Đo điều không nhìn thấy trực tiếp
Bài học biến khảo sát khách hàng, cảnh báo y tế, lỗi sản xuất, bảo hiểm và ra quyết định thành mô hình có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
- Nếu A,B xung khắc: P(A∪B)=P(A)+P(B).
- Phần giao bị cộng hai lần nên phải trừ một lần.
Bài 29. Công thức cộng xác suất
Tính xác suất của biến cố hợp cho hai biến cố bất kì, xử lí trường hợp xung khắc và dùng biến cố đối cho bài toán “ít nhất một”.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết gọi dữ kiện, kiểm điều kiện, tính và diễn giải kết quả.
Nối đúng nền
Kích hoạt bài 28, sơ đồ venn, biến cố đối và xác suất cổ điển rồi chuẩn bị cho Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.
Hai biểu diễn
Mỗi kết quả được kiểm bằng sơ đồ, đồ thị, giới hạn, đơn vị hoặc công thức độc lập.
- Phát biểu và dùng công thức cộng tổng quát.
- Nhận ra trường hợp xung khắc.
- Tìm ngược xác suất phần giao.
- Giải bài “ít nhất một” bằng hợp hoặc biến cố đối.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 28, sơ đồ Venn, biến cố đối và xác suất cổ điển.
- Mô tả biến cố hoặc miền xác định trước khi tính.
- Ước lượng xác suất, dấu và đơn vị của kết quả.
- Kiểm bằng biểu diễn thứ hai và giải thích bằng lời.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Công thức cộng tổng quát
Hiểu đơn giản: Gộp hai biến cố nhưng sửa phần bị đếm hai lần.
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
Ví dụ: 0,5+0,4−0,2=0,7.
Hình nên dùng: Venn ba miền rời nhau.
Mô phỏng: Kéo độ chồng và quan sát xác suất hợp.
Mẹo nhớ: Cộng A,B; trừ giao.
Sai lầm: Cộng thẳng khi có phần giao.
Ghi chú: Công thức đúng cho hai biến cố bất kì.
Trường hợp xung khắc
Hiểu đơn giản: Không có phần chung nên không cần trừ.
A∩B=∅ ⇒ P(A∪B)=P(A)+P(B).
Ví dụ: Một xúc xắc ra 1 hoặc 6: 1/6+1/6=1/3.
Hình nên dùng: Hai miền rời nhau.
Mô phỏng: Bật/tắt điều kiện xung khắc.
Mẹo nhớ: Giao bằng 0 thì công thức gọn.
Sai lầm: Xung khắc rồi vẫn nhân xác suất.
Ghi chú: Tổng xác suất các biến cố xung khắc không thể vượt 1.
Ít nhất một và biến cố đối
Hiểu đơn giản: Đếm phần ngoài thường dễ hơn đếm nhiều trường hợp bên trong.
P(A∪B)=1−P(Ā∩B̄).
Ví dụ: Ít nhất một máy hỏng = 1 − cả hai không hỏng.
Hình nên dùng: Toàn bộ hình chữ nhật trừ vùng ngoài.
Mô phỏng: Thay xác suất thất bại.
Mẹo nhớ: Ít nhất một → nghĩ tới biến cố đối.
Sai lầm: Lấy 1−P(A∩B).
Ghi chú: Phải mô tả đúng biến cố đối trước khi tính.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB QUY TẮC XÁC SUẤT
Kiểm miền, kiểm phần giao rồi mới cộng hoặc nhân
Nhập P(A), P(B), P(A∩B). Công cụ kiểm các cận xác suất, tính P(A∪B) và đối chiếu điều kiện độc lập.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B29-NB-04
Đề bài: Trong 100 người, có 31 người chọn A, 38 người chọn B và 11 người chọn cả hai. Xác suất chọn ngẫu nhiên một người thuộc A∪B là bao nhiêu?
Phân tích: Tính số người thuộc hợp rồi chia 100.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Tính số người thuộc hợp rồi chia 100.
- Bước 2: n(A∪B)=31+38−11=58; P(A∪B)=0,58.
- Bước 3: Kết luận 0,58.
Vì sao: Đếm trước rồi chuyển sang xác suất giúp tránh trùng.
Cách khác: Lập bảng hai chiều A/không A và B/không B.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng hai tỉ lệ mà không trừ nhóm giao.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B29-NB-14
Đề bài: Trong 100 người, có 31 người chọn A, 40 người chọn B và 9 người chọn cả hai. Xác suất chọn ngẫu nhiên một người thuộc A∪B là bao nhiêu?
