Tách đúng nguyên nhân
Phân biệt lỗi mô hình, điều kiện, công thức, tính toán và diễn giải.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- P(A|B)=P(A∩B)/P(B), với P(B)>0.
- P(A∩B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).
- A,B độc lập khi P(A|B)=P(A) nếu P(B)>0.
Bài tập cuối Chương 6
Kiểm định trọn mạch xác suất có điều kiện → quy tắc nhân → phân hoạch → xác suất toàn phần → Bayes; mọi xác suất phải có mẫu số và điều kiện diễn giải rõ.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Nhìn mạch cả chương
Câu tổng hợp buộc gọi các nút theo đúng thứ tự thay vì nhận dạng mẹo.
Ba dạng trắc nghiệm
Nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn cùng kiểm một năng lực.
Sửa lỗi rồi mới đi tiếp
Đạt điểm, giải thích được ba lỗi gần nhất và làm lại sau 7 ngày.
- Tính và diễn giải P(A|B).
- Dùng quy tắc nhân theo đúng thứ tự điều kiện.
- Đọc bảng hai chiều và sơ đồ cây.
- Phân biệt độc lập với xung khắc.
- Kiểm tra một hệ biến cố có tạo phân hoạch hay không.
- Tính xác suất toàn phần bằng các nhánh loại trừ nhau.
- Tính xác suất hậu nghiệm bằng Bayes.
- Diễn giải đúng xác suất nền và tác động của bằng chứng.
- 15% ôn nối từ chương hoặc lớp trước có quan hệ trực tiếp.
- Xác suất cổ điển, biến cố hợp–giao, quy tắc cộng–nhân và độc lập
- Bài 18, phân hoạch, sơ đồ cây và quy tắc nhân xác suất
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Khái niệm xác suất có điều kiện
Hiểu đơn giản: Khi biết B đã xảy ra, chỉ xét các kết quả nằm trong B.
P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0.
Ví dụ: Trong nhóm đã mua hàng, tỉ lệ quay lại là số vừa mua vừa quay lại chia số đã mua.
Hình nên dùng: Khung Ω thu nhỏ thành B.
Mô phỏng: Bật/tắt điều kiện B.
Mẹo nhớ: Sau dấu | là mẫu số mới.
Sai lầm: Đọc A|B thành B khi biết A.
Ghi chú: P(A|B) và P(B|A) thường khác nhau.
Quy tắc nhân
Hiểu đơn giản: Xác suất đi hết một nhánh bằng xác suất bước đầu nhân xác suất bước sau có điều kiện.
P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B).
Ví dụ: Chọn loại hàng A rồi gặp lỗi B.
Hình nên dùng: Sơ đồ cây hai tầng.
Mô phỏng: Thay xác suất nhánh.
Mẹo nhớ: Dọc nhánh nhân.
Sai lầm: Cộng các xác suất dọc một nhánh.
Ghi chú: Thứ tự sự kiện có thể đổi nhưng điều kiện phải đổi theo.
Bảng hai chiều
Hiểu đơn giản: Bảng đếm giúp thấy rõ tử là ô giao và mẫu là tổng hàng hoặc cột điều kiện.
P(A|B)=n(A∩B)/n(B) khi lấy ngẫu nhiên đều từ bảng.
Ví dụ: 12 trong 40 người thuộc B cũng thuộc A ⇒ P(A|B)=12/40.
Hình nên dùng: Ô giao được tô trong hàng B.
Mô phỏng: Chọn hàng/cột điều kiện.
Mẹo nhớ: Ô giao chia biên điều kiện.
Sai lầm: Chia ô giao cho tổng toàn bảng.
Ghi chú: Luôn ghi bằng lời nhóm điều kiện là ai.
Độc lập và xung khắc
Hiểu đơn giản: Độc lập: biết biến cố này không đổi xác suất biến cố kia; xung khắc: hai biến cố không thể cùng xảy ra.
Độc lập ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B); xung khắc ⇔ A∩B=∅.
Ví dụ: Hai lần tung đồng xu độc lập; ra ngửa và ra sấp trong cùng một lần là xung khắc.
Hình nên dùng: Hai sơ đồ Venn đối lập.
Mô phỏng: Thay P(A),P(B).
Mẹo nhớ: Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra.
Sai lầm: Cho rằng không ảnh hưởng nghĩa là không giao nhau.
Ghi chú: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Phân hoạch không gian mẫu
Hiểu đơn giản: Chia mọi khả năng thành các nhóm không chồng nhau và không bỏ sót.
Bᵢ∩Bⱼ=∅ với i≠j và ⋃Bᵢ=Ω.
Ví dụ: Sản phẩm đến từ đúng một trong ba dây chuyền.
Hình nên dùng: Ω được ghép từ các mảnh.
Mô phỏng: Bật nhánh chồng hoặc thiếu.
Mẹo nhớ: Mỗi kết quả đúng một nhánh.
Sai lầm: Chỉ kiểm tổng xác suất mà không kiểm giao.
Ghi chú: Khi dùng P(A|Bᵢ), cần P(Bᵢ)>0.
Công thức xác suất toàn phần
Hiểu đơn giản: Tính xác suất A bằng cách cộng mọi đường đi loại trừ nhau dẫn tới A.
