- Tỉ số, phần trăm và cấp số nhân
- Lũy thừa, lôgarit và phương trình mũ
- Đạo hàm và cực trị đơn giản
- Bảng tính, đơn vị tiền và làm tròn
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủỨng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính
Làm sao so sánh tiền ở những thời điểm khác nhau mà không bị đánh lừa bởi phần trăm, kỳ hạn, phí và lạm phát?
Kế hoạch tài chính cá nhân minh họa có dòng tiền, lãi suất cùng kỳ, giá trị hiện tại–tương lai, lạm phát, vay nợ, đầu tư và phân tích giới hạn.
PHẠM VI • NỀN • ĐÍCH
Học đủ yêu cầu, không dùng kiến thức chưa có
Đúng yêu cầu chương trình về tiền tệ, lãi suất, tiết kiệm, tín dụng, vay nợ, thẻ tín dụng, đầu tư và kế hoạch tài chính dài hạn. Mọi mức lãi/phí trong bài là dữ liệu giả định để học toán, không phải báo giá hay khuyến nghị sản phẩm.
- Phân biệt lãi đơn–lãi kép và quy đổi đúng kỳ hạn
- Tính giá trị hiện tại, tương lai và sức mua thực
- Hiểu toán của tiết kiệm, trả góp, thẻ tín dụng và phí
- Lập kế hoạch dài hạn có giả định, dự phòng và giới hạn
Tiền tệ và lãi suất
Nền: Phần trăm, lũy thừa.
Đầu ra: Tính lãi đơn, lãi kép, giá trị hiện tại–tương lai và số kì.
- Đồng bộ đơn vị lãi suất
- Lập dòng thời gian
- Kiểm bằng bảng số dư
Lạm phát và giá trị thực
Nền: Tỉ lệ tăng và lôgarit.
Đầu ra: Phân biệt danh nghĩa–thực, tính sức mua và so sánh đúng thời điểm.
- Tính hệ số giá
- Dùng quan hệ Fisher
- Thử kịch bản lạm phát
Tín dụng và vay nợ
Nền: Cấp số nhân và dòng tiền.
Đầu ra: Tính trả góp, dư nợ, lãi và phí trong mô hình nêu rõ.
- Tách gốc–lãi–phí
- Lập bảng dư nợ
- Đọc điều kiện hợp đồng giả định
Đầu tư và kế hoạch cá nhân
Nền: Kì vọng, cực trị và bảng tính.
Đầu ra: Xây mục tiêu dài hạn, chuỗi gửi, dự phòng và đánh giá rủi ro có giới hạn.
- Lập mục tiêu SMART
- Tính chuỗi gửi định kì
- So kịch bản thay vì hứa lợi nhuận
Hàng rào chuyên đề: Luôn quy đổi lãi suất và số kì về cùng đơn vị; đọc hợp đồng và biểu phí thực tế. Lợi suất quá khứ hoặc kì vọng không bảo đảm tương lai; học liệu không thay thế tư vấn tài chính cá nhân.
TRỰC GIÁC → PHÁT BIỂU → ĐIỀU KIỆN
Kiến thức trọng tâm có hàng rào chống nhầm
Mẹo nhớ chỉ được giữ nếu không làm mất đối tượng, đơn vị, giả định hoặc điều kiện áp dụng.
Dòng thời gian tài chính
Hiểu bản chất: Một đồng hôm nay và một đồng tương lai không so trực tiếp khi có lãi suất hoặc lạm phát.
Đặt mọi dòng tiền đúng mốc t=0,1,…,n trước khi tính.
Điều kiện: Kì của lãi suất trùng kì của thời gian.
Ví dụ: Lãi 0,5%/tháng đi với n tính theo tháng.
Neo nhớ: Tiền nào – lúc nào.
Cảnh báo: Không trộn lãi suất năm với số tháng mà chưa quy đổi.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Lãi đơn
Hiểu bản chất: Lãi mỗi kì chỉ tính trên vốn gốc ban đầu.
A=P(1+nr).
