- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Đồ thị đường thẳng và miền nghiệm
- Đạo hàm, bảng biến thiên, GTLN–GTNN
- Đơn vị, tỉ lệ và mô hình hóa
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủỨng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu
Làm sao biến một quyết định thực tế thành miền khả thi và hàm mục tiêu, rồi biết nghiệm toán học có dùng được hay không?
Hồ sơ tối ưu có biến quyết định, ràng buộc, hàm mục tiêu, nghiệm, phép kiểm miền và kết luận theo đơn vị thực tế.
PHẠM VI • NỀN • ĐÍCH
Học đủ yêu cầu, không dùng kiến thức chưa có
Gồm quy hoạch tuyến tính bằng hệ bất phương trình bậc nhất và vận dụng đạo hàm vào tối ưu khoảng cách, thời gian, chi phí, doanh thu, lợi nhuận. Không đưa thuật toán đơn hình, tối ưu nhiều biến bằng Hessian hay tối ưu ngẫu nhiên đại học vào phần chính.
- Chọn biến và lập đúng ràng buộc
- Tìm đỉnh miền đa giác và tối ưu hàm tuyến tính
- Lập hàm một biến từ tình huống thực tế
- Kiểm tra nghiệm toán bằng điều kiện, đơn vị và ý nghĩa
Quy hoạch tuyến tính
Nền: Hệ bất phương trình và hình học tọa độ.
Đầu ra: Lập miền khả thi, tìm đỉnh, tính hàm mục tiêu và xử lí trường hợp nhiều nghiệm.
- Dịch ngôn ngữ nguồn lực thành bất phương trình
- Vẽ nửa mặt phẳng
- Lập bảng giá trị tại đỉnh
Tối ưu bằng đạo hàm
Nền: Đạo hàm và GTLN–GTNN trên miền.
Đầu ra: Tối ưu mô hình hình học, thời gian và kinh tế; đánh giá tính dùng được của nghiệm.
- Khóa miền vật lí
- Lập hàm mục tiêu
- So điểm tới hạn và biên
Hàng rào chuyên đề: Nghiệm của đạo hàm hoặc giao các đường biên chỉ là ứng viên. Phải kiểm miền xác định, mọi ràng buộc, đầu mút và tính khả thi; với biến nguyên phải kiểm các phương án nguyên lân cận.
TRỰC GIÁC → PHÁT BIỂU → ĐIỀU KIỆN
Kiến thức trọng tâm có hàng rào chống nhầm
Mẹo nhớ chỉ được giữ nếu không làm mất đối tượng, đơn vị, giả định hoặc điều kiện áp dụng.
Năm bước mô hình hóa
Hiểu bản chất: Tối ưu bắt đầu từ câu hỏi quyết định, không bắt đầu từ đạo hàm.
Biến → ràng buộc → mục tiêu → giải → kiểm và diễn giải.
Điều kiện: Đơn vị nhất quán; giả định được nêu; dữ kiện đủ.
Ví dụ: x,y là số sản phẩm; thời gian máy tạo ax+by≤T.
Neo nhớ: Biến – miền – đích – giải – kiểm.
Cảnh báo: Một công thức đúng trên mô hình sai vẫn cho quyết định sai.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Miền khả thi
Hiểu bản chất: Tập mọi phương án thỏa đồng thời các giới hạn.
D={(x,y): aᵢx+bᵢy≤cᵢ, i=1,…,m} cùng các điều kiện dấu.
Điều kiện: Lấy giao, không lấy hợp các nửa mặt phẳng.
Ví dụ: x≥0,y≥0,x+y≤10 tạo tam giác.
Neo nhớ: Mọi khóa cùng đúng.
Cảnh báo: Giao hai biên chưa chắc thuộc toàn bộ D.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Hàm mục tiêu tuyến tính
Hiểu bản chất: Đại lượng cần làm lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
F(x,y)=ax+by.
Điều kiện: Hệ số và đơn vị phải đi cùng đúng biến.
Ví dụ: Lợi nhuận = lãi đơn vị A·x + lãi đơn vị B·y.
Neo nhớ: Mỗi biến × đóng góp.
Cảnh báo: Không nhầm doanh thu với lợi nhuận.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Định lí đỉnh nhập môn
Hiểu bản chất: Đường mức tuyến tính trượt đến biên cuối cùng của đa giác.
