Nhìn cấu trúc trước
Học tổng và hiệu của hai vectơ bằng quan hệ và hình ảnh, không thuộc công thức rời rạc.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- AB⃗+BC⃗=AC⃗.
- Hai vectơ chung gốc trong hình bình hành có tổng là đường chéo đi ra.
- Trừ vectơ là cộng vectơ đối.
Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ
Học phép cộng và phép trừ như các dịch chuyển có hướng, từ đó rút gọn biểu thức và giải bài toán hình học không lệ thuộc hình vẽ cảm tính.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi bài bắt đầu bằng dữ kiện đã có, điều cần tìm và điều kiện áp dụng.
Gắn với thực tiễn
Ví dụ đo đạc, chuyển động, dữ liệu và ra quyết định giúp thấy ý nghĩa của kết quả.
Không phụ thuộc đáp án
Mỗi lời giải có phép kiểm bằng định nghĩa, công thức khác, hình hoặc ước lượng.
- Dùng quy tắc ba điểm và hình bình hành.
- Thực hiện phép trừ qua vectơ đối.
- Rút gọn tổng nhiều vectơ.
- Vận dụng quan hệ trung điểm.
- Vectơ bằng nhau và vectơ đối.
- Hình bình hành.
- Trung điểm đoạn thẳng.
- Tính giao hoán và kết hợp của phép cộng số.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Quy tắc ba điểm
Hiểu đơn giản: Đi hai chặng liên tiếp bằng một chặng từ đầu đến cuối.
AB⃗+BC⃗=AC⃗.
Ví dụ: AB⃗+BC⃗+CD⃗=AD⃗.
Hình nên dùng: Đường gấp khúc A–B–C.
Mô phỏng: Nối đuôi hai mũi tên.
Mẹo nhớ: Cuối của trước = đầu của sau.
Sai lầm: Nối sai điểm trung gian.
Ghi chú: Có thể mở rộng cho nhiều vectơ liên tiếp.
Quy tắc hình bình hành
Hiểu đơn giản: Hai vectơ chung điểm đầu có tổng là đường chéo cùng điểm đầu.
ABCD hình bình hành ⇒ AB⃗+AD⃗=AC⃗.
Ví dụ: Hai lực cùng gốc cho hợp lực theo đường chéo.
Hình nên dùng: Hình bình hành có đường chéo AC.
Mô phỏng: Kéo hai cạnh và xem tổng.
Mẹo nhớ: Chung gốc–chéo đi ra.
Sai lầm: Chọn đường chéo BD.
Ghi chú: Phù hợp khi hai vectơ không nối đuôi sẵn.
Vectơ đối và phép trừ
Hiểu đơn giản: Trừ vectơ là cộng vectơ ngược hướng.
u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗).
Ví dụ: AB⃗−AC⃗=CB⃗.
Hình nên dùng: Đảo mũi tên của vectơ bị trừ.
Mô phỏng: Bật/tắt dấu trừ.
Mẹo nhớ: Trừ = cộng đối.
Sai lầm: Đổi dấu vectơ đứng trước.
Ghi chú: Phép trừ có thứ tự.
Tính chất phép cộng
Hiểu đơn giản: Có thể đổi chỗ và nhóm lại mà tổng không đổi.
u⃗+v⃗=v⃗+u⃗; (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗).
Ví dụ: Nhóm các vectơ đối để triệt tiêu.
Hình nên dùng: Nhiều đường gấp khúc cùng điểm cuối.
Mô phỏng: Đổi thứ tự các bước dịch chuyển.
Mẹo nhớ: Đổi chỗ–nhóm lại.
Sai lầm: Áp dụng giao hoán cho phép trừ.
Ghi chú: 0⃗ là phần tử trung hòa.
Trung điểm
Hiểu đơn giản: Từ trung điểm đến hai đầu mút là hai vectơ đối.
I trung điểm AB ⇔ IA⃗+IB⃗=0⃗.
Ví dụ: OA⃗+OB⃗=2OI⃗.
