Đo điều không nhìn thấy trực tiếp
Bài học biến gia tốc phương tiện, dao động, robot, chuyển động công nghiệp và biến thiên tốc độ thành mô hình có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- f''=(f')'.
- f'' không phải (f')².
- Đạo hàm hai lần vẫn phải giữ miền xác định.
Bài 33. Đạo hàm cấp hai
Tính đạo hàm cấp hai bằng cách đạo hàm f' một lần nữa và diễn giải đạo hàm cấp hai của vị trí là gia tốc tức thời.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết gọi dữ kiện, kiểm điều kiện, tính và diễn giải kết quả.
Nối đúng nền
Kích hoạt bài 31–32, quy tắc hàm hợp và chuyển động thẳng rồi chuẩn bị cho Cổng cuối Chương 9.
Hai biểu diễn
Mỗi kết quả được kiểm bằng sơ đồ, đồ thị, giới hạn, đơn vị hoặc công thức độc lập.
- Nêu đúng định nghĩa đạo hàm cấp hai.
- Tính f'' cho các hàm quen thuộc.
- Giữ quy tắc hàm hợp ở lần đạo hàm thứ hai.
- Giải thích gia tốc a(t)=s''(t).
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 31–32, quy tắc hàm hợp và chuyển động thẳng.
- Mô tả biến cố hoặc miền xác định trước khi tính.
- Ước lượng xác suất, dấu và đơn vị của kết quả.
- Kiểm bằng biểu diễn thứ hai và giải thích bằng lời.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Khái niệm đạo hàm cấp hai
Hiểu đơn giản: Lấy đạo hàm của hàm đạo hàm.
f''(x)=(f'(x))'.
Ví dụ: f=x³ ⇒ f'=3x² ⇒ f''=6x.
Hình nên dùng: Ba hàng f, f', f''.
Mô phỏng: Bấm đạo hàm từng lượt.
Mẹo nhớ: Phẩy hai là làm hai lần.
Sai lầm: Viết f''=(f')².
Ghi chú: Cần f' có đạo hàm tại điểm đang xét.
Quy tắc tính
Hiểu đơn giản: Áp dụng lại toàn bộ bảng đạo hàm cho f'.
Nếu f=sin(kx), f''=−k²sin(kx); nếu f=e^(kx), f''=k²e^(kx).
Ví dụ: y=cos 2x ⇒ y''=−4cos 2x.
Hình nên dùng: Chuỗi hai lần quy tắc hàm hợp.
Mô phỏng: So f'' với f.
Mẹo nhớ: Mỗi lần đều nhân đạo hàm lớp trong.
Sai lầm: Chỉ nhân hệ số k một lần.
Ghi chú: Viết rõ f' trước giúp giảm lỗi dấu.
Gia tốc tức thời
Hiểu đơn giản: Vận tốc thay đổi nhanh hay chậm được đo bằng đạo hàm của vận tốc.
v(t)=s'(t); a(t)=v'(t)=s''(t).
Ví dụ: s=t³ cho v=3t² và a=6t.
Hình nên dùng: Ba đồ thị vị trí–vận tốc–gia tốc.
Mô phỏng: Kéo thời gian và so ba giá trị.
Mẹo nhớ: Vị trí → vận tốc → gia tốc.
Sai lầm: Dùng s' làm gia tốc.
Ghi chú: Dấu gia tốc mô tả hướng biến thiên của vận tốc, không tự động cho biết vật nhanh dần.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐẠO HÀM
Đọc đồng thời giá trị, độ dốc, tiếp tuyến và đạo hàm cấp hai
Nhập f(x)=ax³+bx²+cx+d và x₀. Công cụ tính f(x₀), f'(x₀), phương trình tiếp tuyến và f''(x₀) bằng hai lượt đạo hàm.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B33-NB-04
Đề bài: Vật chuyển động theo s(t)=4t³+3t²+5t (m). Tính gia tốc tại t=4 s.
Phân tích: v=s', a=v'=s''.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: v=s', a=v'=s''.
- Bước 2: s''(t)=24t+6; a(4)=102 m/s².
- Bước 3: Kết luận 102 m/s².
Vì sao: Đạo hàm cấp hai của vị trí theo thời gian là gia tốc tức thời.
Cách khác: Kiểm đơn vị: m/s².
