Tách lỗi theo dạng
Không chỉ xem đúng–sai; phải biết lỗi do khái niệm, điều kiện, biến đổi hay diễn giải.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Đọc đề, gắn đúng dữ kiện với đại lượng trước khi chọn công thức.
- Viết điều kiện áp dụng và đơn vị ở nơi dễ nhìn.
- Dự đoán dấu hoặc độ lớn trước khi tính.
Bài tập cuối Chương 4
Cổng kiểm định xuyên suốt khái niệm vectơ, phép toán, tọa độ, tích vô hướng, góc, độ dài và vuông góc.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Nối các bài trong chương
Mỗi câu tổng hợp buộc học sinh chọn công cụ thay vì nhận theo tiêu đề.
15% nền chương trước
Câu ôn cũ được đặt trước kĩ năng mới tương ứng để chống quên.
Đạt rồi mới chuyển
Cổng 80% đi kèm yêu cầu giải thích được lỗi và làm lại sau một ngày.
- Hệ thống hóa toàn bộ kiến thức Chương 4.
- Chọn đúng công thức và nêu điều kiện áp dụng.
- Giải bài tổng hợp từ cơ bản đến thực tế.
- Tự phát hiện, phân loại và sửa lỗi.
- Toàn bộ bài học trong chương.
- 15% kiến thức nền trực tiếp từ chương trước.
- Kĩ năng ước lượng kết quả và kiểm trường hợp biên.
- Sổ lỗi cá nhân sau mỗi lượt luyện.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Vectơ
Hiểu đơn giản: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, có điểm đầu và điểm cuối.
AB⃗ có điểm đầu A, điểm cuối B; |AB⃗|=AB.
Ví dụ: AB⃗ và BA⃗ cùng độ dài nhưng ngược hướng.
Hình nên dùng: Mũi tên từ A đến B.
Mô phỏng: Kéo điểm đầu–cuối.
Mẹo nhớ: Đầu trước, cuối sau.
Sai lầm: Đồng nhất vectơ với độ dài.
Ghi chú: Hai vectơ có thể bằng nhau dù nằm khác vị trí.
Cùng phương và cùng hướng
Hiểu đơn giản: Giá của hai vectơ song song hoặc trùng thì chúng cùng phương.
Cùng phương gồm cùng hướng hoặc ngược hướng.
Ví dụ: Hai cạnh đối hình bình hành cho các vectơ cùng phương.
Hình nên dùng: Bốn mũi tên song song.
Mô phỏng: Quay một vectơ.
Mẹo nhớ: Cùng phương chưa chắc cùng hướng.
Sai lầm: Dùng hai khái niệm như một.
Ghi chú: Vectơ-không được coi là cùng phương với mọi vectơ.
Hai vectơ bằng nhau
Hiểu đơn giản: Bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
u⃗=v⃗ ⇔ cùng hướng và |u⃗|=|v⃗|.
Ví dụ: Trong ABCD hình bình hành, AB⃗=DC⃗.
Hình nên dùng: Tịnh tiến một mũi tên.
Mô phỏng: Chồng hai vectơ.
Mẹo nhớ: Hướng giống + dài bằng.
Sai lầm: Chỉ kiểm độ dài.
Ghi chú: Không cần cùng điểm đầu.
Vectơ đối
Hiểu đơn giản: Hai vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng.
v⃗=−u⃗ ⇔ u⃗+v⃗=0⃗.
Ví dụ: BA⃗=−AB⃗.
Hình nên dùng: Hai mũi tên đối đầu.
Mô phỏng: Đảo chiều vectơ.
Mẹo nhớ: Đổi thứ tự điểm là đổi dấu.
Sai lầm: Cho rằng hai vectơ đối có độ dài âm.
Ghi chú: Độ dài luôn không âm.
Vectơ-không
Hiểu đơn giản: Điểm đầu trùng điểm cuối nên không có dịch chuyển.
AA⃗=0⃗ và |0⃗|=0.
Ví dụ: MN⃗+NM⃗=0⃗.
Hình nên dùng: Một điểm không có mũi tên dài.
Mô phỏng: Kéo hai đầu trùng nhau.