P(A)=ΣᵢP(Bᵢ)P(A|Bᵢ).
Ví dụ: Lỗi có thể đến từ dây chuyền 1 hoặc 2.
Hình nên dùng: Cây phân nhánh và các lá A.
Mô phỏng: Thay tỉ lệ nguồn.
Mẹo nhớ: Nhân dọc, cộng lá.
Sai lầm: Cộng P(A|Bᵢ) mà bỏ P(Bᵢ).
Ghi chú: Kết quả phải nằm trong [0;1].
Công thức Bayes
Hiểu đơn giản: Sau khi quan sát A, tính lại khả năng A đến từ nhánh Bₖ.
P(Bₖ|A)=P(Bₖ)P(A|Bₖ)/ΣᵢP(Bᵢ)P(A|Bᵢ).
Ví dụ: Biết sản phẩm lỗi, tìm xác suất nó đến từ máy 1.
Hình nên dùng: Cây được đọc ngược từ lá.
Mô phỏng: Chọn một lá bằng chứng.
Mẹo nhớ: Trọng số nhánh phù hợp chia tổng bằng chứng.
Sai lầm: Cho P(B|A)=P(A|B).
Ghi chú: Tử số phải là xác suất giao của nhánh cần tìm với bằng chứng.
Diễn giải và tỉ lệ nền
Hiểu đơn giản: Bằng chứng mạnh vẫn phải được đặt cạnh xác suất nền của giả thuyết.
Posterior ∝ prior × likelihood; chuẩn hóa để tổng posterior bằng 1.
Ví dụ: Bệnh hiếm có thể tạo nhiều dương tính giả hơn ca bệnh thật.
Hình nên dùng: 10.000 hình người chia nhóm.
Mô phỏng: Thay prevalence.
Mẹo nhớ: Nền trước, bằng chứng sau.
Sai lầm: Chỉ nhìn độ nhạy xét nghiệm.
Ghi chú: Nêu rõ kết quả là xác suất sau khi biết bằng chứng.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Thay xác suất nền và quan sát Bayes cập nhật
A là giả thuyết, “+” là bằng chứng. Nhập P(A), P(+|A) và P(+|Ā); công cụ tính P(+) theo toàn phần rồi tính P(A|+) theo Bayes.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • C6-NB-04
Đề bài: Một xét nghiệm dương tính có đồng nghĩa người được xét nghiệm chắc chắn mắc bệnh không?
Phân tích: Phải xét cả độ nhạy, dương tính giả và tỉ lệ bệnh nền.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Phải xét cả độ nhạy, dương tính giả và tỉ lệ bệnh nền.
- Bước 2: Không. Cần tính P(bệnh|dương) bằng Bayes; kết quả thường khác P(dương|bệnh).
- Bước 3: Kết luận Không.
Vì sao: Khi bệnh hiếm, số dương tính giả có thể đáng kể dù xét nghiệm tốt.
Cách khác: Lập bảng trên 10.000 người để nhìn tần số thật.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Đảo P(bệnh|dương) thành P(dương|bệnh).
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • C6-NB-01
Đề bài: Cho P(A)=0,5. Tính P(Ā).
Phân tích: Biến cố đối có tổng xác suất bằng 1 với A.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(Ā)=1−0,5=0,5.
Vì sao: A và Ā xung khắc và hợp thành toàn bộ không gian mẫu.
Cách khác: Dùng P(A∪Ā)=1.
Tự kiểm: Kết quả: 0,5. Lấy −P(A) hoặc 1+P(A).
03 • Vận dụngVí dụ 3 • C6-TH-04
Đề bài: Biết ∫[0,1]f(x)dx=3 và ∫[1,3]f(x)dx=4. Tính ∫[0,3]f(x)dx. Cần giữ đúng hằng số và điều kiện đã cho.
Phân tích: Dùng tính chất cộng trên hai đoạn kề nhau.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Dùng tính chất cộng trên hai đoạn kề nhau. ∫[0,3]f=∫[0,1]f+∫[1,3]f=3+4=7.
Vì sao: Dùng tính chất cộng trên hai đoạn kề nhau. ∫[0,3]f=∫[0,1]f+∫[1,3]f=3+4=7.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 7. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • C6-TH-01
Đề bài: Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,5, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).
Phân tích: Với hai biến cố độc lập, xác suất giao bằng tích.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(A∩B)=P(A)P(B)=0,2.
Vì sao: Độc lập là điều kiện cho phép nhân trực tiếp hai xác suất không điều kiện.
Cách khác: Kiểm P(A|B)=P(A).
Tự kiểm: Kết quả: 0,2. Cộng hai xác suất hoặc mặc định mọi biến cố đều độc lập.
05 • Thông hiểuVí dụ 5 • C6-VD-04
Đề bài: Kiểm tra lại dấu và dữ kiện trước khi kết luận. Một quy trình chọn nhánh A với xác suất 7/10, nhánh B với xác suất 3/10. Xác suất thành công theo A là 8/10, theo B là 4/10. Biết quy trình thành công, xác suất đã đi theo nhánh A là bao nhiêu?