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dừng ở s'(t) và trả vận tốc.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B33-NB-14
Đề bài: Vật chuyển động theo s(t)=2t³+2t²+5t (m). Tính gia tốc tại t=4 s.
Phân tích: v=s', a=v'=s''.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: v=s', a=v'=s''.
- Bước 2: s''(t)=12t+4; a(4)=52 m/s².
- Bước 3: Kết luận 52 m/s².
Vì sao: Đạo hàm cấp hai của vị trí theo thời gian là gia tốc tức thời.
Cách khác: Kiểm đơn vị: m/s².
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dừng ở s'(t) và trả vận tốc.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B33-TH-04
Đề bài: Tính đạo hàm cấp hai của y=sin(3x).
Phân tích: Đạo hàm sin rồi đạo hàm cos; giữ quy tắc hàm hợp ở cả hai lần.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Đạo hàm sin rồi đạo hàm cos; giữ quy tắc hàm hợp ở cả hai lần.
- Bước 2: y'=3cos(3x); y''=−9sin(3x).
- Bước 3: Kết luận −9sin(3x).
Vì sao: Hệ số a xuất hiện hai lần nên thành a².
Cách khác: Nhận y''=−a²y.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ nhân a một lần.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B33-TH-14
Đề bài: Tính đạo hàm cấp hai của y=sin(1x).
Phân tích: Đạo hàm sin rồi đạo hàm cos; giữ quy tắc hàm hợp ở cả hai lần.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Đạo hàm sin rồi đạo hàm cos; giữ quy tắc hàm hợp ở cả hai lần.
- Bước 2: y'=1cos(1x); y''=−1sin(1x).
- Bước 3: Kết luận −1sin(1x).
Vì sao: Hệ số a xuất hiện hai lần nên thành a².
Cách khác: Nhận y''=−a²y.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ nhân a một lần.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B33-VD-04
Đề bài: Cho f(x)=2x+0. Tính f''(x).
Phân tích: Đạo hàm lần một là hằng số.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Đạo hàm lần một là hằng số.
- Bước 2: f'(x)=2; f''(x)=0.
- Bước 3: Kết luận 0.
Vì sao: Đạo hàm của hằng số bằng 0.
Cách khác: Đồ thị đường thẳng có hệ số góc không đổi.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng f''(x)=a².
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B33-VD-14
Đề bài: Cho f(x)=4x+-1. Tính f''(x).
Phân tích: Đạo hàm lần một là hằng số.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Đạo hàm lần một là hằng số.
- Bước 2: f'(x)=4; f''(x)=0.
- Bước 3: Kết luận 0.
Vì sao: Đạo hàm của hằng số bằng 0.
Cách khác: Đồ thị đường thẳng có hệ số góc không đổi.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng f''(x)=a².
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B33-VDC-04
Đề bài: Tính đạo hàm cấp hai của y=e^(1x+2).
Phân tích: Mỗi lần đạo hàm hàm mũ hợp đều nhân hệ số a.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Mỗi lần đạo hàm hàm mũ hợp đều nhân hệ số a.
- Bước 2: y'=1e^(1x+2); y''=1e^(1x+2).
- Bước 3: Kết luận 1e^(1x+2).
Vì sao: Hàm e^u giữ dạng sau khi đạo hàm.
Cách khác: Kiểm quan hệ y''=a²y.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Đạo hàm lần hai thành 0 vì coi hệ số a là toàn bộ hàm.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B33-VDC-14
Đề bài: Tính đạo hàm cấp hai của y=e^(3x+1).
Phân tích: Mỗi lần đạo hàm hàm mũ hợp đều nhân hệ số a.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Mỗi lần đạo hàm hàm mũ hợp đều nhân hệ số a.
- Bước 2: y'=3e^(3x+1); y''=9e^(3x+1).
- Bước 3: Kết luận 9e^(3x+1).
Vì sao: Hàm e^u giữ dạng sau khi đạo hàm.
Cách khác: Kiểm quan hệ y''=a²y.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Đạo hàm lần hai thành 0 vì coi hệ số a là toàn bộ hàm.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B33-TT-04
Đề bài: Tính f''(x) với f(x)=4x³-3x²+2x+1.
Phân tích: Đạo hàm hai lần liên tiếp.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Đạo hàm hai lần liên tiếp.
- Bước 2: f'(x)=12x²-6x+2; f''(x)=24x-6.
- Bước 3: Kết luận 24x-6.
Vì sao: Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của hàm f'.
