu tên, yêu cầu cần đạt và phân bổ 15–10–10 tiết của cụm chuyên đề Toán 11.
Mở nguồn ↗Giới hạn công bố: Đây là học liệu củng cố và học sâu theo chuyên đề lựa chọn, không thay thế kế hoạch dạy học của nhà trường. Với bản vẽ và mô hình mạng ngoài đời, phải dùng đúng tiêu chuẩn và dữ liệu thực tế tương ứng; không lấy mô hình nhập môn làm hồ sơ kĩ thuật hay cam kết lộ trình.