Phân tích: Tính số người thuộc hợp rồi chia 100.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Tính số người thuộc hợp rồi chia 100.
- Bước 2: n(A∪B)=31+40−9=62; P(A∪B)=0,62.
- Bước 3: Kết luận 0,62.
Vì sao: Đếm trước rồi chuyển sang xác suất giúp tránh trùng.
Cách khác: Lập bảng hai chiều A/không A và B/không B.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng hai tỉ lệ mà không trừ nhóm giao.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B29-TH-04
Đề bài: A và B xung khắc, P(A)=0,5, P(B)=0,2. Tính P(A∪B).
Phân tích: Xung khắc cho P(A∩B)=0.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Xung khắc cho P(A∩B)=0.
- Bước 2: P(A∪B)=P(A)+P(B)=0,7.
- Bước 3: Kết luận 0,7.
Vì sao: Công thức cộng cho biến cố xung khắc là trường hợp riêng của công thức tổng quát.
Cách khác: Dùng công thức tổng quát rồi thay P(A∩B)=0.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Nhân hai xác suất vì thấy hai biến cố.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B29-TH-14
Đề bài: A và B xung khắc, P(A)=0,3, P(B)=0,4. Tính P(A∪B).
Phân tích: Xung khắc cho P(A∩B)=0.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Xung khắc cho P(A∩B)=0.
- Bước 2: P(A∪B)=P(A)+P(B)=0,7.
- Bước 3: Kết luận 0,7.
Vì sao: Công thức cộng cho biến cố xung khắc là trường hợp riêng của công thức tổng quát.
Cách khác: Dùng công thức tổng quát rồi thay P(A∩B)=0.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Nhân hai xác suất vì thấy hai biến cố.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B29-VD-04
Đề bài: Hai lỗi A, B xung khắc có P(A)=0,3 và P(B)=0,25. Tính xác suất không mắc lỗi nào.
Phân tích: Tính P(A∪B), rồi lấy biến cố đối.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Tính P(A∪B), rồi lấy biến cố đối.
- Bước 2: P(không lỗi)=1−P(A∪B)=1−0,3−0,25=0,45.
- Bước 3: Kết luận 0,45.
Vì sao: Khi A, B xung khắc, hợp có xác suất bằng tổng.
Cách khác: Tô phần ngoài hai miền A, B.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng xác suất không A và không B.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B29-VD-14
Đề bài: Hai lỗi A, B xung khắc có P(A)=0,2 và P(B)=0,35. Tính xác suất không mắc lỗi nào.
Phân tích: Tính P(A∪B), rồi lấy biến cố đối.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Tính P(A∪B), rồi lấy biến cố đối.
- Bước 2: P(không lỗi)=1−P(A∪B)=1−0,2−0,35=0,45.
- Bước 3: Kết luận 0,45.
Vì sao: Khi A, B xung khắc, hợp có xác suất bằng tổng.
Cách khác: Tô phần ngoài hai miền A, B.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng xác suất không A và không B.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B29-VDC-04
Đề bài: Biết P(A∪B)=0,55, P(A)=0,3, P(B)=0,4. Tìm P(A∩B).
Phân tích: Chuyển vế từ công thức cộng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Chuyển vế từ công thức cộng.
- Bước 2: P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0,15.
- Bước 3: Kết luận 0,15.
Vì sao: Phần giao đo mức trùng giữa hai biến cố.
Cách khác: Dùng sơ đồ Venn để nhìn phần bị đếm hai lần.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy P(A∪B)−P(A)−P(B) và nhận số âm.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B29-VDC-14
Đề bài: Biết P(A∪B)=0,65, P(A)=0,5, P(B)=0,2. Tìm P(A∩B).
Phân tích: Chuyển vế từ công thức cộng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Chuyển vế từ công thức cộng.
- Bước 2: P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0,05.
- Bước 3: Kết luận 0,05.
Vì sao: Phần giao đo mức trùng giữa hai biến cố.
Cách khác: Dùng sơ đồ Venn để nhìn phần bị đếm hai lần.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy P(A∪B)−P(A)−P(B) và nhận số âm.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B29-TT-04
Đề bài: Cho P(A)=0,6, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).
Phân tích: Cộng P(A), P(B) rồi trừ phần giao đúng một lần.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Cộng P(A), P(B) rồi trừ phần giao đúng một lần.
- Bước 2: P(A∪B)=0,6+0,3−0,15=0,75.