Cách khác: Dùng công thức d²(xⁿ)/dx²=n(n−1)xⁿ⁻².
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bình phương đạo hàm cấp một.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B33-TT-14
Đề bài: Tính f''(x) với f(x)=2x³+3x²+2x+1.
Phân tích: Đạo hàm hai lần liên tiếp.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, viết điều kiện, chọn công thức rồi kiểm kết quả bằng biểu diễn thứ hai.
- Bước 1: Đạo hàm hai lần liên tiếp.
- Bước 2: f'(x)=6x²+6x+2; f''(x)=12x+6.
- Bước 3: Kết luận 12x+6.
Vì sao: Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của hàm f'.
Cách khác: Dùng công thức d²(xⁿ)/dx²=n(n−1)xⁿ⁻².
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bình phương đạo hàm cấp một.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua đạo hàm cấp hai
Tình huống 1 dùng gia tốc phương tiện, dao động, robot, chuyển động công nghiệp và biến thiên tốc độ; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua đạo hàm cấp hai
Tình huống 2 dùng gia tốc phương tiện, dao động, robot, chuyển động công nghiệp và biến thiên tốc độ; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua đạo hàm cấp hai
Tình huống 3 dùng gia tốc phương tiện, dao động, robot, chuyển động công nghiệp và biến thiên tốc độ; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua đạo hàm cấp hai
Tình huống 4 dùng gia tốc phương tiện, dao động, robot, chuyển động công nghiệp và biến thiên tốc độ; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua đạo hàm cấp hai
Tình huống 5 dùng gia tốc phương tiện, dao động, robot, chuyển động công nghiệp và biến thiên tốc độ; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua đạo hàm cấp hai
Tình huống 6 dùng gia tốc phương tiện, dao động, robot, chuyển động công nghiệp và biến thiên tốc độ; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua đạo hàm cấp hai
Tình huống 7 dùng gia tốc phương tiện, dao động, robot, chuyển động công nghiệp và biến thiên tốc độ; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua đạo hàm cấp hai
Tình huống 8 dùng gia tốc phương tiện, dao động, robot, chuyển động công nghiệp và biến thiên tốc độ; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Khái niệm đạo hàm cấp hai theo cách đơn giản?
Lấy đạo hàm của hàm đạo hàm. Mốc chính xác: f''(x)=(f'(x))'. Ví dụ: f=x³ ⇒ f'=3x² ⇒ f''=6x. Cách nhớ: Phẩy hai là làm hai lần. Cần tránh: Viết f''=(f')².
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Bình phương f'
Viết f''=(f')². Sửa bằng: Phẩy hai là làm hai lần. Kiểm cuối: Cần f' có đạo hàm tại điểm đang xét.
Quên đạo hàm hàm hợp lần hai
Chỉ nhân hệ số k một lần. Sửa bằng: Mỗi lần đều nhân đạo hàm lớp trong. Kiểm cuối: Viết rõ f' trước giúp giảm lỗi dấu.
Dừng ở đạo hàm cấp một
Dùng s' làm gia tốc. Sửa bằng: Vị trí → vận tốc → gia tốc. Kiểm cuối: Dấu gia tốc mô tả hướng biến thiên của vận tốc, không tự động cho biết vật nhanh dần.
Nhầm vận tốc với gia tốc
Viết f''=(f')². Sửa bằng: Phẩy hai là làm hai lần. Kiểm cuối: Cần f' có đạo hàm tại điểm đang xét.
Sai đơn vị m/s²
Chỉ nhân hệ số k một lần. Sửa bằng: Mỗi lần đều nhân đạo hàm lớp trong. Kiểm cuối: Viết rõ f' trước giúp giảm lỗi dấu.
Bình phương f' – biến thể 6
Dùng s' làm gia tốc. Sửa bằng: Vị trí → vận tốc → gia tốc. Kiểm cuối: Dấu gia tốc mô tả hướng biến thiên của vận tốc, không tự động cho biết vật nhanh dần.
Quên đạo hàm hàm hợp lần hai – biến thể 7
Viết f''=(f')². Sửa bằng: Phẩy hai là làm hai lần. Kiểm cuối: Cần f' có đạo hàm tại điểm đang xét.
Dừng ở đạo hàm cấp một – biến thể 8
Chỉ nhân hệ số k một lần. Sửa bằng: Mỗi lần đều nhân đạo hàm lớp trong. Kiểm cuối: Viết rõ f' trước giúp giảm lỗi dấu.
