Thấy cấu trúc thay vì học mẹo
Bài học giúp biến tổng hợp dao động, xử lí tín hiệu, góc nghiêng và chuyển động quay thành mô hình có thể kiểm tra.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Viết công thức trước khi thay số.
- cos(a±b) đổi dấu khác sin(a±b).
- sin2a = 2sina cosa.
Bài 2. Công thức lượng giác
Tổ chức công thức cộng, hiệu, nhân đôi và biến đổi tích–tổng thành một mạng lưới có nguồn gốc, điều kiện và phép kiểm.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Ra quyết định có căn cứ
Biết chọn công cụ, kiểm điều kiện, ước lượng trước và giải thích kết quả.
Nối bài trước với bài sau
Kích hoạt bài 1, góc đặc biệt, hệ thức sin²α + cos²α = 1 và chuẩn bị cho Bài 3. Hàm số lượng giác.
Mỗi lỗi là một dữ kiện
Sổ lỗi biến câu sai thành lịch ôn cá nhân thay vì bằng chứng rằng em kém Toán.
- Dùng đúng công thức cộng–hiệu.
- Suy ra công thức nhân đôi.
- Biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
- Chọn công thức ngắn nhất theo dữ kiện.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 1, góc đặc biệt, hệ thức sin²α + cos²α = 1.
- Đọc đúng kí hiệu, điều kiện và đơn vị.
- Ước lượng dấu, khoảng hoặc cỡ kết quả trước khi tính.
- Biết thay ngược hoặc dùng biểu diễn thứ hai để tự kiểm.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Công thức cộng
Hiểu đơn giản: Tách góc tổng–hiệu thành các góc quen thuộc.
sin(a±b)=sina cosb±cosa sinb; cos(a±b)=cosa cosb∓sina sinb.
Ví dụ: sin75°=sin(45°+30°).
Hình nên dùng: Hai cung ghép trên đường tròn.
Mô phỏng: Chọn a,b rồi xem từng hạng.
Mẹo nhớ: Sin giữ dấu; cos đổi dấu.
Sai lầm: Viết cos(a+b) với dấu cộng giữa hai tích.
Ghi chú: Công thức đúng với mọi a,b.
Công thức nhân đôi
Hiểu đơn giản: Cho hai góc trong công thức cộng bằng nhau.
sin2a=2sina cosa; cos2a=cos²a−sin²a=2cos²a−1=1−2sin²a.
Ví dụ: Nếu sin a=3/5, cos a=4/5 thì sin2a=24/25.
Hình nên dùng: Sơ đồ ba dạng cos2a.
Mô phỏng: Thay sin, cos quan sát ba kết quả trùng.
Mẹo nhớ: Chọn dạng khớp dữ kiện.
Sai lầm: Quên bình phương.
Ghi chú: Ba dạng cos2a hoàn toàn tương đương.
Biến đổi tích–tổng
Hiểu đơn giản: Đổi hình thức để rút gọn hoặc giải phương trình.
2cosa cosb=cos(a−b)+cos(a+b); 2sina sinb=cos(a−b)−cos(a+b).
Ví dụ: 2cos3x cosx = cos2x + cos4x.
Hình nên dùng: Cặp sóng chồng lên nhau.
Mô phỏng: Thanh trượt hai góc.
Mẹo nhớ: Tích cần hệ số 2.
Sai lầm: Làm mất hệ số 1/2.
Ghi chú: Dùng khi giúp giảm bậc hoặc tách tần số.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Đổi đơn vị, thu gọn góc và tự kiểm hệ thức
Nhập một góc bất kì. Công cụ giữ nguyên số vòng quay, đưa góc về [0°; 360°) và chỉ tính tan khi cos khác 0.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtMẫu tư duy 1: CTL-NB-04
Đề bài: Biết sin α = 3/5, cos α = 4/5. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.
Phân tích: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- sin²α + cos²α = (3² + 4²)/5² = 25/25 = 1.
- Kết luận: 1.
Vì sao: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 9 + 16 = 25.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
02 • Nhận biếtMẫu tư duy 2: CTL-NB-05
Đề bài: Biết sin α = 5/13, cos α = 12/13. Tính tan α.
Phân tích: Dùng tan α = sin α/cos α vì cos α ≠ 0.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- tan α = (5/13):(12/13) = 5/12 ≈ 0,4167.
- Kết luận: 5/12.
Vì sao: Hai phân số có cùng mẫu nên tỉ số bằng tỉ số hai tử.
Cách khác: Dùng tam giác vuông: tan = cạnh đối/cạnh kề.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Nhân sin với cos hoặc đảo tan thành cos/sin.
