Tách lỗi theo dạng
Không chỉ xem đúng–sai; phải biết lỗi do khái niệm, điều kiện, biến đổi hay diễn giải.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài tập cuối Chương 5
Cổng kết thúc học kỳ I kiểm tra sai số, số đại diện và độ phân tán bằng dữ liệu thực tế, kèm câu ôn liên thông.
Đọc trung tâm, đo độ rộng, nói đúng mức tin cậy
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Nối các bài trong chương
Mỗi câu tổng hợp buộc học sinh chọn công cụ thay vì nhận theo tiêu đề.
15% nền chương trước
Câu ôn cũ được đặt trước kĩ năng mới tương ứng để chống quên.
Đạt rồi mới chuyển
Cổng 80% đi kèm yêu cầu giải thích được lỗi và làm lại sau một ngày.
- Hệ thống hóa toàn bộ kiến thức Chương 5.
- Chọn đúng công thức và nêu điều kiện áp dụng.
- Giải bài tổng hợp từ cơ bản đến thực tế.
- Tự phát hiện, phân loại và sửa lỗi.
- Toàn bộ bài học trong chương.
- 15% kiến thức nền trực tiếp từ chương trước.
- Kĩ năng ước lượng kết quả và kiểm trường hợp biên.
- Sổ lỗi cá nhân sau mỗi lượt luyện.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Số gần đúng
Hiểu đơn giản: Kết quả đo hoặc làm tròn thay cho giá trị đúng chưa biết hoàn toàn.
a là số gần đúng của số đúng A.
Ví dụ: Chiều dài đo được 12,4 cm.
Hình nên dùng: Thước đo có vạch chia.
Mô phỏng: Đổi độ chia dụng cụ.
Mẹo nhớ: Đo là gần đúng.
Sai lầm: Coi mọi chữ số hiển thị đều chắc chắn.
Ghi chú: Phải ghi đơn vị và mức chính xác.
Sai số tuyệt đối
Hiểu đơn giản: Khoảng cách giữa số gần đúng và số đúng.
Δa=|a−A|; thường biết Δa≤d.
Ví dụ: A=10,a=9,8 ⇒ Δa=0,2.
Hình nên dùng: Khoảng cách trên trục số.
Mô phỏng: Kéo a quanh A.
Mẹo nhớ: Hiệu lấy trị tuyệt đối.
Sai lầm: Nhận sai số âm.
Ghi chú: Cùng đơn vị với đại lượng.
Sai số tương đối
Hiểu đơn giản: So mức sai với độ lớn của đại lượng.
δa=Δa/|A|, thường viết phần trăm.
Ví dụ: Sai 1 trên 100 là 1%.
Hình nên dùng: Hai phép đo khác quy mô.
Mô phỏng: Giữ sai số tuyệt đối, đổi A.
Mẹo nhớ: Sai chia quy mô.
Sai lầm: Quên nhân 100% khi đổi phần trăm.
Ghi chú: Hữu ích để so chất lượng hai phép đo.
Quy tròn
Hiểu đơn giản: Giữ đến một hàng rồi điều chỉnh theo chữ số ngay sau.
Quy tròn đến đơn vị hàng h có sai số không vượt quá h/2.
Ví dụ: 12,46 đến phần mười là 12,5.
Hình nên dùng: Trục số giữa hai mốc.
Mô phỏng: Chọn hàng quy tròn.
Mẹo nhớ: 0–4 giữ, 5–9 tăng.
Sai lầm: Xét sai chữ số.
Ghi chú: Không làm tròn trung gian quá sớm.
Độ chính xác và chữ số chắc
Hiểu đơn giản: Độ chính xác cho biết biên sai số được chấp nhận.
A∈[a−d;a+d] khi |A−a|≤d.
Ví dụ: a=20,d=0,5 ⇒ A∈[19,5;20,5].
Hình nên dùng: Đoạn sai số tâm a.
Mô phỏng: Kéo d để mở rộng khoảng.
Mẹo nhớ: Tâm a, bán kính d.
Sai lầm: Chỉ viết cận trên.
Ghi chú: Chữ số chắc phải ổn định trong toàn khoảng sai số.
Số trung bình
Hiểu đơn giản: Tổng chia số quan sát; là điểm cân bằng dữ liệu.
x̄=(x1+…+xn)/n.
Ví dụ: 2,4,6 có x̄=4.
Hình nên dùng: Cân thăng bằng.
Mô phỏng: Kéo một giá trị ngoại lệ.
Mẹo nhớ: Cộng rồi chia n.
Sai lầm: Quên tần số hoặc chia sai n.
Ghi chú: Nhạy với giá trị ngoại lệ.
Trung vị
Hiểu đơn giản: Giá trị đứng giữa sau khi sắp xếp.
n lẻ lấy một số giữa; n chẵn lấy trung bình hai số giữa.
Ví dụ: 1,3,9 có Me=3.
