Nhìn cấu trúc trước
Học các số đặc trưng đo độ phân tán bằng quan hệ và hình ảnh, không thuộc công thức rời rạc.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- R=max−min, nhạy với ngoại lệ.
- ΔQ=Q3−Q1 mô tả 50% dữ liệu giữa.
- Phương sai là trung bình bình phương độ lệch.
Bài 14. Các số đặc trưng đo độ phân tán
Đo độ dao động của dữ liệu bằng khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh độ ổn định công bằng.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi bài bắt đầu bằng dữ kiện đã có, điều cần tìm và điều kiện áp dụng.
Gắn với thực tiễn
Ví dụ đo đạc, chuyển động, dữ liệu và ra quyết định giúp thấy ý nghĩa của kết quả.
Không phụ thuộc đáp án
Mỗi lời giải có phép kiểm bằng định nghĩa, công thức khác, hình hoặc ước lượng.
- Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.
- Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
- So sánh độ ổn định hai mẫu.
- Chọn số đo ít nhạy ngoại lệ khi cần.
- Số trung bình và tứ phân vị.
- Bình phương và căn bậc hai.
- Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
- Ý nghĩa của ngoại lệ.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Khoảng biến thiên
Hiểu đơn giản: Khoảng cách từ nhỏ nhất đến lớn nhất.
R=xmax−xmin.
Ví dụ: 2,4,9 có R=7.
Hình nên dùng: Đoạn phủ dữ liệu.
Mô phỏng: Kéo hai đầu mút.
Mẹo nhớ: Max trừ min.
Sai lầm: Nhầm với số phần tử.
Ghi chú: R rất nhạy với ngoại lệ.
Khoảng tứ phân vị
Hiểu đơn giản: Độ rộng của 50% dữ liệu ở giữa.
ΔQ=Q3−Q1.
Ví dụ: Q1=3,Q3=8 ⇒ ΔQ=5.
Hình nên dùng: Chiều dài hộp.
Mô phỏng: Kéo ngoại lệ ngoài hộp.
Mẹo nhớ: Q3 trừ Q1.
Sai lầm: Cộng hai tứ phân vị.
Ghi chú: Ít nhạy với ngoại lệ hơn R.
Phương sai
Hiểu đơn giản: Trung bình các bình phương độ lệch so với số trung bình.
s²=[Σ(xi−x̄)²]/n.
Ví dụ: −1,0,1 có s²=2/3.
Hình nên dùng: Khoảng cách tới tâm.
Mô phỏng: Kéo một điểm xa trung bình.
Mẹo nhớ: Lệch–bình phương–lấy trung bình.
Sai lầm: Cộng độ lệch không bình phương.
Ghi chú: Đơn vị bị bình phương.
Độ lệch chuẩn
Hiểu đơn giản: Căn phương sai, nên trở lại đơn vị ban đầu.
s=√s².
Ví dụ: s²=4 ⇒ s=2.
Hình nên dùng: Vùng quanh trung bình.
Mô phỏng: So hai mẫu cùng trung bình.
Mẹo nhớ: Chuẩn = căn phương sai.
Sai lầm: Dừng ở s².
Ghi chú: s càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung.
So sánh độ ổn định
Hiểu đơn giản: Cùng quy mô, mẫu có số đo phân tán nhỏ hơn ổn định hơn.
So R, ΔQ, s² hoặc s theo mục tiêu và độ nhạy với ngoại lệ.
Ví dụ: Hai lớp cùng điểm trung bình nhưng lớp có s nhỏ hơn đồng đều hơn.
Hình nên dùng: Hai dải dữ liệu rộng–hẹp.
Mô phỏng: Giữ trung bình, đổi độ lệch.
Mẹo nhớ: Cùng tâm chưa chắc cùng độ rộng.
Sai lầm: Chỉ so trung bình.
Ghi chú: Nêu rõ số đo đã dùng.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB DỮ LIỆU
Đo độ phân tán của mẫu
Nhập các số cách nhau bởi dấu phẩy; thử thêm một giá trị ngoại lệ để quan sát thay đổi.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Tính khoảng biến thiên của mẫu 2, 4, 9, 11.
Phân tích: Khoảng biến thiên chỉ dùng hai đầu mút của dữ liệu.
Hướng làm: Lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.
- Bước 3: R = 11 − 2 = 9.
Vì sao: Khoảng biến thiên chỉ dùng hai đầu mút của dữ liệu.
