Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa cân bằng lực, góc camera, quỹ đạo, cơ khí, kiến trúc và đồ họa 3D bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- u±v tính theo từng tọa độ.
- ku nhân k với cả ba tọa độ.
- u·v=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.
Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Thực hiện phép cộng, trừ, nhân vectơ với số, tích vô hướng; tính độ dài, góc và kiểm tra vuông góc, cùng phương bằng tọa độ.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt bài 6–7, tích vô hướng trong mặt phẳng rồi chuẩn bị cho Cổng cuối Chương 2.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Tính tổ hợp tuyến tính vectơ theo tọa độ.
- Tính tích vô hướng và độ dài.
- Xét vuông góc, cùng phương.
- Tính cosin góc giữa hai vectơ và tự kiểm miền giá trị.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 6–7, tích vô hướng trong mặt phẳng.
- Viết tập xác định, đối tượng hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn hoặc hình dạng của kết quả.
- Kiểm bằng biểu diễn thứ hai và giải thích bằng lời.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Phép toán tọa độ
Hiểu đơn giản: Mỗi trục được tính độc lập.
u±v=(x₁±x₂;y₁±y₂;z₁±z₂); ku=(kx;ky;kz).
Ví dụ: (1;2;3)+(2;−1;4)=(3;1;7).
Hình nên dùng: Ba cột màu x,y,z.
Mô phỏng: Nhập hai vectơ.
Mẹo nhớ: Cùng vị trí mới cộng.
Sai lầm: Cộng chéo tọa độ.
Ghi chú: Kết quả là một vectơ.
Tích vô hướng
Hiểu đơn giản: Nhân từng cặp tọa độ cùng trục rồi cộng.
u·v=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=|u||v|cosθ.
Ví dụ: (1;0;0)·(0;1;0)=0.
Hình nên dùng: Các thành phần chiếu theo ba trục.
Mô phỏng: Xoay góc giữa hai vectơ.
Mẹo nhớ: Nhân từng cặp, cộng thành số.
Sai lầm: Trả về bộ ba.
Ghi chú: Tích vô hướng có tính giao hoán.
Độ dài và vuông góc
Hiểu đơn giản: Độ dài lấy từ u·u; vuông góc khi tích bằng 0.
|u|=√(x²+y²+z²); u⊥v ⇔ u·v=0 với u,v≠0.
Ví dụ: (1;1;0) vuông góc (1;−1;0).
Hình nên dùng: Tam giác vuông vectơ.
Mô phỏng: Thay tọa độ.
Mẹo nhớ: Tự nhân cho độ dài, nhân chéo cho góc.
Sai lầm: Kết luận vectơ không có hướng.
Ghi chú: Vectơ không vuông góc theo định nghĩa góc thông thường.
Góc và cùng phương
Hiểu đơn giản: Tích vô hướng cho cosin; tỉ lệ tọa độ cho cùng phương.
cosθ=(u·v)/(|u||v|); u=kv là tiêu chuẩn cùng phương.
Ví dụ: u·v<0 cho góc tù.
Hình nên dùng: Thước đo góc 3D.
Mô phỏng: Kéo một vectơ.
Mẹo nhớ: Dấu dot dự đoán loại góc.
Sai lầm: Quên chuẩn hóa khi tính cos.
Ghi chú: Kiểm cos thuộc [−1;1].
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TỌA ĐỘ VECTƠ
Điểm cuối trừ điểm đầu
Nhập A, B; công cụ tính AB⃗, độ dài AB và trung điểm M.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B8-NB-04
Đề bài: Tính cosin góc giữa u=(5;3;4) và v=(3;1;3). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Phân tích: Dùng cosθ=(u·v)/(|u||v|).
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng cosθ=(u·v)/(|u||v|).
- Bước 2: u·v=30; |u||v|=30,8221; cosθ≈0,9733.
- Bước 3: Kết luận 0,9733.
Vì sao: Giá trị cos phải nằm trong [−1;1], đây là phép chặn lỗi tự nhiên.
Cách khác: Kiểm dấu của tích vô hướng để dự đoán góc nhọn, vuông hay tù.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên chia cho tích độ dài.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B8-NB-14
Đề bài: Tính cosin góc giữa u=(5;2;4) và v=(1;1;-1). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Phân tích: Dùng cosθ=(u·v)/(|u||v|).
