Đo điều không nhìn thấy trực tiếp
Bài học biến khảo sát hành vi, chẩn đoán, kiểm soát chất lượng, dự báo thời tiết và phân tích rủi ro thành mô hình có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- A∪B: A hoặc B, kể cả cả hai.
- A∩B: A và B cùng xảy ra.
- P(Ā)=1−P(A).
Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Biểu diễn biến cố bằng hợp, giao và biến cố đối; đọc đúng sơ đồ Venn, nhận biết xung khắc và kiểm tra độc lập bằng xác suất.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết gọi dữ kiện, kiểm điều kiện, tính và diễn giải kết quả.
Nối đúng nền
Kích hoạt không gian mẫu, biến cố, xác suất cổ điển, quy tắc đếm và tập hợp rồi chuẩn bị cho Bài 29. Công thức cộng xác suất.
Hai biểu diễn
Mỗi kết quả được kiểm bằng sơ đồ, đồ thị, giới hạn, đơn vị hoặc công thức độc lập.
- Diễn đạt hợp, giao và biến cố đối bằng lời và kí hiệu.
- Dùng sơ đồ Venn để phân tích biến cố.
- Phân biệt xung khắc với độc lập.
- Kiểm tra độc lập bằng P(A∩B)=P(A)P(B).
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Không gian mẫu, biến cố, xác suất cổ điển, quy tắc đếm và tập hợp.
- Mô tả biến cố hoặc miền xác định trước khi tính.
- Ước lượng xác suất, dấu và đơn vị của kết quả.
- Kiểm bằng biểu diễn thứ hai và giải thích bằng lời.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Hợp, giao và biến cố đối
Hiểu đơn giản: Ghép các điều kiện bằng “hoặc”, “và”, “không”.
A∪B; A∩B; Ā=Ω\A. De Morgan: ‾(A∪B)=Ā∩B̄.
Ví dụ: A: đạt Toán; B: đạt Văn. A∩B là đạt cả hai.
Hình nên dùng: Sơ đồ Venn hai vòng có tô từng miền.
Mô phỏng: Bấm chọn hợp, giao và phần ngoài.
Mẹo nhớ: Hoặc→hợp; và→giao; không→đối.
Sai lầm: Cho rằng “hoặc” loại trừ trường hợp cả hai.
Ghi chú: Trong xác suất, “A hoặc B” mặc định gồm cả trường hợp A và B.
Biến cố xung khắc
Hiểu đơn giản: Hai biến cố không thể cùng xuất hiện trong một lần thử.
A∩B=∅ nên P(A∩B)=0.
Ví dụ: Một lần gieo xúc xắc: ra số chẵn và ra số lẻ là xung khắc.
Hình nên dùng: Hai miền Venn không chồng nhau.
Mô phỏng: Kéo hai miền tới khi giao rỗng.
Mẹo nhớ: Xung khắc khóa phần giao.
Sai lầm: Xung khắc nghĩa là không ảnh hưởng nhau.
Ghi chú: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Biến cố độc lập
Hiểu đơn giản: Biết A xảy ra không làm thay đổi xác suất của B.
A,B độc lập ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B).
Ví dụ: Tung hai đồng xu: mặt ngửa ở lần một và lần hai độc lập.
Hình nên dùng: Cây xác suất hai tầng.
Mô phỏng: Thay ba xác suất và kiểm đẳng thức.
Mẹo nhớ: Độc lập kiểm bằng tích.
Sai lầm: Thấy hai thí nghiệm khác nhau rồi mặc nhiên độc lập.
Ghi chú: Độc lập là tính chất của mô hình và phân phối xác suất, không chỉ của tên phép thử.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB QUY TẮC XÁC SUẤT
Kiểm miền, kiểm phần giao rồi mới cộng hoặc nhân
Nhập P(A), P(B), P(A∩B). Công cụ kiểm các cận xác suất, tính P(A∪B) và đối chiếu điều kiện độc lập.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B28-NB-04
Đề bài: Viết biến cố đối của A∪B theo định luật De Morgan.
Phân tích: Phủ định “A hoặc B” nghĩa là đồng thời không A và không B.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Phủ định “A hoặc B” nghĩa là đồng thời không A và không B.
- Bước 2: ‾(A∪B) = Ā∩B̄.
- Bước 3: Kết luận Ā∩B̄.
Vì sao: De Morgan đổi hợp thành giao và lấy đối từng biến cố.
Cách khác: Kiểm bằng bốn khả năng đúng–sai của A và B.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ lấy đối một trong hai biến cố.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B28-NB-14
Đề bài: Cho P(A)=0,5, P(B)=0,5 và P(A∩B)=0,25. A, B có độc lập không?
Phân tích: So sánh P(A∩B) với P(A)P(B).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: So sánh P(A∩B) với P(A)P(B).
