Nhìn cấu trúc trước
Học phương trình quy về phương trình bậc hai bằng quan hệ giữa đại số, đồ thị và hình học, không học công thức rời.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Viết điều kiện trước khi bình phương.
- Vế căn không âm nên vế đối diện cũng phải không âm.
- Nghiệm sau bình phương chỉ là ứng viên.
Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai
Giải phương trình chứa căn bằng điều kiện, biến đổi có kiểm soát và thử lại; hình học khoảng cách giúp học sinh dự đoán số nghiệm và nhận ra nghiệm ngoại lai.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi lời giải bắt đầu từ dữ kiện, điều kiện, mục tiêu và phép kiểm.
Gắn với thực tiễn
Bài toán chi phí, quỹ đạo, đo đạc, bản đồ và thiết kế cho thấy ý nghĩa của mô hình.
Không phụ thuộc đáp án
Thế ngược, đọc đồ thị, so dấu, kiểm đơn vị hoặc dùng cách giải độc lập.
- Đặt đúng điều kiện cho phương trình chứa căn.
- Bình phương và giải phương trình quy về bậc hai.
- Phát hiện, loại nghiệm ngoại lai.
- Mô hình hóa bài toán khoảng cách.
- Căn bậc hai và giá trị tuyệt đối.
- Phương trình bậc hai.
- Dấu tam thức.
- Khoảng cách trong mặt phẳng.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Nghiệm và nghiệm ngoại lai
Hiểu đơn giản: Bình phương giữ mọi nghiệm cũ nhưng có thể sinh thêm ứng viên sai.
A=B ⇒ A²=B²; chiều đảo cần điều kiện dấu hoặc thử lại.
Ví dụ: √(x+2)=x loại mọi x<0.
Hình nên dùng: Hai đồ thị và giao điểm thật.
Mô phỏng: So ứng viên với phương trình gốc.
Mẹo nhớ: Bình phương xong phải thử.
Sai lầm: Nhận hết nghiệm của phương trình sau bình phương.
Ghi chú: Vế căn luôn không âm.
Điều kiện xác định
Hiểu đơn giản: Mọi biểu thức dưới căn bậc hai phải không âm.
√A có nghĩa trong ℝ khi A≥0.
Ví dụ: √(2x−1) cần x≥1/2.
Hình nên dùng: Miền được phép trên trục số.
Mô phỏng: Kéo x qua biên A=0.
Mẹo nhớ: Căn không âm.
Sai lầm: Chỉ xét điều kiện sau khi giải.
Ghi chú: Điều kiện giúp loại sớm ứng viên.
Dạng √f=g
Hiểu đơn giản: Ngoài f≥0 còn cần g≥0 trước khi bình phương tương đương.
√f(x)=g(x) ⇔ {g(x)≥0; f(x)=g²(x)}.
Ví dụ: √(x+2)=x cần x≥0.
Hình nên dùng: Đồ thị căn nằm trên Ox.
Mô phỏng: Bật vùng g<0 để thấy không thể giao.
Mẹo nhớ: Vế phải cũng không âm.
Sai lầm: Chỉ đặt f≥0.
Ghi chú: Thử lại vẫn là cổng cuối an toàn.
Dạng hai căn bằng nhau
Hiểu đơn giản: Khi hai căn đều có nghĩa, có thể so biểu thức dưới căn.
√f=√g ⇔ {f=g; f≥0; g≥0}.
Ví dụ: √(x+1)=√(5−x) ⇒ x=2.
Hình nên dùng: Hai nhánh căn giao nhau.
Mô phỏng: Kéo hai miền xác định.
Mẹo nhớ: Bằng căn–bằng ruột, nhưng phải có nghĩa.
Sai lầm: Bỏ miền chung.
Ghi chú: Nghiệm của f=g phải nằm trong cả hai miền.
Mô hình khoảng cách
Hiểu đơn giản: Căn thức thường xuất hiện từ định lí Pythagore hoặc công thức khoảng cách.
AB=√[(xB−xA)²+(yB−yA)²].
Ví dụ: Điểm cách tâm 5 tạo phương trình đường tròn.
Hình nên dùng: Tam giác vuông tọa độ.
Mô phỏng: Kéo điểm trên quỹ tích.
Mẹo nhớ: Căn của tổng bình phương.
Sai lầm: Bình phương rồi mất nghiệm đối xứng.
Ghi chú: Hình vẽ giúp dự đoán số nghiệm.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB NGHIỆM NGOẠI LAI
Giải √(x+k)=x và thử lại tự động
Bình phương cho x²−x−k=0; công cụ chỉ giữ ứng viên thỏa phương trình gốc.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Giải √(x + 1) = 2.
Phân tích: Bình phương là tương đương khi vế phải đã không âm.
Hướng làm: Vế phải không âm; bình phương rồi kiểm điều kiện dưới căn.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Vế phải không âm; bình phương rồi kiểm điều kiện dưới căn.