Cách khác: Đọc chiều dài đoạn phủ dữ liệu trên trục số.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 9. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Tính khoảng tứ phân vị của mẫu 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Phân tích: Khoảng tứ phân vị mô tả độ rộng của 50% dữ liệu ở giữa.
Hướng làm: Tìm Q1, Q3 rồi lấy Q3−Q1.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Tìm Q1, Q3 rồi lấy Q3−Q1.
- Bước 3: Q1 = 3.5, Q3 = 7.5; ΔQ = 7.5−3.5 = 4.
Vì sao: Khoảng tứ phân vị mô tả độ rộng của 50% dữ liệu ở giữa.
Cách khác: Dùng hộp của biểu đồ hộp: chiều dài hộp chính là ΔQ.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 4. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Tính phương sai của mẫu 0, 2, 4 theo công thức chia cho n.
Phân tích: Bình phương làm các độ lệch âm và dương đều đóng góp dương.
Hướng làm: Tính số trung bình, bình phương từng độ lệch rồi lấy trung bình.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Tính số trung bình, bình phương từng độ lệch rồi lấy trung bình.
- Bước 3: x̄ = 2; s² = [(-2)²+0²+2²]/3 = 8/3 ≈ 2.6667.
Vì sao: Bình phương làm các độ lệch âm và dương đều đóng góp dương.
Cách khác: Dùng công thức s² = trung bình của x² trừ bình phương trung bình.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 8/3. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Tính độ lệch chuẩn của mẫu 2, 3, 4.
Phân tích: Độ lệch chuẩn trở lại cùng đơn vị với dữ liệu ban đầu.
Hướng làm: Tính phương sai rồi lấy căn bậc hai.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Tính phương sai rồi lấy căn bậc hai.
- Bước 3: s² = 2/3 nên s = √(2/3) ≈ 0.816.
Vì sao: Độ lệch chuẩn trở lại cùng đơn vị với dữ liệu ban đầu.
Cách khác: Dùng máy tính sau khi đã ghi đúng biểu thức phương sai.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: √(2/3) ≈ 0.816. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Hai mẫu A = 5,5,5,5 và B = 2,4,6,8 có cùng số trung bình 5. Mẫu nào ổn định hơn?
Phân tích: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Hướng làm: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
- Bước 3: Mẫu A ổn định hơn vì mọi giá trị đều bằng 5 nên phương sai bằng 0; mẫu B có phương sai dương.
Vì sao: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Cách khác: So sánh khoảng biến thiên: A bằng 0, B bằng 6.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Mẫu A. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Tính khoảng biến thiên của mẫu 7, 9, 14, 16.
Phân tích: Khoảng biến thiên chỉ dùng hai đầu mút của dữ liệu.
Hướng làm: Lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.
- Bước 3: R = 16 − 7 = 9.
Vì sao: Khoảng biến thiên chỉ dùng hai đầu mút của dữ liệu.
Cách khác: Đọc chiều dài đoạn phủ dữ liệu trên trục số.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 9. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Tính khoảng tứ phân vị của mẫu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Phân tích: Khoảng tứ phân vị mô tả độ rộng của 50% dữ liệu ở giữa.
Hướng làm: Tìm Q1, Q3 rồi lấy Q3−Q1.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Tìm Q1, Q3 rồi lấy Q3−Q1.
- Bước 3: Q1 = 2.5, Q3 = 6.5; ΔQ = 6.5−2.5 = 4.
Vì sao: Khoảng tứ phân vị mô tả độ rộng của 50% dữ liệu ở giữa.
Cách khác: Dùng hộp của biểu đồ hộp: chiều dài hộp chính là ΔQ.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 4. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Tính phương sai của mẫu -1, 1, 3 theo công thức chia cho n.
Phân tích: Bình phương làm các độ lệch âm và dương đều đóng góp dương.
Hướng làm: Tính số trung bình, bình phương từng độ lệch rồi lấy trung bình.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Tính số trung bình, bình phương từng độ lệch rồi lấy trung bình.
- Bước 3: x̄ = 1; s² = [(-2)²+0²+2²]/3 = 8/3 ≈ 2.6667.
Vì sao: Bình phương làm các độ lệch âm và dương đều đóng góp dương.
Cách khác: Dùng công thức s² = trung bình của x² trừ bình phương trung bình.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 8/3. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Tính độ lệch chuẩn của mẫu 1, 2, 3.
Phân tích: Độ lệch chuẩn trở lại cùng đơn vị với dữ liệu ban đầu.
