Thấy cấu trúc thay vì học mẹo
Bài học giúp biến thủy triều, âm thanh, điện xoay chiều, nhịp sinh học và mùa vụ thành mô hình có thể kiểm tra.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 3. Hàm số lượng giác
Hiểu tập xác định, tập giá trị, tính chẵn–lẻ, chu kì và đồ thị của sin, cos, tan, cot thay vì ghi nhớ bốn hình rời rạc.
Đồ thị kể lại chuyển động của một điểm quay
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Ra quyết định có căn cứ
Biết chọn công cụ, kiểm điều kiện, ước lượng trước và giải thích kết quả.
Nối bài trước với bài sau
Kích hoạt bài 1–2, hàm số, tập xác định và phép biến đổi đồ thị và chuẩn bị cho Bài 4. Phương trình lượng giác.
Mỗi lỗi là một dữ kiện
Sổ lỗi biến câu sai thành lịch ôn cá nhân thay vì bằng chứng rằng em kém Toán.
- Xác định đúng miền của bốn hàm.
- Nhận chu kì và chẵn–lẻ.
- Vẽ–đọc đồ thị qua các điểm mốc.
- Dùng đồ thị mô tả hiện tượng tuần hoàn.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 1–2, hàm số, tập xác định và phép biến đổi đồ thị.
- Đọc đúng kí hiệu, điều kiện và đơn vị.
- Ước lượng dấu, khoảng hoặc cỡ kết quả trước khi tính.
- Biết thay ngược hoặc dùng biểu diễn thứ hai để tự kiểm.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Sin và cos
Hiểu đơn giản: Tung độ–hoành độ của điểm quay biến thành hàm theo thời gian.
D=ℝ; T=2π; sin lẻ, cos chẵn; tập giá trị [−1;1].
Ví dụ: sin(x+2π)=sinx.
Hình nên dùng: Đường tròn nối với đồ thị sóng.
Mô phỏng: Kéo điểm quay sinh đồ thị.
Mẹo nhớ: Sin bắt đầu 0; cos bắt đầu 1.
Sai lầm: Đổi hai đồ thị.
Ghi chú: Đồ thị lặp vô hạn.
Tan và cot
Hiểu đơn giản: Là tỉ số nên có điểm không xác định.
tan=sin/cos, D=ℝ\{π/2+kπ}; cot=cos/sin, D=ℝ\{kπ}; T=π.
Ví dụ: tan0=0 nhưng cot0 không xác định.
Hình nên dùng: Đồ thị với đường tiệm cận.
Mô phỏng: Kéo x gần điểm loại.
Mẹo nhớ: Mẫu bằng 0 thì loại.
Sai lầm: Vẽ đường qua tiệm cận.
Ghi chú: Mỗi nhánh đơn điệu tăng trong miền chuẩn.
Đọc đồ thị
Hiểu đơn giản: Mỗi điểm cho một cặp đầu vào–đầu ra.
Nghiệm f(x)=m là hoành độ giao của y=f(x) và y=m.
Ví dụ: sinx=1/2 có hai giao điểm mỗi chu kì.
Hình nên dùng: Đường ngang cắt sóng.
Mô phỏng: Thay m và đếm giao điểm.
Mẹo nhớ: Đồ thị giúp kiểm số nghiệm.
Sai lầm: Đếm cả điểm ngoài miền.
Ghi chú: Đồ thị cho trực giác; nghiệm chính xác cần công thức.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Đổi đơn vị, thu gọn góc và tự kiểm hệ thức
Nhập một góc bất kì. Công cụ giữ nguyên số vòng quay, đưa góc về [0°; 360°) và chỉ tính tan khi cos khác 0.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtMẫu tư duy 1: HSLG-NB-04
Đề bài: Cho y = sin x. Nêu chu kì cơ bản.
Phân tích: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Chu kì cơ bản của y = sin x là 2π.
- Kết luận: 2π.
Vì sao: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
02 • Nhận biếtMẫu tư duy 2: HSLG-NB-05
Đề bài: Tìm tập xác định của y = cos x.
Phân tích: Sin, cos xác định mọi x; tan cần cos x ≠ 0; cot cần sin x ≠ 0.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Tập xác định: ℝ.
- Kết luận: ℝ.
Vì sao: Điểm loại là nơi mẫu của tỉ số lượng giác bằng 0.
