Tách đúng nguyên nhân
Phân biệt lỗi mô hình, điều kiện, công thức, tính toán và diễn giải.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài tập cuối Chương 2
Kiểm định trọn mạch vectơ không gian → hệ trục Oxyz → phép toán tọa độ, độ dài và góc; phân biệt rõ điểm, vectơ và đại lượng vô hướng.
Qua cổng bằng mô hình, điều kiện, kết quả và phép tự kiểm; không qua bằng học thuộc đáp án
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Nhìn mạch cả chương
Câu tổng hợp buộc gọi các nút theo đúng thứ tự thay vì nhận dạng mẹo.
Ba dạng trắc nghiệm
Nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn cùng kiểm một năng lực.
Sửa lỗi rồi mới đi tiếp
Đạt điểm, giải thích được ba lỗi gần nhất và làm lại sau 7 ngày.
- Nhận biết vectơ cùng phương, cùng hướng và bằng nhau.
- Dùng quy tắc ba điểm, hình bình hành và hình hộp.
- Thực hiện tổ hợp tuyến tính vectơ.
- Biểu diễn vectơ theo ba hướng không đồng phẳng.
- Đọc đúng điểm và các mặt phẳng tọa độ.
- Tính tọa độ AB bằng B−A.
- Tính trung điểm, trọng tâm và khoảng cách.
- Chuyển giữa hình học không gian và bộ ba tọa độ.
- Tính tổ hợp tuyến tính vectơ theo tọa độ.
- Tính tích vô hướng và độ dài.
- Xét vuông góc, cùng phương.
- Tính cosin góc giữa hai vectơ và tự kiểm miền giá trị.
- 15% ôn nối từ chương hoặc lớp trước có quan hệ trực tiếp.
- Vectơ phẳng lớp 10 và quan hệ không gian lớp 11
- Bài 6 và hệ trục tọa độ Oxy lớp 10
- Bài 6–7, tích vô hướng trong mặt phẳng
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Vectơ và các quan hệ
Hiểu đơn giản: Vectơ là mũi tên có hướng; có thể trượt song song mà không đổi.
Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Ví dụ: Các cạnh song song cùng hướng của hình hộp cho vectơ bằng nhau.
Hình nên dùng: Mô hình hình hộp xoay được.
Mô phỏng: Kéo thả vectơ song song.
Mẹo nhớ: Hướng + độ dài.
Sai lầm: Chỉ so độ dài.
Ghi chú: Vectơ không có điểm đặt cố định trong mô hình tự do.
Tổng và hiệu
Hiểu đơn giản: Ghép đầu–đuôi để đi từ điểm đầu tới điểm cuối.
AB+BC=AC; u−v=u+(−v).
Ví dụ: AB+BC+CD=AD.
Hình nên dùng: Đường gấp khúc 3D.
Mô phỏng: Kéo điểm trung gian.
Mẹo nhớ: Đầu sau nối đuôi trước.
Sai lầm: Dùng CB thay BC.
Ghi chú: Quy tắc hình bình hành vẫn đúng.
Tích với một số
Hiểu đơn giản: Kéo dài, thu ngắn hoặc đảo hướng một vectơ.
|ku|=|k||u|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng.
Ví dụ: v=−2u ngược hướng và dài gấp đôi.
Hình nên dùng: Thanh trượt k từ âm qua 0 đến dương.
Mô phỏng: Thay k.
Mẹo nhớ: Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài.
Sai lầm: Cho rằng độ dài bằng k|u| khi k âm.
Ghi chú: k=0 cho vectơ không.
Quy tắc hình hộp
Hiểu đơn giản: Đường chéo không gian gom ba bước theo ba cạnh.
AC′=AB+AD+AA′ trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′.
Ví dụ: Đi A→B→C→C′.
Hình nên dùng: Hình hộp trong suốt.
Mô phỏng: Bật từng thành phần.
Mẹo nhớ: Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo.
Sai lầm: Chỉ cộng hai cạnh đáy.
Ghi chú: Đây là cầu nối trực tiếp sang tọa độ Oxyz.
Hệ trục Oxyz
Hiểu đơn giản: Ba trục vuông góc cho ba hướng trái–phải, trước–sau, lên–xuống.
Oxyz gồm ba trục đôi một vuông góc, cùng gốc O; các vectơ đơn vị i,j,k.
Ví dụ: M(2;−1;3) có ba hình chiếu theo trục.
Hình nên dùng: Khối lập phương tọa độ.
Mô phỏng: Xoay hệ trục 3D.
Mẹo nhớ: Đúng thứ tự x–y–z.
Sai lầm: Đổi y và z khi nhìn phối cảnh.
Ghi chú: Mặt phẳng tọa độ có một tọa độ bằng 0.
Điểm và vectơ
Hiểu đơn giản: Điểm cho vị trí; vectơ cho bước dịch từ vị trí này sang vị trí khác.
