Nhìn điều kiện bằng vùng
Một biểu thức đại số được biến thành đường biên và nửa mặt phẳng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Thay vì tìm một số, ta tìm cả những cặp (x;y) thỏa điều kiện. Mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trở thành một miền nhìn thấy được trên mặt phẳng tọa độ.
Một bất phương trình, cả một nửa mặt phẳng
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Mô tả giới hạn
Ngân sách, thời gian và nguyên liệu đều tạo ràng buộc tuyến tính.
Miền vận hành an toàn
Thông số phải nằm trong vùng cho phép thay vì chỉ bằng một giá trị.
Kiểm điều kiện bằng điểm
Học sinh luyện thói quen thay số và kiểm biên trước khi kết luận.
- Nhận dạng đúng bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Kiểm tra một cặp số có là nghiệm hay không.
- Xác định đường biên, điểm thử và biểu diễn miền nghiệm.
- Lập bất phương trình từ một ràng buộc thực tế.
- Phép giao và mô tả tập hợp bằng điều kiện.
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn và đổi chiều khi chia số âm.
- Đường thẳng ax+by=c và hai điểm xác định một đường.
- Tọa độ điểm (x;y) và bốn góc phần tư.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Một bất phương trình, vô số cặp nghiệm
Hiểu đơn giản: Ta cần tìm các cặp (x;y), không phải chỉ một số x như ở THCS.
ax + by ≤ c (hoặc <, ≥, >), với a và b không đồng thời bằng 0.
Ví dụ: (1;2) là nghiệm của x + y ≤ 4 vì 1 + 2 ≤ 4.
Hình nên dùng: Mặt phẳng tọa độ với nhiều điểm nghiệm.
Mô phỏng: Nhập một điểm và nhận phản hồi thuộc/không thuộc miền.
Mẹo nhớ: Nghiệm là cặp có thứ tự (x;y).
Sai lầm: Chỉ tìm x hoặc chỉ tìm y.
Ghi chú: Nếu có dấu bằng kèm theo, điểm trên đường biên là nghiệm.
Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng
Hiểu đơn giản: Đường ax + by = c chia mặt phẳng thành hai phía.
Đường biên của ax + by ≤ c là ax + by = c.
Ví dụ: Đường biên của 2x + y ≤ 4 đi qua (0;4) và (2;0).
Hình nên dùng: Đường thẳng với hai giao điểm trục.
Mô phỏng: Thay hệ số để quan sát đường biên thay đổi.
Mẹo nhớ: Biên: đổi ≤, <, ≥, > thành =.
Sai lầm: Vẽ đường biên bằng cách đoán mà không tìm hai điểm.
Ghi chú: Biên nét liền với ≤, ≥; nét đứt với <, >.
Chọn đúng một phía
Hiểu đơn giản: Chọn một điểm không nằm trên biên, thường là O(0;0), rồi thay vào.
Nếu điểm thử làm bất phương trình đúng, chọn nửa mặt phẳng chứa điểm đó.
Ví dụ: Với x + y ≤ 3, O thỏa 0 ≤ 3 nên lấy phía chứa O.
Hình nên dùng: Hai nửa mặt phẳng khác màu và một điểm thử.
Mô phỏng: Bấm hai phía để kiểm dự đoán.
Mẹo nhớ: Biên → điểm thử → phía đúng → xét có lấy bờ.
Sai lầm: Dùng điểm thử nằm trên đường biên.
Ghi chú: Nếu c = 0 thì O nằm trên biên; hãy chọn điểm khác.
Nửa mặt phẳng có hoặc không kể bờ
Hiểu đơn giản: Mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho một nửa mặt phẳng.
Miền nghiệm là tập mọi điểm M(x;y) thỏa bất phương trình.
Ví dụ: y > 2x − 1 là miền phía trên, không kể đường y = 2x − 1.
Hình nên dùng: Trục tọa độ, đường đứt và vùng tô.
Mô phỏng: Đổi dấu > thành ≥ để thấy đường biên đổi.
Mẹo nhớ: ≤/≥: kể bờ; </>: không kể bờ.
Sai lầm: Tô đúng phía nhưng dùng sai kiểu đường biên.
Ghi chú: Cần ghi chú rõ vùng tô là miền nghiệm hay vùng bị loại.
Biến ràng buộc thực tế thành bất phương trình
Hiểu đơn giản: Mỗi nguồn lực có hạn tạo một điều kiện “không quá”.
Tổng mức sử dụng = tổng (định mức × số lượng), so sánh với năng lực.
Ví dụ: 2 giờ cho A, 3 giờ cho B, tối đa 30 giờ ⇒ 2x + 3y ≤ 30.
Hình nên dùng: Bảng nguồn lực – định mức – giới hạn.
Mô phỏng: Thay số sản phẩm để xem còn vượt nguồn lực hay không.