- Bước 2: P(A)P(B)=0,5·0,5=0,25=P(A∩B), nên A và B độc lập.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: Độc lập là đẳng thức xác suất; không có nghĩa hai biến cố không thể cùng xảy ra.
Cách khác: Nếu P(A)>0, có thể kiểm P(B|A)=P(B).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Nhầm độc lập với xung khắc.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B28-TH-04
Đề bài: Hai biến cố xung khắc A và B có thể đồng thời xảy ra không?
Phân tích: Xung khắc được định nghĩa bởi A∩B=∅.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Xung khắc được định nghĩa bởi A∩B=∅.
- Bước 2: Không; A∩B=∅ nên P(A∩B)=0.
- Bước 3: Kết luận Không.
Vì sao: Xung khắc mô tả không có kết quả chung.
Cách khác: Vẽ hai miền không giao nhau.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng xung khắc đồng nghĩa độc lập.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B28-TH-14
Đề bài: Viết bằng lời biến cố A∩B trong một khảo sát có A = “đạt Toán”, B = “đạt Ngữ văn”.
Phân tích: Giao nghĩa là hai điều kiện cùng xảy ra.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Giao nghĩa là hai điều kiện cùng xảy ra.
- Bước 2: A∩B là biến cố “học sinh đạt cả Toán và Ngữ văn”.
- Bước 3: Kết luận Đạt cả Toán và Ngữ văn.
Vì sao: Từ “và” thường gợi phép giao.
Cách khác: Tô phần chồng nhau của hai vòng Venn.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Đọc giao thành “hoặc”.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B28-VD-04
Đề bài: Cho P(A)=0,4. Tính P(Ā).
Phân tích: A và Ā bù nhau trong không gian mẫu.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: A và Ā bù nhau trong không gian mẫu.
- Bước 2: P(Ā)=1−P(A)=1−0,4=0,6.
- Bước 3: Kết luận 0,6.
Vì sao: Xác suất của biến cố và biến cố đối có tổng bằng 1.
Cách khác: Biểu diễn cả đoạn xác suất từ 0 đến 1.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Đổi dấu hoặc lấy 1/P(A).
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B28-VD-14
Đề bài: Viết biến cố đối của A∪B theo định luật De Morgan.
Phân tích: Phủ định “A hoặc B” nghĩa là đồng thời không A và không B.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Phủ định “A hoặc B” nghĩa là đồng thời không A và không B.
- Bước 2: ‾(A∪B) = Ā∩B̄.
- Bước 3: Kết luận Ā∩B̄.
Vì sao: De Morgan đổi hợp thành giao và lấy đối từng biến cố.
Cách khác: Kiểm bằng bốn khả năng đúng–sai của A và B.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ lấy đối một trong hai biến cố.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B28-VDC-04
Đề bài: Một lớp có 20 bạn thích cờ vua, 20 bạn thích bóng rổ và 10 bạn thích cả hai. Có bao nhiêu bạn thích ít nhất một môn?
Phân tích: “Ít nhất một” là biến cố hợp; phần thích cả hai đã bị đếm hai lần.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: “Ít nhất một” là biến cố hợp; phần thích cả hai đã bị đếm hai lần.
- Bước 2: n(A∪B) = 20 + 20 − 10 = 30.
- Bước 3: Kết luận 30.
Vì sao: Phép hợp nhận kết quả thuộc A hoặc B, kể cả thuộc cả hai.
Cách khác: Vẽ hai vòng tròn Venn rồi cộng ba miền rời nhau.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng thẳng n(A)+n(B) mà không trừ phần giao.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B28-VDC-14
Đề bài: Hai biến cố xung khắc A và B có thể đồng thời xảy ra không?
Phân tích: Xung khắc được định nghĩa bởi A∩B=∅.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Xung khắc được định nghĩa bởi A∩B=∅.
- Bước 2: Không; A∩B=∅ nên P(A∩B)=0.
- Bước 3: Kết luận Không.
Vì sao: Xung khắc mô tả không có kết quả chung.
Cách khác: Vẽ hai miền không giao nhau.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng xung khắc đồng nghĩa độc lập.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B28-TT-04
Đề bài: Cho P(A)=0,2, P(B)=0,3 và P(A∩B)=0,06. A, B có độc lập không?
Phân tích: So sánh P(A∩B) với P(A)P(B).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: So sánh P(A∩B) với P(A)P(B).
- Bước 2: P(A)P(B)=0,2·0,3=0,06=P(A∩B), nên A và B độc lập.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: Độc lập là đẳng thức xác suất; không có nghĩa hai biến cố không thể cùng xảy ra.
Cách khác: Nếu P(A)>0, có thể kiểm P(B|A)=P(B).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Nhầm độc lập với xung khắc.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B28-TT-14
Đề bài: Cho P(A)=0,4. Tính P(Ā).
