Nhìn cấu trúc trước
Học vectơ trong mặt phẳng tọa độ bằng quan hệ và hình ảnh, không thuộc công thức rời rạc.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
Chuyển hình học vectơ sang đại số tọa độ: tính vectơ qua hai điểm, trung điểm, phép toán và điều kiện cùng phương.
Mỗi mũi tên trở thành một cặp số có thể tính và kiểm
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi bài bắt đầu bằng dữ kiện đã có, điều cần tìm và điều kiện áp dụng.
Gắn với thực tiễn
Ví dụ đo đạc, chuyển động, dữ liệu và ra quyết định giúp thấy ý nghĩa của kết quả.
Không phụ thuộc đáp án
Mỗi lời giải có phép kiểm bằng định nghĩa, công thức khác, hình hoặc ước lượng.
- Đọc và viết tọa độ vectơ.
- Tính AB⃗ từ tọa độ A, B.
- Thực hiện phép toán theo thành phần.
- Tìm trung điểm và kiểm cùng phương.
- Mặt phẳng tọa độ Oxy.
- Tổng, hiệu, tích vectơ với số.
- Trung điểm.
- Giải hệ phương trình đơn giản.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Tọa độ vectơ
Hiểu đơn giản: Hai số cho biết dịch chuyển ngang và dọc.
u⃗=(x;y)=x i⃗+y j⃗.
Ví dụ: (3;−2) là sang phải 3, xuống 2.
Hình nên dùng: Mũi tên trên lưới Oxy.
Mô phỏng: Kéo đầu mút và đọc tọa độ.
Mẹo nhớ: Ngang trước, dọc sau.
Sai lầm: Đổi thứ tự x, y.
Ghi chú: Tọa độ vectơ không phụ thuộc vị trí đặt.
Vectơ qua hai điểm
Hiểu đơn giản: Lấy điểm cuối trừ điểm đầu.
A(xA;yA), B(xB;yB) ⇒ AB⃗=(xB−xA;yB−yA).
Ví dụ: A(1;2),B(4;0) ⇒ AB⃗=(3;−2).
Hình nên dùng: Độ dời từ A đến B.
Mô phỏng: Kéo A, B.
Mẹo nhớ: Cuối trừ đầu.
Sai lầm: Lấy A−B.
Ghi chú: Kiểm A+AB⃗=B.
Phép toán tọa độ
Hiểu đơn giản: Cộng, trừ, nhân số theo từng thành phần.
(x;y)+(x';y')=(x+x';y+y'); k(x;y)=(kx;ky).
Ví dụ: (1;2)+(3;−1)=(4;1).
Hình nên dùng: Hai trục xử lí độc lập.
Mô phỏng: Nhập hai vectơ.
Mẹo nhớ: Cùng cột cộng với nhau.
Sai lầm: Cộng chéo.
Ghi chú: Quy tắc đúng với mọi số thực.
Tọa độ trung điểm
Hiểu đơn giản: Lấy trung bình từng tọa độ hai đầu.
M((xA+xB)/2;(yA+yB)/2).
Ví dụ: A(0;2),B(4;6) ⇒ M(2;4).
Hình nên dùng: Điểm giữa trên đoạn.
Mô phỏng: Kéo hai đầu và theo dõi M.
Mẹo nhớ: Cộng rồi chia 2.
Sai lầm: Quên chia 2.
Ghi chú: Suy ra từ AM⃗=MB⃗.
Cùng phương theo tọa độ
Hiểu đơn giản: Một cặp tọa độ là cùng một bội của cặp kia.
u⃗=(x;y),v⃗=(x';y') cùng phương ⇔ xy'−yx'=0.
Ví dụ: (2;3) và (4;6) cùng phương.
Hình nên dùng: Hai mũi tên song song.
Mô phỏng: Thay tọa độ và xem định thức.
Mẹo nhớ: Nhân chéo rồi trừ.
Sai lầm: Chia cho thành phần bằng 0.
Ghi chú: Điều kiện định thức an toàn hơn tỉ số.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TỌA ĐỘ VECTƠ
Điểm cuối trừ điểm đầu
Nhập A, B; công cụ tính AB⃗, độ dài AB và trung điểm M.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Cho A(-3;-4), B(-1;-5). Tìm tọa độ AB⃗.
