Nhìn cấu trúc trước
Học tích vô hướng của hai vectơ bằng quan hệ và hình ảnh, không thuộc công thức rời rạc.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 11. Tích vô hướng của hai vectơ
Kết nối hình học với tọa độ bằng tích vô hướng, từ đó tính góc, độ dài và kiểm tra vuông góc một cách có căn cứ.
Một con số đo góc, độ dài và sự vuông góc
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi bài bắt đầu bằng dữ kiện đã có, điều cần tìm và điều kiện áp dụng.
Gắn với thực tiễn
Ví dụ đo đạc, chuyển động, dữ liệu và ra quyết định giúp thấy ý nghĩa của kết quả.
Không phụ thuộc đáp án
Mỗi lời giải có phép kiểm bằng định nghĩa, công thức khác, hình hoặc ước lượng.
- Tính tích vô hướng bằng góc hoặc tọa độ.
- Tính độ dài và góc giữa hai vectơ.
- Kiểm tra vuông góc đúng điều kiện.
- Vận dụng vào hình học và vật lí.
- Giá trị cos của góc 0°–180°.
- Tọa độ vectơ.
- Định lí Pythagore.
- Vectơ-không và góc giữa hai vectơ.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Định nghĩa tích vô hướng
Hiểu đơn giản: Tích vô hướng đo mức cùng hướng của hai vectơ.
u⃗·v⃗=|u⃗||v⃗|cos(u⃗,v⃗).
Ví dụ: Góc 90° cho tích bằng 0.
Hình nên dùng: Hai vectơ và góc xen giữa.
Mô phỏng: Kéo góc từ 0° đến 180°.
Mẹo nhớ: Dài–dài–cos.
Sai lầm: Dùng sin thay cos.
Ghi chú: Kết quả là một số, không phải vectơ.
Biểu thức tọa độ
Hiểu đơn giản: Nhân hai hoành độ, hai tung độ rồi cộng.
(x;y)·(x';y')=xx'+yy'.
Ví dụ: (1;2)·(3;−1)=1.
Hình nên dùng: Hai cột tọa độ.
Mô phỏng: Nhập bốn thành phần.
Mẹo nhớ: Nhân cùng vị trí rồi cộng.
Sai lầm: Nhân chéo.
Ghi chú: Dùng nhanh để kiểm vuông góc.
Điều kiện vuông góc
Hiểu đơn giản: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
u⃗⊥v⃗ ⇔ u⃗·v⃗=0, với u⃗,v⃗≠0⃗.
Ví dụ: (a;b)⊥(−b;a).
Hình nên dùng: Góc vuông.
Mô phỏng: Quay một vectơ 90°.
Mẹo nhớ: Vuông → tích 0.
Sai lầm: Quên loại vectơ-không.
Ghi chú: 0⃗ không tạo góc xác định.
Độ dài từ tọa độ
Hiểu đơn giản: Độ dài là căn tổng bình phương hai thành phần.
|u⃗|=√(x²+y²).
Ví dụ: |(3;4)|=5.
Hình nên dùng: Tam giác vuông tọa độ.
Mô phỏng: Kéo mũi tên trên lưới.
Mẹo nhớ: Pythagore cho vectơ.
Sai lầm: Quên căn.
Ghi chú: |u⃗|²=u⃗·u⃗.
Góc giữa hai vectơ
Hiểu đơn giản: Tính cos bằng tích vô hướng chia tích độ dài.
cosθ=(u⃗·v⃗)/(|u⃗||v⃗|), u⃗,v⃗≠0⃗.
Ví dụ: Tích dương: góc nhọn; âm: góc tù.
Hình nên dùng: Thước góc giữa hai mũi tên.
Mô phỏng: Tính và so dấu cos.
Mẹo nhớ: Dấu tích nói loại góc.
Sai lầm: Bỏ mẫu độ dài.
Ghi chú: Kết quả cos phải thuộc [−1;1].
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TÍCH VÔ HƯỚNG
Kiểm góc và vuông góc
Nhập hai vectơ khác 0; công cụ tính tích vô hướng, cos và góc giữa chúng.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Cho u⃗ = (-2;-3), v⃗ = (-3;-4). Tính u⃗·v⃗.