Hình nên dùng: Điểm I giữa A, B.
Mô phỏng: Kéo I và kiểm tổng.
Mẹo nhớ: Trung điểm cân hai phía.
Sai lầm: Chỉ kiểm IA=IB mà quên thẳng hàng.
Ghi chú: Quan hệ vectơ giúp chứng minh trung điểm.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB CO GIÃN VECTƠ
Dấu hệ số đổi hướng, trị tuyệt đối đổi độ dài
Thay vectơ u⃗ và hệ số k để kiểm trực tiếp tọa độ, hướng và độ dài của ku⃗.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Rút gọn AB⃗ + BC⃗.
Phân tích: Đi từ A đến B rồi B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Hướng làm: Hai vectơ nối đuôi tại B.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hai vectơ nối đuôi tại B.
- Bước 3: Theo quy tắc ba điểm, AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
Vì sao: Đi từ A đến B rồi B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Cách khác: Mô phỏng hai bước dịch chuyển liên tiếp.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: AC⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Trong hình bình hành ABCD, rút gọn AB⃗ + AD⃗.
Phân tích: Đường chéo xuất phát từ điểm đầu chung biểu diễn tổng hai cạnh kề.
Hướng làm: Dùng quy tắc hình bình hành tại đỉnh A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng quy tắc hình bình hành tại đỉnh A.
- Bước 3: AB⃗ + AD⃗ = AC⃗.
Vì sao: Đường chéo xuất phát từ điểm đầu chung biểu diễn tổng hai cạnh kề.
Cách khác: Thay AD⃗ bằng BC⃗ rồi dùng AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: AC⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Rút gọn AB⃗ − AC⃗.
Phân tích: Hiệu hai vectơ chung điểm đầu đi từ điểm cuối của vectơ bị trừ đến điểm cuối vectơ đứng trước.
Hướng làm: Đổi phép trừ thành cộng với vectơ đối: −AC⃗ = CA⃗.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Đổi phép trừ thành cộng với vectơ đối: −AC⃗ = CA⃗.
- Bước 3: AB⃗ − AC⃗ = AB⃗ + CA⃗ = CA⃗ + AB⃗ = CB⃗.
Vì sao: Hiệu hai vectơ chung điểm đầu đi từ điểm cuối của vectơ bị trừ đến điểm cuối vectơ đứng trước.
Cách khác: Dùng công thức AB⃗ − AC⃗ = CB⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: CB⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Rút gọn MN⃗ + NM⃗.
Phân tích: Hai dịch chuyển cùng độ dài, ngược hướng triệt tiêu nhau.
Hướng làm: Hai vectơ đối nhau.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hai vectơ đối nhau.
- Bước 3: MN⃗ + NM⃗ = 0⃗.
Vì sao: Hai dịch chuyển cùng độ dài, ngược hướng triệt tiêu nhau.
Cách khác: Dùng NM⃗ = −MN⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 0⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Cho I là trung điểm AB. Rút gọn IA⃗ + IB⃗.
Phân tích: Trung điểm làm hai vectơ từ I đến hai đầu mút đối nhau.
Hướng làm: Hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng.
- Bước 3: IA⃗ + IB⃗ = 0⃗.
Vì sao: Trung điểm làm hai vectơ từ I đến hai đầu mút đối nhau.
Cách khác: Dùng IA⃗ = −IB⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 0⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Rút gọn AB⃗ + BC⃗.
Phân tích: Đi từ A đến B rồi B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Hướng làm: Hai vectơ nối đuôi tại B.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hai vectơ nối đuôi tại B.
- Bước 3: Theo quy tắc ba điểm, AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
Vì sao: Đi từ A đến B rồi B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Cách khác: Mô phỏng hai bước dịch chuyển liên tiếp.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: AC⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Trong hình bình hành ABCD, rút gọn AB⃗ + AD⃗.
Phân tích: Đường chéo xuất phát từ điểm đầu chung biểu diễn tổng hai cạnh kề.
Hướng làm: Dùng quy tắc hình bình hành tại đỉnh A.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dùng quy tắc hình bình hành tại đỉnh A.