Cách khác: Viết hàm dưới dạng sin/cos hoặc cos/sin rồi đặt mẫu khác 0.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Loại nghiệm của tử thay vì mẫu.
03 • Thông hiểuMẫu tư duy 3: HSLG-NB-06
Đề bài: Xét tính chẵn–lẻ của y = tan x.
Phân tích: Tính f(−x) và so với f(x), −f(x).
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- y = tan x là hàm lẻ.
- Kết luận: lẻ.
Vì sao: Cos đối xứng qua Oy; sin, tan, cot đối xứng qua gốc tọa độ.
Cách khác: Dùng các hệ thức sin(−x), cos(−x), tan(−x), cot(−x).
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Nhìn đồ thị không đúng tỉ lệ rồi kết luận.
04 • Thông hiểuMẫu tư duy 4: HSLG-NB-07
Đề bài: Tính y = sin x tại x = 60°.
Phân tích: Đọc giá trị sin của góc đặc biệt.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- y = sin 60° = √3/2.
- Kết luận: √3/2.
Vì sao: Giá trị hàm là tung độ trên đường tròn đơn vị.
Cách khác: Dùng bảng giá trị hoặc tọa độ điểm biểu diễn.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Thay giá trị cos thay cho sin.
05 • Vận dụngMẫu tư duy 5: HSLG-NB-08
Đề bài: Nêu tập giá trị của y = sin x.
Phân tích: Dùng đồ thị hoặc ý nghĩa tọa độ/tỉ số.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Tập giá trị là [−1;1].
- Kết luận: [−1;1].
Vì sao: Sin và cos bị chặn; tan và cot nhận mọi giá trị thực.
Cách khác: Quan sát chiều cao mà đồ thị đạt được.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Nhầm tập xác định với tập giá trị.
06 • Vận dụngMẫu tư duy 6: HSLG-NB-09
Đề bài: Cho y = cos x. Nêu chu kì cơ bản.
Phân tích: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Chu kì cơ bản của y = cos x là 2π.
- Kết luận: 2π.
Vì sao: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
07 • Vận dụng caoMẫu tư duy 7: HSLG-NB-10
Đề bài: Tìm tập xác định của y = tan x.
Phân tích: Sin, cos xác định mọi x; tan cần cos x ≠ 0; cot cần sin x ≠ 0.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Tập xác định: ℝ \ {π/2 + kπ | k∈ℤ}.
- Kết luận: ℝ \ {π/2 + kπ | k∈ℤ}.
Vì sao: Điểm loại là nơi mẫu của tỉ số lượng giác bằng 0.
Cách khác: Viết hàm dưới dạng sin/cos hoặc cos/sin rồi đặt mẫu khác 0.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Loại nghiệm của tử thay vì mẫu.
08 • Vận dụng caoMẫu tư duy 8: HSLG-NB-11
Đề bài: Xét tính chẵn–lẻ của y = cot x.
Phân tích: Tính f(−x) và so với f(x), −f(x).
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- y = cot x là hàm lẻ.
- Kết luận: lẻ.
Vì sao: Cos đối xứng qua Oy; sin, tan, cot đối xứng qua gốc tọa độ.
Cách khác: Dùng các hệ thức sin(−x), cos(−x), tan(−x), cot(−x).
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Nhìn đồ thị không đúng tỉ lệ rồi kết luận.
09 • Thực tếMẫu tư duy 9: HSLG-NB-12
Đề bài: Tính y = sin x tại x = 30°.
Phân tích: Đọc giá trị sin của góc đặc biệt.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- y = sin 30° = 1/2.
- Kết luận: 1/2.
Vì sao: Giá trị hàm là tung độ trên đường tròn đơn vị.
Cách khác: Dùng bảng giá trị hoặc tọa độ điểm biểu diễn.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Thay giá trị cos thay cho sin.
10 • Thực tếMẫu tư duy 10: HSLG-NB-13
Đề bài: Nêu tập giá trị của y = cos x.
Phân tích: Dùng đồ thị hoặc ý nghĩa tọa độ/tỉ số.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Tập giá trị là [−1;1].
- Kết luận: [−1;1].
Vì sao: Sin và cos bị chặn; tan và cot nhận mọi giá trị thực.
