Đo điều không nhìn thấy trực tiếp
Bài học biến vận tốc, cường độ dòng điện, tốc độ tăng trưởng, thiết kế đường ray và cảm biến thành mô hình có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Xây khái niệm đạo hàm từ tỉ số sai phân, hiểu ý nghĩa hình học và vật lí, tính đạo hàm tại điểm bằng định nghĩa và viết tiếp tuyến.
Đạo hàm không chỉ là công thức: đó là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết gọi dữ kiện, kiểm điều kiện, tính và diễn giải kết quả.
Nối đúng nền
Kích hoạt giới hạn hàm số, hàm số, phương trình đường thẳng và chuyển động rồi chuẩn bị cho Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm.
Hai biểu diễn
Mỗi kết quả được kiểm bằng sơ đồ, đồ thị, giới hạn, đơn vị hoặc công thức độc lập.
- Lập và rút gọn tỉ số sai phân.
- Nêu định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
- Giải thích hệ số góc tiếp tuyến và vận tốc tức thời.
- Viết phương trình tiếp tuyến đúng điểm.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Giới hạn hàm số, hàm số, phương trình đường thẳng và chuyển động.
- Mô tả biến cố hoặc miền xác định trước khi tính.
- Ước lượng xác suất, dấu và đơn vị của kết quả.
- Kiểm bằng biểu diễn thứ hai và giải thích bằng lời.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Tỉ số sai phân và giới hạn
Hiểu đơn giản: Đo mức thay đổi trung bình trên khoảng rất ngắn rồi cho khoảng co về 0.
f'(x₀)=lim[h→0](f(x₀+h)−f(x₀))/h.
Ví dụ: f(x)=x² cho tỉ số 2x₀+h và giới hạn 2x₀.
Hình nên dùng: Dây cung tiến dần tới tiếp tuyến.
Mô phỏng: Kéo h về 0.
Mẹo nhớ: Trừ–chia–rút gọn–lấy giới hạn.
Sai lầm: Thay h=0 trước khi rút gọn.
Ghi chú: Đạo hàm tồn tại chỉ khi giới hạn hữu hạn và duy nhất.
Ý nghĩa hình học
Hiểu đơn giản: Đạo hàm là độ dốc tức thời của đồ thị.
Hệ số góc tiếp tuyến tại M(x₀,f(x₀)) bằng f'(x₀).
Ví dụ: f'(1)=2 với y=x²; tiếp tuyến tại (1,1) có hệ số góc 2.
Hình nên dùng: Dây cung và tiếp tuyến tại cùng điểm.
Mô phỏng: Thay x₀ và quan sát độ nghiêng.
Mẹo nhớ: Điểm trước, dốc sau.
Sai lầm: Dùng f(x₀) làm hệ số góc.
Ghi chú: Tiếp tuyến phải đi qua điểm tiếp xúc.
Ý nghĩa vật lí
Hiểu đơn giản: Đạo hàm theo thời gian đo tốc độ thay đổi ngay tại thời điểm xét.
v(t₀)=s'(t₀); I(t₀)=Q'(t₀).
Ví dụ: s=t² cho v=2t.
Hình nên dùng: Đồng hồ vận tốc và đồ thị vị trí.
Mô phỏng: Thu nhỏ khoảng thời gian đo.
Mẹo nhớ: Đơn vị đầu ra chia đơn vị đầu vào.
Sai lầm: Dùng quãng đường chia thời điểm.
Ghi chú: Vận tốc tức thời có thể âm vì mang hướng.
Tồn tại đạo hàm
Hiểu đơn giản: Hai phía phải tiến về cùng một độ dốc.
Nếu f'(x₀) tồn tại thì f liên tục tại x₀; chiều đảo không luôn đúng.
Ví dụ: |x| liên tục tại 0 nhưng không có đạo hàm tại 0.
Hình nên dùng: Góc nhọn với hai tiếp tuyến một phía.
Mô phỏng: So hệ số góc trái–phải.
Mẹo nhớ: Khả vi mạnh hơn liên tục.
Sai lầm: Liên tục nên chắc chắn có đạo hàm.
Ghi chú: Đây là chỗ cần phản ví dụ, không học thuộc một chiều.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TỈ SỐ SAI PHÂN
Cho dây cung tiến dần tới tiếp tuyến
Với f(x)=ax²+bx+c, thay x₀ và số gia h khác 0. Khi |h| nhỏ dần, tỉ số sai phân tiến tới f'(x₀)=2ax₀+b.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B31-NB-04
Đề bài: Hàm f(x)=|x| có đạo hàm tại x=0 không?
Phân tích: So sánh giới hạn tỉ số sai phân khi h→0⁺ và h→0⁻.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: So sánh giới hạn tỉ số sai phân khi h→0⁺ và h→0⁻.
- Bước 2: Với h>0, |h|/h=1; với h<0, |h|/h=−1. Hai giới hạn một phía khác nhau nên f'(0) không tồn tại.
- Bước 3: Kết luận Không tồn tại.
