Nhìn cấu trúc trước
Học tích của một vectơ với một số bằng quan hệ và hình ảnh, không thuộc công thức rời rạc.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 9. Tích của một vectơ với một số
Dùng hệ số để co giãn, đảo hướng và biểu diễn quan hệ thẳng hàng, trung điểm, trọng tâm bằng ngôn ngữ vectơ.
Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi bài bắt đầu bằng dữ kiện đã có, điều cần tìm và điều kiện áp dụng.
Gắn với thực tiễn
Ví dụ đo đạc, chuyển động, dữ liệu và ra quyết định giúp thấy ý nghĩa của kết quả.
Không phụ thuộc đáp án
Mỗi lời giải có phép kiểm bằng định nghĩa, công thức khác, hình hoặc ước lượng.
- Xác định hướng và độ dài của k·u⃗.
- Dùng tính chất phân phối.
- Nhận biết điều kiện hai vectơ cùng phương.
- Biểu diễn trung điểm và trọng tâm.
- Tổng, hiệu và vectơ đối.
- Giá trị tuyệt đối của số.
- Tính chất phân phối.
- Trung điểm và trung tuyến.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Tích k·u⃗
Hiểu đơn giản: Hệ số kéo dài, thu ngắn hoặc đảo hướng vectơ.
|ku⃗|=|k||u⃗|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng.
Ví dụ: |−3u⃗|=3|u⃗|.
Hình nên dùng: Các mũi tên cùng phương dài khác nhau.
Mô phỏng: Kéo thanh hệ số k.
Mẹo nhớ: Độ dài lấy |k|, hướng nhìn dấu k.
Sai lầm: Cho độ dài mang dấu âm.
Ghi chú: k=0 cho vectơ-không.
Tính chất phân phối
Hiểu đơn giản: Quy tắc đại số vẫn dùng được với vectơ.
k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗; (k+m)u⃗=ku⃗+mu⃗.
Ví dụ: 3u⃗−2u⃗=u⃗.
Hình nên dùng: Chia vectơ tổng thành các thành phần.
Mô phỏng: Thay k và so hai vế.
Mẹo nhớ: Đặt vectơ làm nhân tử.
Sai lầm: Chỉ nhân một hạng.
Ghi chú: Không có phép chia hai vectơ.
Điều kiện cùng phương
Hiểu đơn giản: Hai vectơ khác 0 cùng phương khi một vectơ là bội của vectơ kia.
u⃗∥v⃗ ⇔ ∃k: u⃗=kv⃗.
Ví dụ: u⃗=−2v⃗ ⇒ ngược hướng.
Hình nên dùng: Hai mũi tên trên đường song song.
Mô phỏng: Tìm k để chồng phương.
Mẹo nhớ: Cùng phương ↔ có hệ số.
Sai lầm: Chỉ lấy tỉ số độ dài.
Ghi chú: Dấu k cho hướng.
Trung điểm bằng vectơ
Hiểu đơn giản: Vectơ đến trung điểm bằng nửa vectơ đến đầu kia.
M trung điểm AB ⇒ AM⃗=1/2AB⃗.
Ví dụ: AB⃗=2AM⃗.
Hình nên dùng: Đoạn AB chia đôi.
Mô phỏng: Di chuyển M trên AB.
Mẹo nhớ: Trung điểm = hệ số 1/2.
Sai lầm: Dùng 2 thay 1/2.
Ghi chú: Phải kiểm cùng hướng.
Trọng tâm tam giác
Hiểu đơn giản: Trọng tâm là điểm cân bằng của ba đỉnh.
GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗; AG⃗=2/3AM⃗ với M trung điểm BC.
Ví dụ: G chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 từ đỉnh.
Hình nên dùng: Ba trung tuyến cắt nhau.
Mô phỏng: Kéo ba đỉnh và theo dõi G.
Mẹo nhớ: Từ đỉnh đến G là 2/3 trung tuyến.
Sai lầm: Đảo tỉ số 2:1.