Điều kiện: Đề hoặc hợp đồng xác định lãi đơn; r là lãi mỗi kì.
Ví dụ: P=10 triệu, r=1%/tháng, n=3 ⇒ A=10,3 triệu.
Neo nhớ: Gốc đứng yên.
Cảnh báo: Không dùng lãi đơn thay cho sản phẩm lãi nhập gốc.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Lãi kép
Hiểu bản chất: Lãi đã nhập gốc tiếp tục sinh lãi.
A=P(1+r)ⁿ; P=A/(1+r)ⁿ.
Điều kiện: r cố định theo mô hình và nhập lãi cuối mỗi kì.
Ví dụ: Tăng 10% hai kì cho hệ số 1,1²=1,21.
Neo nhớ: Mỗi kì nhân 1+r.
Cảnh báo: nr chỉ là xấp xỉ, không phải lãi kép chính xác.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Lãi suất thực và lạm phát
Hiểu bản chất: Điều quan trọng là sức mua, không chỉ số tiền danh nghĩa.
1+r_thực=(1+r_danh nghĩa)/(1+i).
Điều kiện: Các tỉ lệ cùng kì và cùng giai đoạn.
Ví dụ: 8% danh nghĩa, 4% lạm phát ⇒ thực ≈3,85%, không phải đúng 4%.
Neo nhớ: Tăng tiền chia tăng giá.
Cảnh báo: r−i chỉ là xấp xỉ.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Khoản trả góp đều
Hiểu bản chất: Mỗi kì trả một phần lãi trên dư nợ và một phần gốc.
M=P·r(1+r)ⁿ/[(1+r)ⁿ−1]; nếu r=0 thì M=P/n.
Điều kiện: Trả cuối kì, r không đổi, không phí, mô hình dư nợ giảm dần.
Ví dụ: Lập bảng dư nợ để tách lãi và gốc.
Neo nhớ: Lãi trên dư nợ còn lại.
Cảnh báo: Khoản thực tế có thể thêm phí, bảo hiểm và quy tắc làm tròn.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Thẻ tín dụng
Hiểu bản chất: Dư nợ, lãi, phí và thời điểm sao kê là các thành phần khác nhau.
Tổng theo mô hình = dư nợ + lãi theo điều kiện + các khoản phí.
Điều kiện: Phải đọc biểu phí, thời hạn miễn lãi và cách tính của tổ chức phát hành.
Ví dụ: Bài học chỉ tính theo giả định đã nêu trong đề.
Neo nhớ: Nợ – ngày – lãi – phí.
Cảnh báo: Không suy rộng một ví dụ thành quy tắc của mọi thẻ.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Chuỗi gửi đều
Hiểu bản chất: Mỗi khoản gửi có số kì sinh lãi khác nhau.
Gửi d cuối mỗi kì: S=d[(1+r)ⁿ−1]/r; r=0 ⇒ S=dn.
Điều kiện: Gửi cuối kì, đều đặn, r cố định, không rút giữa chừng.
Ví dụ: Gửi đầu kì thì kết quả trên nhân thêm (1+r).
Neo nhớ: Đúng thời điểm gửi.
Cảnh báo: Không cho mọi khoản gửi cùng sinh lãi n kì.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
Kế hoạch và đầu tư
Hiểu bản chất: Một mục tiêu tốt cần số tiền, thời hạn, dòng tiền và kịch bản rủi ro.
Mục tiêu → ngân sách → dự phòng → phương án → theo dõi → điều chỉnh.
Điều kiện: Tách dữ kiện chắc chắn, giả định và biến số thị trường.
Ví dụ: So kịch bản cơ sở, thấp và cao thay vì dùng một lợi suất duy nhất.
Neo nhớ: Mục tiêu – dòng tiền – dự phòng – xem lại.
Cảnh báo: Kì vọng hoặc quá khứ không bảo đảm lợi nhuận tương lai.
Tự hỏi: “Mô hình, miền, đơn vị và giả định đã được khóa chưa?”