Nếu F tuyến tính đạt cực trị trên đa giác lồi hữu hạn thì có ít nhất một đỉnh tối ưu.
Điều kiện: Miền không rỗng và bài toán có giá trị tối ưu hữu hạn.
Ví dụ: Tính F tại mọi đỉnh của tam giác miền nghiệm.
Neo nhớ: Tuyến tính – đa giác – xét đỉnh.
Cảnh báo: Miền không bị chặn có thể không có GTLN/GTNN.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Nhiều nghiệm tối ưu
Hiểu bản chất: Một đường mức có thể trùng phương với cả cạnh tối ưu.
Nếu hai đỉnh kề có cùng giá trị tối ưu thì mọi điểm trên cạnh nối chúng cũng tối ưu.
Điều kiện: Cả cạnh thuộc miền khả thi.
Ví dụ: F=x+y trên x+y≤10 đạt 10 trên đoạn x+y=10 ở góc phần tư I.
Neo nhớ: Hai đỉnh kề bằng nhau → kiểm cả cạnh.
Cảnh báo: Không tuyên bố nghiệm duy nhất chỉ vì tìm thấy một đỉnh.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Hàm một biến
Hiểu bản chất: Dùng ràng buộc loại bớt biến rồi tối ưu đại lượng cần tìm.
f(x) trên miền I được suy ra từ điều kiện thực tế.
Điều kiện: Miền I phải khóa trước khi đạo hàm.
Ví dụ: 2x+y=F ⇒ S=x(F−2x), 0<x<F/2.
Neo nhớ: Ràng buộc rút biến.
Cảnh báo: Nghiệm ngoài I bị loại dù giải tích đúng.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Điểm tới hạn và biên
Hiểu bản chất: Nghiệm f'=0 chỉ là ứng viên.
Trên [a,b], xét a,b và các x∈(a,b) nơi f'=0 hoặc f' không tồn tại.
Điều kiện: f liên tục trên đoạn; dùng định lí phù hợp.
Ví dụ: So giá trị ở đầu mút và điểm dừng.
Neo nhớ: Biên + tới hạn.
Cảnh báo: Quên đầu mút là lỗi tối ưu phổ biến nhất.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Kiểm nghiệm thực tế
Hiểu bản chất: Đáp số phải quay lại thế giới thật.
Kiểm ràng buộc, dấu, đơn vị, độ chính xác, tính nguyên và độ nhạy.
Điều kiện: Phân biệt mô hình liên tục với quyết định rời rạc.
Ví dụ: Sản lượng 12,4 chiếc phải so 12 và 13 chiếc.
Neo nhớ: Thế ngược – đơn vị – làm tròn.
Cảnh báo: Làm tròn trước khi kiểm có thể làm vi phạm nguồn lực.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Đề hay vì buộc học sinh nghĩ đúng bản chất
Mỗi ví dụ có phân tích, hướng làm, các bước, giải thích, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtTối đa F=2x+3y trên miền x≥0, y≥0, x+y≤8.
Phân tích: Miền khả thi là tam giác; hàm mục tiêu tuyến tính đạt cực trị tại ít nhất một đỉnh.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- Các đỉnh: (0;0), (8;0), (0;8).
- Giá trị F: 0, 16, 24.
- Lớn nhất 24 tại (0;8).
Vì sao: Trên đa giác lồi hữu hạn, nếu bài toán tuyến tính có nghiệm tối ưu thì có ít nhất một đỉnh tối ưu.
Cách khác: Dịch đường thẳng ax+by=t theo chiều t tăng đến vị trí cuối còn chạm miền.
Tự kiểm: Kết quả: Fmax=24 tại (0;8). Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
02 • Nhận biếtMột hình chữ nhật có chu vi 44 m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
Phân tích: Gọi một cạnh x, cạnh kia 22−x; khóa 0<x<22.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- S(x)=x(22−x), 0<x<22.
- S'(x)=22−2x=0 ⇒ x=11.
- S''(x)=−2<0 nên đạt cực đại.
Vì sao: Chu vi cố định thì hình vuông cho diện tích hình chữ nhật lớn nhất.
Cách khác: Từ xy≤[(x+y)/2]² với x+y=22.