Nhầm vận tốc với gia tốc – biến thể 9
Dùng s' làm gia tốc. Sửa bằng: Vị trí → vận tốc → gia tốc. Kiểm cuối: Dấu gia tốc mô tả hướng biến thiên của vận tốc, không tự động cho biết vật nhanh dần.
Sai đơn vị m/s² – biến thể 10
Viết f''=(f')². Sửa bằng: Phẩy hai là làm hai lần. Kiểm cuối: Cần f' có đạo hàm tại điểm đang xét.
Bình phương f' – biến thể 11
Chỉ nhân hệ số k một lần. Sửa bằng: Mỗi lần đều nhân đạo hàm lớp trong. Kiểm cuối: Viết rõ f' trước giúp giảm lỗi dấu.
Quên đạo hàm hàm hợp lần hai – biến thể 12
Dùng s' làm gia tốc. Sửa bằng: Vị trí → vận tốc → gia tốc. Kiểm cuối: Dấu gia tốc mô tả hướng biến thiên của vận tốc, không tự động cho biết vật nhanh dần.
Dừng ở đạo hàm cấp một – biến thể 13
Viết f''=(f')². Sửa bằng: Phẩy hai là làm hai lần. Kiểm cuối: Cần f' có đạo hàm tại điểm đang xét.
Nhầm vận tốc với gia tốc – biến thể 14
Chỉ nhân hệ số k một lần. Sửa bằng: Mỗi lần đều nhân đạo hàm lớp trong. Kiểm cuối: Viết rõ f' trước giúp giảm lỗi dấu.
Sai đơn vị m/s² – biến thể 15
Dùng s' làm gia tốc. Sửa bằng: Vị trí → vận tốc → gia tốc. Kiểm cuối: Dấu gia tốc mô tả hướng biến thiên của vận tốc, không tự động cho biết vật nhanh dần.
Bình phương f' – biến thể 16
Viết f''=(f')². Sửa bằng: Phẩy hai là làm hai lần. Kiểm cuối: Cần f' có đạo hàm tại điểm đang xét.
Quên đạo hàm hàm hợp lần hai – biến thể 17
Chỉ nhân hệ số k một lần. Sửa bằng: Mỗi lần đều nhân đạo hàm lớp trong. Kiểm cuối: Viết rõ f' trước giúp giảm lỗi dấu.
Dừng ở đạo hàm cấp một – biến thể 18
Dùng s' làm gia tốc. Sửa bằng: Vị trí → vận tốc → gia tốc. Kiểm cuối: Dấu gia tốc mô tả hướng biến thiên của vận tốc, không tự động cho biết vật nhanh dần.
Nhầm vận tốc với gia tốc – biến thể 19
Viết f''=(f')². Sửa bằng: Phẩy hai là làm hai lần. Kiểm cuối: Cần f' có đạo hàm tại điểm đang xét.
Sai đơn vị m/s² – biến thể 20
Chỉ nhân hệ số k một lần. Sửa bằng: Mỗi lần đều nhân đạo hàm lớp trong. Kiểm cuối: Viết rõ f' trước giúp giảm lỗi dấu.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Gọi tên biến cố hoặc hàm
Viết rõ đối tượng, miền và điều cần tìm trước khi chọn công thức.
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Ví dụ đi cùng phản ví dụ
Mỗi quy tắc phải có một trường hợp đủ điều kiện và một trường hợp không được dùng.
Hai biểu diễn để tự kiểm
Kiểm bằng Venn–cây xác suất hoặc công thức–đồ thị–tỉ số sai phân.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, nguyên nhân sai và phép tự kiểm cho lần sau.
Ôn theo mốc 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Đạo hàm cấp hai1 2 3
Khái niệm đạo hàm cấp haif''(x)=(f'(x))'. Phẩy hai là làm hai lần.
Quy tắc tínhNếu f=sin(kx), f''=−k²sin(kx); nếu f=e^(kx), f''=k²e^(kx). Mỗi lần đều nhân đạo hàm lớp trong.
Gia tốc tức thờiv(t)=s'(t); a(t)=v'(t)=s''(t). Vị trí → vận tốc → gia tốc.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B33-NB-01Tính lim (h→0) (2h² + 3h)/h với h ≠ 0.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Rút h ở tử rồi giản ước trước khi lấy giới hạn.
