Nhìn cấu trúc trước
Học các số đặc trưng đo xu thế trung tâm bằng quan hệ và hình ảnh, không thuộc công thức rời rạc.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Số trung bình dùng mọi quan sát nhưng nhạy với ngoại lệ.
- Trung vị chỉ phụ thuộc vị trí sau sắp xếp.
- Q1,Q2,Q3 chia dữ liệu thành bốn phần.
Bài 13. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Dùng số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt để kể câu chuyện trung tâm của dữ liệu, đồng thời biết khi nào một số đại diện có thể gây hiểu nhầm.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi bài bắt đầu bằng dữ kiện đã có, điều cần tìm và điều kiện áp dụng.
Gắn với thực tiễn
Ví dụ đo đạc, chuyển động, dữ liệu và ra quyết định giúp thấy ý nghĩa của kết quả.
Không phụ thuộc đáp án
Mỗi lời giải có phép kiểm bằng định nghĩa, công thức khác, hình hoặc ước lượng.
- Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt.
- Chọn số đại diện phù hợp dữ liệu.
- Nhận ảnh hưởng của ngoại lệ.
- Giải thích kết quả bằng ngôn ngữ bối cảnh.
- Sắp xếp số.
- Trung bình cộng.
- Tần số.
- Đọc bảng và biểu đồ.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Số trung bình
Hiểu đơn giản: Tổng chia số quan sát; là điểm cân bằng dữ liệu.
x̄=(x1+…+xn)/n.
Ví dụ: 2,4,6 có x̄=4.
Hình nên dùng: Cân thăng bằng.
Mô phỏng: Kéo một giá trị ngoại lệ.
Mẹo nhớ: Cộng rồi chia n.
Sai lầm: Quên tần số hoặc chia sai n.
Ghi chú: Nhạy với giá trị ngoại lệ.
Trung vị
Hiểu đơn giản: Giá trị đứng giữa sau khi sắp xếp.
n lẻ lấy một số giữa; n chẵn lấy trung bình hai số giữa.
Ví dụ: 1,3,9 có Me=3.
Hình nên dùng: Dãy số đã xếp.
Mô phỏng: Thêm một giá trị cực lớn.
Mẹo nhớ: Sắp trước, giữa sau.
Sai lầm: Không sắp dữ liệu.
Ghi chú: Bền vững trước ngoại lệ.
Tứ phân vị
Hiểu đơn giản: Ba mốc chia dữ liệu đã sắp thành bốn phần.
Q2 là trung vị; Q1, Q3 là trung vị hai nửa theo quy ước.
Ví dụ: 1…8 cho Q1=2,5; Q2=4,5; Q3=6,5.
Hình nên dùng: Biểu đồ hộp.
Mô phỏng: Kéo các điểm dữ liệu.
Mẹo nhớ: Ba nhát cắt, bốn phần.
Sai lầm: Tính khi chưa sắp.
Ghi chú: Nêu rõ quy ước khi số phần tử lẻ.
Mốt
Hiểu đơn giản: Giá trị xuất hiện nhiều nhất.
Mo là giá trị có tần số lớn nhất; có thể không có hoặc có nhiều mốt.
Ví dụ: 1,2,2,3 có Mo=2.
Hình nên dùng: Cột tần số cao nhất.
Mô phỏng: Thêm hoặc bớt quan sát.
Mẹo nhớ: Mốt = phổ biến nhất.
Sai lầm: Chọn giá trị lớn nhất.
Ghi chú: Dùng được cả dữ liệu định tính.
Chọn số đại diện
Hiểu đơn giản: Không có một số tốt cho mọi mẫu.
Chọn x̄ khi dữ liệu khá cân; chọn Me khi có ngoại lệ; dùng Mo để nêu giá trị phổ biến.
Ví dụ: Thu nhập lệch phải nên ưu tiên trung vị.
Hình nên dùng: Hai phân bố cân và lệch.
Mô phỏng: Thêm ngoại lệ và so x̄, Me.
Mẹo nhớ: Ngoại lệ → nghĩ đến trung vị.
Sai lầm: Luôn dùng trung bình.
Ghi chú: Báo cáo cần kèm bối cảnh.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB DỮ LIỆU
So số trung bình và trung vị
Nhập các số cách nhau bởi dấu phẩy; thử thêm một giá trị ngoại lệ để quan sát thay đổi.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Tính số trung bình của mẫu 2, 4, 6, 8.