Mẹo nhớ: Gọi biến có đơn vị; viết điều kiện không âm.
Sai lầm: Quên x ≥ 0, y ≥ 0 hoặc quên tính nguyên khi là số sản phẩm.
Ghi chú: Miền nghiệm liên tục có thể cần lọc các điểm nguyên theo bối cảnh.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB MIỀN NGHIỆM
Kiểm điểm với ax + by ≤ c
Thay hệ số và tọa độ; hệ thống hiển thị phép kiểm đầy đủ.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • CƠ BẢNKiểm tra một cặp nghiệm
Đề bài: M(1;2) có là nghiệm của 2x+y≤5 không?
Phân tích: Thay x=1, y=2.
Hướng làm: Tính vế trái rồi so sánh.
- 2·1+2=4.
- 4≤5 nên M là nghiệm.
Vì sao: Nghiệm của bất phương trình hai ẩn là một cặp có thứ tự.
Cách khác: Tính 2x+y−5=−1≤0.
Tự kiểm: Không thay ngược x và y.
02 • THÔNG HIỂUVẽ miền nghiệm
Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm x+2y≤4.
Phân tích: Đường biên x+2y=4 đi qua (4;0),(0;2).
Hướng làm: Vẽ biên, thử O, quyết định có lấy bờ.
- Vẽ đường thẳng qua (4;0),(0;2).
- O(0;0) thỏa 0≤4.
- Tô nửa mặt phẳng chứa O, kể cả đường biên.
Vì sao: Dấu ≤ nhận các điểm trên biên.
Cách khác: Viết y≤−x/2+2 và tô phía dưới đường.
Tự kiểm: Dùng đường liền.
03 • VẬN DỤNGMiền không kể bờ
Đề bài: Biểu diễn 2x−y>2.
Phân tích: Đường biên y=2x−2; dấu > tương đương y<2x−2.
Hướng làm: Vẽ biên đứt và thử một điểm.
- Vẽ đường y=2x−2 bằng nét đứt.
- O cho 0>2 sai.
- Lấy nửa mặt phẳng không chứa O.
Vì sao: Biến đổi sang y<2x−2 giúp đọc phía dưới đường.
Cách khác: Giữ dạng 2x−y>2 và thử điểm (2;0).
Tự kiểm: Khi chia bất đẳng thức cho −1 phải đổi chiều.
04 • NÂNG CAONhận tham số để điểm thuộc miền
Đề bài: Tìm m để A(2;m) là nghiệm của x+3y≤8.
Phân tích: Thay tọa độ A để tạo bất phương trình một ẩn m.
Hướng làm: Thay x=2, y=m.
- 2+3m≤8.
- 3m≤6.
- m≤2.
Vì sao: Mỗi giá trị m≤2 cho một điểm A nằm trong miền.
Cách khác: Từ y≤(8−x)/3, tại x=2 suy ra y≤2.
Tự kiểm: Không coi m là hoành độ.
05 • THỰC TẾRàng buộc thời gian
Đề bài: Sản phẩm A cần 2 giờ, B cần 3 giờ; xưởng có tối đa 36 giờ. Lập điều kiện.
Phân tích: Tổng giờ dùng không vượt 36.
Hướng làm: Nhân số lượng với định mức rồi cộng.
- Thời gian dùng là 2x+3y.
- Ràng buộc: 2x+3y≤36, x≥0, y≥0.
Vì sao: Nếu x,y là số sản phẩm hoàn chỉnh thì còn có x,y∈ℕ.
Cách khác: Lập bảng định mức để tránh ghép sai hệ số.
Tự kiểm: Ghi đơn vị và điều kiện không âm.
06 • NHẬN BIẾTVí dụ theo mục tiêu BPT-NB-08
Đề bài: Một sản phẩm A tốn 2 giờ, B tốn 7 giờ; tổng thời gian không quá 24 giờ. Gọi x, y là số sản phẩm. Lập bất phương trình thời gian.
Phân tích: Thời gian dùng = thời gian A + thời gian B; “không quá” dùng ≤.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- 2x + 7y ≤ 24, với x ≥ 0, y ≥ 0.
- Kết luận: 2x + 7y ≤ 24; x,y ≥ 0.
Vì sao: Mỗi biến nhân với mức tiêu hao tương ứng rồi cộng lại.
Cách khác: Lập bảng hai cột: số lượng – thời gian mỗi sản phẩm – tổng.
Tự kiểm: Tự kiểm: Dùng dấu ≥ cho cụm “không quá”.
07 • THÔNG HIỂUVí dụ theo mục tiêu BPT-TH-05
Đề bài: Bất phương trình 3x + 3y ≤ 20 mô tả miền nào so với đường biên?
Phân tích: Dùng O(0;0) làm điểm thử; đường biên được tính vì có dấu ≤.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O(0;0).
