- Quy tắc cộng–nhân xác suất và biến cố độc lập
- Tổ hợp C(n,k)
- Số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn
- Đọc bảng và diễn giải đơn vị
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBiến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc
Làm sao biến một tình huống ngẫu nhiên thành bảng số liệu có thể tính mức trung tâm và rủi ro?
Hồ sơ mô hình xác suất có bảng phân bố hợp lệ, kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, phân bố nhị thức và diễn giải đúng giới hạn.
PHẠM VI • NỀN • ĐÍCH
Học đủ yêu cầu, không dùng kiến thức chưa có
Bám đúng hai chủ đề của chương trình: biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng; phép thử lặp Bernoulli và phân bố nhị thức. Không đưa mật độ xác suất liên tục, kiểm định giả thuyết hay suy luận thống kê đại học vào tuyến bắt buộc.
- Lập và kiểm tra bảng phân bố xác suất
- Tính E(X), Var(X), σ(X) theo hai công thức tương đương
- Giải thích ý nghĩa thực tiễn mà không biến kì vọng thành cam kết
- Nhận dạng và vận dụng đúng mô hình nhị thức
Từ phép thử đến biến ngẫu nhiên
Nền: Không gian mẫu, biến cố, xác suất.
Đầu ra: Xác định giá trị của X và lập bảng phân bố có tổng xác suất bằng 1.
- Mã hóa số lần thành công
- Kiểm bảng bằng tổng xác suất
- Phân biệt giá trị của X với xác suất
Kì vọng và độ phân tán
Nền: Trung bình có trọng số và phương sai.
Đầu ra: Tính và giải thích E, Var, σ trong đúng đơn vị.
- So sánh phương án cùng kì vọng
- Kiểm Var theo hai công thức
- Đọc rủi ro từ độ lệch chuẩn
Bernoulli và phân bố nhị thức
Nền: Tổ hợp và phép thử độc lập.
Đầu ra: Nhận dạng B(n,p), tính xác suất và vận dụng vào tình huống nhỏ.
- Khóa bốn điều kiện nhị thức
- Tính P(X=k)
- Giải thích np và np(1−p)
Hàng rào chuyên đề: Kì vọng là trung bình dài hạn, không phải kết quả chắc chắn. Phân bố nhị thức chỉ dùng khi số phép thử cố định, mỗi phép có hai kết quả theo cách mã hóa, các phép thử độc lập và xác suất thành công p không đổi.
TRỰC GIÁC → PHÁT BIỂU → ĐIỀU KIỆN
Kiến thức trọng tâm có hàng rào chống nhầm
Mẹo nhớ chỉ được giữ nếu không làm mất đối tượng, đơn vị, giả định hoặc điều kiện áp dụng.
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Hiểu bản chất: Một quy tắc gán số cho mỗi kết quả phép thử; tập giá trị hữu hạn hoặc đếm được.
X: Ω→ℝ; với chuyên đề này X chỉ nhận một số ít giá trị x₁,…,xₘ.
Điều kiện: Phải mô tả rõ phép thử và ý nghĩa của X.
Ví dụ: Tung ba đồng xu, X là số mặt ngửa: X∈{0,1,2,3}.
Neo nhớ: Kết quả → gán số → X.
Cảnh báo: X không phải là xác suất; P(X=x) mới là xác suất.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Bảng phân bố xác suất
Hiểu bản chất: Bảng ghép từng giá trị có thể của X với phần khả năng tương ứng.
pᵢ=P(X=xᵢ), pᵢ≥0 và Σpᵢ=1.
Điều kiện: Liệt kê đủ các giá trị phân biệt; không đếm trùng trường hợp.
Ví dụ: X∈{0,1}, P(X=1)=p, P(X=0)=1−p.
Neo nhớ: Không âm – đủ một.
Cảnh báo: Tổng khác 1 thì dừng; chưa được tính kì vọng.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Kì vọng
Hiểu bản chất: Trọng tâm xác suất hay trung bình dài hạn của X.
E(X)=Σxᵢpᵢ.
Điều kiện: Bảng phân bố hợp lệ và đơn vị của xᵢ thống nhất.
Ví dụ: X nhận 0,10 với xác suất 0,7;0,3 thì E(X)=3.