Phân tích: Số trung bình là điểm cân bằng của dữ liệu.
Hướng làm: Cộng các giá trị rồi chia cho số phần tử.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cộng các giá trị rồi chia cho số phần tử.
- Bước 3: x̄ = (2+4+6+8)/4 = 5.
Vì sao: Số trung bình là điểm cân bằng của dữ liệu.
Cách khác: Ghép cặp đầu–cuối; mỗi cặp có cùng trung bình.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 5. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Tìm trung vị của mẫu 2, 4, 5, 8, 11.
Phân tích: Trung vị chia số quan sát thành hai nửa về vị trí.
Hướng làm: Dữ liệu đã tăng dần; chọn giá trị ở giữa.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dữ liệu đã tăng dần; chọn giá trị ở giữa.
- Bước 3: Mẫu có 5 giá trị nên trung vị là giá trị thứ 3: 5.
Vì sao: Trung vị chia số quan sát thành hai nửa về vị trí.
Cách khác: Gạch dần một số nhỏ nhất và một số lớn nhất.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 5. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Tìm mốt của mẫu 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7.
Phân tích: Mốt là giá trị phổ biến nhất, không phải giá trị lớn nhất.
Hướng làm: Đếm tần số xuất hiện của từng giá trị.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Đếm tần số xuất hiện của từng giá trị.
- Bước 3: 7 xuất hiện 3 lần, nhiều nhất, nên mốt là 7.
Vì sao: Mốt là giá trị phổ biến nhất, không phải giá trị lớn nhất.
Cách khác: Lập bảng giá trị–tần số.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 7. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Với mẫu đã sắp 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, tìm Q1, Q2, Q3.
Phân tích: Bộ tứ phân vị chia mẫu đã sắp thành bốn phần theo vị trí.
Hướng làm: Q2 là trung vị; Q1 và Q3 là trung vị của hai nửa.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Q2 là trung vị; Q1 và Q3 là trung vị của hai nửa.
- Bước 3: Q1 = 5.5, Q2 = 7.5, Q3 = 9.5.
Vì sao: Bộ tứ phân vị chia mẫu đã sắp thành bốn phần theo vị trí.
Cách khác: Đánh dấu ba điểm cắt trên hàng tám quan sát.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Q1=5.5; Q2=7.5; Q3=9.5. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Mẫu 9, 10, 10, 11, 34 có một giá trị ngoại lệ lớn. Nên dùng số trung bình hay trung vị để mô tả mức điển hình?
Phân tích: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Hướng làm: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
- Bước 3: Nên ưu tiên trung vị 10 vì số trung bình 14.8 bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ.
Vì sao: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Cách khác: Báo cáo cả trung vị và số trung bình rồi giải thích chênh lệch.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Trung vị. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Tính số trung bình của mẫu 7, 9, 11, 13.
Phân tích: Số trung bình là điểm cân bằng của dữ liệu.
Hướng làm: Cộng các giá trị rồi chia cho số phần tử.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Cộng các giá trị rồi chia cho số phần tử.
- Bước 3: x̄ = (7+9+11+13)/4 = 10.
Vì sao: Số trung bình là điểm cân bằng của dữ liệu.
Cách khác: Ghép cặp đầu–cuối; mỗi cặp có cùng trung bình.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 10. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Tìm trung vị của mẫu 7, 9, 10, 13, 16.
Phân tích: Trung vị chia số quan sát thành hai nửa về vị trí.
Hướng làm: Dữ liệu đã tăng dần; chọn giá trị ở giữa.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Dữ liệu đã tăng dần; chọn giá trị ở giữa.
- Bước 3: Mẫu có 5 giá trị nên trung vị là giá trị thứ 3: 10.
Vì sao: Trung vị chia số quan sát thành hai nửa về vị trí.
Cách khác: Gạch dần một số nhỏ nhất và một số lớn nhất.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 10. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Tìm mốt của mẫu 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5.
Phân tích: Mốt là giá trị phổ biến nhất, không phải giá trị lớn nhất.
Hướng làm: Đếm tần số xuất hiện của từng giá trị.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Đếm tần số xuất hiện của từng giá trị.
- Bước 3: 5 xuất hiện 3 lần, nhiều nhất, nên mốt là 5.
Vì sao: Mốt là giá trị phổ biến nhất, không phải giá trị lớn nhất.
Cách khác: Lập bảng giá trị–tần số.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: 5. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Với mẫu đã sắp 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, tìm Q1, Q2, Q3.