Phân tích: P(thành công) = 7/10·8/10 + 3/10·4/10 = 68/100.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(thành công) = 7/10·8/10 + 3/10·4/10 = 68/100. Theo Bayes, P(A|thành công) = 56/68 = 14/17.
Vì sao: P(thành công) = 7/10·8/10 + 3/10·4/10 = 68/100. Theo Bayes, P(A|thành công) = 56/68 = 14/17.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 14/17. Chọn xác suất ban đầu của nhánh A mà không cập nhật theo dữ kiện thành công.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • C6-NB-14
Đề bài: Biết F'(x)=2x+3, F(0)=2. Tính F(1). Cần giữ đúng hằng số và điều kiện đã cho.
Phân tích: F(x)=x²+3x+C; từ F(0)=2 suy ra C=2.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- F(x)=x²+3x+C; từ F(0)=2 suy ra C=2. F(1)=1+3+2=6.
Vì sao: F(x)=x²+3x+C; từ F(0)=2 suy ra C=2. F(1)=1+3+2=6.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 6. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • C6-VDC-04
Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một trong hai hộp với xác suất bằng nhau. Hộp A có 3 bi đỏ và 2 bi xanh; hộp B có 2 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút hai bi không hoàn lại từ hộp đã chọn. Biết cả hai đều đỏ, tính xác suất đã chọn hộp A. Trả lời bằng phân số.
Phân tích: P(ĐĐ|A)=3(3−1)/[5(4)], P(ĐĐ|B)=2/[6(5)]
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(ĐĐ|A)=3(3−1)/[5(4)], P(ĐĐ|B)=2/[6(5)]. Hai xác suất chọn hộp đều 1/2 nên Bayes cho thương P(ĐĐ|A)/[P(ĐĐ|A)+P(ĐĐ|B)]=9/11. Hai lần rút trong cùng hộp không độc lập; không được bình phương tỉ lệ đỏ.
Vì sao: P(ĐĐ|A)=3(3−1)/[5(4)], P(ĐĐ|B)=2/[6(5)]. Hai xác suất chọn hộp đều 1/2 nên Bayes cho thương P(ĐĐ|A)/[P(ĐĐ|A)+P(ĐĐ|B)]=9/11. Hai lần rút trong cùng hộp không độc lập; không được bình phương tỉ lệ đỏ.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 9/11. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • C6-VDC-05
Đề bài: Xưởng A cung cấp 3 lô, xưởng B cung cấp 4 lô, mỗi lô có cùng số sản phẩm. Tỉ lệ lỗi của A là 1/10, của B là 1/5. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ toàn bộ, biết không lỗi. Xác suất sản phẩm từ A bằng bao nhiêu?
Phân tích: Tỉ trọng A=3/7, B=4/7
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Tỉ trọng A=3/7, B=4/7. Xác suất tốt trong mỗi nguồn lần lượt 9/10 và 4/5. Theo Bayes, P(A|tốt)=(93)/[93+8(4)]=27/59. Phải dùng biến cố đối của lỗi và trọng số sản lượng, không lấy trung bình hai tỉ lệ.
Vì sao: Tỉ trọng A=3/7, B=4/7. Xác suất tốt trong mỗi nguồn lần lượt 9/10 và 4/5. Theo Bayes, P(A|tốt)=(93)/[93+8(4)]=27/59. Phải dùng biến cố đối của lỗi và trọng số sản lượng, không lấy trung bình hai tỉ lệ.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 27/59. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
09 • Thực tếVí dụ 9 • C6-TT-04
Đề bài: Nguồn I chiếm 61% với 5% lỗi; nguồn II chiếm 39% với 2% lỗi. Xác suất sản phẩm không lỗi là Các lựa chọn: A. 0,0383 ; B. 0,9617 ; C. 0,95 ; D. 0,98
Phân tích: P(không lỗi)=1−[0,61·0,05+0,39·0,02]=0,9617.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(không lỗi)=1−[0,61·0,05+0,39·0,02]=0,9617.
Vì sao: P(không lỗi)=1−[0,61·0,05+0,39·0,02]=0,9617.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 0,9617. Nhầm giao/hợp, biến cố đối, hoặc không phân biệt xác suất có điều kiện.
10 • Thực tếVí dụ 10 • C6-TH-14
Đề bài: Dùng kiến thức Toán 12 để xử lí. Hộp có 4 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút liên tiếp hai bi không hoàn lại. Biết bi đầu đỏ, xác suất bi thứ hai đỏ là bao nhiêu?
Phân tích: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 3 bi đỏ trong tổng 6 bi.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 3 bi đỏ trong tổng 6 bi. Vì vậy xác suất cần tìm là 3/6 = 1/2.
Vì sao: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 3 bi đỏ trong tổng 6 bi. Vì vậy xác suất cần tìm là 3/6 = 1/2.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 1/2. Giữ nguyên cả tử lẫn mẫu như trước lần rút thứ nhất.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Xác suất có điều kiện trong gia đình
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo.
Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes trong trường học
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định.
Xác suất có điều kiện trong đời sống
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo.
Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes trong khoa học
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định.
Xác suất có điều kiện trong kỹ thuật
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo.
Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes trong sản xuất
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định.