OM=(x;y;z) khi M(x;y;z); AB=B−A theo từng tọa độ.
Ví dụ: A(1;2;0), B(3;1;4) ⇒ AB=(2;−1;4).
Hình nên dùng: Hai thẻ màu điểm và vectơ.
Mô phỏng: Kéo A,B.
Mẹo nhớ: Cuối trừ đầu.
Sai lầm: Lấy đầu trừ cuối.
Ghi chú: Kiểm A+AB=B.
Trung điểm và trọng tâm
Hiểu đơn giản: Lấy trung bình các vị trí theo từng trục.
M_AB=((xA+xB)/2;...); G_ABC=((xA+xB+xC)/3;...).
Ví dụ: Trung điểm của (0;0;0) và (2;4;6) là (1;2;3).
Hình nên dùng: Đòn cân ba chiều.
Mô phỏng: Kéo đỉnh và xem tâm.
Mẹo nhớ: Trung bình từng cột.
Sai lầm: Chia tổng cả ba tọa độ bằng cùng một số sai.
Ghi chú: Trọng tâm tứ diện dùng trung bình bốn đỉnh.
Độ dài và khoảng cách
Hiểu đơn giản: Ba độ dịch vuông góc ghép bằng Pythagore ba chiều.
AB=√[(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²].
Ví dụ: A(0;0;0), B(1;2;2) ⇒ AB=3.
Hình nên dùng: Hộp chữ nhật có đường chéo.
Mô phỏng: Thay từng hiệu.
Mẹo nhớ: Hiệu–bình phương–cộng–căn.
Sai lầm: Cộng hiệu có dấu.
Ghi chú: Khoảng cách luôn không âm.
Phép toán tọa độ
Hiểu đơn giản: Mỗi trục được tính độc lập.
u±v=(x₁±x₂;y₁±y₂;z₁±z₂); ku=(kx;ky;kz).
Ví dụ: (1;2;3)+(2;−1;4)=(3;1;7).
Hình nên dùng: Ba cột màu x,y,z.
Mô phỏng: Nhập hai vectơ.
Mẹo nhớ: Cùng vị trí mới cộng.
Sai lầm: Cộng chéo tọa độ.
Ghi chú: Kết quả là một vectơ.
Tích vô hướng
Hiểu đơn giản: Nhân từng cặp tọa độ cùng trục rồi cộng.
u·v=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=|u||v|cosθ.
Ví dụ: (1;0;0)·(0;1;0)=0.
Hình nên dùng: Các thành phần chiếu theo ba trục.
Mô phỏng: Xoay góc giữa hai vectơ.
Mẹo nhớ: Nhân từng cặp, cộng thành số.
Sai lầm: Trả về bộ ba.
Ghi chú: Tích vô hướng có tính giao hoán.
Độ dài và vuông góc
Hiểu đơn giản: Độ dài lấy từ u·u; vuông góc khi tích bằng 0.
|u|=√(x²+y²+z²); u⊥v ⇔ u·v=0 với u,v≠0.
Ví dụ: (1;1;0) vuông góc (1;−1;0).
Hình nên dùng: Tam giác vuông vectơ.
Mô phỏng: Thay tọa độ.
Mẹo nhớ: Tự nhân cho độ dài, nhân chéo cho góc.
Sai lầm: Kết luận vectơ không có hướng.
Ghi chú: Vectơ không vuông góc theo định nghĩa góc thông thường.
Góc và cùng phương
Hiểu đơn giản: Tích vô hướng cho cosin; tỉ lệ tọa độ cho cùng phương.
cosθ=(u·v)/(|u||v|); u=kv là tiêu chuẩn cùng phương.
Ví dụ: u·v<0 cho góc tù.
Hình nên dùng: Thước đo góc 3D.
Mô phỏng: Kéo một vectơ.
Mẹo nhớ: Dấu dot dự đoán loại góc.
Sai lầm: Quên chuẩn hóa khi tính cos.
Ghi chú: Kiểm cos thuộc [−1;1].
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TỌA ĐỘ VECTƠ
Điểm cuối trừ điểm đầu
Nhập A, B; công cụ tính AB⃗, độ dài AB và trung điểm M.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • C2-NB-04
Đề bài: Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', biểu diễn AC' bằng ba vectơ cạnh xuất phát từ A.
Phân tích: Đi theo ba cạnh liên tiếp A→B→C→C'.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đi theo ba cạnh liên tiếp A→B→C→C'.
- Bước 2: AC' = AB + AD + AA'.
- Bước 3: Kết luận AB + AD + AA'.
Vì sao: Ba vectơ cạnh không đồng phẳng tạo thành ba hướng cơ bản của hình hộp.
Cách khác: Đi theo đường gấp khúc A→B→C→C'.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bỏ một thành phần hoặc dùng vectơ không cùng hướng.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • C2-NB-14
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(0;5;0) đến gốc O.
Phân tích: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
- Bước 2: OM=√(0²+5²+0²)=√25.