Tự kiểm: Kết quả: 11 m × 11 m; Smax=121 m². Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
03 • Nhận biếtGiá bán theo lượng x là p(x)=100−3x; chi phí C(x)=14x+140. Trong miền 0≤x≤33, tìm sản lượng liên tục làm lợi nhuận lớn nhất.
Phân tích: Lập doanh thu R=xp(x), rồi lợi nhuận L=R−C; chưa tối ưu doanh thu thay cho lợi nhuận.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- L(x)=−3x²+86x−140.
- L'(x)=−6x+86=0 ⇒ x=14.3333.
- Hệ số x² âm và x thuộc miền, nên đây là cực đại.
Vì sao: Mô hình liên tục cho nghiệm tham chiếu; nếu sản phẩm không chia nhỏ được phải so sánh các số nguyên lân cận.
Cách khác: Đưa parabol lợi nhuận về dạng đỉnh.
Tự kiểm: Kết quả: x=14.3333; Lmax=476.3333. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
04 • Nhận biếtTừ tấm bìa vuông cạnh 30 cm, cắt bốn hình vuông cạnh x ở góc rồi gấp hộp không nắp. Tìm x để thể tích lớn nhất.
Phân tích: V(x)=x(30−2x)² với 0<x<15.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- V'(x)=(30−2x)(30−6x).
- Điểm tới hạn trong miền là x=5.
- Hai đầu miền cho thể tích tiến về 0, dấu V' đổi từ + sang − tại x=5.
Vì sao: Điều kiện hình học loại nghiệm làm chiều dài đáy bằng 0.
Cách khác: Lập bảng biến thiên trên đúng khoảng mở.
Tự kiểm: Kết quả: x=5 cm; Vmax=2000 cm³. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
05 • Nhận biếtCó 46 m hàng rào để quây ba cạnh hình chữ nhật sát bờ sông. Tìm hai kích thước cho diện tích lớn nhất.
Phân tích: Gọi x là cạnh vuông góc bờ sông, y là cạnh song song; 2x+y=F.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- S=x(46−2x), 0<x<23.
- S'=46−4x=0 ⇒ x=11.5; y=46−2x=23.
- S''=−4<0.
Vì sao: Ba cạnh được rào nên phương trình nguồn lực là 2x+y=F, không phải chu vi 2x+2y.
Cách khác: Đưa S về dạng parabol có đỉnh.
Tự kiểm: Kết quả: x=11.5 m, y=23 m; Smax=264.5 m². Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
06 • Nhận biếtTối đa F=2x+7y trên miền x≥0, y≥0, x+y≤13.
Phân tích: Miền khả thi là tam giác; hàm mục tiêu tuyến tính đạt cực trị tại ít nhất một đỉnh.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- Các đỉnh: (0;0), (13;0), (0;13).
- Giá trị F: 0, 26, 91.
- Lớn nhất 91 tại (0;13).
Vì sao: Trên đa giác lồi hữu hạn, nếu bài toán tuyến tính có nghiệm tối ưu thì có ít nhất một đỉnh tối ưu.
Cách khác: Dịch đường thẳng ax+by=t theo chiều t tăng đến vị trí cuối còn chạm miền.
Tự kiểm: Kết quả: Fmax=91 tại (0;13). Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
07 • Nhận biếtMột hình chữ nhật có chu vi 64 m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
Phân tích: Gọi một cạnh x, cạnh kia 32−x; khóa 0<x<32.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- S(x)=x(32−x), 0<x<32.
- S'(x)=32−2x=0 ⇒ x=16.
- S''(x)=−2<0 nên đạt cực đại.
Vì sao: Chu vi cố định thì hình vuông cho diện tích hình chữ nhật lớn nhất.
Cách khác: Từ xy≤[(x+y)/2]² với x+y=32.
Tự kiểm: Kết quả: 16 m × 16 m; Smax=256 m². Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
08 • Nhận biếtGiá bán theo lượng x là p(x)=90−4x; chi phí C(x)=14x+140. Trong miền 0≤x≤22, tìm sản lượng liên tục làm lợi nhuận lớn nhất.
Phân tích: Lập doanh thu R=xp(x), rồi lợi nhuận L=R−C; chưa tối ưu doanh thu thay cho lợi nhuận.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- L(x)=−4x²+76x−140.
- L'(x)=−8x+76=0 ⇒ x=9.5.
- Hệ số x² âm và x thuộc miền, nên đây là cực đại.