Xác suất có điều kiện trong thiên nhiên
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo.
Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes trong nghề nghiệp
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Khái niệm xác suất có điều kiện theo cách trực quan?
Khi biết B đã xảy ra, chỉ xét các kết quả nằm trong B. Phát biểu chính xác: P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0. Ví dụ: Trong nhóm đã mua hàng, tỉ lệ quay lại là số vừa mua vừa quay lại chia số đã mua. Mẹo: Sau dấu | là mẫu số mới. Cần tránh: Đọc A|B thành B khi biết A.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Đảo P(A|B) thành P(B|A)
Đọc A|B thành B khi biết A. Sửa bằng: Sau dấu | là mẫu số mới. Kiểm cuối: P(A|B) và P(B|A) thường khác nhau.
Chia cho tổng toàn bộ thay vì nhóm B
Cộng các xác suất dọc một nhánh. Sửa bằng: Dọc nhánh nhân. Kiểm cuối: Thứ tự sự kiện có thể đổi nhưng điều kiện phải đổi theo.
Nhầm độc lập với xung khắc
Chia ô giao cho tổng toàn bảng. Sửa bằng: Ô giao chia biên điều kiện. Kiểm cuối: Luôn ghi bằng lời nhóm điều kiện là ai.
Dùng điều kiện có xác suất bằng 0
Cho rằng không ảnh hưởng nghĩa là không giao nhau. Sửa bằng: Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Sai thứ tự nhánh sơ đồ cây
Đọc A|B thành B khi biết A. Sửa bằng: Sau dấu | là mẫu số mới. Kiểm cuối: P(A|B) và P(B|A) thường khác nhau.
Đảo P(A|B) thành P(B|A) – tình huống 6
Cộng các xác suất dọc một nhánh. Sửa bằng: Dọc nhánh nhân. Kiểm cuối: Thứ tự sự kiện có thể đổi nhưng điều kiện phải đổi theo.
Chia cho tổng toàn bộ thay vì nhóm B – tình huống 7
Chia ô giao cho tổng toàn bảng. Sửa bằng: Ô giao chia biên điều kiện. Kiểm cuối: Luôn ghi bằng lời nhóm điều kiện là ai.
Nhầm độc lập với xung khắc – tình huống 8
Cho rằng không ảnh hưởng nghĩa là không giao nhau. Sửa bằng: Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Dùng điều kiện có xác suất bằng 0 – tình huống 9
Đọc A|B thành B khi biết A. Sửa bằng: Sau dấu | là mẫu số mới. Kiểm cuối: P(A|B) và P(B|A) thường khác nhau.
Sai thứ tự nhánh sơ đồ cây – tình huống 10
Cộng các xác suất dọc một nhánh. Sửa bằng: Dọc nhánh nhân. Kiểm cuối: Thứ tự sự kiện có thể đổi nhưng điều kiện phải đổi theo.
Đảo P(A|B) thành P(B|A) – tình huống 11
Chia ô giao cho tổng toàn bảng. Sửa bằng: Ô giao chia biên điều kiện. Kiểm cuối: Luôn ghi bằng lời nhóm điều kiện là ai.
Chia cho tổng toàn bộ thay vì nhóm B – tình huống 12
Cho rằng không ảnh hưởng nghĩa là không giao nhau. Sửa bằng: Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Nhầm độc lập với xung khắc – tình huống 13
Đọc A|B thành B khi biết A. Sửa bằng: Sau dấu | là mẫu số mới. Kiểm cuối: P(A|B) và P(B|A) thường khác nhau.
Dùng điều kiện có xác suất bằng 0 – tình huống 14
Cộng các xác suất dọc một nhánh. Sửa bằng: Dọc nhánh nhân. Kiểm cuối: Thứ tự sự kiện có thể đổi nhưng điều kiện phải đổi theo.
Sai thứ tự nhánh sơ đồ cây – tình huống 15
Chia ô giao cho tổng toàn bảng. Sửa bằng: Ô giao chia biên điều kiện. Kiểm cuối: Luôn ghi bằng lời nhóm điều kiện là ai.
Đảo P(A|B) thành P(B|A) – tình huống 16
Cho rằng không ảnh hưởng nghĩa là không giao nhau. Sửa bằng: Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Chia cho tổng toàn bộ thay vì nhóm B – tình huống 17
Đọc A|B thành B khi biết A. Sửa bằng: Sau dấu | là mẫu số mới. Kiểm cuối: P(A|B) và P(B|A) thường khác nhau.
Nhầm độc lập với xung khắc – tình huống 18
Cộng các xác suất dọc một nhánh. Sửa bằng: Dọc nhánh nhân. Kiểm cuối: Thứ tự sự kiện có thể đổi nhưng điều kiện phải đổi theo.
Dùng điều kiện có xác suất bằng 0 – tình huống 19
Chia ô giao cho tổng toàn bảng. Sửa bằng: Ô giao chia biên điều kiện. Kiểm cuối: Luôn ghi bằng lời nhóm điều kiện là ai.
Sai thứ tự nhánh sơ đồ cây – tình huống 20
Cho rằng không ảnh hưởng nghĩa là không giao nhau. Sửa bằng: Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Bài tập cuối Chương 61 2 3 4 5 6 7 8
Khái niệm xác suất có điều kiệnP(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0. Sau dấu | là mẫu số mới.