Vì sao: Một góc nhọn trên đồ thị thường làm hai hệ số góc một phía không trùng nhau.
Cách khác: Quan sát hai nửa đường thẳng y=x và y=−x.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Thấy hàm liên tục rồi kết luận có đạo hàm.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B31-NB-14
Đề bài: Với f(x)=2x²+2x+4, viết phương trình tiếp tuyến tại x₀=1.
Phân tích: Tính điểm M(x₀,f(x₀)) và hệ số góc f'(x₀).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Tính điểm M(x₀,f(x₀)) và hệ số góc f'(x₀).
- Bước 2: M(1;8), hệ số góc 6; tiếp tuyến: y−8=6(x−1).
- Bước 3: Kết luận y−8=6(x−1).
Vì sao: Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc bằng đạo hàm tại hoành độ đó.
Cách khác: Khai triển về dạng y=mx+n để kiểm điểm M thuộc đường thẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng f(x₀) làm hệ số góc.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B31-TH-04
Đề bài: Với f(x)=3x²-2x+2, tính tỉ số sai phân tại x₀=-1, h=0,3.
Phân tích: Tính [f(x₀+h)−f(x₀)]/h.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Tính [f(x₀+h)−f(x₀)]/h.
- Bước 2: Tỉ số sai phân = 3(2·-1+0,3)-2=-7,1.
- Bước 3: Kết luận -7,1.
Vì sao: Tỉ số sai phân là hệ số góc dây cung, tiến tới hệ số góc tiếp tuyến.
Cách khác: Tính trực tiếp hai giá trị hàm để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên chia cho h.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B31-TH-14
Đề bài: Một vật có vị trí s(t)=1t²-3t+2 (m). Tính vận tốc tức thời tại t=2 s.
Phân tích: Vận tốc tức thời là s'(t).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Vận tốc tức thời là s'(t).
- Bước 2: v(t)=2·1t-3; v(2)=1 m/s.
- Bước 3: Kết luận 1 m/s.
Vì sao: Đạo hàm biến vị trí theo thời gian thành vận tốc tức thời.
Cách khác: Tính vận tốc trung bình trên [t;t+h] rồi cho h rất nhỏ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy s(t)/t thay cho đạo hàm.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B31-VD-04
Đề bài: Điện lượng Q(t)=2t²+0t+5 (C). Cường độ tức thời tại t=5 s là bao nhiêu?
Phân tích: Cường độ dòng điện tức thời I(t)=Q'(t).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Cường độ dòng điện tức thời I(t)=Q'(t).
- Bước 2: I(5)=2·2·5+0=20 A.
- Bước 3: Kết luận 20 A.
Vì sao: Một ampe bằng một coulomb trên giây, đúng với đơn vị đạo hàm Q'(t).
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số ΔQ/Δt trên khoảng rất ngắn.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Nhầm đơn vị C với A.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B31-VD-14
Đề bài: Hàm f(x)=|x| có đạo hàm tại x=0 không?
Phân tích: So sánh giới hạn tỉ số sai phân khi h→0⁺ và h→0⁻.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: So sánh giới hạn tỉ số sai phân khi h→0⁺ và h→0⁻.
- Bước 2: Với h>0, |h|/h=1; với h<0, |h|/h=−1. Hai giới hạn một phía khác nhau nên f'(0) không tồn tại.
- Bước 3: Kết luận Không tồn tại.
Vì sao: Một góc nhọn trên đồ thị thường làm hai hệ số góc một phía không trùng nhau.
Cách khác: Quan sát hai nửa đường thẳng y=x và y=−x.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Thấy hàm liên tục rồi kết luận có đạo hàm.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B31-VDC-04
Đề bài: Dùng định nghĩa tính f'(0) với f(x)=1x²+2x+3.
Phân tích: Lập [f(x₀+h)−f(x₀)]/h, rút gọn rồi cho h→0.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Lập [f(x₀+h)−f(x₀)]/h, rút gọn rồi cho h→0.
- Bước 2: Tỉ số sai phân bằng 1(2·0+h)+2; khi h→0, f'(0)=2.
- Bước 3: Kết luận 2.
Vì sao: Đạo hàm tại điểm là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình khi khoảng đo co về 0.
Cách khác: Sau khi hiểu định nghĩa, kiểm bằng công thức (ax²+bx+c)'=2ax+b.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Thế h=0 trước khi giản ước.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B31-VDC-14
Đề bài: Với f(x)=3x²+1x+3, tính tỉ số sai phân tại x₀=0, h=0,3.
Phân tích: Tính [f(x₀+h)−f(x₀)]/h.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Tính [f(x₀+h)−f(x₀)]/h.
- Bước 2: Tỉ số sai phân = 3(2·0+0,3)+1=1,9.
- Bước 3: Kết luận 1,9.
Vì sao: Tỉ số sai phân là hệ số góc dây cung, tiến tới hệ số góc tiếp tuyến.
Cách khác: Tính trực tiếp hai giá trị hàm để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên chia cho h.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B31-TT-04
Đề bài: Với f(x)=4x²-3x+1, viết phương trình tiếp tuyến tại x₀=-2.