- Bước 3: x + 1 = 4 ⇒ x = 3. Thử lại: √4 = 2.
Vì sao: Bình phương là tương đương khi vế phải đã không âm.
Cách khác: Nhìn phương trình như khoảng cách từ 0 đến √(x+p) bằng 2.
Tự kiểm: Đáp số: 3. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Giải √(x + 6) = x.
Phân tích: Bình phương có thể tạo nghiệm ngoại lai nên phải thế lại phương trình gốc.
Hướng làm: Điều kiện x ≥ 0; bình phương rồi loại nghiệm âm.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Điều kiện x ≥ 0; bình phương rồi loại nghiệm âm.
- Bước 3: Điều kiện x ≥ 0. Bình phương: x²−x−6=0 ⇔ (x−3)(x + 2)=0. Hai nghiệm ứng viên 3, -2; chỉ x=3 thỏa.
Vì sao: Bình phương có thể tạo nghiệm ngoại lai nên phải thế lại phương trình gốc.
Cách khác: Đặt y=√(x+k)≥0 rồi dùng giao điểm với y=x.
Tự kiểm: Đáp số: {3}. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Giải √(x + 2) = √(10−x).
Phân tích: Hai căn bậc hai bằng nhau khi các biểu thức dưới căn bằng nhau và đều có nghĩa.
Hướng làm: Hai vế căn không âm; bình phương rồi kiểm miền chung.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Hai vế căn không âm; bình phương rồi kiểm miền chung.
- Bước 3: Miền xác định: x≥-2, x≤10. Bình phương: x+2=10−x ⇒ x=4. Giá trị này thuộc miền xác định.
Vì sao: Hai căn bậc hai bằng nhau khi các biểu thức dưới căn bằng nhau và đều có nghĩa.
Cách khác: Hai đồ thị căn đối xứng gặp nhau tại điểm giữa hai đầu miền.
Tự kiểm: Đáp số: 4. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Giải √((x + 0)²) = 4.
Phân tích: Căn của bình phương là giá trị tuyệt đối nên tạo hai nhánh.
Hướng làm: √(A²)=|A|, không phải luôn bằng A.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: √(A²)=|A|, không phải luôn bằng A.
- Bước 3: |x + 0| = 4 ⇔ x = -4 hoặc x = 4.
Vì sao: Căn của bình phương là giá trị tuyệt đối nên tạo hai nhánh.
Cách khác: Diễn giải là khoảng cách từ x đến 0 bằng 4.
Tự kiểm: Đáp số: {-4; 4}. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Kiểm tra x = -5 có là nghiệm của √(x + 30) = x hay không.
Phân tích: Nghiệm của phương trình sau bình phương chỉ là ứng viên.
Hướng làm: Thế vào cả hai vế của phương trình gốc, không chỉ phương trình sau bình phương.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Thế vào cả hai vế của phương trình gốc, không chỉ phương trình sau bình phương.
- Bước 3: Vế trái = √25 = 5 ≥ 0, vế phải = -5 < 0; hai vế khác nhau nên không là nghiệm.
Vì sao: Nghiệm của phương trình sau bình phương chỉ là ứng viên.
Cách khác: Loại nhanh vì vế trái luôn không âm nhưng vế phải âm.
Tự kiểm: Đáp số: Không. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Một điểm M(x;0) cách A(-2;3) một khoảng 5. Tìm x.
Phân tích: Bài toán khoảng cách thường tạo hai vị trí đối xứng.
Hướng làm: Dùng công thức khoảng cách rồi quy về phương trình chứa căn.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Dùng công thức khoảng cách rồi quy về phương trình chứa căn.
- Bước 3: √[(x−-2)²+3²]=5 ⇒ (x−-2)²=16 ⇒ x=-6 hoặc x=2.
Vì sao: Bài toán khoảng cách thường tạo hai vị trí đối xứng.
Cách khác: Vẽ đường tròn tâm A bán kính 5 cắt Ox tại hai điểm.
Tự kiểm: Đáp số: {-6; 2}. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Giải √(x + 2) = 2.
Phân tích: Bình phương là tương đương khi vế phải đã không âm.
Hướng làm: Vế phải không âm; bình phương rồi kiểm điều kiện dưới căn.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Vế phải không âm; bình phương rồi kiểm điều kiện dưới căn.
- Bước 3: x + 2 = 4 ⇒ x = 2. Thử lại: √4 = 2.
Vì sao: Bình phương là tương đương khi vế phải đã không âm.
Cách khác: Nhìn phương trình như khoảng cách từ 0 đến √(x+p) bằng 2.
Tự kiểm: Đáp số: 2. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Giải √(x + 6) = x.
Phân tích: Bình phương có thể tạo nghiệm ngoại lai nên phải thế lại phương trình gốc.
Hướng làm: Điều kiện x ≥ 0; bình phương rồi loại nghiệm âm.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Điều kiện x ≥ 0; bình phương rồi loại nghiệm âm.
