Nhìn cấu trúc trước
Học tích của một vectơ với một số bằng quan hệ và hình ảnh, không thuộc công thức rời rạc.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- |ku⃗|=|k||u⃗|.
- k dương giữ hướng, k âm đảo hướng.
- Hai vectơ khác 0 cùng phương khi một vectơ là bội của vectơ kia.
Bài 9. Tích của một vectơ với một số
Dùng hệ số để co giãn, đảo hướng và biểu diễn quan hệ thẳng hàng, trung điểm, trọng tâm bằng ngôn ngữ vectơ.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi bài bắt đầu bằng dữ kiện đã có, điều cần tìm và điều kiện áp dụng.
Gắn với thực tiễn
Ví dụ đo đạc, chuyển động, dữ liệu và ra quyết định giúp thấy ý nghĩa của kết quả.
Không phụ thuộc đáp án
Mỗi lời giải có phép kiểm bằng định nghĩa, công thức khác, hình hoặc ước lượng.
- Xác định hướng và độ dài của k·u⃗.
- Dùng tính chất phân phối.
- Nhận biết điều kiện hai vectơ cùng phương.
- Biểu diễn trung điểm và trọng tâm.
- Tổng, hiệu và vectơ đối.
- Giá trị tuyệt đối của số.
- Tính chất phân phối.
- Trung điểm và trung tuyến.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Tích k·u⃗
Hiểu đơn giản: Hệ số kéo dài, thu ngắn hoặc đảo hướng vectơ.
|ku⃗|=|k||u⃗|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng.
Ví dụ: |−3u⃗|=3|u⃗|.
Hình nên dùng: Các mũi tên cùng phương dài khác nhau.
Mô phỏng: Kéo thanh hệ số k.
Mẹo nhớ: Độ dài lấy |k|, hướng nhìn dấu k.
Sai lầm: Cho độ dài mang dấu âm.
Ghi chú: k=0 cho vectơ-không.
Tính chất phân phối
Hiểu đơn giản: Quy tắc đại số vẫn dùng được với vectơ.
k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗; (k+m)u⃗=ku⃗+mu⃗.
Ví dụ: 3u⃗−2u⃗=u⃗.
Hình nên dùng: Chia vectơ tổng thành các thành phần.
Mô phỏng: Thay k và so hai vế.
Mẹo nhớ: Đặt vectơ làm nhân tử.
Sai lầm: Chỉ nhân một hạng.
Ghi chú: Không có phép chia hai vectơ.
Điều kiện cùng phương
Hiểu đơn giản: Hai vectơ khác 0 cùng phương khi một vectơ là bội của vectơ kia.
u⃗∥v⃗ ⇔ ∃k: u⃗=kv⃗.
Ví dụ: u⃗=−2v⃗ ⇒ ngược hướng.
Hình nên dùng: Hai mũi tên trên đường song song.
Mô phỏng: Tìm k để chồng phương.
Mẹo nhớ: Cùng phương ↔ có hệ số.
Sai lầm: Chỉ lấy tỉ số độ dài.
Ghi chú: Dấu k cho hướng.
Trung điểm bằng vectơ
Hiểu đơn giản: Vectơ đến trung điểm bằng nửa vectơ đến đầu kia.
M trung điểm AB ⇒ AM⃗=1/2AB⃗.
Ví dụ: AB⃗=2AM⃗.
Hình nên dùng: Đoạn AB chia đôi.
Mô phỏng: Di chuyển M trên AB.
Mẹo nhớ: Trung điểm = hệ số 1/2.
Sai lầm: Dùng 2 thay 1/2.
Ghi chú: Phải kiểm cùng hướng.
Trọng tâm tam giác
Hiểu đơn giản: Trọng tâm là điểm cân bằng của ba đỉnh.
GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗; AG⃗=2/3AM⃗ với M trung điểm BC.
Ví dụ: G chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 từ đỉnh.
Hình nên dùng: Ba trung tuyến cắt nhau.
Mô phỏng: Kéo ba đỉnh và theo dõi G.
Mẹo nhớ: Từ đỉnh đến G là 2/3 trung tuyến.
Sai lầm: Đảo tỉ số 2:1.
Ghi chú: Quan hệ là vectơ, không chỉ độ dài.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB CO GIÃN VECTƠ
Dấu hệ số đổi hướng, trị tuyệt đối đổi độ dài
Thay vectơ u⃗ và hệ số k để kiểm trực tiếp tọa độ, hướng và độ dài của ku⃗.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Cho |u⃗| = 2. Tính |-3u⃗|.