03 • Thông hiểuMẫu tư duy 3: CTL-NB-06
Đề bài: Biết sin α = 8/17, cos α = 15/17. Tính sin 2α.
Phân tích: Dùng sin 2α = 2sin α cos α.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- sin 2α = 2·8/17·15/17 = 240/289.
- Kết luận: 240/289.
Vì sao: Công thức nhân đôi biến tích sin–cos thành sin của góc gấp đôi.
Cách khác: Thay số rồi kiểm tra kết quả phải nằm trong [−1;1].
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Quên hệ số 2.
04 • Thông hiểuMẫu tư duy 4: CTL-NB-07
Đề bài: Biết sin α = 7/25, cos α = 24/25. Tính cos 2α bằng cos²α − sin²α.
Phân tích: Bình phương rồi trừ theo đúng thứ tự cos² − sin².
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- cos 2α = (576 − 49)/625 = 527/625.
- Kết luận: 527/625.
Vì sao: Cùng một cos 2α có ba dạng tương đương; chọn dạng dùng đủ dữ kiện.
Cách khác: Kiểm lại bằng 1 − 2sin²α.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Đổi thành sin² − cos² nên sai dấu.
05 • Vận dụngMẫu tư duy 5: CTL-NB-08
Đề bài: Tính sin(30° + 60°) bằng công thức cộng.
Phân tích: Viết công thức trước, rồi mới thay giá trị góc đặc biệt.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- sin(30° + 60°) = 1.
- Kết luận: 1.
Vì sao: Công thức cộng giúp quy góc tổng–hiệu về các giá trị đã biết.
Cách khác: Nhận ra góc trong ngoặc rồi kiểm trực tiếp bằng bảng góc đặc biệt.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Đổi nhầm dấu trong công thức cos(a ± b).
06 • Vận dụngMẫu tư duy 6: CTL-NB-09
Đề bài: Biết sin α = 5/13, cos α = 12/13. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.
Phân tích: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- sin²α + cos²α = (5² + 12²)/13² = 169/169 = 1.
- Kết luận: 1.
Vì sao: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 25 + 144 = 169.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
07 • Vận dụng caoMẫu tư duy 7: CTL-NB-10
Đề bài: Biết sin α = 8/17, cos α = 15/17. Tính tan α.
Phân tích: Dùng tan α = sin α/cos α vì cos α ≠ 0.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- tan α = (8/17):(15/17) = 8/15 ≈ 0,5333.
- Kết luận: 8/15.
Vì sao: Hai phân số có cùng mẫu nên tỉ số bằng tỉ số hai tử.
Cách khác: Dùng tam giác vuông: tan = cạnh đối/cạnh kề.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Nhân sin với cos hoặc đảo tan thành cos/sin.
08 • Vận dụng caoMẫu tư duy 8: CTL-NB-11
Đề bài: Biết sin α = 7/25, cos α = 24/25. Tính sin 2α.
Phân tích: Dùng sin 2α = 2sin α cos α.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- sin 2α = 2·7/25·24/25 = 336/625.
- Kết luận: 336/625.
Vì sao: Công thức nhân đôi biến tích sin–cos thành sin của góc gấp đôi.
Cách khác: Thay số rồi kiểm tra kết quả phải nằm trong [−1;1].
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Quên hệ số 2.
09 • Thực tếMẫu tư duy 9: CTL-NB-12
Đề bài: Biết sin α = 3/5, cos α = 4/5. Tính cos 2α bằng cos²α − sin²α.
Phân tích: Bình phương rồi trừ theo đúng thứ tự cos² − sin².
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- cos 2α = (16 − 9)/25 = 7/25.
- Kết luận: 7/25.
Vì sao: Cùng một cos 2α có ba dạng tương đương; chọn dạng dùng đủ dữ kiện.
Cách khác: Kiểm lại bằng 1 − 2sin²α.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Đổi thành sin² − cos² nên sai dấu.
10 • Thực tếMẫu tư duy 10: CTL-NB-13
Đề bài: Tính cos(60° − 30°) bằng công thức cộng.
Phân tích: Viết công thức trước, rồi mới thay giá trị góc đặc biệt.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- cos(60° − 30°) = √3/2.
- Kết luận: √3/2.
Vì sao: Công thức cộng giúp quy góc tổng–hiệu về các giá trị đã biết.
Cách khác: Nhận ra góc trong ngoặc rồi kiểm trực tiếp bằng bảng góc đặc biệt.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Đổi nhầm dấu trong công thức cos(a ± b).