- Kết luận: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O.
Vì sao: Vế trái tại O bằng 0 và vế phải dương.
Cách khác: Chuyển về y ≤ biểu thức bậc nhất của x rồi đọc phía dưới đường thẳng.
Tự kiểm: Tự kiểm: Không tô đường biên dù dấu ≤ có nhận dấu bằng.
08 • VẬN DỤNGVí dụ theo mục tiêu BPT-VD-02
Đề bài: Cho A = {-3; -2; -1; 0; 1; 2}, B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4}. Tìm A ∪ B.
Phân tích: Gộp phần tử của hai tập và chỉ viết mỗi phần tử một lần.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- A ∪ B = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}.
- Kết luận: {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}.
Vì sao: Hợp biểu diễn điều kiện “hoặc” theo nghĩa có thể thuộc cả hai.
Cách khác: Viết A trước, rồi thêm các phần tử của B chưa có trong A.
Tự kiểm: Tự kiểm: Lặp lại phần tử chung.
09 • VẬN DỤNG CAOVí dụ theo mục tiêu BPT-VDC-04
Đề bài: Xác định đường biên của bất phương trình 4x + 4y ≥ 15.
Phân tích: Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- Đường biên là 4x + 4y = 15.
- Kết luận: 4x + 4y = 15.
Vì sao: Đường biên chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Cách khác: Tìm hai điểm thỏa dấu bằng rồi kẻ đường thẳng qua chúng.
Tự kiểm: Tự kiểm: Giữ nguyên dấu ≤ hoặc ≥ khi viết phương trình đường biên.
10 • THỰC TẾVí dụ theo mục tiêu BPT-TT-07
Đề bài: Xác định đường biên của bất phương trình 4x + 4y ≥ 1.
Phân tích: Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng.
Hướng làm: Gọi đúng khái niệm trước, sau đó mới thực hiện phép biến đổi.
- Đường biên là 4x + 4y = 1.
- Kết luận: 4x + 4y = 1.
Vì sao: Đường biên chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Cách khác: Tìm hai điểm thỏa dấu bằng rồi kẻ đường thẳng qua chúng.
Tự kiểm: Tự kiểm: Giữ nguyên dấu ≤ hoặc ≥ khi viết phương trình đường biên.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Ngân sách mua sắm
Chọn hai loại hàng sao cho tổng chi không vượt mức.
Phân bổ giờ học
Hai môn học cùng dùng một quỹ thời gian giới hạn.
Khẩu phần
Lượng hai món phải đáp ứng hoặc không vượt một chỉ tiêu.
Miền tham số
Xác định các cặp thông số làm mô hình thỏa điều kiện.
Công suất
Hai thiết bị cùng chia sẻ một giới hạn nguồn điện.
Nguồn lực
Số sản phẩm nhân định mức không vượt giờ máy.
Ngưỡng môi trường
Hai yếu tố nhiệt độ và độ ẩm tạo vùng sống phù hợp.
Phân tích vận hành
Kĩ sư và nhà quản trị biểu diễn miền phương án khả thi.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Nghiệm bất phương trình hai ẩn là gì?
Là một cặp có thứ tự (x;y) làm bất phương trình đúng khi thay vào.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Quên a và b không đồng thời bằng 0
Kiểm tra dạng ax+by⋚c trước khi gọi là bậc nhất hai ẩn.
Coi nghiệm là một số
Viết nghiệm dưới dạng cặp có thứ tự (x;y).
Thay nhầm hoành độ và tung độ
Ghi x trước, y sau rồi thay từng vị trí.
Vẽ sai đường biên
Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng và tìm hai điểm chính xác.
Dùng điểm thử nằm trên biên
Chọn điểm khác; O chỉ dùng khi không nằm trên đường biên.
Tô sai phía
Thay điểm thử và chọn phía chứa điểm nếu bất phương trình đúng.
Dùng nét liền cho dấu nghiêm
</> không lấy bờ nên dùng nét đứt.
Dùng nét đứt cho ≤/≥
≤/≥ nhận dấu bằng nên đường biên phải được lấy.
Đổi chiều sai khi chia số âm
Khi chia hai vế cho số âm phải đổi chiều bất đẳng thức.
Quên điều kiện không âm trong thực tế
Ghi x≥0, y≥0 và điều kiện nguyên nếu là số vật.