Phân tích: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng cho kết quả là một số.
Hướng làm: Nhân các thành phần tương ứng rồi cộng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Nhân các thành phần tương ứng rồi cộng.
- Bước 3: u⃗·v⃗ = -2·-3 + -3·-4 = 18.
Vì sao: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng cho kết quả là một số.
Cách khác: Dùng |u⃗||v⃗|cos(u⃗,v⃗) nếu đã biết góc và độ dài.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 18. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Hai vectơ có độ dài 4, 5 và góc xen giữa 60°. Tính tích vô hướng.
Phân tích: Dấu và độ lớn của tích vô hướng phụ thuộc cos của góc giữa hai vectơ.
Hướng làm: Dùng u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos60°.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos60°.
- Bước 3: u⃗·v⃗ = 4·5·1/2 = 10.
Vì sao: Dấu và độ lớn của tích vô hướng phụ thuộc cos của góc giữa hai vectơ.
Cách khác: Đặt hai vectơ trong hệ trục sao cho một vectơ nằm trên Ox rồi tính tọa độ.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 10. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Kiểm tra u⃗ = (0;1) và w⃗ = (-1;0) có vuông góc không.
Phân tích: Phép quay 90° biến (x;y) thành (−y;x).
Hướng làm: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
- Bước 3: u⃗·w⃗ = 0·(-1) + 1·0 = 0, nên hai vectơ vuông góc.
Vì sao: Phép quay 90° biến (x;y) thành (−y;x).
Cách khác: So sánh hệ số góc khi cả hai đường biểu diễn đều xác định.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Vuông góc. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Tính độ dài của vectơ a⃗ = (6;4).
Phân tích: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Hướng làm: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
- Bước 3: |a⃗| = √(6²+4²) = √52.
Vì sao: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông |x| và |y|.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: √52. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Với u⃗ = (2;-2), v⃗ = (2;3), góc giữa hai vectơ là nhọn, vuông hay tù?
Phân tích: cos góc cùng dấu với tích vô hướng vì hai độ dài dương.
Hướng làm: Xét dấu của tích vô hướng, đồng thời loại trường hợp vectơ-không.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Xét dấu của tích vô hướng, đồng thời loại trường hợp vectơ-không.
- Bước 3: u⃗·v⃗ = -2. Tích âm, nên góc tù.
Vì sao: cos góc cùng dấu với tích vô hướng vì hai độ dài dương.
Cách khác: Nếu hai vectơ khác 0, tính cos bằng thương của tích vô hướng và tích độ dài.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: tù. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Cho u⃗ = (-2;0), v⃗ = (-2;-2). Tính u⃗·v⃗.
Phân tích: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng cho kết quả là một số.
Hướng làm: Nhân các thành phần tương ứng rồi cộng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Nhân các thành phần tương ứng rồi cộng.
- Bước 3: u⃗·v⃗ = -2·-2 + 0·-2 = 4.
Vì sao: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng cho kết quả là một số.
Cách khác: Dùng |u⃗||v⃗|cos(u⃗,v⃗) nếu đã biết góc và độ dài.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 4. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Hai vectơ có độ dài 4, 6 và góc xen giữa 60°. Tính tích vô hướng.
Phân tích: Dấu và độ lớn của tích vô hướng phụ thuộc cos của góc giữa hai vectơ.
Hướng làm: Dùng u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos60°.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos60°.
- Bước 3: u⃗·v⃗ = 4·6·1/2 = 12.
Vì sao: Dấu và độ lớn của tích vô hướng phụ thuộc cos của góc giữa hai vectơ.
Cách khác: Đặt hai vectơ trong hệ trục sao cho một vectơ nằm trên Ox rồi tính tọa độ.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 12. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Kiểm tra u⃗ = (0;-3) và w⃗ = (3;0) có vuông góc không.
Phân tích: Phép quay 90° biến (x;y) thành (−y;x).
Hướng làm: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
- Bước 3: u⃗·w⃗ = 0·(3) + -3·0 = 0, nên hai vectơ vuông góc.
Vì sao: Phép quay 90° biến (x;y) thành (−y;x).