- Bước 3: Kết luận 0,75.
Vì sao: Phần giao nằm trong cả A và B nên bị cộng hai lần.
Cách khác: Tách A∪B thành ba miền rời nhau trên sơ đồ Venn.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên trừ P(A∩B).
10 • Thực tếVí dụ 10 • B29-TT-14
Đề bài: Cho P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,25. Tính P(A∪B).
Phân tích: Cộng P(A), P(B) rồi trừ phần giao đúng một lần.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Cộng P(A), P(B) rồi trừ phần giao đúng một lần.
- Bước 2: P(A∪B)=0,4+0,5−0,25=0,65.
- Bước 3: Kết luận 0,65.
Vì sao: Phần giao nằm trong cả A và B nên bị cộng hai lần.
Cách khác: Tách A∪B thành ba miền rời nhau trên sơ đồ Venn.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên trừ P(A∩B).
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua công thức cộng xác suất
Tình huống 1 dùng khảo sát khách hàng, cảnh báo y tế, lỗi sản xuất, bảo hiểm và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua công thức cộng xác suất
Tình huống 2 dùng khảo sát khách hàng, cảnh báo y tế, lỗi sản xuất, bảo hiểm và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua công thức cộng xác suất
Tình huống 3 dùng khảo sát khách hàng, cảnh báo y tế, lỗi sản xuất, bảo hiểm và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua công thức cộng xác suất
Tình huống 4 dùng khảo sát khách hàng, cảnh báo y tế, lỗi sản xuất, bảo hiểm và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua công thức cộng xác suất
Tình huống 5 dùng khảo sát khách hàng, cảnh báo y tế, lỗi sản xuất, bảo hiểm và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua công thức cộng xác suất
Tình huống 6 dùng khảo sát khách hàng, cảnh báo y tế, lỗi sản xuất, bảo hiểm và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua công thức cộng xác suất
Tình huống 7 dùng khảo sát khách hàng, cảnh báo y tế, lỗi sản xuất, bảo hiểm và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua công thức cộng xác suất
Tình huống 8 dùng khảo sát khách hàng, cảnh báo y tế, lỗi sản xuất, bảo hiểm và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Công thức cộng tổng quát theo cách đơn giản?
Gộp hai biến cố nhưng sửa phần bị đếm hai lần. Mốc chính xác: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Ví dụ: 0,5+0,4−0,2=0,7. Cách nhớ: Cộng A,B; trừ giao. Cần tránh: Cộng thẳng khi có phần giao.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Quên trừ phần giao
Cộng thẳng khi có phần giao. Sửa bằng: Cộng A,B; trừ giao. Kiểm cuối: Công thức đúng cho hai biến cố bất kì.
Dùng công thức xung khắc cho mọi cặp
Xung khắc rồi vẫn nhân xác suất. Sửa bằng: Giao bằng 0 thì công thức gọn. Kiểm cuối: Tổng xác suất các biến cố xung khắc không thể vượt 1.
Nhầm hợp với giao
Lấy 1−P(A∩B). Sửa bằng: Ít nhất một → nghĩ tới biến cố đối. Kiểm cuối: Phải mô tả đúng biến cố đối trước khi tính.
Tính ít nhất một bằng tích
Cộng thẳng khi có phần giao. Sửa bằng: Cộng A,B; trừ giao. Kiểm cuối: Công thức đúng cho hai biến cố bất kì.
Không kiểm xác suất vượt 1
Xung khắc rồi vẫn nhân xác suất. Sửa bằng: Giao bằng 0 thì công thức gọn. Kiểm cuối: Tổng xác suất các biến cố xung khắc không thể vượt 1.
Quên trừ phần giao – biến thể 6
Lấy 1−P(A∩B). Sửa bằng: Ít nhất một → nghĩ tới biến cố đối. Kiểm cuối: Phải mô tả đúng biến cố đối trước khi tính.
Dùng công thức xung khắc cho mọi cặp – biến thể 7
Cộng thẳng khi có phần giao. Sửa bằng: Cộng A,B; trừ giao. Kiểm cuối: Công thức đúng cho hai biến cố bất kì.
Nhầm hợp với giao – biến thể 8
Xung khắc rồi vẫn nhân xác suất. Sửa bằng: Giao bằng 0 thì công thức gọn. Kiểm cuối: Tổng xác suất các biến cố xung khắc không thể vượt 1.
Tính ít nhất một bằng tích – biến thể 9
Lấy 1−P(A∩B). Sửa bằng: Ít nhất một → nghĩ tới biến cố đối. Kiểm cuối: Phải mô tả đúng biến cố đối trước khi tính.