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình nhìn qua công thức lượng giác
Tình huống 1 dùng tổng hợp dao động, xử lí tín hiệu, góc nghiêng và chuyển động quay; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Trường học nhìn qua công thức lượng giác
Tình huống 2 dùng tổng hợp dao động, xử lí tín hiệu, góc nghiêng và chuyển động quay; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Đời sống nhìn qua công thức lượng giác
Tình huống 3 dùng tổng hợp dao động, xử lí tín hiệu, góc nghiêng và chuyển động quay; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Khoa học nhìn qua công thức lượng giác
Tình huống 4 dùng tổng hợp dao động, xử lí tín hiệu, góc nghiêng và chuyển động quay; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Kỹ thuật nhìn qua công thức lượng giác
Tình huống 5 dùng tổng hợp dao động, xử lí tín hiệu, góc nghiêng và chuyển động quay; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Sản xuất nhìn qua công thức lượng giác
Tình huống 6 dùng tổng hợp dao động, xử lí tín hiệu, góc nghiêng và chuyển động quay; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Thiên nhiên nhìn qua công thức lượng giác
Tình huống 7 dùng tổng hợp dao động, xử lí tín hiệu, góc nghiêng và chuyển động quay; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Nghề nghiệp nhìn qua công thức lượng giác
Tình huống 8 dùng tổng hợp dao động, xử lí tín hiệu, góc nghiêng và chuyển động quay; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Công thức cộng là gì?
Tách góc tổng–hiệu thành các góc quen thuộc. Mốc chính xác cần nhớ: sin(a±b)=sina cosb±cosa sinb; cos(a±b)=cosa cosb∓sina sinb. Hãy thử ví dụ: sin75°=sin(45°+30°). Lỗi cần chặn: Viết cos(a+b) với dấu cộng giữa hai tích.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Sai dấu công thức cos
Viết cos(a+b) với dấu cộng giữa hai tích. Cách sửa: Sin giữ dấu; cos đổi dấu. Sau đó kiểm bằng: Công thức đúng với mọi a,b.
Quên hệ số 2
Quên bình phương. Cách sửa: Chọn dạng khớp dữ kiện. Sau đó kiểm bằng: Ba dạng cos2a hoàn toàn tương đương.
Bình phương sai phân số
Làm mất hệ số 1/2. Cách sửa: Tích cần hệ số 2. Sau đó kiểm bằng: Dùng khi giúp giảm bậc hoặc tách tần số.
Dùng tan khi cos bằng 0
Viết cos(a+b) với dấu cộng giữa hai tích. Cách sửa: Sin giữ dấu; cos đổi dấu. Sau đó kiểm bằng: Công thức đúng với mọi a,b.
Không xét góc phần tư
Quên bình phương. Cách sửa: Chọn dạng khớp dữ kiện. Sau đó kiểm bằng: Ba dạng cos2a hoàn toàn tương đương.
Biến đổi một chiều không tương đương
Làm mất hệ số 1/2. Cách sửa: Tích cần hệ số 2. Sau đó kiểm bằng: Dùng khi giúp giảm bậc hoặc tách tần số.
Chọn công thức thừa dữ kiện
Viết cos(a+b) với dấu cộng giữa hai tích. Cách sửa: Sin giữ dấu; cos đổi dấu. Sau đó kiểm bằng: Công thức đúng với mọi a,b.
Không kiểm miền giá trị
Quên bình phương. Cách sửa: Chọn dạng khớp dữ kiện. Sau đó kiểm bằng: Ba dạng cos2a hoàn toàn tương đương.
Đổi tích–tổng sai hệ số
Làm mất hệ số 1/2. Cách sửa: Tích cần hệ số 2. Sau đó kiểm bằng: Dùng khi giúp giảm bậc hoặc tách tần số.
Nhập máy sai ngoặc
Viết cos(a+b) với dấu cộng giữa hai tích. Cách sửa: Sin giữ dấu; cos đổi dấu. Sau đó kiểm bằng: Công thức đúng với mọi a,b.
Sai dấu công thức cos – tình huống 11
Quên bình phương. Cách sửa: Chọn dạng khớp dữ kiện. Sau đó kiểm bằng: Ba dạng cos2a hoàn toàn tương đương.
Quên hệ số 2 – tình huống 12
Làm mất hệ số 1/2. Cách sửa: Tích cần hệ số 2. Sau đó kiểm bằng: Dùng khi giúp giảm bậc hoặc tách tần số.
Bình phương sai phân số – tình huống 13
Viết cos(a+b) với dấu cộng giữa hai tích. Cách sửa: Sin giữ dấu; cos đổi dấu. Sau đó kiểm bằng: Công thức đúng với mọi a,b.
Dùng tan khi cos bằng 0 – tình huống 14
Quên bình phương. Cách sửa: Chọn dạng khớp dữ kiện. Sau đó kiểm bằng: Ba dạng cos2a hoàn toàn tương đương.