Phân tích: Bộ tứ phân vị chia mẫu đã sắp thành bốn phần theo vị trí.
Hướng làm: Q2 là trung vị; Q1 và Q3 là trung vị của hai nửa.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: Q2 là trung vị; Q1 và Q3 là trung vị của hai nửa.
- Bước 3: Q1 = 3.5, Q2 = 5.5, Q3 = 7.5.
Vì sao: Bộ tứ phân vị chia mẫu đã sắp thành bốn phần theo vị trí.
Cách khác: Đánh dấu ba điểm cắt trên hàng tám quan sát.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Q1=3.5; Q2=5.5; Q3=7.5. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Mẫu 7, 8, 8, 9, 32 có một giá trị ngoại lệ lớn. Nên dùng số trung bình hay trung vị để mô tả mức điển hình?
Phân tích: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Hướng làm: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
- Bước 1: Nhận dạng dữ kiện và điều kiện trong đề.
- Bước 2: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
- Bước 3: Nên ưu tiên trung vị 8 vì số trung bình 12.8 bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ.
Vì sao: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Cách khác: Báo cáo cả trung vị và số trung bình rồi giải thích chênh lệch.
Tự kiểm: Đáp số cần thu được: Trung vị. Kiểm lại trường hợp biên và đơn vị nếu có.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Đo và so sánh
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm giúp kiểm tra các phép đo, ước lượng và quyết định trong gia đình có căn cứ.
Dự án học tập
Học sinh thu thập dữ kiện, chọn mô hình các số đặc trưng đo xu thế trung tâm và trình bày cách tự kiểm.
Đọc con số đúng nghĩa
Không chỉ tính ra số; phải hiểu đơn vị, độ tin cậy và giới hạn sử dụng.
Mô hình hóa
Đại lượng được biểu diễn bằng quan hệ toán học có điều kiện và có phép kiểm độc lập.
Thiết kế an toàn
Kĩ sư dùng công thức, hướng và sai số để tránh kết luận vượt quá dữ kiện.
Kiểm soát chất lượng
So sánh kết quả đo hoặc dữ liệu giúp phát hiện độ lệch và điều chỉnh quy trình.
Quan sát khó đo trực tiếp
Khoảng cách, phương hướng và số liệu tự nhiên có thể được suy ra từ mô hình phù hợp.
Năng lực phân tích
Kiến trúc, dữ liệu, logistics, khảo sát và công nghệ đều cần suy luận định lượng chặt chẽ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Số trung bình dùng khi nào?
Tổng chia số quan sát; là điểm cân bằng dữ liệu. Dấu hiệu nhận biết: Cộng rồi chia n.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Quên tần số hoặc chia sai n.
Quay lại Số trung bình: x̄=(x1+…+xn)/n. Tự kiểm bằng 2,4,6 có x̄=4.
2. Không sắp dữ liệu.
Quay lại Trung vị: n lẻ lấy một số giữa; n chẵn lấy trung bình hai số giữa. Tự kiểm bằng 1,3,9 có Me=3.
3. Tính khi chưa sắp.
Quay lại Tứ phân vị: Q2 là trung vị; Q1, Q3 là trung vị hai nửa theo quy ước. Tự kiểm bằng 1…8 cho Q1=2,5; Q2=4,5; Q3=6,5.
4. Chọn giá trị lớn nhất.
Quay lại Mốt: Mo là giá trị có tần số lớn nhất; có thể không có hoặc có nhiều mốt. Tự kiểm bằng 1,2,2,3 có Mo=2.
5. Luôn dùng trung bình.
Quay lại Chọn số đại diện: Chọn x̄ khi dữ liệu khá cân; chọn Me khi có ngoại lệ; dùng Mo để nêu giá trị phổ biến. Tự kiểm bằng Thu nhập lệch phải nên ưu tiên trung vị.
6. Quên tần số hoặc chia sai n.
Quay lại Số trung bình: x̄=(x1+…+xn)/n. Tự kiểm bằng 2,4,6 có x̄=4.
7. Không sắp dữ liệu.
Quay lại Trung vị: n lẻ lấy một số giữa; n chẵn lấy trung bình hai số giữa. Tự kiểm bằng 1,3,9 có Me=3.
8. Tính khi chưa sắp.
Quay lại Tứ phân vị: Q2 là trung vị; Q1, Q3 là trung vị hai nửa theo quy ước. Tự kiểm bằng 1…8 cho Q1=2,5; Q2=4,5; Q3=6,5.