Tự kiểm sau khi làm: quên a và b không đồng thời bằng 0
Kiểm tra dạng ax+by⋚c trước khi gọi là bậc nhất hai ẩn. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: coi nghiệm là một số
Viết nghiệm dưới dạng cặp có thứ tự (x;y). Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: thay nhầm hoành độ và tung độ
Ghi x trước, y sau rồi thay từng vị trí. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: vẽ sai đường biên
Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng và tìm hai điểm chính xác. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: dùng điểm thử nằm trên biên
Chọn điểm khác; O chỉ dùng khi không nằm trên đường biên. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: tô sai phía
Thay điểm thử và chọn phía chứa điểm nếu bất phương trình đúng. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: dùng nét liền cho dấu nghiêm
</> không lấy bờ nên dùng nét đứt. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: dùng nét đứt cho ≤/≥
≤/≥ nhận dấu bằng nên đường biên phải được lấy. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: đổi chiều sai khi chia số âm
Khi chia hai vế cho số âm phải đổi chiều bất đẳng thức. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
Tự kiểm sau khi làm: quên điều kiện không âm trong thực tế
Ghi x≥0, y≥0 và điều kiện nguyên nếu là số vật. Sau đó thay một trường hợp biên để kiểm lại.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Học bằng truy hồi
Đóng phần lí thuyết, tự nói lại khái niệm và cho một ví dụ đúng, một phản ví dụ.
Làm theo ba lượt
Lượt 1 hiểu mẫu; lượt 2 làm không nhìn; lượt 3 giải thích vì sao từng bước hợp lệ.
Dùng sổ lỗi
Ghi loại sai, nguyên nhân và một câu tự kiểm; không chỉ chép lại đáp án.
Ôn cách quãng
Ôn sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày bằng câu ngắn thay vì đọc lại toàn bài.
Trộn 15% bài cũ
Mỗi phiên luyện có ba câu nền cũ để buộc não chọn đúng công cụ.
Ưu tiên trường hợp biên
Sau khi giải, thử đầu mút, dấu bằng, số 0 hoặc một điểm trên đường biên.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn1 2 3 4 5
Một bất phương trình, vô số cặp nghiệmNghiệm là cặp có thứ tự (x;y).
Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằngBiên: đổi ≤, <, ≥, > thành =.
Chọn đúng một phíaBiên → điểm thử → phía đúng → xét có lấy bờ.
Nửa mặt phẳng có hoặc không kể bờ≤/≥: kể bờ; </>: không kể bờ.
Biến ràng buộc thực tế thành bất phương trìnhGọi biến có đơn vị; viết điều kiện không âm.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
BPT-NB-01Với n ∈ ℤ, phát biểu “n chẵn khi và chỉ khi n = 2k với k ∈ ℤ” dùng điều kiện cần hay đủ?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cụm “khi và chỉ khi” biểu thị hai chiều.
Lời giải: Đây là điều kiện cần và đủ.
Vì sao: n chẵn ⇒ tồn tại k nguyên để n = 2k; và n = 2k ⇒ n chẵn.
Sai ở đâu: Chỉ kiểm tra một trong hai chiều.
Cách khác: Tách ⇔ thành hai mệnh đề kéo theo rồi kiểm tra từng mệnh đề.
BPT-NB-02Cho A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3}, B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Tìm A ∪ B.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Gộp phần tử của hai tập và chỉ viết mỗi phần tử một lần.
Lời giải: A ∪ B = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}.
Vì sao: Hợp biểu diễn điều kiện “hoặc” theo nghĩa có thể thuộc cả hai.
Sai ở đâu: Lặp lại phần tử chung.
Cách khác: Viết A trước, rồi thêm các phần tử của B chưa có trong A.
BPT-NB-03Lập phủ định của P: “x ≥ 2”, với x ∈ ℝ.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Phủ định của ≥ là <.
Lời giải: ¬P: “x < 2”.
Vì sao: Mọi số thực hoặc thỏa x ≥ 2, hoặc thỏa x < 2; hai miền không chồng lấn.
Sai ở đâu: Viết x ≤ 2, làm giá trị x = 2 xuất hiện ở cả P và ¬P.
Cách khác: Nhìn hai nửa trục đối nhau qua điểm 2.
BPT-NB-04Điểm M(-2; -2) có thuộc miền nghiệm của 1x + 2y ≤ -7 không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay tọa độ M vào vế trái rồi so sánh với vế phải.
Lời giải: 1·-2 + 2·-2 = -6; -6 > -7. Vậy M không thuộc miền nghiệm.
Vì sao: Một cặp số là nghiệm khi thay vào làm bất phương trình đúng.
Sai ở đâu: Thay x và y ngược vị trí hoặc quên dấu của số âm.
Cách khác: Tính hiệu vế trái trừ vế phải rồi xét dấu.
BPT-NB-05Xác định đường biên của bất phương trình 2x + 4y ≥ 2.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng.
Lời giải: Đường biên là 2x + 4y = 2.
Vì sao: Đường biên chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Sai ở đâu: Giữ nguyên dấu ≤ hoặc ≥ khi viết phương trình đường biên.
Cách khác: Tìm hai điểm thỏa dấu bằng rồi kẻ đường thẳng qua chúng.