Ghi chú: Quan hệ là vectơ, không chỉ độ dài.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB CO GIÃN VECTƠ
Dấu hệ số đổi hướng, trị tuyệt đối đổi độ dài
Thay vectơ u⃗ và hệ số k để kiểm trực tiếp tọa độ, hướng và độ dài của ku⃗.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Cho |u⃗| = 2. Tính |-3u⃗|.
Phân tích: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Hướng làm: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
- Bước 3: |-3u⃗| = |-3|·2 = 6.
Vì sao: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 6. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: So sánh hướng của -2u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Phân tích: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Hướng làm: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
- Bước 3: -2 < 0, nên -2u⃗ ngược hướng với u⃗.
Vì sao: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Ngược hướng. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Cho M là trung điểm AB. Biểu diễn AM⃗ theo AB⃗.
Phân tích: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Hướng làm: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
- Bước 3: AM⃗ = 1/2 AB⃗.
Vì sao: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Cách khác: Dùng AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ và AM⃗ = MB⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: AM⃗ = 1/2 AB⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Rút gọn 5u⃗ − 4u⃗.
Phân tích: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Hướng làm: Gom hệ số của cùng một vectơ.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Gom hệ số của cùng một vectơ.
- Bước 3: 5u⃗ − 4u⃗ = (5−4)u⃗ = u⃗.
Vì sao: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Cách khác: Đặt u⃗ làm nhân tử chung.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: u⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Hai vectơ u⃗, v⃗ khác 0 và không cùng phương. Có thể có số k để u⃗ = kv⃗ không?
Phân tích: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Hướng làm: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
- Bước 3: Không. Đẳng thức u⃗ = kv⃗ với k ≠ 0 kéo theo u⃗ và v⃗ cùng phương, trái giả thiết.
Vì sao: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Cách khác: Dùng phản chứng từ định nghĩa hai vectơ cùng phương.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Không. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Cho |u⃗| = 2. Tính |4u⃗|.
Phân tích: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Hướng làm: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
- Bước 3: |4u⃗| = |4|·2 = 8.
Vì sao: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 8. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: So sánh hướng của -3u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Phân tích: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Hướng làm: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
- Bước 3: -3 < 0, nên -3u⃗ ngược hướng với u⃗.
Vì sao: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Ngược hướng. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Cho M là trung điểm AB. Biểu diễn AM⃗ theo AB⃗.
Phân tích: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Hướng làm: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
- Bước 3: AM⃗ = 1/2 AB⃗.
Vì sao: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Cách khác: Dùng AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ và AM⃗ = MB⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: AM⃗ = 1/2 AB⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Rút gọn 2u⃗ − 1u⃗.
Phân tích: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Hướng làm: Gom hệ số của cùng một vectơ.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Gom hệ số của cùng một vectơ.
- Bước 3: 2u⃗ − 1u⃗ = (2−1)u⃗ = u⃗.
Vì sao: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Cách khác: Đặt u⃗ làm nhân tử chung.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: u⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Hai vectơ u⃗, v⃗ khác 0 và không cùng phương. Có thể có số k để u⃗ = kv⃗ không?
Phân tích: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Hướng làm: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
- Bước 3: Không. Đẳng thức u⃗ = kv⃗ với k ≠ 0 kéo theo u⃗ và v⃗ cùng phương, trái giả thiết.
Vì sao: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Cách khác: Dùng phản chứng từ định nghĩa hai vectơ cùng phương.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Không. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Đo và so sánh
Tích của một vectơ với một số giúp kiểm tra các phép đo, ước lượng và quyết định trong gia đình có căn cứ.
Dự án học tập
Học sinh thu thập dữ kiện, chọn mô hình tích của một vectơ với một số và trình bày cách tự kiểm.
Đọc con số đúng nghĩa
Không chỉ tính ra số; phải hiểu đơn vị, độ tin cậy và giới hạn sử dụng.
Mô hình hóa
Đại lượng được biểu diễn bằng quan hệ toán học có điều kiện và có phép kiểm độc lập.
Thiết kế an toàn
Kĩ sư dùng công thức, hướng và sai số để tránh kết luận vượt quá dữ kiện.