Phân tích: A và Ā bù nhau trong không gian mẫu.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: A và Ā bù nhau trong không gian mẫu.
- Bước 2: P(Ā)=1−P(A)=1−0,4=0,6.
- Bước 3: Kết luận 0,6.
Vì sao: Xác suất của biến cố và biến cố đối có tổng bằng 1.
Cách khác: Biểu diễn cả đoạn xác suất từ 0 đến 1.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Đổi dấu hoặc lấy 1/P(A).
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Tình huống 1 dùng khảo sát hành vi, chẩn đoán, kiểm soát chất lượng, dự báo thời tiết và phân tích rủi ro; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Tình huống 2 dùng khảo sát hành vi, chẩn đoán, kiểm soát chất lượng, dự báo thời tiết và phân tích rủi ro; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Tình huống 3 dùng khảo sát hành vi, chẩn đoán, kiểm soát chất lượng, dự báo thời tiết và phân tích rủi ro; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Tình huống 4 dùng khảo sát hành vi, chẩn đoán, kiểm soát chất lượng, dự báo thời tiết và phân tích rủi ro; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Tình huống 5 dùng khảo sát hành vi, chẩn đoán, kiểm soát chất lượng, dự báo thời tiết và phân tích rủi ro; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Tình huống 6 dùng khảo sát hành vi, chẩn đoán, kiểm soát chất lượng, dự báo thời tiết và phân tích rủi ro; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Tình huống 7 dùng khảo sát hành vi, chẩn đoán, kiểm soát chất lượng, dự báo thời tiết và phân tích rủi ro; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Tình huống 8 dùng khảo sát hành vi, chẩn đoán, kiểm soát chất lượng, dự báo thời tiết và phân tích rủi ro; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Hợp, giao và biến cố đối theo cách đơn giản?
Ghép các điều kiện bằng “hoặc”, “và”, “không”. Mốc chính xác: A∪B; A∩B; Ā=Ω\A. De Morgan: ‾(A∪B)=Ā∩B̄. Ví dụ: A: đạt Toán; B: đạt Văn. A∩B là đạt cả hai. Cách nhớ: Hoặc→hợp; và→giao; không→đối. Cần tránh: Cho rằng “hoặc” loại trừ trường hợp cả hai.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Đọc hợp thành chỉ một trong hai
Cho rằng “hoặc” loại trừ trường hợp cả hai. Sửa bằng: Hoặc→hợp; và→giao; không→đối. Kiểm cuối: Trong xác suất, “A hoặc B” mặc định gồm cả trường hợp A và B.
Đọc giao thành hoặc
Xung khắc nghĩa là không ảnh hưởng nhau. Sửa bằng: Xung khắc khóa phần giao. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Nhầm xung khắc với độc lập
Thấy hai thí nghiệm khác nhau rồi mặc nhiên độc lập. Sửa bằng: Độc lập kiểm bằng tích. Kiểm cuối: Độc lập là tính chất của mô hình và phân phối xác suất, không chỉ của tên phép thử.
Bỏ biến cố đối
Cho rằng “hoặc” loại trừ trường hợp cả hai. Sửa bằng: Hoặc→hợp; và→giao; không→đối. Kiểm cuối: Trong xác suất, “A hoặc B” mặc định gồm cả trường hợp A và B.
Kết luận độc lập chỉ từ trực giác
Xung khắc nghĩa là không ảnh hưởng nhau. Sửa bằng: Xung khắc khóa phần giao. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Đọc hợp thành chỉ một trong hai – biến thể 6
Thấy hai thí nghiệm khác nhau rồi mặc nhiên độc lập. Sửa bằng: Độc lập kiểm bằng tích. Kiểm cuối: Độc lập là tính chất của mô hình và phân phối xác suất, không chỉ của tên phép thử.
Đọc giao thành hoặc – biến thể 7
Cho rằng “hoặc” loại trừ trường hợp cả hai. Sửa bằng: Hoặc→hợp; và→giao; không→đối. Kiểm cuối: Trong xác suất, “A hoặc B” mặc định gồm cả trường hợp A và B.
Nhầm xung khắc với độc lập – biến thể 8
Xung khắc nghĩa là không ảnh hưởng nhau. Sửa bằng: Xung khắc khóa phần giao. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Bỏ biến cố đối – biến thể 9
Thấy hai thí nghiệm khác nhau rồi mặc nhiên độc lập. Sửa bằng: Độc lập kiểm bằng tích. Kiểm cuối: Độc lập là tính chất của mô hình và phân phối xác suất, không chỉ của tên phép thử.