Vì sao: Mô hình liên tục cho nghiệm tham chiếu; nếu sản phẩm không chia nhỏ được phải so sánh các số nguyên lân cận.
Cách khác: Đưa parabol lợi nhuận về dạng đỉnh.
Tự kiểm: Kết quả: x=9.5; Lmax=221. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
09 • Nhận biếtTừ tấm bìa vuông cạnh 18 cm, cắt bốn hình vuông cạnh x ở góc rồi gấp hộp không nắp. Tìm x để thể tích lớn nhất.
Phân tích: V(x)=x(18−2x)² với 0<x<9.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- V'(x)=(18−2x)(18−6x).
- Điểm tới hạn trong miền là x=3.
- Hai đầu miền cho thể tích tiến về 0, dấu V' đổi từ + sang − tại x=3.
Vì sao: Điều kiện hình học loại nghiệm làm chiều dài đáy bằng 0.
Cách khác: Lập bảng biến thiên trên đúng khoảng mở.
Tự kiểm: Kết quả: x=3 cm; Vmax=432 cm³. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
10 • Nhận biếtCó 30 m hàng rào để quây ba cạnh hình chữ nhật sát bờ sông. Tìm hai kích thước cho diện tích lớn nhất.
Phân tích: Gọi x là cạnh vuông góc bờ sông, y là cạnh song song; 2x+y=F.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- S=x(30−2x), 0<x<15.
- S'=30−4x=0 ⇒ x=7.5; y=30−2x=15.
- S''=−4<0.
Vì sao: Ba cạnh được rào nên phương trình nguồn lực là 2x+y=F, không phải chu vi 2x+2y.
Cách khác: Đưa S về dạng parabol có đỉnh.
Tự kiểm: Kết quả: x=7.5 m, y=15 m; Smax=112.5 m². Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
ỨNG DỤNG CÓ GIỚI HẠN
Thực tế nhưng không suy diễn quá mô hình
Phân bổ hai sản phẩm
Nguồn lực tạo miền khả thi; lợi nhuận tạo hàm mục tiêu. Dữ liệu giả định không thay thế định mức thật.
Hộp có thể tích lớn nhất
Điều kiện kích thước dương loại nghiệm suy biến trước khi kết luận.
Thời gian hoặc quãng đường
Mỗi chặng có vận tốc và đơn vị riêng; mô hình phải phản ánh đúng tuyến đi được phép.
Tối ưu lợi nhuận
Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí; giá–cầu tuyến tính chỉ là mô hình cục bộ cần nêu miền áp dụng.
SỔ LỖI CHUYÊN ĐỀ
Tám lỗi phải nhận ra trước khi qua cổng
Không gọi biến
Nêu rõ ý nghĩa, đơn vị và điều kiện dấu của từng biến.
Lấy hợp ràng buộc
Miền khả thi là giao của tất cả điều kiện.
Không kiểm đỉnh
Thế mỗi giao điểm vào toàn bộ hệ trước khi giữ lại.
Bỏ đầu mút
Trên đoạn kín phải so cả biên và điểm tới hạn.
Tối ưu sai đại lượng
Viết đúng doanh thu, chi phí, lợi nhuận hoặc thời gian theo câu hỏi.
Nhận nghiệm suy biến
Khóa kích thước dương và điều kiện vật lí.
Quên biến nguyên
So các phương án nguyên khả thi quanh nghiệm liên tục.
Không quay lại thực tế
Ghi kết luận có đơn vị và thế ngược vào ràng buộc.
HỌC THÔNG MINH
Nhớ bằng cấu trúc và phép kiểm
Vẽ sơ đồ đại lượng
Đánh dấu cái được chọn, cái bị giới hạn và cái cần tối ưu.
Khóa miền trước
Viết điều kiện dấu, khoảng và nguồn lực trước phép tính.
Dự báo
Ước lượng vị trí nghiệm để phát hiện kết quả vô lí.
Giải hai lớp
Lớp toán học tìm ứng viên; lớp thực tế kiểm dùng được.
Lập sổ sai
Ghi riêng lỗi mô hình, lỗi đạo hàm và lỗi kết luận.
THẺ 1/8
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Đủ đề, gợi ý, lời giải, lý do và lỗi sai
Mỗi mức có đúng 20 bài; ba bài đầu mỗi mức chỉ gọi lại nền đã học trước đó.
