Thấy cấu trúc thay vì học mẹo
Bài học giúp biến lịch trả góp, số dân theo năm, hàng ghế, thuật toán lặp và dữ liệu thời gian thành mô hình có thể kiểm tra.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Dãy là hàm trên tập chỉ số nguyên.
- uₙ là giá trị, n là vị trí.
- Truy hồi cần số hạng đầu.
Bài 5. Dãy số
Xem dãy số như một hàm trên số nguyên dương, đọc cách cho tường minh–truy hồi và xét tăng, giảm, bị chặn bằng lập luận.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Ra quyết định có căn cứ
Biết chọn công cụ, kiểm điều kiện, ước lượng trước và giải thích kết quả.
Nối bài trước với bài sau
Kích hoạt hàm số, lũy thừa, quy luật số và biến đổi đại số và chuẩn bị cho Bài 6. Cấp số cộng.
Mỗi lỗi là một dữ kiện
Sổ lỗi biến câu sai thành lịch ôn cá nhân thay vì bằng chứng rằng em kém Toán.
- Nhận biết dãy hữu hạn–vô hạn.
- Đọc công thức tường minh và truy hồi.
- Tính số hạng đúng chỉ số.
- Xét tăng–giảm và bị chặn.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Hàm số, lũy thừa, quy luật số và biến đổi đại số.
- Đọc đúng kí hiệu, điều kiện và đơn vị.
- Ước lượng dấu, khoảng hoặc cỡ kết quả trước khi tính.
- Biết thay ngược hoặc dùng biểu diễn thứ hai để tự kiểm.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Khái niệm dãy
Hiểu đơn giản: Mỗi vị trí n được gán đúng một số uₙ.
u: ℕ*→ℝ, n↦uₙ; có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
Ví dụ: uₙ=2n−1 cho dãy số lẻ.
Hình nên dùng: Máy đánh số vị trí và giá trị.
Mô phỏng: Nhập n, xem uₙ.
Mẹo nhớ: n là địa chỉ, uₙ là dữ liệu.
Sai lầm: Bỏ qua thứ tự như tập hợp.
Ghi chú: Luôn đọc quy ước chỉ số.
Cách cho dãy
Hiểu đơn giản: Tường minh cho trực tiếp; truy hồi dùng số hạng trước.
Tường minh uₙ=f(n); truy hồi gồm số hạng đầu và quan hệ uₙ₊₁ theo các số trước.
Ví dụ: u₁=1,uₙ₊₁=2uₙ.
Hình nên dùng: Sơ đồ mũi tên giữa số hạng.
Mô phỏng: Đổi tường minh–truy hồi.
Mẹo nhớ: Truy hồi phải có điểm xuất phát.
Sai lầm: Thiếu u₁.
Ghi chú: Không phải dãy nào cũng có công thức đơn giản.
Tăng, giảm, bị chặn
Hiểu đơn giản: So hai số hạng liên tiếp và tìm hàng rào chung.
Tăng nếu uₙ₊₁>uₙ; bị chặn trên nếu ∃M: uₙ≤M với mọi n.
Ví dụ: uₙ=1/n giảm và 0<uₙ≤1.
Hình nên dùng: Dãy điểm và hai đường cận.
Mô phỏng: Thay n quan sát hiệu.
Mẹo nhớ: Tăng không đồng nghĩa dương.
Sai lầm: Chỉ kiểm ba số hạng.
Ghi chú: Cần phát biểu cho mọi n.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB DÃY SỐ
Phân biệt cộng đều và nhân đều
Chọn cấp số cộng hoặc cấp số nhân; thay u₁, công sai/công bội và chỉ số n để quan sát đồng thời số hạng lẫn tổng.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtMẫu tư duy 1: DS-NB-04
Đề bài: Cho uₙ = 1n − 3. Tính u4.
Phân tích: Thay n = 4 vào công thức số hạng tổng quát.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- u4 = 1·4 − 3 = 1.
- Kết luận: 1.
Vì sao: Chỉ số n cho biết vị trí, không phải số mũ.
Cách khác: Lập bảng hai cột n và uₙ.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Thay n−1 vào công thức dù đề dùng n.
02 • Nhận biếtMẫu tư duy 2: DS-NB-05
Đề bài: Cho uₙ = 2n − 2. Viết bốn số hạng đầu.
Phân tích: Lần lượt thay n = 1, 2, 3, 4.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- u₁, u₂, u₃, u₄ = 0; 2; 4; 6.
- Kết luận: 0; 2; 4; 6.
Vì sao: Một dãy là hàm số xác định trên tập số nguyên dương hoặc một phần của nó.