Kết luận độc lập chỉ từ trực giác – biến thể 10
Cho rằng “hoặc” loại trừ trường hợp cả hai. Sửa bằng: Hoặc→hợp; và→giao; không→đối. Kiểm cuối: Trong xác suất, “A hoặc B” mặc định gồm cả trường hợp A và B.
Đọc hợp thành chỉ một trong hai – biến thể 11
Xung khắc nghĩa là không ảnh hưởng nhau. Sửa bằng: Xung khắc khóa phần giao. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Đọc giao thành hoặc – biến thể 12
Thấy hai thí nghiệm khác nhau rồi mặc nhiên độc lập. Sửa bằng: Độc lập kiểm bằng tích. Kiểm cuối: Độc lập là tính chất của mô hình và phân phối xác suất, không chỉ của tên phép thử.
Nhầm xung khắc với độc lập – biến thể 13
Cho rằng “hoặc” loại trừ trường hợp cả hai. Sửa bằng: Hoặc→hợp; và→giao; không→đối. Kiểm cuối: Trong xác suất, “A hoặc B” mặc định gồm cả trường hợp A và B.
Bỏ biến cố đối – biến thể 14
Xung khắc nghĩa là không ảnh hưởng nhau. Sửa bằng: Xung khắc khóa phần giao. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Kết luận độc lập chỉ từ trực giác – biến thể 15
Thấy hai thí nghiệm khác nhau rồi mặc nhiên độc lập. Sửa bằng: Độc lập kiểm bằng tích. Kiểm cuối: Độc lập là tính chất của mô hình và phân phối xác suất, không chỉ của tên phép thử.
Đọc hợp thành chỉ một trong hai – biến thể 16
Cho rằng “hoặc” loại trừ trường hợp cả hai. Sửa bằng: Hoặc→hợp; và→giao; không→đối. Kiểm cuối: Trong xác suất, “A hoặc B” mặc định gồm cả trường hợp A và B.
Đọc giao thành hoặc – biến thể 17
Xung khắc nghĩa là không ảnh hưởng nhau. Sửa bằng: Xung khắc khóa phần giao. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Nhầm xung khắc với độc lập – biến thể 18
Thấy hai thí nghiệm khác nhau rồi mặc nhiên độc lập. Sửa bằng: Độc lập kiểm bằng tích. Kiểm cuối: Độc lập là tính chất của mô hình và phân phối xác suất, không chỉ của tên phép thử.
Bỏ biến cố đối – biến thể 19
Cho rằng “hoặc” loại trừ trường hợp cả hai. Sửa bằng: Hoặc→hợp; và→giao; không→đối. Kiểm cuối: Trong xác suất, “A hoặc B” mặc định gồm cả trường hợp A và B.
Kết luận độc lập chỉ từ trực giác – biến thể 20
Xung khắc nghĩa là không ảnh hưởng nhau. Sửa bằng: Xung khắc khóa phần giao. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Gọi tên biến cố hoặc hàm
Viết rõ đối tượng, miền và điều cần tìm trước khi chọn công thức.
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Ví dụ đi cùng phản ví dụ
Mỗi quy tắc phải có một trường hợp đủ điều kiện và một trường hợp không được dùng.
Hai biểu diễn để tự kiểm
Kiểm bằng Venn–cây xác suất hoặc công thức–đồ thị–tỉ số sai phân.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, nguyên nhân sai và phép tự kiểm cho lần sau.
Ôn theo mốc 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập1 2 3
Hợp, giao và biến cố đốiA∪B; A∩B; Ā=Ω\A. De Morgan: ‾(A∪B)=Ā∩B̄. Hoặc→hợp; và→giao; không→đối.
Biến cố xung khắcA∩B=∅ nên P(A∩B)=0. Xung khắc khóa phần giao.
Biến cố độc lậpA,B độc lập ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B). Độc lập kiểm bằng tích.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B28-NB-01Một phép thử có 6 kết quả đồng khả năng và 1 kết quả thuận lợi. Tính xác suất cổ điển.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể.
Lời giải: P = 1/6.
Vì sao: Định nghĩa cổ điển chỉ dùng trực tiếp khi các kết quả đồng khả năng.
Sai ở đâu: Đổi tử và mẫu hoặc không kiểm giả thiết đồng khả năng.
Cách khác: Có thể kiểm bằng tần suất tương đối sau nhiều lần mô phỏng.
B28-NB-02Một công việc có 4 cách chọn bước đầu và 4 cách chọn bước sau. Có bao nhiêu quy trình hai bước?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai bước liên tiếp dùng quy tắc nhân.
Lời giải: Có 4·4 = 16 quy trình.
Vì sao: Mỗi lựa chọn ở bước đầu ghép được với mọi lựa chọn ở bước sau.
Sai ở đâu: Dùng quy tắc cộng cho hai bước phải làm đồng thời.
Cách khác: Vẽ sơ đồ cây hai tầng rồi đếm lá.
