Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- B₁,…,Bₙ là phân hoạch khi đôi một xung khắc và hợp bằng Ω.
- P(A)=ΣP(Bᵢ)P(A|Bᵢ).
- P(Bₖ|A)=P(Bₖ)P(A|Bₖ)/P(A).
Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes
Dùng phân hoạch và sơ đồ cây để tính xác suất toàn phần; vận dụng công thức Bayes để cập nhật xác suất, đọc đúng prior–likelihood–posterior và tránh ngụy biện đảo điều kiện.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt bài 18, phân hoạch, sơ đồ cây và quy tắc nhân xác suất rồi chuẩn bị cho Cổng cuối Chương 6.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Kiểm tra một hệ biến cố có tạo phân hoạch hay không.
- Tính xác suất toàn phần bằng các nhánh loại trừ nhau.
- Tính xác suất hậu nghiệm bằng Bayes.
- Diễn giải đúng xác suất nền và tác động của bằng chứng.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 18, phân hoạch, sơ đồ cây và quy tắc nhân xác suất.
- Viết miền xác định, đối tượng, phân hoạch hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn, vị trí hoặc miền giá trị của kết quả.
- Kiểm bằng đạo hàm, phép thế, hình học, bảng tần số hoặc công thức thứ hai.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Phân hoạch không gian mẫu
Hiểu đơn giản: Chia mọi khả năng thành các nhóm không chồng nhau và không bỏ sót.
Bᵢ∩Bⱼ=∅ với i≠j và ⋃Bᵢ=Ω.
Ví dụ: Sản phẩm đến từ đúng một trong ba dây chuyền.
Hình nên dùng: Ω được ghép từ các mảnh.
Mô phỏng: Bật nhánh chồng hoặc thiếu.
Mẹo nhớ: Mỗi kết quả đúng một nhánh.
Sai lầm: Chỉ kiểm tổng xác suất mà không kiểm giao.
Ghi chú: Khi dùng P(A|Bᵢ), cần P(Bᵢ)>0.
Công thức xác suất toàn phần
Hiểu đơn giản: Tính xác suất A bằng cách cộng mọi đường đi loại trừ nhau dẫn tới A.
P(A)=ΣᵢP(Bᵢ)P(A|Bᵢ).
Ví dụ: Lỗi có thể đến từ dây chuyền 1 hoặc 2.
Hình nên dùng: Cây phân nhánh và các lá A.
Mô phỏng: Thay tỉ lệ nguồn.
Mẹo nhớ: Nhân dọc, cộng lá.
Sai lầm: Cộng P(A|Bᵢ) mà bỏ P(Bᵢ).
Ghi chú: Kết quả phải nằm trong [0;1].
Công thức Bayes
Hiểu đơn giản: Sau khi quan sát A, tính lại khả năng A đến từ nhánh Bₖ.
P(Bₖ|A)=P(Bₖ)P(A|Bₖ)/ΣᵢP(Bᵢ)P(A|Bᵢ).
Ví dụ: Biết sản phẩm lỗi, tìm xác suất nó đến từ máy 1.
Hình nên dùng: Cây được đọc ngược từ lá.
Mô phỏng: Chọn một lá bằng chứng.
Mẹo nhớ: Trọng số nhánh phù hợp chia tổng bằng chứng.
Sai lầm: Cho P(B|A)=P(A|B).
Ghi chú: Tử số phải là xác suất giao của nhánh cần tìm với bằng chứng.
Diễn giải và tỉ lệ nền
Hiểu đơn giản: Bằng chứng mạnh vẫn phải được đặt cạnh xác suất nền của giả thuyết.
Posterior ∝ prior × likelihood; chuẩn hóa để tổng posterior bằng 1.
Ví dụ: Bệnh hiếm có thể tạo nhiều dương tính giả hơn ca bệnh thật.
Hình nên dùng: 10.000 hình người chia nhóm.
Mô phỏng: Thay prevalence.
Mẹo nhớ: Nền trước, bằng chứng sau.
Sai lầm: Chỉ nhìn độ nhạy xét nghiệm.
Ghi chú: Nêu rõ kết quả là xác suất sau khi biết bằng chứng.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Thay xác suất nền và quan sát Bayes cập nhật
A là giả thuyết, “+” là bằng chứng. Nhập P(A), P(+|A) và P(+|Ā); công cụ tính P(+) theo toàn phần rồi tính P(A|+) theo Bayes.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B19-NB-04
Đề bài: Điều kiện nào bắt buộc để dùng công thức xác suất toàn phần với các biến cố B₁,…,Bₙ?
Phân tích: Các nhánh phải bao phủ toàn bộ và không chồng nhau.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Các nhánh phải bao phủ toàn bộ và không chồng nhau.
- Bước 2: B₁,…,Bₙ phải tạo thành một phân hoạch: đôi một xung khắc, hợp bằng Ω và có xác suất dương khi dùng điều kiện.
- Bước 3: Kết luận Một phân hoạch của Ω.
Vì sao: Nếu nhánh chồng nhau hoặc bỏ sót, phép cộng sẽ đếm trùng hoặc thiếu.
Cách khác: Vẽ sơ đồ cây: mọi kết quả phải đi đúng một nhánh đầu.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ yêu cầu tổng xác suất gần bằng 1 mà không kiểm giao.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B19-NB-01
Đề bài: Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,5, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).
Phân tích: Với hai biến cố độc lập, xác suất giao bằng tích.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(A∩B)=P(A)P(B)=0,2.
Vì sao: Độc lập là điều kiện cho phép nhân trực tiếp hai xác suất không điều kiện.
Cách khác: Kiểm P(A|B)=P(A).