- Bước 3: Kết luận √25.
Vì sao: Khoảng cách tới gốc là chuẩn Euclid của vectơ vị trí.
Cách khác: Kiểm kết quả không âm và không nhỏ hơn trị tuyệt đối từng tọa độ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng tọa độ có dấu thay vì bình phương.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • C2-TH-04
Đề bài: Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', biểu diễn AC' bằng ba vectơ cạnh xuất phát từ A.
Phân tích: Đi theo ba cạnh liên tiếp A→B→C→C'.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đi theo ba cạnh liên tiếp A→B→C→C'.
- Bước 2: AC' = AB + AD + AA'.
- Bước 3: Kết luận AB + AD + AA'.
Vì sao: Ba vectơ cạnh không đồng phẳng tạo thành ba hướng cơ bản của hình hộp.
Cách khác: Đi theo đường gấp khúc A→B→C→C'.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bỏ một thành phần hoặc dùng vectơ không cùng hướng.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • C2-TH-14
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(-1;3;4) đến gốc O.
Phân tích: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
- Bước 2: OM=√(-1²+3²+4²)=√26.
- Bước 3: Kết luận √26.
Vì sao: Khoảng cách tới gốc là chuẩn Euclid của vectơ vị trí.
Cách khác: Kiểm kết quả không âm và không nhỏ hơn trị tuyệt đối từng tọa độ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng tọa độ có dấu thay vì bình phương.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • C2-VD-04
Đề bài: Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', biểu diễn AC' bằng ba vectơ cạnh xuất phát từ A.
Phân tích: Đi theo ba cạnh liên tiếp A→B→C→C'.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đi theo ba cạnh liên tiếp A→B→C→C'.
- Bước 2: AC' = AB + AD + AA'.
- Bước 3: Kết luận AB + AD + AA'.
Vì sao: Ba vectơ cạnh không đồng phẳng tạo thành ba hướng cơ bản của hình hộp.
Cách khác: Đi theo đường gấp khúc A→B→C→C'.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bỏ một thành phần hoặc dùng vectơ không cùng hướng.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • C2-VD-14
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(-2;1;1) đến gốc O.
Phân tích: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
- Bước 2: OM=√(-2²+1²+1²)=√6.
- Bước 3: Kết luận √6.
Vì sao: Khoảng cách tới gốc là chuẩn Euclid của vectơ vị trí.
Cách khác: Kiểm kết quả không âm và không nhỏ hơn trị tuyệt đối từng tọa độ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng tọa độ có dấu thay vì bình phương.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • C2-VDC-04
Đề bài: Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', biểu diễn AC' bằng ba vectơ cạnh xuất phát từ A.
Phân tích: Đi theo ba cạnh liên tiếp A→B→C→C'.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đi theo ba cạnh liên tiếp A→B→C→C'.
- Bước 2: AC' = AB + AD + AA'.
- Bước 3: Kết luận AB + AD + AA'.
Vì sao: Ba vectơ cạnh không đồng phẳng tạo thành ba hướng cơ bản của hình hộp.
Cách khác: Đi theo đường gấp khúc A→B→C→C'.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bỏ một thành phần hoặc dùng vectơ không cùng hướng.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • C2-VDC-14
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(-3;5;-2) đến gốc O.
Phân tích: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
- Bước 2: OM=√(-3²+5²+-2²)=√38.
- Bước 3: Kết luận √38.
Vì sao: Khoảng cách tới gốc là chuẩn Euclid của vectơ vị trí.
Cách khác: Kiểm kết quả không âm và không nhỏ hơn trị tuyệt đối từng tọa độ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng tọa độ có dấu thay vì bình phương.
09 • Thực tếVí dụ 9 • C2-TT-04
Đề bài: Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', biểu diễn AC' bằng ba vectơ cạnh xuất phát từ A.
Phân tích: Đi theo ba cạnh liên tiếp A→B→C→C'.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đi theo ba cạnh liên tiếp A→B→C→C'.
- Bước 2: AC' = AB + AD + AA'.
- Bước 3: Kết luận AB + AD + AA'.
Vì sao: Ba vectơ cạnh không đồng phẳng tạo thành ba hướng cơ bản của hình hộp.
Cách khác: Đi theo đường gấp khúc A→B→C→C'.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bỏ một thành phần hoặc dùng vectơ không cùng hướng.
10 • Thực tếVí dụ 10 • C2-TT-14
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(3;3;2) đến gốc O.
Phân tích: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
- Bước 2: OM=√(3²+3²+2²)=√22.
- Bước 3: Kết luận √22.
Vì sao: Khoảng cách tới gốc là chuẩn Euclid của vectơ vị trí.
Cách khác: Kiểm kết quả không âm và không nhỏ hơn trị tuyệt đối từng tọa độ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng tọa độ có dấu thay vì bình phương.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Vectơ trong không gian trong gia đình
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh lực, vận tốc, robot, drone, kết cấu, đồ họa và định vị.