Cách khác: So sánh hệ số góc khi cả hai đường biểu diễn đều xác định.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Vuông góc. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Tính độ dài của vectơ a⃗ = (5;4).
Phân tích: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Hướng làm: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
- Bước 3: |a⃗| = √(5²+4²) = √41.
Vì sao: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông |x| và |y|.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: √41. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Với u⃗ = (2;1), v⃗ = (3;-4), góc giữa hai vectơ là nhọn, vuông hay tù?
Phân tích: cos góc cùng dấu với tích vô hướng vì hai độ dài dương.
Hướng làm: Xét dấu của tích vô hướng, đồng thời loại trường hợp vectơ-không.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Xét dấu của tích vô hướng, đồng thời loại trường hợp vectơ-không.
- Bước 3: u⃗·v⃗ = 2. Tích dương, nên góc nhọn.
Vì sao: cos góc cùng dấu với tích vô hướng vì hai độ dài dương.
Cách khác: Nếu hai vectơ khác 0, tính cos bằng thương của tích vô hướng và tích độ dài.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: nhọn. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Đo và so sánh
Tích vô hướng của hai vectơ giúp kiểm tra các phép đo, ước lượng và quyết định trong gia đình có căn cứ.
Dự án học tập
Học sinh thu thập dữ kiện, chọn mô hình tích vô hướng của hai vectơ và trình bày cách tự kiểm.
Đọc con số đúng nghĩa
Không chỉ tính ra số; phải hiểu đơn vị, độ tin cậy và giới hạn sử dụng.
Mô hình hóa
Đại lượng được biểu diễn bằng quan hệ toán học có điều kiện và có phép kiểm độc lập.
Thiết kế an toàn
Kĩ sư dùng công thức, hướng và sai số để tránh kết luận vượt quá dữ kiện.
Kiểm soát chất lượng
So sánh kết quả đo hoặc dữ liệu giúp phát hiện độ lệch và điều chỉnh quy trình.
Quan sát khó đo trực tiếp
Khoảng cách, phương hướng và số liệu tự nhiên có thể được suy ra từ mô hình phù hợp.
Năng lực phân tích
Kiến trúc, dữ liệu, logistics, khảo sát và công nghệ đều cần suy luận định lượng chặt chẽ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Định nghĩa tích vô hướng dùng khi nào?
Tích vô hướng đo mức cùng hướng của hai vectơ. Dấu hiệu nhận biết: Dài–dài–cos.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Dùng sin thay cos.
Quay lại Định nghĩa tích vô hướng: u⃗·v⃗=|u⃗||v⃗|cos(u⃗,v⃗). Tự kiểm bằng Góc 90° cho tích bằng 0.
2. Nhân chéo.
Quay lại Biểu thức tọa độ: (x;y)·(x';y')=xx'+yy'. Tự kiểm bằng (1;2)·(3;−1)=1.
3. Quên loại vectơ-không.
Quay lại Điều kiện vuông góc: u⃗⊥v⃗ ⇔ u⃗·v⃗=0, với u⃗,v⃗≠0⃗. Tự kiểm bằng (a;b)⊥(−b;a).
4. Quên căn.
Quay lại Độ dài từ tọa độ: |u⃗|=√(x²+y²). Tự kiểm bằng |(3;4)|=5.
5. Bỏ mẫu độ dài.
Quay lại Góc giữa hai vectơ: cosθ=(u⃗·v⃗)/(|u⃗||v⃗|), u⃗,v⃗≠0⃗. Tự kiểm bằng Tích dương: góc nhọn; âm: góc tù.
6. Dùng sin thay cos.
Quay lại Định nghĩa tích vô hướng: u⃗·v⃗=|u⃗||v⃗|cos(u⃗,v⃗). Tự kiểm bằng Góc 90° cho tích bằng 0.
7. Nhân chéo.
Quay lại Biểu thức tọa độ: (x;y)·(x';y')=xx'+yy'. Tự kiểm bằng (1;2)·(3;−1)=1.
8. Quên loại vectơ-không.
Quay lại Điều kiện vuông góc: u⃗⊥v⃗ ⇔ u⃗·v⃗=0, với u⃗,v⃗≠0⃗. Tự kiểm bằng (a;b)⊥(−b;a).