9. Chọn giá trị lớn nhất.
Quay lại Mốt: Mo là giá trị có tần số lớn nhất; có thể không có hoặc có nhiều mốt. Tự kiểm bằng 1,2,2,3 có Mo=2.
10. Luôn dùng trung bình.
Quay lại Chọn số đại diện: Chọn x̄ khi dữ liệu khá cân; chọn Me khi có ngoại lệ; dùng Mo để nêu giá trị phổ biến. Tự kiểm bằng Thu nhập lệch phải nên ưu tiên trung vị.
11. Quên tần số hoặc chia sai n.
Quay lại Số trung bình: x̄=(x1+…+xn)/n. Tự kiểm bằng 2,4,6 có x̄=4.
12. Không sắp dữ liệu.
Quay lại Trung vị: n lẻ lấy một số giữa; n chẵn lấy trung bình hai số giữa. Tự kiểm bằng 1,3,9 có Me=3.
13. Tính khi chưa sắp.
Quay lại Tứ phân vị: Q2 là trung vị; Q1, Q3 là trung vị hai nửa theo quy ước. Tự kiểm bằng 1…8 cho Q1=2,5; Q2=4,5; Q3=6,5.
14. Chọn giá trị lớn nhất.
Quay lại Mốt: Mo là giá trị có tần số lớn nhất; có thể không có hoặc có nhiều mốt. Tự kiểm bằng 1,2,2,3 có Mo=2.
15. Luôn dùng trung bình.
Quay lại Chọn số đại diện: Chọn x̄ khi dữ liệu khá cân; chọn Me khi có ngoại lệ; dùng Mo để nêu giá trị phổ biến. Tự kiểm bằng Thu nhập lệch phải nên ưu tiên trung vị.
16. Quên tần số hoặc chia sai n.
Quay lại Số trung bình: x̄=(x1+…+xn)/n. Tự kiểm bằng 2,4,6 có x̄=4.
17. Không sắp dữ liệu.
Quay lại Trung vị: n lẻ lấy một số giữa; n chẵn lấy trung bình hai số giữa. Tự kiểm bằng 1,3,9 có Me=3.
18. Tính khi chưa sắp.
Quay lại Tứ phân vị: Q2 là trung vị; Q1, Q3 là trung vị hai nửa theo quy ước. Tự kiểm bằng 1…8 cho Q1=2,5; Q2=4,5; Q3=6,5.
19. Chọn giá trị lớn nhất.
Quay lại Mốt: Mo là giá trị có tần số lớn nhất; có thể không có hoặc có nhiều mốt. Tự kiểm bằng 1,2,2,3 có Mo=2.
20. Luôn dùng trung bình.
Quay lại Chọn số đại diện: Chọn x̄ khi dữ liệu khá cân; chọn Me khi có ngoại lệ; dùng Mo để nêu giá trị phổ biến. Tự kiểm bằng Thu nhập lệch phải nên ưu tiên trung vị.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Dự đoán trước
Ước lượng dấu, độ lớn hoặc vị trí kết quả trước khi bấm máy.
Một công thức–một điều kiện
Viết cạnh–góc tương ứng, hướng vectơ, đơn vị hoặc giả thiết dữ liệu ngay cạnh công thức.
Hai đường kiểm
Kiểm bằng công thức khác, trường hợp đặc biệt, hình vẽ hoặc thế ngược.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi câu sai, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Flashcard sau một ngày, bài ngắn sau ba ngày, đề trộn sau bảy ngày.
Nói thành lời
Nếu giải thích được cho người khác trong hai phút, em mới thực sự hiểu.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm1 2 3 4 5
Số trung bìnhCộng rồi chia n.
Trung vịSắp trước, giữa sau.
Tứ phân vịBa nhát cắt, bốn phần.
MốtMốt = phổ biến nhất.
Chọn số đại diệnNgoại lệ → nghĩ đến trung vị.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
T10-B13-NB-01Cho u⃗ = (-1;-4). Tính 2u⃗.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
Lời giải: 2u⃗ = (-2;-8).
Vì sao: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Sai ở đâu: Chỉ nhân một thành phần.
Cách khác: Cộng u⃗ với chính nó k lần.
T10-B13-NB-02Kiểm tra u⃗ = (0;0) và w⃗ = (0;0) có vuông góc không.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Lời giải: u⃗·w⃗ = 0·(0) + 0·0 = 0, nên u⃗ là vectơ-không nên không kết luận góc.