Lời giải: (2h² + 3h)/h = 2h + 3, nên giới hạn bằng 3.
Vì sao: Đây là mẫu biến đổi cơ bản của tỉ số sai phân.
Sai ở đâu: Thế h=0 ngay vào biểu thức ban đầu rồi kết luận 0/0.
Cách khác: Dùng tính chất giới hạn của tổng.
B33-NB-02Với f(x) = 3x + 4, tính f(-1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay x bằng giá trị đã cho và giữ đúng dấu.
Lời giải: f(-1) = 3·(-1) + 4 = 1.
Vì sao: Giá trị hàm tại một điểm khác với tốc độ biến thiên tại điểm đó.
Sai ở đâu: Nhầm f(x) với hệ số của x.
Cách khác: Kiểm bằng đồ thị đường thẳng.
B33-NB-03Rút gọn [(x + 4)² − (x² + 2·4x + 16)] tại x = 3.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Khai triển hoặc nhận ra hai biểu thức bằng nhau.
Lời giải: Hai ngoặc bằng nhau nên hiệu bằng 0.
Vì sao: Biến đổi hằng đẳng thức giúp tách nhân tử trong tỉ số sai phân.
Sai ở đâu: Bỏ dấu ngoặc sau dấu trừ.
Cách khác: Thay số để kiểm chéo.
B33-NB-04Vật chuyển động theo s(t)=4t³+3t²+5t (m). Tính gia tốc tại t=4 s.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: v=s', a=v'=s''.
Lời giải: s''(t)=24t+6; a(4)=102 m/s².
Vì sao: Đạo hàm cấp hai của vị trí theo thời gian là gia tốc tức thời.
Sai ở đâu: Dừng ở s'(t) và trả vận tốc.
Cách khác: Kiểm đơn vị: m/s².
B33-NB-05Cho f(x)=1x+-2. Tính f''(x).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đạo hàm lần một là hằng số.
Lời giải: f'(x)=1; f''(x)=0.
Vì sao: Đạo hàm của hằng số bằng 0.
Sai ở đâu: Cho rằng f''(x)=a².
Cách khác: Đồ thị đường thẳng có hệ số góc không đổi.
B33-NB-06Tính f''(x) với f(x)=2x³+0x²+2x+1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đạo hàm hai lần liên tiếp.
Lời giải: f'(x)=6x²+0x+2; f''(x)=12x+0.
Vì sao: Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của hàm f'.
Sai ở đâu: Bình phương đạo hàm cấp một.
Cách khác: Dùng công thức d²(xⁿ)/dx²=n(n−1)xⁿ⁻².
B33-NB-07Tính đạo hàm cấp hai của y=sin(3x).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đạo hàm sin rồi đạo hàm cos; giữ quy tắc hàm hợp ở cả hai lần.
Lời giải: y'=3cos(3x); y''=−9sin(3x).
Vì sao: Hệ số a xuất hiện hai lần nên thành a².
Sai ở đâu: Chỉ nhân a một lần.
Cách khác: Nhận y''=−a²y.
B33-NB-08Tính đạo hàm cấp hai của y=e^(4x+-3).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mỗi lần đạo hàm hàm mũ hợp đều nhân hệ số a.
Lời giải: y'=4e^(4x+-3); y''=16e^(4x+-3).
Vì sao: Hàm e^u giữ dạng sau khi đạo hàm.
Sai ở đâu: Đạo hàm lần hai thành 0 vì coi hệ số a là toàn bộ hàm.
Cách khác: Kiểm quan hệ y''=a²y.
B33-NB-09Vật chuyển động theo s(t)=1t³-1t²+5t (m). Tính gia tốc tại t=4 s.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: v=s', a=v'=s''.
Lời giải: s''(t)=6t-2; a(4)=22 m/s².
Vì sao: Đạo hàm cấp hai của vị trí theo thời gian là gia tốc tức thời.
Sai ở đâu: Dừng ở s'(t) và trả vận tốc.
Cách khác: Kiểm đơn vị: m/s².
B33-NB-10Cho f(x)=2x+1. Tính f''(x).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đạo hàm lần một là hằng số.
Lời giải: f'(x)=2; f''(x)=0.
Vì sao: Đạo hàm của hằng số bằng 0.
Sai ở đâu: Cho rằng f''(x)=a².
