Viết điều kiện không mơ hồ
Một tập hợp nói rõ đối tượng nào được nhận và đối tượng nào bị loại.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
Tập hợp giúp gom các đối tượng theo một tiêu chí rõ ràng. Hợp, giao, hiệu và phần bù là cách diễn đạt chính xác các từ “hoặc”, “và”, “loại trừ” trong Toán học và dữ liệu.
Biến điều kiện thành vùng nhìn thấy được
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Mô tả tập nghiệm
Phương trình, bất phương trình và hệ đều kết thúc bằng một tập nghiệm.
Lọc và kết hợp nhóm
Giao, hợp, hiệu tương ứng với các thao tác truy vấn dữ liệu.
Chuẩn bị cho biến cố
Biến cố là tập hợp các kết quả; phép toán biến cố dùng chính phép toán tập hợp.
- Mô tả tập hợp bằng liệt kê và tính chất đặc trưng.
- Nhận biết tập con, hai tập bằng nhau và tập rỗng.
- Đọc, viết đúng khoảng, đoạn, nửa khoảng trên trục số.
- Tính hợp, giao, hiệu, phần bù và vận dụng vào bài toán nhóm.
- Mệnh đề chứa biến và điều kiện của biến.
- Kí hiệu ∈, ∉ và các tập số.
- Thứ tự số thực trên trục số.
- Phân biệt “và”, “hoặc”, “không”.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Liệt kê hoặc chỉ ra tính chất đặc trưng
Hiểu đơn giản: Một tập hợp là một nhóm đối tượng xác định rõ đối tượng nào thuộc nhóm.
A = {a; b; c} hoặc A = {x ∈ U | P(x)}.
Ví dụ: {0;2;4;6} = {x ∈ ℕ | x chẵn, x < 8}.
Hình nên dùng: Vòng kín chứa các phần tử và nhãn A.
Mô phỏng: Đổi qua lại giữa dạng liệt kê và dạng tính chất.
Mẹo nhớ: Phần tử không lặp; thứ tự liệt kê không quan trọng.
Sai lầm: Lặp phần tử hoặc dùng tính chất không xác định rõ.
Ghi chú: ∅ là tập rỗng, khác với {0}.
Bao hàm phần tử
Hiểu đơn giản: A là tập con của B nếu mọi phần tử của A đều nằm trong B.
A ⊂ B ⇔ ∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B; A = B khi A ⊂ B và B ⊂ A.
Ví dụ: {1;2} ⊂ {1;2;3}.
Hình nên dùng: Vòng A nằm trọn trong vòng B.
Mô phỏng: Kéo vòng A để kiểm tra có nằm trọn trong B không.
Mẹo nhớ: Tập con kiểm từng phần tử, không chỉ đếm số lượng.
Sai lầm: Nhầm x ∈ A với {x} ⊂ A.
Ghi chú: ∅ là tập con của mọi tập hợp.
Đọc đầu mút trên trục số
Hiểu đơn giản: Ngoặc vuông nhận đầu mút, ngoặc tròn không nhận đầu mút.
[a;b], (a;b), [a;b), (a;b]; ±∞ luôn đi với ngoặc tròn.
Ví dụ: x ≥ 2 và x < 5 ⇔ x ∈ [2;5).
Hình nên dùng: Trục số với chấm đặc và chấm rỗng.
Mô phỏng: Chọn dấu bất đẳng thức để trục số đổi kiểu đầu mút.
Mẹo nhớ: [ nhận; ( loại.
Sai lầm: Viết [−∞;2] hoặc [2;+∞].
Ghi chú: Vô cực không phải số nên không bao giờ được nhận làm đầu mút.
Và – hoặc
Hiểu đơn giản: Giao lấy phần chung; hợp lấy toàn bộ phần thuộc ít nhất một tập.
A ∩ B = {x | x∈A và x∈B}; A ∪ B = {x | x∈A hoặc x∈B}.
Ví dụ: [0;3] ∩ [2;5] = [2;3]; hợp bằng [0;5].
Hình nên dùng: Sơ đồ Venn hai vòng chồng nhau.
Mô phỏng: Tô vùng giao hoặc hợp theo lựa chọn.
Mẹo nhớ: ∩ = và; ∪ = hoặc.
Sai lầm: Nhầm giao với hợp khi giải đồng thời hai điều kiện.
Ghi chú: Từ “hoặc” trong tập hợp cho phép phần tử thuộc cả hai.
Thuộc tập này nhưng loại tập kia
Hiểu đơn giản: A \ B bắt đầu từ A rồi bỏ các phần tử cũng thuộc B.