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Đề hay vì buộc học sinh nghĩ đúng bản chất
Mỗi ví dụ có phân tích, hướng làm, các bước, giải thích, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtGửi 5.000.000 đồng, lãi kép 0.4% mỗi tháng trong 6 tháng, lãi nhập gốc cuối mỗi tháng. Tính số dư theo mô hình đã cho.
Phân tích: Kì hạn của lãi suất và số kì đều là tháng nên dùng A=P(1+r)ⁿ.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- A=5.000.000·(1+0.004)^6≈5.121.206 đồng.
Vì sao: Công thức chỉ đúng với cách nhập lãi và lãi suất mỗi kì như đề nêu; lãi suất thực tế phải đọc từ hợp đồng tại thời điểm giao dịch.
Cách khác: Lập bảng số dư lặp n lần để kiểm chéo.
Tự kiểm: Kết quả: 5.121.206 đồng. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
02 • Nhận biếtMuốn có 22.000.000 đồng sau 13 tháng, với lãi kép 0.6%/tháng cố định theo mô hình, cần gửi ban đầu bao nhiêu?
Phân tích: Chiết khấu giá trị tương lai: P=A/(1+r)ⁿ.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- P=22.000.000/(1+0.006)^13≈20.353.961 đồng.
Vì sao: Giá trị hiện tại là số tiền hôm nay tương đương với mục tiêu tương lai dưới giả định lãi suất đã khóa.
Cách khác: Lấy kết quả gửi ngược lại vào công thức lãi kép để phải thu gần đúng mục tiêu.
Tự kiểm: Kết quả: 20.353.961 đồng. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
03 • Nhận biếtLợi suất danh nghĩa 10%/năm và lạm phát 5%/năm. Tính tỉ suất thực chính xác theo mô hình Fisher.
Phân tích: So sánh hai hệ số tăng: 1+r_thực=(1+r_danh nghĩa)/(1+i).
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- r_thực=(1+0.1)/(1+0.05)−1≈4.76%.
Vì sao: Phép trừ r−i chỉ là xấp xỉ khi các tỉ lệ nhỏ; công thức tỉ số mới là quan hệ chính xác trong mô hình.
Cách khác: Cho một giỏ hàng giá 100 tăng theo lạm phát và khoản tiền 100 tăng theo lợi suất rồi lấy tỉ số.
Tự kiểm: Kết quả: 4.76%. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
04 • Nhận biếtKhoản vay 45.000.000 đồng được trả đều cuối mỗi tháng trong 30 tháng, lãi suất 0%/tháng trên dư nợ còn lại, không có phí khác. Tính khoản trả đều theo mô hình niên kim.
Phân tích: Phân biệt dư nợ giảm dần với phép chia đều cả gốc lẫn lãi trên số tiền ban đầu.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- M=45.000.000/30≈1.500.000 đồng.
Vì sao: Mỗi khoản trả vừa thanh toán lãi trên dư nợ hiện tại, vừa giảm gốc; hợp đồng thực có thể thêm phí, bảo hiểm hoặc cách làm tròn.
Cách khác: Lập bảng dư nợ: lãi tháng = dư nợ đầu tháng × r, phần còn lại của M trả vào gốc.
Tự kiểm: Kết quả: 1.500.000 đồng. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
05 • Nhận biếtMô hình minh họa: dư nợ thẻ 4.000.000 đồng chịu lãi 2.5% cho một kì và phí cố định 50.000 đồng. Không có giao dịch mới. Tính số phải thanh toán cuối kì theo đúng giả định này.
Phân tích: Tách lãi theo tỉ lệ và phí cố định; không tự suy rộng mô hình thành biểu phí thật.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- Tiền lãi=4.000.000·0.025=100.000.
- Tổng=4.000.000+100.000+50.000=4.150.000 đồng.
Vì sao: Lãi và phí là hai thành phần khác nhau. Quy tắc tính thực tế phụ thuộc hợp đồng, ngày giao dịch, ngày sao kê và thời hạn thanh toán.
Cách khác: Tính số dư sau lãi rồi mới cộng phí.
