Nhìn cấu trúc trước
Học hệ thức lượng trong tam giác bằng quan hệ và hình ảnh, không thuộc công thức rời rạc.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 6. Hệ thức lượng trong tam giác
Biến tam giác không vuông thành một mô hình đo đạc hoàn chỉnh bằng định lí cos, định lí sin, công thức diện tích và bán kính.
Gắn đúng cạnh với góc, công thức sẽ tự nói đường đi
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi bài bắt đầu bằng dữ kiện đã có, điều cần tìm và điều kiện áp dụng.
Gắn với thực tiễn
Ví dụ đo đạc, chuyển động, dữ liệu và ra quyết định giúp thấy ý nghĩa của kết quả.
Không phụ thuộc đáp án
Mỗi lời giải có phép kiểm bằng định nghĩa, công thức khác, hình hoặc ước lượng.
- Dùng đúng định lí cos và định lí sin.
- Giải tam giác từ dữ kiện phù hợp.
- Tính diện tích bằng nhiều công thức.
- Mô hình hóa bài toán đo khoảng cách và chiều cao.
- Giá trị lượng giác từ 0° đến 180°.
- Quy ước cạnh đối diện góc.
- Định lí Pythagore.
- Diện tích và nửa chu vi tam giác.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Quy ước cạnh–góc
Hiểu đơn giản: Cạnh chữ thường đối diện góc chữ hoa tương ứng.
a=BC đối diện A; b=CA đối diện B; c=AB đối diện C.
Ví dụ: Góc A lớn nhất thì a lớn nhất.
Hình nên dùng: Tam giác gắn màu từng cặp cạnh–góc.
Mô phỏng: Chạm góc để tô cạnh đối diện.
Mẹo nhớ: A đối a, B đối b, C đối c.
Sai lầm: Gắn sai cạnh với góc.
Ghi chú: Viết quy ước trước mọi bài định lí sin/cos.
Định lí cos
Hiểu đơn giản: Biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết ba cạnh, dùng cos.
a²=b²+c²−2bc cosA.
Ví dụ: A=90° ⇒ a²=b²+c².
Hình nên dùng: Tam giác và cạnh a đối góc A.
Mô phỏng: Kéo A để thấy a thay đổi.
Mẹo nhớ: Bình phương cạnh đối = hai bình phương − hai tích cos.
Sai lầm: Thiếu hệ số 2 hoặc sai góc xen giữa.
Ghi chú: Kết quả phải thỏa bất đẳng thức tam giác.
Định lí sin
Hiểu đơn giản: Mỗi cạnh chia cho sin góc đối diện cho cùng một tỉ số.
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.
Ví dụ: A=30°, B=90° ⇒ b=2a.
Hình nên dùng: Đường tròn ngoại tiếp.
Mô phỏng: Giữ R, kéo đỉnh và quan sát a/sinA.
Mẹo nhớ: Cạnh đi với sin góc đối.
Sai lầm: Ghép cạnh với góc kề.
Ghi chú: Có thể xuất hiện hai khả năng góc trong trường hợp cạnh–cạnh–góc.
Diện tích theo sin
Hiểu đơn giản: Hai cạnh và góc xen giữa tạo đáy–chiều cao.
S=1/2 bc sinA=1/2 ca sinB=1/2 ab sinC.
Ví dụ: b=6,c=8,A=30° ⇒ S=12.
Hình nên dùng: Chiều cao c·sinB.
Mô phỏng: Kéo góc xen giữa để thấy diện tích.
Mẹo nhớ: Nửa–hai cạnh–sin góc kẹp.
Sai lầm: Dùng sai góc không xen giữa.
Ghi chú: Diện tích lớn nhất với hai cạnh cố định khi góc xen giữa 90°.
Heron và bán kính
Hiểu đơn giản: Biết ba cạnh dùng nửa chu vi; biết bán kính có công thức gọn.
p=(a+b+c)/2; S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)]=pr=abc/(4R).