Cách khác: Quan sát chiều cao mà đồ thị đạt được.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Nhầm tập xác định với tập giá trị.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình nhìn qua hàm số lượng giác
Tình huống 1 dùng thủy triều, âm thanh, điện xoay chiều, nhịp sinh học và mùa vụ; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Trường học nhìn qua hàm số lượng giác
Tình huống 2 dùng thủy triều, âm thanh, điện xoay chiều, nhịp sinh học và mùa vụ; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Đời sống nhìn qua hàm số lượng giác
Tình huống 3 dùng thủy triều, âm thanh, điện xoay chiều, nhịp sinh học và mùa vụ; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Khoa học nhìn qua hàm số lượng giác
Tình huống 4 dùng thủy triều, âm thanh, điện xoay chiều, nhịp sinh học và mùa vụ; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Kỹ thuật nhìn qua hàm số lượng giác
Tình huống 5 dùng thủy triều, âm thanh, điện xoay chiều, nhịp sinh học và mùa vụ; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Sản xuất nhìn qua hàm số lượng giác
Tình huống 6 dùng thủy triều, âm thanh, điện xoay chiều, nhịp sinh học và mùa vụ; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Thiên nhiên nhìn qua hàm số lượng giác
Tình huống 7 dùng thủy triều, âm thanh, điện xoay chiều, nhịp sinh học và mùa vụ; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Nghề nghiệp nhìn qua hàm số lượng giác
Tình huống 8 dùng thủy triều, âm thanh, điện xoay chiều, nhịp sinh học và mùa vụ; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Sin và cos là gì?
Tung độ–hoành độ của điểm quay biến thành hàm theo thời gian. Mốc chính xác cần nhớ: D=ℝ; T=2π; sin lẻ, cos chẵn; tập giá trị [−1;1]. Hãy thử ví dụ: sin(x+2π)=sinx. Lỗi cần chặn: Đổi hai đồ thị.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Nhầm chu kì π và 2π
Đổi hai đồ thị. Cách sửa: Sin bắt đầu 0; cos bắt đầu 1. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị lặp vô hạn.
Nhầm tập xác định–tập giá trị
Vẽ đường qua tiệm cận. Cách sửa: Mẫu bằng 0 thì loại. Sau đó kiểm bằng: Mỗi nhánh đơn điệu tăng trong miền chuẩn.
Bỏ điểm loại của tan
Đếm cả điểm ngoài miền. Cách sửa: Đồ thị giúp kiểm số nghiệm. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị cho trực giác; nghiệm chính xác cần công thức.
Bỏ điểm loại của cot
Đổi hai đồ thị. Cách sửa: Sin bắt đầu 0; cos bắt đầu 1. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị lặp vô hạn.
Nhầm cos là hàm lẻ
Vẽ đường qua tiệm cận. Cách sửa: Mẫu bằng 0 thì loại. Sau đó kiểm bằng: Mỗi nhánh đơn điệu tăng trong miền chuẩn.
Vẽ nối qua tiệm cận
Đếm cả điểm ngoài miền. Cách sửa: Đồ thị giúp kiểm số nghiệm. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị cho trực giác; nghiệm chính xác cần công thức.
Sai giá trị tại 0
Đổi hai đồ thị. Cách sửa: Sin bắt đầu 0; cos bắt đầu 1. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị lặp vô hạn.
Dùng độ trên trục radian
Vẽ đường qua tiệm cận. Cách sửa: Mẫu bằng 0 thì loại. Sau đó kiểm bằng: Mỗi nhánh đơn điệu tăng trong miền chuẩn.
Không ghi chiều biến thiên
Đếm cả điểm ngoài miền. Cách sửa: Đồ thị giúp kiểm số nghiệm. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị cho trực giác; nghiệm chính xác cần công thức.
Nhìn một chu kì rồi kết luận toàn miền
Đổi hai đồ thị. Cách sửa: Sin bắt đầu 0; cos bắt đầu 1. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị lặp vô hạn.
Nhầm chu kì π và 2π – tình huống 11
Vẽ đường qua tiệm cận. Cách sửa: Mẫu bằng 0 thì loại. Sau đó kiểm bằng: Mỗi nhánh đơn điệu tăng trong miền chuẩn.