Hướng làm: Tính phương sai rồi lấy căn bậc hai.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Tính phương sai rồi lấy căn bậc hai.
- Bước 3: s² = 2/3 nên s = √(2/3) ≈ 0.816.
Vì sao: Độ lệch chuẩn trở lại cùng đơn vị với dữ liệu ban đầu.
Cách khác: Dùng máy tính sau khi đã ghi đúng biểu thức phương sai.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: √(2/3) ≈ 0.816. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Hai mẫu A = 5,5,5,5 và B = 2,4,6,8 có cùng số trung bình 5. Mẫu nào ổn định hơn?
Phân tích: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Hướng làm: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
- Bước 3: Mẫu A ổn định hơn vì mọi giá trị đều bằng 5 nên phương sai bằng 0; mẫu B có phương sai dương.
Vì sao: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Cách khác: So sánh khoảng biến thiên: A bằng 0, B bằng 6.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Mẫu A. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Đo và so sánh
Các số đặc trưng đo độ phân tán giúp kiểm tra các phép đo, ước lượng và quyết định trong gia đình có căn cứ.
Dự án học tập
Học sinh thu thập dữ kiện, chọn mô hình các số đặc trưng đo độ phân tán và trình bày cách tự kiểm.
Đọc con số đúng nghĩa
Không chỉ tính ra số; phải hiểu đơn vị, độ tin cậy và giới hạn sử dụng.
Mô hình hóa
Đại lượng được biểu diễn bằng quan hệ toán học có điều kiện và có phép kiểm độc lập.
Thiết kế an toàn
Kĩ sư dùng công thức, hướng và sai số để tránh kết luận vượt quá dữ kiện.
Kiểm soát chất lượng
So sánh kết quả đo hoặc dữ liệu giúp phát hiện độ lệch và điều chỉnh quy trình.
Quan sát khó đo trực tiếp
Khoảng cách, phương hướng và số liệu tự nhiên có thể được suy ra từ mô hình phù hợp.
Năng lực phân tích
Kiến trúc, dữ liệu, logistics, khảo sát và công nghệ đều cần suy luận định lượng chặt chẽ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Khoảng biến thiên dùng khi nào?
Khoảng cách từ nhỏ nhất đến lớn nhất. Dấu hiệu nhận biết: Max trừ min.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Nhầm với số phần tử.
Quay lại Khoảng biến thiên: R=xmax−xmin. Tự kiểm bằng 2,4,9 có R=7.
2. Cộng hai tứ phân vị.
Quay lại Khoảng tứ phân vị: ΔQ=Q3−Q1. Tự kiểm bằng Q1=3,Q3=8 ⇒ ΔQ=5.
3. Cộng độ lệch không bình phương.
Quay lại Phương sai: s²=[Σ(xi−x̄)²]/n. Tự kiểm bằng −1,0,1 có s²=2/3.
4. Dừng ở s².
Quay lại Độ lệch chuẩn: s=√s². Tự kiểm bằng s²=4 ⇒ s=2.
5. Chỉ so trung bình.
Quay lại So sánh độ ổn định: So R, ΔQ, s² hoặc s theo mục tiêu và độ nhạy với ngoại lệ. Tự kiểm bằng Hai lớp cùng điểm trung bình nhưng lớp có s nhỏ hơn đồng đều hơn.
6. Nhầm với số phần tử.
Quay lại Khoảng biến thiên: R=xmax−xmin. Tự kiểm bằng 2,4,9 có R=7.
7. Cộng hai tứ phân vị.
Quay lại Khoảng tứ phân vị: ΔQ=Q3−Q1. Tự kiểm bằng Q1=3,Q3=8 ⇒ ΔQ=5.
8. Cộng độ lệch không bình phương.
Quay lại Phương sai: s²=[Σ(xi−x̄)²]/n. Tự kiểm bằng −1,0,1 có s²=2/3.
9. Dừng ở s².
Quay lại Độ lệch chuẩn: s=√s². Tự kiểm bằng s²=4 ⇒ s=2.
10. Chỉ so trung bình.
Quay lại So sánh độ ổn định: So R, ΔQ, s² hoặc s theo mục tiêu và độ nhạy với ngoại lệ. Tự kiểm bằng Hai lớp cùng điểm trung bình nhưng lớp có s nhỏ hơn đồng đều hơn.
11. Nhầm với số phần tử.
Quay lại Khoảng biến thiên: R=xmax−xmin. Tự kiểm bằng 2,4,9 có R=7.