Kiểm soát chất lượng
So sánh kết quả đo hoặc dữ liệu giúp phát hiện độ lệch và điều chỉnh quy trình.
Quan sát khó đo trực tiếp
Khoảng cách, phương hướng và số liệu tự nhiên có thể được suy ra từ mô hình phù hợp.
Năng lực phân tích
Kiến trúc, dữ liệu, logistics, khảo sát và công nghệ đều cần suy luận định lượng chặt chẽ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Tích k·u⃗ dùng khi nào?
Hệ số kéo dài, thu ngắn hoặc đảo hướng vectơ. Dấu hiệu nhận biết: Độ dài lấy |k|, hướng nhìn dấu k.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Cho độ dài mang dấu âm.
Quay lại Tích k·u⃗: |ku⃗|=|k||u⃗|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng. Tự kiểm bằng |−3u⃗|=3|u⃗|.
2. Chỉ nhân một hạng.
Quay lại Tính chất phân phối: k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗; (k+m)u⃗=ku⃗+mu⃗. Tự kiểm bằng 3u⃗−2u⃗=u⃗.
3. Chỉ lấy tỉ số độ dài.
Quay lại Điều kiện cùng phương: u⃗∥v⃗ ⇔ ∃k: u⃗=kv⃗. Tự kiểm bằng u⃗=−2v⃗ ⇒ ngược hướng.
4. Dùng 2 thay 1/2.
Quay lại Trung điểm bằng vectơ: M trung điểm AB ⇒ AM⃗=1/2AB⃗. Tự kiểm bằng AB⃗=2AM⃗.
5. Đảo tỉ số 2:1.
Quay lại Trọng tâm tam giác: GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗; AG⃗=2/3AM⃗ với M trung điểm BC. Tự kiểm bằng G chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 từ đỉnh.
6. Cho độ dài mang dấu âm.
Quay lại Tích k·u⃗: |ku⃗|=|k||u⃗|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng. Tự kiểm bằng |−3u⃗|=3|u⃗|.
7. Chỉ nhân một hạng.
Quay lại Tính chất phân phối: k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗; (k+m)u⃗=ku⃗+mu⃗. Tự kiểm bằng 3u⃗−2u⃗=u⃗.
8. Chỉ lấy tỉ số độ dài.
Quay lại Điều kiện cùng phương: u⃗∥v⃗ ⇔ ∃k: u⃗=kv⃗. Tự kiểm bằng u⃗=−2v⃗ ⇒ ngược hướng.
9. Dùng 2 thay 1/2.
Quay lại Trung điểm bằng vectơ: M trung điểm AB ⇒ AM⃗=1/2AB⃗. Tự kiểm bằng AB⃗=2AM⃗.
10. Đảo tỉ số 2:1.
Quay lại Trọng tâm tam giác: GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗; AG⃗=2/3AM⃗ với M trung điểm BC. Tự kiểm bằng G chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 từ đỉnh.
11. Cho độ dài mang dấu âm.
Quay lại Tích k·u⃗: |ku⃗|=|k||u⃗|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng. Tự kiểm bằng |−3u⃗|=3|u⃗|.
12. Chỉ nhân một hạng.
Quay lại Tính chất phân phối: k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗; (k+m)u⃗=ku⃗+mu⃗. Tự kiểm bằng 3u⃗−2u⃗=u⃗.
13. Chỉ lấy tỉ số độ dài.
Quay lại Điều kiện cùng phương: u⃗∥v⃗ ⇔ ∃k: u⃗=kv⃗. Tự kiểm bằng u⃗=−2v⃗ ⇒ ngược hướng.
14. Dùng 2 thay 1/2.
Quay lại Trung điểm bằng vectơ: M trung điểm AB ⇒ AM⃗=1/2AB⃗. Tự kiểm bằng AB⃗=2AM⃗.
15. Đảo tỉ số 2:1.
Quay lại Trọng tâm tam giác: GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗; AG⃗=2/3AM⃗ với M trung điểm BC. Tự kiểm bằng G chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 từ đỉnh.