Không xét góc phần tư – tình huống 15
Làm mất hệ số 1/2. Cách sửa: Tích cần hệ số 2. Sau đó kiểm bằng: Dùng khi giúp giảm bậc hoặc tách tần số.
Biến đổi một chiều không tương đương – tình huống 16
Viết cos(a+b) với dấu cộng giữa hai tích. Cách sửa: Sin giữ dấu; cos đổi dấu. Sau đó kiểm bằng: Công thức đúng với mọi a,b.
Chọn công thức thừa dữ kiện – tình huống 17
Quên bình phương. Cách sửa: Chọn dạng khớp dữ kiện. Sau đó kiểm bằng: Ba dạng cos2a hoàn toàn tương đương.
Không kiểm miền giá trị – tình huống 18
Làm mất hệ số 1/2. Cách sửa: Tích cần hệ số 2. Sau đó kiểm bằng: Dùng khi giúp giảm bậc hoặc tách tần số.
Đổi tích–tổng sai hệ số – tình huống 19
Viết cos(a+b) với dấu cộng giữa hai tích. Cách sửa: Sin giữ dấu; cos đổi dấu. Sau đó kiểm bằng: Công thức đúng với mọi a,b.
Nhập máy sai ngoặc – tình huống 20
Quên bình phương. Cách sửa: Chọn dạng khớp dữ kiện. Sau đó kiểm bằng: Ba dạng cos2a hoàn toàn tương đương.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Khóa điều kiện trước
Viết miền xác định, quy ước chỉ số hoặc điều kiện dữ liệu trước khi biến đổi.
Một công thức – một ý nghĩa
Không học bảng rời; nói được mỗi đại lượng trong công thức đại diện cho điều gì.
Dùng hai biểu diễn
Đại số phải được kiểm bằng đồ thị, đường tròn, bảng hoặc tình huống thực tế.
Dự đoán trước khi bấm máy
Ước lượng dấu, khoảng giá trị và cỡ kết quả để phát hiện thao tác sai.
Sổ lỗi 1–7–30
Ghi nguyên nhân lỗi và gọi lại sau 1 ngày, 7 ngày, 30 ngày.
Giải thích thành lời
Nếu chưa giải thích được vì sao dùng công thức thì chưa được coi là đã thuộc.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Công thức lượng giác1 2 3
Công thức cộngsin(a±b)=sina cosb±cosa sinb; cos(a±b)=cosa cosb∓sina sinb. Sin giữ dấu; cos đổi dấu.
Công thức nhân đôisin2a=2sina cosa; cos2a=cos²a−sin²a=2cos²a−1=1−2sin²a. Chọn dạng khớp dữ kiện.
Biến đổi tích–tổng2cosa cosb=cos(a−b)+cos(a+b); 2sina sinb=cos(a−b)−cos(a+b). Tích cần hệ số 2.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
CTL-NB-01Đổi góc 180° sang radian.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân số đo độ với π/180 rồi rút gọn.
Lời giải: 180° = 180π/180 = π rad.
Vì sao: Độ và radian là hai đơn vị của cùng một góc; 180° = π rad.
Sai ở đâu: Viết thêm kí hiệu ° sau kết quả radian hoặc quên rút gọn phân số.
Cách khác: Rút gọn tỉ số 180/180 trước, sau đó gắn π.
CTL-NB-02Đổi góc 2π/3 rad sang độ.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân số đo radian với 180/π.
Lời giải: 2π/3 × 180/π = 120°.
Vì sao: Hệ số π được khử; chỉ còn phép nhân phân số.
Sai ở đâu: Nhân thêm π thay vì khử π.
Cách khác: Dùng tỉ lệ π rad ↔ 180°.
CTL-NB-03Tìm số đo trong [0°; 360°) cùng điểm cuối với góc 1305°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Trừ đi một số nguyên lần 360°.
Lời giải: 1305° − 3·360° = 225°.
Vì sao: Hai góc hơn kém nhau k·360° có cùng tia cuối.
Sai ở đâu: Trừ 180° nên thu được tia đối, không phải cùng tia cuối.
Cách khác: Lấy phần dư của 1305 khi chia cho 360.
CTL-NB-04Biết sin α = 3/5, cos α = 4/5. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Lời giải: sin²α + cos²α = (3² + 4²)/5² = 25/25 = 1.
Vì sao: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 9 + 16 = 25.
CTL-NB-05Biết sin α = 5/13, cos α = 12/13. Tính tan α.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tan α = sin α/cos α vì cos α ≠ 0.
Lời giải: tan α = (5/13):(12/13) = 5/12 ≈ 0,4167.