Neo nhớ: Giá trị × khả năng rồi cộng.
Cảnh báo: E(X) có thể không thuộc tập giá trị của X.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Phương sai
Hiểu bản chất: Đo bình phương mức lệch trung bình quanh kì vọng.
Var(X)=Σ(xᵢ−μ)²pᵢ=E(X²)−μ², μ=E(X).
Điều kiện: Không được bỏ bình phương; hai công thức phải cho cùng kết quả không âm.
Ví dụ: Biến hằng có Var=0.
Neo nhớ: Lệch – bình phương – cân xác suất.
Cảnh báo: Đơn vị phương sai là bình phương đơn vị của X.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Độ lệch chuẩn
Hiểu bản chất: Đưa độ phân tán về cùng đơn vị với X.
σ(X)=√Var(X)≥0.
Điều kiện: Lấy căn không âm của phương sai.
Ví dụ: Var=4 triệu² thì σ=2 triệu.
Neo nhớ: Căn phương sai.
Cảnh báo: σ nhỏ không tự động đồng nghĩa phương án tốt; còn phụ thuộc mục tiêu và mô hình.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Phép thử Bernoulli
Hiểu bản chất: Mỗi phép thử được mã hóa thành thành công hoặc thất bại.
P(thành công)=p, P(thất bại)=1−p.
Điều kiện: Cách gọi thành công do bài toán quy định, không mang nghĩa tốt–xấu.
Ví dụ: Sản phẩm đạt chuẩn/không đạt chuẩn.
Neo nhớ: Hai kết quả theo mã hóa.
Cảnh báo: Một phép thử nhiều kết quả vẫn có thể Bernoulli nếu quy về một biến cố và phần bù rõ ràng.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Phân bố nhị thức
Hiểu bản chất: Đếm số lần thành công trong n phép thử Bernoulli độc lập giống nhau.
Nếu X~B(n,p), P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ.
Điều kiện: n cố định; hai kết quả; độc lập; p không đổi; k∈{0,…,n}.
Ví dụ: Số câu đúng trong 5 câu đoán độc lập, mỗi câu cùng xác suất đúng.
Neo nhớ: n cố định – p cố định – độc lập – đếm thành công.
Cảnh báo: Lấy mẫu không hoàn lại từ tổng thể nhỏ thường làm p thay đổi.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Số đặc trưng của B(n,p)
Hiểu bản chất: Tổng n biến Bernoulli làm kì vọng và phương sai cộng lại.
E(X)=np; Var(X)=np(1−p); σ=√[np(1−p)].
Điều kiện: Chỉ dùng sau khi xác nhận X~B(n,p).
Ví dụ: B(10;0,3) có E=3, Var=2,1.
Neo nhớ: Trung tâm np; phân tán thêm (1−p).
Cảnh báo: np không phải số thành công chắc chắn ở mỗi nhóm.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Đề hay vì buộc học sinh nghĩ đúng bản chất
Mỗi ví dụ có phân tích, hướng làm, các bước, giải thích, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtX nhận các giá trị 0, 1, 3 với xác suất lần lượt 0.2, 0.3, 0.5. Tính E(X), Var(X) và σ(X).
Phân tích: Kiểm tổng xác suất bằng 1; sau đó tính trung bình có trọng số và bình phương độ lệch.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- Tổng pᵢ=1.
- E(X)=Σxᵢpᵢ=1.8.
- Var(X)=Σ(xᵢ−E(X))²pᵢ=1.56.
- σ(X)=√Var(X)≈1.249.
Vì sao: Kì vọng mô tả mức trung tâm dài hạn; độ lệch chuẩn đo mức phân tán quanh kì vọng và cùng đơn vị với X.
Cách khác: Có thể kiểm Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=1.56.
Tự kiểm: Kết quả: E=1.8; Var=1.56; σ≈1.249. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
02 • Nhận biết5 phép thử Bernoulli độc lập, mỗi phép có xác suất thành công p=0.25. Tính xác suất đúng 1 lần thành công.
Phân tích: Xác nhận đủ bốn dấu hiệu của mô hình nhị thức rồi dùng C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- P(X=1)=C(5,1)·0.25^1·0.75^4≈0.395508.