9. Quên căn.
Quay lại Độ dài từ tọa độ: |u⃗|=√(x²+y²). Tự kiểm bằng |(3;4)|=5.
10. Bỏ mẫu độ dài.
Quay lại Góc giữa hai vectơ: cosθ=(u⃗·v⃗)/(|u⃗||v⃗|), u⃗,v⃗≠0⃗. Tự kiểm bằng Tích dương: góc nhọn; âm: góc tù.
11. Dùng sin thay cos.
Quay lại Định nghĩa tích vô hướng: u⃗·v⃗=|u⃗||v⃗|cos(u⃗,v⃗). Tự kiểm bằng Góc 90° cho tích bằng 0.
12. Nhân chéo.
Quay lại Biểu thức tọa độ: (x;y)·(x';y')=xx'+yy'. Tự kiểm bằng (1;2)·(3;−1)=1.
13. Quên loại vectơ-không.
Quay lại Điều kiện vuông góc: u⃗⊥v⃗ ⇔ u⃗·v⃗=0, với u⃗,v⃗≠0⃗. Tự kiểm bằng (a;b)⊥(−b;a).
14. Quên căn.
Quay lại Độ dài từ tọa độ: |u⃗|=√(x²+y²). Tự kiểm bằng |(3;4)|=5.
15. Bỏ mẫu độ dài.
Quay lại Góc giữa hai vectơ: cosθ=(u⃗·v⃗)/(|u⃗||v⃗|), u⃗,v⃗≠0⃗. Tự kiểm bằng Tích dương: góc nhọn; âm: góc tù.
16. Dùng sin thay cos.
Quay lại Định nghĩa tích vô hướng: u⃗·v⃗=|u⃗||v⃗|cos(u⃗,v⃗). Tự kiểm bằng Góc 90° cho tích bằng 0.
17. Nhân chéo.
Quay lại Biểu thức tọa độ: (x;y)·(x';y')=xx'+yy'. Tự kiểm bằng (1;2)·(3;−1)=1.
18. Quên loại vectơ-không.
Quay lại Điều kiện vuông góc: u⃗⊥v⃗ ⇔ u⃗·v⃗=0, với u⃗,v⃗≠0⃗. Tự kiểm bằng (a;b)⊥(−b;a).
19. Quên căn.
Quay lại Độ dài từ tọa độ: |u⃗|=√(x²+y²). Tự kiểm bằng |(3;4)|=5.
20. Bỏ mẫu độ dài.
Quay lại Góc giữa hai vectơ: cosθ=(u⃗·v⃗)/(|u⃗||v⃗|), u⃗,v⃗≠0⃗. Tự kiểm bằng Tích dương: góc nhọn; âm: góc tù.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Dự đoán trước
Ước lượng dấu, độ lớn hoặc vị trí kết quả trước khi bấm máy.
Một công thức–một điều kiện
Viết cạnh–góc tương ứng, hướng vectơ, đơn vị hoặc giả thiết dữ liệu ngay cạnh công thức.
Hai đường kiểm
Kiểm bằng công thức khác, trường hợp đặc biệt, hình vẽ hoặc thế ngược.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi câu sai, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Flashcard sau một ngày, bài ngắn sau ba ngày, đề trộn sau bảy ngày.
Nói thành lời
Nếu giải thích được cho người khác trong hai phút, em mới thực sự hiểu.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Tích vô hướng của hai vectơ1 2 3 4 5
Định nghĩa tích vô hướngDài–dài–cos.
Biểu thức tọa độNhân cùng vị trí rồi cộng.
Điều kiện vuông gócVuông → tích 0.
Độ dài từ tọa độPythagore cho vectơ.
Góc giữa hai vectơDấu tích nói loại góc.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
T10-B11-NB-01So sánh sin 135° và sin 45°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Vì sao: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Sai ở đâu: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
T10-B11-NB-02Tam giác ABC có b = 5, c = 7, A = 60°. Tính cạnh a.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 5² + 7² − 5·7 = 39. Vậy a = √39.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Sai ở đâu: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
T10-B11-NB-03Xác định dấu của sin 150°, cos 150° và tan 150°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc nằm giữa 90° và 180°: tung độ dương, hoành độ âm.
