Tách lỗi theo dạng
Không chỉ xem đúng–sai; phải biết lỗi do khái niệm, điều kiện, biến đổi hay diễn giải.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài tập cuối Chương 3
Cổng kiểm định toàn bộ giá trị lượng giác, định lí sin–cos, giải tam giác, diện tích và bài toán đo đạc.
Góc đúng, cặp cạnh–góc đúng, kết quả mới đáng tin
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Nối các bài trong chương
Mỗi câu tổng hợp buộc học sinh chọn công cụ thay vì nhận theo tiêu đề.
15% nền chương trước
Câu ôn cũ được đặt trước kĩ năng mới tương ứng để chống quên.
Đạt rồi mới chuyển
Cổng 80% đi kèm yêu cầu giải thích được lỗi và làm lại sau một ngày.
- Hệ thống hóa toàn bộ kiến thức Chương 3.
- Chọn đúng công thức và nêu điều kiện áp dụng.
- Giải bài tổng hợp từ cơ bản đến thực tế.
- Tự phát hiện, phân loại và sửa lỗi.
- Toàn bộ bài học trong chương.
- 15% kiến thức nền trực tiếp từ chương trước.
- Kĩ năng ước lượng kết quả và kiểm trường hợp biên.
- Sổ lỗi cá nhân sau mỗi lượt luyện.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Nửa đường tròn đơn vị
Hiểu đơn giản: Một góc xác định một điểm; hoành độ là cos, tung độ là sin.
M(cosα; sinα), 0°≤α≤180°.
Ví dụ: α=120° cho cosα<0, sinα>0.
Hình nên dùng: Nửa đường tròn tâm O, bán kính 1.
Mô phỏng: Kéo góc và quan sát hai tọa độ.
Mẹo nhớ: Góc tù: sin dương, cos âm.
Sai lầm: Đọc nhầm hoành–tung.
Ghi chú: |sinα|≤1 và |cosα|≤1.
Bốn giá trị lượng giác
Hiểu đơn giản: tan và cot là hai tỉ số tạo từ sin và cos.
tanα=sinα/cosα (cosα≠0); cotα=cosα/sinα (sinα≠0).
Ví dụ: tan45°=1.
Hình nên dùng: Bảng sin–cos–tan–cot.
Mô phỏng: Thay sin, cos để tính hai tỉ số.
Mẹo nhớ: Tan: sin trên cos; cot ngược lại.
Sai lầm: Quên điều kiện mẫu khác 0.
Ghi chú: tan90° và cot0°, cot180° không xác định.
Góc bù nhau
Hiểu đơn giản: Hai góc cộng 180° có sin bằng nhau, cos đối nhau.
sin(180°−α)=sinα; cos(180°−α)=−cosα; tan, cot đổi dấu.
Ví dụ: sin150°=sin30°=1/2.
Hình nên dùng: Hai điểm đối xứng qua Oy.
Mô phỏng: Kéo hai góc bù đồng thời.
Mẹo nhớ: Bù: sin giữ, ba giá trị còn lại đổi dấu.
Sai lầm: Đổi dấu cả sin.
Ghi chú: Luôn kiểm điều kiện xác định tan, cot.
Hệ thức cơ bản
Hiểu đơn giản: Bình phương hai tọa độ của điểm trên đường tròn cộng lại bằng 1.
sin²α+cos²α=1; tanα·cotα=1 khi xác định.
Ví dụ: sinα=3/5, α nhọn ⇒ cosα=4/5.
Hình nên dùng: Tam giác vuông trong đường tròn.
Mô phỏng: Thay một tọa độ và giải tọa độ kia.
Mẹo nhớ: Bình phương–cộng–bằng 1.
Sai lầm: Quên chọn dấu theo vị trí góc.
Ghi chú: Hệ thức cho độ lớn; dấu cần lấy từ khoảng góc.
Góc đặc biệt
Hiểu đơn giản: Các góc 0°,30°,45°,60°,90° là mốc để suy ra góc tù.
Bảng giá trị chính xác dùng căn thức, không dùng số thập phân khi chưa cần.