16. Cho độ dài mang dấu âm.
Quay lại Tích k·u⃗: |ku⃗|=|k||u⃗|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng. Tự kiểm bằng |−3u⃗|=3|u⃗|.
17. Chỉ nhân một hạng.
Quay lại Tính chất phân phối: k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗; (k+m)u⃗=ku⃗+mu⃗. Tự kiểm bằng 3u⃗−2u⃗=u⃗.
18. Chỉ lấy tỉ số độ dài.
Quay lại Điều kiện cùng phương: u⃗∥v⃗ ⇔ ∃k: u⃗=kv⃗. Tự kiểm bằng u⃗=−2v⃗ ⇒ ngược hướng.
19. Dùng 2 thay 1/2.
Quay lại Trung điểm bằng vectơ: M trung điểm AB ⇒ AM⃗=1/2AB⃗. Tự kiểm bằng AB⃗=2AM⃗.
20. Đảo tỉ số 2:1.
Quay lại Trọng tâm tam giác: GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗; AG⃗=2/3AM⃗ với M trung điểm BC. Tự kiểm bằng G chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 từ đỉnh.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Dự đoán trước
Ước lượng dấu, độ lớn hoặc vị trí kết quả trước khi bấm máy.
Một công thức–một điều kiện
Viết cạnh–góc tương ứng, hướng vectơ, đơn vị hoặc giả thiết dữ liệu ngay cạnh công thức.
Hai đường kiểm
Kiểm bằng công thức khác, trường hợp đặc biệt, hình vẽ hoặc thế ngược.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi câu sai, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Flashcard sau một ngày, bài ngắn sau ba ngày, đề trộn sau bảy ngày.
Nói thành lời
Nếu giải thích được cho người khác trong hai phút, em mới thực sự hiểu.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Tích của một vectơ với một số1 2 3 4 5
Tích k·u⃗Độ dài lấy |k|, hướng nhìn dấu k.
Tính chất phân phốiĐặt vectơ làm nhân tử.
Điều kiện cùng phươngCùng phương ↔ có hệ số.
Trung điểm bằng vectơTrung điểm = hệ số 1/2.
Trọng tâm tam giácTừ đỉnh đến G là 2/3 trung tuyến.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
T10-B9-NB-01So sánh sin 135° và sin 45°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Vì sao: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Sai ở đâu: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
T10-B9-NB-02Tam giác ABC có b = 5, c = 7, A = 60°. Tính cạnh a.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 5² + 7² − 5·7 = 39. Vậy a = √39.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Sai ở đâu: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
T10-B9-NB-03Xác định dấu của sin 150°, cos 150° và tan 150°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc nằm giữa 90° và 180°: tung độ dương, hoành độ âm.
Lời giải: sin 150° > 0; cos 150° < 0; tan 150° < 0.
Vì sao: tan là thương sin/cos nên âm khi sin và cos trái dấu.
Sai ở đâu: Cho rằng mọi giá trị lượng giác của một góc trong [0°;180°] đều dương.
Cách khác: Đánh dấu điểm biểu diễn trên nửa đường tròn và đọc dấu hai tọa độ.
T10-B9-NB-04Cho |u⃗| = 2. Tính |-3u⃗|.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
Lời giải: |-3u⃗| = |-3|·2 = 6.
Vì sao: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Sai ở đâu: Giữ dấu âm trong kết quả độ dài.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
T10-B9-NB-05So sánh hướng của -2u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
Lời giải: -2 < 0, nên -2u⃗ ngược hướng với u⃗.
Vì sao: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Sai ở đâu: Chỉ nhìn độ lớn |k| mà bỏ qua dấu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
T10-B9-NB-06Cho M là trung điểm AB. Biểu diễn AM⃗ theo AB⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
Lời giải: AM⃗ = 1/2 AB⃗.
Vì sao: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Sai ở đâu: Viết AM⃗ = 2AB⃗ hoặc quên kiểm hướng.
Cách khác: Dùng AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ và AM⃗ = MB⃗.
T10-B9-NB-07Rút gọn 5u⃗ − 4u⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Gom hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: 5u⃗ − 4u⃗ = (5−4)u⃗ = u⃗.