Tự kiểm: Kết quả: 4.150.000 đồng. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
06 • Nhận biếtCuối mỗi tháng gửi 1.000.000 đồng trong 17 tháng, lãi 0.5%/tháng và khoản đầu tiên chỉ sinh lãi từ tháng sau. Tính giá trị tương lai của chuỗi gửi cuối kì.
Phân tích: Đây là cấp số nhân của các khoản gửi cuối kì: d[(1+r)ⁿ−1]/r; xét riêng r=0.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- S=1.000.000·[(1+0.005)^17−1]/0.005≈17.697.301 đồng.
Vì sao: Thời điểm gửi quyết định số kì sinh lãi; gửi đầu kì sẽ cho kết quả khác một hệ số (1+r).
Cách khác: Viết năm khoản đầu thành d+d(1+r)+… để nhận ra cấp số nhân.
Tự kiểm: Kết quả: 17.697.301 đồng. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
07 • Nhận biếtGửi 11.000.000 đồng, lãi kép 0.4% mỗi tháng trong 12 tháng, lãi nhập gốc cuối mỗi tháng. Tính số dư theo mô hình đã cho.
Phân tích: Kì hạn của lãi suất và số kì đều là tháng nên dùng A=P(1+r)ⁿ.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- A=11.000.000·(1+0.004)^12≈11.539.772 đồng.
Vì sao: Công thức chỉ đúng với cách nhập lãi và lãi suất mỗi kì như đề nêu; lãi suất thực tế phải đọc từ hợp đồng tại thời điểm giao dịch.
Cách khác: Lập bảng số dư lặp n lần để kiểm chéo.
Tự kiểm: Kết quả: 11.539.772 đồng. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
08 • Nhận biếtMuốn có 34.000.000 đồng sau 19 tháng, với lãi kép 0.6%/tháng cố định theo mô hình, cần gửi ban đầu bao nhiêu?
Phân tích: Chiết khấu giá trị tương lai: P=A/(1+r)ⁿ.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- P=34.000.000/(1+0.006)^19≈30.347.106 đồng.
Vì sao: Giá trị hiện tại là số tiền hôm nay tương đương với mục tiêu tương lai dưới giả định lãi suất đã khóa.
Cách khác: Lấy kết quả gửi ngược lại vào công thức lãi kép để phải thu gần đúng mục tiêu.
Tự kiểm: Kết quả: 30.347.106 đồng. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
09 • Nhận biếtLợi suất danh nghĩa 10%/năm và lạm phát 5%/năm. Tính tỉ suất thực chính xác theo mô hình Fisher.
Phân tích: So sánh hai hệ số tăng: 1+r_thực=(1+r_danh nghĩa)/(1+i).
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- r_thực=(1+0.1)/(1+0.05)−1≈4.76%.
Vì sao: Phép trừ r−i chỉ là xấp xỉ khi các tỉ lệ nhỏ; công thức tỉ số mới là quan hệ chính xác trong mô hình.
Cách khác: Cho một giỏ hàng giá 100 tăng theo lạm phát và khoản tiền 100 tăng theo lợi suất rồi lấy tỉ số.
Tự kiểm: Kết quả: 4.76%. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
10 • Nhận biếtKhoản vay 35.000.000 đồng được trả đều cuối mỗi tháng trong 36 tháng, lãi suất 0%/tháng trên dư nợ còn lại, không có phí khác. Tính khoản trả đều theo mô hình niên kim.
Phân tích: Phân biệt dư nợ giảm dần với phép chia đều cả gốc lẫn lãi trên số tiền ban đầu.
Hướng làm: Gọi đúng đại lượng, khóa điều kiện và đơn vị; lập mô hình, giải rồi đối chiếu lại ngữ cảnh.
- M=35.000.000/36≈972.222 đồng.
Vì sao: Mỗi khoản trả vừa thanh toán lãi trên dư nợ hiện tại, vừa giảm gốc; hợp đồng thực có thể thêm phí, bảo hiểm hoặc cách làm tròn.
