- Phương trình và hệ hai ẩn
- Biến đổi tương đương
- Số thực và phép tính dấu
- Đọc dữ kiện, đặt đơn vị
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủHệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Làm sao biến ba ràng buộc thành một hệ đúng, khử ẩn có kiểm soát và kiểm nghiệm trong bối cảnh?
Bảng khử Gauss, hồ sơ nghiệm và một mô hình liên môn có kiểm đơn vị–điều kiện.
PHẠM VI • NỀN • ĐÍCH
Học đủ yêu cầu, không trùng lặp máy móc
Nhận biết nghiệm; giải bằng Gauss và máy tính cầm tay; vận dụng vào bài toán liên môn, thực tiễn theo đúng yêu cầu chương trình.
- Nhận biết phương trình và nghiệm của hệ ba ẩn
- Thực hiện phép biến đổi hàng sơ cấp và thế ngược
- Nhận ra hệ vô nghiệm, vô số nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất
- Lập hệ từ bài toán liên môn và kiểm nghiệm bằng máy tính
Mô hình và nghiệm
Nền: Hệ hai ẩn, giao các tập nghiệm.
Đầu ra: Thay bộ ba và kết luận đúng/sai trên toàn hệ.
- Đọc hệ số
- Kiểm nghiệm
- Dịch câu chữ thành phương trình
Khử Gauss
Nền: Ba phép biến đổi hàng sơ cấp.
Đầu ra: Đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang và thế ngược.
- Chọn trụ
- Tạo số 0
- Đổi hàng
- Thế ngược
Số nghiệm và máy tính
Nền: Hàng mâu thuẫn và hàng phụ thuộc.
Đầu ra: Phân loại hệ và dùng máy tính như công cụ kiểm.
- 0=5
- 0=0
- Kiểm thứ tự biến
- Thay ngược
Liên môn và dự án
Nền: Đại lượng, đơn vị, điều kiện thực tế.
Đầu ra: Lập–giải–diễn giải một mô hình ba ẩn.
- Sản xuất
- Cân bằng hóa học
- Phân bố vốn
- Kiểm định cuối chuyên đề
BẢN CHẤT → PHÁT BIỂU → ĐIỀU KIỆN
Kiến thức trọng tâm có hàng rào chống nhầm
Mẹo nhớ chỉ được giữ lại khi không làm mất điều kiện hoặc đổi nghĩa của phát biểu toán học.
Nghiệm của hệ ba ẩn
Hiểu bản chất: Một bộ ba phải mở được đồng thời cả ba ổ khóa.
(x₀,y₀,z₀) là nghiệm khi thay vào làm đúng mọi phương trình của hệ.
Điều kiện: Giữ cùng thứ tự biến trong mọi phương trình và trong đáp số.
Ví dụ: Thay (1,2,3) vào từng phương trình, không dừng sau phương trình đầu.
Neo nhớ: MỘT BỘ BA–MỌI PHƯƠNG TRÌNH.
Cảnh báo: Thỏa hai trong ba phương trình vẫn không phải nghiệm của hệ.
Tự hỏi: “Đối tượng, miền, dấu và quy ước đã được khóa chưa?”
Ba phép biến đổi hàng
Hiểu bản chất: Đổi cách viết nhưng giữ nguyên tập nghiệm.
Đổi hai hàng; nhân một hàng với số khác 0; cộng vào một hàng một bội của hàng khác.
Điều kiện: Phải biến đổi toàn bộ hàng, kể cả cột vế phải; không chia cho 0.
Ví dụ: R₂←R₂−R₁ làm hệ số x ở hàng 2 bằng 0.
Neo nhớ: ĐỔI–NHÂN KHÁC 0–CỘNG BỘI.
Cảnh báo: Bình phương phương trình không phải phép biến đổi hàng sơ cấp và có thể sinh nghiệm ngoại lai.
Tự hỏi: “Đối tượng, miền, dấu và quy ước đã được khóa chưa?”
