Nhìn cấu trúc trước
Học các khái niệm mở đầu bằng quan hệ và hình ảnh, không thuộc công thức rời rạc.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Vectơ có điểm đầu, điểm cuối, phương, hướng và độ dài.
- Cùng phương chưa chắc cùng hướng.
- Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Bài 7. Các khái niệm mở đầu
Xây nền cho toàn bộ hình học tọa độ bằng cách phân biệt vectơ, độ dài, phương, hướng, vectơ bằng nhau, đối nhau và vectơ-không.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi bài bắt đầu bằng dữ kiện đã có, điều cần tìm và điều kiện áp dụng.
Gắn với thực tiễn
Ví dụ đo đạc, chuyển động, dữ liệu và ra quyết định giúp thấy ý nghĩa của kết quả.
Không phụ thuộc đáp án
Mỗi lời giải có phép kiểm bằng định nghĩa, công thức khác, hình hoặc ước lượng.
- Nhận diện và kí hiệu vectơ.
- Phân biệt cùng phương, cùng hướng và ngược hướng.
- Kiểm tra hai vectơ bằng nhau hoặc đối nhau.
- Hiểu đúng vectơ-không và độ dài vectơ.
- Điểm, đoạn thẳng và độ dài.
- Quan hệ song song.
- Hình bình hành.
- 15% ôn lượng giác và hệ thức tam giác.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Vectơ
Hiểu đơn giản: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, có điểm đầu và điểm cuối.
AB⃗ có điểm đầu A, điểm cuối B; |AB⃗|=AB.
Ví dụ: AB⃗ và BA⃗ cùng độ dài nhưng ngược hướng.
Hình nên dùng: Mũi tên từ A đến B.
Mô phỏng: Kéo điểm đầu–cuối.
Mẹo nhớ: Đầu trước, cuối sau.
Sai lầm: Đồng nhất vectơ với độ dài.
Ghi chú: Hai vectơ có thể bằng nhau dù nằm khác vị trí.
Cùng phương và cùng hướng
Hiểu đơn giản: Giá của hai vectơ song song hoặc trùng thì chúng cùng phương.
Cùng phương gồm cùng hướng hoặc ngược hướng.
Ví dụ: Hai cạnh đối hình bình hành cho các vectơ cùng phương.
Hình nên dùng: Bốn mũi tên song song.
Mô phỏng: Quay một vectơ.
Mẹo nhớ: Cùng phương chưa chắc cùng hướng.
Sai lầm: Dùng hai khái niệm như một.
Ghi chú: Vectơ-không được coi là cùng phương với mọi vectơ.
Hai vectơ bằng nhau
Hiểu đơn giản: Bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
u⃗=v⃗ ⇔ cùng hướng và |u⃗|=|v⃗|.
Ví dụ: Trong ABCD hình bình hành, AB⃗=DC⃗.
Hình nên dùng: Tịnh tiến một mũi tên.
Mô phỏng: Chồng hai vectơ.
Mẹo nhớ: Hướng giống + dài bằng.
Sai lầm: Chỉ kiểm độ dài.
Ghi chú: Không cần cùng điểm đầu.
Vectơ đối
Hiểu đơn giản: Hai vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng.
v⃗=−u⃗ ⇔ u⃗+v⃗=0⃗.
Ví dụ: BA⃗=−AB⃗.
Hình nên dùng: Hai mũi tên đối đầu.
Mô phỏng: Đảo chiều vectơ.
Mẹo nhớ: Đổi thứ tự điểm là đổi dấu.
Sai lầm: Cho rằng hai vectơ đối có độ dài âm.
Ghi chú: Độ dài luôn không âm.
Vectơ-không
Hiểu đơn giản: Điểm đầu trùng điểm cuối nên không có dịch chuyển.
AA⃗=0⃗ và |0⃗|=0.
Ví dụ: MN⃗+NM⃗=0⃗.
Hình nên dùng: Một điểm không có mũi tên dài.
Mô phỏng: Kéo hai đầu trùng nhau.
Mẹo nhớ: Không dịch chuyển = vectơ-không.
Sai lầm: Gán hướng xác định cho 0⃗.