Hệ trục tọa độ trong không gian trong trường học
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh GPS, kiến trúc, kho hàng, robot, y học ảnh, game và thiên văn.
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong đời sống
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh cân bằng lực, góc camera, quỹ đạo, cơ khí, kiến trúc và đồ họa 3D.
Vectơ trong không gian trong khoa học
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh lực, vận tốc, robot, drone, kết cấu, đồ họa và định vị.
Hệ trục tọa độ trong không gian trong kỹ thuật
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh GPS, kiến trúc, kho hàng, robot, y học ảnh, game và thiên văn.
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong sản xuất
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh cân bằng lực, góc camera, quỹ đạo, cơ khí, kiến trúc và đồ họa 3D.
Vectơ trong không gian trong thiên nhiên
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh lực, vận tốc, robot, drone, kết cấu, đồ họa và định vị.
Hệ trục tọa độ trong không gian trong nghề nghiệp
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh GPS, kiến trúc, kho hàng, robot, y học ảnh, game và thiên văn.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Vectơ và các quan hệ theo cách trực quan?
Vectơ là mũi tên có hướng; có thể trượt song song mà không đổi. Phát biểu chính xác: Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài. Ví dụ: Các cạnh song song cùng hướng của hình hộp cho vectơ bằng nhau. Mẹo: Hướng + độ dài. Cần tránh: Chỉ so độ dài.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Đảo hướng vectơ
Chỉ so độ dài. Sửa bằng: Hướng + độ dài. Kiểm cuối: Vectơ không có điểm đặt cố định trong mô hình tự do.
Cộng các đoạn không nối tiếp
Dùng CB thay BC. Sửa bằng: Đầu sau nối đuôi trước. Kiểm cuối: Quy tắc hình bình hành vẫn đúng.
Bỏ một thành phần hình hộp
Cho rằng độ dài bằng k|u| khi k âm. Sửa bằng: Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài. Kiểm cuối: k=0 cho vectơ không.
Nhầm vectơ với độ dài
Chỉ cộng hai cạnh đáy. Sửa bằng: Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo. Kiểm cuối: Đây là cầu nối trực tiếp sang tọa độ Oxyz.
Quên dấu khi chuyển vế
Chỉ so độ dài. Sửa bằng: Hướng + độ dài. Kiểm cuối: Vectơ không có điểm đặt cố định trong mô hình tự do.
Đảo hướng vectơ – tình huống 6
Dùng CB thay BC. Sửa bằng: Đầu sau nối đuôi trước. Kiểm cuối: Quy tắc hình bình hành vẫn đúng.
Cộng các đoạn không nối tiếp – tình huống 7
Cho rằng độ dài bằng k|u| khi k âm. Sửa bằng: Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài. Kiểm cuối: k=0 cho vectơ không.
Bỏ một thành phần hình hộp – tình huống 8
Chỉ cộng hai cạnh đáy. Sửa bằng: Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo. Kiểm cuối: Đây là cầu nối trực tiếp sang tọa độ Oxyz.
Nhầm vectơ với độ dài – tình huống 9
Chỉ so độ dài. Sửa bằng: Hướng + độ dài. Kiểm cuối: Vectơ không có điểm đặt cố định trong mô hình tự do.
Quên dấu khi chuyển vế – tình huống 10
Dùng CB thay BC. Sửa bằng: Đầu sau nối đuôi trước. Kiểm cuối: Quy tắc hình bình hành vẫn đúng.
Đảo hướng vectơ – tình huống 11
Cho rằng độ dài bằng k|u| khi k âm. Sửa bằng: Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài. Kiểm cuối: k=0 cho vectơ không.
Cộng các đoạn không nối tiếp – tình huống 12
Chỉ cộng hai cạnh đáy. Sửa bằng: Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo. Kiểm cuối: Đây là cầu nối trực tiếp sang tọa độ Oxyz.
Bỏ một thành phần hình hộp – tình huống 13
Chỉ so độ dài. Sửa bằng: Hướng + độ dài. Kiểm cuối: Vectơ không có điểm đặt cố định trong mô hình tự do.
Nhầm vectơ với độ dài – tình huống 14
Dùng CB thay BC. Sửa bằng: Đầu sau nối đuôi trước. Kiểm cuối: Quy tắc hình bình hành vẫn đúng.
Quên dấu khi chuyển vế – tình huống 15
Cho rằng độ dài bằng k|u| khi k âm. Sửa bằng: Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài. Kiểm cuối: k=0 cho vectơ không.
Đảo hướng vectơ – tình huống 16
Chỉ cộng hai cạnh đáy. Sửa bằng: Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo. Kiểm cuối: Đây là cầu nối trực tiếp sang tọa độ Oxyz.
Cộng các đoạn không nối tiếp – tình huống 17
Chỉ so độ dài. Sửa bằng: Hướng + độ dài. Kiểm cuối: Vectơ không có điểm đặt cố định trong mô hình tự do.