Ví dụ: Tam giác 3–4–5 có S=6.
Hình nên dùng: Đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.
Mô phỏng: Thay ba cạnh hợp lệ.
Mẹo nhớ: Heron bắt đầu bằng nửa chu vi.
Sai lầm: Dùng chu vi thay p.
Ghi chú: Kiểm ba cạnh có lập thành tam giác trước.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB GIẢI TAM GIÁC
Hai cạnh và góc xen giữa
Nhập b, c, A. Công cụ dùng định lí cos để tìm a và dùng sin để tính diện tích.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Tam giác ABC có b = 4, c = 6, A = 60°. Tính cạnh a.
Phân tích: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Hướng làm: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
- Bước 3: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 4² + 6² − 4·6 = 28. Vậy a = √28.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: √28. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Tam giác ABC có A = 30°, B = 90°, a = 6. Tính b.
Phân tích: Cạnh đối diện góc 90° là cạnh lớn nhất và gấp đôi cạnh đối diện góc 30°.
Hướng làm: Dùng định lí sin: a/sin A = b/sin B.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng định lí sin: a/sin A = b/sin B.
- Bước 3: b = a·sin B/sin A = 6·1/(1/2) = 12.
Vì sao: Cạnh đối diện góc 90° là cạnh lớn nhất và gấp đôi cạnh đối diện góc 30°.
Cách khác: Nhận dạng tam giác vuông 30°–60°–90°.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 12. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Tam giác có hai cạnh b = 9, c = 7 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Phân tích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Hướng làm: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
- Bước 3: S = 1/2·9·7·1/2 = 15.75.
Vì sao: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 15.75. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Tam giác có ba cạnh 12, 16, 20. Tính diện tích bằng công thức Heron.
Phân tích: Bộ cạnh 3–4–5 theo cùng tỉ lệ tạo tam giác vuông; Heron cho cùng kết quả.
Hướng làm: Tính nửa chu vi p rồi thay vào S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)].
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Tính nửa chu vi p rồi thay vào S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)].
- Bước 3: p = 24; S = √[24·12·8·4] = 96.
Vì sao: Bộ cạnh 3–4–5 theo cùng tỉ lệ tạo tam giác vuông; Heron cho cùng kết quả.
Cách khác: Nhận tam giác vuông và tính S = 1/2·12·16.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 96. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Tam giác có a = 10, b = 12, c = 13. Tính cos A.
Phân tích: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Hướng làm: Biến đổi định lí cos theo góc A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Biến đổi định lí cos theo góc A.
- Bước 3: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (12² + 13² − 10²)/(2·12·13) = 0.6827.
Vì sao: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Cách khác: Tính a²−b²−c² trước rồi đổi dấu; phải thu được cùng kết quả.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 0.6827. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r = 2 và nửa chu vi p = 6. Tính diện tích.
Phân tích: Diện tích bằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ có chung chiều cao r.
Hướng làm: Dùng S = pr.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng S = pr.
- Bước 3: S = p·r = 6·2 = 12.
Vì sao: Diện tích bằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ có chung chiều cao r.
Cách khác: Cộng ba diện tích 1/2·a·r, 1/2·b·r, 1/2·c·r.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 12. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Tam giác ABC có b = 5, c = 7, A = 60°. Tính cạnh a.
Phân tích: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Hướng làm: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
- Bước 3: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 5² + 7² − 5·7 = 39. Vậy a = √39.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: √39. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Tam giác ABC có A = 30°, B = 90°, a = 7. Tính b.
Phân tích: Cạnh đối diện góc 90° là cạnh lớn nhất và gấp đôi cạnh đối diện góc 30°.
Hướng làm: Dùng định lí sin: a/sin A = b/sin B.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng định lí sin: a/sin A = b/sin B.
- Bước 3: b = a·sin B/sin A = 7·1/(1/2) = 14.
Vì sao: Cạnh đối diện góc 90° là cạnh lớn nhất và gấp đôi cạnh đối diện góc 30°.