A \ B = {x | x∈A và x∉B}; CᵁA = U \ A.
Ví dụ: {1;2;3}\{2;4} = {1;3}.
Hình nên dùng: Tô phần riêng của A trong sơ đồ Venn.
Mô phỏng: Chọn tập vũ trụ rồi bật vùng phần bù.
Mẹo nhớ: Hiệu có thứ tự; phần bù cần biết U.
Sai lầm: Tính A \ B giống B \ A.
Ghi chú: Không thể nói phần bù nếu chưa xác định tập vũ trụ.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TẬP HỢP
Tự tính hợp, giao và hiệu
Nhập các số, cách nhau bởi dấu phẩy.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • CƠ BẢNHai cách viết một tập
Đề bài: Viết tập các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 8.
Phân tích: Các số thỏa vừa tự nhiên, vừa chẵn, vừa nhỏ hơn 8.
Hướng làm: Liệt kê rồi đối chiếu bằng tính chất đặc trưng.
- A = {0;2;4;6}.
- Dạng tính chất: A = {x∈ℕ | x chẵn, x<8}.
Vì sao: 0 là số tự nhiên và là số chẵn.
Cách khác: Viết x = 2k với k∈{0;1;2;3}.
Tự kiểm: Không bỏ số 0.
02 • THÔNG HIỂUGiao và hợp hai khoảng
Đề bài: Cho A = [−1;3), B = [2;5]. Tìm A∩B và A∪B.
Phân tích: Hai khoảng chồng nhau từ 2 đến trước 3.
Hướng làm: Đặt lên cùng trục số và đọc vùng chung, vùng gộp.
- A∩B = [2;3).
- A∪B = [−1;5].
Vì sao: 3 không thuộc A nên không thuộc giao; hai khoảng có chồng lấn nên hợp là một khoảng liền.
Cách khác: Dùng điều kiện kép: giao là x≥2 và x<3.
Tự kiểm: Xét riêng từng đầu mút.
03 • VẬN DỤNGHiệu hai tập hữu hạn
Đề bài: A={1;2;3;4}, B={3;4;5}. Tìm A\B và B\A.
Phân tích: Hiệu có thứ tự.
Hướng làm: Bắt đầu từ tập đứng trước dấu hiệu.
- A\B={1;2}.
- B\A={5}.
Vì sao: 3 và 4 là phần chung nên bị loại khỏi cả hai hiệu.
Cách khác: Vẽ sơ đồ Venn rồi đọc hai vùng riêng.
Tự kiểm: A\B không bằng B\A.
04 • NÂNG CAOBiểu diễn điều kiện nghiệm
Đề bài: Tìm tập x thỏa x∈(−2;4] và x∉[1;3).
Phân tích: Lấy hiệu (−2;4]\[1;3).
Hướng làm: Chia tại hai mốc 1 và 3.
- Phần còn lại bên trái là (−2;1).
- Vì 3 không thuộc tập bị loại và 4 được nhận, phần phải là [3;4].
- Kết quả (−2;1)∪[3;4].
Vì sao: Đầu mút phải xét theo cả tập ban đầu và tập bị trừ.
Cách khác: Đánh dấu màu trên trục số rồi xóa vùng [1;3).
Tự kiểm: 1 bị loại, 3 được giữ.
05 • THỰC TẾNhóm học sinh tham gia câu lạc bộ
Đề bài: Lớp có 18 em học CLB Toán, 14 em học CLB Tin, 6 em học cả hai. Có bao nhiêu em học ít nhất một CLB?
Phân tích: Cần số phần tử của hợp; phần giao đã bị đếm hai lần.
Hướng làm: Dùng |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|.
- |A∪B| = 18 + 14 − 6 = 26.
Vì sao: Trừ 6 một lần để mỗi em trong giao chỉ được tính một lần.
Cách khác: Chia sơ đồ Venn thành ba vùng: 12, 6, 8 rồi cộng.
Tự kiểm: Không cộng 18+14 mà bỏ qua phần giao.
06 • NHẬN BIẾTVí dụ theo mục tiêu TH-NB-08
Đề bài: Trong U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, cho A = {1; 2; 3; 4; 5}. Tìm phần bù CᵁA.
Phân tích: Lấy các phần tử thuộc U nhưng không thuộc A.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- CᵁA = {0; 6}.
- Kết luận: {0; 6}.
Vì sao: Phần bù chỉ có nghĩa khi biết tập vũ trụ U.
Cách khác: Tính trực tiếp hiệu U \ A.
Tự kiểm: Tự kiểm: Lấy tất cả số không thuộc A mà bỏ qua phạm vi U.