Cách khác: Lập bảng dư nợ: lãi tháng = dư nợ đầu tháng × r, phần còn lại của M trả vào gốc.
Tự kiểm: Kết quả: 972.222 đồng. Kiểm lại bằng tổng xác suất, thế ngược, bảng giá trị hoặc một phép tính độc lập.
ỨNG DỤNG CÓ GIỚI HẠN
Thực tế nhưng không suy diễn quá mô hình
Mục tiêu học tập dài hạn
Tính giá trị tương lai và chuỗi gửi đều với giả định minh bạch; cập nhật khi lãi suất hoặc mục tiêu đổi.
Bảo toàn sức mua
So mức tăng tiền với mức tăng giá bằng tỉ lệ thực, không chỉ lấy hai phần trăm trừ nhau.
Đọc khoản trả góp
Tách gốc, lãi trên dư nợ, phí và ngày thanh toán; đối chiếu hợp đồng thật trước quyết định.
So sánh kịch bản
Dùng nhiều kịch bản lợi suất và rủi ro; không biến phép tính minh họa thành lời hứa sinh lời.
SỔ LỖI CHUYÊN ĐỀ
Tám lỗi phải nhận ra trước khi qua cổng
Trộn kì hạn
Đưa lãi suất và số kì về cùng đơn vị trước khi tính.
Nhầm 5% với 5
Đổi 5%=0,05 trong phép nhân.
Lãi kép thành lãi đơn
Lãi nhập gốc dùng lũy thừa (1+r)ⁿ.
Bỏ lạm phát
So sức mua bằng tỉ suất thực hoặc giá trị thực.
Bỏ phí
Tách lãi và từng khoản phí theo đúng giả định/hợp đồng.
Sai thời điểm gửi
Gửi đầu kì và cuối kì khác nhau một hệ số 1+r.
Lợi suất thành cam kết
Dùng kịch bản; nêu rõ rủi ro và giới hạn dữ liệu.
Làm tròn quá sớm
Giữ đủ chữ số trong bước giữa, làm tròn ở kết quả theo đơn vị tiền.
HỌC THÔNG MINH
Nhớ bằng cấu trúc và phép kiểm
Vẽ dòng thời gian
Đặt vốn, khoản gửi, khoản trả và mục tiêu đúng mốc.
Đồng bộ kỳ
Tháng đi với tháng, năm đi với năm; không ghép trực tiếp.
Tách thành phần
Gốc, lãi, phí, lạm phát và thuế (nếu đề cho) nằm ở các dòng riêng.
Kiểm ngược
Đưa giá trị hiện tại về tương lai hoặc lập vài dòng dư nợ để kiểm.
Viết giới hạn
Mọi kế hoạch phải ghi giả định và điều gì có thể thay đổi.
THẺ 1/8
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Đủ đề, gợi ý, lời giải, lý do và lỗi sai
Mỗi mức có đúng 20 bài; ba bài đầu mỗi mức chỉ gọi lại nền đã học trước đó.
100 câu phù hợp
12.3-NB-01Tính 5% của 500.000 đồng.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đổi phần trăm thành số thập phân rồi nhân.
Lời giải: 0.05·500.000=25.000.
Vì sao: Tỉ số phần trăm là nền của lãi suất, phí và lạm phát.
Sai ở đâu: Nhân với số 5 hoặc 8 thay vì 0,05 hoặc 0,08.
Cách khác: Tính 1% rồi nhân số phần trăm.
12.3-NB-02Ôn lũy thừa: 1.000.000 đồng tăng 10% mỗi kì trong 3 kì thì thành bao nhiêu?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân lặp với 1+r, tức dùng (1+r)ⁿ.
Lời giải: A=1.000.000·1,1^3=1.331.000.
Vì sao: Lãi kép là tăng theo cấp số nhân khi lãi được nhập vào gốc.
Sai ở đâu: Cộng 10% của số tiền ban đầu ở mọi kì.
Cách khác: Lập bảng số dư sau từng kì.