Vì sao: Hai phân số có cùng mẫu nên tỉ số bằng tỉ số hai tử.
Sai ở đâu: Nhân sin với cos hoặc đảo tan thành cos/sin.
Cách khác: Dùng tam giác vuông: tan = cạnh đối/cạnh kề.
CTL-NB-06Biết sin α = 8/17, cos α = 15/17. Tính sin 2α.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng sin 2α = 2sin α cos α.
Lời giải: sin 2α = 2·8/17·15/17 = 240/289.
Vì sao: Công thức nhân đôi biến tích sin–cos thành sin của góc gấp đôi.
Sai ở đâu: Quên hệ số 2.
Cách khác: Thay số rồi kiểm tra kết quả phải nằm trong [−1;1].
CTL-NB-07Biết sin α = 7/25, cos α = 24/25. Tính cos 2α bằng cos²α − sin²α.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bình phương rồi trừ theo đúng thứ tự cos² − sin².
Lời giải: cos 2α = (576 − 49)/625 = 527/625.
Vì sao: Cùng một cos 2α có ba dạng tương đương; chọn dạng dùng đủ dữ kiện.
Sai ở đâu: Đổi thành sin² − cos² nên sai dấu.
Cách khác: Kiểm lại bằng 1 − 2sin²α.
CTL-NB-08Tính sin(30° + 60°) bằng công thức cộng.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Viết công thức trước, rồi mới thay giá trị góc đặc biệt.
Lời giải: sin(30° + 60°) = 1.
Vì sao: Công thức cộng giúp quy góc tổng–hiệu về các giá trị đã biết.
Sai ở đâu: Đổi nhầm dấu trong công thức cos(a ± b).
Cách khác: Nhận ra góc trong ngoặc rồi kiểm trực tiếp bằng bảng góc đặc biệt.
CTL-NB-09Biết sin α = 5/13, cos α = 12/13. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Lời giải: sin²α + cos²α = (5² + 12²)/13² = 169/169 = 1.
Vì sao: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 25 + 144 = 169.
CTL-NB-10Biết sin α = 8/17, cos α = 15/17. Tính tan α.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tan α = sin α/cos α vì cos α ≠ 0.
Lời giải: tan α = (8/17):(15/17) = 8/15 ≈ 0,5333.
Vì sao: Hai phân số có cùng mẫu nên tỉ số bằng tỉ số hai tử.
Sai ở đâu: Nhân sin với cos hoặc đảo tan thành cos/sin.
Cách khác: Dùng tam giác vuông: tan = cạnh đối/cạnh kề.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Biểu thức sin²α+cos²α bằng:
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Đổi góc 180° sang radian.
Gợi ý: Nhân số đo độ với π/180 rồi rút gọn.
Lời giải: 180° = 180π/180 = π rad.
Giải thích: Độ và radian là hai đơn vị của cùng một góc; 180° = π rad.
Lỗi cần tránh: Viết thêm kí hiệu ° sau kết quả radian hoặc quên rút gọn phân số.
Cách khác: Rút gọn tỉ số 180/180 trước, sau đó gắn π.
TỰ LUẬN 2Biết sin α = 8/17, cos α = 15/17. Tính sin 2α.
Gợi ý: Dùng sin 2α = 2sin α cos α.
Lời giải: sin 2α = 2·8/17·15/17 = 240/289.
Giải thích: Công thức nhân đôi biến tích sin–cos thành sin của góc gấp đôi.
Lỗi cần tránh: Quên hệ số 2.
Cách khác: Thay số rồi kiểm tra kết quả phải nằm trong [−1;1].
TỰ LUẬN 3Biết sin α = 7/25, cos α = 24/25. Tính sin 2α.
Gợi ý: Dùng sin 2α = 2sin α cos α.
Lời giải: sin 2α = 2·7/25·24/25 = 336/625.
Giải thích: Công thức nhân đôi biến tích sin–cos thành sin của góc gấp đôi.
Lỗi cần tránh: Quên hệ số 2.
Cách khác: Thay số rồi kiểm tra kết quả phải nằm trong [−1;1].
TỰ LUẬN 4Biết sin α = 3/5, cos α = 4/5. Tính sin 2α.
Gợi ý: Dùng sin 2α = 2sin α cos α.
Lời giải: sin 2α = 2·3/5·4/5 = 24/25.
Giải thích: Công thức nhân đôi biến tích sin–cos thành sin của góc gấp đôi.
Lỗi cần tránh: Quên hệ số 2.
Cách khác: Thay số rồi kiểm tra kết quả phải nằm trong [−1;1].
TỰ LUẬN 5Xác định dấu của sin 240° và cos 240°.