Lời giải: sin 150° > 0; cos 150° < 0; tan 150° < 0.
Vì sao: tan là thương sin/cos nên âm khi sin và cos trái dấu.
Sai ở đâu: Cho rằng mọi giá trị lượng giác của một góc trong [0°;180°] đều dương.
Cách khác: Đánh dấu điểm biểu diễn trên nửa đường tròn và đọc dấu hai tọa độ.
T10-B11-NB-04Cho u⃗ = (-2;-3), v⃗ = (-3;-4). Tính u⃗·v⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các thành phần tương ứng rồi cộng.
Lời giải: u⃗·v⃗ = -2·-3 + -3·-4 = 18.
Vì sao: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng cho kết quả là một số.
Sai ở đâu: Cho kết quả là một vectơ hoặc nhân chéo thành phần.
Cách khác: Dùng |u⃗||v⃗|cos(u⃗,v⃗) nếu đã biết góc và độ dài.
T10-B11-NB-05Hai vectơ có độ dài 4, 5 và góc xen giữa 60°. Tính tích vô hướng.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos60°.
Lời giải: u⃗·v⃗ = 4·5·1/2 = 10.
Vì sao: Dấu và độ lớn của tích vô hướng phụ thuộc cos của góc giữa hai vectơ.
Sai ở đâu: Dùng sin60° hoặc quên nhân hai độ dài.
Cách khác: Đặt hai vectơ trong hệ trục sao cho một vectơ nằm trên Ox rồi tính tọa độ.
T10-B11-NB-06Kiểm tra u⃗ = (0;1) và w⃗ = (-1;0) có vuông góc không.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Lời giải: u⃗·w⃗ = 0·(-1) + 1·0 = 0, nên hai vectơ vuông góc.
Vì sao: Phép quay 90° biến (x;y) thành (−y;x).
Sai ở đâu: Chỉ nhìn hình thức tọa độ mà không kiểm trường hợp vectơ-không.
Cách khác: So sánh hệ số góc khi cả hai đường biểu diễn đều xác định.
T10-B11-NB-07Tính độ dài của vectơ a⃗ = (6;4).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
Lời giải: |a⃗| = √(6²+4²) = √52.
Vì sao: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Sai ở đâu: Cộng x+y hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông |x| và |y|.
T10-B11-NB-08Với u⃗ = (2;-2), v⃗ = (2;3), góc giữa hai vectơ là nhọn, vuông hay tù?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xét dấu của tích vô hướng, đồng thời loại trường hợp vectơ-không.
Lời giải: u⃗·v⃗ = -2. Tích âm, nên góc tù.
Vì sao: cos góc cùng dấu với tích vô hướng vì hai độ dài dương.
Sai ở đâu: Kết luận góc khi một trong hai vectơ là vectơ-không.
Cách khác: Nếu hai vectơ khác 0, tính cos bằng thương của tích vô hướng và tích độ dài.
T10-B11-NB-09Cho u⃗ = (-2;0), v⃗ = (-2;-2). Tính u⃗·v⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các thành phần tương ứng rồi cộng.
Lời giải: u⃗·v⃗ = -2·-2 + 0·-2 = 4.
Vì sao: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng cho kết quả là một số.
Sai ở đâu: Cho kết quả là một vectơ hoặc nhân chéo thành phần.
Cách khác: Dùng |u⃗||v⃗|cos(u⃗,v⃗) nếu đã biết góc và độ dài.
T10-B11-NB-10Hai vectơ có độ dài 4, 6 và góc xen giữa 60°. Tính tích vô hướng.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos60°.
Lời giải: u⃗·v⃗ = 4·6·1/2 = 12.
Vì sao: Dấu và độ lớn của tích vô hướng phụ thuộc cos của góc giữa hai vectơ.
Sai ở đâu: Dùng sin60° hoặc quên nhân hai độ dài.
Cách khác: Đặt hai vectơ trong hệ trục sao cho một vectơ nằm trên Ox rồi tính tọa độ.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
So sánh sin 135° và sin 45°.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 2Kiểm tra u⃗ = (0;1) và w⃗ = (-1;0) có vuông góc không.