Ghi chú: 0⃗ là phần tử trung hòa của phép cộng.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB CO GIÃN VECTƠ
Dấu hệ số đổi hướng, trị tuyệt đối đổi độ dài
Thay vectơ u⃗ và hệ số k để kiểm trực tiếp tọa độ, hướng và độ dài của ku⃗.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Đoạn thẳng AB dài 2 cm. So sánh độ dài của vectơ AB và vectơ BA.
Phân tích: Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài và ngược hướng.
Hướng làm: Đổi hướng không làm thay đổi độ dài.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Đổi hướng không làm thay đổi độ dài.
- Bước 3: |AB⃗| = |BA⃗| = 2 cm.
Vì sao: Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài và ngược hướng.
Cách khác: Quan sát cùng một đoạn thẳng nhưng hai chiều đi ngược nhau.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 2 cm và 2 cm. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Điểm A cố định. Vectơ AA có phương và hướng xác định không?
Phân tích: Không có dịch chuyển nên điểm đầu trùng điểm cuối.
Hướng làm: Độ dài của AA⃗ bằng 0.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Độ dài của AA⃗ bằng 0.
- Bước 3: AA⃗ là vectơ-không; vectơ-không không có hướng xác định và được coi là cùng phương với mọi vectơ.
Vì sao: Không có dịch chuyển nên điểm đầu trùng điểm cuối.
Cách khác: Xem AA⃗ là phần tử trung hòa của phép cộng vectơ.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Không có hướng xác định. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Trong hình bình hành ABCD, hãy nêu một cặp vectơ bằng nhau.
Phân tích: Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Hướng làm: Chọn hai cạnh đối có cùng chiều tương ứng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Chọn hai cạnh đối có cùng chiều tương ứng.
- Bước 3: AB⃗ = DC⃗ và AD⃗ = BC⃗.
Vì sao: Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Cách khác: Dùng phép tịnh tiến đưa A đến D và B đến C.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: AB⃗ = DC⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Hai vectơ u⃗ và v⃗ cùng phương, cùng hướng, có độ dài lần lượt 5 và 5. Chúng có bằng nhau không?
Phân tích: Vị trí đặt vectơ không quyết định sự bằng nhau.
Hướng làm: Kiểm đủ hai điều kiện: cùng hướng và cùng độ dài.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Kiểm đủ hai điều kiện: cùng hướng và cùng độ dài.
- Bước 3: Có. Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài nên u⃗ = v⃗.
Vì sao: Vị trí đặt vectơ không quyết định sự bằng nhau.
Cách khác: Tịnh tiến một vectơ để hai điểm đầu trùng nhau; hai điểm cuối cũng trùng.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Có. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Ba điểm A, B, C thẳng hàng. Các vectơ AB⃗ và AC⃗ có nhất thiết cùng hướng không?
Phân tích: Thẳng hàng chỉ quyết định phương, chưa quyết định hướng.
Hướng làm: Cùng phương là chắc chắn; hướng còn phụ thuộc vị trí B và C so với A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cùng phương là chắc chắn; hướng còn phụ thuộc vị trí B và C so với A.
- Bước 3: Không nhất thiết. Nếu B và C cùng phía đối với A thì cùng hướng; khác phía thì ngược hướng.
Vì sao: Thẳng hàng chỉ quyết định phương, chưa quyết định hướng.
Cách khác: Vẽ hai trường hợp B, C nằm cùng phía và khác phía so với A.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Không nhất thiết. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Đoạn thẳng AB dài 7 cm. So sánh độ dài của vectơ AB và vectơ BA.
Phân tích: Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài và ngược hướng.
Hướng làm: Đổi hướng không làm thay đổi độ dài.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Đổi hướng không làm thay đổi độ dài.
- Bước 3: |AB⃗| = |BA⃗| = 7 cm.
Vì sao: Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài và ngược hướng.
Cách khác: Quan sát cùng một đoạn thẳng nhưng hai chiều đi ngược nhau.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 7 cm và 7 cm. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Điểm A cố định. Vectơ AA có phương và hướng xác định không?
Phân tích: Không có dịch chuyển nên điểm đầu trùng điểm cuối.
Hướng làm: Độ dài của AA⃗ bằng 0.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Độ dài của AA⃗ bằng 0.
- Bước 3: AA⃗ là vectơ-không; vectơ-không không có hướng xác định và được coi là cùng phương với mọi vectơ.
Vì sao: Không có dịch chuyển nên điểm đầu trùng điểm cuối.