Vì sao: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Sai ở đâu: Trừ cả vectơ hoặc ghép sai hệ số.
Cách khác: Đặt u⃗ làm nhân tử chung.
T10-B9-NB-08Hai vectơ u⃗, v⃗ khác 0 và không cùng phương. Có thể có số k để u⃗ = kv⃗ không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
Lời giải: Không. Đẳng thức u⃗ = kv⃗ với k ≠ 0 kéo theo u⃗ và v⃗ cùng phương, trái giả thiết.
Vì sao: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Sai ở đâu: Chọn k bằng tỉ số độ dài nhưng quên điều kiện phương và hướng.
Cách khác: Dùng phản chứng từ định nghĩa hai vectơ cùng phương.
T10-B9-NB-09Cho |u⃗| = 2. Tính |4u⃗|.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
Lời giải: |4u⃗| = |4|·2 = 8.
Vì sao: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Sai ở đâu: Giữ dấu âm trong kết quả độ dài.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
T10-B9-NB-10So sánh hướng của -3u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
Lời giải: -3 < 0, nên -3u⃗ ngược hướng với u⃗.
Vì sao: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Sai ở đâu: Chỉ nhìn độ lớn |k| mà bỏ qua dấu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
So sánh sin 135° và sin 45°.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 2Cho M là trung điểm AB. Biểu diễn AM⃗ theo AB⃗.
Gợi ý: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
Lời giải: AM⃗ = 1/2 AB⃗.
Giải thích: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Lỗi cần tránh: Viết AM⃗ = 2AB⃗ hoặc quên kiểm hướng.
Cách khác: Dùng AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ và AM⃗ = MB⃗.
TỰ LUẬN 3Cho M là trung điểm AB. Biểu diễn AM⃗ theo AB⃗.
Gợi ý: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
Lời giải: AM⃗ = 1/2 AB⃗.
Giải thích: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Lỗi cần tránh: Viết AM⃗ = 2AB⃗ hoặc quên kiểm hướng.
Cách khác: Dùng AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ và AM⃗ = MB⃗.
TỰ LUẬN 4Cho M là trung điểm AB. Biểu diễn AM⃗ theo AB⃗.
Gợi ý: M chia đoạn AB theo tỉ số 1:1 và cùng chiều từ A.
Lời giải: AM⃗ = 1/2 AB⃗.
Giải thích: Hệ số 1/2 vừa cho đúng hướng vừa cho đúng độ dài.
Lỗi cần tránh: Viết AM⃗ = 2AB⃗ hoặc quên kiểm hướng.
Cách khác: Dùng AB⃗ = AM⃗ + MB⃗ và AM⃗ = MB⃗.
TỰ LUẬN 5Tam giác có hai cạnh b = 10, c = 8 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·10·8·1/2 = 20.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 6Hai vectơ u⃗, v⃗ khác 0 và không cùng phương. Có thể có số k để u⃗ = kv⃗ không?
Gợi ý: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
Lời giải: Không. Đẳng thức u⃗ = kv⃗ với k ≠ 0 kéo theo u⃗ và v⃗ cùng phương, trái giả thiết.
Giải thích: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Lỗi cần tránh: Chọn k bằng tỉ số độ dài nhưng quên điều kiện phương và hướng.
Cách khác: Dùng phản chứng từ định nghĩa hai vectơ cùng phương.
TỰ LUẬN 7Hai vectơ u⃗, v⃗ khác 0 và không cùng phương. Có thể có số k để u⃗ = kv⃗ không?
Gợi ý: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
Lời giải: Không. Đẳng thức u⃗ = kv⃗ với k ≠ 0 kéo theo u⃗ và v⃗ cùng phương, trái giả thiết.
Giải thích: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Lỗi cần tránh: Chọn k bằng tỉ số độ dài nhưng quên điều kiện phương và hướng.
Cách khác: Dùng phản chứng từ định nghĩa hai vectơ cùng phương.
TỰ LUẬN 8Hai vectơ u⃗, v⃗ khác 0 và không cùng phương. Có thể có số k để u⃗ = kv⃗ không?