100 câu phù hợp
12.2-NB-01Kiểm tra x=0 có thỏa 0≤x≤5 không.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thế vào cả hai bất phương trình.
Lời giải: 0≥0 và 0≤5, nên thỏa.
Vì sao: Điểm tối ưu chỉ có ý nghĩa khi thuộc miền khả thi.
Sai ở đâu: Chỉ kiểm một điều kiện.
Cách khác: Đặt x trên đoạn [0;c].
12.2-NB-02Tính đạo hàm của f(x)=3x²−4x+1.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đạo hàm từng hạng tử.
Lời giải: f'(x)=6x−4.
Vì sao: Đạo hàm là công cụ xác định chiều biến thiên và điểm tới hạn.
Sai ở đâu: Giữ nguyên số mũ 2.
Cách khác: Dùng (x²)'=2x và đạo hàm hằng số bằng 0.
12.2-NB-03So sánh f(3) và f(7) với f(x)=−(x−5)²+10.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thế từng đầu mút.
Lời giải: f(3)=6, f(7)=6; hai giá trị bằng nhau.
Vì sao: Tối ưu trên đoạn phải xét cả điểm tới hạn và đầu mút.
Sai ở đâu: Chỉ giải f'(x)=0 mà không kiểm miền.
Cách khác: Dùng tính đối xứng của parabol.
12.2-NB-04Tối đa F=2x+3y trên miền x≥0, y≥0, x+y≤8.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Miền khả thi là tam giác; hàm mục tiêu tuyến tính đạt cực trị tại ít nhất một đỉnh.
Lời giải: Các đỉnh: (0;0), (8;0), (0;8). | Giá trị F: 0, 16, 24. | Lớn nhất 24 tại (0;8).
Vì sao: Trên đa giác lồi hữu hạn, nếu bài toán tuyến tính có nghiệm tối ưu thì có ít nhất một đỉnh tối ưu.
Sai ở đâu: Chọn giao hai đường biên nhưng không kiểm điểm đó có thuộc toàn bộ miền hay không.
Cách khác: Dịch đường thẳng ax+by=t theo chiều t tăng đến vị trí cuối còn chạm miền.
12.2-NB-05Một hình chữ nhật có chu vi 44 m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Gọi một cạnh x, cạnh kia 22−x; khóa 0<x<22.
Lời giải: S(x)=x(22−x), 0<x<22. | S'(x)=22−2x=0 ⇒ x=11. | S''(x)=−2<0 nên đạt cực đại.
Vì sao: Chu vi cố định thì hình vuông cho diện tích hình chữ nhật lớn nhất.
Sai ở đâu: Tìm nghiệm đạo hàm nhưng quên đổi x thành cả hai kích thước và đơn vị.
Cách khác: Từ xy≤[(x+y)/2]² với x+y=22.
12.2-NB-06Giá bán theo lượng x là p(x)=100−3x; chi phí C(x)=14x+140. Trong miền 0≤x≤33, tìm sản lượng liên tục làm lợi nhuận lớn nhất.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lập doanh thu R=xp(x), rồi lợi nhuận L=R−C; chưa tối ưu doanh thu thay cho lợi nhuận.
Lời giải: L(x)=−3x²+86x−140. | L'(x)=−6x+86=0 ⇒ x=14.3333. | Hệ số x² âm và x thuộc miền, nên đây là cực đại.
Vì sao: Mô hình liên tục cho nghiệm tham chiếu; nếu sản phẩm không chia nhỏ được phải so sánh các số nguyên lân cận.
Sai ở đâu: Lấy giá bán p(x) làm doanh thu hoặc bỏ chi phí cố định khi tính lợi nhuận.
Cách khác: Đưa parabol lợi nhuận về dạng đỉnh.
12.2-NB-07Từ tấm bìa vuông cạnh 30 cm, cắt bốn hình vuông cạnh x ở góc rồi gấp hộp không nắp. Tìm x để thể tích lớn nhất.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: V(x)=x(30−2x)² với 0<x<15.
Lời giải: V'(x)=(30−2x)(30−6x). | Điểm tới hạn trong miền là x=5. | Hai đầu miền cho thể tích tiến về 0, dấu V' đổi từ + sang − tại x=5.
Vì sao: Điều kiện hình học loại nghiệm làm chiều dài đáy bằng 0.