Dạng bậc thang và số nghiệm
Hiểu bản chất: Hàng dưới càng ít ẩn thì thế ngược càng dễ.
Hàng [0 0 0|d], d≠0 báo vô nghiệm; hàng 0=0 báo ràng buộc phụ thuộc và có thể xuất hiện ẩn tự do.
Điều kiện: Kết luận vô số nghiệm chỉ sau khi không có hàng mâu thuẫn và số trụ nhỏ hơn số ẩn.
Ví dụ: 0=5 vô nghiệm; 0=0 không tự nó đủ để kết luận nếu các hàng khác còn mâu thuẫn.
Neo nhớ: MÂU THUẪN CHẶN–THIẾU TRỤ MỞ.
Cảnh báo: Không dùng định thức hay công thức ngoài tuyến nếu học sinh chưa được học.
Tự hỏi: “Đối tượng, miền, dấu và quy ước đã được khóa chưa?”
Mô hình thực tiễn
Hiểu bản chất: Mỗi phương trình là một ràng buộc độc lập của cùng ba đại lượng.
Đặt ẩn kèm đơn vị → lập ba phương trình → giải → kiểm miền → diễn giải.
Điều kiện: Số lượng thường nguyên không âm; tỉ lệ, đơn vị và giả định phải nhất quán.
Ví dụ: Số lô sản phẩm, giờ máy, giờ đóng gói.
Neo nhớ: ẨN–ĐƠN VỊ–RÀNG BUỘC–GIẢI–KIỂM.
Cảnh báo: Một bộ số giải đúng hệ nhưng âm có thể không chấp nhận được trong bối cảnh.
Tự hỏi: “Đối tượng, miền, dấu và quy ước đã được khóa chưa?”
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Đề hay vì buộc học sinh nghĩ đúng
Mỗi ví dụ có phân tích, các bước, lời giải thích, cách khác và phép kiểm độc lập.
01 • Nhận biếtKiểm tra bộ (1;-2;2) có là nghiệm của { x+y+z=1; x−y+z=5; 2x+y−z=-2 } không.
Phân tích: Thay đồng thời ba giá trị vào cả ba phương trình.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn công cụ và dự báo dạng kết quả trước khi biến đổi.
- Vế trái lần lượt là 1; 5; -2, đúng bằng ba vế phải.
Vì sao: Một bộ ba chỉ là nghiệm khi thỏa tất cả phương trình, không phải chỉ một hoặc hai phương trình.
Cách khác: Nhân ma trận hệ số với vectơ cột (x,y,z)^T và so với vectơ vế phải.
Tự kiểm: Đáp số: Có. Kiểm lại bằng cách thay ngược hoặc đối chiếu điều kiện.
02 • Nhận biếtGiải hệ { x+y+z=7; x−y+z=7; 2x+y−z=-1 } bằng phương pháp Gauss.
Phân tích: Dùng R₂←R₂−R₁ và R₃←R₃−2R₁ để tạo các số 0 dưới phần tử đầu.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn công cụ và dự báo dạng kết quả trước khi biến đổi.
- R₂←R₂−R₁ cho −2y=0, nên y=0.
- R₃←R₃−2R₁ cho −y−3z=-15, nên z=5.
- Từ x+y+z=7 suy ra x=2.
Vì sao: Mỗi phép đổi hàng giữ nguyên tập nghiệm; dạng bậc thang cho phép thế ngược từ phương trình ít ẩn nhất.
Cách khác: Khử y bằng hai phương trình đầu, rồi thế ngược; bản chất vẫn là phép khử Gauss.
Tự kiểm: Đáp số: (x;y;z)=(2;0;5). Kiểm lại bằng cách thay ngược hoặc đối chiếu điều kiện.
03 • Nhận biếtMột xưởng làm ba loại hộp A, B, C. Tổng số lô là 15; tổng giờ máy theo định mức 2, 3, 4 giờ/lô là 45; A và C dùng 1 giờ đóng gói/lô, B dùng 2 giờ/lô, tổng 20 giờ. Tìm số lô mỗi loại.