Cách khác: Nhận dạng tam giác vuông 30°–60°–90°.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 14. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Tam giác có hai cạnh b = 10, c = 8 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Phân tích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Hướng làm: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
- Bước 3: S = 1/2·10·8·1/2 = 20.
Vì sao: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 20. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Tam giác có ba cạnh 6, 8, 10. Tính diện tích bằng công thức Heron.
Phân tích: Bộ cạnh 3–4–5 theo cùng tỉ lệ tạo tam giác vuông; Heron cho cùng kết quả.
Hướng làm: Tính nửa chu vi p rồi thay vào S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)].
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Tính nửa chu vi p rồi thay vào S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)].
- Bước 3: p = 12; S = √[12·6·4·2] = 24.
Vì sao: Bộ cạnh 3–4–5 theo cùng tỉ lệ tạo tam giác vuông; Heron cho cùng kết quả.
Cách khác: Nhận tam giác vuông và tính S = 1/2·6·8.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 24. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Đo và so sánh
Hệ thức lượng trong tam giác giúp kiểm tra các phép đo, ước lượng và quyết định trong gia đình có căn cứ.
Dự án học tập
Học sinh thu thập dữ kiện, chọn mô hình hệ thức lượng trong tam giác và trình bày cách tự kiểm.
Đọc con số đúng nghĩa
Không chỉ tính ra số; phải hiểu đơn vị, độ tin cậy và giới hạn sử dụng.
Mô hình hóa
Đại lượng được biểu diễn bằng quan hệ toán học có điều kiện và có phép kiểm độc lập.
Thiết kế an toàn
Kĩ sư dùng công thức, hướng và sai số để tránh kết luận vượt quá dữ kiện.
Kiểm soát chất lượng
So sánh kết quả đo hoặc dữ liệu giúp phát hiện độ lệch và điều chỉnh quy trình.
Quan sát khó đo trực tiếp
Khoảng cách, phương hướng và số liệu tự nhiên có thể được suy ra từ mô hình phù hợp.
Năng lực phân tích
Kiến trúc, dữ liệu, logistics, khảo sát và công nghệ đều cần suy luận định lượng chặt chẽ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Quy ước cạnh–góc dùng khi nào?
Cạnh chữ thường đối diện góc chữ hoa tương ứng. Dấu hiệu nhận biết: A đối a, B đối b, C đối c.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Gắn sai cạnh với góc.
Quay lại Quy ước cạnh–góc: a=BC đối diện A; b=CA đối diện B; c=AB đối diện C. Tự kiểm bằng Góc A lớn nhất thì a lớn nhất.
2. Thiếu hệ số 2 hoặc sai góc xen giữa.
Quay lại Định lí cos: a²=b²+c²−2bc cosA. Tự kiểm bằng A=90° ⇒ a²=b²+c².
3. Ghép cạnh với góc kề.
Quay lại Định lí sin: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R. Tự kiểm bằng A=30°, B=90° ⇒ b=2a.
4. Dùng sai góc không xen giữa.
Quay lại Diện tích theo sin: S=1/2 bc sinA=1/2 ca sinB=1/2 ab sinC. Tự kiểm bằng b=6,c=8,A=30° ⇒ S=12.
5. Dùng chu vi thay p.
Quay lại Heron và bán kính: p=(a+b+c)/2; S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)]=pr=abc/(4R). Tự kiểm bằng Tam giác 3–4–5 có S=6.
6. Gắn sai cạnh với góc.
Quay lại Quy ước cạnh–góc: a=BC đối diện A; b=CA đối diện B; c=AB đối diện C. Tự kiểm bằng Góc A lớn nhất thì a lớn nhất.
7. Thiếu hệ số 2 hoặc sai góc xen giữa.
Quay lại Định lí cos: a²=b²+c²−2bc cosA. Tự kiểm bằng A=90° ⇒ a²=b²+c².