Bỏ một thành phần hình hộp – tình huống 18
Dùng CB thay BC. Sửa bằng: Đầu sau nối đuôi trước. Kiểm cuối: Quy tắc hình bình hành vẫn đúng.
Nhầm vectơ với độ dài – tình huống 19
Cho rằng độ dài bằng k|u| khi k âm. Sửa bằng: Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài. Kiểm cuối: k=0 cho vectơ không.
Quên dấu khi chuyển vế – tình huống 20
Chỉ cộng hai cạnh đáy. Sửa bằng: Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo. Kiểm cuối: Đây là cầu nối trực tiếp sang tọa độ Oxyz.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng bảng biến thiên, đồ thị, hình không gian, bảng dữ liệu hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí phải đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Bài tập cuối Chương 21 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vectơ và các quan hệHai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài. Hướng + độ dài.
Tổng và hiệuAB+BC=AC; u−v=u+(−v). Đầu sau nối đuôi trước.
Tích với một số|ku|=|k||u|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng. Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài.
Quy tắc hình hộpAC′=AB+AD+AA′ trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo.
Hệ trục OxyzOxyz gồm ba trục đôi một vuông góc, cùng gốc O; các vectơ đơn vị i,j,k. Đúng thứ tự x–y–z.
Điểm và vectơOM=(x;y;z) khi M(x;y;z); AB=B−A theo từng tọa độ. Cuối trừ đầu.
Trung điểm và trọng tâmM_AB=((xA+xB)/2;...); G_ABC=((xA+xB+xC)/3;...). Trung bình từng cột.
Độ dài và khoảng cáchAB=√[(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²]. Hiệu–bình phương–cộng–căn.
Phép toán tọa độu±v=(x₁±x₂;y₁±y₂;z₁±z₂); ku=(kx;ky;kz). Cùng vị trí mới cộng.
Tích vô hướngu·v=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=|u||v|cosθ. Nhân từng cặp, cộng thành số.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
C2-NB-01Tính độ dài của vectơ u = (-2;2).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bình phương hai tọa độ, cộng rồi lấy căn bậc hai.
Lời giải: |u| = √(-2² + 2²) = √8.
Vì sao: Công thức là hệ quả trực tiếp của định lí Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng trực tiếp hai tọa độ hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là |x| và |y|.
C2-NB-02Tính tích vô hướng của u = (-1;3) và v = (6;2).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v = -1·6 + 3·2 = 0.
Vì sao: Tích vô hướng là một số, không phải một vectơ.
Sai ở đâu: Nhân chéo tọa độ hoặc viết kết quả dưới dạng cặp.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán: u·v phải bằng v·u.
C2-NB-03Trong mặt phẳng, cho A(0;4), B(3;-2). Tìm vectơ AB.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Lời giải: AB = (3; -6).
Vì sao: Vectơ AB mang hướng từ A đến B nên phải lấy B − A.
Sai ở đâu: Lấy A − B nên thu được vectơ BA.
Cách khác: Cộng vectơ kết quả với tọa độ A để phải thu được B.
C2-NB-04Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', biểu diễn AC' bằng ba vectơ cạnh xuất phát từ A.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đi theo ba cạnh liên tiếp A→B→C→C'.
Lời giải: AC' = AB + AD + AA'.
Vì sao: Ba vectơ cạnh không đồng phẳng tạo thành ba hướng cơ bản của hình hộp.
Sai ở đâu: Bỏ một thành phần hoặc dùng vectơ không cùng hướng.
Cách khác: Đi theo đường gấp khúc A→B→C→C'.
C2-NB-05Cho A(-2;5;1), B(2;1;2). Tìm tọa độ vectơ AB.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy B−A theo từng trục x, y, z.
Lời giải: AB=(4;-4;1).
Vì sao: Ba tọa độ được xử lí độc lập nhưng phải giữ cùng thứ tự trục.
Sai ở đâu: Lấy A−B hoặc đổi chỗ y và z.
Cách khác: Kiểm A+AB=B theo từng tọa độ.
C2-NB-06Tính u·v với u=(2;1;5), v=(-1;1;-3).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng ba tích.
Lời giải: u·v=2·-1+1·1+5·-3=-16.
Vì sao: Tích vô hướng kết nối tọa độ với góc và độ dài.
Sai ở đâu: Trả về một bộ ba thay vì một số.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán u·v=v·u.
C2-NB-07Cho AB=u và AC=v. Biểu diễn BC theo u, v.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng AB+BC=AC rồi chuyển vế.
Lời giải: BC=v−u.
Vì sao: Hiệu hai vectơ cùng gốc cho vectơ nối hai điểm cuối theo đúng hướng.
Sai ở đâu: Viết BC=u−v nên đảo hướng.
Cách khác: Dùng BC=BA+AC=−u+v.