Phân tích: Gọi số lô là a,b,c≥0; lập đúng ba phương trình trước khi giải.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn công cụ và dự báo dạng kết quả trước khi biến đổi.
- Hệ là a+b+c=15, 2a+3b+4c=45, a+2b+c=20.
- Khử Gauss thu được (a;b;c)=(5;5;5).
- Các giá trị nguyên không âm, phù hợp bối cảnh.
Vì sao: Số 15 chỉ là dữ liệu kiểm soát được tạo từ nghiệm; kết luận phải dựa trên cả ba ràng buộc.
Cách khác: Lấy phương trình thứ ba trừ phương trình thứ nhất để tìm b trước.
Tự kiểm: Đáp số: A=5, B=5, C=5 (lô). Kiểm lại bằng cách thay ngược hoặc đối chiếu điều kiện.
04 • Nhận biếtBa quỹ A, B, C nhận lần lượt x, y, z triệu đồng. Tổng vốn 12 triệu; A hơn B 4 triệu; C bằng 4 triệu. Lập hệ và tìm mức vốn.
Phân tích: Khóa phương trình z trước, rồi dùng tổng và hiệu.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn công cụ và dự báo dạng kết quả trước khi biến đổi.
- Hệ: x+y+z=12; x−y=4; z=4.
- Thế z=4, giải hai phương trình còn lại được x=6, y=2.
Vì sao: Tên biến, đơn vị và điều kiện không âm là một phần của mô hình, không phải phần trang trí.
Cách khác: Trừ phần vốn C khỏi tổng rồi chia tổng–hiệu cho 2.
Tự kiểm: Đáp số: (x;y;z)=(6;2;4) triệu đồng. Kiểm lại bằng cách thay ngược hoặc đối chiếu điều kiện.
05 • Nhận biếtCân bằng phản ứng C₂H₆ + O₂ → CO₂ + H₂O bằng hệ phương trình, chọn hệ số C₂H₆ nhỏ nhất bằng 2.
Phân tích: Gọi hệ số là a,b,c,d; bảo toàn C, H, O rồi đặt a=2.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn công cụ và dự báo dạng kết quả trước khi biến đổi.
- Bảo toàn: 2a=c; 6a=2d; 2b=2c+d; a=2.
- Suy ra c=4, d=6, b=7.
- Phương trình: 2C₂H₆+7O₂→4CO₂+6H₂O.
Vì sao: Hệ bảo toàn nguyên tử là hệ tuyến tính; cần chuẩn hóa vì nhân tất cả hệ số với cùng một số vẫn cho một nghiệm tỉ lệ.
Cách khác: Cân bằng C, rồi H, cuối cùng O; thực chất là thế dần trong hệ.
Tự kiểm: Đáp số: 2 : 7 : 4 : 6. Kiểm lại bằng cách thay ngược hoặc đối chiếu điều kiện.
06 • Nhận biếtPhân loại hệ {x+y+z=3; 2x+2y+2z=6; x+y+z=4}.
Phân tích: So sánh phương trình thứ nhất và thứ ba.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn công cụ và dự báo dạng kết quả trước khi biến đổi.
- Hai phương trình x+y+z=3 và x+y+z=4 mâu thuẫn, nên hệ vô nghiệm.
Vì sao: Khi khử Gauss, mâu thuẫn xuất hiện dưới dạng hàng 0=1.
Cách khác: Trừ trực tiếp phương trình thứ ba cho phương trình thứ nhất.
Tự kiểm: Đáp số: Vô nghiệm. Kiểm lại bằng cách thay ngược hoặc đối chiếu điều kiện.
07 • Nhận biếtDùng máy tính cầm tay tìm nghiệm { x+y+z=6; x−y+z=6; 2x+y−z=0 }, rồi nêu một phép kiểm bắt buộc.
Phân tích: Nhập đủ 12 hệ số theo đúng thứ tự ba phương trình; sau khi máy cho nghiệm, thay lại.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn công cụ và dự báo dạng kết quả trước khi biến đổi.