12. Cộng hai tứ phân vị.
Quay lại Khoảng tứ phân vị: ΔQ=Q3−Q1. Tự kiểm bằng Q1=3,Q3=8 ⇒ ΔQ=5.
13. Cộng độ lệch không bình phương.
Quay lại Phương sai: s²=[Σ(xi−x̄)²]/n. Tự kiểm bằng −1,0,1 có s²=2/3.
14. Dừng ở s².
Quay lại Độ lệch chuẩn: s=√s². Tự kiểm bằng s²=4 ⇒ s=2.
15. Chỉ so trung bình.
Quay lại So sánh độ ổn định: So R, ΔQ, s² hoặc s theo mục tiêu và độ nhạy với ngoại lệ. Tự kiểm bằng Hai lớp cùng điểm trung bình nhưng lớp có s nhỏ hơn đồng đều hơn.
16. Nhầm với số phần tử.
Quay lại Khoảng biến thiên: R=xmax−xmin. Tự kiểm bằng 2,4,9 có R=7.
17. Cộng hai tứ phân vị.
Quay lại Khoảng tứ phân vị: ΔQ=Q3−Q1. Tự kiểm bằng Q1=3,Q3=8 ⇒ ΔQ=5.
18. Cộng độ lệch không bình phương.
Quay lại Phương sai: s²=[Σ(xi−x̄)²]/n. Tự kiểm bằng −1,0,1 có s²=2/3.
19. Dừng ở s².
Quay lại Độ lệch chuẩn: s=√s². Tự kiểm bằng s²=4 ⇒ s=2.
20. Chỉ so trung bình.
Quay lại So sánh độ ổn định: So R, ΔQ, s² hoặc s theo mục tiêu và độ nhạy với ngoại lệ. Tự kiểm bằng Hai lớp cùng điểm trung bình nhưng lớp có s nhỏ hơn đồng đều hơn.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Dự đoán trước
Ước lượng dấu, độ lớn hoặc vị trí kết quả trước khi bấm máy.
Một công thức–một điều kiện
Viết cạnh–góc tương ứng, hướng vectơ, đơn vị hoặc giả thiết dữ liệu ngay cạnh công thức.
Hai đường kiểm
Kiểm bằng công thức khác, trường hợp đặc biệt, hình vẽ hoặc thế ngược.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi câu sai, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Flashcard sau một ngày, bài ngắn sau ba ngày, đề trộn sau bảy ngày.
Nói thành lời
Nếu giải thích được cho người khác trong hai phút, em mới thực sự hiểu.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Các số đặc trưng đo độ phân tán1 2 3 4 5
Khoảng biến thiênMax trừ min.
Khoảng tứ phân vịQ3 trừ Q1.
Phương saiLệch–bình phương–lấy trung bình.
Độ lệch chuẩnChuẩn = căn phương sai.
So sánh độ ổn địnhCùng tâm chưa chắc cùng độ rộng.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
T10-B14-NB-01Cho u⃗ = (-1;-4). Tính 2u⃗.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
Lời giải: 2u⃗ = (-2;-8).
Vì sao: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Sai ở đâu: Chỉ nhân một thành phần.
Cách khác: Cộng u⃗ với chính nó k lần.
T10-B14-NB-02Kiểm tra u⃗ = (0;0) và w⃗ = (0;0) có vuông góc không.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Lời giải: u⃗·w⃗ = 0·(0) + 0·0 = 0, nên u⃗ là vectơ-không nên không kết luận góc.
Vì sao: Phép quay 90° biến (x;y) thành (−y;x).
Sai ở đâu: Chỉ nhìn hình thức tọa độ mà không kiểm trường hợp vectơ-không.
Cách khác: So sánh hệ số góc khi cả hai đường biểu diễn đều xác định.
T10-B14-NB-03Ôn phần trăm: Tính 20% của 200.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đổi phần trăm thành phân số trên 100.
Lời giải: 20%·200 = 0.2·200 = 40.
Vì sao: Phần trăm là nền để đọc sai số tương đối và tỉ lệ dữ liệu.
Sai ở đâu: Nhân trực tiếp với p mà quên chia 100.
Cách khác: Tính 1% của 200 rồi nhân p.
T10-B14-NB-04Tính khoảng biến thiên của mẫu 2, 4, 9, 11.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: R = 11 − 2 = 9.
Vì sao: Khoảng biến thiên chỉ dùng hai đầu mút của dữ liệu.