B28-NB-03Không gian mẫu có 12 phần tử, biến cố A có 4 phần tử. Biến cố đối của A có bao nhiêu phần tử?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: A và biến cố đối phân hoạch không gian mẫu.
Lời giải: n(Ā) = 12 − 4 = 8.
Vì sao: Mọi kết quả hoặc thuộc A, hoặc thuộc Ā, không thuộc đồng thời cả hai.
Sai ở đâu: Cho rằng biến cố đối có cùng số phần tử với A.
Cách khác: Liệt kê toàn bộ rồi gạch các phần tử thuộc A.
B28-NB-04Viết biến cố đối của A∪B theo định luật De Morgan.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Phủ định “A hoặc B” nghĩa là đồng thời không A và không B.
Lời giải: ‾(A∪B) = Ā∩B̄.
Vì sao: De Morgan đổi hợp thành giao và lấy đối từng biến cố.
Sai ở đâu: Chỉ lấy đối một trong hai biến cố.
Cách khác: Kiểm bằng bốn khả năng đúng–sai của A và B.
B28-NB-05Hai biến cố xung khắc A và B có thể đồng thời xảy ra không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xung khắc được định nghĩa bởi A∩B=∅.
Lời giải: Không; A∩B=∅ nên P(A∩B)=0.
Vì sao: Xung khắc mô tả không có kết quả chung.
Sai ở đâu: Cho rằng xung khắc đồng nghĩa độc lập.
Cách khác: Vẽ hai miền không giao nhau.
B28-NB-06Cho P(A)=0,4. Tính P(Ā).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: A và Ā bù nhau trong không gian mẫu.
Lời giải: P(Ā)=1−P(A)=1−0,4=0,6.
Vì sao: Xác suất của biến cố và biến cố đối có tổng bằng 1.
Sai ở đâu: Đổi dấu hoặc lấy 1/P(A).
Cách khác: Biểu diễn cả đoạn xác suất từ 0 đến 1.
B28-NB-07Một lớp có 24 bạn thích cờ vua, 27 bạn thích bóng rổ và 10 bạn thích cả hai. Có bao nhiêu bạn thích ít nhất một môn?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: “Ít nhất một” là biến cố hợp; phần thích cả hai đã bị đếm hai lần.
Lời giải: n(A∪B) = 24 + 27 − 10 = 41.
Vì sao: Phép hợp nhận kết quả thuộc A hoặc B, kể cả thuộc cả hai.
Sai ở đâu: Cộng thẳng n(A)+n(B) mà không trừ phần giao.
Cách khác: Vẽ hai vòng tròn Venn rồi cộng ba miền rời nhau.
B28-NB-08Cho P(A)=0,4, P(B)=0,3 và P(A∩B)=0,12. A, B có độc lập không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh P(A∩B) với P(A)P(B).
Lời giải: P(A)P(B)=0,4·0,3=0,12=P(A∩B), nên A và B độc lập.
Vì sao: Độc lập là đẳng thức xác suất; không có nghĩa hai biến cố không thể cùng xảy ra.
Sai ở đâu: Nhầm độc lập với xung khắc.
Cách khác: Nếu P(A)>0, có thể kiểm P(B|A)=P(B).
B28-NB-09Viết bằng lời biến cố A∩B trong một khảo sát có A = “đạt Toán”, B = “đạt Ngữ văn”.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Giao nghĩa là hai điều kiện cùng xảy ra.
Lời giải: A∩B là biến cố “học sinh đạt cả Toán và Ngữ văn”.
Vì sao: Từ “và” thường gợi phép giao.
Sai ở đâu: Đọc giao thành “hoặc”.
Cách khác: Tô phần chồng nhau của hai vòng Venn.
B28-NB-10Biến cố A có P(A) = 1/20. Xác suất biến cố đối của A bằng bao nhiêu?
Mục tiêu: Thông hiểu — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: P(đối của A) = 1 − P(A).
Lời giải: P(đối của A) = 1 − P(A). Vậy P(đối của A) = 1 − 3/60 = 19/20.
Vì sao: P(đối của A) = 1 − P(A). Vậy P(đối của A) = 1 − 3/60 = 19/20.
Sai ở đâu: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Biến cố A có P(A) = 1/20. Xác suất biến cố đối của A bằng bao nhiêu?
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Một phép thử có 6 kết quả đồng khả năng và 1 kết quả thuận lợi. Tính xác suất cổ điển.
Gợi ý: Lấy số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể.
Lời giải: P = 1/6.
Giải thích: Định nghĩa cổ điển chỉ dùng trực tiếp khi các kết quả đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Đổi tử và mẫu hoặc không kiểm giả thiết đồng khả năng.
Cách khác: Có thể kiểm bằng tần suất tương đối sau nhiều lần mô phỏng.