- Bước 3: AB⃗ + AD⃗ = AC⃗.
Vì sao: Đường chéo xuất phát từ điểm đầu chung biểu diễn tổng hai cạnh kề.
Cách khác: Thay AD⃗ bằng BC⃗ rồi dùng AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: AC⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Rút gọn AB⃗ − AC⃗.
Phân tích: Hiệu hai vectơ chung điểm đầu đi từ điểm cuối của vectơ bị trừ đến điểm cuối vectơ đứng trước.
Hướng làm: Đổi phép trừ thành cộng với vectơ đối: −AC⃗ = CA⃗.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Đổi phép trừ thành cộng với vectơ đối: −AC⃗ = CA⃗.
- Bước 3: AB⃗ − AC⃗ = AB⃗ + CA⃗ = CA⃗ + AB⃗ = CB⃗.
Vì sao: Hiệu hai vectơ chung điểm đầu đi từ điểm cuối của vectơ bị trừ đến điểm cuối vectơ đứng trước.
Cách khác: Dùng công thức AB⃗ − AC⃗ = CB⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: CB⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Rút gọn MN⃗ + NM⃗.
Phân tích: Hai dịch chuyển cùng độ dài, ngược hướng triệt tiêu nhau.
Hướng làm: Hai vectơ đối nhau.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hai vectơ đối nhau.
- Bước 3: MN⃗ + NM⃗ = 0⃗.
Vì sao: Hai dịch chuyển cùng độ dài, ngược hướng triệt tiêu nhau.
Cách khác: Dùng NM⃗ = −MN⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 0⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Cho I là trung điểm AB. Rút gọn IA⃗ + IB⃗.
Phân tích: Trung điểm làm hai vectơ từ I đến hai đầu mút đối nhau.
Hướng làm: Hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng.
- Bước 3: IA⃗ + IB⃗ = 0⃗.
Vì sao: Trung điểm làm hai vectơ từ I đến hai đầu mút đối nhau.
Cách khác: Dùng IA⃗ = −IB⃗.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 0⃗. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Đo và so sánh
Tổng và hiệu của hai vectơ giúp kiểm tra các phép đo, ước lượng và quyết định trong gia đình có căn cứ.
Dự án học tập
Học sinh thu thập dữ kiện, chọn mô hình tổng và hiệu của hai vectơ và trình bày cách tự kiểm.
Đọc con số đúng nghĩa
Không chỉ tính ra số; phải hiểu đơn vị, độ tin cậy và giới hạn sử dụng.
Mô hình hóa
Đại lượng được biểu diễn bằng quan hệ toán học có điều kiện và có phép kiểm độc lập.
Thiết kế an toàn
Kĩ sư dùng công thức, hướng và sai số để tránh kết luận vượt quá dữ kiện.
Kiểm soát chất lượng
So sánh kết quả đo hoặc dữ liệu giúp phát hiện độ lệch và điều chỉnh quy trình.
Quan sát khó đo trực tiếp
Khoảng cách, phương hướng và số liệu tự nhiên có thể được suy ra từ mô hình phù hợp.
Năng lực phân tích
Kiến trúc, dữ liệu, logistics, khảo sát và công nghệ đều cần suy luận định lượng chặt chẽ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Quy tắc ba điểm dùng khi nào?
Đi hai chặng liên tiếp bằng một chặng từ đầu đến cuối. Dấu hiệu nhận biết: Cuối của trước = đầu của sau.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Nối sai điểm trung gian.
Quay lại Quy tắc ba điểm: AB⃗+BC⃗=AC⃗. Tự kiểm bằng AB⃗+BC⃗+CD⃗=AD⃗.
2. Chọn đường chéo BD.
Quay lại Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành ⇒ AB⃗+AD⃗=AC⃗. Tự kiểm bằng Hai lực cùng gốc cho hợp lực theo đường chéo.
3. Đổi dấu vectơ đứng trước.