Cách khác: Tạo bảng giá trị.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Bắt đầu từ n = 0 khi đề quy ước n ≥ 1.
03 • Thông hiểuMẫu tư duy 3: DS-NB-06
Đề bài: Xét tính tăng–giảm của dãy uₙ = 3n − 1.
Phân tích: Tính uₙ₊₁ − uₙ.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- uₙ₊₁ − uₙ = 3 > 0 nên dãy tăng.
- Kết luận: tăng.
Vì sao: Dấu của hiệu hai số hạng liên tiếp quyết định tính đơn điệu.
Cách khác: Nhìn hệ số của n sau khi đã chứng minh công thức hiệu.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Chỉ thử vài số hạng rồi coi là chứng minh.
04 • Thông hiểuMẫu tư duy 4: DS-NB-07
Đề bài: Xét dãy uₙ = 1/n với n ≥ 1 có bị chặn không.
Phân tích: So sánh 1/n với 0 và 1.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Vì n ≥ 1 nên 0 < 1/n ≤ 1. Dãy bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 1.
- Kết luận: 0 < uₙ ≤ 1.
Vì sao: Bị chặn không có nghĩa là có số hạng đạt cả hai cận.
Cách khác: Dùng bất đẳng thức n ≥ 1 rồi lấy nghịch đảo.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Cho rằng tiến gần 0 thì phải có số hạng bằng 0.
05 • Vận dụngMẫu tư duy 5: DS-NB-08
Đề bài: Dãy cho bởi u₁ = 1, uₙ₊₁ = 2uₙ. Tính u8.
Phân tích: Mỗi bước nhân 2; nhận ra uₙ = 2ⁿ⁻¹.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- u8 = 2^7 = 128.
- Kết luận: 128.
Vì sao: Công thức truy hồi xác định số hạng sau từ số hạng trước.
Cách khác: Lập liên tiếp các số hạng đến vị trí cần tìm.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Viết uₙ = 2ⁿ nên lệch một bậc.
06 • Vận dụngMẫu tư duy 6: DS-NB-09
Đề bài: Cho uₙ = 1n + 2. Tính u9.
Phân tích: Thay n = 9 vào công thức số hạng tổng quát.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- u9 = 1·9 + 2 = 11.
- Kết luận: 11.
Vì sao: Chỉ số n cho biết vị trí, không phải số mũ.
Cách khác: Lập bảng hai cột n và uₙ.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Thay n−1 vào công thức dù đề dùng n.
07 • Vận dụng caoMẫu tư duy 7: DS-NB-10
Đề bài: Cho uₙ = 2n + 3. Viết bốn số hạng đầu.
Phân tích: Lần lượt thay n = 1, 2, 3, 4.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- u₁, u₂, u₃, u₄ = 5; 7; 9; 11.
- Kết luận: 5; 7; 9; 11.
Vì sao: Một dãy là hàm số xác định trên tập số nguyên dương hoặc một phần của nó.
Cách khác: Tạo bảng giá trị.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Bắt đầu từ n = 0 khi đề quy ước n ≥ 1.
08 • Vận dụng caoMẫu tư duy 8: DS-NB-11
Đề bài: Xét tính tăng–giảm của dãy uₙ = 3n − 3.
Phân tích: Tính uₙ₊₁ − uₙ.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- uₙ₊₁ − uₙ = 3 > 0 nên dãy tăng.
- Kết luận: tăng.
Vì sao: Dấu của hiệu hai số hạng liên tiếp quyết định tính đơn điệu.
Cách khác: Nhìn hệ số của n sau khi đã chứng minh công thức hiệu.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Chỉ thử vài số hạng rồi coi là chứng minh.
09 • Thực tếMẫu tư duy 9: DS-NB-12
Đề bài: Xét dãy uₙ = 1/n với n ≥ 1 có bị chặn không.
Phân tích: So sánh 1/n với 0 và 1.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- Vì n ≥ 1 nên 0 < 1/n ≤ 1. Dãy bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 1.
- Kết luận: 0 < uₙ ≤ 1.
Vì sao: Bị chặn không có nghĩa là có số hạng đạt cả hai cận.
Cách khác: Dùng bất đẳng thức n ≥ 1 rồi lấy nghịch đảo.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Cho rằng tiến gần 0 thì phải có số hạng bằng 0.
10 • Thực tếMẫu tư duy 10: DS-NB-13
Đề bài: Dãy cho bởi u₁ = 1, uₙ₊₁ = 2uₙ. Tính u5.
Phân tích: Mỗi bước nhân 2; nhận ra uₙ = 2ⁿ⁻¹.