Không kiểm xác suất vượt 1 – biến thể 10
Cộng thẳng khi có phần giao. Sửa bằng: Cộng A,B; trừ giao. Kiểm cuối: Công thức đúng cho hai biến cố bất kì.
Quên trừ phần giao – biến thể 11
Xung khắc rồi vẫn nhân xác suất. Sửa bằng: Giao bằng 0 thì công thức gọn. Kiểm cuối: Tổng xác suất các biến cố xung khắc không thể vượt 1.
Dùng công thức xung khắc cho mọi cặp – biến thể 12
Lấy 1−P(A∩B). Sửa bằng: Ít nhất một → nghĩ tới biến cố đối. Kiểm cuối: Phải mô tả đúng biến cố đối trước khi tính.
Nhầm hợp với giao – biến thể 13
Cộng thẳng khi có phần giao. Sửa bằng: Cộng A,B; trừ giao. Kiểm cuối: Công thức đúng cho hai biến cố bất kì.
Tính ít nhất một bằng tích – biến thể 14
Xung khắc rồi vẫn nhân xác suất. Sửa bằng: Giao bằng 0 thì công thức gọn. Kiểm cuối: Tổng xác suất các biến cố xung khắc không thể vượt 1.
Không kiểm xác suất vượt 1 – biến thể 15
Lấy 1−P(A∩B). Sửa bằng: Ít nhất một → nghĩ tới biến cố đối. Kiểm cuối: Phải mô tả đúng biến cố đối trước khi tính.
Quên trừ phần giao – biến thể 16
Cộng thẳng khi có phần giao. Sửa bằng: Cộng A,B; trừ giao. Kiểm cuối: Công thức đúng cho hai biến cố bất kì.
Dùng công thức xung khắc cho mọi cặp – biến thể 17
Xung khắc rồi vẫn nhân xác suất. Sửa bằng: Giao bằng 0 thì công thức gọn. Kiểm cuối: Tổng xác suất các biến cố xung khắc không thể vượt 1.
Nhầm hợp với giao – biến thể 18
Lấy 1−P(A∩B). Sửa bằng: Ít nhất một → nghĩ tới biến cố đối. Kiểm cuối: Phải mô tả đúng biến cố đối trước khi tính.
Tính ít nhất một bằng tích – biến thể 19
Cộng thẳng khi có phần giao. Sửa bằng: Cộng A,B; trừ giao. Kiểm cuối: Công thức đúng cho hai biến cố bất kì.
Không kiểm xác suất vượt 1 – biến thể 20
Xung khắc rồi vẫn nhân xác suất. Sửa bằng: Giao bằng 0 thì công thức gọn. Kiểm cuối: Tổng xác suất các biến cố xung khắc không thể vượt 1.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Gọi tên biến cố hoặc hàm
Viết rõ đối tượng, miền và điều cần tìm trước khi chọn công thức.
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Ví dụ đi cùng phản ví dụ
Mỗi quy tắc phải có một trường hợp đủ điều kiện và một trường hợp không được dùng.
Hai biểu diễn để tự kiểm
Kiểm bằng Venn–cây xác suất hoặc công thức–đồ thị–tỉ số sai phân.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, nguyên nhân sai và phép tự kiểm cho lần sau.
Ôn theo mốc 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Công thức cộng xác suất1 2 3
Công thức cộng tổng quátP(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Cộng A,B; trừ giao.
Trường hợp xung khắcA∩B=∅ ⇒ P(A∪B)=P(A)+P(B). Giao bằng 0 thì công thức gọn.
Ít nhất một và biến cố đốiP(A∪B)=1−P(Ā∩B̄). Ít nhất một → nghĩ tới biến cố đối.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B29-NB-01Một phép thử có 6 kết quả đồng khả năng và 1 kết quả thuận lợi. Tính xác suất cổ điển.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể.
Lời giải: P = 1/6.
Vì sao: Định nghĩa cổ điển chỉ dùng trực tiếp khi các kết quả đồng khả năng.
Sai ở đâu: Đổi tử và mẫu hoặc không kiểm giả thiết đồng khả năng.
Cách khác: Có thể kiểm bằng tần suất tương đối sau nhiều lần mô phỏng.
B29-NB-02Một công việc có 4 cách chọn bước đầu và 4 cách chọn bước sau. Có bao nhiêu quy trình hai bước?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai bước liên tiếp dùng quy tắc nhân.