Vì sao: Hệ số tổ hợp chọn vị trí các lần thành công; hai lũy thừa biểu diễn xác suất của một mẫu kết quả.
Cách khác: Với n nhỏ, có thể liệt kê mẫu để kiểm chéo.
Tự kiểm: Kết quả: 0.395508. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
03 • Nhận biếtBảng phân bố của X có ba xác suất 0.25, a, 0.35. Tìm a.
Phân tích: Tổng mọi xác suất trong bảng phân bố bằng 1.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- 0.25+a+0.35=1
- a=0.4; giá trị này thuộc [0;1].
Vì sao: Điều kiện tổng bằng 1 là cổng đầu tiên trước mọi phép tính số đặc trưng.
Cách khác: Lấy 100% trừ hai phần trăm đã biết.
Tự kiểm: Kết quả: 0.4. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
04 • Nhận biếtMột phương án cho kết quả 5 với xác suất 0.35 và 11 với xác suất 0.65. Tính kì vọng và độ lệch chuẩn để mô tả cả mức trung tâm lẫn rủi ro.
Phân tích: Không đánh giá phương án chỉ bằng kết quả lớn nhất; tính E và σ.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- E=5·0.35+11·0.65=8.9.
- σ=√[Σ(x−E)²p]≈2.8618.
Vì sao: Hai phương án có cùng kì vọng vẫn có thể khác độ phân tán; kì vọng không phải lời hứa về từng lần thử.
Cách khác: Với biến hai giá trị, kiểm bằng Var=p(1−p)(high−low)².
Tự kiểm: Kết quả: E=8.9; σ≈2.8618. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
05 • Nhận biếtX~B(9; 0.1). Tính E(X), Var(X), σ(X) và giải thích E(X).
Phân tích: Với phân bố nhị thức: E=np, Var=np(1−p).
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- E(X)=9·0.1=0.9.
- Var(X)=9·0.1·0.9=0.81.
- σ≈0.9.
Vì sao: Nếu lặp rất nhiều nhóm 9 phép thử trong cùng điều kiện, số thành công trung bình mỗi nhóm tiến gần 0.9; không có nghĩa mỗi nhóm đều đạt đúng số đó.
Cách khác: Xem X là tổng của n biến Bernoulli độc lập.
Tự kiểm: Kết quả: E=0.9; Var=0.81; σ≈0.9. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
06 • Nhận biếtX nhận các giá trị 0, 3, 3 với xác suất lần lượt 0.3, 0.4, 0.3. Tính E(X), Var(X) và σ(X).
Phân tích: Kiểm tổng xác suất bằng 1; sau đó tính trung bình có trọng số và bình phương độ lệch.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- Tổng pᵢ=1.
- E(X)=Σxᵢpᵢ=2.1.
- Var(X)=Σ(xᵢ−E(X))²pᵢ=1.89.
- σ(X)=√Var(X)≈1.3748.
Vì sao: Kì vọng mô tả mức trung tâm dài hạn; độ lệch chuẩn đo mức phân tán quanh kì vọng và cùng đơn vị với X.
Cách khác: Có thể kiểm Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=1.89.
Tự kiểm: Kết quả: E=2.1; Var=1.89; σ≈1.3748. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
07 • Nhận biết4 phép thử Bernoulli độc lập, mỗi phép có xác suất thành công p=0.4. Tính xác suất đúng 1 lần thành công.
Phân tích: Xác nhận đủ bốn dấu hiệu của mô hình nhị thức rồi dùng C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- P(X=1)=C(4,1)·0.4^1·0.6^3≈0.3456.
Vì sao: Hệ số tổ hợp chọn vị trí các lần thành công; hai lũy thừa biểu diễn xác suất của một mẫu kết quả.
Cách khác: Với n nhỏ, có thể liệt kê mẫu để kiểm chéo.
Tự kiểm: Kết quả: 0.3456. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
08 • Nhận biếtBảng phân bố của X có ba xác suất 0.2, a, 0.4. Tìm a.
Phân tích: Tổng mọi xác suất trong bảng phân bố bằng 1.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- 0.2+a+0.4=1
- a=0.4; giá trị này thuộc [0;1].