Phân tích: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Hướng làm: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
- Bước 3: |-3u⃗| = |-3|·2 = 6.
Vì sao: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 6. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: So sánh hướng của -2u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Phân tích: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Hướng làm: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
- Bước 3: -2 < 0, nên -2u⃗ ngược hướng với u⃗.
Vì sao: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Ngược hướng. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Cho M là trung điểm AB. Biểu diễn AM⃗ theo AB⃗.
Phân tích: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Hướng làm: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
- Bước 3: AM⃗ = 1/2 AB⃗.
Vì sao: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Cách khác: Dùng AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ và AM⃗ = MB⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: AM⃗ = 1/2 AB⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Rút gọn 5u⃗ − 4u⃗.
Phân tích: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Hướng làm: Gom hệ số của cùng một vectơ.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Gom hệ số của cùng một vectơ.
- Bước 3: 5u⃗ − 4u⃗ = (5−4)u⃗ = u⃗.
Vì sao: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Cách khác: Đặt u⃗ làm nhân tử chung.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: u⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Hai vectơ u⃗, v⃗ khác 0 và không cùng phương. Có thể có số k để u⃗ = kv⃗ không?
Phân tích: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Hướng làm: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
- Bước 3: Không. Đẳng thức u⃗ = kv⃗ với k ≠ 0 kéo theo u⃗ và v⃗ cùng phương, trái giả thiết.
Vì sao: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Cách khác: Dùng phản chứng từ định nghĩa hai vectơ cùng phương.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Không. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Cho |u⃗| = 2. Tính |4u⃗|.
Phân tích: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Hướng làm: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
- Bước 3: |4u⃗| = |4|·2 = 8.
Vì sao: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 8. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: So sánh hướng của -3u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Phân tích: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Hướng làm: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
- Bước 3: -3 < 0, nên -3u⃗ ngược hướng với u⃗.
Vì sao: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Ngược hướng. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Cho M là trung điểm AB. Biểu diễn AM⃗ theo AB⃗.
Phân tích: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Hướng làm: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
- Bước 3: AM⃗ = 1/2 AB⃗.
Vì sao: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Cách khác: Dùng AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ và AM⃗ = MB⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: AM⃗ = 1/2 AB⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Rút gọn 2u⃗ − 1u⃗.
Phân tích: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Hướng làm: Gom hệ số của cùng một vectơ.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Gom hệ số của cùng một vectơ.
- Bước 3: 2u⃗ − 1u⃗ = (2−1)u⃗ = u⃗.
Vì sao: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Cách khác: Đặt u⃗ làm nhân tử chung.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: u⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Hai vectơ u⃗, v⃗ khác 0 và không cùng phương. Có thể có số k để u⃗ = kv⃗ không?
Phân tích: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Hướng làm: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
- Bước 3: Không. Đẳng thức u⃗ = kv⃗ với k ≠ 0 kéo theo u⃗ và v⃗ cùng phương, trái giả thiết.
Vì sao: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Cách khác: Dùng phản chứng từ định nghĩa hai vectơ cùng phương.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Không. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Đo và so sánh
Tích của một vectơ với một số giúp kiểm tra các phép đo, ước lượng và quyết định trong gia đình có căn cứ.
Dự án học tập
Học sinh thu thập dữ kiện, chọn mô hình tích của một vectơ với một số và trình bày cách tự kiểm.
Đọc con số đúng nghĩa
Không chỉ tính ra số; phải hiểu đơn vị, độ tin cậy và giới hạn sử dụng.
Mô hình hóa
Đại lượng được biểu diễn bằng quan hệ toán học có điều kiện và có phép kiểm độc lập.
Thiết kế an toàn
Kĩ sư dùng công thức, hướng và sai số để tránh kết luận vượt quá dữ kiện.
Kiểm soát chất lượng
So sánh kết quả đo hoặc dữ liệu giúp phát hiện độ lệch và điều chỉnh quy trình.
Quan sát khó đo trực tiếp
Khoảng cách, phương hướng và số liệu tự nhiên có thể được suy ra từ mô hình phù hợp.
Năng lực phân tích
Kiến trúc, dữ liệu, logistics, khảo sát và công nghệ đều cần suy luận định lượng chặt chẽ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Tích k·u⃗ dùng khi nào?