Nhầm tập xác định–tập giá trị – tình huống 12
Đếm cả điểm ngoài miền. Cách sửa: Đồ thị giúp kiểm số nghiệm. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị cho trực giác; nghiệm chính xác cần công thức.
Bỏ điểm loại của tan – tình huống 13
Đổi hai đồ thị. Cách sửa: Sin bắt đầu 0; cos bắt đầu 1. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị lặp vô hạn.
Bỏ điểm loại của cot – tình huống 14
Vẽ đường qua tiệm cận. Cách sửa: Mẫu bằng 0 thì loại. Sau đó kiểm bằng: Mỗi nhánh đơn điệu tăng trong miền chuẩn.
Nhầm cos là hàm lẻ – tình huống 15
Đếm cả điểm ngoài miền. Cách sửa: Đồ thị giúp kiểm số nghiệm. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị cho trực giác; nghiệm chính xác cần công thức.
Vẽ nối qua tiệm cận – tình huống 16
Đổi hai đồ thị. Cách sửa: Sin bắt đầu 0; cos bắt đầu 1. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị lặp vô hạn.
Sai giá trị tại 0 – tình huống 17
Vẽ đường qua tiệm cận. Cách sửa: Mẫu bằng 0 thì loại. Sau đó kiểm bằng: Mỗi nhánh đơn điệu tăng trong miền chuẩn.
Dùng độ trên trục radian – tình huống 18
Đếm cả điểm ngoài miền. Cách sửa: Đồ thị giúp kiểm số nghiệm. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị cho trực giác; nghiệm chính xác cần công thức.
Không ghi chiều biến thiên – tình huống 19
Đổi hai đồ thị. Cách sửa: Sin bắt đầu 0; cos bắt đầu 1. Sau đó kiểm bằng: Đồ thị lặp vô hạn.
Nhìn một chu kì rồi kết luận toàn miền – tình huống 20
Vẽ đường qua tiệm cận. Cách sửa: Mẫu bằng 0 thì loại. Sau đó kiểm bằng: Mỗi nhánh đơn điệu tăng trong miền chuẩn.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Khóa điều kiện trước
Viết miền xác định, quy ước chỉ số hoặc điều kiện dữ liệu trước khi biến đổi.
Một công thức – một ý nghĩa
Không học bảng rời; nói được mỗi đại lượng trong công thức đại diện cho điều gì.
Dùng hai biểu diễn
Đại số phải được kiểm bằng đồ thị, đường tròn, bảng hoặc tình huống thực tế.
Dự đoán trước khi bấm máy
Ước lượng dấu, khoảng giá trị và cỡ kết quả để phát hiện thao tác sai.
Sổ lỗi 1–7–30
Ghi nguyên nhân lỗi và gọi lại sau 1 ngày, 7 ngày, 30 ngày.
Giải thích thành lời
Nếu chưa giải thích được vì sao dùng công thức thì chưa được coi là đã thuộc.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Hàm số lượng giác1 2 3
Sin và cosD=ℝ; T=2π; sin lẻ, cos chẵn; tập giá trị [−1;1]. Sin bắt đầu 0; cos bắt đầu 1.
Tan và cottan=sin/cos, D=ℝ\{π/2+kπ}; cot=cos/sin, D=ℝ\{kπ}; T=π. Mẫu bằng 0 thì loại.
Đọc đồ thịNghiệm f(x)=m là hoành độ giao của y=f(x) và y=m. Đồ thị giúp kiểm số nghiệm.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
HSLG-NB-01Biết sin α = 3/5, cos α = 4/5. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Lời giải: sin²α + cos²α = (3² + 4²)/5² = 25/25 = 1.
Vì sao: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 9 + 16 = 25.
HSLG-NB-02Biết sin α = 5/13, cos α = 12/13. Tính tan α.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tan α = sin α/cos α vì cos α ≠ 0.
Lời giải: tan α = (5/13):(12/13) = 5/12 ≈ 0,4167.
Vì sao: Hai phân số có cùng mẫu nên tỉ số bằng tỉ số hai tử.
Sai ở đâu: Nhân sin với cos hoặc đảo tan thành cos/sin.
Cách khác: Dùng tam giác vuông: tan = cạnh đối/cạnh kề.
HSLG-NB-03Biết sin α = 8/17, cos α = 15/17. Tính sin 2α.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng sin 2α = 2sin α cos α.