Hướng làm: Khóa điều kiện, chọn đúng công thức, thực hiện rồi đối chiếu với miền giá trị hoặc dữ kiện gốc.
- u5 = 2^4 = 16.
- Kết luận: 16.
Vì sao: Công thức truy hồi xác định số hạng sau từ số hạng trước.
Cách khác: Lập liên tiếp các số hạng đến vị trí cần tìm.
Tự kiểm: Lỗi phải chặn: Viết uₙ = 2ⁿ nên lệch một bậc.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình nhìn qua dãy số
Tình huống 1 dùng lịch trả góp, số dân theo năm, hàng ghế, thuật toán lặp và dữ liệu thời gian; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Trường học nhìn qua dãy số
Tình huống 2 dùng lịch trả góp, số dân theo năm, hàng ghế, thuật toán lặp và dữ liệu thời gian; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Đời sống nhìn qua dãy số
Tình huống 3 dùng lịch trả góp, số dân theo năm, hàng ghế, thuật toán lặp và dữ liệu thời gian; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Khoa học nhìn qua dãy số
Tình huống 4 dùng lịch trả góp, số dân theo năm, hàng ghế, thuật toán lặp và dữ liệu thời gian; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Kỹ thuật nhìn qua dãy số
Tình huống 5 dùng lịch trả góp, số dân theo năm, hàng ghế, thuật toán lặp và dữ liệu thời gian; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Sản xuất nhìn qua dãy số
Tình huống 6 dùng lịch trả góp, số dân theo năm, hàng ghế, thuật toán lặp và dữ liệu thời gian; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Thiên nhiên nhìn qua dãy số
Tình huống 7 dùng lịch trả góp, số dân theo năm, hàng ghế, thuật toán lặp và dữ liệu thời gian; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
Nghề nghiệp nhìn qua dãy số
Tình huống 8 dùng lịch trả góp, số dân theo năm, hàng ghế, thuật toán lặp và dữ liệu thời gian; học sinh phải gọi đại lượng, nêu điều kiện và diễn giải kết quả theo bối cảnh.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Khái niệm dãy là gì?
Mỗi vị trí n được gán đúng một số uₙ. Mốc chính xác cần nhớ: u: ℕ*→ℝ, n↦uₙ; có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Hãy thử ví dụ: uₙ=2n−1 cho dãy số lẻ. Lỗi cần chặn: Bỏ qua thứ tự như tập hợp.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Nhầm chỉ số với số mũ
Bỏ qua thứ tự như tập hợp. Cách sửa: n là địa chỉ, uₙ là dữ liệu. Sau đó kiểm bằng: Luôn đọc quy ước chỉ số.
Bắt đầu từ n=0 sai quy ước
Thiếu u₁. Cách sửa: Truy hồi phải có điểm xuất phát. Sau đó kiểm bằng: Không phải dãy nào cũng có công thức đơn giản.
Thiếu số hạng đầu truy hồi
Chỉ kiểm ba số hạng. Cách sửa: Tăng không đồng nghĩa dương. Sau đó kiểm bằng: Cần phát biểu cho mọi n.
Thử vài số thay cho chứng minh
Bỏ qua thứ tự như tập hợp. Cách sửa: n là địa chỉ, uₙ là dữ liệu. Sau đó kiểm bằng: Luôn đọc quy ước chỉ số.
Nhầm tăng với dương
Thiếu u₁. Cách sửa: Truy hồi phải có điểm xuất phát. Sau đó kiểm bằng: Không phải dãy nào cũng có công thức đơn giản.
Nhầm giảm với âm
Chỉ kiểm ba số hạng. Cách sửa: Tăng không đồng nghĩa dương. Sau đó kiểm bằng: Cần phát biểu cho mọi n.
Cận phụ thuộc n
Bỏ qua thứ tự như tập hợp. Cách sửa: n là địa chỉ, uₙ là dữ liệu. Sau đó kiểm bằng: Luôn đọc quy ước chỉ số.
Dùng n thay n−1
Thiếu u₁. Cách sửa: Truy hồi phải có điểm xuất phát. Sau đó kiểm bằng: Không phải dãy nào cũng có công thức đơn giản.
Không đọc miền chỉ số
Chỉ kiểm ba số hạng. Cách sửa: Tăng không đồng nghĩa dương. Sau đó kiểm bằng: Cần phát biểu cho mọi n.
Nhầm dãy với tập hợp
Bỏ qua thứ tự như tập hợp. Cách sửa: n là địa chỉ, uₙ là dữ liệu. Sau đó kiểm bằng: Luôn đọc quy ước chỉ số.