Cách khác: Xem AA⃗ là phần tử trung hòa của phép cộng vectơ.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Không có hướng xác định. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Trong hình bình hành ABCD, hãy nêu một cặp vectơ bằng nhau.
Phân tích: Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Hướng làm: Chọn hai cạnh đối có cùng chiều tương ứng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Chọn hai cạnh đối có cùng chiều tương ứng.
- Bước 3: AB⃗ = DC⃗ và AD⃗ = BC⃗.
Vì sao: Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Cách khác: Dùng phép tịnh tiến đưa A đến D và B đến C.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: AB⃗ = DC⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Hai vectơ u⃗ và v⃗ cùng phương, cùng hướng, có độ dài lần lượt 2 và 2. Chúng có bằng nhau không?
Phân tích: Vị trí đặt vectơ không quyết định sự bằng nhau.
Hướng làm: Kiểm đủ hai điều kiện: cùng hướng và cùng độ dài.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Kiểm đủ hai điều kiện: cùng hướng và cùng độ dài.
- Bước 3: Có. Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài nên u⃗ = v⃗.
Vì sao: Vị trí đặt vectơ không quyết định sự bằng nhau.
Cách khác: Tịnh tiến một vectơ để hai điểm đầu trùng nhau; hai điểm cuối cũng trùng.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Có. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Ba điểm A, B, C thẳng hàng. Các vectơ AB⃗ và AC⃗ có nhất thiết cùng hướng không?
Phân tích: Thẳng hàng chỉ quyết định phương, chưa quyết định hướng.
Hướng làm: Cùng phương là chắc chắn; hướng còn phụ thuộc vị trí B và C so với A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cùng phương là chắc chắn; hướng còn phụ thuộc vị trí B và C so với A.
- Bước 3: Không nhất thiết. Nếu B và C cùng phía đối với A thì cùng hướng; khác phía thì ngược hướng.
Vì sao: Thẳng hàng chỉ quyết định phương, chưa quyết định hướng.
Cách khác: Vẽ hai trường hợp B, C nằm cùng phía và khác phía so với A.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Không nhất thiết. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Đo và so sánh
Các khái niệm mở đầu giúp kiểm tra các phép đo, ước lượng và quyết định trong gia đình có căn cứ.
Dự án học tập
Học sinh thu thập dữ kiện, chọn mô hình các khái niệm mở đầu và trình bày cách tự kiểm.
Đọc con số đúng nghĩa
Không chỉ tính ra số; phải hiểu đơn vị, độ tin cậy và giới hạn sử dụng.
Mô hình hóa
Đại lượng được biểu diễn bằng quan hệ toán học có điều kiện và có phép kiểm độc lập.
Thiết kế an toàn
Kĩ sư dùng công thức, hướng và sai số để tránh kết luận vượt quá dữ kiện.
Kiểm soát chất lượng
So sánh kết quả đo hoặc dữ liệu giúp phát hiện độ lệch và điều chỉnh quy trình.
Quan sát khó đo trực tiếp
Khoảng cách, phương hướng và số liệu tự nhiên có thể được suy ra từ mô hình phù hợp.
Năng lực phân tích
Kiến trúc, dữ liệu, logistics, khảo sát và công nghệ đều cần suy luận định lượng chặt chẽ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Vectơ dùng khi nào?
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, có điểm đầu và điểm cuối. Dấu hiệu nhận biết: Đầu trước, cuối sau.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Đồng nhất vectơ với độ dài.
Quay lại Vectơ: AB⃗ có điểm đầu A, điểm cuối B; |AB⃗|=AB. Tự kiểm bằng AB⃗ và BA⃗ cùng độ dài nhưng ngược hướng.
2. Dùng hai khái niệm như một.
Quay lại Cùng phương và cùng hướng: Cùng phương gồm cùng hướng hoặc ngược hướng. Tự kiểm bằng Hai cạnh đối hình bình hành cho các vectơ cùng phương.
3. Chỉ kiểm độ dài.
Quay lại Hai vectơ bằng nhau: u⃗=v⃗ ⇔ cùng hướng và |u⃗|=|v⃗|. Tự kiểm bằng Trong ABCD hình bình hành, AB⃗=DC⃗.
4. Cho rằng hai vectơ đối có độ dài âm.
Quay lại Vectơ đối: v⃗=−u⃗ ⇔ u⃗+v⃗=0⃗. Tự kiểm bằng BA⃗=−AB⃗.