Quay lại Vectơ đối và phép trừ: u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗). Tự kiểm bằng AB⃗−AC⃗=CB⃗.
4. Áp dụng giao hoán cho phép trừ.
Quay lại Tính chất phép cộng: u⃗+v⃗=v⃗+u⃗; (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗). Tự kiểm bằng Nhóm các vectơ đối để triệt tiêu.
5. Chỉ kiểm IA=IB mà quên thẳng hàng.
Quay lại Trung điểm: I trung điểm AB ⇔ IA⃗+IB⃗=0⃗. Tự kiểm bằng OA⃗+OB⃗=2OI⃗.
6. Nối sai điểm trung gian.
Quay lại Quy tắc ba điểm: AB⃗+BC⃗=AC⃗. Tự kiểm bằng AB⃗+BC⃗+CD⃗=AD⃗.
7. Chọn đường chéo BD.
Quay lại Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành ⇒ AB⃗+AD⃗=AC⃗. Tự kiểm bằng Hai lực cùng gốc cho hợp lực theo đường chéo.
8. Đổi dấu vectơ đứng trước.
Quay lại Vectơ đối và phép trừ: u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗). Tự kiểm bằng AB⃗−AC⃗=CB⃗.
9. Áp dụng giao hoán cho phép trừ.
Quay lại Tính chất phép cộng: u⃗+v⃗=v⃗+u⃗; (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗). Tự kiểm bằng Nhóm các vectơ đối để triệt tiêu.
10. Chỉ kiểm IA=IB mà quên thẳng hàng.
Quay lại Trung điểm: I trung điểm AB ⇔ IA⃗+IB⃗=0⃗. Tự kiểm bằng OA⃗+OB⃗=2OI⃗.
11. Nối sai điểm trung gian.
Quay lại Quy tắc ba điểm: AB⃗+BC⃗=AC⃗. Tự kiểm bằng AB⃗+BC⃗+CD⃗=AD⃗.
12. Chọn đường chéo BD.
Quay lại Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành ⇒ AB⃗+AD⃗=AC⃗. Tự kiểm bằng Hai lực cùng gốc cho hợp lực theo đường chéo.
13. Đổi dấu vectơ đứng trước.
Quay lại Vectơ đối và phép trừ: u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗). Tự kiểm bằng AB⃗−AC⃗=CB⃗.
14. Áp dụng giao hoán cho phép trừ.
Quay lại Tính chất phép cộng: u⃗+v⃗=v⃗+u⃗; (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗). Tự kiểm bằng Nhóm các vectơ đối để triệt tiêu.
15. Chỉ kiểm IA=IB mà quên thẳng hàng.
Quay lại Trung điểm: I trung điểm AB ⇔ IA⃗+IB⃗=0⃗. Tự kiểm bằng OA⃗+OB⃗=2OI⃗.
16. Nối sai điểm trung gian.
Quay lại Quy tắc ba điểm: AB⃗+BC⃗=AC⃗. Tự kiểm bằng AB⃗+BC⃗+CD⃗=AD⃗.
17. Chọn đường chéo BD.
Quay lại Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành ⇒ AB⃗+AD⃗=AC⃗. Tự kiểm bằng Hai lực cùng gốc cho hợp lực theo đường chéo.
18. Đổi dấu vectơ đứng trước.
Quay lại Vectơ đối và phép trừ: u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗). Tự kiểm bằng AB⃗−AC⃗=CB⃗.
19. Áp dụng giao hoán cho phép trừ.
Quay lại Tính chất phép cộng: u⃗+v⃗=v⃗+u⃗; (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗). Tự kiểm bằng Nhóm các vectơ đối để triệt tiêu.
20. Chỉ kiểm IA=IB mà quên thẳng hàng.
Quay lại Trung điểm: I trung điểm AB ⇔ IA⃗+IB⃗=0⃗. Tự kiểm bằng OA⃗+OB⃗=2OI⃗.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Dự đoán trước
Ước lượng dấu, độ lớn hoặc vị trí kết quả trước khi bấm máy.