Hệ số kéo dài, thu ngắn hoặc đảo hướng vectơ. Dấu hiệu nhận biết: Độ dài lấy |k|, hướng nhìn dấu k.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Cho độ dài mang dấu âm.
Quay lại Tích k·u⃗: |ku⃗|=|k||u⃗|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng. Tự kiểm bằng |−3u⃗|=3|u⃗|.
2. Chỉ nhân một hạng.
Quay lại Tính chất phân phối: k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗; (k+m)u⃗=ku⃗+mu⃗. Tự kiểm bằng 3u⃗−2u⃗=u⃗.
3. Chỉ lấy tỉ số độ dài.
Quay lại Điều kiện cùng phương: u⃗∥v⃗ ⇔ ∃k: u⃗=kv⃗. Tự kiểm bằng u⃗=−2v⃗ ⇒ ngược hướng.
4. Dùng 2 thay 1/2.
Quay lại Trung điểm bằng vectơ: M trung điểm AB ⇒ AM⃗=1/2AB⃗. Tự kiểm bằng AB⃗=2AM⃗.
5. Đảo tỉ số 2:1.
Quay lại Trọng tâm tam giác: GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗; AG⃗=2/3AM⃗ với M trung điểm BC. Tự kiểm bằng G chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 từ đỉnh.
6. Cho độ dài mang dấu âm.
Quay lại Tích k·u⃗: |ku⃗|=|k||u⃗|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng. Tự kiểm bằng |−3u⃗|=3|u⃗|.
7. Chỉ nhân một hạng.
Quay lại Tính chất phân phối: k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗; (k+m)u⃗=ku⃗+mu⃗. Tự kiểm bằng 3u⃗−2u⃗=u⃗.
8. Chỉ lấy tỉ số độ dài.
Quay lại Điều kiện cùng phương: u⃗∥v⃗ ⇔ ∃k: u⃗=kv⃗. Tự kiểm bằng u⃗=−2v⃗ ⇒ ngược hướng.
9. Dùng 2 thay 1/2.
Quay lại Trung điểm bằng vectơ: M trung điểm AB ⇒ AM⃗=1/2AB⃗. Tự kiểm bằng AB⃗=2AM⃗.
10. Đảo tỉ số 2:1.
Quay lại Trọng tâm tam giác: GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗; AG⃗=2/3AM⃗ với M trung điểm BC. Tự kiểm bằng G chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 từ đỉnh.
11. Cho độ dài mang dấu âm.
Quay lại Tích k·u⃗: |ku⃗|=|k||u⃗|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng. Tự kiểm bằng |−3u⃗|=3|u⃗|.
12. Chỉ nhân một hạng.
Quay lại Tính chất phân phối: k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗; (k+m)u⃗=ku⃗+mu⃗. Tự kiểm bằng 3u⃗−2u⃗=u⃗.
13. Chỉ lấy tỉ số độ dài.
Quay lại Điều kiện cùng phương: u⃗∥v⃗ ⇔ ∃k: u⃗=kv⃗. Tự kiểm bằng u⃗=−2v⃗ ⇒ ngược hướng.
14. Dùng 2 thay 1/2.
Quay lại Trung điểm bằng vectơ: M trung điểm AB ⇒ AM⃗=1/2AB⃗. Tự kiểm bằng AB⃗=2AM⃗.
15. Đảo tỉ số 2:1.
Quay lại Trọng tâm tam giác: GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗; AG⃗=2/3AM⃗ với M trung điểm BC. Tự kiểm bằng G chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 từ đỉnh.
16. Cho độ dài mang dấu âm.
Quay lại Tích k·u⃗: |ku⃗|=|k||u⃗|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng. Tự kiểm bằng |−3u⃗|=3|u⃗|.
17. Chỉ nhân một hạng.
Quay lại Tính chất phân phối: k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗; (k+m)u⃗=ku⃗+mu⃗. Tự kiểm bằng 3u⃗−2u⃗=u⃗.
18. Chỉ lấy tỉ số độ dài.
Quay lại Điều kiện cùng phương: u⃗∥v⃗ ⇔ ∃k: u⃗=kv⃗. Tự kiểm bằng u⃗=−2v⃗ ⇒ ngược hướng.
19. Dùng 2 thay 1/2.
Quay lại Trung điểm bằng vectơ: M trung điểm AB ⇒ AM⃗=1/2AB⃗. Tự kiểm bằng AB⃗=2AM⃗.