- Máy cho (x;y;z)=(2;0;4).
- Thay vào ba phương trình thu được đúng 6, 6, 0.
Vì sao: Máy tính hỗ trợ khử số học nhưng không thay cho việc lập đúng hệ, đọc đúng thứ tự biến và kiểm nghiệm.
Cách khác: Giải tay bằng Gauss rồi dùng máy tính để kiểm độc lập.
Tự kiểm: Đáp số: (x;y;z)=(2;0;4). Kiểm lại bằng cách thay ngược hoặc đối chiếu điều kiện.
08 • Nhận biếtKiểm tra bộ (3;2;3) có là nghiệm của { x+y+z=8; x−y+z=4; 2x+y−z=5 } không.
Phân tích: Thay đồng thời ba giá trị vào cả ba phương trình.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn công cụ và dự báo dạng kết quả trước khi biến đổi.
- Vế trái lần lượt là 8; 4; 5, đúng bằng ba vế phải.
Vì sao: Một bộ ba chỉ là nghiệm khi thỏa tất cả phương trình, không phải chỉ một hoặc hai phương trình.
Cách khác: Nhân ma trận hệ số với vectơ cột (x,y,z)^T và so với vectơ vế phải.
Tự kiểm: Đáp số: Có. Kiểm lại bằng cách thay ngược hoặc đối chiếu điều kiện.
09 • Nhận biếtGiải hệ { x+y+z=5; x−y+z=7; 2x+y−z=5 } bằng phương pháp Gauss.
Phân tích: Dùng R₂←R₂−R₁ và R₃←R₃−2R₁ để tạo các số 0 dưới phần tử đầu.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn công cụ và dự báo dạng kết quả trước khi biến đổi.
- R₂←R₂−R₁ cho −2y=2, nên y=-1.
- R₃←R₃−2R₁ cho −y−3z=-5, nên z=2.
- Từ x+y+z=5 suy ra x=4.
Vì sao: Mỗi phép đổi hàng giữ nguyên tập nghiệm; dạng bậc thang cho phép thế ngược từ phương trình ít ẩn nhất.
Cách khác: Khử y bằng hai phương trình đầu, rồi thế ngược; bản chất vẫn là phép khử Gauss.
Tự kiểm: Đáp số: (x;y;z)=(4;-1;2). Kiểm lại bằng cách thay ngược hoặc đối chiếu điều kiện.
10 • Nhận biếtMột xưởng làm ba loại hộp A, B, C. Tổng số lô là 17; tổng giờ máy theo định mức 2, 3, 4 giờ/lô là 50; A và C dùng 1 giờ đóng gói/lô, B dùng 2 giờ/lô, tổng 21 giờ. Tìm số lô mỗi loại.
Phân tích: Gọi số lô là a,b,c≥0; lập đúng ba phương trình trước khi giải.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn công cụ và dự báo dạng kết quả trước khi biến đổi.
- Hệ là a+b+c=17, 2a+3b+4c=50, a+2b+c=21.
- Khử Gauss thu được (a;b;c)=(7;4;6).
- Các giá trị nguyên không âm, phù hợp bối cảnh.
Vì sao: Số 17 chỉ là dữ liệu kiểm soát được tạo từ nghiệm; kết luận phải dựa trên cả ba ràng buộc.
Cách khác: Lấy phương trình thứ ba trừ phương trình thứ nhất để tìm b trước.
Tự kiểm: Đáp số: A=7, B=4, C=6 (lô). Kiểm lại bằng cách thay ngược hoặc đối chiếu điều kiện.
ỨNG DỤNG CÓ GIỚI HẠN
Thực tế nhưng không suy diễn quá mô hình
Phân bổ ba loại sản phẩm
Ba ràng buộc về số lô, giờ máy và nguyên liệu tạo thành hệ ba ẩn.
Cân bằng phản ứng
Bảo toàn số nguyên tử tạo hệ tuyến tính; cần chuẩn hóa nghiệm tỉ lệ thành hệ số nguyên tối giản.