5. Gán hướng xác định cho 0⃗.
Quay lại Vectơ-không: AA⃗=0⃗ và |0⃗|=0. Tự kiểm bằng MN⃗+NM⃗=0⃗.
6. Đồng nhất vectơ với độ dài.
Quay lại Vectơ: AB⃗ có điểm đầu A, điểm cuối B; |AB⃗|=AB. Tự kiểm bằng AB⃗ và BA⃗ cùng độ dài nhưng ngược hướng.
7. Dùng hai khái niệm như một.
Quay lại Cùng phương và cùng hướng: Cùng phương gồm cùng hướng hoặc ngược hướng. Tự kiểm bằng Hai cạnh đối hình bình hành cho các vectơ cùng phương.
8. Chỉ kiểm độ dài.
Quay lại Hai vectơ bằng nhau: u⃗=v⃗ ⇔ cùng hướng và |u⃗|=|v⃗|. Tự kiểm bằng Trong ABCD hình bình hành, AB⃗=DC⃗.
9. Cho rằng hai vectơ đối có độ dài âm.
Quay lại Vectơ đối: v⃗=−u⃗ ⇔ u⃗+v⃗=0⃗. Tự kiểm bằng BA⃗=−AB⃗.
10. Gán hướng xác định cho 0⃗.
Quay lại Vectơ-không: AA⃗=0⃗ và |0⃗|=0. Tự kiểm bằng MN⃗+NM⃗=0⃗.
11. Đồng nhất vectơ với độ dài.
Quay lại Vectơ: AB⃗ có điểm đầu A, điểm cuối B; |AB⃗|=AB. Tự kiểm bằng AB⃗ và BA⃗ cùng độ dài nhưng ngược hướng.
12. Dùng hai khái niệm như một.
Quay lại Cùng phương và cùng hướng: Cùng phương gồm cùng hướng hoặc ngược hướng. Tự kiểm bằng Hai cạnh đối hình bình hành cho các vectơ cùng phương.
13. Chỉ kiểm độ dài.
Quay lại Hai vectơ bằng nhau: u⃗=v⃗ ⇔ cùng hướng và |u⃗|=|v⃗|. Tự kiểm bằng Trong ABCD hình bình hành, AB⃗=DC⃗.
14. Cho rằng hai vectơ đối có độ dài âm.
Quay lại Vectơ đối: v⃗=−u⃗ ⇔ u⃗+v⃗=0⃗. Tự kiểm bằng BA⃗=−AB⃗.
15. Gán hướng xác định cho 0⃗.
Quay lại Vectơ-không: AA⃗=0⃗ và |0⃗|=0. Tự kiểm bằng MN⃗+NM⃗=0⃗.
16. Đồng nhất vectơ với độ dài.
Quay lại Vectơ: AB⃗ có điểm đầu A, điểm cuối B; |AB⃗|=AB. Tự kiểm bằng AB⃗ và BA⃗ cùng độ dài nhưng ngược hướng.
17. Dùng hai khái niệm như một.
Quay lại Cùng phương và cùng hướng: Cùng phương gồm cùng hướng hoặc ngược hướng. Tự kiểm bằng Hai cạnh đối hình bình hành cho các vectơ cùng phương.
18. Chỉ kiểm độ dài.
Quay lại Hai vectơ bằng nhau: u⃗=v⃗ ⇔ cùng hướng và |u⃗|=|v⃗|. Tự kiểm bằng Trong ABCD hình bình hành, AB⃗=DC⃗.
19. Cho rằng hai vectơ đối có độ dài âm.
Quay lại Vectơ đối: v⃗=−u⃗ ⇔ u⃗+v⃗=0⃗. Tự kiểm bằng BA⃗=−AB⃗.
20. Gán hướng xác định cho 0⃗.
Quay lại Vectơ-không: AA⃗=0⃗ và |0⃗|=0. Tự kiểm bằng MN⃗+NM⃗=0⃗.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Dự đoán trước
Ước lượng dấu, độ lớn hoặc vị trí kết quả trước khi bấm máy.
Một công thức–một điều kiện
Viết cạnh–góc tương ứng, hướng vectơ, đơn vị hoặc giả thiết dữ liệu ngay cạnh công thức.