8. Ghép cạnh với góc kề.
Quay lại Định lí sin: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R. Tự kiểm bằng A=30°, B=90° ⇒ b=2a.
9. Dùng sai góc không xen giữa.
Quay lại Diện tích theo sin: S=1/2 bc sinA=1/2 ca sinB=1/2 ab sinC. Tự kiểm bằng b=6,c=8,A=30° ⇒ S=12.
10. Dùng chu vi thay p.
Quay lại Heron và bán kính: p=(a+b+c)/2; S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)]=pr=abc/(4R). Tự kiểm bằng Tam giác 3–4–5 có S=6.
11. Gắn sai cạnh với góc.
Quay lại Quy ước cạnh–góc: a=BC đối diện A; b=CA đối diện B; c=AB đối diện C. Tự kiểm bằng Góc A lớn nhất thì a lớn nhất.
12. Thiếu hệ số 2 hoặc sai góc xen giữa.
Quay lại Định lí cos: a²=b²+c²−2bc cosA. Tự kiểm bằng A=90° ⇒ a²=b²+c².
13. Ghép cạnh với góc kề.
Quay lại Định lí sin: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R. Tự kiểm bằng A=30°, B=90° ⇒ b=2a.
14. Dùng sai góc không xen giữa.
Quay lại Diện tích theo sin: S=1/2 bc sinA=1/2 ca sinB=1/2 ab sinC. Tự kiểm bằng b=6,c=8,A=30° ⇒ S=12.
15. Dùng chu vi thay p.
Quay lại Heron và bán kính: p=(a+b+c)/2; S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)]=pr=abc/(4R). Tự kiểm bằng Tam giác 3–4–5 có S=6.
16. Gắn sai cạnh với góc.
Quay lại Quy ước cạnh–góc: a=BC đối diện A; b=CA đối diện B; c=AB đối diện C. Tự kiểm bằng Góc A lớn nhất thì a lớn nhất.
17. Thiếu hệ số 2 hoặc sai góc xen giữa.
Quay lại Định lí cos: a²=b²+c²−2bc cosA. Tự kiểm bằng A=90° ⇒ a²=b²+c².
18. Ghép cạnh với góc kề.
Quay lại Định lí sin: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R. Tự kiểm bằng A=30°, B=90° ⇒ b=2a.
19. Dùng sai góc không xen giữa.
Quay lại Diện tích theo sin: S=1/2 bc sinA=1/2 ca sinB=1/2 ab sinC. Tự kiểm bằng b=6,c=8,A=30° ⇒ S=12.
20. Dùng chu vi thay p.
Quay lại Heron và bán kính: p=(a+b+c)/2; S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)]=pr=abc/(4R). Tự kiểm bằng Tam giác 3–4–5 có S=6.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Dự đoán trước
Ước lượng dấu, độ lớn hoặc vị trí kết quả trước khi bấm máy.
Một công thức–một điều kiện
Viết cạnh–góc tương ứng, hướng vectơ, đơn vị hoặc giả thiết dữ liệu ngay cạnh công thức.
Hai đường kiểm
Kiểm bằng công thức khác, trường hợp đặc biệt, hình vẽ hoặc thế ngược.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi câu sai, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Flashcard sau một ngày, bài ngắn sau ba ngày, đề trộn sau bảy ngày.
Nói thành lời
Nếu giải thích được cho người khác trong hai phút, em mới thực sự hiểu.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Hệ thức lượng trong tam giác1 2 3 4 5
Quy ước cạnh–gócA đối a, B đối b, C đối c.
Định lí cosBình phương cạnh đối = hai bình phương − hai tích cos.
Định lí sinCạnh đi với sin góc đối.
Diện tích theo sinNửa–hai cạnh–sin góc kẹp.
Heron và bán kínhHeron bắt đầu bằng nửa chu vi.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
T10-B6-NB-01Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính bình phương cạnh huyền.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: c² = 3² + 4² = 25.
Vì sao: Pythagore là trường hợp riêng của định lí cos khi góc xen giữa bằng 90°.