Lời giải: sin 2α = 2·8/17·15/17 = 240/289.
Vì sao: Công thức nhân đôi biến tích sin–cos thành sin của góc gấp đôi.
Sai ở đâu: Quên hệ số 2.
Cách khác: Thay số rồi kiểm tra kết quả phải nằm trong [−1;1].
HSLG-NB-04Cho y = sin x. Nêu chu kì cơ bản.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Lời giải: Chu kì cơ bản của y = sin x là 2π.
Vì sao: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Sai ở đâu: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
HSLG-NB-05Tìm tập xác định của y = cos x.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Sin, cos xác định mọi x; tan cần cos x ≠ 0; cot cần sin x ≠ 0.
Lời giải: Tập xác định: ℝ.
Vì sao: Điểm loại là nơi mẫu của tỉ số lượng giác bằng 0.
Sai ở đâu: Loại nghiệm của tử thay vì mẫu.
Cách khác: Viết hàm dưới dạng sin/cos hoặc cos/sin rồi đặt mẫu khác 0.
HSLG-NB-06Xét tính chẵn–lẻ của y = tan x.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính f(−x) và so với f(x), −f(x).
Lời giải: y = tan x là hàm lẻ.
Vì sao: Cos đối xứng qua Oy; sin, tan, cot đối xứng qua gốc tọa độ.
Sai ở đâu: Nhìn đồ thị không đúng tỉ lệ rồi kết luận.
Cách khác: Dùng các hệ thức sin(−x), cos(−x), tan(−x), cot(−x).
HSLG-NB-07Tính y = sin x tại x = 60°.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đọc giá trị sin của góc đặc biệt.
Lời giải: y = sin 60° = √3/2.
Vì sao: Giá trị hàm là tung độ trên đường tròn đơn vị.
Sai ở đâu: Thay giá trị cos thay cho sin.
Cách khác: Dùng bảng giá trị hoặc tọa độ điểm biểu diễn.
HSLG-NB-08Nêu tập giá trị của y = sin x.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng đồ thị hoặc ý nghĩa tọa độ/tỉ số.
Lời giải: Tập giá trị là [−1;1].
Vì sao: Sin và cos bị chặn; tan và cot nhận mọi giá trị thực.
Sai ở đâu: Nhầm tập xác định với tập giá trị.
Cách khác: Quan sát chiều cao mà đồ thị đạt được.
HSLG-NB-09Cho y = cos x. Nêu chu kì cơ bản.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Lời giải: Chu kì cơ bản của y = cos x là 2π.
Vì sao: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Sai ở đâu: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
HSLG-NB-10Tìm tập xác định của y = tan x.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Sin, cos xác định mọi x; tan cần cos x ≠ 0; cot cần sin x ≠ 0.
Lời giải: Tập xác định: ℝ \ {π/2 + kπ | k∈ℤ}.
Vì sao: Điểm loại là nơi mẫu của tỉ số lượng giác bằng 0.
Sai ở đâu: Loại nghiệm của tử thay vì mẫu.
Cách khác: Viết hàm dưới dạng sin/cos hoặc cos/sin rồi đặt mẫu khác 0.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Xét tính chẵn–lẻ của y = cot x.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Biết sin α = 3/5, cos α = 4/5. Kiểm tra hệ thức sin²α + cos²α = 1.
Gợi ý: Bình phương từng phân số rồi cộng.
Lời giải: sin²α + cos²α = (3² + 4²)/5² = 25/25 = 1.
Giải thích: Bộ ba đã chọn thỏa định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng tử và mẫu trước khi bình phương.
Cách khác: Kiểm tra trực tiếp 9 + 16 = 25.
TỰ LUẬN 2Xét tính chẵn–lẻ của y = tan x.
Gợi ý: Tính f(−x) và so với f(x), −f(x).
Lời giải: y = tan x là hàm lẻ.
Giải thích: Cos đối xứng qua Oy; sin, tan, cot đối xứng qua gốc tọa độ.
Lỗi cần tránh: Nhìn đồ thị không đúng tỉ lệ rồi kết luận.
Cách khác: Dùng các hệ thức sin(−x), cos(−x), tan(−x), cot(−x).
TỰ LUẬN 3Xét tính chẵn–lẻ của y = cot x.
Gợi ý: Tính f(−x) và so với f(x), −f(x).