Nhầm chỉ số với số mũ – tình huống 11
Thiếu u₁. Cách sửa: Truy hồi phải có điểm xuất phát. Sau đó kiểm bằng: Không phải dãy nào cũng có công thức đơn giản.
Bắt đầu từ n=0 sai quy ước – tình huống 12
Chỉ kiểm ba số hạng. Cách sửa: Tăng không đồng nghĩa dương. Sau đó kiểm bằng: Cần phát biểu cho mọi n.
Thiếu số hạng đầu truy hồi – tình huống 13
Bỏ qua thứ tự như tập hợp. Cách sửa: n là địa chỉ, uₙ là dữ liệu. Sau đó kiểm bằng: Luôn đọc quy ước chỉ số.
Thử vài số thay cho chứng minh – tình huống 14
Thiếu u₁. Cách sửa: Truy hồi phải có điểm xuất phát. Sau đó kiểm bằng: Không phải dãy nào cũng có công thức đơn giản.
Nhầm tăng với dương – tình huống 15
Chỉ kiểm ba số hạng. Cách sửa: Tăng không đồng nghĩa dương. Sau đó kiểm bằng: Cần phát biểu cho mọi n.
Nhầm giảm với âm – tình huống 16
Bỏ qua thứ tự như tập hợp. Cách sửa: n là địa chỉ, uₙ là dữ liệu. Sau đó kiểm bằng: Luôn đọc quy ước chỉ số.
Cận phụ thuộc n – tình huống 17
Thiếu u₁. Cách sửa: Truy hồi phải có điểm xuất phát. Sau đó kiểm bằng: Không phải dãy nào cũng có công thức đơn giản.
Dùng n thay n−1 – tình huống 18
Chỉ kiểm ba số hạng. Cách sửa: Tăng không đồng nghĩa dương. Sau đó kiểm bằng: Cần phát biểu cho mọi n.
Không đọc miền chỉ số – tình huống 19
Bỏ qua thứ tự như tập hợp. Cách sửa: n là địa chỉ, uₙ là dữ liệu. Sau đó kiểm bằng: Luôn đọc quy ước chỉ số.
Nhầm dãy với tập hợp – tình huống 20
Thiếu u₁. Cách sửa: Truy hồi phải có điểm xuất phát. Sau đó kiểm bằng: Không phải dãy nào cũng có công thức đơn giản.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Khóa điều kiện trước
Viết miền xác định, quy ước chỉ số hoặc điều kiện dữ liệu trước khi biến đổi.
Một công thức – một ý nghĩa
Không học bảng rời; nói được mỗi đại lượng trong công thức đại diện cho điều gì.
Dùng hai biểu diễn
Đại số phải được kiểm bằng đồ thị, đường tròn, bảng hoặc tình huống thực tế.
Dự đoán trước khi bấm máy
Ước lượng dấu, khoảng giá trị và cỡ kết quả để phát hiện thao tác sai.
Sổ lỗi 1–7–30
Ghi nguyên nhân lỗi và gọi lại sau 1 ngày, 7 ngày, 30 ngày.
Giải thích thành lời
Nếu chưa giải thích được vì sao dùng công thức thì chưa được coi là đã thuộc.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Dãy số1 2 3
Khái niệm dãyu: ℕ*→ℝ, n↦uₙ; có thể hữu hạn hoặc vô hạn. n là địa chỉ, uₙ là dữ liệu.
Cách cho dãyTường minh uₙ=f(n); truy hồi gồm số hạng đầu và quan hệ uₙ₊₁ theo các số trước. Truy hồi phải có điểm xuất phát.
Tăng, giảm, bị chặnTăng nếu uₙ₊₁>uₙ; bị chặn trên nếu ∃M: uₙ≤M với mọi n. Tăng không đồng nghĩa dương.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
DS-NB-01Cho uₙ = 1n − 2. Tính u4.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay n = 4 vào công thức số hạng tổng quát.
Lời giải: u4 = 1·4 − 2 = 2.
Vì sao: Chỉ số n cho biết vị trí, không phải số mũ.
Sai ở đâu: Thay n−1 vào công thức dù đề dùng n.
Cách khác: Lập bảng hai cột n và uₙ.
DS-NB-02Cho uₙ = 2n − 1. Viết bốn số hạng đầu.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lần lượt thay n = 1, 2, 3, 4.
Lời giải: u₁, u₂, u₃, u₄ = 1; 3; 5; 7.
Vì sao: Một dãy là hàm số xác định trên tập số nguyên dương hoặc một phần của nó.