Một công thức–một điều kiện
Viết cạnh–góc tương ứng, hướng vectơ, đơn vị hoặc giả thiết dữ liệu ngay cạnh công thức.
Hai đường kiểm
Kiểm bằng công thức khác, trường hợp đặc biệt, hình vẽ hoặc thế ngược.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi câu sai, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Flashcard sau một ngày, bài ngắn sau ba ngày, đề trộn sau bảy ngày.
Nói thành lời
Nếu giải thích được cho người khác trong hai phút, em mới thực sự hiểu.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Tổng và hiệu của hai vectơ1 2 3 4 5
Quy tắc ba điểmCuối của trước = đầu của sau.
Quy tắc hình bình hànhChung gốc–chéo đi ra.
Vectơ đối và phép trừTrừ = cộng đối.
Tính chất phép cộngĐổi chỗ–nhóm lại.
Trung điểmTrung điểm cân hai phía.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
T10-B8-NB-01So sánh sin 135° và sin 45°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Vì sao: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Sai ở đâu: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
T10-B8-NB-02Tam giác ABC có b = 5, c = 7, A = 60°. Tính cạnh a.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cạnh a đối diện góc A; dùng định lí cos.
Lời giải: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 5² + 7² − 5·7 = 39. Vậy a = √39.
Vì sao: Định lí cos nối ba cạnh với góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Sai ở đâu: Gán nhầm cạnh đối diện hoặc quên hệ số 2bc.
Cách khác: Kẻ đường cao rồi dùng lượng giác trong hai tam giác vuông; kết quả tương đương.
T10-B8-NB-03Xác định dấu của sin 150°, cos 150° và tan 150°.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc nằm giữa 90° và 180°: tung độ dương, hoành độ âm.
Lời giải: sin 150° > 0; cos 150° < 0; tan 150° < 0.
Vì sao: tan là thương sin/cos nên âm khi sin và cos trái dấu.
Sai ở đâu: Cho rằng mọi giá trị lượng giác của một góc trong [0°;180°] đều dương.
Cách khác: Đánh dấu điểm biểu diễn trên nửa đường tròn và đọc dấu hai tọa độ.
T10-B8-NB-04Rút gọn AB⃗ + BC⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai vectơ nối đuôi tại B.
Lời giải: Theo quy tắc ba điểm, AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
Vì sao: Đi từ A đến B rồi B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Sai ở đâu: Đổi thành CA⃗ hoặc cộng độ dài AB + BC trong mọi hình.
Cách khác: Mô phỏng hai bước dịch chuyển liên tiếp.
T10-B8-NB-05Trong hình bình hành ABCD, rút gọn AB⃗ + AD⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng quy tắc hình bình hành tại đỉnh A.
Lời giải: AB⃗ + AD⃗ = AC⃗.
Vì sao: Đường chéo xuất phát từ điểm đầu chung biểu diễn tổng hai cạnh kề.
Sai ở đâu: Viết BD⃗ vì nhìn thấy đường chéo còn lại.
Cách khác: Thay AD⃗ bằng BC⃗ rồi dùng AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
T10-B8-NB-06Rút gọn AB⃗ − AC⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đổi phép trừ thành cộng với vectơ đối: −AC⃗ = CA⃗.
Lời giải: AB⃗ − AC⃗ = AB⃗ + CA⃗ = CA⃗ + AB⃗ = CB⃗.
Vì sao: Hiệu hai vectơ chung điểm đầu đi từ điểm cuối của vectơ bị trừ đến điểm cuối vectơ đứng trước.
Sai ở đâu: Viết BC⃗ do bỏ qua thứ tự của phép trừ.
Cách khác: Dùng công thức AB⃗ − AC⃗ = CB⃗.
T10-B8-NB-07Rút gọn MN⃗ + NM⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai vectơ đối nhau.
Lời giải: MN⃗ + NM⃗ = 0⃗.
Vì sao: Hai dịch chuyển cùng độ dài, ngược hướng triệt tiêu nhau.