Tự kiểm: Kết quả: 0,2. Cộng hai xác suất hoặc mặc định mọi biến cố đều độc lập.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B19-TH-04
Đề bài: Hai giả thuyết A, B tạo thành phân hoạch, P(A)=0,5, P(B)=0,5. Bằng chứng L có P(L|A)=0,8, P(L|B)=0,4. Tính odds sau P(A|L)/P(B|L), làm tròn đến 4 chữ số thập phân.
Phân tích: Odds sau bằng odds trước nhân tỉ số khả dĩ.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Odds sau bằng odds trước nhân tỉ số khả dĩ.
- Bước 2: Trong dữ kiện này, odds trước=1, tỉ số khả dĩ=2, nên odds sau=2.
- Bước 3: Kết luận 2.
Vì sao: Bayes cập nhật niềm tin theo sức phân biệt của bằng chứng, không chỉ theo xác suất nền.
Cách khác: Đổi odds sau về xác suất để kiểm với công thức Bayes.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bỏ qua prior và chỉ nhìn likelihood.
04 • Thực tếVí dụ 4 • B19-TH-14
Đề bài: Máy A làm 70%, máy B làm 30% sản phẩm. Tỉ lệ lỗi lần lượt 1% và 3%. Chọn được sản phẩm lỗi: xác suất do B làm?
Phân tích: P(lỗi)=0,7·0,01+0,3·0,03=0,016.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(lỗi)=0,7·0,01+0,3·0,03=0,016. Theo Bayes, P(B|lỗi)=0,3·0,03/0,016=9/16.
Vì sao: P(lỗi)=0,7·0,01+0,3·0,03=0,016. Theo Bayes, P(B|lỗi)=0,3·0,03/0,016=9/16.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 9/16. Lấy 3% làm xác suất máy B khi đã biết lỗi.
05 • Thực tếVí dụ 5 • B19-VD-04
Đề bài: Nguồn I cung cấp 30% sản phẩm và có 5% lỗi; nguồn II cung cấp 70% và có 2% lỗi. Biết sản phẩm không bị lỗi, tính xác suất nó đến từ nguồn II (làm tròn 3 chữ số thập phân).
Phân tích: P(L)=0,3·0,05+0,7·0,02=0,029; P(không lỗi)=0,971.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(L)=0,3·0,05+0,7·0,02=0,029; P(không lỗi)=0,971. Theo công thức Bayes, xác suất = (0,7·0,98)/0,971≈0,706.
Vì sao: P(L)=0,3·0,05+0,7·0,02=0,029; P(không lỗi)=0,971. Theo công thức Bayes, xác suất = (0,7·0,98)/0,971≈0,706.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 0,706. Không nhân tỉ trọng nguồn hoặc dùng sai biến cố ở mẫu số.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B19-NB-16
Đề bài: Không bỏ qua điều kiện áp dụng. Cho P(A)=4/10, P(B|A)=8/10, P(B|Ā)=1/10. Tính P(A|B).
Phân tích: Theo xác suất toàn phần, P(B) = [4·8 + 6·1]/100 = 38/100.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Theo xác suất toàn phần, P(B) = [4·8 + 6·1]/100 = 38/100. Theo Bayes, P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) = 32/38 = 16/19.
Vì sao: Theo xác suất toàn phần, P(B) = [4·8 + 6·1]/100 = 38/100. Theo Bayes, P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) = 32/38 = 16/19.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 16/19. Đảo tử và mẫu hoặc dùng P(B|A) thay cho P(A|B).
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B19-VDC-04
Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một trong hai hộp với xác suất bằng nhau. Hộp A có 3 bi đỏ và 2 bi xanh; hộp B có 2 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút hai bi không hoàn lại từ hộp đã chọn. Biết cả hai đều đỏ, tính xác suất đã chọn hộp A. Trả lời bằng phân số.
Phân tích: P(ĐĐ|A)=3(3−1)/[5(4)], P(ĐĐ|B)=2/[6(5)]
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(ĐĐ|A)=3(3−1)/[5(4)], P(ĐĐ|B)=2/[6(5)]. Hai xác suất chọn hộp đều 1/2 nên Bayes cho thương P(ĐĐ|A)/[P(ĐĐ|A)+P(ĐĐ|B)]=9/11. Hai lần rút trong cùng hộp không độc lập; không được bình phương tỉ lệ đỏ.
Vì sao: P(ĐĐ|A)=3(3−1)/[5(4)], P(ĐĐ|B)=2/[6(5)]. Hai xác suất chọn hộp đều 1/2 nên Bayes cho thương P(ĐĐ|A)/[P(ĐĐ|A)+P(ĐĐ|B)]=9/11. Hai lần rút trong cùng hộp không độc lập; không được bình phương tỉ lệ đỏ.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 9/11. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
08 • Thực tếVí dụ 8 • B19-VDC-14
Đề bài: Nguồn I cung cấp 33% sản phẩm và có 5% lỗi; nguồn II cung cấp 67% và có 1% lỗi. Tính xác suất một sản phẩm bất kỳ bị lỗi (làm tròn 3 chữ số thập phân).
Phân tích: P(L)=0,33·0,05+0,67·0,01=0,0232; P(không lỗi)=0,9768.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(L)=0,33·0,05+0,67·0,01=0,0232; P(không lỗi)=0,9768. Theo công thức toàn phần, xác suất = (0,33·0,05+0,67·0,01)/1≈0,023.