Ví dụ: cos135°=−√2/2.
Hình nên dùng: Tam giác đều và tam giác vuông cân.
Mô phỏng: Ghép thẻ góc với giá trị.
Mẹo nhớ: 30–45–60 rồi dùng góc bù.
Sai lầm: Bấm máy sai chế độ radian.
Ghi chú: Máy tính phải ở DEG.
Quy ước cạnh–góc
Hiểu đơn giản: Cạnh chữ thường đối diện góc chữ hoa tương ứng.
a=BC đối diện A; b=CA đối diện B; c=AB đối diện C.
Ví dụ: Góc A lớn nhất thì a lớn nhất.
Hình nên dùng: Tam giác gắn màu từng cặp cạnh–góc.
Mô phỏng: Chạm góc để tô cạnh đối diện.
Mẹo nhớ: A đối a, B đối b, C đối c.
Sai lầm: Gắn sai cạnh với góc.
Ghi chú: Viết quy ước trước mọi bài định lí sin/cos.
Định lí cos
Hiểu đơn giản: Biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết ba cạnh, dùng cos.
a²=b²+c²−2bc cosA.
Ví dụ: A=90° ⇒ a²=b²+c².
Hình nên dùng: Tam giác và cạnh a đối góc A.
Mô phỏng: Kéo A để thấy a thay đổi.
Mẹo nhớ: Bình phương cạnh đối = hai bình phương − hai tích cos.
Sai lầm: Thiếu hệ số 2 hoặc sai góc xen giữa.
Ghi chú: Kết quả phải thỏa bất đẳng thức tam giác.
Định lí sin
Hiểu đơn giản: Mỗi cạnh chia cho sin góc đối diện cho cùng một tỉ số.
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.
Ví dụ: A=30°, B=90° ⇒ b=2a.
Hình nên dùng: Đường tròn ngoại tiếp.
Mô phỏng: Giữ R, kéo đỉnh và quan sát a/sinA.
Mẹo nhớ: Cạnh đi với sin góc đối.
Sai lầm: Ghép cạnh với góc kề.
Ghi chú: Có thể xuất hiện hai khả năng góc trong trường hợp cạnh–cạnh–góc.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB GIẢI TAM GIÁC
Hai cạnh và góc xen giữa
Nhập b, c, A. Công cụ dùng định lí cos để tìm a và dùng sin để tính diện tích.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Tam giác có a = 8, b = 10, c = 11. Tính cos A.
Phân tích: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Hướng làm: Biến đổi định lí cos theo góc A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Biến đổi định lí cos theo góc A.
- Bước 3: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (10² + 11² − 8²)/(2·10·11) = 0.7136.
Vì sao: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Cách khác: Tính a²−b²−c² trước rồi đổi dấu; phải thu được cùng kết quả.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 0.7136. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Rút gọn A = sin²60° + cos²60° + tan 60°·cot 60°.
Phân tích: Nhận cấu trúc trước khi thay từng căn thức giúp giảm sai số và thời gian.
Hướng làm: Dùng hai hệ thức cơ bản; tan và cot đều xác định ở các góc đã cho.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng hai hệ thức cơ bản; tan và cot đều xác định ở các góc đã cho.
- Bước 3: sin²α + cos²α = 1 và tanα·cotα = 1, nên A = 2.
Vì sao: Nhận cấu trúc trước khi thay từng căn thức giúp giảm sai số và thời gian.
Cách khác: Nhóm hai cặp theo từng hệ thức cơ bản.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 2. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Tam giác ABC có b = 8, c = 10, A = 60°. Tính cạnh a.
Phân tích: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Hướng làm: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
- Bước 3: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 8² + 10² − 8·10 = 84. Vậy a = √84.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: √84. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: So sánh sin 135° và sin 45°.
Phân tích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Hướng làm: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
- Bước 3: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Vì sao: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: sin 135° = sin 45°. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Tam giác có hai cạnh b = 8, c = 6 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Phân tích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Hướng làm: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
- Bước 3: S = 1/2·8·6·1/2 = 12.