Phân bố vốn
Tổng vốn và các quan hệ chênh lệch/tỉ trọng được mô hình hóa, kèm điều kiện không âm.
Máy tính là công cụ kiểm
Máy giải số học; học sinh vẫn chịu trách nhiệm về mô hình, thứ tự biến và kết luận.
SỔ LỖI CHUYÊN ĐỀ
Tám lỗi phải nhận ra trước khi qua cổng
Chỉ kiểm một phương trình
Nghiệm hệ phải thỏa đồng thời tất cả phương trình.
Quên cột vế phải
Mọi phép biến đổi hàng tác động lên cả hàng mở rộng.
Chia hàng cho 0
Chỉ được nhân hoặc chia hàng với số khác 0.
Sai dấu khi trừ hàng
Viết từng hệ số, kể cả hệ số 0 và dấu âm.
Thấy 0=0 rồi kết luận
Cần kiểm toàn ma trận: còn mâu thuẫn không, còn bao nhiêu trụ.
Máy cho gì chép nấy
Thay ngược và kiểm thứ tự x,y,z, đơn vị, điều kiện.
Lập sai quan hệ ‘hơn’
A hơn B d nghĩa là A−B=d.
Nhận nghiệm âm trong bài số lượng
Kiểm miền thực tế sau khi giải đại số.
HỌC THÔNG MINH
Nhớ bằng cấu trúc, không nhớ bằng khẩu quyết rỗng
Đọc điều kiện trước công thức
Khoanh miền chỉ số, điều kiện tham số, quy ước phương trình và đơn vị trước khi thay số.
Dự báo dạng đáp án
Nghiệm là bộ ba, hệ số là một số, còn số hạng phải kèm lũy thừa; tránh trả lời sai đối tượng.
Kiểm bằng con đường khác
Thay ngược, dùng trường hợp biên, máy tính hoặc tính chất hình học để kiểm độc lập.
Ôn cách quãng 1–3–7
Ngày 1 nhắc công thức, ngày 3 giải một bài biến thể, ngày 7 giải bài thực tế không nhìn mẫu.
THẺ 1/8
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Đủ đề, gợi ý, lời giải, lý do và lỗi sai
Mỗi mức có đúng 20 bài; ba bài đầu mỗi mức kích hoạt kiến thức cũ liên quan.
100 câu phù hợp
CD10.2-NB-01Giải hệ hai ẩn {x+y=-1; x−y=3}.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng hai phương trình để khử y.
Lời giải: 2x=2 nên x=1; thay vào x+y=-1 được y=-2.
Vì sao: Phép cộng hai phương trình là một phép biến đổi tương đương của hệ.
Sai ở đâu: Khử y nhưng quên chia hệ số 2 của x.
Cách khác: Biểu diễn y=a−x rồi thế vào phương trình còn lại.
CD10.2-NB-02Giải hệ hai ẩn {x+y=1; x−y=3}.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng hai phương trình để khử y.
Lời giải: 2x=4 nên x=2; thay vào x+y=1 được y=-1.
Vì sao: Phép cộng hai phương trình là một phép biến đổi tương đương của hệ.
Sai ở đâu: Khử y nhưng quên chia hệ số 2 của x.
Cách khác: Biểu diễn y=a−x rồi thế vào phương trình còn lại.
CD10.2-NB-03Giải hệ hai ẩn {x+y=3; x−y=3}.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng hai phương trình để khử y.
Lời giải: 2x=6 nên x=3; thay vào x+y=3 được y=0.
Vì sao: Phép cộng hai phương trình là một phép biến đổi tương đương của hệ.
Sai ở đâu: Khử y nhưng quên chia hệ số 2 của x.
Cách khác: Biểu diễn y=a−x rồi thế vào phương trình còn lại.
CD10.2-NB-04Kiểm tra bộ (1;-2;2) có là nghiệm của { x+y+z=1; x−y+z=5; 2x+y−z=-2 } không.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay đồng thời ba giá trị vào cả ba phương trình.