Phân tích: Tính điểm M(x₀,f(x₀)) và hệ số góc f'(x₀).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Tính điểm M(x₀,f(x₀)) và hệ số góc f'(x₀).
- Bước 2: M(-2;23), hệ số góc -19; tiếp tuyến: y−23=-19(x−-2).
- Bước 3: Kết luận y−23=-19(x−-2).
Vì sao: Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc bằng đạo hàm tại hoành độ đó.
Cách khác: Khai triển về dạng y=mx+n để kiểm điểm M thuộc đường thẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng f(x₀) làm hệ số góc.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B31-TT-14
Đề bài: Điện lượng Q(t)=2t²+3t+1 (C). Cường độ tức thời tại t=1 s là bao nhiêu?
Phân tích: Cường độ dòng điện tức thời I(t)=Q'(t).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Cường độ dòng điện tức thời I(t)=Q'(t).
- Bước 2: I(1)=2·2·1+3=7 A.
- Bước 3: Kết luận 7 A.
Vì sao: Một ampe bằng một coulomb trên giây, đúng với đơn vị đạo hàm Q'(t).
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số ΔQ/Δt trên khoảng rất ngắn.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Nhầm đơn vị C với A.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Tình huống 1 dùng vận tốc, cường độ dòng điện, tốc độ tăng trưởng, thiết kế đường ray và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Tình huống 2 dùng vận tốc, cường độ dòng điện, tốc độ tăng trưởng, thiết kế đường ray và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Tình huống 3 dùng vận tốc, cường độ dòng điện, tốc độ tăng trưởng, thiết kế đường ray và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Tình huống 4 dùng vận tốc, cường độ dòng điện, tốc độ tăng trưởng, thiết kế đường ray và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Tình huống 5 dùng vận tốc, cường độ dòng điện, tốc độ tăng trưởng, thiết kế đường ray và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Tình huống 6 dùng vận tốc, cường độ dòng điện, tốc độ tăng trưởng, thiết kế đường ray và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Tình huống 7 dùng vận tốc, cường độ dòng điện, tốc độ tăng trưởng, thiết kế đường ray và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Tình huống 8 dùng vận tốc, cường độ dòng điện, tốc độ tăng trưởng, thiết kế đường ray và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Tỉ số sai phân và giới hạn theo cách đơn giản?
Đo mức thay đổi trung bình trên khoảng rất ngắn rồi cho khoảng co về 0. Mốc chính xác: f'(x₀)=lim[h→0](f(x₀+h)−f(x₀))/h. Ví dụ: f(x)=x² cho tỉ số 2x₀+h và giới hạn 2x₀. Cách nhớ: Trừ–chia–rút gọn–lấy giới hạn. Cần tránh: Thay h=0 trước khi rút gọn.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Thế h=0 quá sớm
Thay h=0 trước khi rút gọn. Sửa bằng: Trừ–chia–rút gọn–lấy giới hạn. Kiểm cuối: Đạo hàm tồn tại chỉ khi giới hạn hữu hạn và duy nhất.
Nhầm giá trị hàm với đạo hàm
Dùng f(x₀) làm hệ số góc. Sửa bằng: Điểm trước, dốc sau. Kiểm cuối: Tiếp tuyến phải đi qua điểm tiếp xúc.
Dùng sai điểm tiếp xúc
Dùng quãng đường chia thời điểm. Sửa bằng: Đơn vị đầu ra chia đơn vị đầu vào. Kiểm cuối: Vận tốc tức thời có thể âm vì mang hướng.
Cho rằng liên tục luôn khả vi
Liên tục nên chắc chắn có đạo hàm. Sửa bằng: Khả vi mạnh hơn liên tục. Kiểm cuối: Đây là chỗ cần phản ví dụ, không học thuộc một chiều.
Quên đơn vị tốc độ
Thay h=0 trước khi rút gọn. Sửa bằng: Trừ–chia–rút gọn–lấy giới hạn. Kiểm cuối: Đạo hàm tồn tại chỉ khi giới hạn hữu hạn và duy nhất.
Thế h=0 quá sớm – biến thể 6
Dùng f(x₀) làm hệ số góc. Sửa bằng: Điểm trước, dốc sau. Kiểm cuối: Tiếp tuyến phải đi qua điểm tiếp xúc.
Nhầm giá trị hàm với đạo hàm – biến thể 7
Dùng quãng đường chia thời điểm. Sửa bằng: Đơn vị đầu ra chia đơn vị đầu vào. Kiểm cuối: Vận tốc tức thời có thể âm vì mang hướng.
Dùng sai điểm tiếp xúc – biến thể 8
Liên tục nên chắc chắn có đạo hàm. Sửa bằng: Khả vi mạnh hơn liên tục. Kiểm cuối: Đây là chỗ cần phản ví dụ, không học thuộc một chiều.