Sai ở đâu: Nhận cả x=15 dù hộp bị suy biến.
Cách khác: Lập bảng biến thiên trên đúng khoảng mở.
12.2-NB-08Có 46 m hàng rào để quây ba cạnh hình chữ nhật sát bờ sông. Tìm hai kích thước cho diện tích lớn nhất.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Gọi x là cạnh vuông góc bờ sông, y là cạnh song song; 2x+y=F.
Lời giải: S=x(46−2x), 0<x<23. | S'=46−4x=0 ⇒ x=11.5; y=46−2x=23. | S''=−4<0.
Vì sao: Ba cạnh được rào nên phương trình nguồn lực là 2x+y=F, không phải chu vi 2x+2y.
Sai ở đâu: Dùng công thức chu vi kín và lãng phí một cạnh dọc bờ sông.
Cách khác: Đưa S về dạng parabol có đỉnh.
12.2-NB-09Tối đa F=2x+7y trên miền x≥0, y≥0, x+y≤13.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Miền khả thi là tam giác; hàm mục tiêu tuyến tính đạt cực trị tại ít nhất một đỉnh.
Lời giải: Các đỉnh: (0;0), (13;0), (0;13). | Giá trị F: 0, 26, 91. | Lớn nhất 91 tại (0;13).
Vì sao: Trên đa giác lồi hữu hạn, nếu bài toán tuyến tính có nghiệm tối ưu thì có ít nhất một đỉnh tối ưu.
Sai ở đâu: Chọn giao hai đường biên nhưng không kiểm điểm đó có thuộc toàn bộ miền hay không.
Cách khác: Dịch đường thẳng ax+by=t theo chiều t tăng đến vị trí cuối còn chạm miền.
12.2-NB-10Một hình chữ nhật có chu vi 64 m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Gọi một cạnh x, cạnh kia 32−x; khóa 0<x<32.
Lời giải: S(x)=x(32−x), 0<x<32. | S'(x)=32−2x=0 ⇒ x=16. | S''(x)=−2<0 nên đạt cực đại.
Vì sao: Chu vi cố định thì hình vuông cho diện tích hình chữ nhật lớn nhất.
Sai ở đâu: Tìm nghiệm đạo hàm nhưng quên đổi x thành cả hai kích thước và đơn vị.
Cách khác: Từ xy≤[(x+y)/2]² với x+y=32.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phương án nhiễu sinh từ lỗi thật
Cổng đạt đề xuất 80%; đọc giải thích cả khi chọn đúng.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Kiểm tra x=0 có thỏa 0≤x≤5 không.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ HƯỚNG CHẤM
Phân bố đủ năm nấc độ khó
Đề mức 1
12.2-NB-01, 12.2-NB-02, 12.2-NB-03, 12.2-NB-04, 12.2-NB-05, 12.2-NB-06, 12.2-NB-07, 12.2-NB-08, 12.2-NB-09, 12.2-NB-10.
Xem đáp án
- 12.2-NB-01: Thỏa
- 12.2-NB-02: 6x−4
- 12.2-NB-03: Bằng nhau, cùng bằng 6
- 12.2-NB-04: Fmax=24 tại (0;8)
- 12.2-NB-05: 11 m × 11 m; Smax=121 m²
- 12.2-NB-06: x=14.3333; Lmax=476.3333
- 12.2-NB-07: x=5 cm; Vmax=2000 cm³
- 12.2-NB-08: x=11.5 m, y=23 m; Smax=264.5 m²
- 12.2-NB-09: Fmax=91 tại (0;13)
- 12.2-NB-10: 16 m × 16 m; Smax=256 m²
Đề mức 2
12.2-TH-01, 12.2-TH-02, 12.2-TH-03, 12.2-TH-04, 12.2-TH-05, 12.2-TH-06, 12.2-TH-07, 12.2-TH-08, 12.2-TH-09, 12.2-TH-10.