Gợi ý: Đặt tia cuối trên đường tròn lượng giác: sin là tung độ, cos là hoành độ.
Lời giải: sin 240° âm; cos 240° âm.
Giải thích: Dấu được đọc từ tọa độ điểm biểu diễn trên đường tròn đơn vị.
Lỗi cần tránh: Học thuộc tên góc phần tư nhưng đổi nhầm vai trò hoành độ–tung độ.
Cách khác: Phác trục Ox, Oy và đánh dấu vị trí tia cuối.
TỰ LUẬN 6Tính cos(45° + 45°) bằng công thức cộng.
Gợi ý: Viết công thức trước, rồi mới thay giá trị góc đặc biệt.
Lời giải: cos(45° + 45°) = 0.
Giải thích: Công thức cộng giúp quy góc tổng–hiệu về các giá trị đã biết.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu trong công thức cos(a ± b).
Cách khác: Nhận ra góc trong ngoặc rồi kiểm trực tiếp bằng bảng góc đặc biệt.
TỰ LUẬN 7Cho π/2<α<π và sin α=3/5. Tính cos α.
Gợi ý: Từ sin²α+cos²α=1 suy ra |cos α|=b/c theo bộ ba Pitago.
Lời giải: Từ sin²α+cos²α=1 suy ra |cos α|=b/c theo bộ ba Pitago. α ở góc phần tư II nên cos α<0; do đó cos α=−4/5.
Giải thích: Từ sin²α+cos²α=1 suy ra |cos α|=b/c theo bộ ba Pitago. α ở góc phần tư II nên cos α<0; do đó cos α=−4/5.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: trig-quadrant-cos-3-0
TỰ LUẬN 8Biểu thức sin(α+π/2) bằng: Hãy kiểm tra dấu và điều kiện trước khi chọn.
Gợi ý: Công thức cộng cho sin(α+π/2)=sinα·0+cosα·1.
Lời giải: Công thức cộng cho sin(α+π/2)=sinα·0+cosα·1. Đối chiếu dấu và đối số cho thấy chỉ phương án đã chọn đúng với mọi giá trị hợp lệ.
Giải thích: Công thức cộng cho sin(α+π/2)=sinα·0+cosα·1. Đối chiếu dấu và đối số cho thấy chỉ phương án đã chọn đúng với mọi giá trị hợp lệ.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: identity-1-1
TỰ LUẬN 9Đổi góc 7π/4 rad sang độ.
Gợi ý: Nhân số đo radian với 180/π.
Lời giải: 7π/4 × 180/π = 315°.
Giải thích: Hệ số π được khử; chỉ còn phép nhân phân số.
Lỗi cần tránh: Nhân thêm π thay vì khử π.
Cách khác: Dùng tỉ lệ π rad ↔ 180°.
TỰ LUẬN 10Biểu thức sin²α+cos²α bằng: Không suy luận chỉ từ hình hoặc bảng; hãy nêu căn cứ quyết định.
Gợi ý: Hệ thức cơ bản đúng với mọi α.
Lời giải: Hệ thức cơ bản đúng với mọi α. Đối chiếu dấu và đối số cho thấy chỉ phương án đã chọn đúng với mọi giá trị hợp lệ.
Giải thích: Hệ thức cơ bản đúng với mọi α. Đối chiếu dấu và đối số cho thấy chỉ phương án đã chọn đúng với mọi giá trị hợp lệ.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: identity-0-3
TỰ LUẬN 11Biểu thức 2sin α cos α bằng: Không suy luận chỉ từ hình hoặc bảng; hãy nêu căn cứ quyết định.
Gợi ý: Công thức góc đôi của sin cho sin2α=2sinαcosα.
Lời giải: Công thức góc đôi của sin cho sin2α=2sinαcosα. Đối chiếu dấu và đối số cho thấy chỉ phương án đã chọn đúng với mọi giá trị hợp lệ.
Giải thích: Công thức góc đôi của sin cho sin2α=2sinαcosα. Đối chiếu dấu và đối số cho thấy chỉ phương án đã chọn đúng với mọi giá trị hợp lệ.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: identity-3-3
TỰ LUẬN 12Biểu thức cos 2α bằng: Cần phản biện trường hợp biên trước khi kết luận.
Gợi ý: Công thức góc đôi: cos2α=1−2sin²α.
Lời giải: Công thức góc đôi: cos2α=1−2sin²α. Đối chiếu dấu và đối số cho thấy chỉ phương án đã chọn đúng với mọi giá trị hợp lệ.