Sai ở đâu: Cộng độ dài hai cạnh thay vì cộng bình phương.
Cách khác: Dùng cos90° = 0 trong định lí cos.
T10-B6-NB-02Ôn đại số: Giải 3t = 12.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chia hai vế cho 3 khác 0.
Lời giải: Chia cả hai vế cho 3, ta được t = 4.
Vì sao: Biến đổi phương trình chính xác là nền khi rút cạnh từ định lí sin và cos.
Sai ở đâu: Chia một vế nhưng quên chia vế còn lại.
Cách khác: Thử ngược nghiệm vào phương trình ban đầu.
T10-B6-NB-03Ôn hình học: Tổng ba góc trong một tam giác bằng bao nhiêu?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí tổng các góc của tam giác.
Lời giải: A + B + C = 180°.
Vì sao: Quan hệ này dùng để tìm góc còn lại trước khi áp dụng hệ thức lượng.
Sai ở đâu: Nhầm với tổng bốn góc của tứ giác.
Cách khác: Kẻ đường thẳng song song qua một đỉnh để chứng minh.
T10-B6-NB-04Tam giác ABC có b = 4, c = 6, A = 60°. Tính cạnh a.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 4² + 6² − 4·6 = 28. Vậy a = √28.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Sai ở đâu: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
T10-B6-NB-05Tam giác ABC có A = 30°, B = 90°, a = 6. Tính b.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí sin: a/sin A = b/sin B.
Lời giải: b = a·sin B/sin A = 6·1/(1/2) = 12.
Vì sao: Cạnh đối diện góc 90° là cạnh lớn nhất và gấp đôi cạnh đối diện góc 30°.
Sai ở đâu: Viết tỉ lệ cạnh với nhầm góc đối diện.
Cách khác: Nhận dạng tam giác vuông 30°–60°–90°.
T10-B6-NB-06Tam giác có hai cạnh b = 9, c = 7 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·9·7·1/2 = 15.75.
Vì sao: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Sai ở đâu: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
T10-B6-NB-07Tam giác có ba cạnh 12, 16, 20. Tính diện tích bằng công thức Heron.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính nửa chu vi p rồi thay vào S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)].
Lời giải: p = 24; S = √[24·12·8·4] = 96.
Vì sao: Bộ cạnh 3–4–5 theo cùng tỉ lệ tạo tam giác vuông; Heron cho cùng kết quả.
Sai ở đâu: Dùng chu vi thay cho nửa chu vi trong công thức Heron.
Cách khác: Nhận tam giác vuông và tính S = 1/2·12·16.
T10-B6-NB-08Tam giác có a = 10, b = 12, c = 13. Tính cos A.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Biến đổi định lí cos theo góc A.
Lời giải: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (12² + 13² − 10²)/(2·12·13) = 0.6827.
Vì sao: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Sai ở đâu: Đặt a² sai vị trí hoặc dùng mẫu 2ab thay vì 2bc.
Cách khác: Tính a²−b²−c² trước rồi đổi dấu; phải thu được cùng kết quả.
T10-B6-NB-09Một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r = 2 và nửa chu vi p = 6. Tính diện tích.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng S = pr.
Lời giải: S = p·r = 6·2 = 12.
Vì sao: Diện tích bằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ có chung chiều cao r.
Sai ở đâu: Nhân r với chu vi 2p thay vì nửa chu vi p.
Cách khác: Cộng ba diện tích 1/2·a·r, 1/2·b·r, 1/2·c·r.
T10-B6-NB-10Tam giác ABC có b = 5, c = 7, A = 60°. Tính cạnh a.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 5² + 7² − 5·7 = 39. Vậy a = √39.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Sai ở đâu: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính bình phương cạnh huyền.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính bình phương cạnh huyền.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: c² = 3² + 4² = 25.
Giải thích: Pythagore là trường hợp riêng của định lí cos khi góc xen giữa bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Cộng độ dài hai cạnh thay vì cộng bình phương.