Cách khác: Đồ thị đường thẳng có hệ số góc không đổi.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Cho f(x) = 4x³ + 4x² − x. Tính f''(1).
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính lim (h→0) (2h² + 3h)/h với h ≠ 0.
Gợi ý: Rút h ở tử rồi giản ước trước khi lấy giới hạn.
Lời giải: (2h² + 3h)/h = 2h + 3, nên giới hạn bằng 3.
Giải thích: Đây là mẫu biến đổi cơ bản của tỉ số sai phân.
Lỗi cần tránh: Thế h=0 ngay vào biểu thức ban đầu rồi kết luận 0/0.
Cách khác: Dùng tính chất giới hạn của tổng.
TỰ LUẬN 2Tính f''(x) với f(x)=2x³+0x²+2x+1.
Gợi ý: Đạo hàm hai lần liên tiếp.
Lời giải: f'(x)=6x²+0x+2; f''(x)=12x+0.
Giải thích: Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của hàm f'.
Lỗi cần tránh: Bình phương đạo hàm cấp một.
Cách khác: Dùng công thức d²(xⁿ)/dx²=n(n−1)xⁿ⁻².
TỰ LUẬN 3Tính f''(x) với f(x)=3x³+3x²+2x+1.
Gợi ý: Đạo hàm hai lần liên tiếp.
Lời giải: f'(x)=9x²+6x+2; f''(x)=18x+6.
Giải thích: Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của hàm f'.
Lỗi cần tránh: Bình phương đạo hàm cấp một.
Cách khác: Dùng công thức d²(xⁿ)/dx²=n(n−1)xⁿ⁻².
TỰ LUẬN 4Tính f''(x) với f(x)=4x³-1x²+2x+1.
Gợi ý: Đạo hàm hai lần liên tiếp.
Lời giải: f'(x)=12x²-2x+2; f''(x)=24x-2.
Giải thích: Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của hàm f'.
Lỗi cần tránh: Bình phương đạo hàm cấp một.
Cách khác: Dùng công thức d²(xⁿ)/dx²=n(n−1)xⁿ⁻².
TỰ LUẬN 5Tính lim (h→0) (5h² + 6h)/h với h ≠ 0.
Gợi ý: Rút h ở tử rồi giản ước trước khi lấy giới hạn.
Lời giải: (5h² + 6h)/h = 5h + 6, nên giới hạn bằng 6.
Giải thích: Đây là mẫu biến đổi cơ bản của tỉ số sai phân.
Lỗi cần tránh: Thế h=0 ngay vào biểu thức ban đầu rồi kết luận 0/0.
Cách khác: Dùng tính chất giới hạn của tổng.
TỰ LUẬN 6Vật chuyển động theo s(t)=1t³+2t²+5t (m). Tính gia tốc tại t=4 s.
Gợi ý: v=s', a=v'=s''.
Lời giải: s''(t)=6t+4; a(4)=28 m/s².
Giải thích: Đạo hàm cấp hai của vị trí theo thời gian là gia tốc tức thời.
Lỗi cần tránh: Dừng ở s'(t) và trả vận tốc.
Cách khác: Kiểm đơn vị: m/s².
TỰ LUẬN 7Vật chuyển động theo s(t)=2t³-2t²+5t (m). Tính gia tốc tại t=4 s.
Gợi ý: v=s', a=v'=s''.
Lời giải: s''(t)=12t-4; a(4)=44 m/s².
Giải thích: Đạo hàm cấp hai của vị trí theo thời gian là gia tốc tức thời.
Lỗi cần tránh: Dừng ở s'(t) và trả vận tốc.
Cách khác: Kiểm đơn vị: m/s².
TỰ LUẬN 8Vật chuyển động theo s(t)=3t³+1t²+5t (m). Tính gia tốc tại t=4 s.
Gợi ý: v=s', a=v'=s''.
Lời giải: s''(t)=18t+2; a(4)=74 m/s².
Giải thích: Đạo hàm cấp hai của vị trí theo thời gian là gia tốc tức thời.
Lỗi cần tránh: Dừng ở s'(t) và trả vận tốc.
Cách khác: Kiểm đơn vị: m/s².
TỰ LUẬN 9Tính lim (h→0) (3h² + 3h)/h với h ≠ 0.
Gợi ý: Rút h ở tử rồi giản ước trước khi lấy giới hạn.
Lời giải: (3h² + 3h)/h = 3h + 3, nên giới hạn bằng 3.