Lời giải: Vế trái lần lượt là 1; 5; -2, đúng bằng ba vế phải.
Vì sao: Một bộ ba chỉ là nghiệm khi thỏa tất cả phương trình, không phải chỉ một hoặc hai phương trình.
Sai ở đâu: Thấy đúng phương trình đầu rồi kết luận.
Cách khác: Nhân ma trận hệ số với vectơ cột (x,y,z)^T và so với vectơ vế phải.
CD10.2-NB-05Giải hệ { x+y+z=7; x−y+z=7; 2x+y−z=-1 } bằng phương pháp Gauss.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng R₂←R₂−R₁ và R₃←R₃−2R₁ để tạo các số 0 dưới phần tử đầu.
Lời giải: R₂←R₂−R₁ cho −2y=0, nên y=0. | R₃←R₃−2R₁ cho −y−3z=-15, nên z=5. | Từ x+y+z=7 suy ra x=2.
Vì sao: Mỗi phép đổi hàng giữ nguyên tập nghiệm; dạng bậc thang cho phép thế ngược từ phương trình ít ẩn nhất.
Sai ở đâu: Chỉ biến đổi vế trái mà không biến đổi số ở cột vế phải.
Cách khác: Khử y bằng hai phương trình đầu, rồi thế ngược; bản chất vẫn là phép khử Gauss.
CD10.2-NB-06Một xưởng làm ba loại hộp A, B, C. Tổng số lô là 15; tổng giờ máy theo định mức 2, 3, 4 giờ/lô là 45; A và C dùng 1 giờ đóng gói/lô, B dùng 2 giờ/lô, tổng 20 giờ. Tìm số lô mỗi loại.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Gọi số lô là a,b,c≥0; lập đúng ba phương trình trước khi giải.
Lời giải: Hệ là a+b+c=15, 2a+3b+4c=45, a+2b+c=20. | Khử Gauss thu được (a;b;c)=(5;5;5). | Các giá trị nguyên không âm, phù hợp bối cảnh.
Vì sao: Số 15 chỉ là dữ liệu kiểm soát được tạo từ nghiệm; kết luận phải dựa trên cả ba ràng buộc.
Sai ở đâu: Không ghi đơn vị lô hoặc nhận nghiệm âm nếu dữ kiện khác.
Cách khác: Lấy phương trình thứ ba trừ phương trình thứ nhất để tìm b trước.
CD10.2-NB-07Ba quỹ A, B, C nhận lần lượt x, y, z triệu đồng. Tổng vốn 12 triệu; A hơn B 4 triệu; C bằng 4 triệu. Lập hệ và tìm mức vốn.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Khóa phương trình z trước, rồi dùng tổng và hiệu.
Lời giải: Hệ: x+y+z=12; x−y=4; z=4. | Thế z=4, giải hai phương trình còn lại được x=6, y=2.
Vì sao: Tên biến, đơn vị và điều kiện không âm là một phần của mô hình, không phải phần trang trí.
Sai ở đâu: Dịch ‘A hơn B d’ thành y−x=d.
Cách khác: Trừ phần vốn C khỏi tổng rồi chia tổng–hiệu cho 2.
CD10.2-NB-08Cân bằng phản ứng C₂H₆ + O₂ → CO₂ + H₂O bằng hệ phương trình, chọn hệ số C₂H₆ nhỏ nhất bằng 2.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Gọi hệ số là a,b,c,d; bảo toàn C, H, O rồi đặt a=2.
Lời giải: Bảo toàn: 2a=c; 6a=2d; 2b=2c+d; a=2. | Suy ra c=4, d=6, b=7. | Phương trình: 2C₂H₆+7O₂→4CO₂+6H₂O.
Vì sao: Hệ bảo toàn nguyên tử là hệ tuyến tính; cần chuẩn hóa vì nhân tất cả hệ số với cùng một số vẫn cho một nghiệm tỉ lệ.