Vì sao: Điều kiện tổng bằng 1 là cổng đầu tiên trước mọi phép tính số đặc trưng.
Cách khác: Lấy 100% trừ hai phần trăm đã biết.
Tự kiểm: Kết quả: 0.4. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
09 • Nhận biếtMột phương án cho kết quả 2 với xác suất 0.8 và 10 với xác suất 0.2. Tính kì vọng và độ lệch chuẩn để mô tả cả mức trung tâm lẫn rủi ro.
Phân tích: Không đánh giá phương án chỉ bằng kết quả lớn nhất; tính E và σ.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- E=2·0.8+10·0.2=3.6.
- σ=√[Σ(x−E)²p]≈3.2.
Vì sao: Hai phương án có cùng kì vọng vẫn có thể khác độ phân tán; kì vọng không phải lời hứa về từng lần thử.
Cách khác: Với biến hai giá trị, kiểm bằng Var=p(1−p)(high−low)².
Tự kiểm: Kết quả: E=3.6; σ≈3.2. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
10 • Nhận biếtX~B(8; 0.2). Tính E(X), Var(X), σ(X) và giải thích E(X).
Phân tích: Với phân bố nhị thức: E=np, Var=np(1−p).
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- E(X)=8·0.2=1.6.
- Var(X)=8·0.2·0.8=1.28.
- σ≈1.1314.
Vì sao: Nếu lặp rất nhiều nhóm 8 phép thử trong cùng điều kiện, số thành công trung bình mỗi nhóm tiến gần 1.6; không có nghĩa mỗi nhóm đều đạt đúng số đó.
Cách khác: Xem X là tổng của n biến Bernoulli độc lập.
Tự kiểm: Kết quả: E=1.6; Var=1.28; σ≈1.1314. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
ỨNG DỤNG CÓ GIỚI HẠN
Thực tế nhưng không suy diễn quá mô hình
Số sản phẩm đạt chuẩn
Dùng nhị thức khi các lần kiểm tra độc lập và xác suất đạt chuẩn được coi không đổi; nếu lấy mẫu không hoàn lại từ lô nhỏ phải xem lại mô hình.
So sánh năng suất có rủi ro
Kì vọng so mức trung tâm, độ lệch chuẩn so dao động; kết luận còn phụ thuộc dữ liệu và điều kiện thực nghiệm.
Tổng hợp nhiều rủi ro nhỏ
Mô hình nhập môn giúp hiểu nguyên lí gộp rủi ro, không dùng để định phí thực tế khi thiếu dữ liệu và giả định chuyên môn.
Số câu trả lời đúng
Chỉ coi là nhị thức khi xác suất đúng và tính độc lập được chấp nhận; năng lực thật thường làm các câu không đồng nhất.
SỔ LỖI CHUYÊN ĐỀ
Tám lỗi phải nhận ra trước khi qua cổng
Tổng xác suất khác 1
Chuẩn hóa hoặc lập lại không gian mẫu; không tiếp tục tính.
Kì vọng thành cam kết
Nói rõ đây là trung bình dài hạn, không phải kết quả chắc chắn.
Quên bình phương độ lệch
Var dùng (x−μ)²; nếu không, các độ lệch có thể triệt tiêu.
Nhầm Var với σ
σ=√Var và cùng đơn vị với X.
Quên C(n,k)
Một mẫu thành công–thất bại có nhiều cách chọn vị trí thành công.
Dùng nhị thức khi p thay đổi
Kiểm lại bốn điều kiện trước khi thay số.
Đếm trùng giá trị X
Gộp xác suất của các kết quả cho cùng một giá trị X.
So rủi ro chỉ bằng E
Xem thêm Var/σ và giới hạn của mô hình.
HỌC THÔNG MINH
Nhớ bằng cấu trúc và phép kiểm
Gọi X bằng lời
Viết một câu đầy đủ: X là gì, đơn vị gì, nhận các giá trị nào.
Khóa bảng
Từng p không âm và tổng p bằng 1.
Tính hai đường
Var theo độ lệch và theo E(X²)−E² để kiểm chéo.
Gắn nghĩa
Diễn giải E và σ trong ngữ cảnh, không chỉ nêu số.
Nhận dạng trước công thức
Chỉ viết B(n,p) sau khi trả lời đủ bốn câu hỏi điều kiện.