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng cosθ=(u·v)/(|u||v|).
- Bước 2: u·v=3; |u||v|=11,619; cosθ≈0,2582.
- Bước 3: Kết luận 0,2582.
Vì sao: Giá trị cos phải nằm trong [−1;1], đây là phép chặn lỗi tự nhiên.
Cách khác: Kiểm dấu của tích vô hướng để dự đoán góc nhọn, vuông hay tù.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên chia cho tích độ dài.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B8-TH-04
Đề bài: Xét u=(4;3;6) và v=(3;1;-3) có vuông góc không.
Phân tích: Hai vectơ khác vectơ không vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Hai vectơ khác vectơ không vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
- Bước 2: u·v=-3; do đó u và v không vuông góc.
- Bước 3: Kết luận không vuông góc.
Vì sao: Tiêu chuẩn tích vô hướng biến bài toán góc thành phép tính tọa độ.
Cách khác: Nếu dot khác 0, dấu của dot còn cho biết góc nhọn hay tù.
Tự kiểm: Chặn lỗi: So từng tọa độ riêng lẻ hoặc chỉ nhìn hình.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B8-TH-14
Đề bài: Xét u=(4;2;6) và v=(1;1;1) có vuông góc không.
Phân tích: Hai vectơ khác vectơ không vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Hai vectơ khác vectơ không vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
- Bước 2: u·v=12; do đó u và v không vuông góc.
- Bước 3: Kết luận không vuông góc.
Vì sao: Tiêu chuẩn tích vô hướng biến bài toán góc thành phép tính tọa độ.
Cách khác: Nếu dot khác 0, dấu của dot còn cho biết góc nhọn hay tù.
Tự kiểm: Chặn lỗi: So từng tọa độ riêng lẻ hoặc chỉ nhìn hình.
05 • Thông hiểuVí dụ 5 • B8-VD-04
Đề bài: Tính độ dài của vectơ u = (3; 4; 0).
Phân tích: |u| = √[(3)² + (4)² + 0²].
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- |u| = √[(3)² + (4)² + 0²]. Dùng bộ ba 3–4–5: |u| = 1√(3² + 4²) = 5.
Vì sao: |u| = √[(3)² + (4)² + 0²]. Dùng bộ ba 3–4–5: |u| = 1√(3² + 4²) = 5.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 5. Cộng trực tiếp các tọa độ hoặc quên lấy căn bậc hai.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B8-VD-14
Đề bài: Cho u = (4; 3; 3) và v = (1; 3; 0). Tính tích vô hướng u·v.
Phân tích: Tích vô hướng bằng tổng các tích tọa độ tương ứng.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Tích vô hướng bằng tổng các tích tọa độ tương ứng. u·v = 4·1 + 3·3 + 3·0 = 13.
Vì sao: Tích vô hướng bằng tổng các tích tọa độ tương ứng. u·v = 4·1 + 3·3 + 3·0 = 13.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 13. Nhân chéo tọa độ hoặc quên dấu của số âm.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B8-VDC-04
Đề bài: Trong Oxyz, A(3;0;0), B(0;6;0). M chạy trên đoạn AB. Tìm giá trị nhỏ nhất OM² bằng cách tham số hóa, xác minh điểm tối ưu nằm trên đoạn.
Phân tích: M=A+t(B−A)=(3(1−t);6t;0), 0≤t≤1
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- M=A+t(B−A)=(3(1−t);6t;0), 0≤t≤1. OM²=9(1−2t+5t²)=45(t−1/5)²+36/5. Vì t=1/5 thuộc [0;1], giá trị nhỏ nhất là 36/5.
Vì sao: M=A+t(B−A)=(3(1−t);6t;0), 0≤t≤1. OM²=9(1−2t+5t²)=45(t−1/5)²+36/5. Vì t=1/5 thuộc [0;1], giá trị nhỏ nhất là 36/5.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 36/5. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
08 • Thông hiểuVí dụ 8 • B8-VDC-14
Đề bài: Tính u·v với u=(2;2;5), v=(1;1;-3).
Phân tích: Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng ba tích.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- u·v=2·1+2·1+5·-3=-11.
Vì sao: Tích vô hướng kết nối tọa độ với góc và độ dài.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán u·v=v·u.
Tự kiểm: Kết quả: -11. Trả về một bộ ba thay vì một số.