Phân tích: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Hướng làm: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
- Bước 3: AB⃗ = (-1−(-3); -5−(-4)) = (2;-1).
Vì sao: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: (2;-1). Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Tìm trung điểm M của A(-2;-2) và B(1;-2).
Phân tích: Trung điểm chia đều cả độ dời ngang và dọc.
Hướng làm: Lấy trung bình cộng từng tọa độ.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Lấy trung bình cộng từng tọa độ.
- Bước 3: M((-2+1)/2; (-2+-2)/2) = M(-0.5;-2).
Vì sao: Trung điểm chia đều cả độ dời ngang và dọc.
Cách khác: Giải điều kiện AM⃗ = MB⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: M(-0.5;-2). Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Cho u⃗ = (-1;0), v⃗ = (3;1). Tính u⃗ + v⃗.
Phân tích: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Hướng làm: Cộng các thành phần cùng vị trí.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cộng các thành phần cùng vị trí.
- Bước 3: u⃗ + v⃗ = (2;1).
Vì sao: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: (2;1). Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Hai vectơ u⃗ = (0;2), v⃗ = (5;4) có cùng phương không?
Phân tích: Điều kiện định thức tránh phải chia cho thành phần có thể bằng 0.
Hướng làm: Kiểm định thức x₁y₂ − y₁x₂.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Kiểm định thức x₁y₂ − y₁x₂.
- Bước 3: 0·4 − 2·5 = -10; vì khác 0 nên hai vectơ không cùng phương.
Vì sao: Điều kiện định thức tránh phải chia cho thành phần có thể bằng 0.
Cách khác: Tìm k từ một thành phần rồi kiểm thành phần còn lại.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Không cùng phương. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Cho u⃗ = (1;4). Tính 3u⃗.
Phân tích: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Hướng làm: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
- Bước 3: 3u⃗ = (3;12).
Vì sao: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Cách khác: Cộng u⃗ với chính nó k lần.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: (3;12). Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Cho A(2;-3), B(5;-4). Tìm tọa độ AB⃗.
Phân tích: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Hướng làm: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
- Bước 3: AB⃗ = (5−(2); -4−(-3)) = (3;-1).
Vì sao: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: (3;-1). Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Tìm trung điểm M của A(3;-1) và B(7;-1).
Phân tích: Trung điểm chia đều cả độ dời ngang và dọc.
Hướng làm: Lấy trung bình cộng từng tọa độ.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Lấy trung bình cộng từng tọa độ.
- Bước 3: M((3+7)/2; (-1+-1)/2) = M(5;-1).
Vì sao: Trung điểm chia đều cả độ dời ngang và dọc.
Cách khác: Giải điều kiện AM⃗ = MB⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: M(5;-1). Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Cho u⃗ = (-3;1), v⃗ = (2;2). Tính u⃗ + v⃗.
Phân tích: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Hướng làm: Cộng các thành phần cùng vị trí.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cộng các thành phần cùng vị trí.
- Bước 3: u⃗ + v⃗ = (-1;3).
Vì sao: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: (-1;3). Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Hai vectơ u⃗ = (-2;3), v⃗ = (0;5) có cùng phương không?
Phân tích: Điều kiện định thức tránh phải chia cho thành phần có thể bằng 0.
Hướng làm: Kiểm định thức x₁y₂ − y₁x₂.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Kiểm định thức x₁y₂ − y₁x₂.
- Bước 3: -2·5 − 3·0 = -10; vì khác 0 nên hai vectơ không cùng phương.
Vì sao: Điều kiện định thức tránh phải chia cho thành phần có thể bằng 0.
Cách khác: Tìm k từ một thành phần rồi kiểm thành phần còn lại.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Không cùng phương. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Cho u⃗ = (-1;-4). Tính 2u⃗.
Phân tích: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Hướng làm: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
- Bước 3: 2u⃗ = (-2;-8).
Vì sao: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Cách khác: Cộng u⃗ với chính nó k lần.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: (-2;-8). Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Đo và so sánh
Vectơ trong mặt phẳng tọa độ giúp kiểm tra các phép đo, ước lượng và quyết định trong gia đình có căn cứ.
Dự án học tập
Học sinh thu thập dữ kiện, chọn mô hình vectơ trong mặt phẳng tọa độ và trình bày cách tự kiểm.