07 • THÔNG HIỂUVí dụ theo mục tiêu TH-TH-05
Đề bài: Viết A = {x ∈ ℤ | 1 ≤ x ≤ 4} bằng cách liệt kê.
Phân tích: Lấy các điểm nguyên từ đầu trái đến đầu phải, kể cả hai đầu.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- A = {1; 2; 3; 4}.
- Kết luận: {1; 2; 3; 4}.
Vì sao: Dấu ≤ nhận cả hai đầu mút.
Cách khác: Đọc các điểm nguyên trên đoạn [1; 4].
Tự kiểm: Tự kiểm: Bỏ đầu mút hoặc lấy thêm số không nguyên.
08 • VẬN DỤNGVí dụ theo mục tiêu TH-VD-02
Đề bài: Xét câu “5 + 1 = 7”. Đây có phải mệnh đề không và đúng hay sai?
Phân tích: Câu đã là khẳng định; hãy tính vế trái.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- 5 + 1 = 6, nên câu đã cho là mệnh đề sai.
- Kết luận: Mệnh đề sai.
Vì sao: Một câu khẳng định có giá trị đúng–sai xác định là mệnh đề.
Cách khác: Thay phép cộng bằng kết quả rồi so sánh hai số.
Tự kiểm: Tự kiểm: Thấy có phép tính rồi mặc nhiên kết luận câu đúng.
09 • VẬN DỤNG CAOVí dụ theo mục tiêu TH-VDC-04
Đề bài: Cho A = {-1; 0; 1; 2}, B = {1; 2; 3; 4}. Tìm A \ B.
Phân tích: Giữ phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- A \ B = {-1; 0}.
- Kết luận: {-1; 0}.
Vì sao: Hiệu có thứ tự; A \ B thường khác B \ A.
Cách khác: Bắt đầu từ A rồi gạch các phần tử đồng thời thuộc B.
Tự kiểm: Tự kiểm: Xóa khỏi B thay vì xóa khỏi A.
10 • THỰC TẾVí dụ theo mục tiêu TH-TT-07
Đề bài: Với A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3} và C = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, hãy xét A ⊂ C.
Phân tích: Kiểm tra từng phần tử của A có thuộc C không.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- Mọi phần tử của A đều thuộc C nên A ⊂ C là đúng.
- Kết luận: Đúng.
Vì sao: Tập con là quan hệ bao hàm phần tử.
Cách khác: Nhận thấy C được tạo bằng cách thêm phần tử vào A.
Tự kiểm: Tự kiểm: So sánh số phần tử mà không kiểm tra chính các phần tử.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Lọc danh sách
Nhóm thành viên theo độ tuổi, lịch rảnh hoặc sở thích.
Câu lạc bộ
Đếm học sinh tham gia ít nhất một hoặc đồng thời hai câu lạc bộ.
Khoảng thời gian
Biểu diễn thời gian mở cửa bằng đoạn và nửa khoảng.
Phân loại mẫu
Chọn mẫu vừa có tính chất A vừa không có tính chất B.
Miền thông số
Khoảng an toàn của nhiệt độ, điện áp hoặc áp suất.
Lô đạt chuẩn
Giao của nhiều tiêu chuẩn cho tập sản phẩm được chấp nhận.
Vùng phân bố
Hợp và giao vùng sống của các loài hoặc vùng khí hậu.
Dữ liệu và tìm kiếm
Lập trình viên dùng phép hợp, giao, loại trừ để lọc bản ghi.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
∈ và ⊂ khác nhau thế nào?
∈ nối một phần tử với một tập; ⊂ nối một tập với một tập lớn hơn.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Nhầm ∈ với ⊂
∈ nối phần tử với tập; ⊂ nối hai tập hợp.
Coi {0} là tập rỗng
{0} có một phần tử; ∅ không có phần tử nào.
Lặp phần tử trong tập
Mỗi phần tử chỉ viết một lần; thứ tự không quan trọng.
Kiểm tập con chỉ bằng số lượng
Phải kiểm mọi phần tử của tập thứ nhất thuộc tập thứ hai.
Nhầm giao với hợp
Giao là “và”; hợp là “hoặc” theo nghĩa ít nhất một.
Tính A\B như B\A
Bắt đầu từ tập đứng trước dấu hiệu.
Lấy phần bù khi chưa biết U
Xác định tập vũ trụ rồi tính U\A.
Sai ngoặc ở đầu mút
Dấu ≤/≥ dùng đầu kín; </> dùng đầu mở.
Dùng ngoặc vuông với vô cực
±∞ không phải số nên luôn đi cùng ngoặc tròn.