Hình nên dùng: Dãy số đã xếp.
Mô phỏng: Thêm một giá trị cực lớn.
Mẹo nhớ: Sắp trước, giữa sau.
Sai lầm: Không sắp dữ liệu.
Ghi chú: Bền vững trước ngoại lệ.
Tứ phân vị
Hiểu đơn giản: Ba mốc chia dữ liệu đã sắp thành bốn phần.
Q2 là trung vị; Q1, Q3 là trung vị hai nửa theo quy ước.
Ví dụ: 1…8 cho Q1=2,5; Q2=4,5; Q3=6,5.
Hình nên dùng: Biểu đồ hộp.
Mô phỏng: Kéo các điểm dữ liệu.
Mẹo nhớ: Ba nhát cắt, bốn phần.
Sai lầm: Tính khi chưa sắp.
Ghi chú: Nêu rõ quy ước khi số phần tử lẻ.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB DỮ LIỆU
Đo độ phân tán của mẫu
Nhập các số cách nhau bởi dấu phẩy; thử thêm một giá trị ngoại lệ để quan sát thay đổi.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Quy tròn 1256.56 đến hàng chục.
Phân tích: Quy tròn đến hàng chục tạo sai số không vượt quá 5 đơn vị.
Hướng làm: Xét chữ số hàng đơn vị.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Xét chữ số hàng đơn vị.
- Bước 3: Hàng đơn vị là 6; quy tròn được 1260.
Vì sao: Quy tròn đến hàng chục tạo sai số không vượt quá 5 đơn vị.
Cách khác: Chọn bội của 10 gần số đã cho nhất.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 1260. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Với mẫu đã sắp 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, tìm Q1, Q2, Q3.
Phân tích: Bộ tứ phân vị chia mẫu đã sắp thành bốn phần theo vị trí.
Hướng làm: Q2 là trung vị; Q1 và Q3 là trung vị của hai nửa.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Q2 là trung vị; Q1 và Q3 là trung vị của hai nửa.
- Bước 3: Q1 = 4.5, Q2 = 6.5, Q3 = 8.5.
Vì sao: Bộ tứ phân vị chia mẫu đã sắp thành bốn phần theo vị trí.
Cách khác: Đánh dấu ba điểm cắt trên hàng tám quan sát.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Q1=4.5; Q2=6.5; Q3=8.5. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Hai mẫu A = 5,5,5,5 và B = 2,4,6,8 có cùng số trung bình 5. Mẫu nào ổn định hơn?
Phân tích: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Hướng làm: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
- Bước 3: Mẫu A ổn định hơn vì mọi giá trị đều bằng 5 nên phương sai bằng 0; mẫu B có phương sai dương.
Vì sao: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Cách khác: So sánh khoảng biến thiên: A bằng 0, B bằng 6.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Mẫu A. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Giá trị đúng là 41, số gần đúng là 40.8. Tính sai số tuyệt đối.
Phân tích: Sai số tuyệt đối luôn không âm và cùng đơn vị với đại lượng đo.
Hướng làm: Lấy trị tuyệt đối của hiệu số gần đúng và số đúng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Lấy trị tuyệt đối của hiệu số gần đúng và số đúng.
- Bước 3: Δ = |40.8−41| = 0.2.
Vì sao: Sai số tuyệt đối luôn không âm và cùng đơn vị với đại lượng đo.
Cách khác: Biểu diễn hai số trên trục số rồi đo khoảng cách.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 0.2. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Tìm trung vị của mẫu 6, 8, 9, 12, 15.
Phân tích: Trung vị chia số quan sát thành hai nửa về vị trí.
Hướng làm: Dữ liệu đã tăng dần; chọn giá trị ở giữa.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dữ liệu đã tăng dần; chọn giá trị ở giữa.
- Bước 3: Mẫu có 5 giá trị nên trung vị là giá trị thứ 3: 9.
Vì sao: Trung vị chia số quan sát thành hai nửa về vị trí.
Cách khác: Gạch dần một số nhỏ nhất và một số lớn nhất.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 9. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Tính phương sai của mẫu 1, 3, 5 theo công thức chia cho n.
Phân tích: Bình phương làm các độ lệch âm và dương đều đóng góp dương.
Hướng làm: Tính số trung bình, bình phương từng độ lệch rồi lấy trung bình.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Tính số trung bình, bình phương từng độ lệch rồi lấy trung bình.
- Bước 3: x̄ = 3; s² = [(-2)²+0²+2²]/3 = 2.6667.
Vì sao: Bình phương làm các độ lệch âm và dương đều đóng góp dương.
Cách khác: Dùng công thức s² = trung bình của x² trừ bình phương trung bình.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 2.6667. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Một số được quy tròn với độ chính xác d = 0.05. Xác định hàng quy tròn phù hợp.
Phân tích: Liên hệ d với nửa bước giữa hai số làm tròn liên tiếp.