Đọc con số đúng nghĩa
Không chỉ tính ra số; phải hiểu đơn vị, độ tin cậy và giới hạn sử dụng.
Mô hình hóa
Đại lượng được biểu diễn bằng quan hệ toán học có điều kiện và có phép kiểm độc lập.
Thiết kế an toàn
Kĩ sư dùng công thức, hướng và sai số để tránh kết luận vượt quá dữ kiện.
Kiểm soát chất lượng
So sánh kết quả đo hoặc dữ liệu giúp phát hiện độ lệch và điều chỉnh quy trình.
Quan sát khó đo trực tiếp
Khoảng cách, phương hướng và số liệu tự nhiên có thể được suy ra từ mô hình phù hợp.
Năng lực phân tích
Kiến trúc, dữ liệu, logistics, khảo sát và công nghệ đều cần suy luận định lượng chặt chẽ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Tọa độ vectơ dùng khi nào?
Hai số cho biết dịch chuyển ngang và dọc. Dấu hiệu nhận biết: Ngang trước, dọc sau.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Đổi thứ tự x, y.
Quay lại Tọa độ vectơ: u⃗=(x;y)=x i⃗+y j⃗. Tự kiểm bằng (3;−2) là sang phải 3, xuống 2.
2. Lấy A−B.
Quay lại Vectơ qua hai điểm: A(xA;yA), B(xB;yB) ⇒ AB⃗=(xB−xA;yB−yA). Tự kiểm bằng A(1;2),B(4;0) ⇒ AB⃗=(3;−2).
3. Cộng chéo.
Quay lại Phép toán tọa độ: (x;y)+(x';y')=(x+x';y+y'); k(x;y)=(kx;ky). Tự kiểm bằng (1;2)+(3;−1)=(4;1).
4. Quên chia 2.
Quay lại Tọa độ trung điểm: M((xA+xB)/2;(yA+yB)/2). Tự kiểm bằng A(0;2),B(4;6) ⇒ M(2;4).
5. Chia cho thành phần bằng 0.
Quay lại Cùng phương theo tọa độ: u⃗=(x;y),v⃗=(x';y') cùng phương ⇔ xy'−yx'=0. Tự kiểm bằng (2;3) và (4;6) cùng phương.
6. Đổi thứ tự x, y.
Quay lại Tọa độ vectơ: u⃗=(x;y)=x i⃗+y j⃗. Tự kiểm bằng (3;−2) là sang phải 3, xuống 2.
7. Lấy A−B.
Quay lại Vectơ qua hai điểm: A(xA;yA), B(xB;yB) ⇒ AB⃗=(xB−xA;yB−yA). Tự kiểm bằng A(1;2),B(4;0) ⇒ AB⃗=(3;−2).
8. Cộng chéo.
Quay lại Phép toán tọa độ: (x;y)+(x';y')=(x+x';y+y'); k(x;y)=(kx;ky). Tự kiểm bằng (1;2)+(3;−1)=(4;1).
9. Quên chia 2.
Quay lại Tọa độ trung điểm: M((xA+xB)/2;(yA+yB)/2). Tự kiểm bằng A(0;2),B(4;6) ⇒ M(2;4).
10. Chia cho thành phần bằng 0.
Quay lại Cùng phương theo tọa độ: u⃗=(x;y),v⃗=(x';y') cùng phương ⇔ xy'−yx'=0. Tự kiểm bằng (2;3) và (4;6) cùng phương.
11. Đổi thứ tự x, y.
Quay lại Tọa độ vectơ: u⃗=(x;y)=x i⃗+y j⃗. Tự kiểm bằng (3;−2) là sang phải 3, xuống 2.
12. Lấy A−B.
Quay lại Vectơ qua hai điểm: A(xA;yA), B(xB;yB) ⇒ AB⃗=(xB−xA;yB−yA). Tự kiểm bằng A(1;2),B(4;0) ⇒ AB⃗=(3;−2).
13. Cộng chéo.
Quay lại Phép toán tọa độ: (x;y)+(x';y')=(x+x';y+y'); k(x;y)=(kx;ky). Tự kiểm bằng (1;2)+(3;−1)=(4;1).