Gộp hai khoảng rời thành một khoảng
Nếu có khoảng trống, phải giữ kí hiệu hợp ∪.
Tự kiểm sau khi làm: nhầm ∈ với ⊂
∈ nối phần tử với tập; ⊂ nối hai tập hợp. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: coi {0} là tập rỗng
{0} có một phần tử; ∅ không có phần tử nào. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: lặp phần tử trong tập
Mỗi phần tử chỉ viết một lần; thứ tự không quan trọng. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: kiểm tập con chỉ bằng số lượng
Phải kiểm mọi phần tử của tập thứ nhất thuộc tập thứ hai. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: nhầm giao với hợp
Giao là “và”; hợp là “hoặc” theo nghĩa ít nhất một. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: tính a\b như b\a
Bắt đầu từ tập đứng trước dấu hiệu. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: lấy phần bù khi chưa biết u
Xác định tập vũ trụ rồi tính U\A. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: sai ngoặc ở đầu mút
Dấu ≤/≥ dùng đầu kín; </> dùng đầu mở. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: dùng ngoặc vuông với vô cực
±∞ không phải số nên luôn đi cùng ngoặc tròn. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: gộp hai khoảng rời thành một khoảng
Nếu có khoảng trống, phải giữ kí hiệu hợp ∪. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Học bằng truy hồi
Đóng phần lí thuyết, tự nói lại khái niệm và cho một ví dụ đúng, một phản ví dụ.
Làm theo ba lượt
Lượt 1 hiểu mẫu; lượt 2 làm không nhìn; lượt 3 giải thích vì sao từng bước hợp lệ.
Dùng sổ lỗi
Ghi loại sai, nguyên nhân và một câu tự kiểm; không chỉ chép lại đáp án.
Ôn cách quãng
Ôn sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày bằng câu ngắn thay vì đọc lại toàn bài.
Trộn 15% bài cũ
Mỗi phiên luyện có ba câu nền cũ để buộc não chọn đúng công cụ.
Ưu tiên trường hợp biên
Sau khi giải, thử đầu mút, dấu bằng, số 0 hoặc một điểm trên đường biên.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Tập hợp và các phép toán trên tập hợp1 2 3 4 5
Liệt kê hoặc chỉ ra tính chất đặc trưngPhần tử không lặp; thứ tự liệt kê không quan trọng.
Bao hàm phần tửTập con kiểm từng phần tử, không chỉ đếm số lượng.
Đọc đầu mút trên trục số[ nhận; ( loại.
Và – hoặc∩ = và; ∪ = hoặc.
Thuộc tập này nhưng loại tập kiaHiệu có thứ tự; phần bù cần biết U.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
TH-NB-01Với n ∈ ℤ, phát biểu “n chẵn khi và chỉ khi n = 2k với k ∈ ℤ” dùng điều kiện cần hay đủ?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cụm “khi và chỉ khi” biểu thị hai chiều.
Lời giải: Đây là điều kiện cần và đủ.
Vì sao: n chẵn ⇒ tồn tại k nguyên để n = 2k; và n = 2k ⇒ n chẵn.
Sai ở đâu: Chỉ kiểm tra một trong hai chiều.
Cách khác: Tách ⇔ thành hai mệnh đề kéo theo rồi kiểm tra từng mệnh đề.
TH-NB-02Xét câu “16 + 1 = 18”. Đây có phải mệnh đề không và đúng hay sai?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Câu đã là khẳng định; hãy tính vế trái.
Lời giải: 16 + 1 = 17, nên câu đã cho là mệnh đề sai.
Vì sao: Một câu khẳng định có giá trị đúng–sai xác định là mệnh đề.
Sai ở đâu: Thấy có phép tính rồi mặc nhiên kết luận câu đúng.
Cách khác: Thay phép cộng bằng kết quả rồi so sánh hai số.
TH-NB-03Lập phủ định của P: “x ≥ 8”, với x ∈ ℝ.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Phủ định của ≥ là <.
Lời giải: ¬P: “x < 8”.
Vì sao: Mọi số thực hoặc thỏa x ≥ 8, hoặc thỏa x < 8; hai miền không chồng lấn.
Sai ở đâu: Viết x ≤ 8, làm giá trị x = 8 xuất hiện ở cả P và ¬P.
Cách khác: Nhìn hai nửa trục đối nhau qua điểm 8.
TH-NB-04Viết A = {x ∈ ℤ | -3 ≤ x ≤ 0} bằng cách liệt kê.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy các điểm nguyên từ đầu trái đến đầu phải, kể cả hai đầu.
Lời giải: A = {-3; -2; -1; 0}.
Vì sao: Dấu ≤ nhận cả hai đầu mút.