Hướng làm: Độ chính xác bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Độ chính xác bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn.
- Bước 3: Vì 0.05 là nửa đơn vị của hàng phần mười, số được quy tròn đến hàng phần mười.
Vì sao: Liên hệ d với nửa bước giữa hai số làm tròn liên tiếp.
Cách khác: Nhân d với 2 để tìm đơn vị hàng quy tròn.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: hàng phần mười. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Mẫu 6, 7, 7, 8, 31 có một giá trị ngoại lệ lớn. Nên dùng số trung bình hay trung vị để mô tả mức điển hình?
Phân tích: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Hướng làm: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
- Bước 3: Nên ưu tiên trung vị 7 vì số trung bình 11.8 bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ.
Vì sao: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Cách khác: Báo cáo cả trung vị và số trung bình rồi giải thích chênh lệch.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Trung vị. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Tính khoảng biến thiên của mẫu 2, 4, 9, 11.
Phân tích: Khoảng biến thiên chỉ dùng hai đầu mút của dữ liệu.
Hướng làm: Lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.
- Bước 3: R = 11 − 2 = 9.
Vì sao: Khoảng biến thiên chỉ dùng hai đầu mút của dữ liệu.
Cách khác: Đọc chiều dài đoạn phủ dữ liệu trên trục số.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 9. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Một phép đo cho 31 thay vì giá trị đúng 32. Tính sai số tương đối theo phần trăm.
Phân tích: Sai số tương đối cho biết mức sai lớn hay nhỏ so với quy mô đại lượng.
Hướng làm: Chia sai số tuyệt đối cho độ lớn giá trị đúng rồi nhân 100%.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Chia sai số tuyệt đối cho độ lớn giá trị đúng rồi nhân 100%.
- Bước 3: δ = 1/32·100% ≈ 3.125%.
Vì sao: Sai số tương đối cho biết mức sai lớn hay nhỏ so với quy mô đại lượng.
Cách khác: Nếu chỉ biết số gần đúng, có thể ước lượng bằng Δ/|a| theo quy ước của bài.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 3.125%. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Đo và so sánh
Bài tập cuối Chương 5 giúp kiểm tra các phép đo, ước lượng và quyết định trong gia đình có căn cứ.
Dự án học tập
Học sinh thu thập dữ kiện, chọn mô hình bài tập cuối chương 5 và trình bày cách tự kiểm.
Đọc con số đúng nghĩa
Không chỉ tính ra số; phải hiểu đơn vị, độ tin cậy và giới hạn sử dụng.
Mô hình hóa
Đại lượng được biểu diễn bằng quan hệ toán học có điều kiện và có phép kiểm độc lập.
Thiết kế an toàn
Kĩ sư dùng công thức, hướng và sai số để tránh kết luận vượt quá dữ kiện.
Kiểm soát chất lượng
So sánh kết quả đo hoặc dữ liệu giúp phát hiện độ lệch và điều chỉnh quy trình.
Quan sát khó đo trực tiếp
Khoảng cách, phương hướng và số liệu tự nhiên có thể được suy ra từ mô hình phù hợp.
Năng lực phân tích
Kiến trúc, dữ liệu, logistics, khảo sát và công nghệ đều cần suy luận định lượng chặt chẽ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Số gần đúng dùng khi nào?
Kết quả đo hoặc làm tròn thay cho giá trị đúng chưa biết hoàn toàn. Dấu hiệu nhận biết: Đo là gần đúng.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Coi mọi chữ số hiển thị đều chắc chắn.
Quay lại Số gần đúng: a là số gần đúng của số đúng A. Tự kiểm bằng Chiều dài đo được 12,4 cm.
2. Nhận sai số âm.
Quay lại Sai số tuyệt đối: Δa=|a−A|; thường biết Δa≤d. Tự kiểm bằng A=10,a=9,8 ⇒ Δa=0,2.
3. Quên nhân 100% khi đổi phần trăm.
Quay lại Sai số tương đối: δa=Δa/|A|, thường viết phần trăm. Tự kiểm bằng Sai 1 trên 100 là 1%.
4. Xét sai chữ số.
Quay lại Quy tròn: Quy tròn đến đơn vị hàng h có sai số không vượt quá h/2. Tự kiểm bằng 12,46 đến phần mười là 12,5.
5. Chỉ viết cận trên.
Quay lại Độ chính xác và chữ số chắc: A∈[a−d;a+d] khi |A−a|≤d. Tự kiểm bằng a=20,d=0,5 ⇒ A∈[19,5;20,5].
6. Quên tần số hoặc chia sai n.
Quay lại Số trung bình: x̄=(x1+…+xn)/n. Tự kiểm bằng 2,4,6 có x̄=4.
7. Không sắp dữ liệu.
Quay lại Trung vị: n lẻ lấy một số giữa; n chẵn lấy trung bình hai số giữa. Tự kiểm bằng 1,3,9 có Me=3.