Cách khác: Dùng cos90° = 0 trong định lí cos.
TỰ LUẬN 2Tam giác có hai cạnh b = 9, c = 7 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·9·7·1/2 = 15.75.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 3Tam giác ABC có A = 30°, B = 90°, a = 7. Tính b.
Gợi ý: Dùng định lí sin: a/sin A = b/sin B.
Lời giải: b = a·sin B/sin A = 7·1/(1/2) = 14.
Giải thích: Cạnh đối diện góc 90° là cạnh lớn nhất và gấp đôi cạnh đối diện góc 30°.
Lỗi cần tránh: Viết tỉ lệ cạnh với nhầm góc đối diện.
Cách khác: Nhận dạng tam giác vuông 30°–60°–90°.
TỰ LUẬN 4Tam giác ABC có b = 6, c = 8, A = 60°. Tính cạnh a.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 6² + 8² − 6·8 = 52. Vậy a = √52.
Giải thích: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Lỗi cần tránh: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
TỰ LUẬN 5Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 và 7. Tính bình phương cạnh huyền.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: c² = 6² + 7² = 85.
Giải thích: Pythagore là trường hợp riêng của định lí cos khi góc xen giữa bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Cộng độ dài hai cạnh thay vì cộng bình phương.
Cách khác: Dùng cos90° = 0 trong định lí cos.
TỰ LUẬN 6Tam giác ABC có A = 30°, B = 90°, a = 9. Tính b.
Gợi ý: Dùng định lí sin: a/sin A = b/sin B.
Lời giải: b = a·sin B/sin A = 9·1/(1/2) = 18.
Giải thích: Cạnh đối diện góc 90° là cạnh lớn nhất và gấp đôi cạnh đối diện góc 30°.
Lỗi cần tránh: Viết tỉ lệ cạnh với nhầm góc đối diện.
Cách khác: Nhận dạng tam giác vuông 30°–60°–90°.
TỰ LUẬN 7Tam giác ABC có b = 8, c = 10, A = 60°. Tính cạnh a.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 8² + 10² − 8·10 = 84. Vậy a = √84.
Giải thích: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Lỗi cần tránh: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
TỰ LUẬN 8Một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r = 6 và nửa chu vi p = 6. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = pr.
Lời giải: S = p·r = 6·6 = 36.
Giải thích: Diện tích bằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ có chung chiều cao r.
Lỗi cần tránh: Nhân r với chu vi 2p thay vì nửa chu vi p.
Cách khác: Cộng ba diện tích 1/2·a·r, 1/2·b·r, 1/2·c·r.
TỰ LUẬN 9Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 4 và 5. Tính bình phương cạnh huyền.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: c² = 4² + 5² = 41.
Giải thích: Pythagore là trường hợp riêng của định lí cos khi góc xen giữa bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Cộng độ dài hai cạnh thay vì cộng bình phương.
Cách khác: Dùng cos90° = 0 trong định lí cos.
TỰ LUẬN 10Tam giác ABC có b = 5, c = 7, A = 60°. Tính cạnh a.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 5² + 7² − 5·7 = 39. Vậy a = √39.
Giải thích: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Lỗi cần tránh: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
TỰ LUẬN 11Một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r = 3 và nửa chu vi p = 6. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = pr.
Lời giải: S = p·r = 6·3 = 18.
Giải thích: Diện tích bằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ có chung chiều cao r.
Lỗi cần tránh: Nhân r với chu vi 2p thay vì nửa chu vi p.
Cách khác: Cộng ba diện tích 1/2·a·r, 1/2·b·r, 1/2·c·r.
TỰ LUẬN 12Tam giác có a = 7, b = 9, c = 10. Tính cos A.
Gợi ý: Biến đổi định lí cos theo góc A.
Lời giải: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (9² + 10² − 7²)/(2·9·10) = 0.7333.
Giải thích: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Lỗi cần tránh: Đặt a² sai vị trí hoặc dùng mẫu 2ab thay vì 2bc.