Cho rằng liên tục luôn khả vi – biến thể 9
Thay h=0 trước khi rút gọn. Sửa bằng: Trừ–chia–rút gọn–lấy giới hạn. Kiểm cuối: Đạo hàm tồn tại chỉ khi giới hạn hữu hạn và duy nhất.
Quên đơn vị tốc độ – biến thể 10
Dùng f(x₀) làm hệ số góc. Sửa bằng: Điểm trước, dốc sau. Kiểm cuối: Tiếp tuyến phải đi qua điểm tiếp xúc.
Thế h=0 quá sớm – biến thể 11
Dùng quãng đường chia thời điểm. Sửa bằng: Đơn vị đầu ra chia đơn vị đầu vào. Kiểm cuối: Vận tốc tức thời có thể âm vì mang hướng.
Nhầm giá trị hàm với đạo hàm – biến thể 12
Liên tục nên chắc chắn có đạo hàm. Sửa bằng: Khả vi mạnh hơn liên tục. Kiểm cuối: Đây là chỗ cần phản ví dụ, không học thuộc một chiều.
Dùng sai điểm tiếp xúc – biến thể 13
Thay h=0 trước khi rút gọn. Sửa bằng: Trừ–chia–rút gọn–lấy giới hạn. Kiểm cuối: Đạo hàm tồn tại chỉ khi giới hạn hữu hạn và duy nhất.
Cho rằng liên tục luôn khả vi – biến thể 14
Dùng f(x₀) làm hệ số góc. Sửa bằng: Điểm trước, dốc sau. Kiểm cuối: Tiếp tuyến phải đi qua điểm tiếp xúc.
Quên đơn vị tốc độ – biến thể 15
Dùng quãng đường chia thời điểm. Sửa bằng: Đơn vị đầu ra chia đơn vị đầu vào. Kiểm cuối: Vận tốc tức thời có thể âm vì mang hướng.
Thế h=0 quá sớm – biến thể 16
Liên tục nên chắc chắn có đạo hàm. Sửa bằng: Khả vi mạnh hơn liên tục. Kiểm cuối: Đây là chỗ cần phản ví dụ, không học thuộc một chiều.
Nhầm giá trị hàm với đạo hàm – biến thể 17
Thay h=0 trước khi rút gọn. Sửa bằng: Trừ–chia–rút gọn–lấy giới hạn. Kiểm cuối: Đạo hàm tồn tại chỉ khi giới hạn hữu hạn và duy nhất.
Dùng sai điểm tiếp xúc – biến thể 18
Dùng f(x₀) làm hệ số góc. Sửa bằng: Điểm trước, dốc sau. Kiểm cuối: Tiếp tuyến phải đi qua điểm tiếp xúc.
Cho rằng liên tục luôn khả vi – biến thể 19
Dùng quãng đường chia thời điểm. Sửa bằng: Đơn vị đầu ra chia đơn vị đầu vào. Kiểm cuối: Vận tốc tức thời có thể âm vì mang hướng.
Quên đơn vị tốc độ – biến thể 20
Liên tục nên chắc chắn có đạo hàm. Sửa bằng: Khả vi mạnh hơn liên tục. Kiểm cuối: Đây là chỗ cần phản ví dụ, không học thuộc một chiều.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Gọi tên biến cố hoặc hàm
Viết rõ đối tượng, miền và điều cần tìm trước khi chọn công thức.
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Ví dụ đi cùng phản ví dụ
Mỗi quy tắc phải có một trường hợp đủ điều kiện và một trường hợp không được dùng.
Hai biểu diễn để tự kiểm
Kiểm bằng Venn–cây xác suất hoặc công thức–đồ thị–tỉ số sai phân.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, nguyên nhân sai và phép tự kiểm cho lần sau.
Ôn theo mốc 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm1 2 3 4
Tỉ số sai phân và giới hạnf'(x₀)=lim[h→0](f(x₀+h)−f(x₀))/h. Trừ–chia–rút gọn–lấy giới hạn.
Ý nghĩa hình họcHệ số góc tiếp tuyến tại M(x₀,f(x₀)) bằng f'(x₀). Điểm trước, dốc sau.
Ý nghĩa vật lív(t₀)=s'(t₀); I(t₀)=Q'(t₀). Đơn vị đầu ra chia đơn vị đầu vào.
Tồn tại đạo hàmNếu f'(x₀) tồn tại thì f liên tục tại x₀; chiều đảo không luôn đúng. Khả vi mạnh hơn liên tục.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B31-NB-01Tính lim (h→0) (2h² + 3h)/h với h ≠ 0.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Rút h ở tử rồi giản ước trước khi lấy giới hạn.
Lời giải: (2h² + 3h)/h = 2h + 3, nên giới hạn bằng 3.
Vì sao: Đây là mẫu biến đổi cơ bản của tỉ số sai phân.
Sai ở đâu: Thế h=0 ngay vào biểu thức ban đầu rồi kết luận 0/0.
Cách khác: Dùng tính chất giới hạn của tổng.
B31-NB-02Với f(x) = 3x + 4, tính f(-1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay x bằng giá trị đã cho và giữ đúng dấu.