Lời giải: Có 4·4 = 16 quy trình.
Vì sao: Mỗi lựa chọn ở bước đầu ghép được với mọi lựa chọn ở bước sau.
Sai ở đâu: Dùng quy tắc cộng cho hai bước phải làm đồng thời.
Cách khác: Vẽ sơ đồ cây hai tầng rồi đếm lá.
B29-NB-03Không gian mẫu có 12 phần tử, biến cố A có 4 phần tử. Biến cố đối của A có bao nhiêu phần tử?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: A và biến cố đối phân hoạch không gian mẫu.
Lời giải: n(Ā) = 12 − 4 = 8.
Vì sao: Mọi kết quả hoặc thuộc A, hoặc thuộc Ā, không thuộc đồng thời cả hai.
Sai ở đâu: Cho rằng biến cố đối có cùng số phần tử với A.
Cách khác: Liệt kê toàn bộ rồi gạch các phần tử thuộc A.
B29-NB-04Trong 100 người, có 31 người chọn A, 38 người chọn B và 11 người chọn cả hai. Xác suất chọn ngẫu nhiên một người thuộc A∪B là bao nhiêu?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính số người thuộc hợp rồi chia 100.
Lời giải: n(A∪B)=31+38−11=58; P(A∪B)=0,58.
Vì sao: Đếm trước rồi chuyển sang xác suất giúp tránh trùng.
Sai ở đâu: Cộng hai tỉ lệ mà không trừ nhóm giao.
Cách khác: Lập bảng hai chiều A/không A và B/không B.
B29-NB-05Hai lỗi A, B xung khắc có P(A)=0,35 và P(B)=0,3. Tính xác suất không mắc lỗi nào.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính P(A∪B), rồi lấy biến cố đối.
Lời giải: P(không lỗi)=1−P(A∪B)=1−0,35−0,3=0,35.
Vì sao: Khi A, B xung khắc, hợp có xác suất bằng tổng.
Sai ở đâu: Cộng xác suất không A và không B.
Cách khác: Tô phần ngoài hai miền A, B.
B29-NB-06Cho P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,25. Tính P(A∪B).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng P(A), P(B) rồi trừ phần giao đúng một lần.
Lời giải: P(A∪B)=0,4+0,5−0,25=0,65.
Vì sao: Phần giao nằm trong cả A và B nên bị cộng hai lần.
Sai ở đâu: Quên trừ P(A∩B).
Cách khác: Tách A∪B thành ba miền rời nhau trên sơ đồ Venn.
B29-NB-07A và B xung khắc, P(A)=0,5, P(B)=0,2. Tính P(A∪B).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xung khắc cho P(A∩B)=0.
Lời giải: P(A∪B)=P(A)+P(B)=0,7.
Vì sao: Công thức cộng cho biến cố xung khắc là trường hợp riêng của công thức tổng quát.
Sai ở đâu: Nhân hai xác suất vì thấy hai biến cố.
Cách khác: Dùng công thức tổng quát rồi thay P(A∩B)=0.
B29-NB-08Biết P(A∪B)=0,75, P(A)=0,6, P(B)=0,3. Tìm P(A∩B).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chuyển vế từ công thức cộng.
Lời giải: P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0,15.
Vì sao: Phần giao đo mức trùng giữa hai biến cố.
Sai ở đâu: Lấy P(A∪B)−P(A)−P(B) và nhận số âm.
Cách khác: Dùng sơ đồ Venn để nhìn phần bị đếm hai lần.
B29-NB-09Trong 100 người, có 36 người chọn A, 39 người chọn B và 10 người chọn cả hai. Xác suất chọn ngẫu nhiên một người thuộc A∪B là bao nhiêu?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính số người thuộc hợp rồi chia 100.
Lời giải: n(A∪B)=36+39−10=65; P(A∪B)=0,65.
Vì sao: Đếm trước rồi chuyển sang xác suất giúp tránh trùng.
Sai ở đâu: Cộng hai tỉ lệ mà không trừ nhóm giao.
Cách khác: Lập bảng hai chiều A/không A và B/không B.
B29-NB-10Hai lỗi A, B xung khắc có P(A)=0,3 và P(B)=0,25. Tính xác suất không mắc lỗi nào.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính P(A∪B), rồi lấy biến cố đối.
Lời giải: P(không lỗi)=1−P(A∪B)=1−0,3−0,25=0,45.
Vì sao: Khi A, B xung khắc, hợp có xác suất bằng tổng.