14. Quên chia 2.
Quay lại Tọa độ trung điểm: M((xA+xB)/2;(yA+yB)/2). Tự kiểm bằng A(0;2),B(4;6) ⇒ M(2;4).
15. Chia cho thành phần bằng 0.
Quay lại Cùng phương theo tọa độ: u⃗=(x;y),v⃗=(x';y') cùng phương ⇔ xy'−yx'=0. Tự kiểm bằng (2;3) và (4;6) cùng phương.
16. Đổi thứ tự x, y.
Quay lại Tọa độ vectơ: u⃗=(x;y)=x i⃗+y j⃗. Tự kiểm bằng (3;−2) là sang phải 3, xuống 2.
17. Lấy A−B.
Quay lại Vectơ qua hai điểm: A(xA;yA), B(xB;yB) ⇒ AB⃗=(xB−xA;yB−yA). Tự kiểm bằng A(1;2),B(4;0) ⇒ AB⃗=(3;−2).
18. Cộng chéo.
Quay lại Phép toán tọa độ: (x;y)+(x';y')=(x+x';y+y'); k(x;y)=(kx;ky). Tự kiểm bằng (1;2)+(3;−1)=(4;1).
19. Quên chia 2.
Quay lại Tọa độ trung điểm: M((xA+xB)/2;(yA+yB)/2). Tự kiểm bằng A(0;2),B(4;6) ⇒ M(2;4).
20. Chia cho thành phần bằng 0.
Quay lại Cùng phương theo tọa độ: u⃗=(x;y),v⃗=(x';y') cùng phương ⇔ xy'−yx'=0. Tự kiểm bằng (2;3) và (4;6) cùng phương.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Dự đoán trước
Ước lượng dấu, độ lớn hoặc vị trí kết quả trước khi bấm máy.
Một công thức–một điều kiện
Viết cạnh–góc tương ứng, hướng vectơ, đơn vị hoặc giả thiết dữ liệu ngay cạnh công thức.
Hai đường kiểm
Kiểm bằng công thức khác, trường hợp đặc biệt, hình vẽ hoặc thế ngược.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi câu sai, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Flashcard sau một ngày, bài ngắn sau ba ngày, đề trộn sau bảy ngày.
Nói thành lời
Nếu giải thích được cho người khác trong hai phút, em mới thực sự hiểu.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Vectơ trong mặt phẳng tọa độ1 2 3 4 5
Tọa độ vectơNgang trước, dọc sau.
Vectơ qua hai điểmCuối trừ đầu.
Phép toán tọa độCùng cột cộng với nhau.
Tọa độ trung điểmCộng rồi chia 2.
Cùng phương theo tọa độNhân chéo rồi trừ.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
T10-B10-NB-01So sánh sin 135° và sin 45°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Vì sao: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Sai ở đâu: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
T10-B10-NB-02Tam giác ABC có b = 5, c = 7, A = 60°. Tính cạnh a.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 5² + 7² − 5·7 = 39. Vậy a = √39.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Sai ở đâu: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
T10-B10-NB-03Xác định dấu của sin 150°, cos 150° và tan 150°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc nằm giữa 90° và 180°: tung độ dương, hoành độ âm.
Lời giải: sin 150° > 0; cos 150° < 0; tan 150° < 0.
Vì sao: tan là thương sin/cos nên âm khi sin và cos trái dấu.
Sai ở đâu: Cho rằng mọi giá trị lượng giác của một góc trong [0°;180°] đều dương.
Cách khác: Đánh dấu điểm biểu diễn trên nửa đường tròn và đọc dấu hai tọa độ.
T10-B10-NB-04Cho A(-3;-4), B(-1;-5). Tìm tọa độ AB⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗ = (-1−(-3); -5−(-4)) = (2;-1).
Vì sao: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Sai ở đâu: Lấy A−B hoặc chỉ đổi dấu một thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
T10-B10-NB-05Tìm trung điểm M của A(-2;-2) và B(1;-2).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng tọa độ.
Lời giải: M((-2+1)/2; (-2+-2)/2) = M(-0.5;-2).
Vì sao: Trung điểm chia đều cả độ dời ngang và dọc.
Sai ở đâu: Cộng hai tọa độ nhưng quên chia 2.