Mẹo nhớ: Không dịch chuyển = vectơ-không.
Sai lầm: Gán hướng xác định cho 0⃗.
Ghi chú: 0⃗ là phần tử trung hòa của phép cộng.
Quy tắc ba điểm
Hiểu đơn giản: Đi hai chặng liên tiếp bằng một chặng từ đầu đến cuối.
AB⃗+BC⃗=AC⃗.
Ví dụ: AB⃗+BC⃗+CD⃗=AD⃗.
Hình nên dùng: Đường gấp khúc A–B–C.
Mô phỏng: Nối đuôi hai mũi tên.
Mẹo nhớ: Cuối của trước = đầu của sau.
Sai lầm: Nối sai điểm trung gian.
Ghi chú: Có thể mở rộng cho nhiều vectơ liên tiếp.
Quy tắc hình bình hành
Hiểu đơn giản: Hai vectơ chung điểm đầu có tổng là đường chéo cùng điểm đầu.
ABCD hình bình hành ⇒ AB⃗+AD⃗=AC⃗.
Ví dụ: Hai lực cùng gốc cho hợp lực theo đường chéo.
Hình nên dùng: Hình bình hành có đường chéo AC.
Mô phỏng: Kéo hai cạnh và xem tổng.
Mẹo nhớ: Chung gốc–chéo đi ra.
Sai lầm: Chọn đường chéo BD.
Ghi chú: Phù hợp khi hai vectơ không nối đuôi sẵn.
Vectơ đối và phép trừ
Hiểu đơn giản: Trừ vectơ là cộng vectơ ngược hướng.
u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗).
Ví dụ: AB⃗−AC⃗=CB⃗.
Hình nên dùng: Đảo mũi tên của vectơ bị trừ.
Mô phỏng: Bật/tắt dấu trừ.
Mẹo nhớ: Trừ = cộng đối.
Sai lầm: Đổi dấu vectơ đứng trước.
Ghi chú: Phép trừ có thứ tự.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TÍCH VÔ HƯỚNG
Kiểm góc và vuông góc
Nhập hai vectơ khác 0; công cụ tính tích vô hướng, cos và góc giữa chúng.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Cho u⃗ = (-2;4), v⃗ = (2;5). Tính u⃗ + v⃗.
Phân tích: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Hướng làm: Cộng các thành phần cùng vị trí.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cộng các thành phần cùng vị trí.
- Bước 3: u⃗ + v⃗ = (0;9).
Vì sao: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: (0;9). Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Tính độ dài của vectơ a⃗ = (8;4).
Phân tích: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Hướng làm: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
- Bước 3: |a⃗| = √(8²+4²) = √80.
Vì sao: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông |x| và |y|.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: √80. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Ba điểm A, B, C thẳng hàng. Các vectơ AB⃗ và AC⃗ có nhất thiết cùng hướng không?
Phân tích: Thẳng hàng chỉ quyết định phương, chưa quyết định hướng.
Hướng làm: Cùng phương là chắc chắn; hướng còn phụ thuộc vị trí B và C so với A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cùng phương là chắc chắn; hướng còn phụ thuộc vị trí B và C so với A.
- Bước 3: Không nhất thiết. Nếu B và C cùng phía đối với A thì cùng hướng; khác phía thì ngược hướng.
Vì sao: Thẳng hàng chỉ quyết định phương, chưa quyết định hướng.
Cách khác: Vẽ hai trường hợp B, C nằm cùng phía và khác phía so với A.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Không nhất thiết. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Rút gọn AB⃗ + BC⃗.
Phân tích: Đi từ A đến B rồi B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Hướng làm: Hai vectơ nối đuôi tại B.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hai vectơ nối đuôi tại B.
- Bước 3: Theo quy tắc ba điểm, AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
Vì sao: Đi từ A đến B rồi B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Cách khác: Mô phỏng hai bước dịch chuyển liên tiếp.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: AC⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: So sánh hướng của -1u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Phân tích: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Hướng làm: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
- Bước 3: -1 < 0, nên -1u⃗ ngược hướng với u⃗.