Hai đường kiểm
Kiểm bằng công thức khác, trường hợp đặc biệt, hình vẽ hoặc thế ngược.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi câu sai, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Flashcard sau một ngày, bài ngắn sau ba ngày, đề trộn sau bảy ngày.
Nói thành lời
Nếu giải thích được cho người khác trong hai phút, em mới thực sự hiểu.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Các khái niệm mở đầu1 2 3 4 5
VectơĐầu trước, cuối sau.
Cùng phương và cùng hướngCùng phương chưa chắc cùng hướng.
Hai vectơ bằng nhauHướng giống + dài bằng.
Vectơ đốiĐổi thứ tự điểm là đổi dấu.
Vectơ-khôngKhông dịch chuyển = vectơ-không.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
T10-B7-NB-01So sánh sin 135° và sin 45°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Vì sao: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Sai ở đâu: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
T10-B7-NB-02Tam giác ABC có b = 5, c = 7, A = 60°. Tính cạnh a.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 5² + 7² − 5·7 = 39. Vậy a = √39.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Sai ở đâu: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
T10-B7-NB-03Xác định dấu của sin 150°, cos 150° và tan 150°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc nằm giữa 90° và 180°: tung độ dương, hoành độ âm.
Lời giải: sin 150° > 0; cos 150° < 0; tan 150° < 0.
Vì sao: tan là thương sin/cos nên âm khi sin và cos trái dấu.
Sai ở đâu: Cho rằng mọi giá trị lượng giác của một góc trong [0°;180°] đều dương.
Cách khác: Đánh dấu điểm biểu diễn trên nửa đường tròn và đọc dấu hai tọa độ.
T10-B7-NB-04Đoạn thẳng AB dài 2 cm. So sánh độ dài của vectơ AB và vectơ BA.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đổi hướng không làm thay đổi độ dài.
Lời giải: |AB⃗| = |BA⃗| = 2 cm.
Vì sao: Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài và ngược hướng.
Sai ở đâu: Cho rằng AB⃗ = BA⃗ vì độ dài bằng nhau.
Cách khác: Quan sát cùng một đoạn thẳng nhưng hai chiều đi ngược nhau.
T10-B7-NB-05Điểm A cố định. Vectơ AA có phương và hướng xác định không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Độ dài của AA⃗ bằng 0.
Lời giải: AA⃗ là vectơ-không; vectơ-không không có hướng xác định và được coi là cùng phương với mọi vectơ.
Vì sao: Không có dịch chuyển nên điểm đầu trùng điểm cuối.
Sai ở đâu: Gán cho vectơ-không một hướng cụ thể như vectơ khác.
Cách khác: Xem AA⃗ là phần tử trung hòa của phép cộng vectơ.
T10-B7-NB-06Trong hình bình hành ABCD, hãy nêu một cặp vectơ bằng nhau.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chọn hai cạnh đối có cùng chiều tương ứng.
Lời giải: AB⃗ = DC⃗ và AD⃗ = BC⃗.
Vì sao: Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Sai ở đâu: Viết AB⃗ = CD⃗; hai vectơ này ngược hướng.
Cách khác: Dùng phép tịnh tiến đưa A đến D và B đến C.
T10-B7-NB-07Hai vectơ u⃗ và v⃗ cùng phương, cùng hướng, có độ dài lần lượt 5 và 5. Chúng có bằng nhau không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Kiểm đủ hai điều kiện: cùng hướng và cùng độ dài.
Lời giải: Có. Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài nên u⃗ = v⃗.
Vì sao: Vị trí đặt vectơ không quyết định sự bằng nhau.
Sai ở đâu: Cho rằng vectơ phải cùng điểm đầu mới bằng nhau.
Cách khác: Tịnh tiến một vectơ để hai điểm đầu trùng nhau; hai điểm cuối cũng trùng.
T10-B7-NB-08Ba điểm A, B, C thẳng hàng. Các vectơ AB⃗ và AC⃗ có nhất thiết cùng hướng không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cùng phương là chắc chắn; hướng còn phụ thuộc vị trí B và C so với A.
Lời giải: Không nhất thiết. Nếu B và C cùng phía đối với A thì cùng hướng; khác phía thì ngược hướng.
Vì sao: Thẳng hàng chỉ quyết định phương, chưa quyết định hướng.
Sai ở đâu: Đồng nhất “cùng phương” với “cùng hướng”.
Cách khác: Vẽ hai trường hợp B, C nằm cùng phía và khác phía so với A.