Vì sao: Phép quay 90° biến (x;y) thành (−y;x).
Sai ở đâu: Chỉ nhìn hình thức tọa độ mà không kiểm trường hợp vectơ-không.
Cách khác: So sánh hệ số góc khi cả hai đường biểu diễn đều xác định.
T10-B13-NB-03Ôn phần trăm: Tính 20% của 200.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đổi phần trăm thành phân số trên 100.
Lời giải: 20%·200 = 0.2·200 = 40.
Vì sao: Phần trăm là nền để đọc sai số tương đối và tỉ lệ dữ liệu.
Sai ở đâu: Nhân trực tiếp với p mà quên chia 100.
Cách khác: Tính 1% của 200 rồi nhân p.
T10-B13-NB-04Tính số trung bình của mẫu 2, 4, 6, 8.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng các giá trị rồi chia cho số phần tử.
Lời giải: x̄ = (2+4+6+8)/4 = 5.
Vì sao: Số trung bình là điểm cân bằng của dữ liệu.
Sai ở đâu: Chia cho tổng giá trị thay vì số phần tử.
Cách khác: Ghép cặp đầu–cuối; mỗi cặp có cùng trung bình.
T10-B13-NB-05Tìm trung vị của mẫu 2, 4, 5, 8, 11.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dữ liệu đã tăng dần; chọn giá trị ở giữa.
Lời giải: Mẫu có 5 giá trị nên trung vị là giá trị thứ 3: 5.
Vì sao: Trung vị chia số quan sát thành hai nửa về vị trí.
Sai ở đâu: Lấy trung bình của hai số giữa dù số phần tử là lẻ.
Cách khác: Gạch dần một số nhỏ nhất và một số lớn nhất.
T10-B13-NB-06Tìm mốt của mẫu 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đếm tần số xuất hiện của từng giá trị.
Lời giải: 7 xuất hiện 3 lần, nhiều nhất, nên mốt là 7.
Vì sao: Mốt là giá trị phổ biến nhất, không phải giá trị lớn nhất.
Sai ở đâu: Chọn số lớn nhất hoặc cho rằng mẫu luôn chỉ có một mốt.
Cách khác: Lập bảng giá trị–tần số.
T10-B13-NB-07Với mẫu đã sắp 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, tìm Q1, Q2, Q3.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Q2 là trung vị; Q1 và Q3 là trung vị của hai nửa.
Lời giải: Q1 = 5.5, Q2 = 7.5, Q3 = 9.5.
Vì sao: Bộ tứ phân vị chia mẫu đã sắp thành bốn phần theo vị trí.
Sai ở đâu: Tính tứ phân vị khi chưa sắp dữ liệu hoặc đưa Q2 vào cả hai nửa sai quy ước.
Cách khác: Đánh dấu ba điểm cắt trên hàng tám quan sát.
T10-B13-NB-08Mẫu 9, 10, 10, 11, 34 có một giá trị ngoại lệ lớn. Nên dùng số trung bình hay trung vị để mô tả mức điển hình?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
Lời giải: Nên ưu tiên trung vị 10 vì số trung bình 14.8 bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ.
Vì sao: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Sai ở đâu: Luôn chọn số trung bình vì công thức quen thuộc.
Cách khác: Báo cáo cả trung vị và số trung bình rồi giải thích chênh lệch.
T10-B13-NB-09Tính số trung bình của mẫu 7, 9, 11, 13.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng các giá trị rồi chia cho số phần tử.
Lời giải: x̄ = (7+9+11+13)/4 = 10.
Vì sao: Số trung bình là điểm cân bằng của dữ liệu.
Sai ở đâu: Chia cho tổng giá trị thay vì số phần tử.
Cách khác: Ghép cặp đầu–cuối; mỗi cặp có cùng trung bình.
T10-B13-NB-10Tìm trung vị của mẫu 7, 9, 10, 13, 16.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dữ liệu đã tăng dần; chọn giá trị ở giữa.
Lời giải: Mẫu có 5 giá trị nên trung vị là giá trị thứ 3: 10.
Vì sao: Trung vị chia số quan sát thành hai nửa về vị trí.
Sai ở đâu: Lấy trung bình của hai số giữa dù số phần tử là lẻ.
Cách khác: Gạch dần một số nhỏ nhất và một số lớn nhất.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Tính số trung bình của mẫu số liệu: 7; 9; 10; 10; 14.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Cho u⃗ = (-1;-4). Tính 2u⃗.