Vì sao: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 12. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Xác định dấu của sin 150°, cos 150° và tan 150°.
Phân tích: tan là thương sin/cos nên âm khi sin và cos trái dấu.
Hướng làm: Góc nằm giữa 90° và 180°: tung độ dương, hoành độ âm.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Góc nằm giữa 90° và 180°: tung độ dương, hoành độ âm.
- Bước 3: sin 150° > 0; cos 150° < 0; tan 150° < 0.
Vì sao: tan là thương sin/cos nên âm khi sin và cos trái dấu.
Cách khác: Đánh dấu điểm biểu diễn trên nửa đường tròn và đọc dấu hai tọa độ.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: sin dương; cos âm; tan âm. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Tam giác có a = 9, b = 11, c = 12. Tính cos A.
Phân tích: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Hướng làm: Biến đổi định lí cos theo góc A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Biến đổi định lí cos theo góc A.
- Bước 3: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (11² + 12² − 9²)/(2·11·12) = 0.697.
Vì sao: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Cách khác: Tính a²−b²−c² trước rồi đổi dấu; phải thu được cùng kết quả.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 0.697. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Rút gọn A = sin²60° + cos²60° + tan 60°·cot 60°.
Phân tích: Nhận cấu trúc trước khi thay từng căn thức giúp giảm sai số và thời gian.
Hướng làm: Dùng hai hệ thức cơ bản; tan và cot đều xác định ở các góc đã cho.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng hai hệ thức cơ bản; tan và cot đều xác định ở các góc đã cho.
- Bước 3: sin²α + cos²α = 1 và tanα·cotα = 1, nên A = 2.
Vì sao: Nhận cấu trúc trước khi thay từng căn thức giúp giảm sai số và thời gian.
Cách khác: Nhóm hai cặp theo từng hệ thức cơ bản.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 2. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Tam giác ABC có b = 4, c = 6, A = 60°. Tính cạnh a.
Phân tích: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Hướng làm: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
- Bước 3: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 4² + 6² − 4·6 = 28. Vậy a = √28.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: √28. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: So sánh sin 135° và sin 45°.
Phân tích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Hướng làm: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
- Bước 3: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Vì sao: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: sin 135° = sin 45°. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Đo và so sánh
Bài tập cuối Chương 3 giúp kiểm tra các phép đo, ước lượng và quyết định trong gia đình có căn cứ.
Dự án học tập
Học sinh thu thập dữ kiện, chọn mô hình bài tập cuối chương 3 và trình bày cách tự kiểm.
Đọc con số đúng nghĩa
Không chỉ tính ra số; phải hiểu đơn vị, độ tin cậy và giới hạn sử dụng.
Mô hình hóa
Đại lượng được biểu diễn bằng quan hệ toán học có điều kiện và có phép kiểm độc lập.
Thiết kế an toàn
Kĩ sư dùng công thức, hướng và sai số để tránh kết luận vượt quá dữ kiện.
Kiểm soát chất lượng
So sánh kết quả đo hoặc dữ liệu giúp phát hiện độ lệch và điều chỉnh quy trình.
Quan sát khó đo trực tiếp
Khoảng cách, phương hướng và số liệu tự nhiên có thể được suy ra từ mô hình phù hợp.
Năng lực phân tích
Kiến trúc, dữ liệu, logistics, khảo sát và công nghệ đều cần suy luận định lượng chặt chẽ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Nửa đường tròn đơn vị dùng khi nào?
Một góc xác định một điểm; hoành độ là cos, tung độ là sin. Dấu hiệu nhận biết: Góc tù: sin dương, cos âm.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Đọc nhầm hoành–tung.
Quay lại Nửa đường tròn đơn vị: M(cosα; sinα), 0°≤α≤180°. Tự kiểm bằng α=120° cho cosα<0, sinα>0.
2. Quên điều kiện mẫu khác 0.
Quay lại Bốn giá trị lượng giác: tanα=sinα/cosα (cosα≠0); cotα=cosα/sinα (sinα≠0). Tự kiểm bằng tan45°=1.