Gợi ý: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Lời giải: u⃗·w⃗ = 0·(-1) + 1·0 = 0, nên hai vectơ vuông góc.
Giải thích: Phép quay 90° biến (x;y) thành (−y;x).
Lỗi cần tránh: Chỉ nhìn hình thức tọa độ mà không kiểm trường hợp vectơ-không.
Cách khác: So sánh hệ số góc khi cả hai đường biểu diễn đều xác định.
TỰ LUẬN 3Kiểm tra u⃗ = (0;-3) và w⃗ = (3;0) có vuông góc không.
Gợi ý: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Lời giải: u⃗·w⃗ = 0·(3) + -3·0 = 0, nên hai vectơ vuông góc.
Giải thích: Phép quay 90° biến (x;y) thành (−y;x).
Lỗi cần tránh: Chỉ nhìn hình thức tọa độ mà không kiểm trường hợp vectơ-không.
Cách khác: So sánh hệ số góc khi cả hai đường biểu diễn đều xác định.
TỰ LUẬN 4Kiểm tra u⃗ = (0;0) và w⃗ = (0;0) có vuông góc không.
Gợi ý: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Lời giải: u⃗·w⃗ = 0·(0) + 0·0 = 0, nên u⃗ là vectơ-không nên không kết luận góc.
Giải thích: Phép quay 90° biến (x;y) thành (−y;x).
Lỗi cần tránh: Chỉ nhìn hình thức tọa độ mà không kiểm trường hợp vectơ-không.
Cách khác: So sánh hệ số góc khi cả hai đường biểu diễn đều xác định.
TỰ LUẬN 5Tam giác có hai cạnh b = 10, c = 8 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·10·8·1/2 = 20.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 6Với u⃗ = (2;0), v⃗ = (-2;0), góc giữa hai vectơ là nhọn, vuông hay tù?
Gợi ý: Xét dấu của tích vô hướng, đồng thời loại trường hợp vectơ-không.
Lời giải: u⃗·v⃗ = -4. Tích âm, nên góc tù.
Giải thích: cos góc cùng dấu với tích vô hướng vì hai độ dài dương.
Lỗi cần tránh: Kết luận góc khi một trong hai vectơ là vectơ-không.
Cách khác: Nếu hai vectơ khác 0, tính cos bằng thương của tích vô hướng và tích độ dài.
TỰ LUẬN 7Với u⃗ = (2;3), v⃗ = (-1;2), góc giữa hai vectơ là nhọn, vuông hay tù?
Gợi ý: Xét dấu của tích vô hướng, đồng thời loại trường hợp vectơ-không.
Lời giải: u⃗·v⃗ = 4. Tích dương, nên góc nhọn.
Giải thích: cos góc cùng dấu với tích vô hướng vì hai độ dài dương.
Lỗi cần tránh: Kết luận góc khi một trong hai vectơ là vectơ-không.
Cách khác: Nếu hai vectơ khác 0, tính cos bằng thương của tích vô hướng và tích độ dài.
TỰ LUẬN 8Với u⃗ = (2;-1), v⃗ = (0;4), góc giữa hai vectơ là nhọn, vuông hay tù?
Gợi ý: Xét dấu của tích vô hướng, đồng thời loại trường hợp vectơ-không.
Lời giải: u⃗·v⃗ = -4. Tích âm, nên góc tù.
Giải thích: cos góc cùng dấu với tích vô hướng vì hai độ dài dương.
Lỗi cần tránh: Kết luận góc khi một trong hai vectơ là vectơ-không.
Cách khác: Nếu hai vectơ khác 0, tính cos bằng thương của tích vô hướng và tích độ dài.
TỰ LUẬN 9So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 10Hai vectơ có độ dài 4, 4 và góc xen giữa 60°. Tính tích vô hướng.
Gợi ý: Dùng u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos60°.
Lời giải: u⃗·v⃗ = 4·4·1/2 = 8.
Giải thích: Dấu và độ lớn của tích vô hướng phụ thuộc cos của góc giữa hai vectơ.
Lỗi cần tránh: Dùng sin60° hoặc quên nhân hai độ dài.