T10-B7-NB-09Đoạn thẳng AB dài 7 cm. So sánh độ dài của vectơ AB và vectơ BA.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đổi hướng không làm thay đổi độ dài.
Lời giải: |AB⃗| = |BA⃗| = 7 cm.
Vì sao: Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài và ngược hướng.
Sai ở đâu: Cho rằng AB⃗ = BA⃗ vì độ dài bằng nhau.
Cách khác: Quan sát cùng một đoạn thẳng nhưng hai chiều đi ngược nhau.
T10-B7-NB-10Một đa giác đều có 4 đỉnh. Có bao nhiêu cách chọn cặp (điểm đầu; điểm cuối) là hai đỉnh khác nhau để biểu diễn một vectơ khác 0?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chọn điểm đầu rồi chọn điểm cuối khác nó; cặp có thứ tự xác định một vectơ.
Lời giải: Chọn điểm đầu rồi chọn điểm cuối khác nó; cặp có thứ tự xác định một vectơ. Kết quả: 12.
Vì sao: Chọn điểm đầu rồi chọn điểm cuối khác nó; cặp có thứ tự xác định một vectơ.
Sai ở đâu: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Một đa giác đều có 4 đỉnh. Có bao nhiêu cách chọn cặp (điểm đầu; điểm cuối) là hai đỉnh khác nhau để biểu diễn một vectơ khác 0?
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 2Trong hình bình hành ABCD, hãy nêu một cặp vectơ bằng nhau.
Gợi ý: Chọn hai cạnh đối có cùng chiều tương ứng.
Lời giải: AB⃗ = DC⃗ và AD⃗ = BC⃗.
Giải thích: Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Lỗi cần tránh: Viết AB⃗ = CD⃗; hai vectơ này ngược hướng.
Cách khác: Dùng phép tịnh tiến đưa A đến D và B đến C.
TỰ LUẬN 3Trên cùng một đường thẳng, A có tọa độ 0, B có tọa độ 2. Tính độ dài vectơ BA.
Gợi ý: Độ dài vectơ bằng khoảng cách hai đầu mút, luôn không âm.
Lời giải: Độ dài vectơ bằng khoảng cách hai đầu mút, luôn không âm. Kết quả: 2.
Giải thích: Độ dài vectơ bằng khoảng cách hai đầu mút, luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 4A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó, AB=2, BC=2. Tính độ dài vectơ AC.
Gợi ý: B nằm giữa A,C nên AC=AB+BC.
Lời giải: B nằm giữa A,C nên AC=AB+BC. Kết quả: 4.
Giải thích: B nằm giữa A,C nên AC=AB+BC.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 5Tam giác có hai cạnh b = 10, c = 8 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·10·8·1/2 = 20.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 6Một đa giác đều có 5 đỉnh. Có bao nhiêu cách chọn cặp (điểm đầu; điểm cuối) là hai đỉnh khác nhau để biểu diễn một vectơ khác 0?
Gợi ý: Chọn điểm đầu rồi chọn điểm cuối khác nó; cặp có thứ tự xác định một vectơ.
Lời giải: Chọn điểm đầu rồi chọn điểm cuối khác nó; cặp có thứ tự xác định một vectơ. Kết quả: 20.
Giải thích: Chọn điểm đầu rồi chọn điểm cuối khác nó; cặp có thứ tự xác định một vectơ.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 7Một lưới có 4 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ-không dạng AA khi A chạy qua các điểm ấy (tính theo giá trị vectơ, không theo cách viết)?
Gợi ý: Mọi AA đều biểu diễn cùng vectơ-không; không đếm lại theo tên điểm.
Lời giải: Mọi AA đều biểu diễn cùng vectơ-không; không đếm lại theo tên điểm. Kết quả: 1.
Giải thích: Mọi AA đều biểu diễn cùng vectơ-không; không đếm lại theo tên điểm.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 8Trên trục số, A(1), B(4), C(7). Số cặp vectơ bằng vectơ AB trong danh sách AB,BC,BA,CB là bao nhiêu?
Gợi ý: AB và BC cùng hướng dương, cùng độ dài k; BA,CB ngược hướng.
Lời giải: AB và BC cùng hướng dương, cùng độ dài k; BA,CB ngược hướng. Kết quả: 2.