Sai ở đâu: Bắt đầu từ n = 0 khi đề quy ước n ≥ 1.
Cách khác: Tạo bảng giá trị.
DS-NB-03Xét tính tăng–giảm của dãy uₙ = 3n + 0.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính uₙ₊₁ − uₙ.
Lời giải: uₙ₊₁ − uₙ = 3 > 0 nên dãy tăng.
Vì sao: Dấu của hiệu hai số hạng liên tiếp quyết định tính đơn điệu.
Sai ở đâu: Chỉ thử vài số hạng rồi coi là chứng minh.
Cách khác: Nhìn hệ số của n sau khi đã chứng minh công thức hiệu.
DS-NB-04Cho uₙ = 1n − 3. Tính u4.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay n = 4 vào công thức số hạng tổng quát.
Lời giải: u4 = 1·4 − 3 = 1.
Vì sao: Chỉ số n cho biết vị trí, không phải số mũ.
Sai ở đâu: Thay n−1 vào công thức dù đề dùng n.
Cách khác: Lập bảng hai cột n và uₙ.
DS-NB-05Cho uₙ = 2n − 2. Viết bốn số hạng đầu.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lần lượt thay n = 1, 2, 3, 4.
Lời giải: u₁, u₂, u₃, u₄ = 0; 2; 4; 6.
Vì sao: Một dãy là hàm số xác định trên tập số nguyên dương hoặc một phần của nó.
Sai ở đâu: Bắt đầu từ n = 0 khi đề quy ước n ≥ 1.
Cách khác: Tạo bảng giá trị.
DS-NB-06Xét tính tăng–giảm của dãy uₙ = 3n − 1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính uₙ₊₁ − uₙ.
Lời giải: uₙ₊₁ − uₙ = 3 > 0 nên dãy tăng.
Vì sao: Dấu của hiệu hai số hạng liên tiếp quyết định tính đơn điệu.
Sai ở đâu: Chỉ thử vài số hạng rồi coi là chứng minh.
Cách khác: Nhìn hệ số của n sau khi đã chứng minh công thức hiệu.
DS-NB-07Xét dãy uₙ = 1/n với n ≥ 1 có bị chặn không.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh 1/n với 0 và 1.
Lời giải: Vì n ≥ 1 nên 0 < 1/n ≤ 1. Dãy bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 1.
Vì sao: Bị chặn không có nghĩa là có số hạng đạt cả hai cận.
Sai ở đâu: Cho rằng tiến gần 0 thì phải có số hạng bằng 0.
Cách khác: Dùng bất đẳng thức n ≥ 1 rồi lấy nghịch đảo.
DS-NB-08Dãy cho bởi u₁ = 1, uₙ₊₁ = 2uₙ. Tính u8.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mỗi bước nhân 2; nhận ra uₙ = 2ⁿ⁻¹.
Lời giải: u8 = 2^7 = 128.
Vì sao: Công thức truy hồi xác định số hạng sau từ số hạng trước.
Sai ở đâu: Viết uₙ = 2ⁿ nên lệch một bậc.
Cách khác: Lập liên tiếp các số hạng đến vị trí cần tìm.
DS-NB-09Cho uₙ = 1n + 2. Tính u9.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay n = 9 vào công thức số hạng tổng quát.
Lời giải: u9 = 1·9 + 2 = 11.
Vì sao: Chỉ số n cho biết vị trí, không phải số mũ.
Sai ở đâu: Thay n−1 vào công thức dù đề dùng n.
Cách khác: Lập bảng hai cột n và uₙ.
DS-NB-10Cho uₙ = 2n + 3. Viết bốn số hạng đầu.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lần lượt thay n = 1, 2, 3, 4.
Lời giải: u₁, u₂, u₃, u₄ = 5; 7; 9; 11.
Vì sao: Một dãy là hàm số xác định trên tập số nguyên dương hoặc một phần của nó.
Sai ở đâu: Bắt đầu từ n = 0 khi đề quy ước n ≥ 1.
Cách khác: Tạo bảng giá trị.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Cho uₙ=2n+3. Tính u5.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Cho uₙ = 1n − 2. Tính u4.
Gợi ý: Thay n = 4 vào công thức số hạng tổng quát.
Lời giải: u4 = 1·4 − 2 = 2.
Giải thích: Chỉ số n cho biết vị trí, không phải số mũ.
Lỗi cần tránh: Thay n−1 vào công thức dù đề dùng n.
Cách khác: Lập bảng hai cột n và uₙ.
TỰ LUẬN 2Xét tính tăng–giảm của dãy uₙ = 3n − 1.
Gợi ý: Tính uₙ₊₁ − uₙ.