Vì sao: P(L)=0,33·0,05+0,67·0,01=0,0232; P(không lỗi)=0,9768. Theo công thức toàn phần, xác suất = (0,33·0,05+0,67·0,01)/1≈0,023.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 0,023. Không nhân tỉ trọng nguồn hoặc dùng sai biến cố ở mẫu số.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B19-TT-04
Đề bài: Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,8, P(L|B)=0,1, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Phân tích: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
- Bước 2: P(A|L)=0,3·0,8/0,31=0,7742.
- Bước 3: Kết luận 0,7742.
Vì sao: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho P(A|L)=P(L|A).
10 • Thực tếVí dụ 10 • B19-TT-14
Đề bài: Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,6, P(L|B)=0,3, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Phân tích: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
- Bước 2: P(A|L)=0,3·0,6/0,39=0,4615.
- Bước 3: Kết luận 0,4615.
Vì sao: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho P(A|L)=P(L|A).
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua công thức xác suất toàn phần và công thức bayes
Tình huống 1 dùng xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua công thức xác suất toàn phần và công thức bayes
Tình huống 2 dùng xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua công thức xác suất toàn phần và công thức bayes
Tình huống 3 dùng xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua công thức xác suất toàn phần và công thức bayes
Tình huống 4 dùng xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua công thức xác suất toàn phần và công thức bayes
Tình huống 5 dùng xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua công thức xác suất toàn phần và công thức bayes
Tình huống 6 dùng xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua công thức xác suất toàn phần và công thức bayes
Tình huống 7 dùng xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua công thức xác suất toàn phần và công thức bayes
Tình huống 8 dùng xét nghiệm y khoa, chống gian lận, kiểm soát chất lượng, dự báo và ra quyết định; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Phân hoạch không gian mẫu theo cách trực quan?
Chia mọi khả năng thành các nhóm không chồng nhau và không bỏ sót. Phát biểu chính xác: Bᵢ∩Bⱼ=∅ với i≠j và ⋃Bᵢ=Ω. Ví dụ: Sản phẩm đến từ đúng một trong ba dây chuyền. Mẹo: Mỗi kết quả đúng một nhánh. Cần tránh: Chỉ kiểm tổng xác suất mà không kiểm giao.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Các nhánh không tạo phân hoạch
Chỉ kiểm tổng xác suất mà không kiểm giao. Sửa bằng: Mỗi kết quả đúng một nhánh. Kiểm cuối: Khi dùng P(A|Bᵢ), cần P(Bᵢ)>0.
Cộng dọc nhánh thay vì nhân
Cộng P(A|Bᵢ) mà bỏ P(Bᵢ). Sửa bằng: Nhân dọc, cộng lá. Kiểm cuối: Kết quả phải nằm trong [0;1].
Bỏ xác suất nền
Cho P(B|A)=P(A|B). Sửa bằng: Trọng số nhánh phù hợp chia tổng bằng chứng. Kiểm cuối: Tử số phải là xác suất giao của nhánh cần tìm với bằng chứng.
Đảo likelihood thành posterior
Chỉ nhìn độ nhạy xét nghiệm. Sửa bằng: Nền trước, bằng chứng sau. Kiểm cuối: Nêu rõ kết quả là xác suất sau khi biết bằng chứng.
Không kiểm tổng xác suất bằng 1
Chỉ kiểm tổng xác suất mà không kiểm giao. Sửa bằng: Mỗi kết quả đúng một nhánh. Kiểm cuối: Khi dùng P(A|Bᵢ), cần P(Bᵢ)>0.
Các nhánh không tạo phân hoạch – tình huống 6
Cộng P(A|Bᵢ) mà bỏ P(Bᵢ). Sửa bằng: Nhân dọc, cộng lá. Kiểm cuối: Kết quả phải nằm trong [0;1].
Cộng dọc nhánh thay vì nhân – tình huống 7
Cho P(B|A)=P(A|B). Sửa bằng: Trọng số nhánh phù hợp chia tổng bằng chứng. Kiểm cuối: Tử số phải là xác suất giao của nhánh cần tìm với bằng chứng.
Bỏ xác suất nền – tình huống 8
Chỉ nhìn độ nhạy xét nghiệm. Sửa bằng: Nền trước, bằng chứng sau. Kiểm cuối: Nêu rõ kết quả là xác suất sau khi biết bằng chứng.
Đảo likelihood thành posterior – tình huống 9
Chỉ kiểm tổng xác suất mà không kiểm giao. Sửa bằng: Mỗi kết quả đúng một nhánh. Kiểm cuối: Khi dùng P(A|Bᵢ), cần P(Bᵢ)>0.
Không kiểm tổng xác suất bằng 1 – tình huống 10
Cộng P(A|Bᵢ) mà bỏ P(Bᵢ). Sửa bằng: Nhân dọc, cộng lá. Kiểm cuối: Kết quả phải nằm trong [0;1].
Các nhánh không tạo phân hoạch – tình huống 11
Cho P(B|A)=P(A|B). Sửa bằng: Trọng số nhánh phù hợp chia tổng bằng chứng. Kiểm cuối: Tử số phải là xác suất giao của nhánh cần tìm với bằng chứng.
Cộng dọc nhánh thay vì nhân – tình huống 12
Chỉ nhìn độ nhạy xét nghiệm. Sửa bằng: Nền trước, bằng chứng sau. Kiểm cuối: Nêu rõ kết quả là xác suất sau khi biết bằng chứng.
Bỏ xác suất nền – tình huống 13
Chỉ kiểm tổng xác suất mà không kiểm giao. Sửa bằng: Mỗi kết quả đúng một nhánh. Kiểm cuối: Khi dùng P(A|Bᵢ), cần P(Bᵢ)>0.
Đảo likelihood thành posterior – tình huống 14
Cộng P(A|Bᵢ) mà bỏ P(Bᵢ). Sửa bằng: Nhân dọc, cộng lá. Kiểm cuối: Kết quả phải nằm trong [0;1].