Cách khác: Đặt hai vectơ trong hệ trục sao cho một vectơ nằm trên Ox rồi tính tọa độ.
TỰ LUẬN 11Hai vectơ có độ dài 4, 5 và góc xen giữa 60°. Tính tích vô hướng.
Gợi ý: Dùng u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos60°.
Lời giải: u⃗·v⃗ = 4·5·1/2 = 10.
Giải thích: Dấu và độ lớn của tích vô hướng phụ thuộc cos của góc giữa hai vectơ.
Lỗi cần tránh: Dùng sin60° hoặc quên nhân hai độ dài.
Cách khác: Đặt hai vectơ trong hệ trục sao cho một vectơ nằm trên Ox rồi tính tọa độ.
TỰ LUẬN 12Hai vectơ có độ dài 4, 6 và góc xen giữa 60°. Tính tích vô hướng.
Gợi ý: Dùng u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos60°.
Lời giải: u⃗·v⃗ = 4·6·1/2 = 12.
Giải thích: Dấu và độ lớn của tích vô hướng phụ thuộc cos của góc giữa hai vectơ.
Lỗi cần tránh: Dùng sin60° hoặc quên nhân hai độ dài.
Cách khác: Đặt hai vectơ trong hệ trục sao cho một vectơ nằm trên Ox rồi tính tọa độ.
TỰ LUẬN 13Tam giác có hai cạnh b = 11, c = 9 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·11·9·1/2 = 24.75.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 14Tính độ dài của vectơ a⃗ = (8;4).
Gợi ý: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
Lời giải: |a⃗| = √(8²+4²) = √80.
Giải thích: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Lỗi cần tránh: Cộng x+y hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông |x| và |y|.
TỰ LUẬN 15Tính độ dài của vectơ a⃗ = (7;4).
Gợi ý: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
Lời giải: |a⃗| = √(7²+4²) = √65.
Giải thích: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Lỗi cần tránh: Cộng x+y hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông |x| và |y|.
TỰ LUẬN 16Tính độ dài của vectơ a⃗ = (6;4).
Gợi ý: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
Lời giải: |a⃗| = √(6²+4²) = √52.
Giải thích: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Lỗi cần tránh: Cộng x+y hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông |x| và |y|.
TỰ LUẬN 17So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 18Cho u⃗ = (-2;-3), v⃗ = (-3;-3). Tính u⃗·v⃗.
Gợi ý: Nhân các thành phần tương ứng rồi cộng.
Lời giải: u⃗·v⃗ = -2·-3 + -3·-3 = 15.
Giải thích: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng cho kết quả là một số.
Lỗi cần tránh: Cho kết quả là một vectơ hoặc nhân chéo thành phần.
Cách khác: Dùng |u⃗||v⃗|cos(u⃗,v⃗) nếu đã biết góc và độ dài.
TỰ LUẬN 19Cho u⃗ = (-2;0), v⃗ = (-2;-1). Tính u⃗·v⃗.
Gợi ý: Nhân các thành phần tương ứng rồi cộng.
Lời giải: u⃗·v⃗ = -2·-2 + 0·-1 = 4.
Giải thích: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng cho kết quả là một số.
Lỗi cần tránh: Cho kết quả là một vectơ hoặc nhân chéo thành phần.
Cách khác: Dùng |u⃗||v⃗|cos(u⃗,v⃗) nếu đã biết góc và độ dài.
TỰ LUẬN 20Cho u⃗ = (-2;3), v⃗ = (-1;1). Tính u⃗·v⃗.
Gợi ý: Nhân các thành phần tương ứng rồi cộng.
Lời giải: u⃗·v⃗ = -2·-1 + 3·1 = 5.
Giải thích: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng cho kết quả là một số.
Lỗi cần tránh: Cho kết quả là một vectơ hoặc nhân chéo thành phần.