TỰ LUẬN 2Cho P(A)=0,4. Tính P(Ā).
Gợi ý: A và Ā bù nhau trong không gian mẫu.
Lời giải: P(Ā)=1−P(A)=1−0,4=0,6.
Giải thích: Xác suất của biến cố và biến cố đối có tổng bằng 1.
Lỗi cần tránh: Đổi dấu hoặc lấy 1/P(A).
Cách khác: Biểu diễn cả đoạn xác suất từ 0 đến 1.
TỰ LUẬN 3Biến cố A có P(A) = 1/15. Xác suất biến cố đối của A bằng bao nhiêu?
Gợi ý: P(đối của A) = 1 − P(A).
Lời giải: P(đối của A) = 1 − P(A). Vậy P(đối của A) = 1 − 4/60 = 14/15.
Giải thích: P(đối của A) = 1 − P(A). Vậy P(đối của A) = 1 − 4/60 = 14/15.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 4Biến cố A có P(A) = 1/10. Xác suất biến cố đối của A bằng bao nhiêu?
Gợi ý: P(đối của A) = 1 − P(A).
Lời giải: P(đối của A) = 1 − P(A). Vậy P(đối của A) = 1 − 6/60 = 9/10.
Giải thích: P(đối của A) = 1 − P(A). Vậy P(đối của A) = 1 − 6/60 = 9/10.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 5Một phép thử có 9 kết quả đồng khả năng và 4 kết quả thuận lợi. Tính xác suất cổ điển.
Gợi ý: Lấy số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể.
Lời giải: P = 4/9.
Giải thích: Định nghĩa cổ điển chỉ dùng trực tiếp khi các kết quả đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Đổi tử và mẫu hoặc không kiểm giả thiết đồng khả năng.
Cách khác: Có thể kiểm bằng tần suất tương đối sau nhiều lần mô phỏng.
TỰ LUẬN 6Một lớp có 27 bạn thích cờ vua, 21 bạn thích bóng rổ và 10 bạn thích cả hai. Có bao nhiêu bạn thích ít nhất một môn?
Gợi ý: “Ít nhất một” là biến cố hợp; phần thích cả hai đã bị đếm hai lần.
Lời giải: n(A∪B) = 27 + 21 − 10 = 38.
Giải thích: Phép hợp nhận kết quả thuộc A hoặc B, kể cả thuộc cả hai.
Lỗi cần tránh: Cộng thẳng n(A)+n(B) mà không trừ phần giao.
Cách khác: Vẽ hai vòng tròn Venn rồi cộng ba miền rời nhau.
TỰ LUẬN 7Biến cố A có P(A) = 7/30. Xác suất biến cố đối của A bằng bao nhiêu?
Gợi ý: P(đối của A) = 1 − P(A).
Lời giải: P(đối của A) = 1 − P(A). Vậy P(đối của A) = 1 − 14/60 = 23/30.
Giải thích: P(đối của A) = 1 − P(A). Vậy P(đối của A) = 1 − 14/60 = 23/30.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 8Biến cố A có P(A) = 17/60. Xác suất biến cố đối của A bằng bao nhiêu?
Gợi ý: P(đối của A) = 1 − P(A).
Lời giải: P(đối của A) = 1 − P(A). Vậy P(đối của A) = 1 − 17/60 = 43/60.
Giải thích: P(đối của A) = 1 − P(A). Vậy P(đối của A) = 1 − 17/60 = 43/60.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 9Một phép thử có 7 kết quả đồng khả năng và 1 kết quả thuận lợi. Tính xác suất cổ điển.
Gợi ý: Lấy số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể.
Lời giải: P = 1/7.
Giải thích: Định nghĩa cổ điển chỉ dùng trực tiếp khi các kết quả đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Đổi tử và mẫu hoặc không kiểm giả thiết đồng khả năng.
Cách khác: Có thể kiểm bằng tần suất tương đối sau nhiều lần mô phỏng.
TỰ LUẬN 10Cho P(A)=0,3, P(B)=0,3 và P(A∩B)=0,09. A, B có độc lập không?
Gợi ý: So sánh P(A∩B) với P(A)P(B).
Lời giải: P(A)P(B)=0,3·0,3=0,09=P(A∩B), nên A và B độc lập.
Giải thích: Độc lập là đẳng thức xác suất; không có nghĩa hai biến cố không thể cùng xảy ra.
Lỗi cần tránh: Nhầm độc lập với xung khắc.
Cách khác: Nếu P(A)>0, có thể kiểm P(B|A)=P(B).
TỰ LUẬN 11Một lớp có 23 bạn thích cờ vua, 22 bạn thích bóng rổ và 9 bạn thích cả hai. Có bao nhiêu bạn thích ít nhất một môn?