Gợi ý: Nếu u⃗ = kv⃗ thì hai vectơ phải cùng phương.
Lời giải: Không. Đẳng thức u⃗ = kv⃗ với k ≠ 0 kéo theo u⃗ và v⃗ cùng phương, trái giả thiết.
Giải thích: Phép nhân một vectơ với số không làm thay đổi phương.
Lỗi cần tránh: Chọn k bằng tỉ số độ dài nhưng quên điều kiện phương và hướng.
Cách khác: Dùng phản chứng từ định nghĩa hai vectơ cùng phương.
TỰ LUẬN 9So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 10So sánh hướng của -3u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Gợi ý: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
Lời giải: -3 < 0, nên -3u⃗ ngược hướng với u⃗.
Giải thích: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Lỗi cần tránh: Chỉ nhìn độ lớn |k| mà bỏ qua dấu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
TỰ LUẬN 11So sánh hướng của 4u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Gợi ý: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
Lời giải: 4 > 0, nên 4u⃗ cùng hướng với u⃗.
Giải thích: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Lỗi cần tránh: Chỉ nhìn độ lớn |k| mà bỏ qua dấu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
TỰ LUẬN 12So sánh hướng của 3u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Gợi ý: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
Lời giải: 3 > 0, nên 3u⃗ cùng hướng với u⃗.
Giải thích: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Lỗi cần tránh: Chỉ nhìn độ lớn |k| mà bỏ qua dấu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
TỰ LUẬN 13Tam giác có hai cạnh b = 11, c = 9 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·11·9·1/2 = 24.75.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 14Rút gọn 3u⃗ − 2u⃗.
Gợi ý: Gom hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: 3u⃗ − 2u⃗ = (3−2)u⃗ = u⃗.
Giải thích: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Lỗi cần tránh: Trừ cả vectơ hoặc ghép sai hệ số.
Cách khác: Đặt u⃗ làm nhân tử chung.
TỰ LUẬN 15Rút gọn 4u⃗ − 3u⃗.
Gợi ý: Gom hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: 4u⃗ − 3u⃗ = (4−3)u⃗ = u⃗.
Giải thích: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Lỗi cần tránh: Trừ cả vectơ hoặc ghép sai hệ số.
Cách khác: Đặt u⃗ làm nhân tử chung.
TỰ LUẬN 16Rút gọn 5u⃗ − 4u⃗.
Gợi ý: Gom hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: 5u⃗ − 4u⃗ = (5−4)u⃗ = u⃗.
Giải thích: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Lỗi cần tránh: Trừ cả vectơ hoặc ghép sai hệ số.
Cách khác: Đặt u⃗ làm nhân tử chung.
TỰ LUẬN 17So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 18Cho |u⃗| = 2. Tính |3u⃗|.
Gợi ý: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
Lời giải: |3u⃗| = |3|·2 = 6.
Giải thích: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Giữ dấu âm trong kết quả độ dài.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
TỰ LUẬN 19Cho |u⃗| = 2. Tính |2u⃗|.
Gợi ý: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
Lời giải: |2u⃗| = |2|·2 = 4.
Giải thích: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Giữ dấu âm trong kết quả độ dài.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
TỰ LUẬN 20Cho |u⃗| = 2. Tính |-1u⃗|.
Gợi ý: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
Lời giải: |-1u⃗| = |-1|·2 = 2.