09 • Vận dụngVí dụ 9 • B8-TT-04
Đề bài: Cho u = (3; 6; 3), v = (0; 3; 3). Tính 2u − v.
Phân tích: 2u = (6; 12; 6).
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- 2u = (6; 12; 6). Trừ từng tọa độ của v: 2u − v = (6; 9; 3).
Vì sao: 2u = (6; 12; 6). Trừ từng tọa độ của v: 2u − v = (6; 9; 3).
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: (6; 9; 3). Chỉ nhân một tọa độ với 2 hoặc phân phối dấu trừ sai.
10 • Vận dụngVí dụ 10 • B8-TT-14
Đề bài: Cho u=(1;2;2), v=(1;1;-1). Tính u+v.
Phân tích: Cộng từng tọa độ cùng vị trí.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- u+v=(2;3;1).
Vì sao: Phép cộng vectơ theo tọa độ kế thừa quy tắc hình bình hành.
Cách khác: Trừ lại v từ kết quả để phải thu được u.
Tự kiểm: Kết quả: (2;3;1). Cộng chéo các tọa độ.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Tình huống 1 dùng cân bằng lực, góc camera, quỹ đạo, cơ khí, kiến trúc và đồ họa 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Tình huống 2 dùng cân bằng lực, góc camera, quỹ đạo, cơ khí, kiến trúc và đồ họa 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Tình huống 3 dùng cân bằng lực, góc camera, quỹ đạo, cơ khí, kiến trúc và đồ họa 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Tình huống 4 dùng cân bằng lực, góc camera, quỹ đạo, cơ khí, kiến trúc và đồ họa 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Tình huống 5 dùng cân bằng lực, góc camera, quỹ đạo, cơ khí, kiến trúc và đồ họa 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Tình huống 6 dùng cân bằng lực, góc camera, quỹ đạo, cơ khí, kiến trúc và đồ họa 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Tình huống 7 dùng cân bằng lực, góc camera, quỹ đạo, cơ khí, kiến trúc và đồ họa 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Tình huống 8 dùng cân bằng lực, góc camera, quỹ đạo, cơ khí, kiến trúc và đồ họa 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Phép toán tọa độ theo cách trực quan?
Mỗi trục được tính độc lập. Phát biểu chính xác: u±v=(x₁±x₂;y₁±y₂;z₁±z₂); ku=(kx;ky;kz). Ví dụ: (1;2;3)+(2;−1;4)=(3;1;7). Mẹo: Cùng vị trí mới cộng. Cần tránh: Cộng chéo tọa độ.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Cộng chéo tọa độ
Cộng chéo tọa độ. Sửa bằng: Cùng vị trí mới cộng. Kiểm cuối: Kết quả là một vectơ.
Tích vô hướng ra vectơ
Trả về bộ ba. Sửa bằng: Nhân từng cặp, cộng thành số. Kiểm cuối: Tích vô hướng có tính giao hoán.
Quên độ dài ở mẫu cos
Kết luận vectơ không có hướng. Sửa bằng: Tự nhân cho độ dài, nhân chéo cho góc. Kiểm cuối: Vectơ không vuông góc theo định nghĩa góc thông thường.
Dùng tiêu chuẩn vuông góc cho vectơ không
Quên chuẩn hóa khi tính cos. Sửa bằng: Dấu dot dự đoán loại góc. Kiểm cuối: Kiểm cos thuộc [−1;1].
Không chặn cos trong [−1;1]
Cộng chéo tọa độ. Sửa bằng: Cùng vị trí mới cộng. Kiểm cuối: Kết quả là một vectơ.
Cộng chéo tọa độ – tình huống 6
Trả về bộ ba. Sửa bằng: Nhân từng cặp, cộng thành số. Kiểm cuối: Tích vô hướng có tính giao hoán.
Tích vô hướng ra vectơ – tình huống 7
Kết luận vectơ không có hướng. Sửa bằng: Tự nhân cho độ dài, nhân chéo cho góc. Kiểm cuối: Vectơ không vuông góc theo định nghĩa góc thông thường.
Quên độ dài ở mẫu cos – tình huống 8
Quên chuẩn hóa khi tính cos. Sửa bằng: Dấu dot dự đoán loại góc. Kiểm cuối: Kiểm cos thuộc [−1;1].