BPT-NB-06Miền nghiệm của 3x + 6y ≤ 25 có chứa O(0;0) không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay x = 0, y = 0.
Lời giải: Tại O, vế trái bằng 0; 0 ≤ 25. Vì vậy O thuộc miền nghiệm.
Vì sao: Điểm O thường là điểm thử nhanh nếu không nằm trên đường biên.
Sai ở đâu: Dùng O làm điểm thử khi c = 0, tức O nằm ngay trên biên.
Cách khác: Chọn điểm (1;0) nếu O thuộc đường biên.
BPT-NB-07Bất phương trình 4x + 3y ≤ 10 mô tả miền nào so với đường biên?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng O(0;0) làm điểm thử; đường biên được tính vì có dấu ≤.
Lời giải: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O(0;0).
Vì sao: Vế trái tại O bằng 0 và vế phải dương.
Sai ở đâu: Không tô đường biên dù dấu ≤ có nhận dấu bằng.
Cách khác: Chuyển về y ≤ biểu thức bậc nhất của x rồi đọc phía dưới đường thẳng.
BPT-NB-08Một sản phẩm A tốn 2 giờ, B tốn 7 giờ; tổng thời gian không quá 24 giờ. Gọi x, y là số sản phẩm. Lập bất phương trình thời gian.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thời gian dùng = thời gian A + thời gian B; “không quá” dùng ≤.
Lời giải: 2x + 7y ≤ 24, với x ≥ 0, y ≥ 0.
Vì sao: Mỗi biến nhân với mức tiêu hao tương ứng rồi cộng lại.
Sai ở đâu: Dùng dấu ≥ cho cụm “không quá”.
Cách khác: Lập bảng hai cột: số lượng – thời gian mỗi sản phẩm – tổng.
BPT-NB-09Điểm M(3; -1) có thuộc miền nghiệm của 2x + 2y ≥ 5 không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay tọa độ M vào vế trái rồi so sánh với vế phải.
Lời giải: 2·3 + 2·-1 = 4; 4 < 5. Vậy M không thuộc miền nghiệm.
Vì sao: Một cặp số là nghiệm khi thay vào làm bất phương trình đúng.
Sai ở đâu: Thay x và y ngược vị trí hoặc quên dấu của số âm.
Cách khác: Tính hiệu vế trái trừ vế phải rồi xét dấu.
BPT-NB-10Xác định đường biên của bất phương trình 3x + 4y ≤ 19.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng.
Lời giải: Đường biên là 3x + 4y = 19.
Vì sao: Đường biên chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Sai ở đâu: Giữ nguyên dấu ≤ hoặc ≥ khi viết phương trình đường biên.
Cách khác: Tìm hai điểm thỏa dấu bằng rồi kẻ đường thẳng qua chúng.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Điểm (-1;-1) là nghiệm của 1x + 3y ≤ -3.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Với n ∈ ℤ, phát biểu “n chẵn khi và chỉ khi n = 2k với k ∈ ℤ” dùng điều kiện cần hay đủ?
Gợi ý: Cụm “khi và chỉ khi” biểu thị hai chiều.
Lời giải: Đây là điều kiện cần và đủ.
Giải thích: n chẵn ⇒ tồn tại k nguyên để n = 2k; và n = 2k ⇒ n chẵn.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra một trong hai chiều.
Cách khác: Tách ⇔ thành hai mệnh đề kéo theo rồi kiểm tra từng mệnh đề.
TỰ LUẬN 2Miền nghiệm của 3x + 6y ≤ 25 có chứa O(0;0) không?
Gợi ý: Thay x = 0, y = 0.
Lời giải: Tại O, vế trái bằng 0; 0 ≤ 25. Vì vậy O thuộc miền nghiệm.
Giải thích: Điểm O thường là điểm thử nhanh nếu không nằm trên đường biên.
Lỗi cần tránh: Dùng O làm điểm thử khi c = 0, tức O nằm ngay trên biên.
Cách khác: Chọn điểm (1;0) nếu O thuộc đường biên.
TỰ LUẬN 3Miền nghiệm của 4x + 6y ≥ -20 có chứa O(0;0) không?
Gợi ý: Thay x = 0, y = 0.
Lời giải: Tại O, vế trái bằng 0; 0 ≥ -20. Vì vậy O thuộc miền nghiệm.
Giải thích: Điểm O thường là điểm thử nhanh nếu không nằm trên đường biên.
Lỗi cần tránh: Dùng O làm điểm thử khi c = 0, tức O nằm ngay trên biên.
Cách khác: Chọn điểm (1;0) nếu O thuộc đường biên.
TỰ LUẬN 4Miền nghiệm của 1x + 6y ≤ -4 có chứa O(0;0) không?
Gợi ý: Thay x = 0, y = 0.