12.3-NB-03Giải 1,05ⁿ=2 và làm tròn n đến hai chữ số thập phân.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy lôgarit hai vế.
Lời giải: n=ln2/ln1,05≈14.21.
Vì sao: Lôgarit giúp tìm số kì khi ẩn nằm ở số mũ.
Sai ở đâu: Viết n=2/1,05.
Cách khác: Dùng chức năng giải phương trình trên máy tính rồi kiểm 1,05ⁿ.
12.3-NB-04Gửi 5.000.000 đồng, lãi kép 0.4% mỗi tháng trong 6 tháng, lãi nhập gốc cuối mỗi tháng. Tính số dư theo mô hình đã cho.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Kì hạn của lãi suất và số kì đều là tháng nên dùng A=P(1+r)ⁿ.
Lời giải: A=5.000.000·(1+0.004)^6≈5.121.206 đồng.
Vì sao: Công thức chỉ đúng với cách nhập lãi và lãi suất mỗi kì như đề nêu; lãi suất thực tế phải đọc từ hợp đồng tại thời điểm giao dịch.
Sai ở đâu: Lấy lãi suất tháng nhân 12 rồi vẫn giữ số kì theo tháng.
Cách khác: Lập bảng số dư lặp n lần để kiểm chéo.
12.3-NB-05Muốn có 22.000.000 đồng sau 13 tháng, với lãi kép 0.6%/tháng cố định theo mô hình, cần gửi ban đầu bao nhiêu?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chiết khấu giá trị tương lai: P=A/(1+r)ⁿ.
Lời giải: P=22.000.000/(1+0.006)^13≈20.353.961 đồng.
Vì sao: Giá trị hiện tại là số tiền hôm nay tương đương với mục tiêu tương lai dưới giả định lãi suất đã khóa.
Sai ở đâu: Nhân thêm (1+r)ⁿ và làm số tiền hiện tại lớn hơn mục tiêu tương lai.
Cách khác: Lấy kết quả gửi ngược lại vào công thức lãi kép để phải thu gần đúng mục tiêu.
12.3-NB-06Lợi suất danh nghĩa 10%/năm và lạm phát 5%/năm. Tính tỉ suất thực chính xác theo mô hình Fisher.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh hai hệ số tăng: 1+r_thực=(1+r_danh nghĩa)/(1+i).
Lời giải: r_thực=(1+0.1)/(1+0.05)−1≈4.76%.
Vì sao: Phép trừ r−i chỉ là xấp xỉ khi các tỉ lệ nhỏ; công thức tỉ số mới là quan hệ chính xác trong mô hình.
Sai ở đâu: Khẳng định lợi suất danh nghĩa dương đồng nghĩa sức mua chắc chắn tăng.
Cách khác: Cho một giỏ hàng giá 100 tăng theo lạm phát và khoản tiền 100 tăng theo lợi suất rồi lấy tỉ số.
12.3-NB-07Khoản vay 45.000.000 đồng được trả đều cuối mỗi tháng trong 30 tháng, lãi suất 0%/tháng trên dư nợ còn lại, không có phí khác. Tính khoản trả đều theo mô hình niên kim.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Phân biệt dư nợ giảm dần với phép chia đều cả gốc lẫn lãi trên số tiền ban đầu.
Lời giải: M=45.000.000/30≈1.500.000 đồng.
Vì sao: Mỗi khoản trả vừa thanh toán lãi trên dư nợ hiện tại, vừa giảm gốc; hợp đồng thực có thể thêm phí, bảo hiểm hoặc cách làm tròn.
Sai ở đâu: Dùng lãi đơn trên toàn bộ gốc cho mọi tháng rồi chia đều.
Cách khác: Lập bảng dư nợ: lãi tháng = dư nợ đầu tháng × r, phần còn lại của M trả vào gốc.
12.3-NB-08Mô hình minh họa: dư nợ thẻ 4.000.000 đồng chịu lãi 2.5% cho một kì và phí cố định 50.000 đồng. Không có giao dịch mới. Tính số phải thanh toán cuối kì theo đúng giả định này.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tách lãi theo tỉ lệ và phí cố định; không tự suy rộng mô hình thành biểu phí thật.