Quy tắc nhânP(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B). Dọc nhánh nhân.
Bảng hai chiềuP(A|B)=n(A∩B)/n(B) khi lấy ngẫu nhiên đều từ bảng. Ô giao chia biên điều kiện.
Độc lập và xung khắcĐộc lập ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B); xung khắc ⇔ A∩B=∅. Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra.
Phân hoạch không gian mẫuBᵢ∩Bⱼ=∅ với i≠j và ⋃Bᵢ=Ω. Mỗi kết quả đúng một nhánh.
Công thức xác suất toàn phầnP(A)=ΣᵢP(Bᵢ)P(A|Bᵢ). Nhân dọc, cộng lá.
Công thức BayesP(Bₖ|A)=P(Bₖ)P(A|Bₖ)/ΣᵢP(Bᵢ)P(A|Bᵢ). Trọng số nhánh phù hợp chia tổng bằng chứng.
Diễn giải và tỉ lệ nềnPosterior ∝ prior × likelihood; chuẩn hóa để tổng posterior bằng 1. Nền trước, bằng chứng sau.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
C6-NB-01Cho P(A)=0,5. Tính P(Ā).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Biến cố đối có tổng xác suất bằng 1 với A.
Lời giải: P(Ā)=1−0,5=0,5.
Vì sao: A và Ā xung khắc và hợp thành toàn bộ không gian mẫu.
Sai ở đâu: Lấy −P(A) hoặc 1+P(A).
Cách khác: Dùng P(A∪Ā)=1.
C6-NB-02Cho P(A)=0,2, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,1. Tính P(A∪B).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng công thức cộng tổng quát.
Lời giải: P(A∪B)=0,2+0,3−0,1=0,4.
Vì sao: Phần giao bị đếm hai lần nên phải trừ một lần.
Sai ở đâu: Cộng P(A)+P(B) mà không trừ giao.
Cách khác: Vẽ sơ đồ Venn để thấy phần giao.
C6-NB-03Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,3, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Với hai biến cố độc lập, xác suất giao bằng tích.
Lời giải: P(A∩B)=P(A)P(B)=0,12.
Vì sao: Độc lập là điều kiện cho phép nhân trực tiếp hai xác suất không điều kiện.
Sai ở đâu: Cộng hai xác suất hoặc mặc định mọi biến cố đều độc lập.
Cách khác: Kiểm P(A|B)=P(A).
C6-NB-04Một xét nghiệm dương tính có đồng nghĩa người được xét nghiệm chắc chắn mắc bệnh không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Phải xét cả độ nhạy, dương tính giả và tỉ lệ bệnh nền.
Lời giải: Không. Cần tính P(bệnh|dương) bằng Bayes; kết quả thường khác P(dương|bệnh).
Vì sao: Khi bệnh hiếm, số dương tính giả có thể đáng kể dù xét nghiệm tốt.
Sai ở đâu: Đảo P(bệnh|dương) thành P(dương|bệnh).
Cách khác: Lập bảng trên 10.000 người để nhìn tần số thật.
C6-NB-05Cho P(B)=0,8, P(A∩B)=0,16. Tính P(A|B).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thu hẹp không gian xét vào B rồi lấy phần A∩B chia cho B.
Lời giải: P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0,2.
Vì sao: Điều kiện B làm thay đổi mẫu số của phép đo xác suất.
Sai ở đâu: Đảo thành P(B|A) hoặc chia cho P(A).
Cách khác: Vẽ B thành toàn bộ khung mới.
C6-NB-06Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,6, P(L|B)=0,1, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Lời giải: P(A|L)=0,3·0,6/0,25=0,72.
Vì sao: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Sai ở đâu: Cho P(A|L)=P(L|A).
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
C6-NB-07Cho P(A)=0,4 và P(A|B)=0,4, với P(B)>0. A và B có độc lập không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh P(A|B) với P(A).
Lời giải: Hai giá trị bằng nhau nên A và B độc lập.
Vì sao: Khi biết B không làm thay đổi xác suất của A, hai biến cố độc lập.
Sai ở đâu: Nhầm độc lập với xung khắc.
Cách khác: Có thể kiểm tương đương P(A∩B)=P(A)P(B).
C6-NB-08Hai giả thuyết A, B tạo thành phân hoạch, P(A)=0,5, P(B)=0,5. Bằng chứng L có P(L|A)=0,8, P(L|B)=0,3. Tính odds sau P(A|L)/P(B|L), làm tròn đến 4 chữ số thập phân.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Odds sau bằng odds trước nhân tỉ số khả dĩ.
Lời giải: Trong dữ kiện này, odds trước=1, tỉ số khả dĩ=2,6667, nên odds sau=2,6667.
Vì sao: Bayes cập nhật niềm tin theo sức phân biệt của bằng chứng, không chỉ theo xác suất nền.
Sai ở đâu: Bỏ qua prior và chỉ nhìn likelihood.
Cách khác: Đổi odds sau về xác suất để kiểm với công thức Bayes.