20. Đảo tỉ số 2:1.
Quay lại Trọng tâm tam giác: GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗; AG⃗=2/3AM⃗ với M trung điểm BC. Tự kiểm bằng G chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 từ đỉnh.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Dự đoán trước
Ước lượng dấu, độ lớn hoặc vị trí kết quả trước khi bấm máy.
Một công thức–một điều kiện
Viết cạnh–góc tương ứng, hướng vectơ, đơn vị hoặc giả thiết dữ liệu ngay cạnh công thức.
Hai đường kiểm
Kiểm bằng công thức khác, trường hợp đặc biệt, hình vẽ hoặc thế ngược.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi câu sai, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Flashcard sau một ngày, bài ngắn sau ba ngày, đề trộn sau bảy ngày.
Nói thành lời
Nếu giải thích được cho người khác trong hai phút, em mới thực sự hiểu.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Tích của một vectơ với một số1 2 3 4 5
Tích k·u⃗Độ dài lấy |k|, hướng nhìn dấu k.
Tính chất phân phốiĐặt vectơ làm nhân tử.
Điều kiện cùng phươngCùng phương ↔ có hệ số.
Trung điểm bằng vectơTrung điểm = hệ số 1/2.
Trọng tâm tam giácTừ đỉnh đến G là 2/3 trung tuyến.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
T10-B9-NB-01So sánh sin 135° và sin 45°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Vì sao: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Sai ở đâu: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
T10-B9-NB-02Tam giác ABC có b = 5, c = 7, A = 60°. Tính cạnh a.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 5² + 7² − 5·7 = 39. Vậy a = √39.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Sai ở đâu: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
T10-B9-NB-03Xác định dấu của sin 150°, cos 150° và tan 150°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc nằm giữa 90° và 180°: tung độ dương, hoành độ âm.
Lời giải: sin 150° > 0; cos 150° < 0; tan 150° < 0.
Vì sao: tan là thương sin/cos nên âm khi sin và cos trái dấu.
Sai ở đâu: Cho rằng mọi giá trị lượng giác của một góc trong [0°;180°] đều dương.
Cách khác: Đánh dấu điểm biểu diễn trên nửa đường tròn và đọc dấu hai tọa độ.
T10-B9-NB-04Cho |u⃗| = 2. Tính |-3u⃗|.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
Lời giải: |-3u⃗| = |-3|·2 = 6.
Vì sao: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Sai ở đâu: Giữ dấu âm trong kết quả độ dài.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
T10-B9-NB-05So sánh hướng của -2u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
Lời giải: -2 < 0, nên -2u⃗ ngược hướng với u⃗.
Vì sao: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Sai ở đâu: Chỉ nhìn độ lớn |k| mà bỏ qua dấu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
T10-B9-NB-06Cho M là trung điểm AB. Biểu diễn AM⃗ theo AB⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
Lời giải: AM⃗ = 1/2 AB⃗.
Vì sao: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Sai ở đâu: Viết AM⃗ = 2AB⃗ hoặc quên kiểm hướng.
Cách khác: Dùng AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ và AM⃗ = MB⃗.
T10-B9-NB-07Rút gọn 5u⃗ − 4u⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Gom hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: 5u⃗ − 4u⃗ = (5−4)u⃗ = u⃗.
Vì sao: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Sai ở đâu: Trừ cả vectơ hoặc ghép sai hệ số.
Cách khác: Đặt u⃗ làm nhân tử chung.
T10-B9-NB-08Hai vectơ u⃗, v⃗ khác 0 và không cùng phương. Có thể có số k để u⃗ = kv⃗ không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
Lời giải: Không. Đẳng thức u⃗ = kv⃗ với k ≠ 0 kéo theo u⃗ và v⃗ cùng phương, trái giả thiết.
Vì sao: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Sai ở đâu: Chọn k bằng tỉ số độ dài nhưng quên điều kiện phương và hướng.
Cách khác: Dùng phản chứng từ định nghĩa hai vectơ cùng phương.
T10-B9-NB-09Cho |u⃗| = 2. Tính |4u⃗|.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
Lời giải: |4u⃗| = |4|·2 = 8.
Vì sao: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Sai ở đâu: Giữ dấu âm trong kết quả độ dài.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
T10-B9-NB-10So sánh hướng của -3u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
Lời giải: -3 < 0, nên -3u⃗ ngược hướng với u⃗.