3. Đổi dấu cả sin.
Quay lại Góc bù nhau: sin(180°−α)=sinα; cos(180°−α)=−cosα; tan, cot đổi dấu. Tự kiểm bằng sin150°=sin30°=1/2.
4. Quên chọn dấu theo vị trí góc.
Quay lại Hệ thức cơ bản: sin²α+cos²α=1; tanα·cotα=1 khi xác định. Tự kiểm bằng sinα=3/5, α nhọn ⇒ cosα=4/5.
5. Bấm máy sai chế độ radian.
Quay lại Góc đặc biệt: Bảng giá trị chính xác dùng căn thức, không dùng số thập phân khi chưa cần. Tự kiểm bằng cos135°=−√2/2.
6. Gắn sai cạnh với góc.
Quay lại Quy ước cạnh–góc: a=BC đối diện A; b=CA đối diện B; c=AB đối diện C. Tự kiểm bằng Góc A lớn nhất thì a lớn nhất.
7. Thiếu hệ số 2 hoặc sai góc xen giữa.
Quay lại Định lí cos: a²=b²+c²−2bc cosA. Tự kiểm bằng A=90° ⇒ a²=b²+c².
8. Ghép cạnh với góc kề.
Quay lại Định lí sin: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R. Tự kiểm bằng A=30°, B=90° ⇒ b=2a.
9. Đọc nhầm hoành–tung.
Quay lại Nửa đường tròn đơn vị: M(cosα; sinα), 0°≤α≤180°. Tự kiểm bằng α=120° cho cosα<0, sinα>0.
10. Quên điều kiện mẫu khác 0.
Quay lại Bốn giá trị lượng giác: tanα=sinα/cosα (cosα≠0); cotα=cosα/sinα (sinα≠0). Tự kiểm bằng tan45°=1.
11. Đổi dấu cả sin.
Quay lại Góc bù nhau: sin(180°−α)=sinα; cos(180°−α)=−cosα; tan, cot đổi dấu. Tự kiểm bằng sin150°=sin30°=1/2.
12. Quên chọn dấu theo vị trí góc.
Quay lại Hệ thức cơ bản: sin²α+cos²α=1; tanα·cotα=1 khi xác định. Tự kiểm bằng sinα=3/5, α nhọn ⇒ cosα=4/5.
13. Bấm máy sai chế độ radian.
Quay lại Góc đặc biệt: Bảng giá trị chính xác dùng căn thức, không dùng số thập phân khi chưa cần. Tự kiểm bằng cos135°=−√2/2.
14. Gắn sai cạnh với góc.
Quay lại Quy ước cạnh–góc: a=BC đối diện A; b=CA đối diện B; c=AB đối diện C. Tự kiểm bằng Góc A lớn nhất thì a lớn nhất.
15. Thiếu hệ số 2 hoặc sai góc xen giữa.
Quay lại Định lí cos: a²=b²+c²−2bc cosA. Tự kiểm bằng A=90° ⇒ a²=b²+c².
16. Ghép cạnh với góc kề.
Quay lại Định lí sin: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R. Tự kiểm bằng A=30°, B=90° ⇒ b=2a.
17. Đọc nhầm hoành–tung.
Quay lại Nửa đường tròn đơn vị: M(cosα; sinα), 0°≤α≤180°. Tự kiểm bằng α=120° cho cosα<0, sinα>0.
18. Quên điều kiện mẫu khác 0.
Quay lại Bốn giá trị lượng giác: tanα=sinα/cosα (cosα≠0); cotα=cosα/sinα (sinα≠0). Tự kiểm bằng tan45°=1.
19. Đổi dấu cả sin.
Quay lại Góc bù nhau: sin(180°−α)=sinα; cos(180°−α)=−cosα; tan, cot đổi dấu. Tự kiểm bằng sin150°=sin30°=1/2.