Không kiểm tổng xác suất bằng 1 – tình huống 15
Cho P(B|A)=P(A|B). Sửa bằng: Trọng số nhánh phù hợp chia tổng bằng chứng. Kiểm cuối: Tử số phải là xác suất giao của nhánh cần tìm với bằng chứng.
Các nhánh không tạo phân hoạch – tình huống 16
Chỉ nhìn độ nhạy xét nghiệm. Sửa bằng: Nền trước, bằng chứng sau. Kiểm cuối: Nêu rõ kết quả là xác suất sau khi biết bằng chứng.
Cộng dọc nhánh thay vì nhân – tình huống 17
Chỉ kiểm tổng xác suất mà không kiểm giao. Sửa bằng: Mỗi kết quả đúng một nhánh. Kiểm cuối: Khi dùng P(A|Bᵢ), cần P(Bᵢ)>0.
Bỏ xác suất nền – tình huống 18
Cộng P(A|Bᵢ) mà bỏ P(Bᵢ). Sửa bằng: Nhân dọc, cộng lá. Kiểm cuối: Kết quả phải nằm trong [0;1].
Đảo likelihood thành posterior – tình huống 19
Cho P(B|A)=P(A|B). Sửa bằng: Trọng số nhánh phù hợp chia tổng bằng chứng. Kiểm cuối: Tử số phải là xác suất giao của nhánh cần tìm với bằng chứng.
Không kiểm tổng xác suất bằng 1 – tình huống 20
Chỉ nhìn độ nhạy xét nghiệm. Sửa bằng: Nền trước, bằng chứng sau. Kiểm cuối: Nêu rõ kết quả là xác suất sau khi biết bằng chứng.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes1 2 3 4
Phân hoạch không gian mẫuBᵢ∩Bⱼ=∅ với i≠j và ⋃Bᵢ=Ω. Mỗi kết quả đúng một nhánh.
Công thức xác suất toàn phầnP(A)=ΣᵢP(Bᵢ)P(A|Bᵢ). Nhân dọc, cộng lá.
Công thức BayesP(Bₖ|A)=P(Bₖ)P(A|Bₖ)/ΣᵢP(Bᵢ)P(A|Bᵢ). Trọng số nhánh phù hợp chia tổng bằng chứng.
Diễn giải và tỉ lệ nềnPosterior ∝ prior × likelihood; chuẩn hóa để tổng posterior bằng 1. Nền trước, bằng chứng sau.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B19-NB-01Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,5, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Với hai biến cố độc lập, xác suất giao bằng tích.
Lời giải: P(A∩B)=P(A)P(B)=0,2.
Vì sao: Độc lập là điều kiện cho phép nhân trực tiếp hai xác suất không điều kiện.
Sai ở đâu: Cộng hai xác suất hoặc mặc định mọi biến cố đều độc lập.
Cách khác: Kiểm P(A|B)=P(A).
B19-NB-02Cho P(A)=0,2. Tính P(Ā).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Biến cố đối có tổng xác suất bằng 1 với A.
Lời giải: P(Ā)=1−0,2=0,8.
Vì sao: A và Ā xung khắc và hợp thành toàn bộ không gian mẫu.
Sai ở đâu: Lấy −P(A) hoặc 1+P(A).
Cách khác: Dùng P(A∪Ā)=1.
B19-NB-03Cho P(A)=0,3, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng công thức cộng tổng quát.
Lời giải: P(A∪B)=0,3+0,3−0,15=0,45.
Vì sao: Phần giao bị đếm hai lần nên phải trừ một lần.
Sai ở đâu: Cộng P(A)+P(B) mà không trừ giao.
Cách khác: Vẽ sơ đồ Venn để thấy phần giao.
B19-NB-04Điều kiện nào bắt buộc để dùng công thức xác suất toàn phần với các biến cố B₁,…,Bₙ?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Các nhánh phải bao phủ toàn bộ và không chồng nhau.
Lời giải: B₁,…,Bₙ phải tạo thành một phân hoạch: đôi một xung khắc, hợp bằng Ω và có xác suất dương khi dùng điều kiện.
Vì sao: Nếu nhánh chồng nhau hoặc bỏ sót, phép cộng sẽ đếm trùng hoặc thiếu.
Sai ở đâu: Chỉ yêu cầu tổng xác suất gần bằng 1 mà không kiểm giao.
Cách khác: Vẽ sơ đồ cây: mọi kết quả phải đi đúng một nhánh đầu.
B19-NB-05Hai giả thuyết A, B tạo thành phân hoạch, P(A)=0,5, P(B)=0,5. Bằng chứng L có P(L|A)=0,6, P(L|B)=0,2. Tính odds sau P(A|L)/P(B|L), làm tròn đến 4 chữ số thập phân.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Odds sau bằng odds trước nhân tỉ số khả dĩ.
Lời giải: Trong dữ kiện này, odds trước=1, tỉ số khả dĩ=3, nên odds sau=3.
Vì sao: Bayes cập nhật niềm tin theo sức phân biệt của bằng chứng, không chỉ theo xác suất nền.
Sai ở đâu: Bỏ qua prior và chỉ nhìn likelihood.
Cách khác: Đổi odds sau về xác suất để kiểm với công thức Bayes.
B19-NB-06Một xét nghiệm dương tính có đồng nghĩa người được xét nghiệm chắc chắn mắc bệnh không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Phải xét cả độ nhạy, dương tính giả và tỉ lệ bệnh nền.
Lời giải: Không. Cần tính P(bệnh|dương) bằng Bayes; kết quả thường khác P(dương|bệnh).