C2-NB-08Điểm P(1;5;3) chiếu vuông góc xuống mặt phẳng Oxy tại H. Tìm H.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Giữ x,y và cho tọa độ z bằng 0.
Lời giải: H(1;5;0).
Vì sao: Mặt phẳng Oxy có phương trình tọa độ z=0.
Sai ở đâu: Cho cả ba tọa độ bằng 0 hoặc xóa nhầm x/y.
Cách khác: Di chuyển P song song trục Oz cho tới khi z=0.
C2-NB-09Tính cosin góc giữa u=(5;0;4) và v=(4;1;3).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng cosθ=(u·v)/(|u||v|).
Lời giải: u·v=32; |u||v|=32,6497; cosθ≈0,9801.
Vì sao: Giá trị cos phải nằm trong [−1;1], đây là phép chặn lỗi tự nhiên.
Sai ở đâu: Quên chia cho tích độ dài.
Cách khác: Kiểm dấu của tích vô hướng để dự đoán góc nhọn, vuông hay tù.
C2-NB-10Cho ba điểm A, B, C. Hoàn thành hệ thức vectơ theo quy tắc ba điểm.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đi từ A đến B rồi từ B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Lời giải: AB + BC = AC.
Vì sao: Quy tắc ba điểm đúng trong mặt phẳng lẫn không gian.
Sai ở đâu: Viết AB+CB hoặc đổi sai hướng của vectơ thứ hai.
Cách khác: Đọc chuỗi hành trình A→B→C.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[C2-NB-01] Tính độ dài của vectơ u = (-2;2).
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Bài tập cuối Chương 2”:
- a) Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Vectơ là mũi tên có hướng; có thể trượt song song mà không đổi. Ví dụ kiểm chứng: Các cạnh song song cùng hướng của hình hộp cho vectơ bằng nhau.
- b) AB+BC=AC; u−v=u+(−v).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Ghép đầu–đuôi để đi từ điểm đầu tới điểm cuối. Ví dụ kiểm chứng: AB+BC+CD=AD.
- c) |ku|=|k||u|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Kéo dài, thu ngắn hoặc đảo hướng một vectơ. Ví dụ kiểm chứng: v=−2u ngược hướng và dài gấp đôi.
- d) AC′=AB+AD+AA′ trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Đường chéo không gian gom ba bước theo ba cạnh. Ví dụ kiểm chứng: Đi A→B→C→C′.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Tính độ dài của vectơ u = (-2;2).
Đáp án
√8
- Tính tích vô hướng của u = (-1;3) và v = (6;0).
Đáp án
-6
- Trong mặt phẳng, cho A(0;4), B(3;3). Tìm vectơ AB.
Đáp án
(3; -1)
- Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', biểu diễn AC' bằng ba vectơ cạnh xuất phát từ A.
Đáp án
AB + AD + AA'
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính độ dài của vectơ u = (-2;2).
Gợi ý: Bình phương hai tọa độ, cộng rồi lấy căn bậc hai.
Lời giải: |u| = √(-2² + 2²) = √8.
Giải thích: Công thức là hệ quả trực tiếp của định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng trực tiếp hai tọa độ hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là |x| và |y|.
TỰ LUẬN 2Tính u·v với u=(2;1;5), v=(-1;1;-3).
Gợi ý: Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng ba tích.
Lời giải: u·v=2·-1+1·1+5·-3=-16.
Giải thích: Tích vô hướng kết nối tọa độ với góc và độ dài.
Lỗi cần tránh: Trả về một bộ ba thay vì một số.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán u·v=v·u.
TỰ LUẬN 3Tính khoảng cách giữa A(-3;5;-2) và B(4;-3;2).
Gợi ý: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: AB=(7;-8;4); d(A,B)=√129.
Giải thích: Công thức là định lí Pythagore mở rộng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Cộng ba hiệu mà không bình phương hoặc quên căn.
Cách khác: Tính bình phương khoảng cách trước để tránh sai căn.
TỰ LUẬN 4Cho u=2a⃗−4b⃗ và v=4b⃗. Rút gọn u+v.
Gợi ý: Cộng các hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: u+v=2a⃗.
Giải thích: Vectơ cũng tuân theo tính kết hợp và quy tắc thu gọn các hạng đồng dạng.
Lỗi cần tránh: Cộng a⃗ và b⃗ thành một số.
Cách khác: Viết các hệ số theo hai cột a⃗, b⃗.
TỰ LUẬN 5Trong mặt phẳng, cho A(0;2), B(4;3). Tìm vectơ AB.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Lời giải: AB = (4; 1).
Giải thích: Vectơ AB mang hướng từ A đến B nên phải lấy B − A.
Lỗi cần tránh: Lấy A − B nên thu được vectơ BA.
Cách khác: Cộng vectơ kết quả với tọa độ A để phải thu được B.
TỰ LUẬN 6Tính u·v với u=(2;-1;5), v=(2;1;-3).
Gợi ý: Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng ba tích.