Vì sao: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Ngược hướng. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Cho u⃗ = (3;-4), v⃗ = (8;-3). Tính u⃗ + v⃗.
Phân tích: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Hướng làm: Cộng các thành phần cùng vị trí.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cộng các thành phần cùng vị trí.
- Bước 3: u⃗ + v⃗ = (11;-7).
Vì sao: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: (11;-7). Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Tính độ dài của vectơ a⃗ = (7;4).
Phân tích: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Hướng làm: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
- Bước 3: |a⃗| = √(7²+4²) = √65.
Vì sao: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông |x| và |y|.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: √65. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Ba điểm A, B, C thẳng hàng. Các vectơ AB⃗ và AC⃗ có nhất thiết cùng hướng không?
Phân tích: Thẳng hàng chỉ quyết định phương, chưa quyết định hướng.
Hướng làm: Cùng phương là chắc chắn; hướng còn phụ thuộc vị trí B và C so với A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cùng phương là chắc chắn; hướng còn phụ thuộc vị trí B và C so với A.
- Bước 3: Không nhất thiết. Nếu B và C cùng phía đối với A thì cùng hướng; khác phía thì ngược hướng.
Vì sao: Thẳng hàng chỉ quyết định phương, chưa quyết định hướng.
Cách khác: Vẽ hai trường hợp B, C nằm cùng phía và khác phía so với A.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Không nhất thiết. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Rút gọn AB⃗ + BC⃗.
Phân tích: Đi từ A đến B rồi B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Hướng làm: Hai vectơ nối đuôi tại B.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hai vectơ nối đuôi tại B.
- Bước 3: Theo quy tắc ba điểm, AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
Vì sao: Đi từ A đến B rồi B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Cách khác: Mô phỏng hai bước dịch chuyển liên tiếp.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: AC⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: So sánh hướng của -2u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Phân tích: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Hướng làm: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
- Bước 3: -2 < 0, nên -2u⃗ ngược hướng với u⃗.
Vì sao: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Ngược hướng. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Đo và so sánh
Bài tập cuối Chương 4 giúp kiểm tra các phép đo, ước lượng và quyết định trong gia đình có căn cứ.
Dự án học tập
Học sinh thu thập dữ kiện, chọn mô hình bài tập cuối chương 4 và trình bày cách tự kiểm.
Đọc con số đúng nghĩa
Không chỉ tính ra số; phải hiểu đơn vị, độ tin cậy và giới hạn sử dụng.
Mô hình hóa
Đại lượng được biểu diễn bằng quan hệ toán học có điều kiện và có phép kiểm độc lập.
Thiết kế an toàn
Kĩ sư dùng công thức, hướng và sai số để tránh kết luận vượt quá dữ kiện.
Kiểm soát chất lượng
So sánh kết quả đo hoặc dữ liệu giúp phát hiện độ lệch và điều chỉnh quy trình.
Quan sát khó đo trực tiếp
Khoảng cách, phương hướng và số liệu tự nhiên có thể được suy ra từ mô hình phù hợp.
Năng lực phân tích
Kiến trúc, dữ liệu, logistics, khảo sát và công nghệ đều cần suy luận định lượng chặt chẽ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Vectơ dùng khi nào?
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, có điểm đầu và điểm cuối. Dấu hiệu nhận biết: Đầu trước, cuối sau.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Đồng nhất vectơ với độ dài.
Quay lại Vectơ: AB⃗ có điểm đầu A, điểm cuối B; |AB⃗|=AB. Tự kiểm bằng AB⃗ và BA⃗ cùng độ dài nhưng ngược hướng.
2. Dùng hai khái niệm như một.
Quay lại Cùng phương và cùng hướng: Cùng phương gồm cùng hướng hoặc ngược hướng. Tự kiểm bằng Hai cạnh đối hình bình hành cho các vectơ cùng phương.
3. Chỉ kiểm độ dài.
Quay lại Hai vectơ bằng nhau: u⃗=v⃗ ⇔ cùng hướng và |u⃗|=|v⃗|. Tự kiểm bằng Trong ABCD hình bình hành, AB⃗=DC⃗.