Gợi ý: Nhân cả hai tọa độ với cùng hệ số.
Lời giải: 2u⃗ = (-2;-8).
Giải thích: Phép nhân số tác động đồng thời lên hoành độ và tung độ.
Lỗi cần tránh: Chỉ nhân một thành phần.
Cách khác: Cộng u⃗ với chính nó k lần.
TỰ LUẬN 2Tìm mốt của mẫu 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7.
Gợi ý: Đếm tần số xuất hiện của từng giá trị.
Lời giải: 7 xuất hiện 3 lần, nhiều nhất, nên mốt là 7.
Giải thích: Mốt là giá trị phổ biến nhất, không phải giá trị lớn nhất.
Lỗi cần tránh: Chọn số lớn nhất hoặc cho rằng mẫu luôn chỉ có một mốt.
Cách khác: Lập bảng giá trị–tần số.
TỰ LUẬN 3Tìm mốt của mẫu 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5.
Gợi ý: Đếm tần số xuất hiện của từng giá trị.
Lời giải: 5 xuất hiện 3 lần, nhiều nhất, nên mốt là 5.
Giải thích: Mốt là giá trị phổ biến nhất, không phải giá trị lớn nhất.
Lỗi cần tránh: Chọn số lớn nhất hoặc cho rằng mẫu luôn chỉ có một mốt.
Cách khác: Lập bảng giá trị–tần số.
TỰ LUẬN 4Tìm mốt của mẫu 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10.
Gợi ý: Đếm tần số xuất hiện của từng giá trị.
Lời giải: 10 xuất hiện 3 lần, nhiều nhất, nên mốt là 10.
Giải thích: Mốt là giá trị phổ biến nhất, không phải giá trị lớn nhất.
Lỗi cần tránh: Chọn số lớn nhất hoặc cho rằng mẫu luôn chỉ có một mốt.
Cách khác: Lập bảng giá trị–tần số.
TỰ LUẬN 5Cho u⃗ = (2;2), v⃗ = (4;3). Tính u⃗ + v⃗.
Gợi ý: Cộng các thành phần cùng vị trí.
Lời giải: u⃗ + v⃗ = (6;5).
Giải thích: Phép cộng vectơ tọa độ được thực hiện theo từng trục độc lập.
Lỗi cần tránh: Cộng chéo hoành độ với tung độ.
Cách khác: Xem mỗi vectơ như một lệnh dịch chuyển ngang rồi dọc.
TỰ LUẬN 6Mẫu 10, 11, 11, 12, 35 có một giá trị ngoại lệ lớn. Nên dùng số trung bình hay trung vị để mô tả mức điển hình?
Gợi ý: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
Lời giải: Nên ưu tiên trung vị 11 vì số trung bình 15.8 bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ.
Giải thích: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Lỗi cần tránh: Luôn chọn số trung bình vì công thức quen thuộc.
Cách khác: Báo cáo cả trung vị và số trung bình rồi giải thích chênh lệch.
TỰ LUẬN 7Mẫu 8, 9, 9, 10, 33 có một giá trị ngoại lệ lớn. Nên dùng số trung bình hay trung vị để mô tả mức điển hình?
Gợi ý: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
Lời giải: Nên ưu tiên trung vị 9 vì số trung bình 13.8 bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ.
Giải thích: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Lỗi cần tránh: Luôn chọn số trung bình vì công thức quen thuộc.
Cách khác: Báo cáo cả trung vị và số trung bình rồi giải thích chênh lệch.
TỰ LUẬN 8Mẫu 6, 7, 7, 8, 31 có một giá trị ngoại lệ lớn. Nên dùng số trung bình hay trung vị để mô tả mức điển hình?
Gợi ý: So sánh độ nhạy của hai số trước ngoại lệ.
Lời giải: Nên ưu tiên trung vị 7 vì số trung bình 11.8 bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ.
Giải thích: Trung vị bền vững hơn trước một số quan sát cực lớn hoặc cực nhỏ.
Lỗi cần tránh: Luôn chọn số trung bình vì công thức quen thuộc.
Cách khác: Báo cáo cả trung vị và số trung bình rồi giải thích chênh lệch.
TỰ LUẬN 9Cho A(-2;-1), B(3;-2). Tìm tọa độ AB⃗.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗ = (3−(-2); -2−(-1)) = (5;-1).
Giải thích: Thứ tự B−A đồng thời ở cả hai thành phần.