Giải thích: Công thức góc đôi: cos2α=1−2sin²α. Đối chiếu dấu và đối số cho thấy chỉ phương án đã chọn đúng với mọi giá trị hợp lệ.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: identity-2-4
TỰ LUẬN 13Hai bánh răng tiếp xúc ngoài, bán kính lần lượt 2 cm và 3 cm, không trượt. Ban đầu hai dấu chuẩn ở vị trí tiếp xúc. Bánh thứ nhất phải quay ít nhất bao nhiêu vòng nguyên dương để cả hai dấu cùng trở lại vị trí ban đầu? Giải thích vì sao không có số vòng nhỏ hơn.
Gợi ý: Không trượt nên độ dài cung bằng nhau: số vòng bánh thứ hai bằng 2/3 lần số vòng bánh thứ nhất và quay ngược chiều
Lời giải: Không trượt nên độ dài cung bằng nhau: số vòng bánh thứ hai bằng 2/3 lần số vòng bánh thứ nhất và quay ngược chiều. Hai số 2,3 nguyên tố cùng nhau; để cả hai số vòng là số nguyên, số vòng bánh một phải là bội của 3. Nhỏ nhất là 3, khi đó bánh hai quay 2 vòng.
Giải thích: Không trượt nên độ dài cung bằng nhau: số vòng bánh thứ hai bằng 2/3 lần số vòng bánh thứ nhất và quay ngược chiều. Hai số 2,3 nguyên tố cùng nhau; để cả hai số vòng là số nguyên, số vòng bánh một phải là bội của 3. Nhỏ nhất là 3, khi đó bánh hai quay 2 vòng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 14Biểu thức cos(α−β) bằng: Cần phản biện trường hợp biên trước khi kết luận.
Gợi ý: Công thức hiệu của cos có dấu cộng giữa hai tích.
Lời giải: Công thức hiệu của cos có dấu cộng giữa hai tích. Đối chiếu dấu và đối số cho thấy chỉ phương án đã chọn đúng với mọi giá trị hợp lệ.
Giải thích: Công thức hiệu của cos có dấu cộng giữa hai tích. Đối chiếu dấu và đối số cho thấy chỉ phương án đã chọn đúng với mọi giá trị hợp lệ.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: identity-4-4
TỰ LUẬN 15Tính sin(5π/6) + sin(7π/6). Xét kết luận: “0”.
Gợi ý: sin(5π/6) = 1/2 và sin(7π/6) = −1/2.
Lời giải: sin(5π/6) = 1/2 và sin(7π/6) = −1/2. Tổng hai giá trị bằng 0. Kết quả đúng là 0; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.
Giải thích: sin(5π/6) = 1/2 và sin(7π/6) = −1/2. Tổng hai giá trị bằng 0. Kết quả đúng là 0; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.
Lỗi cần tránh: Không xét dấu của sin ở góc phần tư III.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 16Biết sin α = 5/13. Không cần biết góc phần tư của α, hãy tính cos 2α.
Gợi ý: Công thức cos 2α = 1 − 2sin²α chỉ phụ thuộc sin²α nên không cần biết dấu của cos α.
Lời giải: Công thức cos 2α = 1 − 2sin²α chỉ phụ thuộc sin²α nên không cần biết dấu của cos α. Thay sin²α = 0.14792899408284024, rút gọn được cos 2α = 119/169.
Giải thích: Công thức cos 2α = 1 − 2sin²α chỉ phụ thuộc sin²α nên không cần biết dấu của cos α. Thay sin²α = 0.14792899408284024, rút gọn được cos 2α = 119/169.
Lỗi cần tránh: Tự lấy căn để tìm cos α rồi phát sinh lựa chọn dấu không cần thiết.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 17Tìm số đo trong [0°; 360°) cùng điểm cuối với góc 450°.
Gợi ý: Trừ đi một số nguyên lần 360°.
Lời giải: 450° − 1·360° = 90°.
Giải thích: Hai góc hơn kém nhau k·360° có cùng tia cuối.
Lỗi cần tránh: Trừ 180° nên thu được tia đối, không phải cùng tia cuối.
Cách khác: Lấy phần dư của 450 khi chia cho 360.
TỰ LUẬN 18α, β đều là góc nhọn; sin α = 1/2 và cos β = √3/2. Quan hệ giữa α và β là gì?
Gợi ý: Với góc nhọn, sin α = 1/2 xác định α = π/6.
Lời giải: Với góc nhọn, sin α = 1/2 xác định α = π/6. Cũng trên góc nhọn, cos β = √3/2 xác định β = π/6, nên α = β.
Giải thích: Với góc nhọn, sin α = 1/2 xác định α = π/6. Cũng trên góc nhọn, cos β = √3/2 xác định β = π/6, nên α = β.
Lỗi cần tránh: Cho rằng sin và cos bằng các số khác nhau phải ứng với góc khác nhau.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 19Xét mọi góc thực x. Xét kết luận: “cos(x−π/2)=sin x”.