Lời giải: Tại O, vế trái bằng 0; 0 > -4. Vì vậy O không thuộc miền nghiệm.
Giải thích: Điểm O thường là điểm thử nhanh nếu không nằm trên đường biên.
Lỗi cần tránh: Dùng O làm điểm thử khi c = 0, tức O nằm ngay trên biên.
Cách khác: Chọn điểm (1;0) nếu O thuộc đường biên.
TỰ LUẬN 5Trong U = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, cho A = {0; 1; 2; 3; 4}. Tìm phần bù CᵁA.
Gợi ý: Lấy các phần tử thuộc U nhưng không thuộc A.
Lời giải: CᵁA = {-1; 5}.
Giải thích: Phần bù chỉ có nghĩa khi biết tập vũ trụ U.
Lỗi cần tránh: Lấy tất cả số không thuộc A mà bỏ qua phạm vi U.
Cách khác: Tính trực tiếp hiệu U \ A.
TỰ LUẬN 6Một sản phẩm A tốn 5 giờ, B tốn 7 giờ; tổng thời gian không quá 39 giờ. Gọi x, y là số sản phẩm. Lập bất phương trình thời gian.
Gợi ý: Thời gian dùng = thời gian A + thời gian B; “không quá” dùng ≤.
Lời giải: 5x + 7y ≤ 39, với x ≥ 0, y ≥ 0.
Giải thích: Mỗi biến nhân với mức tiêu hao tương ứng rồi cộng lại.
Lỗi cần tránh: Dùng dấu ≥ cho cụm “không quá”.
Cách khác: Lập bảng hai cột: số lượng – thời gian mỗi sản phẩm – tổng.
TỰ LUẬN 7Một sản phẩm A tốn 2 giờ, B tốn 7 giờ; tổng thời gian không quá 44 giờ. Gọi x, y là số sản phẩm. Lập bất phương trình thời gian.
Gợi ý: Thời gian dùng = thời gian A + thời gian B; “không quá” dùng ≤.
Lời giải: 2x + 7y ≤ 44, với x ≥ 0, y ≥ 0.
Giải thích: Mỗi biến nhân với mức tiêu hao tương ứng rồi cộng lại.
Lỗi cần tránh: Dùng dấu ≥ cho cụm “không quá”.
Cách khác: Lập bảng hai cột: số lượng – thời gian mỗi sản phẩm – tổng.
TỰ LUẬN 8Một sản phẩm A tốn 3 giờ, B tốn 7 giờ; tổng thời gian không quá 49 giờ. Gọi x, y là số sản phẩm. Lập bất phương trình thời gian.
Gợi ý: Thời gian dùng = thời gian A + thời gian B; “không quá” dùng ≤.
Lời giải: 3x + 7y ≤ 49, với x ≥ 0, y ≥ 0.
Giải thích: Mỗi biến nhân với mức tiêu hao tương ứng rồi cộng lại.
Lỗi cần tránh: Dùng dấu ≥ cho cụm “không quá”.
Cách khác: Lập bảng hai cột: số lượng – thời gian mỗi sản phẩm – tổng.
TỰ LUẬN 9Với n ∈ ℤ, phát biểu “n chẵn khi và chỉ khi n = 2k với k ∈ ℤ” dùng điều kiện cần hay đủ?
Gợi ý: Cụm “khi và chỉ khi” biểu thị hai chiều.
Lời giải: Đây là điều kiện cần và đủ.
Giải thích: n chẵn ⇒ tồn tại k nguyên để n = 2k; và n = 2k ⇒ n chẵn.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra một trong hai chiều.
Cách khác: Tách ⇔ thành hai mệnh đề kéo theo rồi kiểm tra từng mệnh đề.
TỰ LUẬN 10Xác định đường biên của bất phương trình 1x + 4y ≤ 2.
Gợi ý: Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng.
Lời giải: Đường biên là 1x + 4y = 2.
Giải thích: Đường biên chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên dấu ≤ hoặc ≥ khi viết phương trình đường biên.
Cách khác: Tìm hai điểm thỏa dấu bằng rồi kẻ đường thẳng qua chúng.
TỰ LUẬN 11Xác định đường biên của bất phương trình 2x + 4y ≥ 17.
Gợi ý: Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng.
Lời giải: Đường biên là 2x + 4y = 17.
Giải thích: Đường biên chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên dấu ≤ hoặc ≥ khi viết phương trình đường biên.
Cách khác: Tìm hai điểm thỏa dấu bằng rồi kẻ đường thẳng qua chúng.
TỰ LUẬN 12Xác định đường biên của bất phương trình 3x + 4y ≤ 18.
Gợi ý: Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng.
Lời giải: Đường biên là 3x + 4y = 18.
Giải thích: Đường biên chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên dấu ≤ hoặc ≥ khi viết phương trình đường biên.