C6-NB-09Hai biến cố xung khắc A, B đều có xác suất dương. Chúng có độc lập không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nếu xung khắc thì P(A∩B)=0; nếu độc lập thì giao phải bằng P(A)P(B)>0.
Lời giải: Không. Hai điều kiện mâu thuẫn khi P(A),P(B)>0.
Vì sao: Xung khắc nói không thể cùng xảy ra; độc lập nói việc biết biến cố này không đổi xác suất biến cố kia.
Sai ở đâu: Đồng nhất xung khắc với độc lập.
Cách khác: So sánh hai công thức của P(A∩B).
C6-NB-10Một nguồn được chọn từ A với xác suất 0,2, từ B với xác suất 0,8. Xác suất lỗi lần lượt là 0,7 và 0,1. Tính xác suất có lỗi.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai nguồn tạo một phân hoạch; cộng xác suất theo từng nhánh.
Lời giải: P(L)=0,2·0,7+0,8·0,1=0,22.
Vì sao: Công thức toàn phần cộng các đường đi loại trừ nhau dẫn tới cùng biến cố.
Sai ở đâu: Cộng hai xác suất lỗi mà không nhân xác suất chọn nguồn.
Cách khác: Dùng sơ đồ cây và cộng hai lá lỗi.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Biết F'(x)=2x+3, F(0)=2. Tính F(1). Cần giữ đúng hằng số và điều kiện đã cho.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Bài tập cuối Chương 6”:
- a) P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Khi biết B đã xảy ra, chỉ xét các kết quả nằm trong B. Ví dụ kiểm chứng: Trong nhóm đã mua hàng, tỉ lệ quay lại là số vừa mua vừa quay lại chia số đã mua.
- b) P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Xác suất đi hết một nhánh bằng xác suất bước đầu nhân xác suất bước sau có điều kiện. Ví dụ kiểm chứng: Chọn loại hàng A rồi gặp lỗi B.
- c) P(A|B)=n(A∩B)/n(B) khi lấy ngẫu nhiên đều từ bảng.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Bảng đếm giúp thấy rõ tử là ô giao và mẫu là tổng hàng hoặc cột điều kiện. Ví dụ kiểm chứng: 12 trong 40 người thuộc B cũng thuộc A ⇒ P(A|B)=12/40.
- d) Độc lập ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B); xung khắc ⇔ A∩B=∅.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Độc lập: biết biến cố này không đổi xác suất biến cố kia; xung khắc: hai biến cố không thể cùng xảy ra. Ví dụ kiểm chứng: Hai lần tung đồng xu độc lập; ra ngửa và ra sấp trong cùng một lần là xung khắc.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Cho P(A)=0,4, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).
Đáp án
0,55
- Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,4, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).
Đáp án
0,16
- Cho P(A)=0,4. Tính P(Ā).
Đáp án
0,6
- Chọn ngẫu nhiên một trong hai hộp với xác suất bằng nhau. Hộp A có 3 bi đỏ và 2 bi xanh; hộp B có 2 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút hai bi không hoàn lại từ hộp đã chọn. Biết cả hai đều đỏ, tính xác suất đã chọn hộp A. Trả lời bằng phân số.
Đáp án
9/11
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Cho P(A)=0,5. Tính P(Ā).
Gợi ý: Biến cố đối có tổng xác suất bằng 1 với A.
Lời giải: P(Ā)=1−0,5=0,5.
Giải thích: A và Ā xung khắc và hợp thành toàn bộ không gian mẫu.
Lỗi cần tránh: Lấy −P(A) hoặc 1+P(A).
Cách khác: Dùng P(A∪Ā)=1.
TỰ LUẬN 2Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,6, P(L|B)=0,1, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L).
Gợi ý: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Lời giải: P(A|L)=0,3·0,6/0,25=0,72.
Giải thích: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Lỗi cần tránh: Cho P(A|L)=P(L|A).
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
TỰ LUẬN 3Biết P(B)=0,6 và P(A|B)=0,3. Tính P(A∩B).
Gợi ý: Dùng quy tắc nhân P(A∩B)=P(B)P(A|B).
Lời giải: P(A∩B)=0,6·0,3=0,18.
Giải thích: Quy tắc nhân luôn đúng khi xác suất có điều kiện được xác định.
Lỗi cần tránh: Cộng hai xác suất.
Cách khác: Thay vào định nghĩa P(A|B) rồi chuyển vế.
TỰ LUẬN 4Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,7, P(L|B)=0,3, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L).
Gợi ý: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Lời giải: P(A|L)=0,3·0,7/0,42=0,5.
Giải thích: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Lỗi cần tránh: Cho P(A|L)=P(L|A).
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
TỰ LUẬN 5Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,5, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).
Gợi ý: Với hai biến cố độc lập, xác suất giao bằng tích.
Lời giải: P(A∩B)=P(A)P(B)=0,2.
Giải thích: Độc lập là điều kiện cho phép nhân trực tiếp hai xác suất không điều kiện.
Lỗi cần tránh: Cộng hai xác suất hoặc mặc định mọi biến cố đều độc lập.
Cách khác: Kiểm P(A|B)=P(A).
TỰ LUẬN 6Biết P(B)=0,5 và P(A|B)=0,3. Tính P(A∩B).