Cách khác: Giải điều kiện AM⃗ = MB⃗.
T10-B10-NB-06Cho u⃗ = (-1;0), v⃗ = (3;1). Tính u⃗ + v⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng các thành phần cùng vị trí.
Lời giải: u⃗ + v⃗ = (2;1).
Vì sao: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Sai ở đâu: Cộng chéo hoành độ với tung độ.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
T10-B10-NB-07Hai vectơ u⃗ = (0;2), v⃗ = (5;4) có cùng phương không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Kiểm định thức x₁y₂ − y₁x₂.
Lời giải: 0·4 − 2·5 = -10; vì khác 0 nên hai vectơ không cùng phương.
Vì sao: Điều kiện định thức tránh phải chia cho thành phần có thể bằng 0.
Sai ở đâu: Lập tỉ số và chia cho 0 hoặc so sánh nhầm hai thành phần.
Cách khác: Tìm k từ một thành phần rồi kiểm thành phần còn lại.
T10-B10-NB-08Cho u⃗ = (1;4). Tính 3u⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
Lời giải: 3u⃗ = (3;12).
Vì sao: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Sai ở đâu: Chỉ nhân một thành phần.
Cách khác: Cộng u⃗ với chính nó k lần.
T10-B10-NB-09Cho A(2;-3), B(5;-4). Tìm tọa độ AB⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗ = (5−(2); -4−(-3)) = (3;-1).
Vì sao: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Sai ở đâu: Lấy A−B hoặc chỉ đổi dấu một thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
T10-B10-NB-10Tìm trung điểm M của A(3;-1) và B(7;-1).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng tọa độ.
Lời giải: M((3+7)/2; (-1+-1)/2) = M(5;-1).
Vì sao: Trung điểm chia đều cả độ dời ngang và dọc.
Sai ở đâu: Cộng hai tọa độ nhưng quên chia 2.
Cách khác: Giải điều kiện AM⃗ = MB⃗.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
So sánh sin 135° và sin 45°.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 2Cho u⃗ = (-1;0), v⃗ = (3;1). Tính u⃗ + v⃗.
Gợi ý: Cộng các thành phần cùng vị trí.
Lời giải: u⃗ + v⃗ = (2;1).
Giải thích: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Lỗi cần tránh: Cộng chéo hoành độ với tung độ.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
TỰ LUẬN 3Cho u⃗ = (-3;1), v⃗ = (2;2). Tính u⃗ + v⃗.
Gợi ý: Cộng các thành phần cùng vị trí.
Lời giải: u⃗ + v⃗ = (-1;3).
Giải thích: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Lỗi cần tránh: Cộng chéo hoành độ với tung độ.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
TỰ LUẬN 4Cho u⃗ = (2;2), v⃗ = (4;3). Tính u⃗ + v⃗.
Gợi ý: Cộng các thành phần cùng vị trí.
Lời giải: u⃗ + v⃗ = (6;5).
Giải thích: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Lỗi cần tránh: Cộng chéo hoành độ với tung độ.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
TỰ LUẬN 5Tam giác có hai cạnh b = 10, c = 8 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·10·8·1/2 = 20.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 6Cho u⃗ = (2;-2). Tính 3u⃗.
Gợi ý: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
Lời giải: 3u⃗ = (6;-6).
Giải thích: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Lỗi cần tránh: Chỉ nhân một thành phần.
Cách khác: Cộng u⃗ với chính nó k lần.
TỰ LUẬN 7Cho u⃗ = (0;-1). Tính 2u⃗.
Gợi ý: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
Lời giải: 2u⃗ = (0;-2).
Giải thích: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Lỗi cần tránh: Chỉ nhân một thành phần.
Cách khác: Cộng u⃗ với chính nó k lần.
TỰ LUẬN 8Cho u⃗ = (-2;0). Tính 4u⃗.
Gợi ý: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
Lời giải: 4u⃗ = (-8;0).
Giải thích: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Lỗi cần tránh: Chỉ nhân một thành phần.
Cách khác: Cộng u⃗ với chính nó k lần.
TỰ LUẬN 9So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 10Tìm trung điểm M của A(-2;-4) và B(0;-4).
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng tọa độ.
Lời giải: M((-2+0)/2; (-4+-4)/2) = M(-1;-4).