Dùng tiêu chuẩn vuông góc cho vectơ không – tình huống 9
Cộng chéo tọa độ. Sửa bằng: Cùng vị trí mới cộng. Kiểm cuối: Kết quả là một vectơ.
Không chặn cos trong [−1;1] – tình huống 10
Trả về bộ ba. Sửa bằng: Nhân từng cặp, cộng thành số. Kiểm cuối: Tích vô hướng có tính giao hoán.
Cộng chéo tọa độ – tình huống 11
Kết luận vectơ không có hướng. Sửa bằng: Tự nhân cho độ dài, nhân chéo cho góc. Kiểm cuối: Vectơ không vuông góc theo định nghĩa góc thông thường.
Tích vô hướng ra vectơ – tình huống 12
Quên chuẩn hóa khi tính cos. Sửa bằng: Dấu dot dự đoán loại góc. Kiểm cuối: Kiểm cos thuộc [−1;1].
Quên độ dài ở mẫu cos – tình huống 13
Cộng chéo tọa độ. Sửa bằng: Cùng vị trí mới cộng. Kiểm cuối: Kết quả là một vectơ.
Dùng tiêu chuẩn vuông góc cho vectơ không – tình huống 14
Trả về bộ ba. Sửa bằng: Nhân từng cặp, cộng thành số. Kiểm cuối: Tích vô hướng có tính giao hoán.
Không chặn cos trong [−1;1] – tình huống 15
Kết luận vectơ không có hướng. Sửa bằng: Tự nhân cho độ dài, nhân chéo cho góc. Kiểm cuối: Vectơ không vuông góc theo định nghĩa góc thông thường.
Cộng chéo tọa độ – tình huống 16
Quên chuẩn hóa khi tính cos. Sửa bằng: Dấu dot dự đoán loại góc. Kiểm cuối: Kiểm cos thuộc [−1;1].
Tích vô hướng ra vectơ – tình huống 17
Cộng chéo tọa độ. Sửa bằng: Cùng vị trí mới cộng. Kiểm cuối: Kết quả là một vectơ.
Quên độ dài ở mẫu cos – tình huống 18
Trả về bộ ba. Sửa bằng: Nhân từng cặp, cộng thành số. Kiểm cuối: Tích vô hướng có tính giao hoán.
Dùng tiêu chuẩn vuông góc cho vectơ không – tình huống 19
Kết luận vectơ không có hướng. Sửa bằng: Tự nhân cho độ dài, nhân chéo cho góc. Kiểm cuối: Vectơ không vuông góc theo định nghĩa góc thông thường.
Không chặn cos trong [−1;1] – tình huống 20
Quên chuẩn hóa khi tính cos. Sửa bằng: Dấu dot dự đoán loại góc. Kiểm cuối: Kiểm cos thuộc [−1;1].
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng bảng biến thiên, đồ thị, hình không gian, bảng dữ liệu hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí phải đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ1 2 3 4
Phép toán tọa độu±v=(x₁±x₂;y₁±y₂;z₁±z₂); ku=(kx;ky;kz). Cùng vị trí mới cộng.
Tích vô hướngu·v=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=|u||v|cosθ. Nhân từng cặp, cộng thành số.
Độ dài và vuông góc|u|=√(x²+y²+z²); u⊥v ⇔ u·v=0 với u,v≠0. Tự nhân cho độ dài, nhân chéo cho góc.
Góc và cùng phươngcosθ=(u·v)/(|u||v|); u=kv là tiêu chuẩn cùng phương. Dấu dot dự đoán loại góc.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B8-NB-01Tính tích vô hướng của u = (-1;4) và v = (3;1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v = -1·3 + 4·1 = 1.
Vì sao: Tích vô hướng là một số, không phải một vectơ.
Sai ở đâu: Nhân chéo tọa độ hoặc viết kết quả dưới dạng cặp.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán: u·v phải bằng v·u.
B8-NB-02Trong mặt phẳng, cho A(0;5), B(5;4). Tìm vectơ AB.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Lời giải: AB = (5; -1).
Vì sao: Vectơ AB mang hướng từ A đến B nên phải lấy B − A.
Sai ở đâu: Lấy A − B nên thu được vectơ BA.
Cách khác: Cộng vectơ kết quả với tọa độ A để phải thu được B.
B8-NB-03Tính độ dài của vectơ u = (1;1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bình phương hai tọa độ, cộng rồi lấy căn bậc hai.