Lời giải: uₙ₊₁ − uₙ = 3 > 0 nên dãy tăng.
Giải thích: Dấu của hiệu hai số hạng liên tiếp quyết định tính đơn điệu.
Lỗi cần tránh: Chỉ thử vài số hạng rồi coi là chứng minh.
Cách khác: Nhìn hệ số của n sau khi đã chứng minh công thức hiệu.
TỰ LUẬN 3Xét tính tăng–giảm của dãy uₙ = 3n − 3.
Gợi ý: Tính uₙ₊₁ − uₙ.
Lời giải: uₙ₊₁ − uₙ = 3 > 0 nên dãy tăng.
Giải thích: Dấu của hiệu hai số hạng liên tiếp quyết định tính đơn điệu.
Lỗi cần tránh: Chỉ thử vài số hạng rồi coi là chứng minh.
Cách khác: Nhìn hệ số của n sau khi đã chứng minh công thức hiệu.
TỰ LUẬN 4Xét tính tăng–giảm của dãy uₙ = 3n + 2.
Gợi ý: Tính uₙ₊₁ − uₙ.
Lời giải: uₙ₊₁ − uₙ = 3 > 0 nên dãy tăng.
Giải thích: Dấu của hiệu hai số hạng liên tiếp quyết định tính đơn điệu.
Lỗi cần tránh: Chỉ thử vài số hạng rồi coi là chứng minh.
Cách khác: Nhìn hệ số của n sau khi đã chứng minh công thức hiệu.
TỰ LUẬN 5Cấp số cộng có u₁ = 0, công sai d = 1. Tính u5.
Gợi ý: Dùng uₙ = u₁ + (n−1)d.
Lời giải: u5 = 0 + (5−1)·1 = 4.
Giải thích: Từ u₁ đến uₙ có n−1 bước nhảy.
Lỗi cần tránh: Dùng nd thay cho (n−1)d.
Cách khác: Cộng d liên tiếp n−1 lần.
TỰ LUẬN 6Dãy cho bởi u₁ = 1, uₙ₊₁ = 2uₙ. Tính u7.
Gợi ý: Mỗi bước nhân 2; nhận ra uₙ = 2ⁿ⁻¹.
Lời giải: u7 = 2^6 = 64.
Giải thích: Công thức truy hồi xác định số hạng sau từ số hạng trước.
Lỗi cần tránh: Viết uₙ = 2ⁿ nên lệch một bậc.
Cách khác: Lập liên tiếp các số hạng đến vị trí cần tìm.
TỰ LUẬN 7Dãy cho bởi u₁ = 1, uₙ₊₁ = 2uₙ. Tính u4.
Gợi ý: Mỗi bước nhân 2; nhận ra uₙ = 2ⁿ⁻¹.
Lời giải: u4 = 2^3 = 8.
Giải thích: Công thức truy hồi xác định số hạng sau từ số hạng trước.
Lỗi cần tránh: Viết uₙ = 2ⁿ nên lệch một bậc.
Cách khác: Lập liên tiếp các số hạng đến vị trí cần tìm.
TỰ LUẬN 8Dãy cho bởi u₁ = 1, uₙ₊₁ = 2uₙ. Tính u9.
Gợi ý: Mỗi bước nhân 2; nhận ra uₙ = 2ⁿ⁻¹.
Lời giải: u9 = 2^8 = 256.
Giải thích: Công thức truy hồi xác định số hạng sau từ số hạng trước.
Lỗi cần tránh: Viết uₙ = 2ⁿ nên lệch một bậc.
Cách khác: Lập liên tiếp các số hạng đến vị trí cần tìm.
TỰ LUẬN 9Cấp số cộng có u₁ = 2, d = 3. Tính S7.
Gợi ý: Tìm uₙ rồi dùng Sₙ = n(u₁+uₙ)/2.
Lời giải: u7 = 20; S7 = 7(2+20)/2 = 77.
Giải thích: Ghép số hạng đầu–cuối tạo các cặp có cùng tổng.
Lỗi cần tránh: Dùng n−1 số hạng trong công thức tổng.
Cách khác: Dùng Sₙ = n[2u₁+(n−1)d]/2.
TỰ LUẬN 10Với uₙ=n/(n+1), giá trị u5 là: Hãy phân biệt số bước chuyển với chỉ số số hạng.
Gợi ý: Thay n=5 vào uₙ=n/(n+1).
Lời giải: Thay n=5 vào uₙ=n/(n+1). u5=5/6=5/6; giá trị nhỏ hơn 1 đúng với tính bị chặn trên.