Giải thích: Trung điểm chia đều cả độ dời ngang và dọc.
Lỗi cần tránh: Cộng hai tọa độ nhưng quên chia 2.
Cách khác: Giải điều kiện AM⃗ = MB⃗.
TỰ LUẬN 11Tìm trung điểm M của A(3;-3) và B(6;-3).
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng tọa độ.
Lời giải: M((3+6)/2; (-3+-3)/2) = M(4.5;-3).
Giải thích: Trung điểm chia đều cả độ dời ngang và dọc.
Lỗi cần tránh: Cộng hai tọa độ nhưng quên chia 2.
Cách khác: Giải điều kiện AM⃗ = MB⃗.
TỰ LUẬN 12Tìm trung điểm M của A(1;-2) và B(5;-2).
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng tọa độ.
Lời giải: M((1+5)/2; (-2+-2)/2) = M(3;-2).
Giải thích: Trung điểm chia đều cả độ dời ngang và dọc.
Lỗi cần tránh: Cộng hai tọa độ nhưng quên chia 2.
Cách khác: Giải điều kiện AM⃗ = MB⃗.
TỰ LUẬN 13Tam giác có hai cạnh b = 11, c = 9 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·11·9·1/2 = 24.75.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 14Hai vectơ u⃗ = (1;3), v⃗ = (4;5) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm định thức x₁y₂ − y₁x₂.
Lời giải: 1·5 − 3·4 = -7; vì khác 0 nên hai vectơ không cùng phương.
Giải thích: Điều kiện định thức tránh phải chia cho thành phần có thể bằng 0.
Lỗi cần tránh: Lập tỉ số và chia cho 0 hoặc so sánh nhầm hai thành phần.
Cách khác: Tìm k từ một thành phần rồi kiểm thành phần còn lại.
TỰ LUẬN 15Hai vectơ u⃗ = (-1;4), v⃗ = (3;6) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm định thức x₁y₂ − y₁x₂.
Lời giải: -1·6 − 4·3 = -18; vì khác 0 nên hai vectơ không cùng phương.
Giải thích: Điều kiện định thức tránh phải chia cho thành phần có thể bằng 0.
Lỗi cần tránh: Lập tỉ số và chia cho 0 hoặc so sánh nhầm hai thành phần.
Cách khác: Tìm k từ một thành phần rồi kiểm thành phần còn lại.
TỰ LUẬN 16Hai vectơ u⃗ = (-3;-4), v⃗ = (2;-2) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm định thức x₁y₂ − y₁x₂.
Lời giải: -3·-2 − -4·2 = 14; vì khác 0 nên hai vectơ không cùng phương.
Giải thích: Điều kiện định thức tránh phải chia cho thành phần có thể bằng 0.
Lỗi cần tránh: Lập tỉ số và chia cho 0 hoặc so sánh nhầm hai thành phần.
Cách khác: Tìm k từ một thành phần rồi kiểm thành phần còn lại.
TỰ LUẬN 17So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 18Cho A(-3;1), B(1;0). Tìm tọa độ AB⃗.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗ = (1−(-3); 0−(1)) = (4;-1).
Giải thích: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Lỗi cần tránh: Lấy A−B hoặc chỉ đổi dấu một thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
TỰ LUẬN 19Cho A(2;2), B(7;1). Tìm tọa độ AB⃗.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗ = (7−(2); 1−(2)) = (5;-1).
Giải thích: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Lỗi cần tránh: Lấy A−B hoặc chỉ đổi dấu một thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
TỰ LUẬN 20Cho A(0;3), B(2;2). Tìm tọa độ AB⃗.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗ = (2−(0); 2−(3)) = (2;-1).