Lời giải: |u| = √(1² + 1²) = √2.
Vì sao: Công thức là hệ quả trực tiếp của định lí Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng trực tiếp hai tọa độ hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là |x| và |y|.
B8-NB-04Tính cosin góc giữa u=(5;3;4) và v=(3;1;3). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng cosθ=(u·v)/(|u||v|).
Lời giải: u·v=30; |u||v|=30,8221; cosθ≈0,9733.
Vì sao: Giá trị cos phải nằm trong [−1;1], đây là phép chặn lỗi tự nhiên.
Sai ở đâu: Quên chia cho tích độ dài.
Cách khác: Kiểm dấu của tích vô hướng để dự đoán góc nhọn, vuông hay tù.
B8-NB-05Cho u=(1;-2;2), v=(0;1;-3). Tính u+v.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng từng tọa độ cùng vị trí.
Lời giải: u+v=(1;-1;-1).
Vì sao: Phép cộng vectơ theo tọa độ kế thừa quy tắc hình bình hành.
Sai ở đâu: Cộng chéo các tọa độ.
Cách khác: Trừ lại v từ kết quả để phải thu được u.
B8-NB-06Tính u·v với u=(2;0;5), v=(4;1;-1).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng ba tích.
Lời giải: u·v=2·4+0·1+5·-1=3.
Vì sao: Tích vô hướng kết nối tọa độ với góc và độ dài.
Sai ở đâu: Trả về một bộ ba thay vì một số.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán u·v=v·u.
B8-NB-07Tính độ dài của u=(3;2;3).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng |u|=√(u·u).
Lời giải: |u|=√((3)²+(2)²+(3)²)=√22.
Vì sao: Độ dài luôn không âm và bằng 0 chỉ với vectơ không.
Sai ở đâu: Quên bình phương hoặc quên căn.
Cách khác: Tính u·u trước.
B8-NB-08Xét u=(4;-3;6) và v=(-2;1;3) có vuông góc không.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai vectơ khác vectơ không vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Lời giải: u·v=7; do đó u và v không vuông góc.
Vì sao: Tiêu chuẩn tích vô hướng biến bài toán góc thành phép tính tọa độ.
Sai ở đâu: So từng tọa độ riêng lẻ hoặc chỉ nhìn hình.
Cách khác: Nếu dot khác 0, dấu của dot còn cho biết góc nhọn hay tù.
B8-NB-09Tính cosin góc giữa u=(5;-1;4) và v=(2;1;-3). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng cosθ=(u·v)/(|u||v|).
Lời giải: u·v=-3; |u||v|=24,2487; cosθ≈-0,1237.
Vì sao: Giá trị cos phải nằm trong [−1;1], đây là phép chặn lỗi tự nhiên.
Sai ở đâu: Quên chia cho tích độ dài.
Cách khác: Kiểm dấu của tích vô hướng để dự đoán góc nhọn, vuông hay tù.
B8-NB-10Cho u=(1;1;2), v=(-1;1;-1). Tính u+v.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng từng tọa độ cùng vị trí.
Lời giải: u+v=(0;2;1).
Vì sao: Phép cộng vectơ theo tọa độ kế thừa quy tắc hình bình hành.
Sai ở đâu: Cộng chéo các tọa độ.
Cách khác: Trừ lại v từ kết quả để phải thu được u.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Tính độ dài của vectơ u = (3; 4; 0).
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ”:
- a) u±v=(x₁±x₂;y₁±y₂;z₁±z₂); ku=(kx;ky;kz).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Mỗi trục được tính độc lập. Ví dụ kiểm chứng: (1;2;3)+(2;−1;4)=(3;1;7).
- b) u·v=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=|u||v|cosθ.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Nhân từng cặp tọa độ cùng trục rồi cộng. Ví dụ kiểm chứng: (1;0;0)·(0;1;0)=0.
- c) |u|=√(x²+y²+z²); u⊥v ⇔ u·v=0 với u,v≠0.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Độ dài lấy từ u·u; vuông góc khi tích bằng 0. Ví dụ kiểm chứng: (1;1;0) vuông góc (1;−1;0).
- d) cosθ=(u·v)/(|u||v|); u=kv là tiêu chuẩn cùng phương.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Tích vô hướng cho cosin; tỉ lệ tọa độ cho cùng phương. Ví dụ kiểm chứng: u·v<0 cho góc tù.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Tính tích vô hướng của u = (2;3) và v = (6;0).