Cách khác: Dùng |u⃗||v⃗|cos(u⃗,v⃗) nếu đã biết góc và độ dài.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B11-NB-01, T10-B11-NB-02, T10-B11-NB-03, T10-B11-NB-04, T10-B11-NB-05, T10-B11-NB-06, T10-B11-NB-07, T10-B11-NB-08, T10-B11-NB-09, T10-B11-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B11-NB-01: sin 135° = sin 45°
- T10-B11-NB-02: √39
- T10-B11-NB-03: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-B11-NB-04: 18
- T10-B11-NB-05: 10
- T10-B11-NB-06: Vuông góc
- T10-B11-NB-07: √52
- T10-B11-NB-08: tù
- T10-B11-NB-09: 4
- T10-B11-NB-10: 12
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: T10-B11-NB-11, T10-B11-NB-12, T10-B11-NB-13, T10-B11-NB-14, T10-B11-NB-15, T10-B11-NB-16, T10-B11-NB-17, T10-B11-NB-18, T10-B11-NB-19, T10-B11-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B11-NB-11: Vuông góc
- T10-B11-NB-12: √41
- T10-B11-NB-13: nhọn
- T10-B11-NB-14: 2
- T10-B11-NB-15: 14
- T10-B11-NB-16: Không kết luận góc
- T10-B11-NB-17: √32
- T10-B11-NB-18: vuông
- T10-B11-NB-19: -2
- T10-B11-NB-20: 8
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B11-TH-01, T10-B11-TH-02, T10-B11-TH-03, T10-B11-TH-04, T10-B11-TH-05, T10-B11-TH-06, T10-B11-TH-07, T10-B11-TH-08, T10-B11-TH-09, T10-B11-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B11-TH-01: 20
- T10-B11-TH-02: 2
- T10-B11-TH-03: 0.7569
- T10-B11-TH-04: Vuông góc
- T10-B11-TH-05: 5
- T10-B11-TH-06: tù
- T10-B11-TH-07: 6
- T10-B11-TH-08: 10
- T10-B11-TH-09: Vuông góc
- T10-B11-TH-10: √80
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B11-TH-11, T10-B11-TH-12, T10-B11-TH-13, T10-B11-TH-14, T10-B11-TH-15, T10-B11-TH-16, T10-B11-TH-17, T10-B11-TH-18, T10-B11-TH-19, T10-B11-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B11-TH-11: nhọn
- T10-B11-TH-12: 2
- T10-B11-TH-13: 12
- T10-B11-TH-14: Vuông góc
- T10-B11-TH-15: √65
- T10-B11-TH-16: tù
- T10-B11-TH-17: -7
- T10-B11-TH-18: 14
- T10-B11-TH-19: Vuông góc
- T10-B11-TH-20: √52
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B11-VD-01, T10-B11-VD-02, T10-B11-VD-03, T10-B11-VD-04, T10-B11-VD-05, T10-B11-VD-06, T10-B11-VD-07, T10-B11-VD-08, T10-B11-VD-09, T10-B11-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B11-VD-01: sin 135° = sin 45°
- T10-B11-VD-02: √52
- T10-B11-VD-03: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-B11-VD-04: tù
- T10-B11-VD-05: 3
- T10-B11-VD-06: 8
- T10-B11-VD-07: Vuông góc
- T10-B11-VD-08: √41
- T10-B11-VD-09: nhọn
- T10-B11-VD-10: 4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 45–60 phút; ưu tiên con nói được vì sao chọn công thức trước khi bấm máy.
- Nếu con sai, hỏi con dữ kiện nào chưa dùng và điều kiện nào bị bỏ quên.
- Cho con làm lại một câu tương tự sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày.
- Không so tốc độ với bạn; theo dõi loại lỗi giảm dần trong sổ lỗi.
- Chỉ chuyển bài khi đạt ít nhất 80% và giải thích được ba câu sai gần nhất.
- Mở bài bằng một tình huống có dữ kiện thừa hoặc thiếu để học sinh tập chọn mô hình.
- Yêu cầu học sinh dự đoán dấu, độ lớn hoặc hình dạng kết quả trước khi tính.
- Tách lỗi khái niệm, lỗi điều kiện, lỗi biến đổi và lỗi máy tính.
- Dùng câu hỏi ngược: nếu đổi dữ kiện thì kết quả biến đổi theo hướng nào?
- Đề Hà Nội trên website là đề nội bộ tham khảo cấu trúc, không phải đề chính thức của Sở.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.