Giải thích: Thay n=5 vào uₙ=n/(n+1). u5=5/6=5/6; giá trị nhỏ hơn 1 đúng với tính bị chặn trên.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: sequence-fraction-3-1
TỰ LUẬN 11Cho u₁=5, uₙ₊₁=uₙ+5. Tính u8. Hãy kiểm tra ngược bằng ít nhất một số hạng trung gian.
Gợi ý: Từ u₁ đến u8 có 7 bước chuyển.
Lời giải: Từ u₁ đến u8 có 7 bước chuyển. Mỗi bước cộng 5, nên u8=5+7·5=40.
Giải thích: Từ u₁ đến u8 có 7 bước chuyển. Mỗi bước cộng 5, nên u8=5+7·5=40.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: sequence-recursive-1-3
TỰ LUẬN 12Cho uₙ=6n+7. Tính u9. Cần loại cách hiểu sai mốc thời gian trước khi kết luận.
Gợi ý: Thay n=9 vào công thức tổng quát.
Lời giải: Thay n=9 vào công thức tổng quát. u9=6·9+7=61.
Giải thích: Thay n=9 vào công thức tổng quát. u9=6·9+7=61.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: sequence-explicit-0-4
TỰ LUẬN 13Hai bánh răng tiếp xúc ngoài, bán kính lần lượt 2 cm và 3 cm, không trượt. Ban đầu hai dấu chuẩn ở vị trí tiếp xúc. Bánh thứ nhất phải quay ít nhất bao nhiêu vòng nguyên dương để cả hai dấu cùng trở lại vị trí ban đầu? Giải thích vì sao không có số vòng nhỏ hơn.
Gợi ý: Không trượt nên độ dài cung bằng nhau: số vòng bánh thứ hai bằng 2/3 lần số vòng bánh thứ nhất và quay ngược chiều
Lời giải: Không trượt nên độ dài cung bằng nhau: số vòng bánh thứ hai bằng 2/3 lần số vòng bánh thứ nhất và quay ngược chiều. Hai số 2,3 nguyên tố cùng nhau; để cả hai số vòng là số nguyên, số vòng bánh một phải là bội của 3. Nhỏ nhất là 3, khi đó bánh hai quay 2 vòng.
Giải thích: Không trượt nên độ dài cung bằng nhau: số vòng bánh thứ hai bằng 2/3 lần số vòng bánh thứ nhất và quay ngược chiều. Hai số 2,3 nguyên tố cùng nhau; để cả hai số vòng là số nguyên, số vòng bánh một phải là bội của 3. Nhỏ nhất là 3, khi đó bánh hai quay 2 vòng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 14Dãy uₙ=2n+6. Số hạng nào bằng 26? Cần loại cách hiểu sai mốc thời gian trước khi kết luận.
Gợi ý: Giải 2n+6=26.
Lời giải: Giải 2n+6=26. Suy ra n=10; số đã cho là u10.
Giải thích: Giải 2n+6=26. Suy ra n=10; số đã cho là u10.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: sequence-index-4-4
TỰ LUẬN 15Cho dãy (uₙ) bởi uₙ = 2n + 6. Tính u6.
Gợi ý: Thay n = 6 vào công thức số hạng tổng quát.
Lời giải: Thay n = 6 vào công thức số hạng tổng quát. u6 = 2·6 + 6 = 18.
Giải thích: Thay n = 6 vào công thức số hạng tổng quát. u6 = 2·6 + 6 = 18.
Lỗi cần tránh: Thay nhầm n hoặc đổi vị trí hệ số và số hạng tự do.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 16Xét dãy uₙ = 7n − 2 với n ≥ 1. Dãy số này tăng hay giảm? Xét kết luận: “Dãy giảm”.
Gợi ý: Ta có uₙ₊₁ − uₙ = 7(n + 1) − 2 − (7n − 2) = 7.
Lời giải: Ta có uₙ₊₁ − uₙ = 7(n + 1) − 2 − (7n − 2) = 7. Vì 7 > 0 với mọi n ≥ 1 nên uₙ₊₁ > uₙ; dãy số tăng. Kết quả đúng là Dãy tăng; vì vậy kết luận đã nêu là sai.
Giải thích: Ta có uₙ₊₁ − uₙ = 7(n + 1) − 2 − (7n − 2) = 7. Vì 7 > 0 với mọi n ≥ 1 nên uₙ₊₁ > uₙ; dãy số tăng. Kết quả đúng là Dãy tăng; vì vậy kết luận đã nêu là sai.