4. Cho rằng hai vectơ đối có độ dài âm.
Quay lại Vectơ đối: v⃗=−u⃗ ⇔ u⃗+v⃗=0⃗. Tự kiểm bằng BA⃗=−AB⃗.
5. Gán hướng xác định cho 0⃗.
Quay lại Vectơ-không: AA⃗=0⃗ và |0⃗|=0. Tự kiểm bằng MN⃗+NM⃗=0⃗.
6. Nối sai điểm trung gian.
Quay lại Quy tắc ba điểm: AB⃗+BC⃗=AC⃗. Tự kiểm bằng AB⃗+BC⃗+CD⃗=AD⃗.
7. Chọn đường chéo BD.
Quay lại Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành ⇒ AB⃗+AD⃗=AC⃗. Tự kiểm bằng Hai lực cùng gốc cho hợp lực theo đường chéo.
8. Đổi dấu vectơ đứng trước.
Quay lại Vectơ đối và phép trừ: u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗). Tự kiểm bằng AB⃗−AC⃗=CB⃗.
9. Đồng nhất vectơ với độ dài.
Quay lại Vectơ: AB⃗ có điểm đầu A, điểm cuối B; |AB⃗|=AB. Tự kiểm bằng AB⃗ và BA⃗ cùng độ dài nhưng ngược hướng.
10. Dùng hai khái niệm như một.
Quay lại Cùng phương và cùng hướng: Cùng phương gồm cùng hướng hoặc ngược hướng. Tự kiểm bằng Hai cạnh đối hình bình hành cho các vectơ cùng phương.
11. Chỉ kiểm độ dài.
Quay lại Hai vectơ bằng nhau: u⃗=v⃗ ⇔ cùng hướng và |u⃗|=|v⃗|. Tự kiểm bằng Trong ABCD hình bình hành, AB⃗=DC⃗.
12. Cho rằng hai vectơ đối có độ dài âm.
Quay lại Vectơ đối: v⃗=−u⃗ ⇔ u⃗+v⃗=0⃗. Tự kiểm bằng BA⃗=−AB⃗.
13. Gán hướng xác định cho 0⃗.
Quay lại Vectơ-không: AA⃗=0⃗ và |0⃗|=0. Tự kiểm bằng MN⃗+NM⃗=0⃗.
14. Nối sai điểm trung gian.
Quay lại Quy tắc ba điểm: AB⃗+BC⃗=AC⃗. Tự kiểm bằng AB⃗+BC⃗+CD⃗=AD⃗.
15. Chọn đường chéo BD.
Quay lại Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành ⇒ AB⃗+AD⃗=AC⃗. Tự kiểm bằng Hai lực cùng gốc cho hợp lực theo đường chéo.
16. Đổi dấu vectơ đứng trước.
Quay lại Vectơ đối và phép trừ: u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗). Tự kiểm bằng AB⃗−AC⃗=CB⃗.
17. Đồng nhất vectơ với độ dài.
Quay lại Vectơ: AB⃗ có điểm đầu A, điểm cuối B; |AB⃗|=AB. Tự kiểm bằng AB⃗ và BA⃗ cùng độ dài nhưng ngược hướng.
18. Dùng hai khái niệm như một.
Quay lại Cùng phương và cùng hướng: Cùng phương gồm cùng hướng hoặc ngược hướng. Tự kiểm bằng Hai cạnh đối hình bình hành cho các vectơ cùng phương.
19. Chỉ kiểm độ dài.
Quay lại Hai vectơ bằng nhau: u⃗=v⃗ ⇔ cùng hướng và |u⃗|=|v⃗|. Tự kiểm bằng Trong ABCD hình bình hành, AB⃗=DC⃗.
20. Cho rằng hai vectơ đối có độ dài âm.
Quay lại Vectơ đối: v⃗=−u⃗ ⇔ u⃗+v⃗=0⃗. Tự kiểm bằng BA⃗=−AB⃗.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Dự đoán trước
Ước lượng dấu, độ lớn hoặc vị trí kết quả trước khi bấm máy.
Một công thức–một điều kiện
Viết cạnh–góc tương ứng, hướng vectơ, đơn vị hoặc giả thiết dữ liệu ngay cạnh công thức.