Lời giải: u·v=2·2+-1·1+5·-3=-12.
Giải thích: Tích vô hướng kết nối tọa độ với góc và độ dài.
Lỗi cần tránh: Trả về một bộ ba thay vì một số.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán u·v=v·u.
TỰ LUẬN 7Tính khoảng cách giữa A(3;3;2) và B(4;0;6).
Gợi ý: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: AB=(1;-3;4); d(A,B)=√26.
Giải thích: Công thức là định lí Pythagore mở rộng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Cộng ba hiệu mà không bình phương hoặc quên căn.
Cách khác: Tính bình phương khoảng cách trước để tránh sai căn.
TỰ LUẬN 8Cho u=2a⃗−2b⃗ và v=2b⃗. Rút gọn u+v.
Gợi ý: Cộng các hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: u+v=2a⃗.
Giải thích: Vectơ cũng tuân theo tính kết hợp và quy tắc thu gọn các hạng đồng dạng.
Lỗi cần tránh: Cộng a⃗ và b⃗ thành một số.
Cách khác: Viết các hệ số theo hai cột a⃗, b⃗.
TỰ LUẬN 9Tính tích vô hướng của u = (2;2) và v = (4;0).
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v = 2·4 + 2·0 = 8.
Giải thích: Tích vô hướng là một số, không phải một vectơ.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc viết kết quả dưới dạng cặp.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán: u·v phải bằng v·u.
TỰ LUẬN 10Tính u·v với u=(2;-3;5), v=(-2;1;-3).
Gợi ý: Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng ba tích.
Lời giải: u·v=2·-2+-3·1+5·-3=-22.
Giải thích: Tích vô hướng kết nối tọa độ với góc và độ dài.
Lỗi cần tránh: Trả về một bộ ba thay vì một số.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán u·v=v·u.
TỰ LUẬN 11Tính khoảng cách giữa A(2;1;-1) và B(4;3;4).
Gợi ý: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: AB=(2;2;5); d(A,B)=√33.
Giải thích: Công thức là định lí Pythagore mở rộng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Cộng ba hiệu mà không bình phương hoặc quên căn.
Cách khác: Tính bình phương khoảng cách trước để tránh sai căn.
TỰ LUẬN 12Cho u=2a⃗−6b⃗ và v=6b⃗. Rút gọn u+v.
Gợi ý: Cộng các hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: u+v=2a⃗.
Giải thích: Vectơ cũng tuân theo tính kết hợp và quy tắc thu gọn các hạng đồng dạng.
Lỗi cần tránh: Cộng a⃗ và b⃗ thành một số.
Cách khác: Viết các hệ số theo hai cột a⃗, b⃗.
TỰ LUẬN 13Tính độ dài của vectơ u = (-2;2).
Gợi ý: Bình phương hai tọa độ, cộng rồi lấy căn bậc hai.
Lời giải: |u| = √(-2² + 2²) = √8.
Giải thích: Công thức là hệ quả trực tiếp của định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng trực tiếp hai tọa độ hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là |x| và |y|.
TỰ LUẬN 14Tính u·v với u=(2;2;5), v=(1;1;-3).
Gợi ý: Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng ba tích.
Lời giải: u·v=2·1+2·1+5·-3=-11.
Giải thích: Tích vô hướng kết nối tọa độ với góc và độ dài.
Lỗi cần tránh: Trả về một bộ ba thay vì một số.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán u·v=v·u.
TỰ LUẬN 15Tính khoảng cách giữa A(1;5;3) và B(4;-1;2).
Gợi ý: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: AB=(3;-6;-1); d(A,B)=√46.
Giải thích: Công thức là định lí Pythagore mở rộng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Cộng ba hiệu mà không bình phương hoặc quên căn.
Cách khác: Tính bình phương khoảng cách trước để tránh sai căn.
TỰ LUẬN 16Cho u=2a⃗−4b⃗ và v=4b⃗. Rút gọn u+v.
Gợi ý: Cộng các hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: u+v=2a⃗.
Giải thích: Vectơ cũng tuân theo tính kết hợp và quy tắc thu gọn các hạng đồng dạng.
Lỗi cần tránh: Cộng a⃗ và b⃗ thành một số.
Cách khác: Viết các hệ số theo hai cột a⃗, b⃗.
TỰ LUẬN 17Trong mặt phẳng, cho A(0;2), B(4;1). Tìm vectơ AB.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Lời giải: AB = (4; -1).
Giải thích: Vectơ AB mang hướng từ A đến B nên phải lấy B − A.
Lỗi cần tránh: Lấy A − B nên thu được vectơ BA.
Cách khác: Cộng vectơ kết quả với tọa độ A để phải thu được B.
TỰ LUẬN 18Tính u·v với u=(2;0;5), v=(4;1;-3).
Gợi ý: Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng ba tích.
Lời giải: u·v=2·4+0·1+5·-3=-7.
Giải thích: Tích vô hướng kết nối tọa độ với góc và độ dài.