Lỗi cần tránh: Chỉ nhìn một vài số hạng hoặc nhầm dấu của hiệu uₙ₊₁ − uₙ.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 17Cấp số cộng có u₁ = 5, công sai d = 1. Tính u10.
Gợi ý: Dùng uₙ = u₁ + (n−1)d.
Lời giải: u10 = 5 + (10−1)·1 = 14.
Giải thích: Từ u₁ đến uₙ có n−1 bước nhảy.
Lỗi cần tránh: Dùng nd thay cho (n−1)d.
Cách khác: Cộng d liên tiếp n−1 lần.
TỰ LUẬN 18Cho uₙ = 1n − 3. Tính u10.
Gợi ý: Thay n = 10 vào công thức số hạng tổng quát.
Lời giải: u10 = 1·10 − 3 = 7.
Giải thích: Chỉ số n cho biết vị trí, không phải số mũ.
Lỗi cần tránh: Thay n−1 vào công thức dù đề dùng n.
Cách khác: Lập bảng hai cột n và uₙ.
TỰ LUẬN 19Cho uₙ = 1n + 2. Tính u7.
Gợi ý: Thay n = 7 vào công thức số hạng tổng quát.
Lời giải: u7 = 1·7 + 2 = 9.
Giải thích: Chỉ số n cho biết vị trí, không phải số mũ.
Lỗi cần tránh: Thay n−1 vào công thức dù đề dùng n.
Cách khác: Lập bảng hai cột n và uₙ.
TỰ LUẬN 20Cho uₙ = 1n + 0. Tính u4.
Gợi ý: Thay n = 4 vào công thức số hạng tổng quát.
Lời giải: u4 = 1·4 + 0 = 4.
Giải thích: Chỉ số n cho biết vị trí, không phải số mũ.
Lỗi cần tránh: Thay n−1 vào công thức dù đề dùng n.
Cách khác: Lập bảng hai cột n và uₙ.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: DS-NB-01, DS-NB-02, DS-NB-03, DS-NB-04, DS-NB-05, DS-NB-06, DS-NB-07, DS-NB-08, DS-NB-09, DS-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- DS-NB-01: 2
- DS-NB-02: 1; 3; 5; 7
- DS-NB-03: tăng
- DS-NB-04: 1
- DS-NB-05: 0; 2; 4; 6
- DS-NB-06: tăng
- DS-NB-07: 0 < uₙ ≤ 1
- DS-NB-08: 128
- DS-NB-09: 11
- DS-NB-10: 5; 7; 9; 11
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 2
10 câu đại diện: DS-NB-11, DS-NB-12, DS-NB-13, DS-NB-14, DS-NB-15, DS-NB-16, DS-NB-17, DS-NB-18, DS-NB-19, DS-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- DS-NB-11: tăng
- DS-NB-12: 13
- DS-NB-13: 16
- DS-NB-14: 6
- DS-NB-15: 3; 5; 7; 9
- DS-NB-16: tăng
- DS-NB-17: 10
- DS-NB-18: 512
- DS-NB-19: 9
- DS-NB-20: Dãy tăng
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: DS-TH-01, DS-TH-02, DS-TH-03, DS-TH-04, DS-TH-05, DS-TH-06, DS-TH-07, DS-TH-08, DS-TH-09, DS-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- DS-TH-01: 4
- DS-TH-02: 2
- DS-TH-03: 12
- DS-TH-04: 4/5
- DS-TH-05: u6
- DS-TH-06: 64
- DS-TH-07: 11
- DS-TH-08: -1; 1; 3; 5
- DS-TH-09: tăng
- DS-TH-10: 22
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: DS-TH-11, DS-TH-12, DS-TH-13, DS-TH-14, DS-TH-15, DS-TH-16, DS-TH-17, DS-TH-18, DS-TH-19, DS-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- DS-TH-11: 8
- DS-TH-12: 6
- DS-TH-13: 4; 6; 8; 10
- DS-TH-14: tăng
- DS-TH-15: 18
- DS-TH-16: 256
- DS-TH-17: 9
- DS-TH-18: 2; 4; 6; 8
- DS-TH-19: tăng
- DS-TH-20: Dãy tăng
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: DS-VD-01, DS-VD-02, DS-VD-03, DS-VD-04, DS-VD-05, DS-VD-06, DS-VD-07, DS-VD-08, DS-VD-09, DS-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- DS-VD-01: 77
- DS-VD-02: Có
- DS-VD-03: 252 ghế
- DS-VD-04: 32
- DS-VD-05: 4
- DS-VD-06: 5/6
- DS-VD-07: u7
- DS-VD-08: 46
- DS-VD-09: 1024
- DS-VD-10: 6
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.