Sai ở đâu: Lấy số phần tử hoặc lấy trung bình thay cho max−min.
Cách khác: Đọc chiều dài đoạn phủ dữ liệu trên trục số.
T10-B14-NB-05Tính khoảng tứ phân vị của mẫu 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tìm Q1, Q3 rồi lấy Q3−Q1.
Lời giải: Q1 = 3.5, Q3 = 7.5; ΔQ = 7.5−3.5 = 4.
Vì sao: Khoảng tứ phân vị mô tả độ rộng của 50% dữ liệu ở giữa.
Sai ở đâu: Lấy Q3+Q1 hoặc nhầm với khoảng biến thiên.
Cách khác: Dùng hộp của biểu đồ hộp: chiều dài hộp chính là ΔQ.
T10-B14-NB-06Tính phương sai của mẫu 0, 2, 4 theo công thức chia cho n.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính số trung bình, bình phương từng độ lệch rồi lấy trung bình.
Lời giải: x̄ = 2; s² = [(-2)²+0²+2²]/3 = 8/3 ≈ 2.6667.
Vì sao: Bình phương làm các độ lệch âm và dương đều đóng góp dương.
Sai ở đâu: Cộng độ lệch trực tiếp nên luôn được 0 hoặc chia cho n−1 không theo công thức bài học.
Cách khác: Dùng công thức s² = trung bình của x² trừ bình phương trung bình.
T10-B14-NB-07Tính độ lệch chuẩn của mẫu 2, 3, 4.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính phương sai rồi lấy căn bậc hai.
Lời giải: s² = 2/3 nên s = √(2/3) ≈ 0.816.
Vì sao: Độ lệch chuẩn trở lại cùng đơn vị với dữ liệu ban đầu.
Sai ở đâu: Dừng ở phương sai hoặc lấy căn từng độ lệch trước khi cộng.
Cách khác: Dùng máy tính sau khi đã ghi đúng biểu thức phương sai.
T10-B14-NB-08Hai mẫu A = 5,5,5,5 và B = 2,4,6,8 có cùng số trung bình 5. Mẫu nào ổn định hơn?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh độ phân tán, không chỉ số trung bình.
Lời giải: Mẫu A ổn định hơn vì mọi giá trị đều bằng 5 nên phương sai bằng 0; mẫu B có phương sai dương.
Vì sao: Cùng trung bình không có nghĩa mức dao động như nhau.
Sai ở đâu: Kết luận hai mẫu giống nhau vì có cùng số trung bình.
Cách khác: So sánh khoảng biến thiên: A bằng 0, B bằng 6.
T10-B14-NB-09Tính khoảng biến thiên của mẫu 7, 9, 14, 16.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: R = 16 − 7 = 9.
Vì sao: Khoảng biến thiên chỉ dùng hai đầu mút của dữ liệu.
Sai ở đâu: Lấy số phần tử hoặc lấy trung bình thay cho max−min.
Cách khác: Đọc chiều dài đoạn phủ dữ liệu trên trục số.
T10-B14-NB-10Tính khoảng tứ phân vị của mẫu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tìm Q1, Q3 rồi lấy Q3−Q1.
Lời giải: Q1 = 2.5, Q3 = 6.5; ΔQ = 6.5−2.5 = 4.
Vì sao: Khoảng tứ phân vị mô tả độ rộng của 50% dữ liệu ở giữa.
Sai ở đâu: Lấy Q3+Q1 hoặc nhầm với khoảng biến thiên.
Cách khác: Dùng hộp của biểu đồ hộp: chiều dài hộp chính là ΔQ.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Với mẫu đã sắp 0; 2; 3; 4; 6; 7; 9; 11, tính tứ phân vị thứ nhất Q₁.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Cho u⃗ = (-1;-4). Tính 2u⃗.
Gợi ý: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
Lời giải: 2u⃗ = (-2;-8).
Giải thích: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Lỗi cần tránh: Chỉ nhân một thành phần.
Cách khác: Cộng u⃗ với chính nó k lần.
TỰ LUẬN 2Tính phương sai của mẫu 0, 2, 4 theo công thức chia cho n.
Gợi ý: Tính số trung bình, bình phương từng độ lệch rồi lấy trung bình.
Lời giải: x̄ = 2; s² = [(-2)²+0²+2²]/3 = 8/3 ≈ 2.6667.
Giải thích: Bình phương làm các độ lệch âm và dương đều đóng góp dương.