Sai ở đâu: Viết b=2c+d thay vì 2b=2c+d hoặc quên tối giản hệ số.
Cách khác: Cân bằng C, rồi H, cuối cùng O; thực chất là thế dần trong hệ.
CD10.2-NB-09Phân loại hệ {x+y+z=3; 2x+2y+2z=6; x+y+z=4}.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh phương trình thứ nhất và thứ ba.
Lời giải: Hai phương trình x+y+z=3 và x+y+z=4 mâu thuẫn, nên hệ vô nghiệm.
Vì sao: Khi khử Gauss, mâu thuẫn xuất hiện dưới dạng hàng 0=1.
Sai ở đâu: Thấy phương trình thứ hai phụ thuộc phương trình đầu rồi kết luận vô số nghiệm, bỏ qua phương trình thứ ba.
Cách khác: Trừ trực tiếp phương trình thứ ba cho phương trình thứ nhất.
CD10.2-NB-10Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm { x+y+z=6; x−y+z=6; 2x+y−z=0 }, rồi nêu một phép kiểm bắt buộc.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhập đủ 12 hệ số theo đúng thứ tự ba phương trình; sau khi máy cho nghiệm, thay lại.
Lời giải: Máy cho (x;y;z)=(2;0;4). | Thay vào ba phương trình thu được đúng 6, 6, 0.
Vì sao: Máy tính hỗ trợ khử số học nhưng không thay cho việc lập đúng hệ, đọc đúng thứ tự biến và kiểm nghiệm.
Sai ở đâu: Đảo cột x,y,z hoặc nhập thiếu dấu âm.
Cách khác: Giải tay bằng Gauss rồi dùng máy tính để kiểm độc lập.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phương án nhiễu sinh từ lỗi thật
Cổng đạt đề xuất 80%; đọc giải thích ngay cả khi chọn đúng để kiểm bản chất.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Một bộ ba (x₀,y₀,z₀) là nghiệm của hệ khi nào?
5 ĐỀ LUYỆN CÓ HƯỚNG CHẤM
Phân bố đủ năm nấc độ khó
Đề mức 1
CD10.2-NB-01, CD10.2-NB-02, CD10.2-NB-03, CD10.2-NB-04, CD10.2-NB-05, CD10.2-NB-06, CD10.2-NB-07, CD10.2-NB-08, CD10.2-NB-09, CD10.2-NB-10.
Xem đáp án
- CD10.2-NB-01: (x;y)=(1;-2)
- CD10.2-NB-02: (x;y)=(2;-1)
- CD10.2-NB-03: (x;y)=(3;0)
- CD10.2-NB-04: Có
- CD10.2-NB-05: (x;y;z)=(2;0;5)
- CD10.2-NB-06: A=5, B=5, C=5 (lô)
- CD10.2-NB-07: (x;y;z)=(6;2;4) triệu đồng
- CD10.2-NB-08: 2 : 7 : 4 : 6
- CD10.2-NB-09: Vô nghiệm
- CD10.2-NB-10: (x;y;z)=(2;0;4)
Đề mức 2
CD10.2-TH-01, CD10.2-TH-02, CD10.2-TH-03, CD10.2-TH-04, CD10.2-TH-05, CD10.2-TH-06, CD10.2-TH-07, CD10.2-TH-08, CD10.2-TH-09, CD10.2-TH-10.
Xem đáp án
- CD10.2-TH-01: (x;y)=(4;1)
- CD10.2-TH-02: (x;y)=(5;-2)
- CD10.2-TH-03: (x;y)=(1;-1)
- CD10.2-TH-04: (x;y;z)=(5;5;6) triệu đồng
- CD10.2-TH-05: 2 : 7 : 4 : 6
- CD10.2-TH-06: Vô nghiệm
- CD10.2-TH-07: (x;y;z)=(1;-2;2)
- CD10.2-TH-08: Có
- CD10.2-TH-09: (x;y;z)=(3;2;4)
- CD10.2-TH-10: A=6, B=2, C=4 (lô)
Đề mức 3
CD10.2-VD-01, CD10.2-VD-02, CD10.2-VD-03, CD10.2-VD-04, CD10.2-VD-05, CD10.2-VD-06, CD10.2-VD-07, CD10.2-VD-08, CD10.2-VD-09, CD10.2-VD-10.