Cách khác: Tìm hai điểm thỏa dấu bằng rồi kẻ đường thẳng qua chúng.
TỰ LUẬN 13Trong U = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}, cho A = {-1; 0; 1; 2; 3}. Tìm phần bù CᵁA.
Gợi ý: Lấy các phần tử thuộc U nhưng không thuộc A.
Lời giải: CᵁA = {-2; 4}.
Giải thích: Phần bù chỉ có nghĩa khi biết tập vũ trụ U.
Lỗi cần tránh: Lấy tất cả số không thuộc A mà bỏ qua phạm vi U.
Cách khác: Tính trực tiếp hiệu U \ A.
TỰ LUẬN 14Bất phương trình 2x + 3y ≤ 19 mô tả miền nào so với đường biên?
Gợi ý: Dùng O(0;0) làm điểm thử; đường biên được tính vì có dấu ≤.
Lời giải: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O(0;0).
Giải thích: Vế trái tại O bằng 0 và vế phải dương.
Lỗi cần tránh: Không tô đường biên dù dấu ≤ có nhận dấu bằng.
Cách khác: Chuyển về y ≤ biểu thức bậc nhất của x rồi đọc phía dưới đường thẳng.
TỰ LUẬN 15Bất phương trình 3x + 3y ≤ 18 mô tả miền nào so với đường biên?
Gợi ý: Dùng O(0;0) làm điểm thử; đường biên được tính vì có dấu ≤.
Lời giải: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O(0;0).
Giải thích: Vế trái tại O bằng 0 và vế phải dương.
Lỗi cần tránh: Không tô đường biên dù dấu ≤ có nhận dấu bằng.
Cách khác: Chuyển về y ≤ biểu thức bậc nhất của x rồi đọc phía dưới đường thẳng.
TỰ LUẬN 16Bất phương trình 4x + 3y ≤ 22 mô tả miền nào so với đường biên?
Gợi ý: Dùng O(0;0) làm điểm thử; đường biên được tính vì có dấu ≤.
Lời giải: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O(0;0).
Giải thích: Vế trái tại O bằng 0 và vế phải dương.
Lỗi cần tránh: Không tô đường biên dù dấu ≤ có nhận dấu bằng.
Cách khác: Chuyển về y ≤ biểu thức bậc nhất của x rồi đọc phía dưới đường thẳng.
TỰ LUẬN 17Với n ∈ ℤ, phát biểu “n chẵn khi và chỉ khi n = 2k với k ∈ ℤ” dùng điều kiện cần hay đủ?
Gợi ý: Cụm “khi và chỉ khi” biểu thị hai chiều.
Lời giải: Đây là điều kiện cần và đủ.
Giải thích: n chẵn ⇒ tồn tại k nguyên để n = 2k; và n = 2k ⇒ n chẵn.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra một trong hai chiều.
Cách khác: Tách ⇔ thành hai mệnh đề kéo theo rồi kiểm tra từng mệnh đề.
TỰ LUẬN 18Điểm M(-2; -2) có thuộc miền nghiệm của 3x + 2y ≤ -10 không?
Gợi ý: Thay tọa độ M vào vế trái rồi so sánh với vế phải.
Lời giải: 3·-2 + 2·-2 = -10; -10 ≤ -10. Vậy M thuộc miền nghiệm.
Giải thích: Một cặp số là nghiệm khi thay vào làm bất phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: Thay x và y ngược vị trí hoặc quên dấu của số âm.
Cách khác: Tính hiệu vế trái trừ vế phải rồi xét dấu.
TỰ LUẬN 19Điểm M(3; -1) có thuộc miền nghiệm của 4x + 2y ≥ 9 không?
Gợi ý: Thay tọa độ M vào vế trái rồi so sánh với vế phải.
Lời giải: 4·3 + 2·-1 = 10; 10 ≥ 9. Vậy M thuộc miền nghiệm.
Giải thích: Một cặp số là nghiệm khi thay vào làm bất phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: Thay x và y ngược vị trí hoặc quên dấu của số âm.
Cách khác: Tính hiệu vế trái trừ vế phải rồi xét dấu.
TỰ LUẬN 20Điểm M(1; 0) có thuộc miền nghiệm của 1x + 2y ≤ 2 không?
Gợi ý: Thay tọa độ M vào vế trái rồi so sánh với vế phải.
Lời giải: 1·1 + 2·0 = 1; 1 ≤ 2. Vậy M thuộc miền nghiệm.
Giải thích: Một cặp số là nghiệm khi thay vào làm bất phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: Thay x và y ngược vị trí hoặc quên dấu của số âm.