Lỗi cần tránh: Cộng độ lệch trực tiếp nên luôn được 0 hoặc chia cho n−1 không theo công thức bài học.
Cách khác: Dùng công thức s² = trung bình của x² trừ bình phương trung bình.
TỰ LUẬN 3Tính phương sai của mẫu -1, 1, 3 theo công thức chia cho n.
Gợi ý: Tính số trung bình, bình phương từng độ lệch rồi lấy trung bình.
Lời giải: x̄ = 1; s² = [(-2)²+0²+2²]/3 = 8/3 ≈ 2.6667.
Giải thích: Bình phương làm các độ lệch âm và dương đều đóng góp dương.
Lỗi cần tránh: Cộng độ lệch trực tiếp nên luôn được 0 hoặc chia cho n−1 không theo công thức bài học.
Cách khác: Dùng công thức s² = trung bình của x² trừ bình phương trung bình.
TỰ LUẬN 4Tính phương sai của mẫu -2, 0, 2 theo công thức chia cho n.
Gợi ý: Tính số trung bình, bình phương từng độ lệch rồi lấy trung bình.
Lời giải: x̄ = 0; s² = [(-2)²+0²+2²]/3 = 8/3 ≈ 2.6667.
Giải thích: Bình phương làm các độ lệch âm và dương đều đóng góp dương.
Lỗi cần tránh: Cộng độ lệch trực tiếp nên luôn được 0 hoặc chia cho n−1 không theo công thức bài học.
Cách khác: Dùng công thức s² = trung bình của x² trừ bình phương trung bình.
TỰ LUẬN 5Cho u⃗ = (2;2), v⃗ = (4;3). Tính u⃗ + v⃗.
Gợi ý: Cộng các thành phần cùng vị trí.
Lời giải: u⃗ + v⃗ = (6;5).
Giải thích: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Lỗi cần tránh: Cộng chéo hoành độ với tung độ.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
TỰ LUẬN 6Với mẫu đã sắp 0; 2; 3; 4; 6; 7; 9; 11, tính tứ phân vị thứ nhất Q₁.
Gợi ý: Mẫu có 8 giá trị; nửa dưới gồm 4 giá trị đầu.
Lời giải: Mẫu có 8 giá trị; nửa dưới gồm 4 giá trị đầu. Q₁ là trung vị của nửa dưới: (2 + 3)/2 = 2,5.
Giải thích: Mẫu có 8 giá trị; nửa dưới gồm 4 giá trị đầu. Q₁ là trung vị của nửa dưới: (2 + 3)/2 = 2,5.
Lỗi cần tránh: Tính trung vị của toàn mẫu hoặc lấy ngay phần tử thứ hai.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 7Với mẫu đã sắp 1; 3; 4; 5; 7; 8; 10; 12, tính tứ phân vị thứ nhất Q₁.
Gợi ý: Mẫu có 8 giá trị; nửa dưới gồm 4 giá trị đầu.
Lời giải: Mẫu có 8 giá trị; nửa dưới gồm 4 giá trị đầu. Q₁ là trung vị của nửa dưới: (3 + 4)/2 = 3,5.
Giải thích: Mẫu có 8 giá trị; nửa dưới gồm 4 giá trị đầu. Q₁ là trung vị của nửa dưới: (3 + 4)/2 = 3,5.
Lỗi cần tránh: Tính trung vị của toàn mẫu hoặc lấy ngay phần tử thứ hai.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 8Mẫu gồm hai số 0;4. Tính phương sai theo công thức chia cho 2.
Gợi ý: Trung bình là n+k; hai độ lệch bằng −k và k.
Lời giải: Trung bình là n+k; hai độ lệch bằng −k và k. Kết quả: 4.
Giải thích: Trung bình là n+k; hai độ lệch bằng −k và k.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 9Cho A(-2;-1), B(3;-2). Tìm tọa độ AB⃗.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗ = (3−(-2); -2−(-1)) = (5;-1).
Giải thích: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Lỗi cần tránh: Lấy A−B hoặc chỉ đổi dấu một thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
TỰ LUẬN 10Tính khoảng biến thiên của mẫu: 1; 4; 6; 8; 12.
Gợi ý: Giá trị lớn nhất là 12, nhỏ nhất là 1.
Lời giải: Giá trị lớn nhất là 12, nhỏ nhất là 1. Khoảng biến thiên R = 12 − 1 = 11.