Lỗi cần tránh: Lấy A−B hoặc chỉ đổi dấu một thành phần.
Cách khác: Kiểm bằng A + AB⃗ phải thu được B.
TỰ LUẬN 10Mẫu 3; 3; 4; 4; 16. Khi bỏ 16, trung bình cộng giảm bao nhiêu?
Gợi ý: Trung bình ban đầu: (3+3+4+4+16)/5 = 6.
Lời giải: Trung bình ban đầu: (3+3+4+4+16)/5 = 6. Trung bình còn lại: 14/4 = 3,5, nên giảm 2,5.
Giải thích: Trung bình ban đầu: (3+3+4+4+16)/5 = 6. Trung bình còn lại: 14/4 = 3,5, nên giảm 2,5.
Lỗi cần tránh: Tính trung bình mới nhưng quên so sánh với trung bình cũ.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 11Tìm mốt của mẫu số liệu: 5; 6; 6; 6; 7; 8; 8.
Gợi ý: Giá trị 6 xuất hiện 3 lần, nhiều hơn mọi giá trị khác.
Lời giải: Giá trị 6 xuất hiện 3 lần, nhiều hơn mọi giá trị khác. Vì vậy mốt của mẫu là 6.
Giải thích: Giá trị 6 xuất hiện 3 lần, nhiều hơn mọi giá trị khác. Vì vậy mốt của mẫu là 6.
Lỗi cần tránh: Chọn giá trị lớn nhất thay vì giá trị xuất hiện nhiều nhất.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 12Mẫu đã sắp gồm 0; 1; 4; 7; 20. Tính trung vị.
Gợi ý: Mẫu có năm giá trị; trung vị là giá trị thứ ba, không phải trung bình.
Lời giải: Mẫu có năm giá trị; trung vị là giá trị thứ ba, không phải trung bình. Kết quả: 4.
Giải thích: Mẫu có năm giá trị; trung vị là giá trị thứ ba, không phải trung bình.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 13Hai vectơ u⃗ = (1;-4), v⃗ = (5;-2) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm định thức x₁y₂ − y₁x₂.
Lời giải: 1·-2 − -4·5 = 18; vì khác 0 nên hai vectơ không cùng phương.
Giải thích: Điều kiện định thức tránh phải chia cho thành phần có thể bằng 0.
Lỗi cần tránh: Lập tỉ số và chia cho 0 hoặc so sánh nhầm hai thành phần.
Cách khác: Tìm k từ một thành phần rồi kiểm thành phần còn lại.
TỰ LUẬN 14Tính số trung bình của mẫu 1; 3; 5; 7.
Gợi ý: Cộng bốn số rồi chia cho 4.
Lời giải: Cộng bốn số rồi chia cho 4. Kết quả: 4.
Giải thích: Cộng bốn số rồi chia cho 4.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 15Có 3 số liệu bằng 2 và 3 số liệu bằng 6. Tính số trung bình mẫu.
Gợi ý: Hai nhóm có cùng số lượng nên trung bình là (2+6)/2.
Lời giải: Hai nhóm có cùng số lượng nên trung bình là (2+6)/2. Kết quả: 4.
Giải thích: Hai nhóm có cùng số lượng nên trung bình là (2+6)/2.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 16Trong mẫu 2; 3; 3; 3; 4; 4, mốt là bao nhiêu?
Gợi ý: Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất; n+1 xuất hiện ba lần.
Lời giải: Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất; n+1 xuất hiện ba lần. Kết quả: 3.
Giải thích: Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất; n+1 xuất hiện ba lần.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 17Tìm trung điểm M của A(-3;2) và B(0;2).
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng tọa độ.
Lời giải: M((-3+0)/2; (2+2)/2) = M(-1.5;2).
Giải thích: Trung điểm chia đều cả độ dời ngang và dọc.
Lỗi cần tránh: Cộng hai tọa độ nhưng quên chia 2.
Cách khác: Giải điều kiện AM⃗ = MB⃗.
TỰ LUẬN 18Mẫu đã sắp gồm 3; 4; 7; 10; 23. Tính trung vị.
Gợi ý: Mẫu có năm giá trị; trung vị là giá trị thứ ba, không phải trung bình.
Lời giải: Mẫu có năm giá trị; trung vị là giá trị thứ ba, không phải trung bình. Kết quả: 7.