THẺ 1/8
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Đủ đề, gợi ý, lời giải, lý do và lỗi sai
Mỗi mức có đúng 20 bài; ba bài đầu mỗi mức chỉ gọi lại nền đã học trước đó.
100 câu phù hợp
12.1-NB-01Một biến cố A có P(A)=0.2. Tính P(Ā).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng quy tắc biến cố đối: P(Ā)=1−P(A).
Lời giải: P(Ā)=1−0.2=0.8.
Vì sao: A và Ā xung khắc, đồng thời hợp của chúng là toàn bộ không gian mẫu.
Sai ở đâu: Nhân xác suất với −1 hoặc viết P(Ā)=P(A).
Cách khác: Kiểm tổng hai xác suất phải bằng 1.
12.1-NB-02Ôn số trung bình của ba số 3, 5, 7.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng ba giá trị rồi chia 3.
Lời giải: x̄=(3+5+7)/3=5.
Vì sao: Kì vọng là một trung bình có trọng số xác suất, nên trung bình cộng là nền trực tiếp.
Sai ở đâu: Chia cho tổng các giá trị thay vì số giá trị.
Cách khác: Ba số cách đều nên trung bình là số ở giữa.
12.1-NB-03Tính C(7,2) để ôn quy tắc đếm.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: C(n,2)=n(n−1)/2.
Lời giải: C(7,2)=7·6/2=21.
Vì sao: Hệ số tổ hợp xuất hiện trong công thức Bernoulli.
Sai ở đâu: Dùng chỉnh hợp n(n−1) mà quên chia 2!.
Cách khác: Đếm các cặp không phân biệt thứ tự.
12.1-NB-04X nhận các giá trị 0, 1, 3 với xác suất lần lượt 0.2, 0.3, 0.5. Tính E(X), Var(X) và σ(X).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Kiểm tổng xác suất bằng 1; sau đó tính trung bình có trọng số và bình phương độ lệch.
Lời giải: Tổng pᵢ=1. | E(X)=Σxᵢpᵢ=1.8. | Var(X)=Σ(xᵢ−E(X))²pᵢ=1.56. | σ(X)=√Var(X)≈1.249.
Vì sao: Kì vọng mô tả mức trung tâm dài hạn; độ lệch chuẩn đo mức phân tán quanh kì vọng và cùng đơn vị với X.
Sai ở đâu: Tính phương sai bằng Σxᵢ²pᵢ nhưng quên trừ [E(X)]².
Cách khác: Có thể kiểm Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=1.56.
12.1-NB-055 phép thử Bernoulli độc lập, mỗi phép có xác suất thành công p=0.25. Tính xác suất đúng 1 lần thành công.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xác nhận đủ bốn dấu hiệu của mô hình nhị thức rồi dùng C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ.
Lời giải: P(X=1)=C(5,1)·0.25^1·0.75^4≈0.395508.
Vì sao: Hệ số tổ hợp chọn vị trí các lần thành công; hai lũy thừa biểu diễn xác suất của một mẫu kết quả.
Sai ở đâu: Quên hệ số C(n,k), hoặc dùng công thức khi p thay đổi qua từng phép thử.
Cách khác: Với n nhỏ, có thể liệt kê mẫu để kiểm chéo.
12.1-NB-06Bảng phân bố của X có ba xác suất 0.25, a, 0.35. Tìm a.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tổng mọi xác suất trong bảng phân bố bằng 1.
Lời giải: 0.25+a+0.35=1 | a=0.4; giá trị này thuộc [0;1].
Vì sao: Điều kiện tổng bằng 1 là cổng đầu tiên trước mọi phép tính số đặc trưng.
Sai ở đâu: Tính kì vọng ngay khi bảng xác suất chưa hợp lệ.
Cách khác: Lấy 100% trừ hai phần trăm đã biết.
12.1-NB-07Một phương án cho kết quả 5 với xác suất 0.35 và 11 với xác suất 0.65. Tính kì vọng và độ lệch chuẩn để mô tả cả mức trung tâm lẫn rủi ro.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Không đánh giá phương án chỉ bằng kết quả lớn nhất; tính E và σ.