Gợi ý: Công thức cos(a−b)=cos a cos b+sin a sin b.
Lời giải: Công thức cos(a−b)=cos a cos b+sin a sin b. Với b=π/2, cos b=0 và sin b=1, thu được cos(x−π/2)=sin x. Kết quả đúng là cos(x−π/2)=sin x; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.
Giải thích: Công thức cos(a−b)=cos a cos b+sin a sin b. Với b=π/2, cos b=0 và sin b=1, thu được cos(x−π/2)=sin x. Kết quả đúng là cos(x−π/2)=sin x; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.
Lỗi cần tránh: Gắn dấu âm cho sin x vì thấy dấu trừ trong đối số.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 20Cho α nhọn, cosα=15/17. Chứng minh từ công thức cộng rằng cos3α=4cos³α−3cosα; từ đó tính 4cos3α.
Gợi ý: Viết cos(2α+α)=cos2αcosα−sin2αsinα
Lời giải: Viết cos(2α+α)=cos2αcosα−sin2αsinα. Thay cos2α=2cos²α−1, sin2α=2sinαcosα và sin²α=1−cos²α; thu được 4cos³α−3cosα. Thay cosα và nhân hệ số 4 cho 1980/4913.
Giải thích: Viết cos(2α+α)=cos2αcosα−sin2αsinα. Thay cos2α=2cos²α−1, sin2α=2sinαcosα và sin²α=1−cos²α; thu được 4cos³α−3cosα. Thay cosα và nhân hệ số 4 cho 1980/4913.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: CTL-NB-01, CTL-NB-02, CTL-NB-03, CTL-NB-04, CTL-NB-05, CTL-NB-06, CTL-NB-07, CTL-NB-08, CTL-NB-09, CTL-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- CTL-NB-01: π rad
- CTL-NB-02: 120°
- CTL-NB-03: 225°
- CTL-NB-04: 1
- CTL-NB-05: 5/12
- CTL-NB-06: 240/289
- CTL-NB-07: 527/625
- CTL-NB-08: 1
- CTL-NB-09: 1
- CTL-NB-10: 8/15
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 1
10 câu đại diện: CTL-NB-11, CTL-NB-12, CTL-NB-13, CTL-NB-14, CTL-NB-15, CTL-NB-16, CTL-NB-17, CTL-NB-18, CTL-NB-19, CTL-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- CTL-NB-11: 336/625
- CTL-NB-12: 7/25
- CTL-NB-13: √3/2
- CTL-NB-14: 1
- CTL-NB-15: 7/24
- CTL-NB-16: 24/25
- CTL-NB-17: 119/169
- CTL-NB-18: 1
- CTL-NB-19: 1
- CTL-NB-20: 3/4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: CTL-TH-01, CTL-TH-02, CTL-TH-03, CTL-TH-04, CTL-TH-05, CTL-TH-06, CTL-TH-07, CTL-TH-08, CTL-TH-09, CTL-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- CTL-TH-01: sin âm; cos âm
- CTL-TH-02: sin = −1; cos = 0
- CTL-TH-03: 5π/3 rad
- CTL-TH-04: 120/169
- CTL-TH-05: 161/289
- CTL-TH-06: 0
- CTL-TH-07: 1
- CTL-TH-08: cos α
- CTL-TH-09: 1−2sin²α
- CTL-TH-10: 1
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: CTL-TH-11, CTL-TH-12, CTL-TH-13, CTL-TH-14, CTL-TH-15, CTL-TH-16, CTL-TH-17, CTL-TH-18, CTL-TH-19, CTL-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- CTL-TH-11: −4/5
- CTL-TH-12: sin 2α
- CTL-TH-13: −3/4
- CTL-TH-14: cosαcosβ+sinαsinβ
- CTL-TH-15: 1
- CTL-TH-16: cos α
- CTL-TH-17: 1−2sin²α
- CTL-TH-18: -1
- CTL-TH-19: −12/13
- CTL-TH-20: sin 2α
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: CTL-VD-01, CTL-VD-02, CTL-VD-03, CTL-VD-04, CTL-VD-05, CTL-VD-06, CTL-VD-07, CTL-VD-08, CTL-VD-09, CTL-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- CTL-VD-01: 315°
- CTL-VD-02: 330°
- CTL-VD-03: sin dương; cos dương
- CTL-VD-04: −5/12
- CTL-VD-05: cosαcosβ+sinαsinβ
- CTL-VD-06: 1
- CTL-VD-07: cos α
- CTL-VD-08: 1−2sin²α
- CTL-VD-09: -1
- CTL-VD-10: −24/25
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.