Giải thích: Đây là mẫu biến đổi cơ bản của tỉ số sai phân.
Lỗi cần tránh: Thế h=0 ngay vào biểu thức ban đầu rồi kết luận 0/0.
Cách khác: Dùng tính chất giới hạn của tổng.
TỰ LUẬN 10Cho f(x) = 3x³ + 5x². Khẳng định f″(6) = 121.
Gợi ý: f′(x) = 9x² + 10x.
Lời giải: f′(x) = 9x² + 10x. f″(x) = 18x + 10; thế 6 được 118.
Giải thích: f′(x) = 9x² + 10x. f″(x) = 18x + 10; thế 6 được 118.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 11Cho f(x) = 4x³ + 1x². Khẳng định f″(7) = 174.
Gợi ý: f′(x) = 12x² + 2x.
Lời giải: f′(x) = 12x² + 2x. f″(x) = 24x + 2; thế 7 được 170.
Giải thích: f′(x) = 12x² + 2x. f″(x) = 24x + 2; thế 7 được 170.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 12Cho f(x) = 2x³ + 2x². Khẳng định f″(8) = 102.
Gợi ý: f′(x) = 6x² + 4x.
Lời giải: f′(x) = 6x² + 4x. f″(x) = 12x + 4; thế 8 được 100.
Giải thích: f′(x) = 6x² + 4x. f″(x) = 12x + 4; thế 8 được 100.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 13Hộp có 3 bi đỏ, 4 bi xanh, các viên phân biệt và đồng khả năng khi rút. Rút đồng thời 3 viên không hoàn lại. Tính xác suất mẫu rút có cả hai màu. Giải thích vì sao không được nhân ba xác suất giữ nguyên qua từng lượt.
Gợi ý: Không gian mẫu có C(7,3) bộ ba đồng khả năng
Lời giải: Không gian mẫu có C(7,3) bộ ba đồng khả năng. Biến cố đối gồm hai trường hợp rời nhau: cả ba đỏ hoặc cả ba xanh, lần lượt C(3,3), C(4,3). Do đó xác suất là 1−[C(3,3)+C(4,3)]/C(7,3)=6/7. Không hoàn lại làm số bi thay đổi, nên các lượt không độc lập.
Giải thích: Không gian mẫu có C(7,3) bộ ba đồng khả năng. Biến cố đối gồm hai trường hợp rời nhau: cả ba đỏ hoặc cả ba xanh, lần lượt C(3,3), C(4,3). Do đó xác suất là 1−[C(3,3)+C(4,3)]/C(7,3)=6/7. Không hoàn lại làm số bi thay đổi, nên các lượt không độc lập.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 14Cho f(x)=3x+-1. Tính f''(x).
Gợi ý: Đạo hàm lần một là hằng số.
Lời giải: f'(x)=3; f''(x)=0.
Giải thích: Đạo hàm của hằng số bằng 0.
Lỗi cần tránh: Cho rằng f''(x)=a².
Cách khác: Đồ thị đường thẳng có hệ số góc không đổi.
TỰ LUẬN 15Cho f(x)=4x+2. Tính f''(x).
Gợi ý: Đạo hàm lần một là hằng số.
Lời giải: f'(x)=4; f''(x)=0.
Giải thích: Đạo hàm của hằng số bằng 0.
Lỗi cần tránh: Cho rằng f''(x)=a².
Cách khác: Đồ thị đường thẳng có hệ số góc không đổi.
TỰ LUẬN 16Cho f(x) = 3x³ + 1x². Khẳng định f″(12) = 221.
Gợi ý: f′(x) = 9x² + 2x.
Lời giải: f′(x) = 9x² + 2x. f″(x) = 18x + 2; thế 12 được 218.
Giải thích: f′(x) = 9x² + 2x. f″(x) = 18x + 2; thế 12 được 218.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 17Tính lim (h→0) (4h² + 3h)/h với h ≠ 0.
Gợi ý: Rút h ở tử rồi giản ước trước khi lấy giới hạn.
Lời giải: (4h² + 3h)/h = 4h + 3, nên giới hạn bằng 3.
Giải thích: Đây là mẫu biến đổi cơ bản của tỉ số sai phân.
Lỗi cần tránh: Thế h=0 ngay vào biểu thức ban đầu rồi kết luận 0/0.
Cách khác: Dùng tính chất giới hạn của tổng.