Đáp án
12
- Trong mặt phẳng, cho A(-3;4), B(3;3). Tìm vectơ AB.
Đáp án
(6; -1)
- Tính độ dài của vectơ u = (-2;5).
Đáp án
√29
- Trong Oxyz, A(3;0;0), B(0;6;0). M chạy trên đoạn AB. Tìm giá trị nhỏ nhất OM² bằng cách tham số hóa, xác minh điểm tối ưu nằm trên đoạn.
Đáp án
36/5
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính tích vô hướng của u = (-1;4) và v = (3;1).
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v = -1·3 + 4·1 = 1.
Giải thích: Tích vô hướng là một số, không phải một vectơ.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc viết kết quả dưới dạng cặp.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán: u·v phải bằng v·u.
TỰ LUẬN 2Tính u·v với u=(2;0;5), v=(4;1;-1).
Gợi ý: Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng ba tích.
Lời giải: u·v=2·4+0·1+5·-1=3.
Giải thích: Tích vô hướng kết nối tọa độ với góc và độ dài.
Lỗi cần tránh: Trả về một bộ ba thay vì một số.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán u·v=v·u.
TỰ LUẬN 3Tính u·v với u=(2;3;5), v=(3;1;1).
Gợi ý: Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng ba tích.
Lời giải: u·v=2·3+3·1+5·1=14.
Giải thích: Tích vô hướng kết nối tọa độ với góc và độ dài.
Lỗi cần tránh: Trả về một bộ ba thay vì một số.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán u·v=v·u.
TỰ LUẬN 4Tính u·v với u=(2;-1;5), v=(2;1;3).
Gợi ý: Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng ba tích.
Lời giải: u·v=2·2+-1·1+5·3=18.
Giải thích: Tích vô hướng kết nối tọa độ với góc và độ dài.
Lỗi cần tránh: Trả về một bộ ba thay vì một số.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán u·v=v·u.
TỰ LUẬN 5Tính tích vô hướng của u = (2;2) và v = (4;3).
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v = 2·4 + 2·3 = 14.
Giải thích: Tích vô hướng là một số, không phải một vectơ.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc viết kết quả dưới dạng cặp.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán: u·v phải bằng v·u.
TỰ LUẬN 6Cho u=(1;0;2), v=(4;1;1). Tính u+v.
Gợi ý: Cộng từng tọa độ cùng vị trí.
Lời giải: u+v=(5;1;3).
Giải thích: Phép cộng vectơ theo tọa độ kế thừa quy tắc hình bình hành.
Lỗi cần tránh: Cộng chéo các tọa độ.
Cách khác: Trừ lại v từ kết quả để phải thu được u.
TỰ LUẬN 7Cho u=(1;3;2), v=(3;1;3). Tính u+v.
Gợi ý: Cộng từng tọa độ cùng vị trí.
Lời giải: u+v=(4;4;5).
Giải thích: Phép cộng vectơ theo tọa độ kế thừa quy tắc hình bình hành.
Lỗi cần tránh: Cộng chéo các tọa độ.
Cách khác: Trừ lại v từ kết quả để phải thu được u.
TỰ LUẬN 8Cho u=(1;-1;2), v=(2;1;-3). Tính u+v.
Gợi ý: Cộng từng tọa độ cùng vị trí.
Lời giải: u+v=(3;0;-1).
Giải thích: Phép cộng vectơ theo tọa độ kế thừa quy tắc hình bình hành.
Lỗi cần tránh: Cộng chéo các tọa độ.
Cách khác: Trừ lại v từ kết quả để phải thu được u.
TỰ LUẬN 9Tính tích vô hướng của u = (-1;5) và v = (5;-2).
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v = -1·5 + 5·-2 = -15.
Giải thích: Tích vô hướng là một số, không phải một vectơ.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc viết kết quả dưới dạng cặp.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán: u·v phải bằng v·u.
TỰ LUẬN 10Tính cosin góc giữa u=(5;0;4) và v=(4;1;3). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Dùng cosθ=(u·v)/(|u||v|).
Lời giải: u·v=32; |u||v|=32,6497; cosθ≈0,9801.
Giải thích: Giá trị cos phải nằm trong [−1;1], đây là phép chặn lỗi tự nhiên.