Sai ở đâu: Ghi kết quả là số 0 mà không phân biệt vectơ-không.
Cách khác: Dùng NM⃗ = −MN⃗.
T10-B8-NB-08Cho I là trung điểm AB. Rút gọn IA⃗ + IB⃗.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng.
Lời giải: IA⃗ + IB⃗ = 0⃗.
Vì sao: Trung điểm làm hai vectơ từ I đến hai đầu mút đối nhau.
Sai ở đâu: Kết luận bằng AB⃗ vì cộng hai độ dài.
Cách khác: Dùng IA⃗ = −IB⃗.
T10-B8-NB-09Cho u=(2;2), v=(3;0). Tính hoành độ của u+v.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ.
Lời giải: Cộng hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ. Kết quả: 5.
Vì sao: Cộng hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ.
Sai ở đâu: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
T10-B8-NB-10Cho u=(2;2), v=(3;0). Tính tung độ của u−v.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hiệu vectơ được tính theo từng thành phần; trừ số âm thành cộng.
Lời giải: Hiệu vectơ được tính theo từng thành phần; trừ số âm thành cộng. Kết quả: 2.
Vì sao: Hiệu vectơ được tính theo từng thành phần; trừ số âm thành cộng.
Sai ở đâu: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Cho u=(2;2), v=(3;0). Tính hoành độ của u+v.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1So sánh sin 135° và sin 45°.
Gợi ý: Hai góc bù nhau có cùng giá trị sin.
Lời giải: sin 135° = sin(180°−45°) = sin 45°.
Giải thích: Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm đối xứng qua trục Oy có cùng tung độ.
Lỗi cần tránh: Đổi nhầm dấu của sin; chỉ cos, tan và cot đổi dấu khi chuyển sang góc bù.
Cách khác: Vẽ hai bán kính tạo góc bù và so sánh tung độ hai điểm.
TỰ LUẬN 2Rút gọn AB⃗ − AC⃗.
Gợi ý: Đổi phép trừ thành cộng với vectơ đối: −AC⃗ = CA⃗.
Lời giải: AB⃗ − AC⃗ = AB⃗ + CA⃗ = CA⃗ + AB⃗ = CB⃗.
Giải thích: Hiệu hai vectơ chung điểm đầu đi từ điểm cuối của vectơ bị trừ đến điểm cuối vectơ đứng trước.
Lỗi cần tránh: Viết BC⃗ do bỏ qua thứ tự của phép trừ.
Cách khác: Dùng công thức AB⃗ − AC⃗ = CB⃗.
TỰ LUẬN 3A(0;0), B(2;2), C(5;2). Tính hoành độ AB+BC.
Gợi ý: Quy tắc ba điểm: AB+BC=AC; không phụ thuộc vị trí B.
Lời giải: Quy tắc ba điểm: AB+BC=AC; không phụ thuộc vị trí B. Kết quả: 5.
Giải thích: Quy tắc ba điểm: AB+BC=AC; không phụ thuộc vị trí B.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 4Cho u=(2;2), v=(3;0). Tính tổng hai tọa độ của u−v.
Gợi ý: Tính hiệu theo từng tọa độ trước khi cộng hai thành phần.
Lời giải: Tính hiệu theo từng tọa độ trước khi cộng hai thành phần. Kết quả: 1.
Giải thích: Tính hiệu theo từng tọa độ trước khi cộng hai thành phần.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 5Tam giác có hai cạnh b = 10, c = 8 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·10·8·1/2 = 20.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 6A(0;0), B(6;6), I là trung điểm AB. Tính hoành độ IA+IB.
Gợi ý: I là trung điểm nên IA và IB đối nhau.
Lời giải: I là trung điểm nên IA và IB đối nhau. Kết quả: 0.
Giải thích: I là trung điểm nên IA và IB đối nhau.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 7Cho u=(4;4). Tính |u+(−u)|².
Gợi ý: Hai vectơ đối nhau có tổng là vectơ-không.
Lời giải: Hai vectơ đối nhau có tổng là vectơ-không. Kết quả: 0.