Vì sao: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Sai ở đâu: Chỉ nhìn độ lớn |k| mà bỏ qua dấu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Một lực vectơ u có độ lớn 2 N. Tính độ lớn của lực −2u (N).
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 2Cho M là trung điểm AB. Biểu diễn AM⃗ theo AB⃗.
Gợi ý: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
Lời giải: AM⃗ = 1/2 AB⃗.
Giải thích: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Lỗi cần tránh: Viết AM⃗ = 2AB⃗ hoặc quên kiểm hướng.
Cách khác: Dùng AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ và AM⃗ = MB⃗.
TỰ LUẬN 3Một lực vectơ u có độ lớn 2 N. Tính độ lớn của lực −2u (N).
Gợi ý: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng.
Lời giải: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng. Kết quả: 4.
Giải thích: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 4Với u≠0, rút gọn 2u−2u=mu. Tính m.
Gợi ý: Đặt vectơ u làm nhân tử chung của hai số hạng.
Lời giải: Đặt vectơ u làm nhân tử chung của hai số hạng. Kết quả: 0.
Giải thích: Đặt vectơ u làm nhân tử chung của hai số hạng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 5Tam giác có hai cạnh b = 10, c = 8 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·10·8·1/2 = 20.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 6Cho u≠0. Phương trình 2(mu)+2u=0 suy ra m bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Vì u≠0 nên bm+k=0; giải theo m.
Lời giải: Vì u≠0 nên bm+k=0; giải theo m. Kết quả: -1.
Giải thích: Vì u≠0 nên bm+k=0; giải theo m.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 7Một lực vectơ u có độ lớn 3 N. Tính độ lớn của lực −3u (N).
Gợi ý: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng.
Lời giải: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng. Kết quả: 9.
Giải thích: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 8M là trung điểm AB, |AB|=6. Tính |3AM|.
Gợi ý: AM=(1/2)AB; nhân độ dài với b dương.
Lời giải: AM=(1/2)AB; nhân độ dài với b dương. Kết quả: 9.
Giải thích: AM=(1/2)AB; nhân độ dài với b dương.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 9Tính A=2sin²30°+8cos²60°.
Gợi ý: sin30°=cos60°=1/2; bình phương trước khi nhân hệ số.
Lời giải: sin30°=cos60°=1/2; bình phương trước khi nhân hệ số. Kết quả: 5/2.
Giải thích: sin30°=cos60°=1/2; bình phương trước khi nhân hệ số.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 10Với u≠0, rút gọn 4u−4u=mu. Tính m.
Gợi ý: Đặt vectơ u làm nhân tử chung của hai số hạng.
Lời giải: Đặt vectơ u làm nhân tử chung của hai số hạng. Kết quả: 0.
Giải thích: Đặt vectơ u làm nhân tử chung của hai số hạng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 11A(0;0), B(12;12), M trên AB thỏa AM=2MB. Tính hoành độ AM.
Gợi ý: M chia AB theo tỉ lệ 2:1 nên AM=(2/3)AB.
Lời giải: M chia AB theo tỉ lệ 2:1 nên AM=(2/3)AB. Kết quả: 8.
Giải thích: M chia AB theo tỉ lệ 2:1 nên AM=(2/3)AB.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 12Cho u=(5;5), v=(30;30). Hệ số m để v=mu bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Hai tỉ số tọa độ đều bằng c; k khác 0.
Lời giải: Hai tỉ số tọa độ đều bằng c; k khác 0. Kết quả: 6.
Giải thích: Hai tỉ số tọa độ đều bằng c; k khác 0.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 13Tam giác có hai cạnh b = 11, c = 9 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·11·9·1/2 = 24.75.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 14M là trung điểm AB, |AB|=12. Tính |6AM|.
Gợi ý: AM=(1/2)AB; nhân độ dài với b dương.
Lời giải: AM=(1/2)AB; nhân độ dài với b dương. Kết quả: 36.
Giải thích: AM=(1/2)AB; nhân độ dài với b dương.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 15Một lực vectơ u có độ lớn 7 N. Tính độ lớn của lực −2u (N).
Gợi ý: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng.
Lời giải: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng. Kết quả: 14.
Giải thích: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 16Cho u≠0. Phương trình 2(mu)+7u=0 suy ra m bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Vì u≠0 nên bm+k=0; giải theo m.