Sai ở đâu: Bỏ đầu mút hoặc lấy thêm số không nguyên.
Cách khác: Đọc các điểm nguyên trên đoạn [-3; 0].
TH-NB-05Cho A = {-2; -1; 0; 1; 2}, B = {0; 1; 2; 3; 4}. Tìm A ∩ B.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chỉ giữ phần tử xuất hiện trong cả A và B.
Lời giải: A ∩ B = {0; 1; 2}.
Vì sao: Giao biểu diễn điều kiện “và”.
Sai ở đâu: Gộp toàn bộ phần tử thành hợp.
Cách khác: Đánh dấu từng phần tử của A xem có thuộc B không.
TH-NB-06Cho A = {-1; 0; 1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Tìm A ∪ B.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Gộp phần tử của hai tập và chỉ viết mỗi phần tử một lần.
Lời giải: A ∪ B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Vì sao: Hợp biểu diễn điều kiện “hoặc” theo nghĩa có thể thuộc cả hai.
Sai ở đâu: Lặp lại phần tử chung.
Cách khác: Viết A trước, rồi thêm các phần tử của B chưa có trong A.
TH-NB-07Cho A = {0; 1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}. Tìm A \ B.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Giữ phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
Lời giải: A \ B = {0; 1}.
Vì sao: Hiệu có thứ tự; A \ B thường khác B \ A.
Sai ở đâu: Xóa khỏi B thay vì xóa khỏi A.
Cách khác: Bắt đầu từ A rồi gạch các phần tử đồng thời thuộc B.
TH-NB-08Trong U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, cho A = {1; 2; 3; 4; 5}. Tìm phần bù CᵁA.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy các phần tử thuộc U nhưng không thuộc A.
Lời giải: CᵁA = {0; 6}.
Vì sao: Phần bù chỉ có nghĩa khi biết tập vũ trụ U.
Sai ở đâu: Lấy tất cả số không thuộc A mà bỏ qua phạm vi U.
Cách khác: Tính trực tiếp hiệu U \ A.
TH-NB-09Với A = {2; 3; 4; 5; 6; 7} và C = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, hãy xét A ⊂ C.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Kiểm tra từng phần tử của A có thuộc C không.
Lời giải: Mọi phần tử của A đều thuộc C nên A ⊂ C là đúng.
Vì sao: Tập con là quan hệ bao hàm phần tử.
Sai ở đâu: So sánh số phần tử mà không kiểm tra chính các phần tử.
Cách khác: Nhận thấy C được tạo bằng cách thêm phần tử vào A.
TH-NB-10Viết A = {x ∈ ℤ | 3 ≤ x ≤ 6} bằng cách liệt kê.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy các điểm nguyên từ đầu trái đến đầu phải, kể cả hai đầu.
Lời giải: A = {3; 4; 5; 6}.
Vì sao: Dấu ≤ nhận cả hai đầu mút.
Sai ở đâu: Bỏ đầu mút hoặc lấy thêm số không nguyên.
Cách khác: Đọc các điểm nguyên trên đoạn [3; 6].
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Với A = {-3; -2; -1; 0}, ta có -2 ∈ A.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Với n ∈ ℤ, phát biểu “n chẵn khi và chỉ khi n = 2k với k ∈ ℤ” dùng điều kiện cần hay đủ?
Gợi ý: Cụm “khi và chỉ khi” biểu thị hai chiều.
Lời giải: Đây là điều kiện cần và đủ.
Giải thích: n chẵn ⇒ tồn tại k nguyên để n = 2k; và n = 2k ⇒ n chẵn.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra một trong hai chiều.
Cách khác: Tách ⇔ thành hai mệnh đề kéo theo rồi kiểm tra từng mệnh đề.
TỰ LUẬN 2Cho A = {-1; 0; 1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Tìm A ∪ B.
Gợi ý: Gộp phần tử của hai tập và chỉ viết mỗi phần tử một lần.
Lời giải: A ∪ B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Giải thích: Hợp biểu diễn điều kiện “hoặc” theo nghĩa có thể thuộc cả hai.
Lỗi cần tránh: Lặp lại phần tử chung.
Cách khác: Viết A trước, rồi thêm các phần tử của B chưa có trong A.
TỰ LUẬN 3Cho A = {-3; -2; -1; 0; 1}, B = {-1; 0; 1; 2; 3}. Tìm A ∩ B.
Gợi ý: Chỉ giữ phần tử xuất hiện trong cả A và B.
Lời giải: A ∩ B = {-1; 0; 1}.
Giải thích: Giao biểu diễn điều kiện “và”.