Sai ở đâu: Cộng xác suất không A và không B.
Cách khác: Tô phần ngoài hai miền A, B.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Hai biến cố A,B xung khắc có P(A)=1/20, P(B)=2/20. Tính P(A∪B).
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Một phép thử có 6 kết quả đồng khả năng và 1 kết quả thuận lợi. Tính xác suất cổ điển.
Gợi ý: Lấy số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể.
Lời giải: P = 1/6.
Giải thích: Định nghĩa cổ điển chỉ dùng trực tiếp khi các kết quả đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Đổi tử và mẫu hoặc không kiểm giả thiết đồng khả năng.
Cách khác: Có thể kiểm bằng tần suất tương đối sau nhiều lần mô phỏng.
TỰ LUẬN 2Cho P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,25. Tính P(A∪B).
Gợi ý: Cộng P(A), P(B) rồi trừ phần giao đúng một lần.
Lời giải: P(A∪B)=0,4+0,5−0,25=0,65.
Giải thích: Phần giao nằm trong cả A và B nên bị cộng hai lần.
Lỗi cần tránh: Quên trừ P(A∩B).
Cách khác: Tách A∪B thành ba miền rời nhau trên sơ đồ Venn.
TỰ LUẬN 3Cho P(A)=0,5, P(B)=0,2, P(A∩B)=0,05. Tính P(A∪B).
Gợi ý: Cộng P(A), P(B) rồi trừ phần giao đúng một lần.
Lời giải: P(A∪B)=0,5+0,2−0,05=0,65.
Giải thích: Phần giao nằm trong cả A và B nên bị cộng hai lần.
Lỗi cần tránh: Quên trừ P(A∩B).
Cách khác: Tách A∪B thành ba miền rời nhau trên sơ đồ Venn.
TỰ LUẬN 4Cho P(A)=0,6, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).
Gợi ý: Cộng P(A), P(B) rồi trừ phần giao đúng một lần.
Lời giải: P(A∪B)=0,6+0,3−0,15=0,75.
Giải thích: Phần giao nằm trong cả A và B nên bị cộng hai lần.
Lỗi cần tránh: Quên trừ P(A∩B).
Cách khác: Tách A∪B thành ba miền rời nhau trên sơ đồ Venn.
TỰ LUẬN 5Một phép thử có 9 kết quả đồng khả năng và 4 kết quả thuận lợi. Tính xác suất cổ điển.
Gợi ý: Lấy số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể.
Lời giải: P = 4/9.
Giải thích: Định nghĩa cổ điển chỉ dùng trực tiếp khi các kết quả đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Đổi tử và mẫu hoặc không kiểm giả thiết đồng khả năng.
Cách khác: Có thể kiểm bằng tần suất tương đối sau nhiều lần mô phỏng.
TỰ LUẬN 6Trong 100 người, có 36 người chọn A, 38 người chọn B và 8 người chọn cả hai. Xác suất chọn ngẫu nhiên một người thuộc A∪B là bao nhiêu?
Gợi ý: Tính số người thuộc hợp rồi chia 100.
Lời giải: n(A∪B)=36+38−8=66; P(A∪B)=0,66.
Giải thích: Đếm trước rồi chuyển sang xác suất giúp tránh trùng.
Lỗi cần tránh: Cộng hai tỉ lệ mà không trừ nhóm giao.
Cách khác: Lập bảng hai chiều A/không A và B/không B.
TỰ LUẬN 7Trong 100 người, có 31 người chọn A, 39 người chọn B và 13 người chọn cả hai. Xác suất chọn ngẫu nhiên một người thuộc A∪B là bao nhiêu?
Gợi ý: Tính số người thuộc hợp rồi chia 100.
Lời giải: n(A∪B)=31+39−13=57; P(A∪B)=0,57.
Giải thích: Đếm trước rồi chuyển sang xác suất giúp tránh trùng.
Lỗi cần tránh: Cộng hai tỉ lệ mà không trừ nhóm giao.
Cách khác: Lập bảng hai chiều A/không A và B/không B.
TỰ LUẬN 8Trong 100 người, có 36 người chọn A, 40 người chọn B và 12 người chọn cả hai. Xác suất chọn ngẫu nhiên một người thuộc A∪B là bao nhiêu?
Gợi ý: Tính số người thuộc hợp rồi chia 100.
Lời giải: n(A∪B)=36+40−12=64; P(A∪B)=0,64.
Giải thích: Đếm trước rồi chuyển sang xác suất giúp tránh trùng.