Hai đường kiểm
Kiểm bằng công thức khác, trường hợp đặc biệt, hình vẽ hoặc thế ngược.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi câu sai, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Flashcard sau một ngày, bài ngắn sau ba ngày, đề trộn sau bảy ngày.
Nói thành lời
Nếu giải thích được cho người khác trong hai phút, em mới thực sự hiểu.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Bài tập cuối Chương 41 2 3 4 5 6 7 8
VectơĐầu trước, cuối sau.
Cùng phương và cùng hướngCùng phương chưa chắc cùng hướng.
Hai vectơ bằng nhauHướng giống + dài bằng.
Vectơ đốiĐổi thứ tự điểm là đổi dấu.
Vectơ-khôngKhông dịch chuyển = vectơ-không.
Quy tắc ba điểmCuối của trước = đầu của sau.
Quy tắc hình bình hànhChung gốc–chéo đi ra.
Vectơ đối và phép trừTrừ = cộng đối.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
T10-C4-NB-01So sánh sin 135° và sin 45°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Vì sao: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Sai ở đâu: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
T10-C4-NB-02Tam giác ABC có b = 5, c = 7, A = 60°. Tính cạnh a.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 5² + 7² − 5·7 = 39. Vậy a = √39.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Sai ở đâu: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
T10-C4-NB-03Xác định dấu của sin 150°, cos 150° và tan 150°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc nằm giữa 90° và 180°: tung độ dương, hoành độ âm.
Lời giải: sin 150° > 0; cos 150° < 0; tan 150° < 0.
Vì sao: tan là thương sin/cos nên âm khi sin và cos trái dấu.
Sai ở đâu: Cho rằng mọi giá trị lượng giác của một góc trong [0°;180°] đều dương.
Cách khác: Đánh dấu điểm biểu diễn trên nửa đường tròn và đọc dấu hai tọa độ.
T10-C4-NB-04Cho u⃗ = (-2;4), v⃗ = (2;5). Tính u⃗ + v⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng các thành phần cùng vị trí.
Lời giải: u⃗ + v⃗ = (0;9).
Vì sao: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Sai ở đâu: Cộng chéo hoành độ với tung độ.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
T10-C4-NB-05Tính độ dài của vectơ a⃗ = (8;4).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
Lời giải: |a⃗| = √(8²+4²) = √80.
Vì sao: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Sai ở đâu: Cộng x+y hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông |x| và |y|.
T10-C4-NB-06Ba điểm A, B, C thẳng hàng. Các vectơ AB⃗ và AC⃗ có nhất thiết cùng hướng không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cùng phương là chắc chắn; hướng còn phụ thuộc vị trí B và C so với A.
Lời giải: Không nhất thiết. Nếu B và C cùng phía đối với A thì cùng hướng; khác phía thì ngược hướng.
Vì sao: Thẳng hàng chỉ quyết định phương, chưa quyết định hướng.
Sai ở đâu: Đồng nhất “cùng phương” với “cùng hướng”.
Cách khác: Vẽ hai trường hợp B, C nằm cùng phía và khác phía so với A.
T10-C4-NB-07Rút gọn AB⃗ + BC⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai vectơ nối đuôi tại B.
Lời giải: Theo quy tắc ba điểm, AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
Vì sao: Đi từ A đến B rồi B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Sai ở đâu: Đổi thành CA⃗ hoặc cộng độ dài AB + BC trong mọi hình.
Cách khác: Mô phỏng hai bước dịch chuyển liên tiếp.
T10-C4-NB-08So sánh hướng của -1u⃗ với u⃗, biết u⃗ ≠ 0⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hệ số dương giữ hướng; hệ số âm đảo hướng.
Lời giải: -1 < 0, nên -1u⃗ ngược hướng với u⃗.
Vì sao: Tích với số khác 0 luôn cùng phương với vectơ ban đầu.
Sai ở đâu: Chỉ nhìn độ lớn |k| mà bỏ qua dấu.
Cách khác: Thử hình dung kéo dài vectơ rồi quay ngược khi k âm.