8. Tính khi chưa sắp.
Quay lại Tứ phân vị: Q2 là trung vị; Q1, Q3 là trung vị hai nửa theo quy ước. Tự kiểm bằng 1…8 cho Q1=2,5; Q2=4,5; Q3=6,5.
9. Coi mọi chữ số hiển thị đều chắc chắn.
Quay lại Số gần đúng: a là số gần đúng của số đúng A. Tự kiểm bằng Chiều dài đo được 12,4 cm.
10. Nhận sai số âm.
Quay lại Sai số tuyệt đối: Δa=|a−A|; thường biết Δa≤d. Tự kiểm bằng A=10,a=9,8 ⇒ Δa=0,2.
11. Quên nhân 100% khi đổi phần trăm.
Quay lại Sai số tương đối: δa=Δa/|A|, thường viết phần trăm. Tự kiểm bằng Sai 1 trên 100 là 1%.
12. Xét sai chữ số.
Quay lại Quy tròn: Quy tròn đến đơn vị hàng h có sai số không vượt quá h/2. Tự kiểm bằng 12,46 đến phần mười là 12,5.
13. Chỉ viết cận trên.
Quay lại Độ chính xác và chữ số chắc: A∈[a−d;a+d] khi |A−a|≤d. Tự kiểm bằng a=20,d=0,5 ⇒ A∈[19,5;20,5].
14. Quên tần số hoặc chia sai n.
Quay lại Số trung bình: x̄=(x1+…+xn)/n. Tự kiểm bằng 2,4,6 có x̄=4.
15. Không sắp dữ liệu.
Quay lại Trung vị: n lẻ lấy một số giữa; n chẵn lấy trung bình hai số giữa. Tự kiểm bằng 1,3,9 có Me=3.
16. Tính khi chưa sắp.
Quay lại Tứ phân vị: Q2 là trung vị; Q1, Q3 là trung vị hai nửa theo quy ước. Tự kiểm bằng 1…8 cho Q1=2,5; Q2=4,5; Q3=6,5.
17. Coi mọi chữ số hiển thị đều chắc chắn.
Quay lại Số gần đúng: a là số gần đúng của số đúng A. Tự kiểm bằng Chiều dài đo được 12,4 cm.
18. Nhận sai số âm.
Quay lại Sai số tuyệt đối: Δa=|a−A|; thường biết Δa≤d. Tự kiểm bằng A=10,a=9,8 ⇒ Δa=0,2.
19. Quên nhân 100% khi đổi phần trăm.
Quay lại Sai số tương đối: δa=Δa/|A|, thường viết phần trăm. Tự kiểm bằng Sai 1 trên 100 là 1%.
20. Xét sai chữ số.
Quay lại Quy tròn: Quy tròn đến đơn vị hàng h có sai số không vượt quá h/2. Tự kiểm bằng 12,46 đến phần mười là 12,5.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Dự đoán trước
Ước lượng dấu, độ lớn hoặc vị trí kết quả trước khi bấm máy.
Một công thức–một điều kiện
Viết cạnh–góc tương ứng, hướng vectơ, đơn vị hoặc giả thiết dữ liệu ngay cạnh công thức.
Hai đường kiểm
Kiểm bằng công thức khác, trường hợp đặc biệt, hình vẽ hoặc thế ngược.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi câu sai, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Flashcard sau một ngày, bài ngắn sau ba ngày, đề trộn sau bảy ngày.
Nói thành lời
Nếu giải thích được cho người khác trong hai phút, em mới thực sự hiểu.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Bài tập cuối Chương 51 2 3 4 5 6 7 8
Số gần đúngĐo là gần đúng.
Sai số tuyệt đốiHiệu lấy trị tuyệt đối.
Sai số tương đốiSai chia quy mô.
Quy tròn0–4 giữ, 5–9 tăng.
Độ chính xác và chữ số chắcTâm a, bán kính d.
Số trung bìnhCộng rồi chia n.
Trung vịSắp trước, giữa sau.
Tứ phân vịBa nhát cắt, bốn phần.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
T10-C5-NB-01Cho u⃗ = (-1;-4). Tính 2u⃗.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
Lời giải: 2u⃗ = (-2;-8).
Vì sao: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Sai ở đâu: Chỉ nhân một thành phần.
Cách khác: Cộng u⃗ với chính nó k lần.
T10-C5-NB-02Kiểm tra u⃗ = (0;0) và w⃗ = (0;0) có vuông góc không.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Lời giải: u⃗·w⃗ = 0·(0) + 0·0 = 0, nên u⃗ là vectơ-không nên không kết luận góc.
Vì sao: Phép quay 90° biến (x;y) thành (−y;x).
Sai ở đâu: Chỉ nhìn hình thức tọa độ mà không kiểm trường hợp vectơ-không.