TỰ LUẬN 18Tính đạo hàm cấp hai của y=e^(2x+1).
Gợi ý: Mỗi lần đạo hàm hàm mũ hợp đều nhân hệ số a.
Lời giải: y'=2e^(2x+1); y''=4e^(2x+1).
Giải thích: Hàm e^u giữ dạng sau khi đạo hàm.
Lỗi cần tránh: Đạo hàm lần hai thành 0 vì coi hệ số a là toàn bộ hàm.
Cách khác: Kiểm quan hệ y''=a²y.
TỰ LUẬN 19Tính đạo hàm cấp hai của y=e^(3x+-3).
Gợi ý: Mỗi lần đạo hàm hàm mũ hợp đều nhân hệ số a.
Lời giải: y'=3e^(3x+-3); y''=9e^(3x+-3).
Giải thích: Hàm e^u giữ dạng sau khi đạo hàm.
Lỗi cần tránh: Đạo hàm lần hai thành 0 vì coi hệ số a là toàn bộ hàm.
Cách khác: Kiểm quan hệ y''=a²y.
TỰ LUẬN 20Cho f(x) = 2x³ + 4x². Khẳng định f″(20) = 250.
Gợi ý: f′(x) = 6x² + 8x.
Lời giải: f′(x) = 6x² + 8x. f″(x) = 12x + 8; thế 20 được 248.
Giải thích: f′(x) = 6x² + 8x. f″(x) = 12x + 8; thế 20 được 248.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B33-NB-01, B33-NB-02, B33-NB-03, B33-NB-04, B33-NB-05, B33-NB-06, B33-NB-07, B33-NB-08, B33-NB-09, B33-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B33-NB-01: 3
- B33-NB-02: 1
- B33-NB-03: 0
- B33-NB-04: 102 m/s²
- B33-NB-05: 0
- B33-NB-06: 12x+0
- B33-NB-07: −9sin(3x)
- B33-NB-08: 16e^(4x+-3)
- B33-NB-09: 22 m/s²
- B33-NB-10: 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 9
10 câu đại diện: B33-NB-11, B33-NB-12, B33-NB-13, B33-NB-14, B33-NB-15, B33-NB-16, B33-NB-17, B33-NB-18, B33-NB-19, B33-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B33-NB-11: 18x+6
- B33-NB-12: −16sin(4x)
- B33-NB-13: 1e^(1x+0)
- B33-NB-14: 52 m/s²
- B33-NB-15: 0
- B33-NB-16: 24x-2
- B33-NB-17: −1sin(1x)
- B33-NB-18: 4e^(2x+3)
- B33-NB-19: 68 m/s²
- B33-NB-20: 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B33-TH-01, B33-TH-02, B33-TH-03, B33-TH-04, B33-TH-05, B33-TH-06, B33-TH-07, B33-TH-08, B33-TH-09, B33-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B33-TH-01: 6
- B33-TH-02: 13
- B33-TH-03: 0
- B33-TH-04: Đúng
- B33-TH-05: 16e^(4x+0)
- B33-TH-06: 28 m/s²
- B33-TH-07: 0
- B33-TH-08: 18x-2
- B33-TH-09: Đúng
- B33-TH-10: 1e^(1x+3)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B33-TH-11, B33-TH-12, B33-TH-13, B33-TH-14, B33-TH-15, B33-TH-16, B33-TH-17, B33-TH-18, B33-TH-19, B33-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B33-TH-11: 44 m/s²
- B33-TH-12: 0
- B33-TH-13: 24x+4
- B33-TH-14: Sai
- B33-TH-15: 4e^(2x+-1)
- B33-TH-16: 74 m/s²
- B33-TH-17: 0
- B33-TH-18: 6x-4
- B33-TH-19: −4sin(2x)
- B33-TH-20: 9e^(3x+2)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B33-VD-01, B33-VD-02, B33-VD-03, B33-VD-04, B33-VD-05, B33-VD-06, B33-VD-07, B33-VD-08, B33-VD-09, B33-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B33-VD-01: 3
- B33-VD-02: 4
- B33-VD-03: 0
- B33-VD-04: 0
- B33-VD-05: 18x+4
- B33-VD-06: Sai
- B33-VD-07: 1e^(1x+-1)
- B33-VD-08: 50 m/s²
- B33-VD-09: 0
- B33-VD-10: 24x-4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.