Vì sao: Khi bệnh hiếm, số dương tính giả có thể đáng kể dù xét nghiệm tốt.
Sai ở đâu: Đảo P(bệnh|dương) thành P(dương|bệnh).
Cách khác: Lập bảng trên 10.000 người để nhìn tần số thật.
B19-NB-07Một nguồn được chọn từ A với xác suất 0,2, từ B với xác suất 0,8. Xác suất lỗi lần lượt là 0,8 và 0,4. Tính xác suất có lỗi.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai nguồn tạo một phân hoạch; cộng xác suất theo từng nhánh.
Lời giải: P(L)=0,2·0,8+0,8·0,4=0,48.
Vì sao: Công thức toàn phần cộng các đường đi loại trừ nhau dẫn tới cùng biến cố.
Sai ở đâu: Cộng hai xác suất lỗi mà không nhân xác suất chọn nguồn.
Cách khác: Dùng sơ đồ cây và cộng hai lá lỗi.
B19-NB-08Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,6, P(L|B)=0,1, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Lời giải: P(A|L)=0,3·0,6/0,25=0,72.
Vì sao: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Sai ở đâu: Cho P(A|L)=P(L|A).
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
B19-NB-09Đối chiếu kết quả với ý nghĩa bài toán. Máy A làm 50% sản phẩm, máy B làm phần còn lại. Tỉ lệ lỗi của A là 2%, của B là 2%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Xác suất sản phẩm lỗi là bao nhiêu phần trăm?
Mục tiêu: Thực tế — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: P(lỗi) = 0.5·0.02 + 0.5·0.02.
Lời giải: P(lỗi) = 0.5·0.02 + 0.5·0.02. Đổi sang phần trăm: P(lỗi) = 2%.
Vì sao: P(lỗi) = 0.5·0.02 + 0.5·0.02. Đổi sang phần trăm: P(lỗi) = 2%.
Sai ở đâu: Cộng trực tiếp hai tỉ lệ lỗi mà không xét tỉ trọng sản lượng.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
B19-NB-10Hai giả thuyết A, B tạo thành phân hoạch, P(A)=0,5, P(B)=0,5. Bằng chứng L có P(L|A)=0,8, P(L|B)=0,3. Tính odds sau P(A|L)/P(B|L), làm tròn đến 4 chữ số thập phân.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Odds sau bằng odds trước nhân tỉ số khả dĩ.
Lời giải: Trong dữ kiện này, odds trước=1, tỉ số khả dĩ=2,6667, nên odds sau=2,6667.
Vì sao: Bayes cập nhật niềm tin theo sức phân biệt của bằng chứng, không chỉ theo xác suất nền.
Sai ở đâu: Bỏ qua prior và chỉ nhìn likelihood.
Cách khác: Đổi odds sau về xác suất để kiểm với công thức Bayes.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Giải theo đúng bản chất của công thức. Một dấu hiệu có ở 30% số trường hợp. Phép kiểm tra dương tính ở 80% trường hợp có dấu hiệu và 10% trường hợp không có dấu hiệu. Biết kết quả dương tính, xác suất trường hợp đó thật sự có dấu hiệu là bao nhiêu?
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes”:
- a) Bᵢ∩Bⱼ=∅ với i≠j và ⋃Bᵢ=Ω.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Chia mọi khả năng thành các nhóm không chồng nhau và không bỏ sót. Ví dụ kiểm chứng: Sản phẩm đến từ đúng một trong ba dây chuyền.
- b) P(A)=ΣᵢP(Bᵢ)P(A|Bᵢ).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Tính xác suất A bằng cách cộng mọi đường đi loại trừ nhau dẫn tới A. Ví dụ kiểm chứng: Lỗi có thể đến từ dây chuyền 1 hoặc 2.
- c) P(Bₖ|A)=P(Bₖ)P(A|Bₖ)/ΣᵢP(Bᵢ)P(A|Bᵢ).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Sau khi quan sát A, tính lại khả năng A đến từ nhánh Bₖ. Ví dụ kiểm chứng: Biết sản phẩm lỗi, tìm xác suất nó đến từ máy 1.
- d) Posterior ∝ prior × likelihood; chuẩn hóa để tổng posterior bằng 1.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Bằng chứng mạnh vẫn phải được đặt cạnh xác suất nền của giả thuyết. Ví dụ kiểm chứng: Bệnh hiếm có thể tạo nhiều dương tính giả hơn ca bệnh thật.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,2, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).
Đáp án
0,08
- Cho P(A)=0,3. Tính P(Ā).
Đáp án
0,7
- Cho P(A)=0,4, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).
Đáp án
0,55
- Chọn ngẫu nhiên một trong hai hộp với xác suất bằng nhau. Hộp A có 3 bi đỏ và 2 bi xanh; hộp B có 2 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút hai bi không hoàn lại từ hộp đã chọn. Biết cả hai đều đỏ, tính xác suất đã chọn hộp A. Trả lời bằng phân số.
Đáp án
9/11
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,5, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).
Gợi ý: Với hai biến cố độc lập, xác suất giao bằng tích.
Lời giải: P(A∩B)=P(A)P(B)=0,2.
Giải thích: Độc lập là điều kiện cho phép nhân trực tiếp hai xác suất không điều kiện.
Lỗi cần tránh: Cộng hai xác suất hoặc mặc định mọi biến cố đều độc lập.
Cách khác: Kiểm P(A|B)=P(A).
TỰ LUẬN 2Một xét nghiệm dương tính có đồng nghĩa người được xét nghiệm chắc chắn mắc bệnh không?
Gợi ý: Phải xét cả độ nhạy, dương tính giả và tỉ lệ bệnh nền.