Giải thích: Hai vectơ đối nhau có tổng là vectơ-không.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 8Cho u=(5;5), v=(6;-3). Tính hoành độ của u+v.
Gợi ý: Cộng hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ.
Lời giải: Cộng hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ. Kết quả: 11.
Giải thích: Cộng hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 9Tính A=2sin²30°+8cos²60°.
Gợi ý: sin30°=cos60°=1/2; bình phương trước khi nhân hệ số.
Lời giải: sin30°=cos60°=1/2; bình phương trước khi nhân hệ số. Kết quả: 5/2.
Giải thích: sin30°=cos60°=1/2; bình phương trước khi nhân hệ số.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 10Cho u=(5;5), v=(6;-3). Tính tổng hai tọa độ của u−v.
Gợi ý: Tính hiệu theo từng tọa độ trước khi cộng hai thành phần.
Lời giải: Tính hiệu theo từng tọa độ trước khi cộng hai thành phần. Kết quả: 7.
Giải thích: Tính hiệu theo từng tọa độ trước khi cộng hai thành phần.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 11Trong hình bình hành ABCD, A(0;0), B(6;0), D(0;6). Tính tổng hai tọa độ của AB+AD.
Gợi ý: Quy tắc hình bình hành cho AB+AD=AC=(k;b).
Lời giải: Quy tắc hình bình hành cho AB+AD=AC=(k;b). Kết quả: 12.
Giải thích: Quy tắc hình bình hành cho AB+AD=AC=(k;b).
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 12Cho u=(7;2), v=(4;-5). Tính tung độ của u−v.
Gợi ý: Hiệu vectơ được tính theo từng thành phần; trừ số âm thành cộng.
Lời giải: Hiệu vectơ được tính theo từng thành phần; trừ số âm thành cộng. Kết quả: 7.
Giải thích: Hiệu vectơ được tính theo từng thành phần; trừ số âm thành cộng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 13Tam giác có hai cạnh b = 11, c = 9 và góc xen giữa A = 30°. Tính diện tích.
Gợi ý: Dùng S = 1/2·bc·sin A.
Lời giải: S = 1/2·11·9·1/2 = 24.75.
Giải thích: Công thức diện tích dùng đúng góc xen giữa hai cạnh được nhân.
Lỗi cần tránh: Dùng một góc không nằm giữa b và c hoặc quên hệ số 1/2.
Cách khác: Lấy c làm đáy, chiều cao tương ứng bằng b·sin30°.
TỰ LUẬN 14Cho u=(8;3), v=(5;-6). Tính hoành độ của u+v.
Gợi ý: Cộng hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ.
Lời giải: Cộng hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ. Kết quả: 13.
Giải thích: Cộng hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 15Cho u=(8;3), w=(13;9) và u+v=w. Tính hoành độ v.
Gợi ý: Chuyển v=w−u rồi trừ hai hoành độ.
Lời giải: Chuyển v=w−u rồi trừ hai hoành độ. Kết quả: 5.
Giải thích: Chuyển v=w−u rồi trừ hai hoành độ.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 16A(7;0), B(16;4), C(22;11). Tính hoành độ AB+BC.
Gợi ý: Quy tắc ba điểm: AB+BC=AC; không phụ thuộc vị trí B.
Lời giải: Quy tắc ba điểm: AB+BC=AC; không phụ thuộc vị trí B. Kết quả: 15.
Giải thích: Quy tắc ba điểm: AB+BC=AC; không phụ thuộc vị trí B.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 17Một mảnh đất tam giác có hai cạnh 4 m, 2 m và góc xen giữa 30°. Tính diện tích (m²).
Gợi ý: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa.
Lời giải: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa. Kết quả: 2.
Giải thích: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 18Cho u=(10;5), v=(3;-8). Tính tung độ của u−v.
Gợi ý: Hiệu vectơ được tính theo từng thành phần; trừ số âm thành cộng.
Lời giải: Hiệu vectơ được tính theo từng thành phần; trừ số âm thành cộng. Kết quả: 13.