T10-C4-NB-09Cho u⃗ = (3;-4), v⃗ = (8;-3). Tính u⃗ + v⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng các thành phần cùng vị trí.
Lời giải: u⃗ + v⃗ = (11;-7).
Vì sao: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Sai ở đâu: Cộng chéo hoành độ với tung độ.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
T10-C4-NB-10Tính độ dài của vectơ a⃗ = (7;4).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng |a⃗| = √(x²+y²).
Lời giải: |a⃗| = √(7²+4²) = √65.
Vì sao: Độ dài là căn bậc hai của tích vô hướng vectơ với chính nó.
Sai ở đâu: Cộng x+y hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông |x| và |y|.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Vectơ nào vuông góc với u=(1;2)?
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 2Ba điểm A, B, C thẳng hàng. Các vectơ AB⃗ và AC⃗ có nhất thiết cùng hướng không?
Gợi ý: Cùng phương là chắc chắn; hướng còn phụ thuộc vị trí B và C so với A.
Lời giải: Không nhất thiết. Nếu B và C cùng phía đối với A thì cùng hướng; khác phía thì ngược hướng.
Giải thích: Thẳng hàng chỉ quyết định phương, chưa quyết định hướng.
Lỗi cần tránh: Đồng nhất “cùng phương” với “cùng hướng”.
Cách khác: Vẽ hai trường hợp B, C nằm cùng phía và khác phía so với A.
TỰ LUẬN 3Đoạn thẳng AB dài 2 cm. So sánh độ dài của vectơ AB và vectơ BA.
Gợi ý: Đổi hướng không làm thay đổi độ dài.
Lời giải: |AB⃗| = |BA⃗| = 2 cm.
Giải thích: Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài và ngược hướng.
Lỗi cần tránh: Cho rằng AB⃗ = BA⃗ vì độ dài bằng nhau.
Cách khác: Quan sát cùng một đoạn thẳng nhưng hai chiều đi ngược nhau.
TỰ LUẬN 4Trong hình bình hành ABCD, hãy nêu một cặp vectơ bằng nhau.
Gợi ý: Chọn hai cạnh đối có cùng chiều tương ứng.
Lời giải: AB⃗ = DC⃗ và AD⃗ = BC⃗.
Giải thích: Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Lỗi cần tránh: Viết AB⃗ = CD⃗; hai vectơ này ngược hướng.
Cách khác: Dùng phép tịnh tiến đưa A đến D và B đến C.
TỰ LUẬN 5Tam giác có hai cạnh b = 10, c = 8 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·10·8·1/2 = 20.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 6Hai vectơ u⃗ và v⃗ cùng phương, cùng hướng, có độ dài lần lượt 4 và 4. Chúng có bằng nhau không?
Gợi ý: Kiểm đủ hai điều kiện: cùng hướng và cùng độ dài.
Lời giải: Có. Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài nên u⃗ = v⃗.
Giải thích: Vị trí đặt vectơ không quyết định sự bằng nhau.
Lỗi cần tránh: Cho rằng vectơ phải cùng điểm đầu mới bằng nhau.
Cách khác: Tịnh tiến một vectơ để hai điểm đầu trùng nhau; hai điểm cuối cũng trùng.
TỰ LUẬN 7Hai vectơ u⃗ và v⃗ cùng phương, cùng hướng, có độ dài lần lượt 9 và 9. Chúng có bằng nhau không?
Gợi ý: Kiểm đủ hai điều kiện: cùng hướng và cùng độ dài.
Lời giải: Có. Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài nên u⃗ = v⃗.
Giải thích: Vị trí đặt vectơ không quyết định sự bằng nhau.
Lỗi cần tránh: Cho rằng vectơ phải cùng điểm đầu mới bằng nhau.
Cách khác: Tịnh tiến một vectơ để hai điểm đầu trùng nhau; hai điểm cuối cũng trùng.
TỰ LUẬN 8Đoạn thẳng AB dài 8 cm. So sánh độ dài của vectơ AB và vectơ BA.
Gợi ý: Đổi hướng không làm thay đổi độ dài.
Lời giải: |AB⃗| = |BA⃗| = 8 cm.