Lỗi cần tránh: Gộp toàn bộ phần tử thành hợp.
Cách khác: Đánh dấu từng phần tử của A xem có thuộc B không.
TỰ LUẬN 4Viết A = {x ∈ ℤ | 2 ≤ x ≤ 5} bằng cách liệt kê.
Gợi ý: Lấy các điểm nguyên từ đầu trái đến đầu phải, kể cả hai đầu.
Lời giải: A = {2; 3; 4; 5}.
Giải thích: Dấu ≤ nhận cả hai đầu mút.
Lỗi cần tránh: Bỏ đầu mút hoặc lấy thêm số không nguyên.
Cách khác: Đọc các điểm nguyên trên đoạn [2; 5].
TỰ LUẬN 5Xét P ⇒ Q: “Nếu một số nguyên chia hết cho 8 thì nó chia hết cho 4”. Mệnh đề có đúng không?
Gợi ý: Đặt số đó bằng 8t.
Lời giải: Nếu n = 8t thì n = 4(2t), nên n chia hết cho 4. Mệnh đề đúng.
Giải thích: 8 là bội của 4.
Lỗi cần tránh: Dùng một vài ví dụ thay cho chứng minh tổng quát.
Cách khác: Dựa vào quan hệ 4 | 8 và 8 | n ⇒ 4 | n.
TỰ LUẬN 6Cho A = {2; 3; 4; 5; 6}, B = {4; 5; 6; 7; 8}. Tìm A ∩ B.
Gợi ý: Chỉ giữ phần tử xuất hiện trong cả A và B.
Lời giải: A ∩ B = {4; 5; 6}.
Giải thích: Giao biểu diễn điều kiện “và”.
Lỗi cần tránh: Gộp toàn bộ phần tử thành hợp.
Cách khác: Đánh dấu từng phần tử của A xem có thuộc B không.
TỰ LUẬN 7Viết A = {x ∈ ℤ | 0 ≤ x ≤ 3} bằng cách liệt kê.
Gợi ý: Lấy các điểm nguyên từ đầu trái đến đầu phải, kể cả hai đầu.
Lời giải: A = {0; 1; 2; 3}.
Giải thích: Dấu ≤ nhận cả hai đầu mút.
Lỗi cần tránh: Bỏ đầu mút hoặc lấy thêm số không nguyên.
Cách khác: Đọc các điểm nguyên trên đoạn [0; 3].
TỰ LUẬN 8Với A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3} và C = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, hãy xét A ⊂ C.
Gợi ý: Kiểm tra từng phần tử của A có thuộc C không.
Lời giải: Mọi phần tử của A đều thuộc C nên A ⊂ C là đúng.
Giải thích: Tập con là quan hệ bao hàm phần tử.
Lỗi cần tránh: So sánh số phần tử mà không kiểm tra chính các phần tử.
Cách khác: Nhận thấy C được tạo bằng cách thêm phần tử vào A.
TỰ LUẬN 9Với n ∈ ℤ, phát biểu “n chẵn khi và chỉ khi n = 2k với k ∈ ℤ” dùng điều kiện cần hay đủ?
Gợi ý: Cụm “khi và chỉ khi” biểu thị hai chiều.
Lời giải: Đây là điều kiện cần và đủ.
Giải thích: n chẵn ⇒ tồn tại k nguyên để n = 2k; và n = 2k ⇒ n chẵn.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra một trong hai chiều.
Cách khác: Tách ⇔ thành hai mệnh đề kéo theo rồi kiểm tra từng mệnh đề.
TỰ LUẬN 10Viết A = {x ∈ ℤ | -2 ≤ x ≤ 1} bằng cách liệt kê.
Gợi ý: Lấy các điểm nguyên từ đầu trái đến đầu phải, kể cả hai đầu.
Lời giải: A = {-2; -1; 0; 1}.
Giải thích: Dấu ≤ nhận cả hai đầu mút.
Lỗi cần tránh: Bỏ đầu mút hoặc lấy thêm số không nguyên.
Cách khác: Đọc các điểm nguyên trên đoạn [-2; 1].
TỰ LUẬN 11Với A = {3; 4; 5; 6; 7; 8} và C = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, hãy xét A ⊂ C.
Gợi ý: Kiểm tra từng phần tử của A có thuộc C không.
Lời giải: Mọi phần tử của A đều thuộc C nên A ⊂ C là đúng.
Giải thích: Tập con là quan hệ bao hàm phần tử.
Lỗi cần tránh: So sánh số phần tử mà không kiểm tra chính các phần tử.
Cách khác: Nhận thấy C được tạo bằng cách thêm phần tử vào A.