20. Quên chọn dấu theo vị trí góc.
Quay lại Hệ thức cơ bản: sin²α+cos²α=1; tanα·cotα=1 khi xác định. Tự kiểm bằng sinα=3/5, α nhọn ⇒ cosα=4/5.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Dự đoán trước
Ước lượng dấu, độ lớn hoặc vị trí kết quả trước khi bấm máy.
Một công thức–một điều kiện
Viết cạnh–góc tương ứng, hướng vectơ, đơn vị hoặc giả thiết dữ liệu ngay cạnh công thức.
Hai đường kiểm
Kiểm bằng công thức khác, trường hợp đặc biệt, hình vẽ hoặc thế ngược.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi câu sai, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Flashcard sau một ngày, bài ngắn sau ba ngày, đề trộn sau bảy ngày.
Nói thành lời
Nếu giải thích được cho người khác trong hai phút, em mới thực sự hiểu.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Bài tập cuối Chương 31 2 3 4 5 6 7 8
Nửa đường tròn đơn vịGóc tù: sin dương, cos âm.
Bốn giá trị lượng giácTan: sin trên cos; cot ngược lại.
Góc bù nhauBù: sin giữ, ba giá trị còn lại đổi dấu.
Hệ thức cơ bảnBình phương–cộng–bằng 1.
Góc đặc biệt30–45–60 rồi dùng góc bù.
Quy ước cạnh–gócA đối a, B đối b, C đối c.
Định lí cosBình phương cạnh đối = hai bình phương − hai tích cos.
Định lí sinCạnh đi với sin góc đối.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
T10-C3-NB-01Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính bình phương cạnh huyền.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: c² = 3² + 4² = 25.
Vì sao: Pythagore là trường hợp riêng của định lí cos khi góc xen giữa bằng 90°.
Sai ở đâu: Cộng độ dài hai cạnh thay vì cộng bình phương.
Cách khác: Dùng cos90° = 0 trong định lí cos.
T10-C3-NB-02Ôn đại số: Giải 3t = 12.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chia hai vế cho 3 khác 0.
Lời giải: Chia cả hai vế cho 3, ta được t = 4.
Vì sao: Biến đổi phương trình chính xác là nền khi rút cạnh từ định lí sin và cos.
Sai ở đâu: Chia một vế nhưng quên chia vế còn lại.
Cách khác: Thử ngược nghiệm vào phương trình ban đầu.
T10-C3-NB-03Ôn hình học: Tổng ba góc trong một tam giác bằng bao nhiêu?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí tổng các góc của tam giác.
Lời giải: A + B + C = 180°.
Vì sao: Quan hệ này dùng để tìm góc còn lại trước khi áp dụng hệ thức lượng.
Sai ở đâu: Nhầm với tổng bốn góc của tứ giác.
Cách khác: Kẻ đường thẳng song song qua một đỉnh để chứng minh.
T10-C3-NB-04Tam giác có a = 8, b = 10, c = 11. Tính cos A.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Biến đổi định lí cos theo góc A.
Lời giải: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (10² + 11² − 8²)/(2·10·11) = 0.7136.
Vì sao: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Sai ở đâu: Đặt a² sai vị trí hoặc dùng mẫu 2ab thay vì 2bc.
Cách khác: Tính a²−b²−c² trước rồi đổi dấu; phải thu được cùng kết quả.
T10-C3-NB-05Rút gọn A = sin²60° + cos²60° + tan 60°·cot 60°.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng hai hệ thức cơ bản; tan và cot đều xác định ở các góc đã cho.
Lời giải: sin²α + cos²α = 1 và tanα·cotα = 1, nên A = 2.
Vì sao: Nhận cấu trúc trước khi thay từng căn thức giúp giảm sai số và thời gian.
Sai ở đâu: Thay số dài dòng rồi làm sai phép nhân căn thức.
Cách khác: Nhóm hai cặp theo từng hệ thức cơ bản.
T10-C3-NB-06Tam giác ABC có b = 8, c = 10, A = 60°. Tính cạnh a.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 8² + 10² − 8·10 = 84. Vậy a = √84.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Sai ở đâu: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
T10-C3-NB-07So sánh sin 135° và sin 45°.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Vì sao: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Sai ở đâu: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
T10-C3-NB-08Tam giác có hai cạnh b = 8, c = 6 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·8·6·1/2 = 12.