Lỗi cần tránh: Cộng hai tỉ lệ mà không trừ nhóm giao.
Cách khác: Lập bảng hai chiều A/không A và B/không B.
TỰ LUẬN 9Một phép thử có 7 kết quả đồng khả năng và 1 kết quả thuận lợi. Tính xác suất cổ điển.
Gợi ý: Lấy số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể.
Lời giải: P = 1/7.
Giải thích: Định nghĩa cổ điển chỉ dùng trực tiếp khi các kết quả đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Đổi tử và mẫu hoặc không kiểm giả thiết đồng khả năng.
Cách khác: Có thể kiểm bằng tần suất tương đối sau nhiều lần mô phỏng.
TỰ LUẬN 10Hai biến cố A,B xung khắc có P(A)=3/20 và P(B)=4/20. Tính P(A∪B). Hãy phân biệt biến cố hợp với biến cố giao.
Gợi ý: Vì A,B xung khắc nên P(A∩B)=0.
Lời giải: Vì A,B xung khắc nên P(A∩B)=0. Do đó P(A∪B)=(3+4)/20=7/20.
Giải thích: Vì A,B xung khắc nên P(A∩B)=0. Do đó P(A∪B)=(3+4)/20=7/20.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: short-prob-disjoint-4-1
TỰ LUẬN 11Xác suất không xảy ra cả A lẫn B là 5/20. Tính P(A∪B). Hãy kiểm tra kết quả phải thuộc đoạn [0;1].
Gợi ý: Biến cố đối của A∪B là không xảy ra A và cũng không xảy ra B.
Lời giải: Biến cố đối của A∪B là không xảy ra A và cũng không xảy ra B. P(A∪B)=1−5/20=3/4.
Giải thích: Biến cố đối của A∪B là không xảy ra A và cũng không xảy ra B. P(A∪B)=1−5/20=3/4.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: prob-union-complement-2-3
TỰ LUẬN 12Cho P(A)=10/20, P(B)=12/20, P(A∩B)=6/20. Tính P(A∪B). Cần đối chiếu bằng biến cố đối hoặc cách đếm khác.
Gợi ý: Dùng P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
Lời giải: Dùng P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Kết quả bằng (10+12−6)/20=4/5.
Giải thích: Dùng P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Kết quả bằng (10+12−6)/20=4/5.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: prob-union-general-1-4
TỰ LUẬN 13Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=6 cm, AD=8 cm, SA=2 cm và SA⊥(ABCD). Dùng các tam giác vuông và định lí cos để tính bình phương cosin góc giữa SB và SD.
Gợi ý: SB²=SA²+AB²=40, SD²=SA²+AD²=68, BD²=AB²+AD²=100
Lời giải: SB²=SA²+AB²=40, SD²=SA²+AD²=68, BD²=AB²+AD²=100. Định lí cos trong tam giác BSD cho cos∠BSD=SA²/(SB·SD)>0. Đây là góc nhọn giữa hai đường. Bình phương được 1/170.
Giải thích: SB²=SA²+AB²=40, SD²=SA²+AD²=68, BD²=AB²+AD²=100. Định lí cos trong tam giác BSD cho cos∠BSD=SA²/(SB·SD)>0. Đây là góc nhọn giữa hai đường. Bình phương được 1/170.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 14Cho P(A) = 3/25, P(B) = 7/50, P(A ∩ B) = 3/50. Tính P(A ∪ B).
Gợi ý: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Lời giải: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Thay số được (6 + 7 − 3)/50 = 1/5.
Giải thích: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Thay số được (6 + 7 − 3)/50 = 1/5.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 15Cho P(A) = 11/50, P(B) = 6/25, P(A ∩ B) = 1/25. Tính P(A ∪ B).
Gợi ý: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Lời giải: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Thay số được (11 + 12 − 2)/50 = 21/50.
Giải thích: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Thay số được (11 + 12 − 2)/50 = 21/50.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 16Cho P(A) = 8/25, P(B) = 1/5, P(A ∩ B) = 2/25. Tính P(A ∪ B).
Gợi ý: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Lời giải: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Thay số được (16 + 10 − 4)/50 = 11/25.
Giải thích: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Thay số được (16 + 10 − 4)/50 = 11/25.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 17Một phép thử có 8 kết quả đồng khả năng và 6 kết quả thuận lợi. Tính xác suất cổ điển.
Gợi ý: Lấy số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể.
Lời giải: P = 6/8.