Gợi ý: Dùng quy tắc nhân P(A∩B)=P(B)P(A|B).
Lời giải: P(A∩B)=0,5·0,3=0,15.
Giải thích: Quy tắc nhân luôn đúng khi xác suất có điều kiện được xác định.
Lỗi cần tránh: Cộng hai xác suất.
Cách khác: Thay vào định nghĩa P(A|B) rồi chuyển vế.
TỰ LUẬN 7Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,7, P(L|B)=0,2, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L).
Gợi ý: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Lời giải: P(A|L)=0,3·0,7/0,35=0,6.
Giải thích: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Lỗi cần tránh: Cho P(A|L)=P(L|A).
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
TỰ LUẬN 8Biết P(B)=0,7 và P(A|B)=0,3. Tính P(A∩B).
Gợi ý: Dùng quy tắc nhân P(A∩B)=P(B)P(A|B).
Lời giải: P(A∩B)=0,7·0,3=0,21.
Giải thích: Quy tắc nhân luôn đúng khi xác suất có điều kiện được xác định.
Lỗi cần tránh: Cộng hai xác suất.
Cách khác: Thay vào định nghĩa P(A|B) rồi chuyển vế.
TỰ LUẬN 9Cho P(A)=0,5, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).
Gợi ý: Dùng công thức cộng tổng quát.
Lời giải: P(A∪B)=0,5+0,3−0,15=0,65.
Giải thích: Phần giao bị đếm hai lần nên phải trừ một lần.
Lỗi cần tránh: Cộng P(A)+P(B) mà không trừ giao.
Cách khác: Vẽ sơ đồ Venn để thấy phần giao.
TỰ LUẬN 10Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,7, P(L|B)=0,1, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L).
Gợi ý: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Lời giải: P(A|L)=0,3·0,7/0,28=0,75.
Giải thích: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Lỗi cần tránh: Cho P(A|L)=P(L|A).
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
TỰ LUẬN 11Phân tích dữ kiện theo từng bước. Một dấu hiệu có ở 20% số trường hợp. Phép kiểm tra dương tính ở 80% trường hợp có dấu hiệu và 10% trường hợp không có dấu hiệu. Biết kết quả dương tính, xác suất trường hợp đó thật sự có dấu hiệu là bao nhiêu?
Gợi ý: Gọi A là có dấu hiệu, B là dương tính. Khi đó P(A)=2/10, P(B|A)=8/10, P(B|Ā)=1/10.
Lời giải: Gọi A là có dấu hiệu, B là dương tính. Khi đó P(A)=2/10, P(B|A)=8/10, P(B|Ā)=1/10. Bayes cho P(A|B) = 16/[16+8] = 2/3.
Giải thích: Gọi A là có dấu hiệu, B là dương tính. Khi đó P(A)=2/10, P(B|A)=8/10, P(B|Ā)=1/10. Bayes cho P(A|B) = 16/[16+8] = 2/3.
Lỗi cần tránh: Coi độ nhạy 80% là xác suất có dấu hiệu khi đã dương tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 12Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,8, P(L|B)=0,3, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Lời giải: P(A|L)=0,3·0,8/0,45=0,5333.
Giải thích: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Lỗi cần tránh: Cho P(A|L)=P(L|A).
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
TỰ LUẬN 13Cho P(A)=0,4, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).
Gợi ý: Dùng công thức cộng tổng quát.
Lời giải: P(A∪B)=0,4+0,3−0,15=0,55.
Giải thích: Phần giao bị đếm hai lần nên phải trừ một lần.
Lỗi cần tránh: Cộng P(A)+P(B) mà không trừ giao.
Cách khác: Vẽ sơ đồ Venn để thấy phần giao.
TỰ LUẬN 14Một phép thử cho hai biến cố A,B: P(A)=1/2, P(B|A)=1/3, P(B|Ā)=1/6. Tính P(Ā|B̄) bằng phân số, vẽ đủ bốn nhánh của cây xác suất.
Gợi ý: P(A∩B̄)=1/2·2/3; P(Ā∩B̄)=1/2·(5/6)
Lời giải: P(A∩B̄)=1/2·2/3; P(Ā∩B̄)=1/2·(5/6). Lấy nhánh thứ hai chia tổng hai nhánh B̄ được 5/9. Điều kiện là B̄ nên không thể dùng mẫu số P(B).
Giải thích: P(A∩B̄)=1/2·2/3; P(Ā∩B̄)=1/2·(5/6). Lấy nhánh thứ hai chia tổng hai nhánh B̄ được 5/9. Điều kiện là B̄ nên không thể dùng mẫu số P(B).
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 15Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,8, P(L|B)=0,2, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Lời giải: P(A|L)=0,3·0,8/0,38=0,6316.
Giải thích: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Lỗi cần tránh: Cho P(A|L)=P(L|A).
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
TỰ LUẬN 16Nguồn I cung cấp 29% sản phẩm và có 4% lỗi; nguồn II cung cấp 71% và có 1% lỗi. Biết sản phẩm không bị lỗi, tính xác suất nó đến từ nguồn I (làm tròn 3 chữ số thập phân).
Gợi ý: P(L)=0,29·0,04+0,71·0,01=0,0187; P(không lỗi)=0,9813.