Gợi ý: “Ít nhất một” là biến cố hợp; phần thích cả hai đã bị đếm hai lần.
Lời giải: n(A∪B) = 23 + 22 − 9 = 36.
Giải thích: Phép hợp nhận kết quả thuộc A hoặc B, kể cả thuộc cả hai.
Lỗi cần tránh: Cộng thẳng n(A)+n(B) mà không trừ phần giao.
Cách khác: Vẽ hai vòng tròn Venn rồi cộng ba miền rời nhau.
TỰ LUẬN 12Hai biến cố A và B xung khắc. Giá trị P(A ∩ B) bằng bao nhiêu? Xét kết luận: “0”.
Gợi ý: Hai biến cố xung khắc không thể đồng thời xảy ra, nên A ∩ B là biến cố không thể.
Lời giải: Hai biến cố xung khắc không thể đồng thời xảy ra, nên A ∩ B là biến cố không thể. Xác suất của biến cố không thể bằng 0. Kết quả đúng là 0; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.
Giải thích: Hai biến cố xung khắc không thể đồng thời xảy ra, nên A ∩ B là biến cố không thể. Xác suất của biến cố không thể bằng 0. Kết quả đúng là 0; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.
Lỗi cần tránh: Nhầm xung khắc với độc lập.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 13Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=6 cm, AD=8 cm, SA=2 cm và SA⊥(ABCD). Dùng các tam giác vuông và định lí cos để tính bình phương cosin góc giữa SB và SD.
Gợi ý: SB²=SA²+AB²=40, SD²=SA²+AD²=68, BD²=AB²+AD²=100
Lời giải: SB²=SA²+AB²=40, SD²=SA²+AD²=68, BD²=AB²+AD²=100. Định lí cos trong tam giác BSD cho cos∠BSD=SA²/(SB·SD)>0. Đây là góc nhọn giữa hai đường. Bình phương được 1/170.
Giải thích: SB²=SA²+AB²=40, SD²=SA²+AD²=68, BD²=AB²+AD²=100. Định lí cos trong tam giác BSD cho cos∠BSD=SA²/(SB·SD)>0. Đây là góc nhọn giữa hai đường. Bình phương được 1/170.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 14Hai biến cố M và N xung khắc. Giá trị P(M ∩ N) bằng bao nhiêu? Xét kết luận: “0”.
Gợi ý: Hai biến cố xung khắc không thể đồng thời xảy ra, nên M ∩ N là biến cố không thể.
Lời giải: Hai biến cố xung khắc không thể đồng thời xảy ra, nên M ∩ N là biến cố không thể. Xác suất của biến cố không thể bằng 0. Kết quả đúng là 0; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.
Giải thích: Hai biến cố xung khắc không thể đồng thời xảy ra, nên M ∩ N là biến cố không thể. Xác suất của biến cố không thể bằng 0. Kết quả đúng là 0; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.
Lỗi cần tránh: Nhầm xung khắc với độc lập.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 15Lấy ngẫu nhiên kết quả từ phép gieo xúc xắc chuẩn. Xác suất số nhận được là bội của 3 là bao nhiêu?
Gợi ý: Trong các số 1 đến 6 có 2 số chia hết cho 3.
Lời giải: Trong các số 1 đến 6 có 2 số chia hết cho 3. Các kết quả đồng khả năng nên P = 2/6 = 1/3.
Giải thích: Trong các số 1 đến 6 có 2 số chia hết cho 3. Các kết quả đồng khả năng nên P = 2/6 = 1/3.
Lỗi cần tránh: Lấy số chia làm số trường hợp thuận lợi hoặc đếm thiếu kết quả 6.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 16Một lớp có 19 bạn thích cờ vua, 23 bạn thích bóng rổ và 8 bạn thích cả hai. Có bao nhiêu bạn thích ít nhất một môn?
Gợi ý: “Ít nhất một” là biến cố hợp; phần thích cả hai đã bị đếm hai lần.
Lời giải: n(A∪B) = 19 + 23 − 8 = 34.
Giải thích: Phép hợp nhận kết quả thuộc A hoặc B, kể cả thuộc cả hai.
Lỗi cần tránh: Cộng thẳng n(A)+n(B) mà không trừ phần giao.
Cách khác: Vẽ hai vòng tròn Venn rồi cộng ba miền rời nhau.
TỰ LUẬN 17Một phép thử có 8 kết quả đồng khả năng và 6 kết quả thuận lợi. Tính xác suất cổ điển.
Gợi ý: Lấy số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể.
Lời giải: P = 6/8.
Giải thích: Định nghĩa cổ điển chỉ dùng trực tiếp khi các kết quả đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Đổi tử và mẫu hoặc không kiểm giả thiết đồng khả năng.
Cách khác: Có thể kiểm bằng tần suất tương đối sau nhiều lần mô phỏng.