Lời giải: Vì u≠0 nên bm+k=0; giải theo m. Kết quả: -7/2.
Giải thích: Vì u≠0 nên bm+k=0; giải theo m.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 17Một mảnh đất tam giác có hai cạnh 4 m, 2 m và góc xen giữa 30°. Tính diện tích (m²).
Gợi ý: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa.
Lời giải: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa. Kết quả: 2.
Giải thích: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 18Một lực vectơ u có độ lớn 11 N. Tính độ lớn của lực −6u (N).
Gợi ý: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng.
Lời giải: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng. Kết quả: 66.
Giải thích: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 19Một lực vectơ u có độ lớn 16 N. Tính độ lớn của lực −6u (N).
Gợi ý: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng.
Lời giải: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng. Kết quả: 96.
Giải thích: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 20Một lực vectơ u có độ lớn 21 N. Tính độ lớn của lực −6u (N).
Gợi ý: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng.
Lời giải: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng. Kết quả: 126.
Giải thích: Độ dài của ku bằng |k| nhân độ dài u; dấu âm chỉ đổi hướng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B9-NB-01, T10-B9-NB-02, T10-B9-NB-03, T10-B9-NB-04, T10-B9-NB-05, T10-B9-NB-06, T10-B9-NB-07, T10-B9-NB-08, T10-B9-NB-09, T10-B9-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B9-NB-01: sin 135° = sin 45°
- T10-B9-NB-02: √39
- T10-B9-NB-03: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-B9-NB-04: 6
- T10-B9-NB-05: Ngược hướng
- T10-B9-NB-06: AM⃗ = 1/2 AB⃗
- T10-B9-NB-07: u⃗
- T10-B9-NB-08: Không
- T10-B9-NB-09: 8
- T10-B9-NB-10: Ngược hướng
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: T10-B9-NB-11, T10-B9-NB-12, T10-B9-NB-13, T10-B9-NB-14, T10-B9-NB-15, T10-B9-NB-16, T10-B9-NB-17, T10-B9-NB-18, T10-B9-NB-19, T10-B9-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B9-NB-11: 4
- T10-B9-NB-12: u⃗
- T10-B9-NB-13: -6
- T10-B9-NB-14: 6
- T10-B9-NB-15: Cùng hướng
- T10-B9-NB-16: 0
- T10-B9-NB-17: u⃗
- T10-B9-NB-18: 4
- T10-B9-NB-19: 4
- T10-B9-NB-20: Cùng hướng
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B9-TH-01, T10-B9-TH-02, T10-B9-TH-03, T10-B9-TH-04, T10-B9-TH-05, T10-B9-TH-06, T10-B9-TH-07, T10-B9-TH-08, T10-B9-TH-09, T10-B9-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B9-TH-01: 20
- T10-B9-TH-02: 2
- T10-B9-TH-03: 109/144
- T10-B9-TH-04: 3
- T10-B9-TH-05: u⃗
- T10-B9-TH-06: -1
- T10-B9-TH-07: 2
- T10-B9-TH-08: Cùng hướng
- T10-B9-TH-09: 16
- T10-B9-TH-10: 4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B9-TH-11, T10-B9-TH-12, T10-B9-TH-13, T10-B9-TH-14, T10-B9-TH-15, T10-B9-TH-16, T10-B9-TH-17, T10-B9-TH-18, T10-B9-TH-19, T10-B9-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B9-TH-11: 9
- T10-B9-TH-12: 4
- T10-B9-TH-13: Ngược hướng
- T10-B9-TH-14: -12
- T10-B9-TH-15: 0
- T10-B9-TH-16: 9
- T10-B9-TH-17: 4
- T10-B9-TH-18: -1
- T10-B9-TH-19: 81
- T10-B9-TH-20: 6
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B9-VD-01, T10-B9-VD-02, T10-B9-VD-03, T10-B9-VD-04, T10-B9-VD-05, T10-B9-VD-06, T10-B9-VD-07, T10-B9-VD-08, T10-B9-VD-09, T10-B9-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B9-VD-01: 5/2
- T10-B9-VD-02: √52
- T10-B9-VD-03: 32
- T10-B9-VD-04: 16
- T10-B9-VD-05: -20
- T10-B9-VD-06: 0
- T10-B9-VD-07: 16
- T10-B9-VD-08: 5
- T10-B9-VD-09: -1
- T10-B9-VD-10: 256
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.