Xem đáp án
- CD10.2-VD-01: (x;y)=(2;0)
- CD10.2-VD-02: (x;y)=(3;1)
- CD10.2-VD-03: (x;y)=(4;-2)
- CD10.2-VD-04: (x;y;z)=(5;1;4)
- CD10.2-VD-05: Có
- CD10.2-VD-06: (x;y;z)=(2;0;2)
- CD10.2-VD-07: A=5, B=5, C=6 (lô)
- CD10.2-VD-08: (x;y;z)=(6;2;5) triệu đồng
- CD10.2-VD-09: 2 : 7 : 4 : 6
- CD10.2-VD-10: Vô nghiệm
Đề mức 4
CD10.2-VDC-01, CD10.2-VDC-02, CD10.2-VDC-03, CD10.2-VDC-04, CD10.2-VDC-05, CD10.2-VDC-06, CD10.2-VDC-07, CD10.2-VDC-08, CD10.2-VDC-09, CD10.2-VDC-10.
Xem đáp án
- CD10.2-VDC-01: (x;y)=(5;-1)
- CD10.2-VDC-02: (x;y)=(1;0)
- CD10.2-VDC-03: (x;y)=(2;1)
- CD10.2-VDC-04: A=4, B=3, C=4 (lô)
- CD10.2-VDC-05: (x;y;z)=(5;5;3) triệu đồng
- CD10.2-VDC-06: 2 : 7 : 4 : 6
- CD10.2-VDC-07: Vô nghiệm
- CD10.2-VDC-08: (x;y;z)=(1;-2;3)
- CD10.2-VDC-09: Có
- CD10.2-VDC-10: (x;y;z)=(3;2;5)
Đề ứng dụng tổng hợp
CD10.2-TT-01, CD10.2-TT-02, CD10.2-TT-03, CD10.2-TT-04, CD10.2-TT-05, CD10.2-TT-06, CD10.2-TT-07, CD10.2-TT-08, CD10.2-TT-09, CD10.2-TT-10.
Xem đáp án
- CD10.2-TT-01: (x;y)=(3;-2)
- CD10.2-TT-02: (x;y)=(4;-1)
- CD10.2-TT-03: (x;y)=(5;0)
- CD10.2-TT-04: Vô nghiệm
- CD10.2-TT-05: (x;y;z)=(5;1;5)
- CD10.2-TT-06: Có
- CD10.2-TT-07: (x;y;z)=(2;0;3)
- CD10.2-TT-08: A=5, B=5, C=3 (lô)
- CD10.2-TT-09: (x;y;z)=(6;2;6) triệu đồng
- CD10.2-TT-10: 2 : 7 : 4 : 6
NGUỒN VÀ GIỚI HẠN
Khóa chuẩn trước khi xuất bản
Nguồn chương trình quyết định phạm vi; ví dụ và lời giải trên trang được biên soạn, tính lại và kiểm thử nội bộ.
01
Chương trình GDPT môn Toán – kèm Thông tư 32/2018/TT-BGDĐTNguồn cấp một để khóa tên chuyên đề, yêu cầu cần đạt và phạm vi 35 tiết lựa chọn.
Mở nguồn ↗02Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT – hồ sơ chương trình giáo dục phổ thôngĐối chiếu văn bản ban hành; không dùng trang giải bài tập thương mại làm chuẩn chương trình.
Mở nguồn ↗Giới hạn công bố: Đây là học liệu củng cố và học sâu theo chuyên đề lựa chọn, không thay thế kế hoạch dạy học của nhà trường. Kí hiệu phương trình parabol được khóa rõ theo từng bài để tránh nhầm giữa y²=2px và y²=4ax.