Giải thích: Giá trị lớn nhất là 12, nhỏ nhất là 1. Khoảng biến thiên R = 12 − 1 = 11.
Lỗi cần tránh: Lấy giá trị lớn nhất làm khoảng biến thiên hoặc trừ ngược.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 11Với mẫu đã sắp 3; 5; 6; 7; 9; 10; 12; 14, tính tứ phân vị thứ nhất Q₁. Xét kết luận: “5,5”.
Gợi ý: Mẫu có 8 giá trị; nửa dưới gồm 4 giá trị đầu.
Lời giải: Mẫu có 8 giá trị; nửa dưới gồm 4 giá trị đầu. Q₁ là trung vị của nửa dưới: (5 + 6)/2 = 5,5. Kết quả đúng là 5,5; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.
Giải thích: Mẫu có 8 giá trị; nửa dưới gồm 4 giá trị đầu. Q₁ là trung vị của nửa dưới: (5 + 6)/2 = 5,5. Kết quả đúng là 5,5; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.
Lỗi cần tránh: Tính trung vị của toàn mẫu hoặc lấy ngay phần tử thứ hai.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 12Tính phương sai của mẫu 1; 1; 11; 11 theo công thức chia cho số phần tử của mẫu.
Gợi ý: Số trung bình là 6; bốn độ lệch là −5, −5, 5, 5.
Lời giải: Số trung bình là 6; bốn độ lệch là −5, −5, 5, 5. Phương sai s² = [4·5²]/4 = 25.
Giải thích: Số trung bình là 6; bốn độ lệch là −5, −5, 5, 5. Phương sai s² = [4·5²]/4 = 25.
Lỗi cần tránh: Cộng độ lệch có dấu nên được 0 hoặc quên bình phương độ lệch.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 13Hai vectơ u⃗ = (1;-4), v⃗ = (5;-2) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm định thức x₁y₂ − y₁x₂.
Lời giải: 1·-2 − -4·5 = 18; vì khác 0 nên hai vectơ không cùng phương.
Giải thích: Điều kiện định thức tránh phải chia cho thành phần có thể bằng 0.
Lỗi cần tránh: Lập tỉ số và chia cho 0 hoặc so sánh nhầm hai thành phần.
Cách khác: Tìm k từ một thành phần rồi kiểm thành phần còn lại.
TỰ LUẬN 14Với mẫu đã sắp 3; 5; 7; 8; 10; 12; 14; 17, tính khoảng tứ phân vị ΔQ.
Gợi ý: Q₁ = (5+7)/2 = 6; Q₃ = (12+14)/2 = 13.
Lời giải: Q₁ = (5+7)/2 = 6; Q₃ = (12+14)/2 = 13. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q₃ − Q₁ = 7.
Giải thích: Q₁ = (5+7)/2 = 6; Q₃ = (12+14)/2 = 13. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q₃ − Q₁ = 7.
Lỗi cần tránh: Nhầm ΔQ với khoảng biến thiên hoặc lấy Q₁ + Q₃.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 15Mẫu 4; 4; 12; 12 có phương sai 16. Tính độ lệch chuẩn.
Gợi ý: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai không âm của phương sai.
Lời giải: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai không âm của phương sai. s = √16 = 4.
Giải thích: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai không âm của phương sai. s = √16 = 4.
Lỗi cần tránh: Đồng nhất độ lệch chuẩn với phương sai hoặc lấy căn rồi viết ±.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 16Tính khoảng biến thiên của mẫu: 1; 4; 6; 8; 12. Xét kết luận: “12”.
Gợi ý: Giá trị lớn nhất là 12, nhỏ nhất là 1.
Lời giải: Giá trị lớn nhất là 12, nhỏ nhất là 1. Khoảng biến thiên R = 12 − 1 = 11. Kết quả đúng là 11; vì vậy kết luận đã nêu là sai.
Giải thích: Giá trị lớn nhất là 12, nhỏ nhất là 1. Khoảng biến thiên R = 12 − 1 = 11. Kết quả đúng là 11; vì vậy kết luận đã nêu là sai.
Lỗi cần tránh: Lấy giá trị lớn nhất làm khoảng biến thiên hoặc trừ ngược.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 17Tìm trung điểm M của A(-3;2) và B(0;2).
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng tọa độ.
Lời giải: M((-3+0)/2; (2+2)/2) = M(-1.5;2).
Giải thích: Trung điểm chia đều cả độ dời ngang và dọc.
Lỗi cần tránh: Cộng hai tọa độ nhưng quên chia 2.