Lời giải: y = cot x là hàm lẻ.
Giải thích: Cos đối xứng qua Oy; sin, tan, cot đối xứng qua gốc tọa độ.
Lỗi cần tránh: Nhìn đồ thị không đúng tỉ lệ rồi kết luận.
Cách khác: Dùng các hệ thức sin(−x), cos(−x), tan(−x), cot(−x).
TỰ LUẬN 4Xét tính chẵn–lẻ của y = sin x.
Gợi ý: Tính f(−x) và so với f(x), −f(x).
Lời giải: y = sin x là hàm lẻ.
Giải thích: Cos đối xứng qua Oy; sin, tan, cot đối xứng qua gốc tọa độ.
Lỗi cần tránh: Nhìn đồ thị không đúng tỉ lệ rồi kết luận.
Cách khác: Dùng các hệ thức sin(−x), cos(−x), tan(−x), cot(−x).
TỰ LUẬN 5Biết sin α = 7/25, cos α = 24/25. Tính cos 2α bằng cos²α − sin²α.
Gợi ý: Bình phương rồi trừ theo đúng thứ tự cos² − sin².
Lời giải: cos 2α = (576 − 49)/625 = 527/625.
Giải thích: Cùng một cos 2α có ba dạng tương đương; chọn dạng dùng đủ dữ kiện.
Lỗi cần tránh: Đổi thành sin² − cos² nên sai dấu.
Cách khác: Kiểm lại bằng 1 − 2sin²α.
TỰ LUẬN 6Nêu tập giá trị của y = cot x.
Gợi ý: Dùng đồ thị hoặc ý nghĩa tọa độ/tỉ số.
Lời giải: Tập giá trị là ℝ.
Giải thích: Sin và cos bị chặn; tan và cot nhận mọi giá trị thực.
Lỗi cần tránh: Nhầm tập xác định với tập giá trị.
Cách khác: Quan sát chiều cao mà đồ thị đạt được.
TỰ LUẬN 7Nêu tập giá trị của y = sin x.
Gợi ý: Dùng đồ thị hoặc ý nghĩa tọa độ/tỉ số.
Lời giải: Tập giá trị là [−1;1].
Giải thích: Sin và cos bị chặn; tan và cot nhận mọi giá trị thực.
Lỗi cần tránh: Nhầm tập xác định với tập giá trị.
Cách khác: Quan sát chiều cao mà đồ thị đạt được.
TỰ LUẬN 8Nêu tập giá trị của y = cos x.
Gợi ý: Dùng đồ thị hoặc ý nghĩa tọa độ/tỉ số.
Lời giải: Tập giá trị là [−1;1].
Giải thích: Sin và cos bị chặn; tan và cot nhận mọi giá trị thực.
Lỗi cần tránh: Nhầm tập xác định với tập giá trị.
Cách khác: Quan sát chiều cao mà đồ thị đạt được.
TỰ LUẬN 9Biết sin α = 8/17, cos α = 15/17. Tính tan α.
Gợi ý: Dùng tan α = sin α/cos α vì cos α ≠ 0.
Lời giải: tan α = (8/17):(15/17) = 8/15 ≈ 0,5333.
Giải thích: Hai phân số có cùng mẫu nên tỉ số bằng tỉ số hai tử.
Lỗi cần tránh: Nhân sin với cos hoặc đảo tan thành cos/sin.
Cách khác: Dùng tam giác vuông: tan = cạnh đối/cạnh kề.
TỰ LUẬN 10Tìm tập xác định của y = sin x.
Gợi ý: Sin, cos xác định mọi x; tan cần cos x ≠ 0; cot cần sin x ≠ 0.
Lời giải: Tập xác định: ℝ.
Giải thích: Điểm loại là nơi mẫu của tỉ số lượng giác bằng 0.
Lỗi cần tránh: Loại nghiệm của tử thay vì mẫu.
Cách khác: Viết hàm dưới dạng sin/cos hoặc cos/sin rồi đặt mẫu khác 0.
TỰ LUẬN 11Tìm tập xác định của y = cos x.
Gợi ý: Sin, cos xác định mọi x; tan cần cos x ≠ 0; cot cần sin x ≠ 0.
Lời giải: Tập xác định: ℝ.