Lời giải: f(-1) = 3·(-1) + 4 = 1.
Vì sao: Giá trị hàm tại một điểm khác với tốc độ biến thiên tại điểm đó.
Sai ở đâu: Nhầm f(x) với hệ số của x.
Cách khác: Kiểm bằng đồ thị đường thẳng.
B31-NB-03Rút gọn [(x + 4)² − (x² + 2·4x + 16)] tại x = 3.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Khai triển hoặc nhận ra hai biểu thức bằng nhau.
Lời giải: Hai ngoặc bằng nhau nên hiệu bằng 0.
Vì sao: Biến đổi hằng đẳng thức giúp tách nhân tử trong tỉ số sai phân.
Sai ở đâu: Bỏ dấu ngoặc sau dấu trừ.
Cách khác: Thay số để kiểm chéo.
B31-NB-04Hàm f(x)=|x| có đạo hàm tại x=0 không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh giới hạn tỉ số sai phân khi h→0⁺ và h→0⁻.
Lời giải: Với h>0, |h|/h=1; với h<0, |h|/h=−1. Hai giới hạn một phía khác nhau nên f'(0) không tồn tại.
Vì sao: Một góc nhọn trên đồ thị thường làm hai hệ số góc một phía không trùng nhau.
Sai ở đâu: Thấy hàm liên tục rồi kết luận có đạo hàm.
Cách khác: Quan sát hai nửa đường thẳng y=x và y=−x.
B31-NB-05Với f(x)=1x²-2x+5, tính tỉ số sai phân tại x₀=2, h=0,1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính [f(x₀+h)−f(x₀)]/h.
Lời giải: Tỉ số sai phân = 1(2·2+0,1)-2=2,1.
Vì sao: Tỉ số sai phân là hệ số góc dây cung, tiến tới hệ số góc tiếp tuyến.
Sai ở đâu: Quên chia cho h.
Cách khác: Tính trực tiếp hai giá trị hàm để kiểm.
B31-NB-06Điện lượng Q(t)=2t²+0t+1 (C). Cường độ tức thời tại t=1 s là bao nhiêu?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cường độ dòng điện tức thời I(t)=Q'(t).
Lời giải: I(1)=2·2·1+0=4 A.
Vì sao: Một ampe bằng một coulomb trên giây, đúng với đơn vị đạo hàm Q'(t).
Sai ở đâu: Nhầm đơn vị C với A.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số ΔQ/Δt trên khoảng rất ngắn.
B31-NB-07Dùng định nghĩa tính f'(-1) với f(x)=3x²+2x+2.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lập [f(x₀+h)−f(x₀)]/h, rút gọn rồi cho h→0.
Lời giải: Tỉ số sai phân bằng 3(2·-1+h)+2; khi h→0, f'(-1)=-4.
Vì sao: Đạo hàm tại điểm là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình khi khoảng đo co về 0.
Sai ở đâu: Thế h=0 trước khi giản ước.
Cách khác: Sau khi hiểu định nghĩa, kiểm bằng công thức (ax²+bx+c)'=2ax+b.
B31-NB-08Với f(x)=4x²-3x+3, viết phương trình tiếp tuyến tại x₀=0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính điểm M(x₀,f(x₀)) và hệ số góc f'(x₀).
Lời giải: M(0;3), hệ số góc -3; tiếp tuyến: y−3=-3(x−0).
Vì sao: Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc bằng đạo hàm tại hoành độ đó.
Sai ở đâu: Dùng f(x₀) làm hệ số góc.
Cách khác: Khai triển về dạng y=mx+n để kiểm điểm M thuộc đường thẳng.
B31-NB-09Một vật có vị trí s(t)=1t²-1t+4 (m). Tính vận tốc tức thời tại t=4 s.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Vận tốc tức thời là s'(t).
Lời giải: v(t)=2·1t-1; v(4)=7 m/s.
Vì sao: Đạo hàm biến vị trí theo thời gian thành vận tốc tức thời.
Sai ở đâu: Lấy s(t)/t thay cho đạo hàm.
Cách khác: Tính vận tốc trung bình trên [t;t+h] rồi cho h rất nhỏ.
B31-NB-10Hàm f(x)=|x| có đạo hàm tại x=0 không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh giới hạn tỉ số sai phân khi h→0⁺ và h→0⁻.
Lời giải: Với h>0, |h|/h=1; với h<0, |h|/h=−1. Hai giới hạn một phía khác nhau nên f'(0) không tồn tại.
Vì sao: Một góc nhọn trên đồ thị thường làm hai hệ số góc một phía không trùng nhau.
Sai ở đâu: Thấy hàm liên tục rồi kết luận có đạo hàm.
Cách khác: Quan sát hai nửa đường thẳng y=x và y=−x.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B31-NB-01] Tính lim (h→0) (2h² + 3h)/h với h ≠ 0.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính lim (h→0) (2h² + 3h)/h với h ≠ 0.
Gợi ý: Rút h ở tử rồi giản ước trước khi lấy giới hạn.