Lời giải: Tiền lãi=4.000.000·0.025=100.000. | Tổng=4.000.000+100.000+50.000=4.150.000 đồng.
Vì sao: Lãi và phí là hai thành phần khác nhau. Quy tắc tính thực tế phụ thuộc hợp đồng, ngày giao dịch, ngày sao kê và thời hạn thanh toán.
Sai ở đâu: Cộng 2% như 2 đồng hoặc bỏ qua phí cố định.
Cách khác: Tính số dư sau lãi rồi mới cộng phí.
12.3-NB-09Cuối mỗi tháng gửi 1.000.000 đồng trong 17 tháng, lãi 0.5%/tháng và khoản đầu tiên chỉ sinh lãi từ tháng sau. Tính giá trị tương lai của chuỗi gửi cuối kì.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đây là cấp số nhân của các khoản gửi cuối kì: d[(1+r)ⁿ−1]/r; xét riêng r=0.
Lời giải: S=1.000.000·[(1+0.005)^17−1]/0.005≈17.697.301 đồng.
Vì sao: Thời điểm gửi quyết định số kì sinh lãi; gửi đầu kì sẽ cho kết quả khác một hệ số (1+r).
Sai ở đâu: Cho cả n khoản tiền đều sinh lãi đủ n kì.
Cách khác: Viết năm khoản đầu thành d+d(1+r)+… để nhận ra cấp số nhân.
12.3-NB-10Gửi 11.000.000 đồng, lãi kép 0.4% mỗi tháng trong 12 tháng, lãi nhập gốc cuối mỗi tháng. Tính số dư theo mô hình đã cho.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Kì hạn của lãi suất và số kì đều là tháng nên dùng A=P(1+r)ⁿ.
Lời giải: A=11.000.000·(1+0.004)^12≈11.539.772 đồng.
Vì sao: Công thức chỉ đúng với cách nhập lãi và lãi suất mỗi kì như đề nêu; lãi suất thực tế phải đọc từ hợp đồng tại thời điểm giao dịch.
Sai ở đâu: Lấy lãi suất tháng nhân 12 rồi vẫn giữ số kì theo tháng.
Cách khác: Lập bảng số dư lặp n lần để kiểm chéo.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phương án nhiễu sinh từ lỗi thật
Cổng đạt đề xuất 80%; đọc giải thích cả khi chọn đúng.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Tính 5% của 500.000 đồng.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ HƯỚNG CHẤM
Phân bố đủ năm nấc độ khó
Đề mức 1
12.3-NB-01, 12.3-NB-02, 12.3-NB-03, 12.3-NB-04, 12.3-NB-05, 12.3-NB-06, 12.3-NB-07, 12.3-NB-08, 12.3-NB-09, 12.3-NB-10.
Xem đáp án
- 12.3-NB-01: 25.000 đồng
- 12.3-NB-02: 1.331.000 đồng
- 12.3-NB-03: 14.21
- 12.3-NB-04: 5.121.206 đồng
- 12.3-NB-05: 20.353.961 đồng
- 12.3-NB-06: 4.76%
- 12.3-NB-07: 1.500.000 đồng
- 12.3-NB-08: 4.150.000 đồng
- 12.3-NB-09: 17.697.301 đồng
- 12.3-NB-10: 11.539.772 đồng
Đề mức 2
12.3-TH-01, 12.3-TH-02, 12.3-TH-03, 12.3-TH-04, 12.3-TH-05, 12.3-TH-06, 12.3-TH-07, 12.3-TH-08, 12.3-TH-09, 12.3-TH-10.