TỰ LUẬN 18Một xúc xắc chuẩn được gieo một lần. Xác suất nhận số chấm là bội của 3 bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Trong các số 1 đến 6 có 2 số chia hết cho 3.
Lời giải: Trong các số 1 đến 6 có 2 số chia hết cho 3. Các kết quả đồng khả năng nên P = 2/6 = 1/3.
Giải thích: Trong các số 1 đến 6 có 2 số chia hết cho 3. Các kết quả đồng khả năng nên P = 2/6 = 1/3.
Lỗi cần tránh: Lấy số chia làm số trường hợp thuận lợi hoặc đếm thiếu kết quả 6.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 19Chọn một số từ 1 đến 8 cùng khả năng. Xác suất số được chọn chia hết cho 3?
Gợi ý: Các số thuận lợi là 3 và 6, tổng cộng 2 số.
Lời giải: Các số thuận lợi là 3 và 6, tổng cộng 2 số. Xác suất bằng 2/8 = 1/4.
Giải thích: Các số thuận lợi là 3 và 6, tổng cộng 2 số. Xác suất bằng 2/8 = 1/4.
Lỗi cần tránh: Đếm nhầm 8 là số chia hết cho 3.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 20Hai biến cố A và B xung khắc trong cùng phép thử. Xét kết luận: “Nếu A xảy ra thì B không xảy ra”.
Gợi ý: A ∩ B = ∅ vì hai biến cố xung khắc không có kết quả chung.
Lời giải: A ∩ B = ∅ vì hai biến cố xung khắc không có kết quả chung. Do đó một kết quả thuộc A không thể đồng thời thuộc B. Kết quả đúng là Nếu A xảy ra thì B không xảy ra; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.
Giải thích: A ∩ B = ∅ vì hai biến cố xung khắc không có kết quả chung. Do đó một kết quả thuộc A không thể đồng thời thuộc B. Kết quả đúng là Nếu A xảy ra thì B không xảy ra; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.
Lỗi cần tránh: Nhầm xung khắc với độc lập và cho rằng hai biến cố có thể cùng xảy ra.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B28-NB-01, B28-NB-02, B28-NB-03, B28-NB-04, B28-NB-05, B28-NB-06, B28-NB-07, B28-NB-08, B28-NB-09, B28-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B28-NB-01: 1/6
- B28-NB-02: 16
- B28-NB-03: 8
- B28-NB-04: Ā∩B̄
- B28-NB-05: Không
- B28-NB-06: 0,6
- B28-NB-07: 41
- B28-NB-08: Có
- B28-NB-09: Đạt cả Toán và Ngữ văn
- B28-NB-10: 19/20
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 8
10 câu đại diện: B28-NB-11, B28-NB-12, B28-NB-13, B28-NB-14, B28-NB-15, B28-NB-16, B28-NB-17, B28-NB-18, B28-NB-19, B28-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B28-NB-11: 14/15
- B28-NB-12: 0,4
- B28-NB-13: 44
- B28-NB-14: Có
- B28-NB-15: 11/12
- B28-NB-16: 9/10
- B28-NB-17: 53/60
- B28-NB-18: 13/15
- B28-NB-19: 45
- B28-NB-20: Có
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B28-TH-01, B28-TH-02, B28-TH-03, B28-TH-04, B28-TH-05, B28-TH-06, B28-TH-07, B28-TH-08, B28-TH-09, B28-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B28-TH-01: 4/9
- B28-TH-02: 21
- B28-TH-03: 12
- B28-TH-04: 17/20
- B28-TH-05: 5/6
- B28-TH-06: 38
- B28-TH-07: Có
- B28-TH-08: 49/60
- B28-TH-09: 4/5
- B28-TH-10: 47/60
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B28-TH-11, B28-TH-12, B28-TH-13, B28-TH-14, B28-TH-15, B28-TH-16, B28-TH-17, B28-TH-18, B28-TH-19, B28-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B28-TH-11: 23/30
- B28-TH-12: 39
- B28-TH-13: Có
- B28-TH-14: 3/4
- B28-TH-15: 11/15
- B28-TH-16: 43/60
- B28-TH-17: 7/10
- B28-TH-18: 42
- B28-TH-19: Có
- B28-TH-20: 41/60
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B28-VD-01, B28-VD-02, B28-VD-03, B28-VD-04, B28-VD-05, B28-VD-06, B28-VD-07, B28-VD-08, B28-VD-09, B28-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B28-VD-01: 1/7
- B28-VD-02: 10
- B28-VD-03: 8
- B28-VD-04: 2/3
- B28-VD-05: 46
- B28-VD-06: Có
- B28-VD-07: 13/20
- B28-VD-08: 19/30
- B28-VD-09: 37/60
- B28-VD-10: 3/5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.