Lỗi cần tránh: Quên chia cho tích độ dài.
Cách khác: Kiểm dấu của tích vô hướng để dự đoán góc nhọn, vuông hay tù.
TỰ LUẬN 11Tính cosin góc giữa u=(5;3;4) và v=(3;1;-3). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Dùng cosθ=(u·v)/(|u||v|).
Lời giải: u·v=6; |u||v|=30,8221; cosθ≈0,1947.
Giải thích: Giá trị cos phải nằm trong [−1;1], đây là phép chặn lỗi tự nhiên.
Lỗi cần tránh: Quên chia cho tích độ dài.
Cách khác: Kiểm dấu của tích vô hướng để dự đoán góc nhọn, vuông hay tù.
TỰ LUẬN 12Tính cosin góc giữa u=(5;-1;4) và v=(2;1;-1).
Gợi ý: Dùng cosθ=(u·v)/(|u||v|).
Lời giải: u·v=5; |u||v|=15,8745; cosθ≈0,315.
Giải thích: Giá trị cos phải nằm trong [−1;1], đây là phép chặn lỗi tự nhiên.
Lỗi cần tránh: Quên chia cho tích độ dài.
Cách khác: Kiểm dấu của tích vô hướng để dự đoán góc nhọn, vuông hay tù.
TỰ LUẬN 13Tính tích vô hướng của u = (2;3) và v = (6;0).
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v = 2·6 + 3·0 = 12.
Giải thích: Tích vô hướng là một số, không phải một vectơ.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc viết kết quả dưới dạng cặp.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán: u·v phải bằng v·u.
TỰ LUẬN 14Trong Oxyz, A(4;0;0), B(0;8;0). M chạy trên đoạn AB. Tìm giá trị nhỏ nhất OM² bằng cách tham số hóa, xác minh điểm tối ưu nằm trên đoạn.
Gợi ý: M=A+t(B−A)=(4(1−t);8t;0), 0≤t≤1
Lời giải: M=A+t(B−A)=(4(1−t);8t;0), 0≤t≤1. OM²=16(1−2t+5t²)=80(t−1/5)²+64/5. Vì t=1/5 thuộc [0;1], giá trị nhỏ nhất là 64/5.
Giải thích: M=A+t(B−A)=(4(1−t);8t;0), 0≤t≤1. OM²=16(1−2t+5t²)=80(t−1/5)²+64/5. Vì t=1/5 thuộc [0;1], giá trị nhỏ nhất là 64/5.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 15Tính góc giữa hai vectơ u = (6; 6; 0) và v = (1; 0; 1).
Gợi ý: u·v = 6; |u| = 6√2, |v| = 1√2 nên cos(u,v) = 1/2.
Lời giải: u·v = 6; |u| = 6√2, |v| = 1√2 nên cos(u,v) = 1/2. Góc giữa hai vectơ thuộc [0°;180°]; cos bằng 1/2 nên góc bằng 60°.
Giải thích: u·v = 6; |u| = 6√2, |v| = 1√2 nên cos(u,v) = 1/2. Góc giữa hai vectơ thuộc [0°;180°]; cos bằng 1/2 nên góc bằng 60°.
Lỗi cần tránh: Dùng tích vô hướng làm luôn số đo góc hoặc quên chia cho độ dài.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 16Xét u=(4;-1;6) và v=(2;1;1) có vuông góc không.
Gợi ý: Hai vectơ khác vectơ không vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Lời giải: u·v=13; do đó u và v không vuông góc.
Giải thích: Tiêu chuẩn tích vô hướng biến bài toán góc thành phép tính tọa độ.
Lỗi cần tránh: So từng tọa độ riêng lẻ hoặc chỉ nhìn hình.
Cách khác: Nếu dot khác 0, dấu của dot còn cho biết góc nhọn hay tù.
TỰ LUẬN 17Tính tích vô hướng của u = (-1;1) và v = (2;2).
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v = -1·2 + 1·2 = 0.
Giải thích: Tích vô hướng là một số, không phải một vectơ.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc viết kết quả dưới dạng cặp.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán: u·v phải bằng v·u.
TỰ LUẬN 18Vectơ u=(1; 2; 2) có độ dài 3. Tính độ dài của 2u.
Gợi ý: |2u|=|2|·|u|=2·3=6.
Lời giải: |2u|=|2|·|u|=2·3=6. Vậy kết quả cần chọn là 6.