Giải thích: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Giữ dấu âm trong kết quả độ dài.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B9-NB-01, T10-B9-NB-02, T10-B9-NB-03, T10-B9-NB-04, T10-B9-NB-05, T10-B9-NB-06, T10-B9-NB-07, T10-B9-NB-08, T10-B9-NB-09, T10-B9-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B9-NB-01: sin 135° = sin 45°
- T10-B9-NB-02: √39
- T10-B9-NB-03: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-B9-NB-04: 6
- T10-B9-NB-05: Ngược hướng
- T10-B9-NB-06: AM⃗ = 1/2 AB⃗
- T10-B9-NB-07: u⃗
- T10-B9-NB-08: Không
- T10-B9-NB-09: 8
- T10-B9-NB-10: Ngược hướng
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: T10-B9-NB-11, T10-B9-NB-12, T10-B9-NB-13, T10-B9-NB-14, T10-B9-NB-15, T10-B9-NB-16, T10-B9-NB-17, T10-B9-NB-18, T10-B9-NB-19, T10-B9-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B9-NB-11: AM⃗ = 1/2 AB⃗
- T10-B9-NB-12: u⃗
- T10-B9-NB-13: Không
- T10-B9-NB-14: 6
- T10-B9-NB-15: Cùng hướng
- T10-B9-NB-16: AM⃗ = 1/2 AB⃗
- T10-B9-NB-17: u⃗
- T10-B9-NB-18: Không
- T10-B9-NB-19: 4
- T10-B9-NB-20: Cùng hướng
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B9-TH-01, T10-B9-TH-02, T10-B9-TH-03, T10-B9-TH-04, T10-B9-TH-05, T10-B9-TH-06, T10-B9-TH-07, T10-B9-TH-08, T10-B9-TH-09, T10-B9-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B9-TH-01: 20
- T10-B9-TH-02: 2
- T10-B9-TH-03: 0.7569
- T10-B9-TH-04: AM⃗ = 1/2 AB⃗
- T10-B9-TH-05: u⃗
- T10-B9-TH-06: Không
- T10-B9-TH-07: 2
- T10-B9-TH-08: Cùng hướng
- T10-B9-TH-09: AM⃗ = 1/2 AB⃗
- T10-B9-TH-10: u⃗
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B9-TH-11, T10-B9-TH-12, T10-B9-TH-13, T10-B9-TH-14, T10-B9-TH-15, T10-B9-TH-16, T10-B9-TH-17, T10-B9-TH-18, T10-B9-TH-19, T10-B9-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B9-TH-11: Không
- T10-B9-TH-12: 4
- T10-B9-TH-13: Ngược hướng
- T10-B9-TH-14: AM⃗ = 1/2 AB⃗
- T10-B9-TH-15: u⃗
- T10-B9-TH-16: Không
- T10-B9-TH-17: 6
- T10-B9-TH-18: Ngược hướng
- T10-B9-TH-19: AM⃗ = 1/2 AB⃗
- T10-B9-TH-20: u⃗
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B9-VD-01, T10-B9-VD-02, T10-B9-VD-03, T10-B9-VD-04, T10-B9-VD-05, T10-B9-VD-06, T10-B9-VD-07, T10-B9-VD-08, T10-B9-VD-09, T10-B9-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B9-VD-01: sin 135° = sin 45°
- T10-B9-VD-02: √52
- T10-B9-VD-03: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-B9-VD-04: Không
- T10-B9-VD-05: 8
- T10-B9-VD-06: Ngược hướng
- T10-B9-VD-07: AM⃗ = 1/2 AB⃗
- T10-B9-VD-08: u⃗
- T10-B9-VD-09: Không
- T10-B9-VD-10: 6
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 45–60 phút; ưu tiên con nói được vì sao chọn công thức trước khi bấm máy.
- Nếu con sai, hỏi con dữ kiện nào chưa dùng và điều kiện nào bị bỏ quên.
- Cho con làm lại một câu tương tự sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày.
- Không so tốc độ với bạn; theo dõi loại lỗi giảm dần trong sổ lỗi.
- Chỉ chuyển bài khi đạt ít nhất 80% và giải thích được ba câu sai gần nhất.
- Mở bài bằng một tình huống có dữ kiện thừa hoặc thiếu để học sinh tập chọn mô hình.
- Yêu cầu học sinh dự đoán dấu, độ lớn hoặc hình dạng kết quả trước khi tính.
- Tách lỗi khái niệm, lỗi điều kiện, lỗi biến đổi và lỗi máy tính.
- Dùng câu hỏi ngược: nếu đổi dữ kiện thì kết quả biến đổi theo hướng nào?
- Đề Hà Nội trên website là đề nội bộ tham khảo cấu trúc, không phải đề chính thức của Sở.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.