Giải thích: Định nghĩa cổ điển chỉ dùng trực tiếp khi các kết quả đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Đổi tử và mẫu hoặc không kiểm giả thiết đồng khả năng.
Cách khác: Có thể kiểm bằng tần suất tương đối sau nhiều lần mô phỏng.
TỰ LUẬN 18Cho P(A) = 23/50, P(B) = 1/5, P(A ∩ B) = 1/25. Tính P(A ∪ B).
Gợi ý: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Lời giải: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Thay số được (23 + 10 − 2)/50 = 31/50.
Giải thích: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Thay số được (23 + 10 − 2)/50 = 31/50.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 19Cho P(A) = 27/50, P(B) = 7/50, P(A ∩ B) = 3/50. Tính P(A ∪ B).
Gợi ý: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Lời giải: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Thay số được (27 + 7 − 3)/50 = 31/50.
Giải thích: Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Thay số được (27 + 7 − 3)/50 = 31/50.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 20Gieo xúc xắc cân đối. A: ra mặt lớn hơn 4; B: ra mặt chẵn. Xác suất chỉ một trong A, B xảy ra?
Gợi ý: A = {5, 6}, B = {2, 4, 6}; chỉ một trong hai ứng với {2, 4, 5}.
Lời giải: A = {5, 6}, B = {2, 4, 6}; chỉ một trong hai ứng với {2, 4, 5}. Có ba mặt thuận lợi trong sáu mặt đồng khả năng, nên xác suất là 1/2.
Giải thích: A = {5, 6}, B = {2, 4, 6}; chỉ một trong hai ứng với {2, 4, 5}. Có ba mặt thuận lợi trong sáu mặt đồng khả năng, nên xác suất là 1/2.
Lỗi cần tránh: Cộng số kết quả của A và B mà không loại mặt 6 thuộc cả hai.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B29-NB-01, B29-NB-02, B29-NB-03, B29-NB-04, B29-NB-05, B29-NB-06, B29-NB-07, B29-NB-08, B29-NB-09, B29-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B29-NB-01: 1/6
- B29-NB-02: 16
- B29-NB-03: 8
- B29-NB-04: 0,58
- B29-NB-05: 0,35
- B29-NB-06: 0,65
- B29-NB-07: 0,7
- B29-NB-08: 0,15
- B29-NB-09: 0,65
- B29-NB-10: 0,45
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 8
10 câu đại diện: B29-NB-11, B29-NB-12, B29-NB-13, B29-NB-14, B29-NB-15, B29-NB-16, B29-NB-17, B29-NB-18, B29-NB-19, B29-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B29-NB-11: 0,65
- B29-NB-12: 0,9
- B29-NB-13: 0,15
- B29-NB-14: 0,62
- B29-NB-15: 0,35
- B29-NB-16: 0,75
- B29-NB-17: 0,7
- B29-NB-18: 0,25
- B29-NB-19: 0,6
- B29-NB-20: 0,45
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B29-TH-01, B29-TH-02, B29-TH-03, B29-TH-04, B29-TH-05, B29-TH-06, B29-TH-07, B29-TH-08, B29-TH-09, B29-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B29-TH-01: 4/9
- B29-TH-02: 21
- B29-TH-03: 12
- B29-TH-04: 3/20
- B29-TH-05: 3/10
- B29-TH-06: 0,66
- B29-TH-07: 3/5
- B29-TH-08: 9/10
- B29-TH-09: 9/10
- B29-TH-10: 5/12
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B29-TH-11, B29-TH-12, B29-TH-13, B29-TH-14, B29-TH-15, B29-TH-16, B29-TH-17, B29-TH-18, B29-TH-19, B29-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B29-TH-11: 0,57
- B29-TH-12: 1/4
- B29-TH-13: 1/4
- B29-TH-14: 7/20
- B29-TH-15: 13/20
- B29-TH-16: 0,64
- B29-TH-17: 17/20
- B29-TH-18: 0,55
- B29-TH-19: 0,9
- B29-TH-20: 0,05
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B29-VD-01, B29-VD-02, B29-VD-03, B29-VD-04, B29-VD-05, B29-VD-06, B29-VD-07, B29-VD-08, B29-VD-09, B29-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B29-VD-01: 1/7
- B29-VD-02: 10
- B29-VD-03: 8
- B29-VD-04: 17/20
- B29-VD-05: 7/15
- B29-VD-06: 7/20
- B29-VD-07: 9/20
- B29-VD-08: 9/20
- B29-VD-09: 3/4
- B29-VD-10: 3/4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.