Giải thích: Hiệu vectơ được tính theo từng thành phần; trừ số âm thành cộng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 19A(0;0), B(20;10), I là trung điểm AB. Tính hoành độ IA+IB.
Gợi ý: I là trung điểm nên IA và IB đối nhau.
Lời giải: I là trung điểm nên IA và IB đối nhau. Kết quả: 0.
Giải thích: I là trung điểm nên IA và IB đối nhau.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 20Cho u=(11;6). Tính |u+(−u)|².
Gợi ý: Hai vectơ đối nhau có tổng là vectơ-không.
Lời giải: Hai vectơ đối nhau có tổng là vectơ-không. Kết quả: 0.
Giải thích: Hai vectơ đối nhau có tổng là vectơ-không.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B8-NB-01, T10-B8-NB-02, T10-B8-NB-03, T10-B8-NB-04, T10-B8-NB-05, T10-B8-NB-06, T10-B8-NB-07, T10-B8-NB-08, T10-B8-NB-09, T10-B8-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B8-NB-01: sin 135° = sin 45°
- T10-B8-NB-02: √39
- T10-B8-NB-03: sin dương; cos âm; tan âm
- T10-B8-NB-04: AC⃗
- T10-B8-NB-05: AC⃗
- T10-B8-NB-06: CB⃗
- T10-B8-NB-07: 0⃗
- T10-B8-NB-08: 0⃗
- T10-B8-NB-09: 5
- T10-B8-NB-10: 2
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: T10-B8-NB-11, T10-B8-NB-12, T10-B8-NB-13, T10-B8-NB-14, T10-B8-NB-15, T10-B8-NB-16, T10-B8-NB-17, T10-B8-NB-18, T10-B8-NB-19, T10-B8-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B8-NB-11: 5
- T10-B8-NB-12: 0
- T10-B8-NB-13: 4
- T10-B8-NB-14: 3
- T10-B8-NB-15: 0
- T10-B8-NB-16: 1
- T10-B8-NB-17: 7
- T10-B8-NB-18: 4
- T10-B8-NB-19: 7
- T10-B8-NB-20: 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B8-TH-01, T10-B8-TH-02, T10-B8-TH-03, T10-B8-TH-04, T10-B8-TH-05, T10-B8-TH-06, T10-B8-TH-07, T10-B8-TH-08, T10-B8-TH-09, T10-B8-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B8-TH-01: 20
- T10-B8-TH-02: 2
- T10-B8-TH-03: 109/144
- T10-B8-TH-04: 6
- T10-B8-TH-05: 4
- T10-B8-TH-06: 0
- T10-B8-TH-07: 3
- T10-B8-TH-08: 9
- T10-B8-TH-09: 6
- T10-B8-TH-10: 9
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B8-TH-11, T10-B8-TH-12, T10-B8-TH-13, T10-B8-TH-14, T10-B8-TH-15, T10-B8-TH-16, T10-B8-TH-17, T10-B8-TH-18, T10-B8-TH-19, T10-B8-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B8-TH-11: 0
- T10-B8-TH-12: 8
- T10-B8-TH-13: 5
- T10-B8-TH-14: 0
- T10-B8-TH-15: 5
- T10-B8-TH-16: 11
- T10-B8-TH-17: 8
- T10-B8-TH-18: 11
- T10-B8-TH-19: 0
- T10-B8-TH-20: 10
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B8-VD-01, T10-B8-VD-02, T10-B8-VD-03, T10-B8-VD-04, T10-B8-VD-05, T10-B8-VD-06, T10-B8-VD-07, T10-B8-VD-08, T10-B8-VD-09, T10-B8-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B8-VD-01: 5/2
- T10-B8-VD-02: √52
- T10-B8-VD-03: 32
- T10-B8-VD-04: 6
- T10-B8-VD-05: 0
- T10-B8-VD-06: 7
- T10-B8-VD-07: 9
- T10-B8-VD-08: 10
- T10-B8-VD-09: 9
- T10-B8-VD-10: 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.