Vì sao: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Sai ở đâu: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
T10-C3-NB-09Xác định dấu của sin 150°, cos 150° và tan 150°.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc nằm giữa 90° và 180°: tung độ dương, hoành độ âm.
Lời giải: sin 150° > 0; cos 150° < 0; tan 150° < 0.
Vì sao: tan là thương sin/cos nên âm khi sin và cos trái dấu.
Sai ở đâu: Cho rằng mọi giá trị lượng giác của một góc trong [0°;180°] đều dương.
Cách khác: Đánh dấu điểm biểu diễn trên nửa đường tròn và đọc dấu hai tọa độ.
T10-C3-NB-10Tam giác có a = 9, b = 11, c = 12. Tính cos A.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Biến đổi định lí cos theo góc A.
Lời giải: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (11² + 12² − 9²)/(2·11·12) = 0.697.
Vì sao: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Sai ở đâu: Đặt a² sai vị trí hoặc dùng mẫu 2ab thay vì 2bc.
Cách khác: Tính a²−b²−c² trước rồi đổi dấu; phải thu được cùng kết quả.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính bình phương cạnh huyền.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính bình phương cạnh huyền.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: c² = 3² + 4² = 25.
Giải thích: Pythagore là trường hợp riêng của định lí cos khi góc xen giữa bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Cộng độ dài hai cạnh thay vì cộng bình phương.
Cách khác: Dùng cos90° = 0 trong định lí cos.
TỰ LUẬN 2Tam giác ABC có b = 8, c = 10, A = 60°. Tính cạnh a.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 8² + 10² − 8·10 = 84. Vậy a = √84.
Giải thích: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Lỗi cần tránh: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
TỰ LUẬN 3Rút gọn A = sin²60° + cos²60° + tan 60°·cot 60°.
Gợi ý: Dùng hai hệ thức cơ bản; tan và cot đều xác định ở các góc đã cho.
Lời giải: sin²α + cos²α = 1 và tanα·cotα = 1, nên A = 2.
Giải thích: Nhận cấu trúc trước khi thay từng căn thức giúp giảm sai số và thời gian.
Lỗi cần tránh: Thay số dài dòng rồi làm sai phép nhân căn thức.
Cách khác: Nhóm hai cặp theo từng hệ thức cơ bản.
TỰ LUẬN 4Tam giác có a = 10, b = 12, c = 13. Tính cos A.
Gợi ý: Biến đổi định lí cos theo góc A.
Lời giải: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (12² + 13² − 10²)/(2·12·13) = 0.6827.
Giải thích: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Lỗi cần tránh: Đặt a² sai vị trí hoặc dùng mẫu 2ab thay vì 2bc.
Cách khác: Tính a²−b²−c² trước rồi đổi dấu; phải thu được cùng kết quả.
TỰ LUẬN 5Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 và 7. Tính bình phương cạnh huyền.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: c² = 6² + 7² = 85.
Giải thích: Pythagore là trường hợp riêng của định lí cos khi góc xen giữa bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Cộng độ dài hai cạnh thay vì cộng bình phương.
Cách khác: Dùng cos90° = 0 trong định lí cos.
TỰ LUẬN 6Tam giác có hai cạnh b = 11, c = 9 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·11·9·1/2 = 24.75.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 7So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 8Tam giác ABC có b = 8, c = 10, A = 60°. Tính cạnh a.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 8² + 10² − 8·10 = 84. Vậy a = √84.
Giải thích: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Lỗi cần tránh: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
TỰ LUẬN 9Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 4 và 5. Tính bình phương cạnh huyền.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: c² = 4² + 5² = 41.
Giải thích: Pythagore là trường hợp riêng của định lí cos khi góc xen giữa bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Cộng độ dài hai cạnh thay vì cộng bình phương.
Cách khác: Dùng cos90° = 0 trong định lí cos.
TỰ LUẬN 10Tam giác có a = 10, b = 12, c = 13. Tính cos A.