Giải thích: |2u|=|2|·|u|=2·3=6. Vậy kết quả cần chọn là 6.
Lỗi cần tránh: Cộng các tọa độ thay vì cộng bình phương từng tọa độ khi tính độ dài.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 19Cho u = (2; 4; 1) và v = (-1; 1; 1). Tính tích vô hướng u·v.
Gợi ý: Tích vô hướng bằng tổng các tích tọa độ tương ứng.
Lời giải: Tích vô hướng bằng tổng các tích tọa độ tương ứng. u·v = 2·-1 + 4·1 + 1·1 = 3.
Giải thích: Tích vô hướng bằng tổng các tích tọa độ tương ứng. u·v = 2·-1 + 4·1 + 1·1 = 3.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc quên dấu của số âm.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 20ABCD là hình bình hành với A(0; 1; -2), B(3; 3; -1), D(-1; 4; 0). Tính OC², trong đó O là gốc tọa độ.
Gợi ý: Trong hình bình hành, C = B + D − A theo từng tọa độ.
Lời giải: Trong hình bình hành, C = B + D − A theo từng tọa độ. Suy ra C = (2; 6; 1); do đó OC² = 2² + 6² + 1² = 41.
Giải thích: Trong hình bình hành, C = B + D − A theo từng tọa độ. Suy ra C = (2; 6; 1); do đó OC² = 2² + 6² + 1² = 41.
Lỗi cần tránh: Quên trừ A khi tìm C hoặc tính OC bằng tổng tọa độ thay vì tổng bình phương.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B8-NB-01, B8-NB-02, B8-NB-03, B8-NB-04, B8-NB-05, B8-NB-06, B8-NB-07, B8-NB-08, B8-NB-09, B8-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B8-NB-01: 1
- B8-NB-02: (5; -1)
- B8-NB-03: √2
- B8-NB-04: 0,9733
- B8-NB-05: (1;-1;-1)
- B8-NB-06: 3
- B8-NB-07: √22
- B8-NB-08: không vuông góc
- B8-NB-09: -0,1237
- B8-NB-10: (0;2;1)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 2
10 câu đại diện: B8-NB-11, B8-NB-12, B8-NB-13, B8-NB-14, B8-NB-15, B8-NB-16, B8-NB-17, B8-NB-18, B8-NB-19, B8-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B8-NB-11: 14
- B8-NB-12: √22
- B8-NB-13: không vuông góc
- B8-NB-14: 0,2582
- B8-NB-15: (-1;-2;3)
- B8-NB-16: 18
- B8-NB-17: √19
- B8-NB-18: không vuông góc
- B8-NB-19: 0,2108
- B8-NB-20: (5;1;5)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B8-TH-01, B8-TH-02, B8-TH-03, B8-TH-04, B8-TH-05, B8-TH-06, B8-TH-07, B8-TH-08, B8-TH-09, B8-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B8-TH-01: 14
- B8-TH-02: (9; -4)
- B8-TH-03: √20
- B8-TH-04: không vuông góc
- B8-TH-05: -0,6325
- B8-TH-06: (5;1;3)
- B8-TH-07: 19
- B8-TH-08: √27
- B8-TH-09: không vuông góc
- B8-TH-10: 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B8-TH-11, B8-TH-12, B8-TH-13, B8-TH-14, B8-TH-15, B8-TH-16, B8-TH-17, B8-TH-18, B8-TH-19, B8-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B8-TH-11: (4;4;5)
- B8-TH-12: -17
- B8-TH-13: √18
- B8-TH-14: không vuông góc
- B8-TH-15: -0,0378
- B8-TH-16: (3;0;-1)
- B8-TH-17: -6
- B8-TH-18: √27
- B8-TH-19: không vuông góc
- B8-TH-20: 0,245
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B8-VD-01, B8-VD-02, B8-VD-03, B8-VD-04, B8-VD-05, B8-VD-06, B8-VD-07, B8-VD-08, B8-VD-09, B8-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B8-VD-01: -15
- B8-VD-02: (2; 0)
- B8-VD-03: √5
- B8-VD-04: 5
- B8-VD-05: không vuông góc
- B8-VD-06: 0,9801
- B8-VD-07: (2;3;-1)
- B8-VD-08: -12
- B8-VD-09: √19
- B8-VD-10: không vuông góc
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.