Cách khác: So sánh hệ số góc khi cả hai đường biểu diễn đều xác định.
T10-C5-NB-03Ôn phần trăm: Tính 20% của 200.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đổi phần trăm thành phân số trên 100.
Lời giải: 20%·200 = 0.2·200 = 40.
Vì sao: Phần trăm là nền để đọc sai số tương đối và tỉ lệ dữ liệu.
Sai ở đâu: Nhân trực tiếp với p mà quên chia 100.
Cách khác: Tính 1% của 200 rồi nhân p.
T10-C5-NB-04Quy tròn 1256.56 đến hàng chục.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xét chữ số hàng đơn vị.
Lời giải: Hàng đơn vị là 6; quy tròn được 1260.
Vì sao: Quy tròn đến hàng chục tạo sai số không vượt quá 5 đơn vị.
Sai ở đâu: Xét chữ số hàng phần mười thay vì hàng đơn vị.
Cách khác: Chọn bội của 10 gần số đã cho nhất.
T10-C5-NB-05Với mẫu đã sắp 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, tìm Q1, Q2, Q3.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Q2 là trung vị; Q1 và Q3 là trung vị của hai nửa.
Lời giải: Q1 = 4.5, Q2 = 6.5, Q3 = 8.5.
Vì sao: Bộ tứ phân vị chia mẫu đã sắp thành bốn phần theo vị trí.
Sai ở đâu: Tính tứ phân vị khi chưa sắp dữ liệu hoặc đưa Q2 vào cả hai nửa sai quy ước.
Cách khác: Đánh dấu ba điểm cắt trên hàng tám quan sát.
T10-C5-NB-06Hai mẫu A = 5,5,5,5 và B = 2,4,6,8 có cùng số trung bình 5. Mẫu nào ổn định hơn?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
Lời giải: Mẫu A ổn định hơn vì mọi giá trị đều bằng 5 nên phương sai bằng 0; mẫu B có phương sai dương.
Vì sao: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Sai ở đâu: Kết luận hai mẫu giống nhau vì có cùng số trung bình.
Cách khác: So sánh khoảng biến thiên: A bằng 0, B bằng 6.
T10-C5-NB-07Giá trị đúng là 41, số gần đúng là 40.8. Tính sai số tuyệt đối.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy trị tuyệt đối của hiệu số gần đúng và số đúng.
Lời giải: Δ = |40.8−41| = 0.2.
Vì sao: Sai số tuyệt đối luôn không âm và cùng đơn vị với đại lượng đo.
Sai ở đâu: Bỏ dấu trị tuyệt đối nên nhận sai số âm.
Cách khác: Biểu diễn hai số trên trục số rồi đo khoảng cách.
T10-C5-NB-08Tìm trung vị của mẫu 6, 8, 9, 12, 15.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dữ liệu đã tăng dần; chọn giá trị ở giữa.
Lời giải: Mẫu có 5 giá trị nên trung vị là giá trị thứ 3: 9.
Vì sao: Trung vị chia số quan sát thành hai nửa về vị trí.
Sai ở đâu: Lấy trung bình của hai số giữa dù số phần tử là lẻ.
Cách khác: Gạch dần một số nhỏ nhất và một số lớn nhất.
T10-C5-NB-09Tính phương sai của mẫu 1, 3, 5 theo công thức chia cho n.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính số trung bình, bình phương từng độ lệch rồi lấy trung bình.
Lời giải: x̄ = 3; s² = [(-2)²+0²+2²]/3 = 2.6667.
Vì sao: Bình phương làm các độ lệch âm và dương đều đóng góp dương.
Sai ở đâu: Cộng độ lệch trực tiếp nên luôn được 0 hoặc chia cho n−1 không theo công thức bài học.
Cách khác: Dùng công thức s² = trung bình của x² trừ bình phương trung bình.
T10-C5-NB-10Một số được quy tròn với độ chính xác d = 0.05. Xác định hàng quy tròn phù hợp.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Độ chính xác bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn.
Lời giải: Vì 0.05 là nửa đơn vị của hàng phần mười, số được quy tròn đến hàng phần mười.
Vì sao: Liên hệ d với nửa bước giữa hai số làm tròn liên tiếp.
Sai ở đâu: Đồng nhất d với chính đơn vị hàng quy tròn.
Cách khác: Nhân d với 2 để tìm đơn vị hàng quy tròn.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Cho u⃗ = (-1;-4). Tính 2u⃗.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Cho u⃗ = (-1;-4). Tính 2u⃗.
Gợi ý: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
Lời giải: 2u⃗ = (-2;-8).
Giải thích: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Lỗi cần tránh: Chỉ nhân một thành phần.
Cách khác: Cộng u⃗ với chính nó k lần.
TỰ LUẬN 2Hai mẫu A = 5,5,5,5 và B = 2,4,6,8 có cùng số trung bình 5. Mẫu nào ổn định hơn?