Lời giải: Không. Cần tính P(bệnh|dương) bằng Bayes; kết quả thường khác P(dương|bệnh).
Giải thích: Khi bệnh hiếm, số dương tính giả có thể đáng kể dù xét nghiệm tốt.
Lỗi cần tránh: Đảo P(bệnh|dương) thành P(dương|bệnh).
Cách khác: Lập bảng trên 10.000 người để nhìn tần số thật.
TỰ LUẬN 3Giải theo đúng bản chất của công thức. Một dấu hiệu có ở 30% số trường hợp. Phép kiểm tra dương tính ở 80% trường hợp có dấu hiệu và 10% trường hợp không có dấu hiệu. Biết kết quả dương tính, xác suất trường hợp đó thật sự có dấu hiệu là bao nhiêu?
Gợi ý: Gọi A là có dấu hiệu, B là dương tính. Khi đó P(A)=3/10, P(B|A)=8/10, P(B|Ā)=1/10.
Lời giải: Gọi A là có dấu hiệu, B là dương tính. Khi đó P(A)=3/10, P(B|A)=8/10, P(B|Ā)=1/10. Bayes cho P(A|B) = 24/[24+7] = 24/31.
Giải thích: Gọi A là có dấu hiệu, B là dương tính. Khi đó P(A)=3/10, P(B|A)=8/10, P(B|Ā)=1/10. Bayes cho P(A|B) = 24/[24+7] = 24/31.
Lỗi cần tránh: Coi độ nhạy 80% là xác suất có dấu hiệu khi đã dương tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 4Không bỏ qua điều kiện áp dụng. Cho P(A)=4/10, P(B|A)=8/10, P(B|Ā)=1/10. Tính P(A|B).
Gợi ý: Theo xác suất toàn phần, P(B) = [4·8 + 6·1]/100 = 38/100.
Lời giải: Theo xác suất toàn phần, P(B) = [4·8 + 6·1]/100 = 38/100. Theo Bayes, P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) = 32/38 = 16/19.
Giải thích: Theo xác suất toàn phần, P(B) = [4·8 + 6·1]/100 = 38/100. Theo Bayes, P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) = 32/38 = 16/19.
Lỗi cần tránh: Đảo tử và mẫu hoặc dùng P(B|A) thay cho P(A|B).
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 5Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,4, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).
Gợi ý: Với hai biến cố độc lập, xác suất giao bằng tích.
Lời giải: P(A∩B)=P(A)P(B)=0,16.
Giải thích: Độc lập là điều kiện cho phép nhân trực tiếp hai xác suất không điều kiện.
Lỗi cần tránh: Cộng hai xác suất hoặc mặc định mọi biến cố đều độc lập.
Cách khác: Kiểm P(A|B)=P(A).
TỰ LUẬN 6Một nguồn được chọn từ A với xác suất 0,2, từ B với xác suất 0,8. Xác suất lỗi lần lượt là 0,7 và 0,2. Tính xác suất có lỗi.
Gợi ý: Hai nguồn tạo một phân hoạch; cộng xác suất theo từng nhánh.
Lời giải: P(L)=0,2·0,7+0,8·0,2=0,3.
Giải thích: Công thức toàn phần cộng các đường đi loại trừ nhau dẫn tới cùng biến cố.
Lỗi cần tránh: Cộng hai xác suất lỗi mà không nhân xác suất chọn nguồn.
Cách khác: Dùng sơ đồ cây và cộng hai lá lỗi.
TỰ LUẬN 7Một nguồn được chọn từ A với xác suất 0,2, từ B với xác suất 0,8. Xác suất lỗi lần lượt là 0,6 và 0,3. Tính xác suất có lỗi.
Gợi ý: Hai nguồn tạo một phân hoạch; cộng xác suất theo từng nhánh.
Lời giải: P(L)=0,2·0,6+0,8·0,3=0,36.
Giải thích: Công thức toàn phần cộng các đường đi loại trừ nhau dẫn tới cùng biến cố.
Lỗi cần tránh: Cộng hai xác suất lỗi mà không nhân xác suất chọn nguồn.
Cách khác: Dùng sơ đồ cây và cộng hai lá lỗi.
TỰ LUẬN 8P(A)=1/5. Hai phép thử độc lập khi biết A hoặc Ā; mỗi thử dương tính với xác suất 4/5 nếu A, 1/5 nếu Ā. Biết cả hai dương tính, tính P(A|++).
Gợi ý: P(++|A)=(4/5)²=16/25, còn P(++|Ā)=(1/5)²=1/25.
Lời giải: P(++|A)=(4/5)²=16/25, còn P(++|Ā)=(1/5)²=1/25. Bayes: P(A|++)=[(1/5)(16/25)]/[(1/5)(16/25)+(4/5)(1/25)]=4/5.
Giải thích: P(++|A)=(4/5)²=16/25, còn P(++|Ā)=(1/5)²=1/25. Bayes: P(A|++)=[(1/5)(16/25)]/[(1/5)(16/25)+(4/5)(1/25)]=4/5.
Lỗi cần tránh: Coi hai phép thử độc lập vô điều kiện hoặc chỉ dùng một kết quả.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 9Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,3, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).
Gợi ý: Với hai biến cố độc lập, xác suất giao bằng tích.
Lời giải: P(A∩B)=P(A)P(B)=0,12.
Giải thích: Độc lập là điều kiện cho phép nhân trực tiếp hai xác suất không điều kiện.
Lỗi cần tránh: Cộng hai xác suất hoặc mặc định mọi biến cố đều độc lập.
Cách khác: Kiểm P(A|B)=P(A).