TỰ LUẬN 12Trong U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, cho A = {1; 2; 3; 4; 5}. Tìm phần bù CᵁA.
Gợi ý: Lấy các phần tử thuộc U nhưng không thuộc A.
Lời giải: CᵁA = {0; 6}.
Giải thích: Phần bù chỉ có nghĩa khi biết tập vũ trụ U.
Lỗi cần tránh: Lấy tất cả số không thuộc A mà bỏ qua phạm vi U.
Cách khác: Tính trực tiếp hiệu U \ A.
TỰ LUẬN 13Xét P ⇒ Q: “Nếu một số nguyên chia hết cho 4 thì nó chia hết cho 2”. Mệnh đề có đúng không?
Gợi ý: Đặt số đó bằng 4t.
Lời giải: Nếu n = 4t thì n = 2(2t), nên n chia hết cho 2. Mệnh đề đúng.
Giải thích: 4 là bội của 2.
Lỗi cần tránh: Dùng một vài ví dụ thay cho chứng minh tổng quát.
Cách khác: Dựa vào quan hệ 2 | 4 và 4 | n ⇒ 2 | n.
TỰ LUẬN 14Với A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} và C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, hãy xét A ⊂ C.
Gợi ý: Kiểm tra từng phần tử của A có thuộc C không.
Lời giải: Mọi phần tử của A đều thuộc C nên A ⊂ C là đúng.
Giải thích: Tập con là quan hệ bao hàm phần tử.
Lỗi cần tránh: So sánh số phần tử mà không kiểm tra chính các phần tử.
Cách khác: Nhận thấy C được tạo bằng cách thêm phần tử vào A.
TỰ LUẬN 15Trong U = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}, cho A = {-1; 0; 1; 2; 3}. Tìm phần bù CᵁA.
Gợi ý: Lấy các phần tử thuộc U nhưng không thuộc A.
Lời giải: CᵁA = {-2; 4}.
Giải thích: Phần bù chỉ có nghĩa khi biết tập vũ trụ U.
Lỗi cần tránh: Lấy tất cả số không thuộc A mà bỏ qua phạm vi U.
Cách khác: Tính trực tiếp hiệu U \ A.
TỰ LUẬN 16Cho A = {-3; -2; -1; 0}, B = {-1; 0; 1; 2}. Tìm A \ B.
Gợi ý: Giữ phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
Lời giải: A \ B = {-3; -2}.
Giải thích: Hiệu có thứ tự; A \ B thường khác B \ A.
Lỗi cần tránh: Xóa khỏi B thay vì xóa khỏi A.
Cách khác: Bắt đầu từ A rồi gạch các phần tử đồng thời thuộc B.
TỰ LUẬN 17Với n ∈ ℤ, phát biểu “n chẵn khi và chỉ khi n = 2k với k ∈ ℤ” dùng điều kiện cần hay đủ?
Gợi ý: Cụm “khi và chỉ khi” biểu thị hai chiều.
Lời giải: Đây là điều kiện cần và đủ.
Giải thích: n chẵn ⇒ tồn tại k nguyên để n = 2k; và n = 2k ⇒ n chẵn.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra một trong hai chiều.
Cách khác: Tách ⇔ thành hai mệnh đề kéo theo rồi kiểm tra từng mệnh đề.
TỰ LUẬN 18Trong U = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2}, cho A = {-3; -2; -1; 0; 1}. Tìm phần bù CᵁA.
Gợi ý: Lấy các phần tử thuộc U nhưng không thuộc A.
Lời giải: CᵁA = {-4; 2}.
Giải thích: Phần bù chỉ có nghĩa khi biết tập vũ trụ U.
Lỗi cần tránh: Lấy tất cả số không thuộc A mà bỏ qua phạm vi U.
Cách khác: Tính trực tiếp hiệu U \ A.
TỰ LUẬN 19Cho A = {2; 3; 4; 5}, B = {4; 5; 6; 7}. Tìm A \ B.
Gợi ý: Giữ phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
Lời giải: A \ B = {2; 3}.
Giải thích: Hiệu có thứ tự; A \ B thường khác B \ A.
Lỗi cần tránh: Xóa khỏi B thay vì xóa khỏi A.
Cách khác: Bắt đầu từ A rồi gạch các phần tử đồng thời thuộc B.
TỰ LUẬN 20Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, B = {2; 3; 4; 5; 6; 7}. Tìm A ∪ B.
Gợi ý: Gộp phần tử của hai tập và chỉ viết mỗi phần tử một lần.
Lời giải: A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
Giải thích: Hợp biểu diễn điều kiện “hoặc” theo nghĩa có thể thuộc cả hai.