Lỗi cần tránh: Trả về một bộ ba thay vì một số.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán u·v=v·u.
TỰ LUẬN 19Tính khoảng cách giữa A(0;3;0) và B(4;2;6).
Gợi ý: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: AB=(4;-1;6); d(A,B)=√53.
Giải thích: Công thức là định lí Pythagore mở rộng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Cộng ba hiệu mà không bình phương hoặc quên căn.
Cách khác: Tính bình phương khoảng cách trước để tránh sai căn.
TỰ LUẬN 20Cho u=2a⃗−2b⃗ và v=2b⃗. Rút gọn u+v.
Gợi ý: Cộng các hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: u+v=2a⃗.
Giải thích: Vectơ cũng tuân theo tính kết hợp và quy tắc thu gọn các hạng đồng dạng.
Lỗi cần tránh: Cộng a⃗ và b⃗ thành một số.
Cách khác: Viết các hệ số theo hai cột a⃗, b⃗.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: C2-NB-01, C2-NB-02, C2-NB-03, C2-NB-04, C2-NB-05, C2-NB-06, C2-NB-07, C2-NB-08, C2-NB-09, C2-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C2-NB-01: √8
- C2-NB-02: 0
- C2-NB-03: (3; -6)
- C2-NB-04: AB + AD + AA'
- C2-NB-05: (4;-4;1)
- C2-NB-06: -16
- C2-NB-07: v − u
- C2-NB-08: (1;5;0)
- C2-NB-09: 0,9801
- C2-NB-10: AB + BC = AC
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 2
10 câu đại diện: C2-NB-11, C2-NB-12, C2-NB-13, C2-NB-14, C2-NB-15, C2-NB-16, C2-NB-17, C2-NB-18, C2-NB-19, C2-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C2-NB-11: √129
- C2-NB-12: √19
- C2-NB-13: Cùng hướng; |v|=4|u|
- C2-NB-14: √25
- C2-NB-15: (1;-1;1)
- C2-NB-16: 2a⃗
- C2-NB-17: M(4,5;2,5;2)
- C2-NB-18: không vuông góc
- C2-NB-19: AB + AD + AA'
- C2-NB-20: (3;-7;1)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: C2-TH-01, C2-TH-02, C2-TH-03, C2-TH-04, C2-TH-05, C2-TH-06, C2-TH-07, C2-TH-08, C2-TH-09, C2-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C2-TH-01: (4; 1)
- C2-TH-02: √10
- C2-TH-03: 14
- C2-TH-04: AB + AD + AA'
- C2-TH-05: (5;-6;8)
- C2-TH-06: -12
- C2-TH-07: v − u
- C2-TH-08: (0;3;0)
- C2-TH-09: 0,4714
- C2-TH-10: AB + BC = AC
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: C2-TH-11, C2-TH-12, C2-TH-13, C2-TH-14, C2-TH-15, C2-TH-16, C2-TH-17, C2-TH-18, C2-TH-19, C2-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C2-TH-11: √26
- C2-TH-12: √27
- C2-TH-13: Cùng hướng; |v|=4|u|
- C2-TH-14: √26
- C2-TH-15: (4;4;1)
- C2-TH-16: 2a⃗
- C2-TH-17: M(4;3;2,5)
- C2-TH-18: không vuông góc
- C2-TH-19: AB + AD + AA'
- C2-TH-20: (4;-2;2)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: C2-VD-01, C2-VD-02, C2-VD-03, C2-VD-04, C2-VD-05, C2-VD-06, C2-VD-07, C2-VD-08, C2-VD-09, C2-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C2-VD-01: 8
- C2-VD-02: (9; 0)
- C2-VD-03: √20
- C2-VD-04: AB + AD + AA'
- C2-VD-05: (-1;-1;2)
- C2-VD-06: -22
- C2-VD-07: v − u
- C2-VD-08: (-1;1;0)
- C2-VD-09: 0,9733
- C2-VD-10: AB + BC = AC
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 40–55 phút; yêu cầu con nêu điều kiện và dự đoán dấu, đơn vị trước khi tính.
- Không hỏi “đáp án bao nhiêu” trước; hỏi “vì sao chọn công cụ này” và “kiểm bằng cách nào”.
- Theo dõi ba lỗi lặp gần nhất, không gây áp lực bằng số câu đã làm.
- Một tuần nên có một phiên 90 phút mô phỏng và một phiên chữa sâu.
- Mở bài bằng một bối cảnh hoặc phản ví dụ có thể kiểm chứng.
- Chấm theo năm mốc: mô hình–điều kiện–công thức–tính toán–diễn giải.
- Trộn đúng 15% nền trực tiếp; không lấy câu cũ ngẫu nhiên chỉ để đủ tỉ lệ.
- Đề định hướng Hà Nội phải ghi rõ là nội bộ tham khảo và có đủ ba dạng trắc nghiệm hiện hành.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.