Gợi ý: Biến đổi định lí cos theo góc A.
Lời giải: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (12² + 13² − 10²)/(2·12·13) = 0.6827.
Giải thích: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Lỗi cần tránh: Đặt a² sai vị trí hoặc dùng mẫu 2ab thay vì 2bc.
Cách khác: Tính a²−b²−c² trước rồi đổi dấu; phải thu được cùng kết quả.
TỰ LUẬN 11Xác định dấu của sin 150°, cos 150° và tan 150°.
Gợi ý: Góc nằm giữa 90° và 180°: tung độ dương, hoành độ âm.
Lời giải: sin 150° > 0; cos 150° < 0; tan 150° < 0.
Giải thích: tan là thương sin/cos nên âm khi sin và cos trái dấu.
Lỗi cần tránh: Cho rằng mọi giá trị lượng giác của một góc trong [0°;180°] đều dương.
Cách khác: Đánh dấu điểm biểu diễn trên nửa đường tròn và đọc dấu hai tọa độ.
TỰ LUẬN 12Tam giác có hai cạnh b = 11, c = 9 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·11·9·1/2 = 24.75.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 13Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 7 và 8. Tính bình phương cạnh huyền.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: c² = 7² + 8² = 113.
Giải thích: Pythagore là trường hợp riêng của định lí cos khi góc xen giữa bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Cộng độ dài hai cạnh thay vì cộng bình phương.
Cách khác: Dùng cos90° = 0 trong định lí cos.
TỰ LUẬN 14Tam giác ABC có b = 8, c = 10, A = 60°. Tính cạnh a.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 8² + 10² − 8·10 = 84. Vậy a = √84.
Giải thích: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Lỗi cần tránh: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
TỰ LUẬN 15Rút gọn A = sin²60° + cos²60° + tan 60°·cot 60°.
Gợi ý: Dùng hai hệ thức cơ bản; tan và cot đều xác định ở các góc đã cho.
Lời giải: sin²α + cos²α = 1 và tanα·cotα = 1, nên A = 2.
Giải thích: Nhận cấu trúc trước khi thay từng căn thức giúp giảm sai số và thời gian.
Lỗi cần tránh: Thay số dài dòng rồi làm sai phép nhân căn thức.
Cách khác: Nhóm hai cặp theo từng hệ thức cơ bản.
TỰ LUẬN 16Tam giác có a = 10, b = 12, c = 13. Tính cos A.
Gợi ý: Biến đổi định lí cos theo góc A.
Lời giải: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (12² + 13² − 10²)/(2·12·13) = 0.6827.
Giải thích: Ba cạnh xác định góc; dấu cos cho biết A nhọn, vuông hay tù.
Lỗi cần tránh: Đặt a² sai vị trí hoặc dùng mẫu 2ab thay vì 2bc.
Cách khác: Tính a²−b²−c² trước rồi đổi dấu; phải thu được cùng kết quả.
TỰ LUẬN 17Ôn nền: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5 và 6. Tính bình phương cạnh huyền.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: c² = 5² + 6² = 61.
Giải thích: Pythagore là trường hợp riêng của định lí cos khi góc xen giữa bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Cộng độ dài hai cạnh thay vì cộng bình phương.
Cách khác: Dùng cos90° = 0 trong định lí cos.
TỰ LUẬN 18Tam giác có hai cạnh b = 11, c = 9 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·11·9·1/2 = 24.75.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 19So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 20Tam giác ABC có b = 8, c = 10, A = 60°. Tính cạnh a.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 8² + 10² − 8·10 = 84. Vậy a = √84.