Lỗi cần tránh: Lặp lại phần tử chung.
Cách khác: Viết A trước, rồi thêm các phần tử của B chưa có trong A.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: TH-NB-01, TH-NB-02, TH-NB-03, TH-NB-04, TH-NB-05, TH-NB-06, TH-NB-07, TH-NB-08, TH-NB-09, TH-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- TH-NB-01: Điều kiện cần và đủ
- TH-NB-02: Mệnh đề sai
- TH-NB-03: x < 8
- TH-NB-04: {-3; -2; -1; 0}
- TH-NB-05: {0; 1; 2}
- TH-NB-06: {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
- TH-NB-07: {0; 1}
- TH-NB-08: {0; 6}
- TH-NB-09: Đúng
- TH-NB-10: {3; 4; 5; 6}
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 1
10 câu đại diện: TH-NB-11, TH-NB-12, TH-NB-13, TH-NB-14, TH-NB-15, TH-NB-16, TH-NB-17, TH-NB-18, TH-NB-19, TH-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- TH-NB-11: {-1; 0; 1}
- TH-NB-12: {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}
- TH-NB-13: {-1; 0}
- TH-NB-14: {-1; 5}
- TH-NB-15: Đúng
- TH-NB-16: {2; 3; 4; 5}
- TH-NB-17: {5; 6; 7}
- TH-NB-18: {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
- TH-NB-19: {-2; -1}
- TH-NB-20: {-2; 4}
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: TH-TH-01, TH-TH-02, TH-TH-03, TH-TH-04, TH-TH-05, TH-TH-06, TH-TH-07, TH-TH-08, TH-TH-09, TH-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- TH-TH-01: Đúng
- TH-TH-02: ∃x ∈ ℤ: x² + 3 ≤ 0
- TH-TH-03: Sai; phản ví dụ n = 2
- TH-TH-04: Đúng
- TH-TH-05: {1; 2; 3; 4}
- TH-TH-06: {4; 5; 6}
- TH-TH-07: {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
- TH-TH-08: {-3; -2}
- TH-TH-09: {-3; 3}
- TH-TH-10: Đúng
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: TH-TH-11, TH-TH-12, TH-TH-13, TH-TH-14, TH-TH-15, TH-TH-16, TH-TH-17, TH-TH-18, TH-TH-19, TH-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- TH-TH-11: {0; 1; 2; 3}
- TH-TH-12: {3; 4; 5}
- TH-TH-13: {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
- TH-TH-14: {3; 4}
- TH-TH-15: {-4; 2}
- TH-TH-16: Đúng
- TH-TH-17: {-1; 0; 1; 2}
- TH-TH-18: {2; 3; 4}
- TH-TH-19: {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
- TH-TH-20: {2; 3}
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: TH-VD-01, TH-VD-02, TH-VD-03, TH-VD-04, TH-VD-05, TH-VD-06, TH-VD-07, TH-VD-08, TH-VD-09, TH-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- TH-VD-01: Điều kiện cần và đủ
- TH-VD-02: Mệnh đề sai
- TH-VD-03: x < 7
- TH-VD-04: {2; 8}
- TH-VD-05: Đúng
- TH-VD-06: {-2; -1; 0; 1}
- TH-VD-07: {1; 2; 3}
- TH-VD-08: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
- TH-VD-09: {1; 2}
- TH-VD-10: {1; 7}
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Học 25 phút, nghỉ 5 phút; mỗi buổi chỉ cần một mục tiêu rõ.
- Hỏi con “Con đang dùng định nghĩa nào?” thay vì hỏi ngay đáp số.
- Nếu con sai lặp lại, yêu cầu con tạo một ví dụ nhỏ hơn và kiểm bằng lời.
- Không dùng điểm số một bài để gắn nhãn năng lực; theo dõi loại lỗi trong 2–3 tuần.
- Dấu hiệu đã hiểu: con giải thích được vì sao cách sai không dùng được.
- Mở đầu bằng tình huống có mâu thuẫn nhận thức, sau đó mới chuẩn hóa kí hiệu.
- Tổ chức dự đoán cá nhân → trao đổi cặp → phản biện toàn lớp.
- Yêu cầu học sinh nêu điều kiện, đơn vị và trường hợp biên trước khi tính.
- Dùng phiếu ra về 3 phút để phát hiện đúng loại lỗ hổng.
- Chấm cả lập luận và thao tác tự kiểm, không chỉ chấm kết quả cuối.
- Nhãn “tham khảo cấu trúc Hà Nội” chỉ dùng cho đề nội bộ mô phỏng, không gọi là đề chính thức.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.