Lời giải: (2h² + 3h)/h = 2h + 3, nên giới hạn bằng 3.
Giải thích: Đây là mẫu biến đổi cơ bản của tỉ số sai phân.
Lỗi cần tránh: Thế h=0 ngay vào biểu thức ban đầu rồi kết luận 0/0.
Cách khác: Dùng tính chất giới hạn của tổng.
TỰ LUẬN 2Điện lượng Q(t)=2t²+0t+1 (C). Cường độ tức thời tại t=1 s là bao nhiêu?
Gợi ý: Cường độ dòng điện tức thời I(t)=Q'(t).
Lời giải: I(1)=2·2·1+0=4 A.
Giải thích: Một ampe bằng một coulomb trên giây, đúng với đơn vị đạo hàm Q'(t).
Lỗi cần tránh: Nhầm đơn vị C với A.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số ΔQ/Δt trên khoảng rất ngắn.
TỰ LUẬN 3Với f(x)=3x²+3x+1, tính tỉ số sai phân tại x₀=-2, h=0,3.
Gợi ý: Tính [f(x₀+h)−f(x₀)]/h.
Lời giải: Tỉ số sai phân = 3(2·-2+0,3)+3=-8,1.
Giải thích: Tỉ số sai phân là hệ số góc dây cung, tiến tới hệ số góc tiếp tuyến.
Lỗi cần tránh: Quên chia cho h.
Cách khác: Tính trực tiếp hai giá trị hàm để kiểm.
TỰ LUẬN 4Hàm f(x)=|x| có đạo hàm tại x=0 không?
Gợi ý: So sánh giới hạn tỉ số sai phân khi h→0⁺ và h→0⁻.
Lời giải: Với h>0, |h|/h=1; với h<0, |h|/h=−1. Hai giới hạn một phía khác nhau nên f'(0) không tồn tại.
Giải thích: Một góc nhọn trên đồ thị thường làm hai hệ số góc một phía không trùng nhau.
Lỗi cần tránh: Thấy hàm liên tục rồi kết luận có đạo hàm.
Cách khác: Quan sát hai nửa đường thẳng y=x và y=−x.
TỰ LUẬN 5Tính lim (h→0) (5h² + 6h)/h với h ≠ 0.
Gợi ý: Rút h ở tử rồi giản ước trước khi lấy giới hạn.
Lời giải: (5h² + 6h)/h = 5h + 6, nên giới hạn bằng 6.
Giải thích: Đây là mẫu biến đổi cơ bản của tỉ số sai phân.
Lỗi cần tránh: Thế h=0 ngay vào biểu thức ban đầu rồi kết luận 0/0.
Cách khác: Dùng tính chất giới hạn của tổng.
TỰ LUẬN 6Dùng định nghĩa tính f'(1) với f(x)=1x²+2x+4.
Gợi ý: Lập [f(x₀+h)−f(x₀)]/h, rút gọn rồi cho h→0.
Lời giải: Tỉ số sai phân bằng 1(2·1+h)+2; khi h→0, f'(1)=4.
Giải thích: Đạo hàm tại điểm là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình khi khoảng đo co về 0.
Lỗi cần tránh: Thế h=0 trước khi giản ước.
Cách khác: Sau khi hiểu định nghĩa, kiểm bằng công thức (ax²+bx+c)'=2ax+b.
TỰ LUẬN 7Điện lượng Q(t)=2t²-2t+4 (C). Cường độ tức thời tại t=4 s là bao nhiêu?
Gợi ý: Cường độ dòng điện tức thời I(t)=Q'(t).
Lời giải: I(4)=2·2·4-2=14 A.
Giải thích: Một ampe bằng một coulomb trên giây, đúng với đơn vị đạo hàm Q'(t).
Lỗi cần tránh: Nhầm đơn vị C với A.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số ΔQ/Δt trên khoảng rất ngắn.
TỰ LUẬN 8Với f(x)=3x²+1x+4, tính tỉ số sai phân tại x₀=1, h=0,3.
Gợi ý: Tính [f(x₀+h)−f(x₀)]/h.
Lời giải: Tỉ số sai phân = 3(2·1+0,3)+1=7,9.
Giải thích: Tỉ số sai phân là hệ số góc dây cung, tiến tới hệ số góc tiếp tuyến.
Lỗi cần tránh: Quên chia cho h.
Cách khác: Tính trực tiếp hai giá trị hàm để kiểm.
TỰ LUẬN 9Tính lim (h→0) (3h² + 3h)/h với h ≠ 0.
Gợi ý: Rút h ở tử rồi giản ước trước khi lấy giới hạn.
Lời giải: (3h² + 3h)/h = 3h + 3, nên giới hạn bằng 3.
Giải thích: Đây là mẫu biến đổi cơ bản của tỉ số sai phân.
Lỗi cần tránh: Thế h=0 ngay vào biểu thức ban đầu rồi kết luận 0/0.
Cách khác: Dùng tính chất giới hạn của tổng.
TỰ LUẬN 10Với f(x)=4x²-3x+2, viết phương trình tiếp tuyến tại x₀=-1.