Cách khác: Giải điều kiện AM⃗ = MB⃗.
TỰ LUẬN 18Mẫu có Q1=2, Q3=5. Tính khoảng tứ phân vị.
Gợi ý: Khoảng tứ phân vị là Q3−Q1.
Lời giải: Khoảng tứ phân vị là Q3−Q1. Kết quả: 3.
Giải thích: Khoảng tứ phân vị là Q3−Q1.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 19Ba số liệu đều bằng 3. Tính phương sai.
Gợi ý: Mọi độ lệch so với trung bình đều bằng 0.
Lời giải: Mọi độ lệch so với trung bình đều bằng 0. Kết quả: 0.
Giải thích: Mọi độ lệch so với trung bình đều bằng 0.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 20Mẫu có phương sai 16. Tính độ lệch chuẩn.
Gợi ý: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai không âm của phương sai.
Lời giải: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai không âm của phương sai. Kết quả: 4.
Giải thích: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai không âm của phương sai.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B14-NB-01, T10-B14-NB-02, T10-B14-NB-03, T10-B14-NB-04, T10-B14-NB-05, T10-B14-NB-06, T10-B14-NB-07, T10-B14-NB-08, T10-B14-NB-09, T10-B14-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B14-NB-01: (-2;-8)
- T10-B14-NB-02: Không kết luận góc
- T10-B14-NB-03: 40
- T10-B14-NB-04: 9
- T10-B14-NB-05: 4
- T10-B14-NB-06: 8/3
- T10-B14-NB-07: √(2/3) ≈ 0.816
- T10-B14-NB-08: Mẫu A
- T10-B14-NB-09: 9
- T10-B14-NB-10: 4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 5
10 câu đại diện: T10-B14-NB-11, T10-B14-NB-12, T10-B14-NB-13, T10-B14-NB-14, T10-B14-NB-15, T10-B14-NB-16, T10-B14-NB-17, T10-B14-NB-18, T10-B14-NB-19, T10-B14-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B14-NB-11: 8/3
- T10-B14-NB-12: √(2/3) ≈ 0.816
- T10-B14-NB-13: 9
- T10-B14-NB-14: 9
- T10-B14-NB-15: 4
- T10-B14-NB-16: 8/3
- T10-B14-NB-17: √(2/3) ≈ 0.816
- T10-B14-NB-18: 2
- T10-B14-NB-19: 9
- T10-B14-NB-20: 4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B14-TH-01, T10-B14-TH-02, T10-B14-TH-03, T10-B14-TH-04, T10-B14-TH-05, T10-B14-TH-06, T10-B14-TH-07, T10-B14-TH-08, T10-B14-TH-09, T10-B14-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B14-TH-01: (6;5)
- T10-B14-TH-02: -2
- T10-B14-TH-03: 20
- T10-B14-TH-04: 8/3
- T10-B14-TH-05: √(2/3) ≈ 0.816
- T10-B14-TH-06: 2,5
- T10-B14-TH-07: 9
- T10-B14-TH-08: 4
- T10-B14-TH-09: 8/3
- T10-B14-TH-10: √(2/3) ≈ 0.816
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B14-TH-11, T10-B14-TH-12, T10-B14-TH-13, T10-B14-TH-14, T10-B14-TH-15, T10-B14-TH-16, T10-B14-TH-17, T10-B14-TH-18, T10-B14-TH-19, T10-B14-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B14-TH-11: 3,5
- T10-B14-TH-12: 9
- T10-B14-TH-13: 4
- T10-B14-TH-14: 8/3
- T10-B14-TH-15: √(2/3) ≈ 0.816
- T10-B14-TH-16: 4
- T10-B14-TH-17: 2
- T10-B14-TH-18: 8
- T10-B14-TH-19: 2
- T10-B14-TH-20: 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B14-VD-01, T10-B14-VD-02, T10-B14-VD-03, T10-B14-VD-04, T10-B14-VD-05, T10-B14-VD-06, T10-B14-VD-07, T10-B14-VD-08, T10-B14-VD-09, T10-B14-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B14-VD-01: (5;-1)
- T10-B14-VD-02: 5
- T10-B14-VD-03: 50
- T10-B14-VD-04: 4
- T10-B14-VD-05: 7
- T10-B14-VD-06: 11
- T10-B14-VD-07: Sai
- T10-B14-VD-08: 9
- T10-B14-VD-09: 10
- T10-B14-VD-10: 10
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.