Giải thích: Mẫu có năm giá trị; trung vị là giá trị thứ ba, không phải trung bình.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 19Mẫu có trung bình 5. Cộng thêm 5 vào mỗi số liệu. Trung bình mới bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Cộng cùng một hằng số vào mọi giá trị làm trung bình tăng đúng hằng số ấy.
Lời giải: Cộng cùng một hằng số vào mọi giá trị làm trung bình tăng đúng hằng số ấy. Kết quả: 10.
Giải thích: Cộng cùng một hằng số vào mọi giá trị làm trung bình tăng đúng hằng số ấy.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 20Mẫu gồm 4; 6; 8; 12. Tính trung vị.
Gợi ý: Mẫu chẵn nên lấy trung bình hai giá trị giữa.
Lời giải: Mẫu chẵn nên lấy trung bình hai giá trị giữa. Kết quả: 7.
Giải thích: Mẫu chẵn nên lấy trung bình hai giá trị giữa.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B13-NB-01, T10-B13-NB-02, T10-B13-NB-03, T10-B13-NB-04, T10-B13-NB-05, T10-B13-NB-06, T10-B13-NB-07, T10-B13-NB-08, T10-B13-NB-09, T10-B13-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B13-NB-01: (-2;-8)
- T10-B13-NB-02: Không kết luận góc
- T10-B13-NB-03: 40
- T10-B13-NB-04: 5
- T10-B13-NB-05: 5
- T10-B13-NB-06: 7
- T10-B13-NB-07: Q1=5.5; Q2=7.5; Q3=9.5
- T10-B13-NB-08: Trung vị
- T10-B13-NB-09: 10
- T10-B13-NB-10: 10
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 5
10 câu đại diện: T10-B13-NB-11, T10-B13-NB-12, T10-B13-NB-13, T10-B13-NB-14, T10-B13-NB-15, T10-B13-NB-16, T10-B13-NB-17, T10-B13-NB-18, T10-B13-NB-19, T10-B13-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B13-NB-11: 5
- T10-B13-NB-12: Q1=3.5; Q2=5.5; Q3=7.5
- T10-B13-NB-13: Trung vị
- T10-B13-NB-14: 8
- T10-B13-NB-15: 8
- T10-B13-NB-16: 10
- T10-B13-NB-17: Q1=8.5; Q2=10.5; Q3=12.5
- T10-B13-NB-18: Trung vị
- T10-B13-NB-19: 6
- T10-B13-NB-20: 6
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B13-TH-01, T10-B13-TH-02, T10-B13-TH-03, T10-B13-TH-04, T10-B13-TH-05, T10-B13-TH-06, T10-B13-TH-07, T10-B13-TH-08, T10-B13-TH-09, T10-B13-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B13-TH-01: (6;5)
- T10-B13-TH-02: -2
- T10-B13-TH-03: 20
- T10-B13-TH-04: 8
- T10-B13-TH-05: Q1=6.5; Q2=8.5; Q3=10.5
- T10-B13-TH-06: Trung vị
- T10-B13-TH-07: 11
- T10-B13-TH-08: 4
- T10-B13-TH-09: 6
- T10-B13-TH-10: Q1=4.5; Q2=6.5; Q3=8.5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B13-TH-11, T10-B13-TH-12, T10-B13-TH-13, T10-B13-TH-14, T10-B13-TH-15, T10-B13-TH-16, T10-B13-TH-17, T10-B13-TH-18, T10-B13-TH-19, T10-B13-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B13-TH-11: Trung vị
- T10-B13-TH-12: 9
- T10-B13-TH-13: 9
- T10-B13-TH-14: 11
- T10-B13-TH-15: Q1=2.5; Q2=4.5; Q3=6.5
- T10-B13-TH-16: Trung vị
- T10-B13-TH-17: 7
- T10-B13-TH-18: 7
- T10-B13-TH-19: 9
- T10-B13-TH-20: Q1=7.5; Q2=9.5; Q3=11.5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B13-VD-01, T10-B13-VD-02, T10-B13-VD-03, T10-B13-VD-04, T10-B13-VD-05, T10-B13-VD-06, T10-B13-VD-07, T10-B13-VD-08, T10-B13-VD-09, T10-B13-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B13-VD-01: (5;-1)
- T10-B13-VD-02: 5
- T10-B13-VD-03: 50
- T10-B13-VD-04: Trung vị
- T10-B13-VD-05: 10
- T10-B13-VD-06: 2,5
- T10-B13-VD-07: 11
- T10-B13-VD-08: 4
- T10-B13-VD-09: 2
- T10-B13-VD-10: 5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.