Cách khác: Tính a²−b²−c² trước rồi đổi dấu; phải thu được cùng kết quả.
TỰ LUẬN 13Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 7 và 8. Tính bình phương cạnh huyền.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: c² = 7² + 8² = 113.
Giải thích: Pythagore là trường hợp riêng của định lí cos khi góc xen giữa bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Cộng độ dài hai cạnh thay vì cộng bình phương.
Cách khác: Dùng cos90° = 0 trong định lí cos.
TỰ LUẬN 14Một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r = 5 và nửa chu vi p = 6. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = pr.
Lời giải: S = p·r = 6·5 = 30.
Giải thích: Diện tích bằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ có chung chiều cao r.
Lỗi cần tránh: Nhân r với chu vi 2p thay vì nửa chu vi p.
Cách khác: Cộng ba diện tích 1/2·a·r, 1/2·b·r, 1/2·c·r.
TỰ LUẬN 15Tam giác có a = 9, b = 11, c = 12. Tính cos A.
Gợi ý: Biến đổi định lí cos theo góc A.
Lời giải: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (11² + 12² − 9²)/(2·11·12) = 0.697.
Giải thích: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Lỗi cần tránh: Đặt a² sai vị trí hoặc dùng mẫu 2ab thay vì 2bc.
Cách khác: Tính a²−b²−c² trước rồi đổi dấu; phải thu được cùng kết quả.
TỰ LUẬN 16Tam giác có ba cạnh 12, 16, 20. Tính diện tích bằng công thức Heron.
Gợi ý: Tính nửa chu vi p rồi thay vào S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)].
Lời giải: p = 24; S = √[24·12·8·4] = 96.
Giải thích: Bộ cạnh 3–4–5 theo cùng tỉ lệ tạo tam giác vuông; Heron cho cùng kết quả.
Lỗi cần tránh: Dùng chu vi thay cho nửa chu vi trong công thức Heron.
Cách khác: Nhận tam giác vuông và tính S = 1/2·12·16.
TỰ LUẬN 17Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5 và 6. Tính bình phương cạnh huyền.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: c² = 5² + 6² = 61.
Giải thích: Pythagore là trường hợp riêng của định lí cos khi góc xen giữa bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Cộng độ dài hai cạnh thay vì cộng bình phương.
Cách khác: Dùng cos90° = 0 trong định lí cos.
TỰ LUẬN 18Tam giác có a = 6, b = 8, c = 9. Tính cos A.
Gợi ý: Biến đổi định lí cos theo góc A.
Lời giải: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (8² + 9² − 6²)/(2·8·9) = 0.7569.
Giải thích: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Lỗi cần tránh: Đặt a² sai vị trí hoặc dùng mẫu 2ab thay vì 2bc.
Cách khác: Tính a²−b²−c² trước rồi đổi dấu; phải thu được cùng kết quả.
TỰ LUẬN 19Tam giác có ba cạnh 12, 16, 20. Tính diện tích bằng công thức Heron.
Gợi ý: Tính nửa chu vi p rồi thay vào S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)].
Lời giải: p = 24; S = √[24·12·8·4] = 96.
Giải thích: Bộ cạnh 3–4–5 theo cùng tỉ lệ tạo tam giác vuông; Heron cho cùng kết quả.
Lỗi cần tránh: Dùng chu vi thay cho nửa chu vi trong công thức Heron.
Cách khác: Nhận tam giác vuông và tính S = 1/2·12·16.