Lời giải: P(L)=0,29·0,04+0,71·0,01=0,0187; P(không lỗi)=0,9813. Theo công thức Bayes, xác suất = (0,29·0,96)/0,9813≈0,284.
Giải thích: P(L)=0,29·0,04+0,71·0,01=0,0187; P(không lỗi)=0,9813. Theo công thức Bayes, xác suất = (0,29·0,96)/0,9813≈0,284.
Lỗi cần tránh: Không nhân tỉ trọng nguồn hoặc dùng sai biến cố ở mẫu số.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 17Xưởng A cung cấp 4 lô, xưởng B cung cấp 5 lô, mỗi lô có cùng số sản phẩm. Tỉ lệ lỗi của A là 1/10, của B là 1/5. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ toàn bộ, biết không lỗi. Xác suất sản phẩm từ A bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Tỉ trọng A=4/9, B=5/9
Lời giải: Tỉ trọng A=4/9, B=5/9. Xác suất tốt trong mỗi nguồn lần lượt 9/10 và 4/5. Theo Bayes, P(A|tốt)=(94)/[94+8(5)]=9/19. Phải dùng biến cố đối của lỗi và trọng số sản lượng, không lấy trung bình hai tỉ lệ.
Giải thích: Tỉ trọng A=4/9, B=5/9. Xác suất tốt trong mỗi nguồn lần lượt 9/10 và 4/5. Theo Bayes, P(A|tốt)=(94)/[94+8(5)]=9/19. Phải dùng biến cố đối của lỗi và trọng số sản lượng, không lấy trung bình hai tỉ lệ.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 18Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,8, P(L|B)=0,1, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Lời giải: P(A|L)=0,3·0,8/0,31=0,7742.
Giải thích: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Lỗi cần tránh: Cho P(A|L)=P(L|A).
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
TỰ LUẬN 19Tìm m biết ∫[0,1](mx+3)dx=6. Cần giữ đúng hằng số và điều kiện đã cho.
Gợi ý: Tích phân bằng m/2+3.
Lời giải: Tích phân bằng m/2+3. Giải m/2+3=6 cho m=6.
Giải thích: Tích phân bằng m/2+3. Giải m/2+3=6 cho m=6.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 20Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,6, P(L|B)=0,3, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Lời giải: P(A|L)=0,3·0,6/0,39=0,4615.
Giải thích: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Lỗi cần tránh: Cho P(A|L)=P(L|A).
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: C6-NB-01, C6-NB-02, C6-NB-03, C6-NB-04, C6-NB-05, C6-NB-06, C6-NB-07, C6-NB-08, C6-NB-09, C6-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C6-NB-01: 0,5
- C6-NB-02: 0,4
- C6-NB-03: 0,12
- C6-NB-04: Không
- C6-NB-05: 0,2
- C6-NB-06: 0,72
- C6-NB-07: Có
- C6-NB-08: 2,6667
- C6-NB-09: Không
- C6-NB-10: 0,22
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 6
10 câu đại diện: C6-NB-11, C6-NB-12, C6-NB-13, C6-NB-14, C6-NB-15, C6-NB-16, C6-NB-17, C6-NB-18, C6-NB-19, C6-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C6-NB-11: 0,18
- C6-NB-12: Một phân hoạch của Ω
- C6-NB-13: 0,5
- C6-NB-14: 6
- C6-NB-15: 0,2
- C6-NB-16: 0,5
- C6-NB-17: -3
- C6-NB-18: 6
- C6-NB-19: 6
- C6-NB-20: 0,4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: C6-TH-01, C6-TH-02, C6-TH-03, C6-TH-04, C6-TH-05, C6-TH-06, C6-TH-07, C6-TH-08, C6-TH-09, C6-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C6-TH-01: 0,2
- C6-TH-02: 0,8
- C6-TH-03: 0,45
- C6-TH-04: 7
- C6-TH-05: 0,46
- C6-TH-06: 0,15
- C6-TH-07: 4
- C6-TH-08: 0,5055
- C6-TH-09: 7
- C6-TH-10: 0,2
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: C6-TH-11, C6-TH-12, C6-TH-13, C6-TH-14, C6-TH-15, C6-TH-16, C6-TH-17, C6-TH-18, C6-TH-19, C6-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C6-TH-11: 0,6
- C6-TH-12: -1
- C6-TH-13: 1,5
- C6-TH-14: 1/2
- C6-TH-15: 0,32
- C6-TH-16: 0,21
- C6-TH-17: 2%
- C6-TH-18: 0,5077
- C6-TH-19: 24/31
- C6-TH-20: 0,2
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: C6-VD-01, C6-VD-02, C6-VD-03, C6-VD-04, C6-VD-05, C6-VD-06, C6-VD-07, C6-VD-08, C6-VD-09, C6-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C6-VD-01: 0,65
- C6-VD-02: 0,08
- C6-VD-03: 0,7
- C6-VD-04: 14/17
- C6-VD-05: 16/19
- C6-VD-06: 0,75
- C6-VD-07: 2/3
- C6-VD-08: 2
- C6-VD-09: 1,6%
- C6-VD-10: 0,24
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.