Gợi ý: Tính điểm M(x₀,f(x₀)) và hệ số góc f'(x₀).
Lời giải: M(-1;9), hệ số góc -11; tiếp tuyến: y−9=-11(x−-1).
Giải thích: Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc bằng đạo hàm tại hoành độ đó.
Lỗi cần tránh: Dùng f(x₀) làm hệ số góc.
Cách khác: Khai triển về dạng y=mx+n để kiểm điểm M thuộc đường thẳng.
TỰ LUẬN 11Dùng định nghĩa tính f'(-1) với f(x)=1x²+0x+2.
Gợi ý: Lập [f(x₀+h)−f(x₀)]/h, rút gọn rồi cho h→0.
Lời giải: Tỉ số sai phân bằng 1(2·-1+h)+0; khi h→0, f'(-1)=-2.
Giải thích: Đạo hàm tại điểm là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình khi khoảng đo co về 0.
Lỗi cần tránh: Thế h=0 trước khi giản ước.
Cách khác: Sau khi hiểu định nghĩa, kiểm bằng công thức (ax²+bx+c)'=2ax+b.
TỰ LUẬN 12Điện lượng Q(t)=2t²+3t+2 (C). Cường độ tức thời tại t=2 s là bao nhiêu?
Gợi ý: Cường độ dòng điện tức thời I(t)=Q'(t).
Lời giải: I(2)=2·2·2+3=11 A.
Giải thích: Một ampe bằng một coulomb trên giây, đúng với đơn vị đạo hàm Q'(t).
Lỗi cần tránh: Nhầm đơn vị C với A.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số ΔQ/Δt trên khoảng rất ngắn.
TỰ LUẬN 13Tính lim (h→0) (6h² + 6h)/h với h ≠ 0.
Gợi ý: Rút h ở tử rồi giản ước trước khi lấy giới hạn.
Lời giải: (6h² + 6h)/h = 6h + 6, nên giới hạn bằng 6.
Giải thích: Đây là mẫu biến đổi cơ bản của tỉ số sai phân.
Lỗi cần tránh: Thế h=0 ngay vào biểu thức ban đầu rồi kết luận 0/0.
Cách khác: Dùng tính chất giới hạn của tổng.
TỰ LUẬN 14Một vật có vị trí s(t)=3t²-1t+5 (m). Tính vận tốc tức thời tại t=5 s.
Gợi ý: Vận tốc tức thời là s'(t).
Lời giải: v(t)=2·3t-1; v(5)=29 m/s.
Giải thích: Đạo hàm biến vị trí theo thời gian thành vận tốc tức thời.
Lỗi cần tránh: Lấy s(t)/t thay cho đạo hàm.
Cách khác: Tính vận tốc trung bình trên [t;t+h] rồi cho h rất nhỏ.
TỰ LUẬN 15Với f(x)=4x²+2x+5, viết phương trình tiếp tuyến tại x₀=2.
Gợi ý: Tính điểm M(x₀,f(x₀)) và hệ số góc f'(x₀).
Lời giải: M(2;25), hệ số góc 18; tiếp tuyến: y−25=18(x−2).
Giải thích: Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc bằng đạo hàm tại hoành độ đó.
Lỗi cần tránh: Dùng f(x₀) làm hệ số góc.
Cách khác: Khai triển về dạng y=mx+n để kiểm điểm M thuộc đường thẳng.
TỰ LUẬN 16Dùng định nghĩa tính f'(2) với f(x)=1x²-2x+5.
Gợi ý: Lập [f(x₀+h)−f(x₀)]/h, rút gọn rồi cho h→0.
Lời giải: Tỉ số sai phân bằng 1(2·2+h)-2; khi h→0, f'(2)=2.
Giải thích: Đạo hàm tại điểm là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình khi khoảng đo co về 0.
Lỗi cần tránh: Thế h=0 trước khi giản ước.
Cách khác: Sau khi hiểu định nghĩa, kiểm bằng công thức (ax²+bx+c)'=2ax+b.
TỰ LUẬN 17Tính lim (h→0) (4h² + 3h)/h với h ≠ 0.
Gợi ý: Rút h ở tử rồi giản ước trước khi lấy giới hạn.
Lời giải: (4h² + 3h)/h = 4h + 3, nên giới hạn bằng 3.
Giải thích: Đây là mẫu biến đổi cơ bản của tỉ số sai phân.
Lỗi cần tránh: Thế h=0 ngay vào biểu thức ban đầu rồi kết luận 0/0.
Cách khác: Dùng tính chất giới hạn của tổng.
TỰ LUẬN 18Hàm f(x)=|x| có đạo hàm tại x=0 không?
Gợi ý: So sánh giới hạn tỉ số sai phân khi h→0⁺ và h→0⁻.
Lời giải: Với h>0, |h|/h=1; với h<0, |h|/h=−1. Hai giới hạn một phía khác nhau nên f'(0) không tồn tại.
Giải thích: Một góc nhọn trên đồ thị thường làm hai hệ số góc một phía không trùng nhau.