Giải thích: Điểm loại là nơi mẫu của tỉ số lượng giác bằng 0.
Lỗi cần tránh: Loại nghiệm của tử thay vì mẫu.
Cách khác: Viết hàm dưới dạng sin/cos hoặc cos/sin rồi đặt mẫu khác 0.
TỰ LUẬN 12Tìm tập xác định của y = tan x.
Gợi ý: Sin, cos xác định mọi x; tan cần cos x ≠ 0; cot cần sin x ≠ 0.
Lời giải: Tập xác định: ℝ \ {π/2 + kπ | k∈ℤ}.
Giải thích: Điểm loại là nơi mẫu của tỉ số lượng giác bằng 0.
Lỗi cần tránh: Loại nghiệm của tử thay vì mẫu.
Cách khác: Viết hàm dưới dạng sin/cos hoặc cos/sin rồi đặt mẫu khác 0.
TỰ LUẬN 13Tính cos(60° − 30°) bằng công thức cộng.
Gợi ý: Viết công thức trước, rồi mới thay giá trị góc đặc biệt.
Lời giải: cos(60° − 30°) = √3/2.
Giải thích: Công thức cộng giúp quy góc tổng–hiệu về các giá trị đã biết.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu trong công thức cos(a ± b).
Cách khác: Nhận ra góc trong ngoặc rồi kiểm trực tiếp bằng bảng góc đặc biệt.
TỰ LUẬN 14Tính y = sin x tại x = 90°.
Gợi ý: Đọc giá trị sin của góc đặc biệt.
Lời giải: y = sin 90° = 1.
Giải thích: Giá trị hàm là tung độ trên đường tròn đơn vị.
Lỗi cần tránh: Thay giá trị cos thay cho sin.
Cách khác: Dùng bảng giá trị hoặc tọa độ điểm biểu diễn.
TỰ LUẬN 15Tính y = sin x tại x = 45°.
Gợi ý: Đọc giá trị sin của góc đặc biệt.
Lời giải: y = sin 45° = √2/2.
Giải thích: Giá trị hàm là tung độ trên đường tròn đơn vị.
Lỗi cần tránh: Thay giá trị cos thay cho sin.
Cách khác: Dùng bảng giá trị hoặc tọa độ điểm biểu diễn.
TỰ LUẬN 16Tính y = sin x tại x = 0°.
Gợi ý: Đọc giá trị sin của góc đặc biệt.
Lời giải: y = sin 0° = 0.
Giải thích: Giá trị hàm là tung độ trên đường tròn đơn vị.
Lỗi cần tránh: Thay giá trị cos thay cho sin.
Cách khác: Dùng bảng giá trị hoặc tọa độ điểm biểu diễn.
TỰ LUẬN 17Biết sin α = 3/5, cos α = 4/5. Tính sin 2α.
Gợi ý: Dùng sin 2α = 2sin α cos α.
Lời giải: sin 2α = 2·3/5·4/5 = 24/25.
Giải thích: Công thức nhân đôi biến tích sin–cos thành sin của góc gấp đôi.
Lỗi cần tránh: Quên hệ số 2.
Cách khác: Thay số rồi kiểm tra kết quả phải nằm trong [−1;1].
TỰ LUẬN 18Cho y = tan x. Nêu chu kì cơ bản.
Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Lời giải: Chu kì cơ bản của y = tan x là π.
Giải thích: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Lỗi cần tránh: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
TỰ LUẬN 19Cho y = cot x. Nêu chu kì cơ bản.
Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Lời giải: Chu kì cơ bản của y = cot x là π.
Giải thích: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Lỗi cần tránh: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
TỰ LUẬN 20Cho y = sin x. Nêu chu kì cơ bản.
Gợi ý: Quan sát khi tăng x thêm một vòng hoặc nửa vòng thì giá trị lặp lại.
Lời giải: Chu kì cơ bản của y = sin x là 2π.
Giải thích: Sin, cos lặp sau 2π; tan, cot lặp sau π.
Lỗi cần tránh: Cho rằng cả bốn hàm đều có chu kì 2π.
Cách khác: So sánh f(x + T) với f(x).