Giải thích: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Lỗi cần tránh: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-C3-NB-01, T10-C3-NB-02, T10-C3-NB-03, T10-C3-NB-04, T10-C3-NB-05, T10-C3-NB-06, T10-C3-NB-07, T10-C3-NB-08, T10-C3-NB-09, T10-C3-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C3-NB-01: 25
- T10-C3-NB-02: 4
- T10-C3-NB-03: 180°
- T10-C3-NB-04: 0.7136
- T10-C3-NB-05: 2
- T10-C3-NB-06: √84
- T10-C3-NB-07: sin 135° = sin 45°
- T10-C3-NB-08: 12
- T10-C3-NB-09: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-C3-NB-10: 0.697
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 3
10 câu đại diện: T10-C3-NB-11, T10-C3-NB-12, T10-C3-NB-13, T10-C3-NB-14, T10-C3-NB-15, T10-C3-NB-16, T10-C3-NB-17, T10-C3-NB-18, T10-C3-NB-19, T10-C3-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C3-NB-11: 2
- T10-C3-NB-12: √28
- T10-C3-NB-13: sin 135° = sin 45°
- T10-C3-NB-14: 15.75
- T10-C3-NB-15: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-C3-NB-16: 0.6827
- T10-C3-NB-17: 2
- T10-C3-NB-18: √39
- T10-C3-NB-19: sin 135° = sin 45°
- T10-C3-NB-20: 20
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-C3-TH-01, T10-C3-TH-02, T10-C3-TH-03, T10-C3-TH-04, T10-C3-TH-05, T10-C3-TH-06, T10-C3-TH-07, T10-C3-TH-08, T10-C3-TH-09, T10-C3-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C3-TH-01: 85
- T10-C3-TH-02: 7
- T10-C3-TH-03: 180°
- T10-C3-TH-04: √52
- T10-C3-TH-05: sin 135° = sin 45°
- T10-C3-TH-06: 24.75
- T10-C3-TH-07: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-C3-TH-08: 0.7333
- T10-C3-TH-09: 2
- T10-C3-TH-10: √67
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-C3-TH-11, T10-C3-TH-12, T10-C3-TH-13, T10-C3-TH-14, T10-C3-TH-15, T10-C3-TH-16, T10-C3-TH-17, T10-C3-TH-18, T10-C3-TH-19, T10-C3-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C3-TH-11: sin 135° = sin 45°
- T10-C3-TH-12: 8.75
- T10-C3-TH-13: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-C3-TH-14: 0.7136
- T10-C3-TH-15: 2
- T10-C3-TH-16: √84
- T10-C3-TH-17: sin 135° = sin 45°
- T10-C3-TH-18: 12
- T10-C3-TH-19: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-C3-TH-20: 0.697
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-C3-VD-01, T10-C3-VD-02, T10-C3-VD-03, T10-C3-VD-04, T10-C3-VD-05, T10-C3-VD-06, T10-C3-VD-07, T10-C3-VD-08, T10-C3-VD-09, T10-C3-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C3-VD-01: 41
- T10-C3-VD-02: 4
- T10-C3-VD-03: 180°
- T10-C3-VD-04: 15.75
- T10-C3-VD-05: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-C3-VD-06: 0.6827
- T10-C3-VD-07: 2
- T10-C3-VD-08: √39
- T10-C3-VD-09: sin 135° = sin 45°
- T10-C3-VD-10: 20
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 45–60 phút; ưu tiên con nói được vì sao chọn công thức trước khi bấm máy.
- Nếu con sai, hỏi con dữ kiện nào chưa dùng và điều kiện nào bị bỏ quên.
- Cho con làm lại một câu tương tự sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày.
- Không so tốc độ với bạn; theo dõi loại lỗi giảm dần trong sổ lỗi.
- Chỉ chuyển bài khi đạt ít nhất 80% và giải thích được ba câu sai gần nhất.
- Mở bài bằng một tình huống có dữ kiện thừa hoặc thiếu để học sinh tập chọn mô hình.
- Yêu cầu học sinh dự đoán dấu, độ lớn hoặc hình dạng kết quả trước khi tính.
- Tách lỗi khái niệm, lỗi điều kiện, lỗi biến đổi và lỗi máy tính.
- Dùng câu hỏi ngược: nếu đổi dữ kiện thì kết quả biến đổi theo hướng nào?
- Đề Hà Nội trên website là đề nội bộ tham khảo cấu trúc, không phải đề chính thức của Sở.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.