Lời giải: E=5·0.35+11·0.65=8.9. | σ=√[Σ(x−E)²p]≈2.8618.
Vì sao: Hai phương án có cùng kì vọng vẫn có thể khác độ phân tán; kì vọng không phải lời hứa về từng lần thử.
Sai ở đâu: Chọn phương án chỉ vì có kết quả cao nhất lớn hơn.
Cách khác: Với biến hai giá trị, kiểm bằng Var=p(1−p)(high−low)².
12.1-NB-08X~B(9; 0.1). Tính E(X), Var(X), σ(X) và giải thích E(X).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Với phân bố nhị thức: E=np, Var=np(1−p).
Lời giải: E(X)=9·0.1=0.9. | Var(X)=9·0.1·0.9=0.81. | σ≈0.9.
Vì sao: Nếu lặp rất nhiều nhóm 9 phép thử trong cùng điều kiện, số thành công trung bình mỗi nhóm tiến gần 0.9; không có nghĩa mỗi nhóm đều đạt đúng số đó.
Sai ở đâu: Kết luận kì vọng phải là một giá trị mà X chắc chắn nhận được.
Cách khác: Xem X là tổng của n biến Bernoulli độc lập.
12.1-NB-09X nhận các giá trị 0, 3, 3 với xác suất lần lượt 0.3, 0.4, 0.3. Tính E(X), Var(X) và σ(X).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Kiểm tổng xác suất bằng 1; sau đó tính trung bình có trọng số và bình phương độ lệch.
Lời giải: Tổng pᵢ=1. | E(X)=Σxᵢpᵢ=2.1. | Var(X)=Σ(xᵢ−E(X))²pᵢ=1.89. | σ(X)=√Var(X)≈1.3748.
Vì sao: Kì vọng mô tả mức trung tâm dài hạn; độ lệch chuẩn đo mức phân tán quanh kì vọng và cùng đơn vị với X.
Sai ở đâu: Tính phương sai bằng Σxᵢ²pᵢ nhưng quên trừ [E(X)]².
Cách khác: Có thể kiểm Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=1.89.
12.1-NB-104 phép thử Bernoulli độc lập, mỗi phép có xác suất thành công p=0.4. Tính xác suất đúng 1 lần thành công.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xác nhận đủ bốn dấu hiệu của mô hình nhị thức rồi dùng C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ.
Lời giải: P(X=1)=C(4,1)·0.4^1·0.6^3≈0.3456.
Vì sao: Hệ số tổ hợp chọn vị trí các lần thành công; hai lũy thừa biểu diễn xác suất của một mẫu kết quả.
Sai ở đâu: Quên hệ số C(n,k), hoặc dùng công thức khi p thay đổi qua từng phép thử.
Cách khác: Với n nhỏ, có thể liệt kê mẫu để kiểm chéo.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phương án nhiễu sinh từ lỗi thật
Cổng đạt đề xuất 80%; đọc giải thích cả khi chọn đúng.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Một biến cố A có P(A)=0.2. Tính P(Ā).
5 ĐỀ LUYỆN CÓ HƯỚNG CHẤM
Phân bố đủ năm nấc độ khó
Đề mức 1
12.1-NB-01, 12.1-NB-02, 12.1-NB-03, 12.1-NB-04, 12.1-NB-05, 12.1-NB-06, 12.1-NB-07, 12.1-NB-08, 12.1-NB-09, 12.1-NB-10.
Xem đáp án
- 12.1-NB-01: 0.8
- 12.1-NB-02: 5
- 12.1-NB-03: 21
- 12.1-NB-04: E=1.8; Var=1.56; σ≈1.249
- 12.1-NB-05: 0.395508
- 12.1-NB-06: 0.4
- 12.1-NB-07: E=8.9; σ≈2.8618
- 12.1-NB-08: E=0.9; Var=0.81; σ≈0.9
- 12.1-NB-09: E=2.1; Var=1.89; σ≈1.3748
- 12.1-NB-10: 0.3456
Đề mức 2
12.1-TH-01, 12.1-TH-02, 12.1-TH-03, 12.1-TH-04, 12.1-TH-05, 12.1-TH-06, 12.1-TH-07, 12.1-TH-08, 12.1-TH-09, 12.1-TH-10.