TỰ LUẬN 10Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,7, P(L|B)=0,1, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L).
Gợi ý: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Lời giải: P(A|L)=0,3·0,7/0,28=0,75.
Giải thích: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Lỗi cần tránh: Cho P(A|L)=P(L|A).
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
TỰ LUẬN 11Với dữ kiện P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(L|A)=0,6, P(L|B)=0,2, biết sản phẩm bị lỗi. Tính P(A|L). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Tính P(L) bằng toàn phần rồi dùng Bayes.
Lời giải: P(A|L)=0,3·0,6/0,32=0,5625.
Giải thích: Bayes đảo chiều điều kiện bằng cách chuẩn hóa trọng số nhánh phù hợp với bằng chứng.
Lỗi cần tránh: Cho P(A|L)=P(L|A).
Cách khác: Dùng bảng 10.000 sản phẩm giả định để kiểm.
TỰ LUẬN 12Không bỏ qua điều kiện áp dụng. Cho P(A)=5/10, P(B|A)=7/10, P(B|Ā)=2/10. Tính P(A|B).
Gợi ý: Theo xác suất toàn phần, P(B) = [5·7 + 5·2]/100 = 45/100.
Lời giải: Theo xác suất toàn phần, P(B) = [5·7 + 5·2]/100 = 45/100. Theo Bayes, P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) = 35/45 = 7/9.
Giải thích: Theo xác suất toàn phần, P(B) = [5·7 + 5·2]/100 = 45/100. Theo Bayes, P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) = 35/45 = 7/9.
Lỗi cần tránh: Đảo tử và mẫu hoặc dùng P(B|A) thay cho P(A|B).
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 13Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,2, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).
Gợi ý: Với hai biến cố độc lập, xác suất giao bằng tích.
Lời giải: P(A∩B)=P(A)P(B)=0,08.
Giải thích: Độc lập là điều kiện cho phép nhân trực tiếp hai xác suất không điều kiện.
Lỗi cần tránh: Cộng hai xác suất hoặc mặc định mọi biến cố đều độc lập.
Cách khác: Kiểm P(A|B)=P(A).
TỰ LUẬN 14Một phép thử cho hai biến cố A,B: P(A)=1/2, P(B|A)=1/3, P(B|Ā)=1/6. Tính P(Ā|B̄) bằng phân số, vẽ đủ bốn nhánh của cây xác suất.
Gợi ý: P(A∩B̄)=1/2·2/3; P(Ā∩B̄)=1/2·(5/6)
Lời giải: P(A∩B̄)=1/2·2/3; P(Ā∩B̄)=1/2·(5/6). Lấy nhánh thứ hai chia tổng hai nhánh B̄ được 5/9. Điều kiện là B̄ nên không thể dùng mẫu số P(B).
Giải thích: P(A∩B̄)=1/2·2/3; P(Ā∩B̄)=1/2·(5/6). Lấy nhánh thứ hai chia tổng hai nhánh B̄ được 5/9. Điều kiện là B̄ nên không thể dùng mẫu số P(B).
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 15Nguồn I cung cấp 31% sản phẩm và có 3% lỗi; nguồn II cung cấp 69% và có 1% lỗi. Biết sản phẩm bị lỗi, tính xác suất nó đến từ nguồn I (làm tròn 3 chữ số thập phân).
Gợi ý: P(L)=0,31·0,03+0,69·0,01=0,0162; P(không lỗi)=0,9838.
Lời giải: P(L)=0,31·0,03+0,69·0,01=0,0162; P(không lỗi)=0,9838. Theo công thức Bayes, xác suất = (0,31·0,03)/0,0162≈0,574.
Giải thích: P(L)=0,31·0,03+0,69·0,01=0,0162; P(không lỗi)=0,9838. Theo công thức Bayes, xác suất = (0,31·0,03)/0,0162≈0,574.
Lỗi cần tránh: Không nhân tỉ trọng nguồn hoặc dùng sai biến cố ở mẫu số.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 16Nguồn I cung cấp 35% sản phẩm và có 4% lỗi; nguồn II cung cấp 65% và có 1% lỗi. Biết sản phẩm không bị lỗi, tính xác suất nó đến từ nguồn II (làm tròn 3 chữ số thập phân).
Gợi ý: P(L)=0,35·0,04+0,65·0,01=0,0205; P(không lỗi)=0,9795.
Lời giải: P(L)=0,35·0,04+0,65·0,01=0,0205; P(không lỗi)=0,9795. Theo công thức Bayes, xác suất = (0,65·0,99)/0,9795≈0,657.
Giải thích: P(L)=0,35·0,04+0,65·0,01=0,0205; P(không lỗi)=0,9795. Theo công thức Bayes, xác suất = (0,65·0,99)/0,9795≈0,657.
Lỗi cần tránh: Không nhân tỉ trọng nguồn hoặc dùng sai biến cố ở mẫu số.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 17Xưởng A cung cấp 4 lô, xưởng B cung cấp 5 lô, mỗi lô có cùng số sản phẩm. Tỉ lệ lỗi của A là 1/10, của B là 1/5. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ toàn bộ, biết không lỗi. Xác suất sản phẩm từ A bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Tỉ trọng A=4/9, B=5/9
Lời giải: Tỉ trọng A=4/9, B=5/9. Xác suất tốt trong mỗi nguồn lần lượt 9/10 và 4/5. Theo Bayes, P(A|tốt)=(94)/[94+8(5)]=9/19. Phải dùng biến cố đối của lỗi và trọng số sản lượng, không lấy trung bình hai tỉ lệ.