Giải thích: Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài và ngược hướng.
Lỗi cần tránh: Cho rằng AB⃗ = BA⃗ vì độ dài bằng nhau.
Cách khác: Quan sát cùng một đoạn thẳng nhưng hai chiều đi ngược nhau.
TỰ LUẬN 9Tính A=2sin²30°+8cos²60°.
Gợi ý: sin30°=cos60°=1/2; bình phương trước khi nhân hệ số.
Lời giải: sin30°=cos60°=1/2; bình phương trước khi nhân hệ số. Kết quả: 5/2.
Giải thích: sin30°=cos60°=1/2; bình phương trước khi nhân hệ số.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 10Hai vectơ u⃗ và v⃗ cùng phương, cùng hướng, có độ dài lần lượt 8 và 8. Chúng có bằng nhau không?
Gợi ý: Kiểm đủ hai điều kiện: cùng hướng và cùng độ dài.
Lời giải: Có. Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài nên u⃗ = v⃗.
Giải thích: Vị trí đặt vectơ không quyết định sự bằng nhau.
Lỗi cần tránh: Cho rằng vectơ phải cùng điểm đầu mới bằng nhau.
Cách khác: Tịnh tiến một vectơ để hai điểm đầu trùng nhau; hai điểm cuối cũng trùng.
TỰ LUẬN 11Cho I là trung điểm AB. Rút gọn IA⃗ + IB⃗.
Gợi ý: Hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng.
Lời giải: IA⃗ + IB⃗ = 0⃗.
Giải thích: Trung điểm làm hai vectơ từ I đến hai đầu mút đối nhau.
Lỗi cần tránh: Kết luận bằng AB⃗ vì cộng hai độ dài.
Cách khác: Dùng IA⃗ = −IB⃗.
TỰ LUẬN 12Cho |u⃗| = 2. Tính |4u⃗|.
Gợi ý: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
Lời giải: |4u⃗| = |4|·2 = 8.
Giải thích: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Giữ dấu âm trong kết quả độ dài.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
TỰ LUẬN 13Tam giác có hai cạnh b = 11, c = 9 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·11·9·1/2 = 24.75.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 14Đoạn thẳng AB dài 9 cm. So sánh độ dài của vectơ AB và vectơ BA.
Gợi ý: Đổi hướng không làm thay đổi độ dài.
Lời giải: |AB⃗| = |BA⃗| = 9 cm.
Giải thích: Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài và ngược hướng.
Lỗi cần tránh: Cho rằng AB⃗ = BA⃗ vì độ dài bằng nhau.
Cách khác: Quan sát cùng một đoạn thẳng nhưng hai chiều đi ngược nhau.
TỰ LUẬN 15Rút gọn 5u⃗ − 4u⃗.
Gợi ý: Gom hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: 5u⃗ − 4u⃗ = (5−4)u⃗ = u⃗.
Giải thích: Các quy tắc phân phối giống đại số vì cùng một vectơ cơ sở.
Lỗi cần tránh: Trừ cả vectơ hoặc ghép sai hệ số.
Cách khác: Đặt u⃗ làm nhân tử chung.
TỰ LUẬN 16Cho A(3;-2), B(8;-3). Tìm tọa độ AB⃗.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗ = (8−(3); -3−(-2)) = (5;-1).
Giải thích: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Lỗi cần tránh: Lấy A−B hoặc chỉ đổi dấu một thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
TỰ LUẬN 17Một mảnh đất tam giác có hai cạnh 4 m, 2 m và góc xen giữa 30°. Tính diện tích (m²).
Gợi ý: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa.
Lời giải: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa. Kết quả: 2.
Giải thích: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 18Cho |u⃗| = 2. Tính |2u⃗|.
Gợi ý: Độ dài của k·u⃗ bằng |k| lần độ dài u⃗.
Lời giải: |2u⃗| = |2|·2 = 4.
Giải thích: Dấu của k quyết định hướng, còn độ dài luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Giữ dấu âm trong kết quả độ dài.
Cách khác: Xem phép nhân số là co giãn độ dài theo hệ số |k|.