Xem đáp án
- 12.3-TH-01: 40.000 đồng
- 12.3-TH-02: 1.331.000 đồng
- 12.3-TH-03: 14.21
- 12.3-TH-04: 37.349.274 đồng
- 12.3-TH-05: 12.106.031 đồng
- 12.3-TH-06: 31.567.936 đồng
- 12.3-TH-07: 4.76%
- 12.3-TH-08: 3.055.556 đồng
- 12.3-TH-09: 3.145.000 đồng
- 12.3-TH-10: 30.516.302 đồng
Đề mức 3
12.3-VD-01, 12.3-VD-02, 12.3-VD-03, 12.3-VD-04, 12.3-VD-05, 12.3-VD-06, 12.3-VD-07, 12.3-VD-08, 12.3-VD-09, 12.3-VD-10.
Xem đáp án
- 12.3-VD-01: 55.000 đồng
- 12.3-VD-02: 1.331.000 đồng
- 12.3-VD-03: 14.21
- 12.3-VD-04: 4.170.000 đồng
- 12.3-VD-05: 23.194.431 đồng
- 12.3-VD-06: 5.480.818 đồng
- 12.3-VD-07: 29.452.854 đồng
- 12.3-VD-08: 4.76%
- 12.3-VD-09: 1.805.556 đồng
- 12.3-VD-10: 2.100.000 đồng
Đề mức 4
12.3-VDC-01, 12.3-VDC-02, 12.3-VDC-03, 12.3-VDC-04, 12.3-VDC-05, 12.3-VDC-06, 12.3-VDC-07, 12.3-VDC-08, 12.3-VDC-09, 12.3-VDC-10.
Xem đáp án
- 12.3-VDC-01: 70.000 đồng
- 12.3-VDC-02: 1.331.000 đồng
- 12.3-VDC-03: 14.21
- 12.3-VDC-04: 2.500.000 đồng
- 12.3-VDC-05: 3.125.000 đồng
- 12.3-VDC-06: 12.429.238 đồng
- 12.3-VDC-07: 12.009.761 đồng
- 12.3-VDC-08: 27.099.145 đồng
- 12.3-VDC-09: 4.76%
- 12.3-VDC-10: 1.458.333 đồng
Đề ứng dụng tổng hợp
12.3-TT-01, 12.3-TT-02, 12.3-TT-03, 12.3-TT-04, 12.3-TT-05, 12.3-TT-06, 12.3-TT-07, 12.3-TT-08, 12.3-TT-09, 12.3-TT-10.
Xem đáp án
- 12.3-TT-01: 85.000 đồng
- 12.3-TT-02: 1.331.000 đồng
- 12.3-TT-03: 14.21
- 12.3-TT-04: 4.76%
- 12.3-TT-05: 1.527.778 đồng
- 12.3-TT-06: 2.120.000 đồng
- 12.3-TT-07: 21.469.000 đồng
- 12.3-TT-08: 5.437.233 đồng
- 12.3-TT-09: 21.088.419 đồng
- 12.3-TT-10: 4.76%
NGUỒN VÀ GIỚI HẠN
Khóa chuẩn trước khi xuất bản
Nguồn chương trình quyết định phạm vi; ví dụ, số liệu giả định và lời giải được viết mới, tính lại và kiểm thử.
01
Chương trình GDPT môn Toán – Thông tư 32/2018/TT-BGDĐTNguồn chuẩn để khóa tên chuyên đề, phạm vi và yêu cầu cần đạt lớp 12.
Mở nguồn ↗02Thông tư 12/2022/TT-BGDĐTCổng văn bản Chính phủ để đối chiếu chương trình và tổng thời lượng 35 tiết chuyên đề.
Mở nguồn ↗03Ngân hàng Nhà nước Việt Nam – truyền thông giáo dục tài chínhNguồn chính thống để nhấn mạnh hiểu biết tài chính, an toàn thông tin và việc đối chiếu quy định thực tế.
Mở nguồn ↗Giới hạn công bố: Đây là học liệu củng cố và học sâu theo chuyên đề lựa chọn, không thay thế kế hoạch dạy học của nhà trường. Các bài xác suất, tối ưu và tài chính dùng mô hình cùng dữ liệu giả định; quyết định ngoài đời phải đối chiếu dữ liệu, tiêu chuẩn, hợp đồng và quy định thực tế.