Giải thích: Tỉ trọng A=4/9, B=5/9. Xác suất tốt trong mỗi nguồn lần lượt 9/10 và 4/5. Theo Bayes, P(A|tốt)=(94)/[94+8(5)]=9/19. Phải dùng biến cố đối của lỗi và trọng số sản lượng, không lấy trung bình hai tỉ lệ.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 18Hai giả thuyết A, B tạo thành phân hoạch, P(A)=0,5, P(B)=0,5. Bằng chứng L có P(L|A)=0,7, P(L|B)=0,3. Tính odds sau P(A|L)/P(B|L), làm tròn đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Odds sau bằng odds trước nhân tỉ số khả dĩ.
Lời giải: Trong dữ kiện này, odds trước=1, tỉ số khả dĩ=2,3333, nên odds sau=2,3333.
Giải thích: Bayes cập nhật niềm tin theo sức phân biệt của bằng chứng, không chỉ theo xác suất nền.
Lỗi cần tránh: Bỏ qua prior và chỉ nhìn likelihood.
Cách khác: Đổi odds sau về xác suất để kiểm với công thức Bayes.
TỰ LUẬN 19Hai giả thuyết A, B tạo thành phân hoạch, P(A)=0,5, P(B)=0,5. Bằng chứng L có P(L|A)=0,6, P(L|B)=0,4. Tính odds sau P(A|L)/P(B|L), làm tròn đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Odds sau bằng odds trước nhân tỉ số khả dĩ.
Lời giải: Trong dữ kiện này, odds trước=1, tỉ số khả dĩ=1,5, nên odds sau=1,5.
Giải thích: Bayes cập nhật niềm tin theo sức phân biệt của bằng chứng, không chỉ theo xác suất nền.
Lỗi cần tránh: Bỏ qua prior và chỉ nhìn likelihood.
Cách khác: Đổi odds sau về xác suất để kiểm với công thức Bayes.
TỰ LUẬN 20Giải theo đúng bản chất của công thức. Một dấu hiệu có ở 10% số trường hợp. Phép kiểm tra dương tính ở 80% trường hợp có dấu hiệu và 10% trường hợp không có dấu hiệu. Biết kết quả dương tính, xác suất trường hợp đó thật sự có dấu hiệu là bao nhiêu?
Gợi ý: Gọi A là có dấu hiệu, B là dương tính. Khi đó P(A)=1/10, P(B|A)=8/10, P(B|Ā)=1/10.
Lời giải: Gọi A là có dấu hiệu, B là dương tính. Khi đó P(A)=1/10, P(B|A)=8/10, P(B|Ā)=1/10. Bayes cho P(A|B) = 8/[8+9] = 8/17.
Giải thích: Gọi A là có dấu hiệu, B là dương tính. Khi đó P(A)=1/10, P(B|A)=8/10, P(B|Ā)=1/10. Bayes cho P(A|B) = 8/[8+9] = 8/17.
Lỗi cần tránh: Coi độ nhạy 80% là xác suất có dấu hiệu khi đã dương tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B19-NB-01, B19-NB-02, B19-NB-03, B19-NB-04, B19-NB-05, B19-NB-06, B19-NB-07, B19-NB-08, B19-NB-09, B19-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B19-NB-01: 0,2
- B19-NB-02: 0,8
- B19-NB-03: 0,45
- B19-NB-04: Một phân hoạch của Ω
- B19-NB-05: 3
- B19-NB-06: Không
- B19-NB-07: 0,48
- B19-NB-08: 0,72
- B19-NB-09: 2%
- B19-NB-10: 2,6667
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 6
10 câu đại diện: B19-NB-11, B19-NB-12, B19-NB-13, B19-NB-14, B19-NB-15, B19-NB-16, B19-NB-17, B19-NB-18, B19-NB-19, B19-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B19-NB-11: 24/31
- B19-NB-12: 0,22
- B19-NB-13: 0,6316
- B19-NB-14: 14/17
- B19-NB-15: 1,75
- B19-NB-16: 16/19
- B19-NB-17: 0,28
- B19-NB-18: 0,5
- B19-NB-19: 1,6%
- B19-NB-20: 6
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B19-TH-01, B19-TH-02, B19-TH-03, B19-TH-04, B19-TH-05, B19-TH-06, B19-TH-07, B19-TH-08, B19-TH-09, B19-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B19-TH-01: 0,16
- B19-TH-02: 0,5
- B19-TH-03: 0,4
- B19-TH-04: 2
- B19-TH-05: 2/3
- B19-TH-06: 0,3
- B19-TH-07: 0,5333
- B19-TH-08: 3/4
- B19-TH-09: 7
- B19-TH-10: 4/5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B19-TH-11, B19-TH-12, B19-TH-13, B19-TH-14, B19-TH-15, B19-TH-16, B19-TH-17, B19-TH-18, B19-TH-19, B19-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B19-TH-11: 0,36
- B19-TH-12: 0,4286
- B19-TH-13: 32/33
- B19-TH-14: 9/16
- B19-TH-15: 4/5
- B19-TH-16: 4/5
- B19-TH-17: 0,413
- B19-TH-18: 0,351
- B19-TH-19: 0,023
- B19-TH-20: 0,284
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B19-VD-01, B19-VD-02, B19-VD-03, B19-VD-04, B19-VD-05, B19-VD-06, B19-VD-07, B19-VD-08, B19-VD-09, B19-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B19-VD-01: 0,12
- B19-VD-02: 0,6
- B19-VD-03: 0,65
- B19-VD-04: 0,706
- B19-VD-05: 0,44
- B19-VD-06: 0,75
- B19-VD-07: 0,0308
- B19-VD-08: 2
- B19-VD-09: 0,9617
- B19-VD-10: 0,24
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.