Giải thích: AB và BC cùng hướng dương, cùng độ dài k; BA,CB ngược hướng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 9Tính A=2sin²30°+8cos²60°.
Gợi ý: sin30°=cos60°=1/2; bình phương trước khi nhân hệ số.
Lời giải: sin30°=cos60°=1/2; bình phương trước khi nhân hệ số. Kết quả: 5/2.
Giải thích: sin30°=cos60°=1/2; bình phương trước khi nhân hệ số.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 10Vectơ u có độ dài 4. Vectơ v cùng hướng với u và bằng u. Tính |v|².
Gợi ý: Hai vectơ bằng nhau có cùng hướng và cùng độ dài.
Lời giải: Hai vectơ bằng nhau có cùng hướng và cùng độ dài. Kết quả: 16.
Giải thích: Hai vectơ bằng nhau có cùng hướng và cùng độ dài.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 11Trên trục số, A(2), B(6), C(10). Số cặp vectơ bằng vectơ AB trong danh sách AB,BC,BA,CB là bao nhiêu?
Gợi ý: AB và BC cùng hướng dương, cùng độ dài k; BA,CB ngược hướng.
Lời giải: AB và BC cùng hướng dương, cùng độ dài k; BA,CB ngược hướng. Kết quả: 2.
Giải thích: AB và BC cùng hướng dương, cùng độ dài k; BA,CB ngược hướng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 12Một lưới có 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ-không dạng AA khi A chạy qua các điểm ấy (tính theo giá trị vectơ, không theo cách viết)?
Gợi ý: Mọi AA đều biểu diễn cùng vectơ-không; không đếm lại theo tên điểm.
Lời giải: Mọi AA đều biểu diễn cùng vectơ-không; không đếm lại theo tên điểm. Kết quả: 1.
Giải thích: Mọi AA đều biểu diễn cùng vectơ-không; không đếm lại theo tên điểm.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 13Tam giác có hai cạnh b = 11, c = 9 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·11·9·1/2 = 24.75.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 14Cho A(3; 4), B(6; 8), C(9; 12). Ba điểm có thẳng hàng không?
Gợi ý: AB = (3; 4), AC = (6; 8) = 2AB.
Lời giải: AB = (3; 4), AC = (6; 8) = 2AB. Hai vectơ AB và AC cùng phương, cùng điểm đầu A nên A, B, C thẳng hàng.
Giải thích: AB = (3; 4), AC = (6; 8) = 2AB. Hai vectơ AB và AC cùng phương, cùng điểm đầu A nên A, B, C thẳng hàng.
Lỗi cần tránh: Chỉ so sánh khoảng cách hoặc kết luận từ hình vẽ.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 15Một lưới có 7 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ-không dạng AA khi A chạy qua các điểm ấy (tính theo giá trị vectơ, không theo cách viết)?
Gợi ý: Mọi AA đều biểu diễn cùng vectơ-không; không đếm lại theo tên điểm.
Lời giải: Mọi AA đều biểu diễn cùng vectơ-không; không đếm lại theo tên điểm. Kết quả: 1.
Giải thích: Mọi AA đều biểu diễn cùng vectơ-không; không đếm lại theo tên điểm.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 16Một đa giác đều có 9 đỉnh. Có bao nhiêu cách chọn cặp (điểm đầu; điểm cuối) là hai đỉnh khác nhau để biểu diễn một vectơ khác 0?
Gợi ý: Chọn điểm đầu rồi chọn điểm cuối khác nó; cặp có thứ tự xác định một vectơ.
Lời giải: Chọn điểm đầu rồi chọn điểm cuối khác nó; cặp có thứ tự xác định một vectơ. Kết quả: 72.
Giải thích: Chọn điểm đầu rồi chọn điểm cuối khác nó; cặp có thứ tự xác định một vectơ.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 17Một mảnh đất tam giác có hai cạnh 4 m, 2 m và góc xen giữa 30°. Tính diện tích (m²).
Gợi ý: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa.
Lời giải: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa. Kết quả: 2.
Giải thích: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 18Một vectơ u≠0 có độ dài 7. Trong các vectơ u,−u,2u,−2u, có bao nhiêu vectơ cùng phương với u?
Gợi ý: Mọi bội thực của u đều cùng phương với u; không nhầm cùng phương với cùng hướng.
Lời giải: Mọi bội thực của u đều cùng phương với u; không nhầm cùng phương với cùng hướng. Kết quả: 4.