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: HSLG-NB-01, HSLG-NB-02, HSLG-NB-03, HSLG-NB-04, HSLG-NB-05, HSLG-NB-06, HSLG-NB-07, HSLG-NB-08, HSLG-NB-09, HSLG-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- HSLG-NB-01: 1
- HSLG-NB-02: 5/12
- HSLG-NB-03: 240/289
- HSLG-NB-04: 2π
- HSLG-NB-05: ℝ
- HSLG-NB-06: lẻ
- HSLG-NB-07: √3/2
- HSLG-NB-08: [−1;1]
- HSLG-NB-09: 2π
- HSLG-NB-10: ℝ \ {π/2 + kπ | k∈ℤ}
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 1
10 câu đại diện: HSLG-NB-11, HSLG-NB-12, HSLG-NB-13, HSLG-NB-14, HSLG-NB-15, HSLG-NB-16, HSLG-NB-17, HSLG-NB-18, HSLG-NB-19, HSLG-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- HSLG-NB-11: lẻ
- HSLG-NB-12: 1/2
- HSLG-NB-13: [−1;1]
- HSLG-NB-14: π
- HSLG-NB-15: ℝ \ {kπ | k∈ℤ}
- HSLG-NB-16: lẻ
- HSLG-NB-17: 0
- HSLG-NB-18: ℝ
- HSLG-NB-19: π
- HSLG-NB-20: ℝ
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: HSLG-TH-01, HSLG-TH-02, HSLG-TH-03, HSLG-TH-04, HSLG-TH-05, HSLG-TH-06, HSLG-TH-07, HSLG-TH-08, HSLG-TH-09, HSLG-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- HSLG-TH-01: 527/625
- HSLG-TH-02: 1
- HSLG-TH-03: 1
- HSLG-TH-04: chẵn
- HSLG-TH-05: 1
- HSLG-TH-06: ℝ
- HSLG-TH-07: 2π
- HSLG-TH-08: ℝ
- HSLG-TH-09: lẻ
- HSLG-TH-10: √2/2
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: HSLG-TH-11, HSLG-TH-12, HSLG-TH-13, HSLG-TH-14, HSLG-TH-15, HSLG-TH-16, HSLG-TH-17, HSLG-TH-18, HSLG-TH-19, HSLG-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- HSLG-TH-11: [−1;1]
- HSLG-TH-12: 2π
- HSLG-TH-13: ℝ \ {π/2 + kπ | k∈ℤ}
- HSLG-TH-14: lẻ
- HSLG-TH-15: 0
- HSLG-TH-16: [−1;1]
- HSLG-TH-17: π
- HSLG-TH-18: ℝ \ {kπ | k∈ℤ}
- HSLG-TH-19: lẻ
- HSLG-TH-20: √3/2
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: HSLG-VD-01, HSLG-VD-02, HSLG-VD-03, HSLG-VD-04, HSLG-VD-05, HSLG-VD-06, HSLG-VD-07, HSLG-VD-08, HSLG-VD-09, HSLG-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- HSLG-VD-01: 8/15
- HSLG-VD-02: 336/625
- HSLG-VD-03: 7/25
- HSLG-VD-04: ℝ
- HSLG-VD-05: π
- HSLG-VD-06: ℝ
- HSLG-VD-07: chẵn
- HSLG-VD-08: √3/2
- HSLG-VD-09: ℝ
- HSLG-VD-10: 2π
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 50–65 phút; dừng sau một mục tiêu đo được, không ép học hết trang.
- Hỏi con “vì sao dùng công thức này?” thay vì chỉ hỏi “đáp án bao nhiêu?”.
- Theo dõi ba lỗi lặp lại trong sổ lỗi; không so tốc độ của con với bạn khác.
- Chỉ chuyển bài khi trắc nghiệm đạt từ 80% và con tự chữa được câu sai.
- Ôn ngắn sau 1–7–30 ngày hiệu quả hơn học dồn trước kiểm tra.
- Mở tiết bằng một tình huống hoặc phản ví dụ, sau đó mới chuẩn hóa định nghĩa.
- Tách lỗi khái niệm, lỗi điều kiện, lỗi biến đổi và lỗi tính toán khi chữa bài.
- Mỗi phiếu luyện giữ khoảng 15% câu gọi lại kiến thức tiền đề trực tiếp.
- Dùng ba dạng trắc nghiệm mới như bước chuẩn bị năng lực, không biến tiết học thành luyện mẹo.
- Yêu cầu học sinh kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai hoặc thay ngược.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.