Gợi ý: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
Lời giải: Mẫu A ổn định hơn vì mọi giá trị đều bằng 5 nên phương sai bằng 0; mẫu B có phương sai dương.
Giải thích: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Lỗi cần tránh: Kết luận hai mẫu giống nhau vì có cùng số trung bình.
Cách khác: So sánh khoảng biến thiên: A bằng 0, B bằng 6.
TỰ LUẬN 3Mẫu 6, 7, 7, 8, 31 có một giá trị ngoại lệ lớn. Nên dùng số trung bình hay trung vị để mô tả mức điển hình?
Gợi ý: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
Lời giải: Nên ưu tiên trung vị 7 vì số trung bình 11.8 bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ.
Giải thích: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Lỗi cần tránh: Luôn chọn số trung bình vì công thức quen thuộc.
Cách khác: Báo cáo cả trung vị và số trung bình rồi giải thích chênh lệch.
TỰ LUẬN 4Biết số gần đúng a = 41.5 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0.5. Khoanh miền của giá trị đúng.
Gợi ý: Giá trị đúng nằm cách a không quá sai số cho phép.
Lời giải: |A−41.5| ≤ 0.5 ⇔ 41 ≤ A ≤ 42.
Giải thích: Khoảng sai số giúp đọc mọi giá trị đúng có thể xảy ra.
Lỗi cần tránh: Chỉ cộng sai số mà quên cận dưới.
Cách khác: Biểu diễn đoạn tâm a, bán kính bằng sai số trên trục số.
TỰ LUẬN 5Cho u⃗ = (2;2), v⃗ = (4;3). Tính u⃗ + v⃗.
Gợi ý: Cộng các thành phần cùng vị trí.
Lời giải: u⃗ + v⃗ = (6;5).
Giải thích: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Lỗi cần tránh: Cộng chéo hoành độ với tung độ.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
TỰ LUẬN 6Mẫu 7, 8, 8, 9, 32 có một giá trị ngoại lệ lớn. Nên dùng số trung bình hay trung vị để mô tả mức điển hình?
Gợi ý: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
Lời giải: Nên ưu tiên trung vị 8 vì số trung bình 12.8 bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ.
Giải thích: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Lỗi cần tránh: Luôn chọn số trung bình vì công thức quen thuộc.
Cách khác: Báo cáo cả trung vị và số trung bình rồi giải thích chênh lệch.
TỰ LUẬN 7Biết số gần đúng a = 31.8 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0.2. Khoanh miền của giá trị đúng.
Gợi ý: Giá trị đúng nằm cách a không quá sai số cho phép.
Lời giải: |A−31.8| ≤ 0.2 ⇔ 31.6 ≤ A ≤ 32.
Giải thích: Khoảng sai số giúp đọc mọi giá trị đúng có thể xảy ra.
Lỗi cần tránh: Chỉ cộng sai số mà quên cận dưới.
Cách khác: Biểu diễn đoạn tâm a, bán kính bằng sai số trên trục số.
TỰ LUẬN 8Hai mẫu A = 5,5,5,5 và B = 2,4,6,8 có cùng số trung bình 5. Mẫu nào ổn định hơn?
Gợi ý: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
Lời giải: Mẫu A ổn định hơn vì mọi giá trị đều bằng 5 nên phương sai bằng 0; mẫu B có phương sai dương.
Giải thích: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Lỗi cần tránh: Kết luận hai mẫu giống nhau vì có cùng số trung bình.
Cách khác: So sánh khoảng biến thiên: A bằng 0, B bằng 6.
TỰ LUẬN 9Cho A(-2;-1), B(3;-2). Tìm tọa độ AB⃗.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗ = (3−(-2); -2−(-1)) = (5;-1).
Giải thích: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Lỗi cần tránh: Lấy A−B hoặc chỉ đổi dấu một thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
TỰ LUẬN 10Biết số gần đúng a = 23.1 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0.1. Khoanh miền của giá trị đúng.
Gợi ý: Giá trị đúng nằm cách a không quá sai số cho phép.
Lời giải: |A−23.1| ≤ 0.1 ⇔ 23 ≤ A ≤ 23.2.
Giải thích: Khoảng sai số giúp đọc mọi giá trị đúng có thể xảy ra.
Lỗi cần tránh: Chỉ cộng sai số mà quên cận dưới.
Cách khác: Biểu diễn đoạn tâm a, bán kính bằng sai số trên trục số.
TỰ LUẬN 11Hai mẫu A = 5,5,5,5 và B = 2,4,6,8 có cùng số trung bình 5. Mẫu nào ổn định hơn?
Gợi ý: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
Lời giải: Mẫu A ổn định hơn vì mọi giá trị đều bằng 5 nên phương sai bằng 0; mẫu B có phương sai dương.
Giải thích: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Lỗi cần tránh: Kết luận hai mẫu giống nhau vì có cùng số trung bình.