Giải thích: Mọi bội thực của u đều cùng phương với u; không nhầm cùng phương với cùng hướng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 19A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó, AB=8, BC=3. Tính độ dài vectơ AC.
Gợi ý: B nằm giữa A,C nên AC=AB+BC.
Lời giải: B nằm giữa A,C nên AC=AB+BC. Kết quả: 11.
Giải thích: B nằm giữa A,C nên AC=AB+BC.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 20Trên cùng một đường thẳng, A có tọa độ 7, B có tọa độ 16. Tính độ dài vectơ BA.
Gợi ý: Độ dài vectơ bằng khoảng cách hai đầu mút, luôn không âm.
Lời giải: Độ dài vectơ bằng khoảng cách hai đầu mút, luôn không âm. Kết quả: 9.
Giải thích: Độ dài vectơ bằng khoảng cách hai đầu mút, luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B7-NB-01, T10-B7-NB-02, T10-B7-NB-03, T10-B7-NB-04, T10-B7-NB-05, T10-B7-NB-06, T10-B7-NB-07, T10-B7-NB-08, T10-B7-NB-09, T10-B7-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B7-NB-01: sin 135° = sin 45°
- T10-B7-NB-02: √39
- T10-B7-NB-03: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-B7-NB-04: 2 cm và 2 cm
- T10-B7-NB-05: Không có hướng xác định
- T10-B7-NB-06: AB⃗ = DC⃗
- T10-B7-NB-07: Có
- T10-B7-NB-08: Không nhất thiết
- T10-B7-NB-09: 7 cm và 7 cm
- T10-B7-NB-10: 12
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: T10-B7-NB-11, T10-B7-NB-12, T10-B7-NB-13, T10-B7-NB-14, T10-B7-NB-15, T10-B7-NB-16, T10-B7-NB-17, T10-B7-NB-18, T10-B7-NB-19, T10-B7-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B7-NB-11: 2
- T10-B7-NB-12: Có
- T10-B7-NB-13: 4
- T10-B7-NB-14: 4 cm và 4 cm
- T10-B7-NB-15: 1
- T10-B7-NB-16: 4
- T10-B7-NB-17: Có
- T10-B7-NB-18: 2
- T10-B7-NB-19: 9 cm và 9 cm
- T10-B7-NB-20: 2
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B7-TH-01, T10-B7-TH-02, T10-B7-TH-03, T10-B7-TH-04, T10-B7-TH-05, T10-B7-TH-06, T10-B7-TH-07, T10-B7-TH-08, T10-B7-TH-09, T10-B7-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B7-TH-01: 20
- T10-B7-TH-02: 2
- T10-B7-TH-03: 109/144
- T10-B7-TH-04: 4
- T10-B7-TH-05: Có
- T10-B7-TH-06: 20
- T10-B7-TH-07: 6 cm và 6 cm
- T10-B7-TH-08: 3
- T10-B7-TH-09: 9
- T10-B7-TH-10: Có
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B7-TH-11, T10-B7-TH-12, T10-B7-TH-13, T10-B7-TH-14, T10-B7-TH-15, T10-B7-TH-16, T10-B7-TH-17, T10-B7-TH-18, T10-B7-TH-19, T10-B7-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B7-TH-11: 1
- T10-B7-TH-12: 3 cm và 3 cm
- T10-B7-TH-13: 6
- T10-B7-TH-14: 3
- T10-B7-TH-15: Có
- T10-B7-TH-16: 2
- T10-B7-TH-17: 8 cm và 8 cm
- T10-B7-TH-18: 4
- T10-B7-TH-19: 30
- T10-B7-TH-20: Có
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B7-VD-01, T10-B7-VD-02, T10-B7-VD-03, T10-B7-VD-04, T10-B7-VD-05, T10-B7-VD-06, T10-B7-VD-07, T10-B7-VD-08, T10-B7-VD-09, T10-B7-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B7-VD-01: 5/2
- T10-B7-VD-02: √52
- T10-B7-VD-03: 32
- T10-B7-VD-04: 4
- T10-B7-VD-05: 5 cm và 5 cm
- T10-B7-VD-06: 16
- T10-B7-VD-07: 1
- T10-B7-VD-08: Có
- T10-B7-VD-09: 8
- T10-B7-VD-10: 4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.