Xem đáp án
- 12.2-TH-01: Thỏa
- 12.2-TH-02: 4x−7
- 12.2-TH-03: Bằng nhau, cùng bằng 6
- 12.2-TH-04: x=29; Lmax=1542
- 12.2-TH-05: x=6 cm; Vmax=3456 cm³
- 12.2-TH-06: x=8.5 m, y=17 m; Smax=144.5 m²
- 12.2-TH-07: Fmax=84 tại (0;12)
- 12.2-TH-08: 13 m × 13 m; Smax=169 m²
- 12.2-TH-09: x=17.6667; Lmax=796.3333
- 12.2-TH-10: x=4 cm; Vmax=1024 cm³
Đề mức 3
12.2-VD-01, 12.2-VD-02, 12.2-VD-03, 12.2-VD-04, 12.2-VD-05, 12.2-VD-06, 12.2-VD-07, 12.2-VD-08, 12.2-VD-09, 12.2-VD-10.
Xem đáp án
- 12.2-VD-01: Thỏa
- 12.2-VD-02: 10x−5
- 12.2-VD-03: Bằng nhau, cùng bằng 6
- 12.2-VD-04: x=14.5 m, y=29 m; Smax=420.5 m²
- 12.2-VD-05: Fmax=77 tại (0;11)
- 12.2-VD-06: 10 m × 10 m; Smax=100 m²
- 12.2-VD-07: x=19; Lmax=582
- 12.2-VD-08: x=5 cm; Vmax=2000 cm³
- 12.2-VD-09: x=10.5 m, y=21 m; Smax=220.5 m²
- 12.2-VD-10: Fmax=40 tại (0;8)
Đề mức 4
12.2-VDC-01, 12.2-VDC-02, 12.2-VDC-03, 12.2-VDC-04, 12.2-VDC-05, 12.2-VDC-06, 12.2-VDC-07, 12.2-VDC-08, 12.2-VDC-09, 12.2-VDC-10.
Xem đáp án
- 12.2-VDC-01: Thỏa
- 12.2-VDC-02: 8x−3
- 12.2-VDC-03: Bằng nhau, cùng bằng 6
- 12.2-VDC-04: 16 m × 16 m; Smax=256 m²
- 12.2-VDC-05: x=53; Lmax=2669
- 12.2-VDC-06: x=6 cm; Vmax=3456 cm³
- 12.2-VDC-07: x=7.5 m, y=15 m; Smax=112.5 m²
- 12.2-VDC-08: Fmax=75 tại (0;15)
- 12.2-VDC-09: 12 m × 12 m; Smax=144 m²
- 12.2-VDC-10: x=24; Lmax=1012
Đề ứng dụng tổng hợp
12.2-TT-01, 12.2-TT-02, 12.2-TT-03, 12.2-TT-04, 12.2-TT-05, 12.2-TT-06, 12.2-TT-07, 12.2-TT-08, 12.2-TT-09, 12.2-TT-10.
Xem đáp án
- 12.2-TT-01: Thỏa
- 12.2-TT-02: 6x−6
- 12.2-TT-03: Bằng nhau, cùng bằng 6
- 12.2-TT-04: x=7 cm; Vmax=5488 cm³
- 12.2-TT-05: x=13.5 m, y=27 m; Smax=364.5 m²
- 12.2-TT-06: Fmax=70 tại (0;14)
- 12.2-TT-07: 18 m × 18 m; Smax=324 m²
- 12.2-TT-08: x=33; Lmax=949
- 12.2-TT-09: x=5 cm; Vmax=2000 cm³
- 12.2-TT-10: x=9.5 m, y=19 m; Smax=180.5 m²
NGUỒN VÀ GIỚI HẠN
Khóa chuẩn trước khi xuất bản
Nguồn chương trình quyết định phạm vi; ví dụ, số liệu giả định và lời giải được viết mới, tính lại và kiểm thử.
01
Chương trình GDPT môn Toán – Thông tư 32/2018/TT-BGDĐTNguồn chuẩn để khóa tên chuyên đề, phạm vi và yêu cầu cần đạt lớp 12.
Mở nguồn ↗02Thông tư 12/2022/TT-BGDĐTCổng văn bản Chính phủ để đối chiếu chương trình và tổng thời lượng 35 tiết chuyên đề.
Mở nguồn ↗Giới hạn công bố: Đây là học liệu củng cố và học sâu theo chuyên đề lựa chọn, không thay thế kế hoạch dạy học của nhà trường. Các bài xác suất, tối ưu và tài chính dùng mô hình cùng dữ liệu giả định; quyết định ngoài đời phải đối chiếu dữ liệu, tiêu chuẩn, hợp đồng và quy định thực tế.