Cách khác: So sánh khoảng biến thiên: A bằng 0, B bằng 6.
TỰ LUẬN 12Mẫu 9, 10, 10, 11, 34 có một giá trị ngoại lệ lớn. Nên dùng số trung bình hay trung vị để mô tả mức điển hình?
Gợi ý: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
Lời giải: Nên ưu tiên trung vị 10 vì số trung bình 14.8 bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ.
Giải thích: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Lỗi cần tránh: Luôn chọn số trung bình vì công thức quen thuộc.
Cách khác: Báo cáo cả trung vị và số trung bình rồi giải thích chênh lệch.
TỰ LUẬN 13Hai vectơ u⃗ = (1;-4), v⃗ = (5;-2) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm định thức x₁y₂ − y₁x₂.
Lời giải: 1·-2 − -4·5 = 18; vì khác 0 nên hai vectơ không cùng phương.
Giải thích: Điều kiện định thức tránh phải chia cho thành phần có thể bằng 0.
Lỗi cần tránh: Lập tỉ số và chia cho 0 hoặc so sánh nhầm hai thành phần.
Cách khác: Tìm k từ một thành phần rồi kiểm thành phần còn lại.
TỰ LUẬN 14Hai mẫu A = 5,5,5,5 và B = 2,4,6,8 có cùng số trung bình 5. Mẫu nào ổn định hơn?
Gợi ý: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
Lời giải: Mẫu A ổn định hơn vì mọi giá trị đều bằng 5 nên phương sai bằng 0; mẫu B có phương sai dương.
Giải thích: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Lỗi cần tránh: Kết luận hai mẫu giống nhau vì có cùng số trung bình.
Cách khác: So sánh khoảng biến thiên: A bằng 0, B bằng 6.
TỰ LUẬN 15Mẫu 10, 11, 11, 12, 35 có một giá trị ngoại lệ lớn. Nên dùng số trung bình hay trung vị để mô tả mức điển hình?
Gợi ý: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
Lời giải: Nên ưu tiên trung vị 11 vì số trung bình 15.8 bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ.
Giải thích: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Lỗi cần tránh: Luôn chọn số trung bình vì công thức quen thuộc.
Cách khác: Báo cáo cả trung vị và số trung bình rồi giải thích chênh lệch.
TỰ LUẬN 16Biết số gần đúng a = 32.5 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0.5. Khoanh miền của giá trị đúng.
Gợi ý: Giá trị đúng nằm cách a không quá sai số cho phép.
Lời giải: |A−32.5| ≤ 0.5 ⇔ 32 ≤ A ≤ 33.
Giải thích: Khoảng sai số giúp đọc mọi giá trị đúng có thể xảy ra.
Lỗi cần tránh: Chỉ cộng sai số mà quên cận dưới.
Cách khác: Biểu diễn đoạn tâm a, bán kính bằng sai số trên trục số.
TỰ LUẬN 17Tìm trung điểm M của A(-3;2) và B(0;2).
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng tọa độ.
Lời giải: M((-3+0)/2; (2+2)/2) = M(-1.5;2).
Giải thích: Trung điểm chia đều cả độ dời ngang và dọc.
Lỗi cần tránh: Cộng hai tọa độ nhưng quên chia 2.
Cách khác: Giải điều kiện AM⃗ = MB⃗.
TỰ LUẬN 18Mẫu 11, 12, 12, 13, 36 có một giá trị ngoại lệ lớn. Nên dùng số trung bình hay trung vị để mô tả mức điển hình?
Gợi ý: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
Lời giải: Nên ưu tiên trung vị 12 vì số trung bình 16.8 bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ.
Giải thích: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Lỗi cần tránh: Luôn chọn số trung bình vì công thức quen thuộc.
Cách khác: Báo cáo cả trung vị và số trung bình rồi giải thích chênh lệch.
TỰ LUẬN 19Biết số gần đúng a = 22.8 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0.2. Khoanh miền của giá trị đúng.
Gợi ý: Giá trị đúng nằm cách a không quá sai số cho phép.
Lời giải: |A−22.8| ≤ 0.2 ⇔ 22.6 ≤ A ≤ 23.
Giải thích: Khoảng sai số giúp đọc mọi giá trị đúng có thể xảy ra.
Lỗi cần tránh: Chỉ cộng sai số mà quên cận dưới.
Cách khác: Biểu diễn đoạn tâm a, bán kính bằng sai số trên trục số.
TỰ LUẬN 20Hai mẫu A = 5,5,5,5 và B = 2,4,6,8 có cùng số trung bình 5. Mẫu nào ổn định hơn?
Gợi ý: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
Lời giải: Mẫu A ổn định hơn vì mọi giá trị đều bằng 5 nên phương sai bằng 0; mẫu B có phương sai dương.
Giải thích: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Lỗi cần tránh: Kết luận hai mẫu giống nhau vì có cùng số trung bình.