Lỗi cần tránh: Thấy hàm liên tục rồi kết luận có đạo hàm.
Cách khác: Quan sát hai nửa đường thẳng y=x và y=−x.
TỰ LUẬN 19Một vật có vị trí s(t)=3t²-3t+3 (m). Tính vận tốc tức thời tại t=3 s.
Gợi ý: Vận tốc tức thời là s'(t).
Lời giải: v(t)=2·3t-3; v(3)=15 m/s.
Giải thích: Đạo hàm biến vị trí theo thời gian thành vận tốc tức thời.
Lỗi cần tránh: Lấy s(t)/t thay cho đạo hàm.
Cách khác: Tính vận tốc trung bình trên [t;t+h] rồi cho h rất nhỏ.
TỰ LUẬN 20Với f(x)=4x²+0x+3, viết phương trình tiếp tuyến tại x₀=0.
Gợi ý: Tính điểm M(x₀,f(x₀)) và hệ số góc f'(x₀).
Lời giải: M(0;3), hệ số góc 0; tiếp tuyến: y−3=0(x−0).
Giải thích: Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc bằng đạo hàm tại hoành độ đó.
Lỗi cần tránh: Dùng f(x₀) làm hệ số góc.
Cách khác: Khai triển về dạng y=mx+n để kiểm điểm M thuộc đường thẳng.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B31-NB-01, B31-NB-02, B31-NB-03, B31-NB-04, B31-NB-05, B31-NB-06, B31-NB-07, B31-NB-08, B31-NB-09, B31-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B31-NB-01: 3
- B31-NB-02: 1
- B31-NB-03: 0
- B31-NB-04: Không tồn tại
- B31-NB-05: 2,1
- B31-NB-06: 4 A
- B31-NB-07: -4
- B31-NB-08: y−3=-3(x−0)
- B31-NB-09: 7 m/s
- B31-NB-10: Không tồn tại
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 9
10 câu đại diện: B31-NB-11, B31-NB-12, B31-NB-13, B31-NB-14, B31-NB-15, B31-NB-16, B31-NB-17, B31-NB-18, B31-NB-19, B31-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B31-NB-11: -8,1
- B31-NB-12: 14 A
- B31-NB-13: 0
- B31-NB-14: y−8=6(x−1)
- B31-NB-15: 27 m/s
- B31-NB-16: Không tồn tại
- B31-NB-17: -0,9
- B31-NB-18: 15 A
- B31-NB-19: 4
- B31-NB-20: y−21=16(x−2)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B31-TH-01, B31-TH-02, B31-TH-03, B31-TH-04, B31-TH-05, B31-TH-06, B31-TH-07, B31-TH-08, B31-TH-09, B31-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B31-TH-01: 6
- B31-TH-02: 13
- B31-TH-03: 0
- B31-TH-04: -7,1
- B31-TH-05: 24 A
- B31-TH-06: 4
- B31-TH-07: y−7=5(x−2)
- B31-TH-08: 5 m/s
- B31-TH-09: Không tồn tại
- B31-TH-10: 3,1
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B31-TH-11, B31-TH-12, B31-TH-13, B31-TH-14, B31-TH-15, B31-TH-16, B31-TH-17, B31-TH-18, B31-TH-19, B31-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B31-TH-11: 14 A
- B31-TH-12: 12
- B31-TH-13: y−13=-14(x−-2)
- B31-TH-14: 1 m/s
- B31-TH-15: Không tồn tại
- B31-TH-16: 7,9
- B31-TH-17: 43 A
- B31-TH-18: -6
- B31-TH-19: y−4=-4(x−-1)
- B31-TH-20: 20 m/s
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B31-VD-01, B31-VD-02, B31-VD-03, B31-VD-04, B31-VD-05, B31-VD-06, B31-VD-07, B31-VD-08, B31-VD-09, B31-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B31-VD-01: 3
- B31-VD-02: 4
- B31-VD-03: 0
- B31-VD-04: 20 A
- B31-VD-05: -10
- B31-VD-06: y−9=-11(x−-1)
- B31-VD-07: 5 m/s
- B31-VD-08: Không tồn tại
- B31-VD-09: 15,9
- B31-VD-10: 6 A
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 35–50 phút; yêu cầu con nói điều kiện dùng công thức trước khi bấm máy.
- Hỏi con diễn giải kết quả bằng lời trong bối cảnh, không chỉ đọc con số.
- Theo dõi ba lỗi lặp gần nhất và lịch ôn 1–7–30.
- Khuyến khích con ước lượng xác suất, dấu và đơn vị trước khi tính.
- Mở bài bằng một phản ví dụ: xung khắc khác độc lập hoặc liên tục chưa chắc khả vi.
- Chấm theo mốc mô hình–điều kiện–công thức–tính toán–diễn giải.
- Cho học sinh kiểm chéo bằng Venn/cây hoặc tỉ số sai phân/đồ thị.
- Đề nội bộ định hướng Hà Nội phải ghi rõ tính tham khảo và có đủ ba dạng trắc nghiệm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.