TỰ LUẬN 19Cho A(-3;1), B(1;0). Tìm tọa độ AB⃗.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗ = (1−(-3); 0−(1)) = (4;-1).
Giải thích: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Lỗi cần tránh: Lấy A−B hoặc chỉ đổi dấu một thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
TỰ LUẬN 20Cho A(2;2), B(7;1). Tìm tọa độ AB⃗.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗ = (7−(2); 1−(2)) = (5;-1).
Giải thích: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Lỗi cần tránh: Lấy A−B hoặc chỉ đổi dấu một thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-C4-NB-01, T10-C4-NB-02, T10-C4-NB-03, T10-C4-NB-04, T10-C4-NB-05, T10-C4-NB-06, T10-C4-NB-07, T10-C4-NB-08, T10-C4-NB-09, T10-C4-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C4-NB-01: sin 135° = sin 45°
- T10-C4-NB-02: √39
- T10-C4-NB-03: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-C4-NB-04: (0;9)
- T10-C4-NB-05: √80
- T10-C4-NB-06: Không nhất thiết
- T10-C4-NB-07: AC⃗
- T10-C4-NB-08: Ngược hướng
- T10-C4-NB-09: (11;-7)
- T10-C4-NB-10: √65
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: T10-C4-NB-11, T10-C4-NB-12, T10-C4-NB-13, T10-C4-NB-14, T10-C4-NB-15, T10-C4-NB-16, T10-C4-NB-17, T10-C4-NB-18, T10-C4-NB-19, T10-C4-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C4-NB-11: 2 cm và 2 cm
- T10-C4-NB-12: Không có hướng xác định
- T10-C4-NB-13: Ngược hướng
- T10-C4-NB-14: (4;-5)
- T10-C4-NB-15: √52
- T10-C4-NB-16: AB⃗ = DC⃗
- T10-C4-NB-17: Có
- T10-C4-NB-18: Ngược hướng
- T10-C4-NB-19: (1;-3)
- T10-C4-NB-20: √41
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-C4-TH-01, T10-C4-TH-02, T10-C4-TH-03, T10-C4-TH-04, T10-C4-TH-05, T10-C4-TH-06, T10-C4-TH-07, T10-C4-TH-08, T10-C4-TH-09, T10-C4-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C4-TH-01: 20
- T10-C4-TH-02: 2
- T10-C4-TH-03: 109/144
- T10-C4-TH-04: (-2;-1)
- T10-C4-TH-05: √32
- T10-C4-TH-06: Có
- T10-C4-TH-07: 6 cm và 6 cm
- T10-C4-TH-08: Cùng hướng
- T10-C4-TH-09: (9;1)
- T10-C4-TH-10: 5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-C4-TH-11, T10-C4-TH-12, T10-C4-TH-13, T10-C4-TH-14, T10-C4-TH-15, T10-C4-TH-16, T10-C4-TH-17, T10-C4-TH-18, T10-C4-TH-19, T10-C4-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C4-TH-11: Có
- T10-C4-TH-12: 3 cm và 3 cm
- T10-C4-TH-13: Cùng hướng
- T10-C4-TH-14: (2;3)
- T10-C4-TH-15: Có
- T10-C4-TH-16: 8 cm và 8 cm
- T10-C4-TH-17: Có
- T10-C4-TH-18: CB⃗
- T10-C4-TH-19: (-1;5)
- T10-C4-TH-20: 0⃗
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-C4-VD-01, T10-C4-VD-02, T10-C4-VD-03, T10-C4-VD-04, T10-C4-VD-05, T10-C4-VD-06, T10-C4-VD-07, T10-C4-VD-08, T10-C4-VD-09, T10-C4-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-C4-VD-01: 5/2
- T10-C4-VD-02: √52
- T10-C4-VD-03: 32
- T10-C4-VD-04: (10;7)
- T10-C4-VD-05: 5 cm và 5 cm
- T10-C4-VD-06: Có
- T10-C4-VD-07: 7 cm và 7 cm
- T10-C4-VD-08: Có
- T10-C4-VD-09: (7;9)
- T10-C4-VD-10: 4 cm và 4 cm
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.