TỰ LUẬN 20Tam giác có hai cạnh b = 7, c = 5 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·7·5·1/2 = 8.75.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B6-NB-01, T10-B6-NB-02, T10-B6-NB-03, T10-B6-NB-04, T10-B6-NB-05, T10-B6-NB-06, T10-B6-NB-07, T10-B6-NB-08, T10-B6-NB-09, T10-B6-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B6-NB-01: 25
- T10-B6-NB-02: 4
- T10-B6-NB-03: 180°
- T10-B6-NB-04: √28
- T10-B6-NB-05: 12
- T10-B6-NB-06: 15.75
- T10-B6-NB-07: 96
- T10-B6-NB-08: 0.6827
- T10-B6-NB-09: 12
- T10-B6-NB-10: √39
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 3
10 câu đại diện: T10-B6-NB-11, T10-B6-NB-12, T10-B6-NB-13, T10-B6-NB-14, T10-B6-NB-15, T10-B6-NB-16, T10-B6-NB-17, T10-B6-NB-18, T10-B6-NB-19, T10-B6-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B6-NB-11: 14
- T10-B6-NB-12: 20
- T10-B6-NB-13: 24
- T10-B6-NB-14: 0.7569
- T10-B6-NB-15: 18
- T10-B6-NB-16: √52
- T10-B6-NB-17: 16
- T10-B6-NB-18: 24.75
- T10-B6-NB-19: 96
- T10-B6-NB-20: 0.7333
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B6-TH-01, T10-B6-TH-02, T10-B6-TH-03, T10-B6-TH-04, T10-B6-TH-05, T10-B6-TH-06, T10-B6-TH-07, T10-B6-TH-08, T10-B6-TH-09, T10-B6-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B6-TH-01: 85
- T10-B6-TH-02: 7
- T10-B6-TH-03: 180°
- T10-B6-TH-04: 24
- T10-B6-TH-05: √67
- T10-B6-TH-06: 18
- T10-B6-TH-07: 8.75
- T10-B6-TH-08: 24
- T10-B6-TH-09: 0.7136
- T10-B6-TH-10: 30
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B6-TH-11, T10-B6-TH-12, T10-B6-TH-13, T10-B6-TH-14, T10-B6-TH-15, T10-B6-TH-16, T10-B6-TH-17, T10-B6-TH-18, T10-B6-TH-19, T10-B6-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B6-TH-11: √84
- T10-B6-TH-12: 10
- T10-B6-TH-13: 12
- T10-B6-TH-14: 96
- T10-B6-TH-15: 0.697
- T10-B6-TH-16: 36
- T10-B6-TH-17: √28
- T10-B6-TH-18: 12
- T10-B6-TH-19: 15.75
- T10-B6-TH-20: 24
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B6-VD-01, T10-B6-VD-02, T10-B6-VD-03, T10-B6-VD-04, T10-B6-VD-05, T10-B6-VD-06, T10-B6-VD-07, T10-B6-VD-08, T10-B6-VD-09, T10-B6-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B6-VD-01: 41
- T10-B6-VD-02: 4
- T10-B6-VD-03: 180°
- T10-B6-VD-04: 0.6827
- T10-B6-VD-05: 12
- T10-B6-VD-06: √39
- T10-B6-VD-07: 14
- T10-B6-VD-08: 20
- T10-B6-VD-09: 96
- T10-B6-VD-10: 0.7569
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 45–60 phút; ưu tiên con nói được vì sao chọn công thức trước khi bấm máy.
- Nếu con sai, hỏi con dữ kiện nào chưa dùng và điều kiện nào bị bỏ quên.
- Cho con làm lại một câu tương tự sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày.
- Không so tốc độ với bạn; theo dõi loại lỗi giảm dần trong sổ lỗi.
- Chỉ chuyển bài khi đạt ít nhất 80% và giải thích được ba câu sai gần nhất.
- Mở bài bằng một tình huống có dữ kiện thừa hoặc thiếu để học sinh tập chọn mô hình.
- Yêu cầu học sinh dự đoán dấu, độ lớn hoặc hình dạng kết quả trước khi tính.
- Tách lỗi khái niệm, lỗi điều kiện, lỗi biến đổi và lỗi máy tính.
- Dùng câu hỏi ngược: nếu đổi dữ kiện thì kết quả biến đổi theo hướng nào?
- Đề Hà Nội trên website là đề nội bộ tham khảo cấu trúc, không phải đề chính thức của Sở.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.