Cách khác: Tính hiệu vế trái trừ vế phải rồi xét dấu.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: BPT-NB-01, BPT-NB-02, BPT-NB-03, BPT-NB-04, BPT-NB-05, BPT-NB-06, BPT-NB-07, BPT-NB-08, BPT-NB-09, BPT-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- BPT-NB-01: Điều kiện cần và đủ
- BPT-NB-02: {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}
- BPT-NB-03: x < 2
- BPT-NB-04: Không thuộc
- BPT-NB-05: 2x + 4y = 2
- BPT-NB-06: Có
- BPT-NB-07: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
- BPT-NB-08: 2x + 7y ≤ 24; x,y ≥ 0
- BPT-NB-09: Không thuộc
- BPT-NB-10: 3x + 4y = 19
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 2
10 câu đại diện: BPT-NB-11, BPT-NB-12, BPT-NB-13, BPT-NB-14, BPT-NB-15, BPT-NB-16, BPT-NB-17, BPT-NB-18, BPT-NB-19, BPT-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- BPT-NB-11: Có
- BPT-NB-12: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
- BPT-NB-13: 3x + 7y ≤ 29; x,y ≥ 0
- BPT-NB-14: Thuộc
- BPT-NB-15: 4x + 4y = 21
- BPT-NB-16: Không
- BPT-NB-17: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
- BPT-NB-18: 4x + 7y ≤ 34; x,y ≥ 0
- BPT-NB-19: Thuộc
- BPT-NB-20: 1x + 4y = 16
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: BPT-TH-01, BPT-TH-02, BPT-TH-03, BPT-TH-04, BPT-TH-05, BPT-TH-06, BPT-TH-07, BPT-TH-08, BPT-TH-09, BPT-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- BPT-TH-01: {-1; 5}
- BPT-TH-02: ∃x ∈ ℤ: x² + 4 ≤ 0
- BPT-TH-03: {2; 3; 4; 5}
- BPT-TH-04: Không
- BPT-TH-05: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
- BPT-TH-06: 5x + 7y ≤ 39; x,y ≥ 0
- BPT-TH-07: Thuộc
- BPT-TH-08: 2x + 4y = -13
- BPT-TH-09: Có
- BPT-TH-10: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: BPT-TH-11, BPT-TH-12, BPT-TH-13, BPT-TH-14, BPT-TH-15, BPT-TH-16, BPT-TH-17, BPT-TH-18, BPT-TH-19, BPT-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- BPT-TH-11: 2x + 7y ≤ 44; x,y ≥ 0
- BPT-TH-12: Thuộc
- BPT-TH-13: 3x + 4y = 6
- BPT-TH-14: Không
- BPT-TH-15: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
- BPT-TH-16: 3x + 7y ≤ 49; x,y ≥ 0
- BPT-TH-17: Không thuộc
- BPT-TH-18: 4x + 4y = 4
- BPT-TH-19: Có
- BPT-TH-20: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: BPT-VD-01, BPT-VD-02, BPT-VD-03, BPT-VD-04, BPT-VD-05, BPT-VD-06, BPT-VD-07, BPT-VD-08, BPT-VD-09, BPT-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- BPT-VD-01: Điều kiện cần và đủ
- BPT-VD-02: {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
- BPT-VD-03: x < 8
- BPT-VD-04: 4x + 7y ≤ 54; x,y ≥ 0
- BPT-VD-05: Không thuộc
- BPT-VD-06: 1x + 4y = 2
- BPT-VD-07: Không
- BPT-VD-08: Nửa mặt phẳng kể cả bờ chứa O
- BPT-VD-09: 5x + 7y ≤ 59; x,y ≥ 0
- BPT-VD-10: Thuộc
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Học 25 phút, nghỉ 5 phút; mỗi buổi chỉ cần một mục tiêu rõ.
- Hỏi con “Con đang dùng định nghĩa nào?” thay vì hỏi ngay đáp số.
- Nếu con sai lặp lại, yêu cầu con tạo một ví dụ nhỏ hơn và kiểm bằng lời.
- Không dùng điểm số một bài để gắn nhãn năng lực; theo dõi loại lỗi trong 2–3 tuần.
- Dấu hiệu đã hiểu: con giải thích được vì sao cách sai không dùng được.
- Mở đầu bằng tình huống có mâu thuẫn nhận thức, sau đó mới chuẩn hóa kí hiệu.
- Tổ chức dự đoán cá nhân → trao đổi cặp → phản biện toàn lớp.
- Yêu cầu học sinh nêu điều kiện, đơn vị và trường hợp biên trước khi tính.
- Dùng phiếu ra về 3 phút để phát hiện đúng loại lỗ hổng.
- Chấm cả lập luận và thao tác tự kiểm, không chỉ chấm kết quả cuối.
- Nhãn “tham khảo cấu trúc Hà Nội” chỉ dùng cho đề nội bộ mô phỏng, không gọi là đề chính thức.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.