Xem đáp án
- 12.1-TH-01: 0.4
- 12.1-TH-02: 8
- 12.1-TH-03: 15
- 12.1-TH-04: 0.35
- 12.1-TH-05: E=7; σ≈3
- 12.1-TH-06: E=2.4; Var=1.44; σ≈1.2
- 12.1-TH-07: E=2.1; Var=1.89; σ≈1.3748
- 12.1-TH-08: 0.011536
- 12.1-TH-09: 0.45
- 12.1-TH-10: E=10.2; σ≈3.8158
Đề mức 3
12.1-VD-01, 12.1-VD-02, 12.1-VD-03, 12.1-VD-04, 12.1-VD-05, 12.1-VD-06, 12.1-VD-07, 12.1-VD-08, 12.1-VD-09, 12.1-VD-10.
Xem đáp án
- 12.1-VD-01: 0.6
- 12.1-VD-02: 11
- 12.1-VD-03: 10
- 12.1-VD-04: E=2.7; Var=1.89; σ≈1.3748
- 12.1-VD-05: E=2.1; Var=1.89; σ≈1.3748
- 12.1-VD-06: 0.4096
- 12.1-VD-07: 0.4
- 12.1-VD-08: E=8; σ≈4
- 12.1-VD-09: E=3.2; Var=1.92; σ≈1.3856
- 12.1-VD-10: E=1.95; Var=1.4475; σ≈1.2031
Đề mức 4
12.1-VDC-01, 12.1-VDC-02, 12.1-VDC-03, 12.1-VDC-04, 12.1-VDC-05, 12.1-VDC-06, 12.1-VDC-07, 12.1-VDC-08, 12.1-VDC-09, 12.1-VDC-10.
Xem đáp án
- 12.1-VDC-01: 0.75
- 12.1-VDC-02: 14
- 12.1-VDC-03: 28
- 12.1-VDC-04: 0.273438
- 12.1-VDC-05: 0.45
- 12.1-VDC-06: E=5.8; σ≈3.8158
- 12.1-VDC-07: E=1.5; Var=1.05; σ≈1.0247
- 12.1-VDC-08: E=1.85; Var=1.3275; σ≈1.1522
- 12.1-VDC-09: 0.262144
- 12.1-VDC-10: 0.45
Đề ứng dụng tổng hợp
12.1-TT-01, 12.1-TT-02, 12.1-TT-03, 12.1-TT-04, 12.1-TT-05, 12.1-TT-06, 12.1-TT-07, 12.1-TT-08, 12.1-TT-09, 12.1-TT-10.
Xem đáp án
- 12.1-TT-01: 0.8
- 12.1-TT-02: 17
- 12.1-TT-03: 21
- 12.1-TT-04: E=3.6; σ≈3.2
- 12.1-TT-05: E=1.6; Var=1.28; σ≈1.1314
- 12.1-TT-06: E=1.95; Var=1.4475; σ≈1.2031
- 12.1-TT-07: 0.017578
- 12.1-TT-08: 0.5
- 12.1-TT-09: E=5.45; σ≈3.3388
- 12.1-TT-10: E=2.1; Var=1.47; σ≈1.2124
NGUỒN VÀ GIỚI HẠN
Khóa chuẩn trước khi xuất bản
Nguồn chương trình quyết định phạm vi; ví dụ, số liệu giả định và lời giải được viết mới, tính lại và kiểm thử.
01
Chương trình GDPT môn Toán – Thông tư 32/2018/TT-BGDĐTNguồn chuẩn để khóa tên chuyên đề, phạm vi và yêu cầu cần đạt lớp 12.
Mở nguồn ↗02Thông tư 12/2022/TT-BGDĐTCổng văn bản Chính phủ để đối chiếu chương trình và tổng thời lượng 35 tiết chuyên đề.
Mở nguồn ↗Giới hạn công bố: Đây là học liệu củng cố và học sâu theo chuyên đề lựa chọn, không thay thế kế hoạch dạy học của nhà trường. Các bài xác suất, tối ưu và tài chính dùng mô hình cùng dữ liệu giả định; quyết định ngoài đời phải đối chiếu dữ liệu, tiêu chuẩn, hợp đồng và quy định thực tế.