Cách khác: So sánh khoảng biến thiên: A bằng 0, B bằng 6.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-C5-NB-01, T10-C5-NB-02, T10-C5-NB-03, T10-C5-NB-04, T10-C5-NB-05, T10-C5-NB-06, T10-C5-NB-07, T10-C5-NB-08, T10-C5-NB-09, T10-C5-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C5-NB-01: (-2;-8)
- T10-C5-NB-02: Không kết luận góc
- T10-C5-NB-03: 40
- T10-C5-NB-04: 1260
- T10-C5-NB-05: Q1=4.5; Q2=6.5; Q3=8.5
- T10-C5-NB-06: Mẫu A
- T10-C5-NB-07: 0.2
- T10-C5-NB-08: 9
- T10-C5-NB-09: 2.6667
- T10-C5-NB-10: hàng phần mười
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 5
10 câu đại diện: T10-C5-NB-11, T10-C5-NB-12, T10-C5-NB-13, T10-C5-NB-14, T10-C5-NB-15, T10-C5-NB-16, T10-C5-NB-17, T10-C5-NB-18, T10-C5-NB-19, T10-C5-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C5-NB-11: Trung vị
- T10-C5-NB-12: 9
- T10-C5-NB-13: 3.125%
- T10-C5-NB-14: 9
- T10-C5-NB-15: √(2/3) ≈ 0.816
- T10-C5-NB-16: [41; 42]
- T10-C5-NB-17: 5
- T10-C5-NB-18: 4
- T10-C5-NB-19: 1270
- T10-C5-NB-20: Q1=5.5; Q2=7.5; Q3=9.5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-C5-TH-01, T10-C5-TH-02, T10-C5-TH-03, T10-C5-TH-04, T10-C5-TH-05, T10-C5-TH-06, T10-C5-TH-07, T10-C5-TH-08, T10-C5-TH-09, T10-C5-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C5-TH-01: (6;5)
- T10-C5-TH-02: -2
- T10-C5-TH-03: 20
- T10-C5-TH-04: 2.6667
- T10-C5-TH-05: hàng phần mười
- T10-C5-TH-06: Trung vị
- T10-C5-TH-07: 9
- T10-C5-TH-08: 2.174%
- T10-C5-TH-09: 10
- T10-C5-TH-10: √(2/3) ≈ 0.816
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-C5-TH-11, T10-C5-TH-12, T10-C5-TH-13, T10-C5-TH-14, T10-C5-TH-15, T10-C5-TH-16, T10-C5-TH-17, T10-C5-TH-18, T10-C5-TH-19, T10-C5-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C5-TH-11: [31.6; 32]
- T10-C5-TH-12: 6
- T10-C5-TH-13: 4
- T10-C5-TH-14: 1290
- T10-C5-TH-15: Q1=6.5; Q2=8.5; Q3=10.5
- T10-C5-TH-16: Mẫu A
- T10-C5-TH-17: 1
- T10-C5-TH-18: 4
- T10-C5-TH-19: 2.6667
- T10-C5-TH-20: hàng phần mười
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-C5-VD-01, T10-C5-VD-02, T10-C5-VD-03, T10-C5-VD-04, T10-C5-VD-05, T10-C5-VD-06, T10-C5-VD-07, T10-C5-VD-08, T10-C5-VD-09, T10-C5-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C5-VD-01: (5;-1)
- T10-C5-VD-02: 5
- T10-C5-VD-03: 50
- T10-C5-VD-04: 11
- T10-C5-VD-05: √(2/3) ≈ 0.816
- T10-C5-VD-06: [23; 23.2]
- T10-C5-VD-07: 7
- T10-C5-VD-08: 4
- T10-C5-VD-09: 1300
- T10-C5-VD-10: Q1=7.5; Q2=9.5; Q3=11.5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 45–60 phút; ưu tiên con nói được vì sao chọn công thức trước khi bấm máy.
- Nếu con sai, hỏi con dữ kiện nào chưa dùng và điều kiện nào bị bỏ quên.
- Cho con làm lại một câu tương tự sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày.
- Không so tốc độ với bạn; theo dõi loại lỗi giảm dần trong sổ lỗi.
- Chỉ chuyển bài khi đạt ít nhất 80% và giải thích được ba câu sai gần nhất.
- Mở bài bằng một tình huống có dữ kiện thừa hoặc thiếu để học sinh tập chọn mô hình.
- Yêu cầu học sinh dự đoán dấu, độ lớn hoặc hình dạng kết quả trước khi tính.
- Tách lỗi khái niệm, lỗi điều kiện, lỗi biến đổi và lỗi máy tính.
- Dùng câu hỏi ngược: nếu đổi dữ kiện thì kết quả biến đổi theo hướng nào?
- Đề Hà Nội trên website là đề nội bộ tham khảo cấu trúc, không phải đề chính thức của Sở.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.