Giải thích: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Lỗi cần tránh: Lấy A−B hoặc chỉ đổi dấu một thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B10-NB-01, T10-B10-NB-02, T10-B10-NB-03, T10-B10-NB-04, T10-B10-NB-05, T10-B10-NB-06, T10-B10-NB-07, T10-B10-NB-08, T10-B10-NB-09, T10-B10-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B10-NB-01: sin 135° = sin 45°
- T10-B10-NB-02: √39
- T10-B10-NB-03: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-B10-NB-04: (2;-1)
- T10-B10-NB-05: M(-0.5;-2)
- T10-B10-NB-06: (2;1)
- T10-B10-NB-07: Không cùng phương
- T10-B10-NB-08: (3;12)
- T10-B10-NB-09: (3;-1)
- T10-B10-NB-10: M(5;-1)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: T10-B10-NB-11, T10-B10-NB-12, T10-B10-NB-13, T10-B10-NB-14, T10-B10-NB-15, T10-B10-NB-16, T10-B10-NB-17, T10-B10-NB-18, T10-B10-NB-19, T10-B10-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B10-NB-11: (-1;3)
- T10-B10-NB-12: Không cùng phương
- T10-B10-NB-13: (-2;-8)
- T10-B10-NB-14: (4;-1)
- T10-B10-NB-15: M(3.5;0)
- T10-B10-NB-16: (6;5)
- T10-B10-NB-17: Không cùng phương
- T10-B10-NB-18: (-12;-12)
- T10-B10-NB-19: (5;-1)
- T10-B10-NB-20: M(0;1)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B10-TH-01, T10-B10-TH-02, T10-B10-TH-03, T10-B10-TH-04, T10-B10-TH-05, T10-B10-TH-06, T10-B10-TH-07, T10-B10-TH-08, T10-B10-TH-09, T10-B10-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B10-TH-01: 20
- T10-B10-TH-02: 2
- T10-B10-TH-03: 0.7569
- T10-B10-TH-04: (3;7)
- T10-B10-TH-05: Không cùng phương
- T10-B10-TH-06: (6;-6)
- T10-B10-TH-07: (2;-1)
- T10-B10-TH-08: M(-1.5;2)
- T10-B10-TH-09: (0;9)
- T10-B10-TH-10: Không cùng phương
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B10-TH-11, T10-B10-TH-12, T10-B10-TH-13, T10-B10-TH-14, T10-B10-TH-15, T10-B10-TH-16, T10-B10-TH-17, T10-B10-TH-18, T10-B10-TH-19, T10-B10-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B10-TH-11: (0;-2)
- T10-B10-TH-12: (3;-1)
- T10-B10-TH-13: M(4;3)
- T10-B10-TH-14: (11;-7)
- T10-B10-TH-15: Không cùng phương
- T10-B10-TH-16: (-8;0)
- T10-B10-TH-17: (4;-1)
- T10-B10-TH-18: M(2.5;4)
- T10-B10-TH-19: (4;-5)
- T10-B10-TH-20: Không cùng phương
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B10-VD-01, T10-B10-VD-02, T10-B10-VD-03, T10-B10-VD-04, T10-B10-VD-05, T10-B10-VD-06, T10-B10-VD-07, T10-B10-VD-08, T10-B10-VD-09, T10-B10-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B10-VD-01: sin 135° = sin 45°
- T10-B10-VD-02: √52
- T10-B10-VD-03: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-B10-VD-04: (9;3)
- T10-B10-VD-05: (5;-1)
- T10-B10-VD-06: M(-1;-4)
- T10-B10-VD-07: (1;-3)
- T10-B10-VD-08: Cùng phương
- T10-B10-VD-09: (2;4)
- T10-B10-VD-10: (2;-1)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 45–60 phút; ưu tiên con nói được vì sao chọn công thức trước khi bấm máy.
- Nếu con sai, hỏi con dữ kiện nào chưa dùng và điều kiện nào bị bỏ quên.
- Cho con làm lại một câu tương tự sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày.
- Không so tốc độ với bạn; theo dõi loại lỗi giảm dần trong sổ lỗi.
- Chỉ chuyển bài khi đạt ít nhất 80% và giải thích được ba câu sai gần nhất.
- Mở bài bằng một tình huống có dữ kiện thừa hoặc thiếu để học sinh tập chọn mô hình.
- Yêu cầu học sinh dự đoán dấu, độ lớn hoặc hình dạng kết quả trước khi tính.
- Tách lỗi khái niệm, lỗi điều kiện, lỗi biến đổi và lỗi máy tính.
- Dùng câu hỏi ngược: nếu đổi dữ kiện thì kết quả biến đổi theo hướng nào?
- Đề Hà Nội trên website là đề nội bộ tham khảo cấu trúc, không phải đề chính thức của Sở.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.