- Bước 3: Điều kiện x ≥ 0. Bình phương: x²−x−6=0 ⇔ (x−3)(x + 2)=0. Hai nghiệm ứng viên 3, -2; chỉ x=3 thỏa.
Vì sao: Bình phương có thể tạo nghiệm ngoại lai nên phải thế lại phương trình gốc.
Cách khác: Đặt y=√(x+k)≥0 rồi dùng giao điểm với y=x.
Tự kiểm: Đáp số: {3}. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Giải √(x + 3) = √(11−x).
Phân tích: Hai căn bậc hai bằng nhau khi các biểu thức dưới căn bằng nhau và đều có nghĩa.
Hướng làm: Hai vế căn không âm; bình phương rồi kiểm miền chung.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Hai vế căn không âm; bình phương rồi kiểm miền chung.
- Bước 3: Miền xác định: x≥-3, x≤11. Bình phương: x+3=11−x ⇒ x=4. Giá trị này thuộc miền xác định.
Vì sao: Hai căn bậc hai bằng nhau khi các biểu thức dưới căn bằng nhau và đều có nghĩa.
Cách khác: Hai đồ thị căn đối xứng gặp nhau tại điểm giữa hai đầu miền.
Tự kiểm: Đáp số: 4. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Giải √((x + 1)²) = 2.
Phân tích: Căn của bình phương là giá trị tuyệt đối nên tạo hai nhánh.
Hướng làm: √(A²)=|A|, không phải luôn bằng A.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: √(A²)=|A|, không phải luôn bằng A.
- Bước 3: |x + 1| = 2 ⇔ x = -3 hoặc x = 1.
Vì sao: Căn của bình phương là giá trị tuyệt đối nên tạo hai nhánh.
Cách khác: Diễn giải là khoảng cách từ x đến -1 bằng 2.
Tự kiểm: Đáp số: {-3; 1}. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Chi phí và lựa chọn
Phương trình quy về phương trình bậc hai giúp mô hình hóa giá, quãng đường, diện tích và phương án phù hợp với ràng buộc thật.
Dự án đo đạc
Học sinh lấy dữ kiện thật, dựng mô hình, nêu sai số và kiểm kết quả bằng cách thứ hai.
Đọc đồ thị và bản đồ
Đồ thị, tọa độ và khoảng cách biến thông tin trực quan thành quyết định định lượng.
Mô hình chuyển động
Quỹ đạo, tốc độ và vị trí được biểu diễn bằng hàm số hoặc phương trình hình học.
Thiết kế có kiểm chứng
Cầu vòm, đường đi, vùng phủ và chi tiết tròn cần công thức kèm điều kiện an toàn.
Tối ưu nguyên liệu
Hàm bậc hai và miền nghiệm giúp tìm kích thước cho hiệu quả cao nhất trong mô hình phù hợp.
Quỹ đạo và phản xạ
Parabol, elip và hypebol xuất hiện trong chuyển động, âm thanh, ánh sáng và thiên văn.
Ngôn ngữ định lượng
Kiến trúc, bản đồ, robot, dữ liệu, logistics và đồ họa đều dùng hàm số và tọa độ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Nghiệm và nghiệm ngoại lai dùng khi nào?
Bình phương giữ mọi nghiệm cũ nhưng có thể sinh thêm ứng viên sai. Dấu hiệu: Bình phương xong phải thử.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Nhận hết nghiệm của phương trình sau bình phương.
Quay lại Nghiệm và nghiệm ngoại lai: A=B ⇒ A²=B²; chiều đảo cần điều kiện dấu hoặc thử lại. Kiểm nhanh bằng √(x+2)=x loại mọi x<0.
2. Chỉ xét điều kiện sau khi giải.
Quay lại Điều kiện xác định: √A có nghĩa trong ℝ khi A≥0. Kiểm nhanh bằng √(2x−1) cần x≥1/2.
3. Chỉ đặt f≥0.
Quay lại Dạng √f=g: √f(x)=g(x) ⇔ {g(x)≥0; f(x)=g²(x)}. Kiểm nhanh bằng √(x+2)=x cần x≥0.
4. Bỏ miền chung.
Quay lại Dạng hai căn bằng nhau: √f=√g ⇔ {f=g; f≥0; g≥0}. Kiểm nhanh bằng √(x+1)=√(5−x) ⇒ x=2.
5. Bình phương rồi mất nghiệm đối xứng.
Quay lại Mô hình khoảng cách: AB=√[(xB−xA)²+(yB−yA)²]. Kiểm nhanh bằng Điểm cách tâm 5 tạo phương trình đường tròn.
6. Nhận hết nghiệm của phương trình sau bình phương.
Quay lại Nghiệm và nghiệm ngoại lai: A=B ⇒ A²=B²; chiều đảo cần điều kiện dấu hoặc thử lại. Kiểm nhanh bằng √(x+2)=x loại mọi x<0.
7. Chỉ xét điều kiện sau khi giải.
Quay lại Điều kiện xác định: √A có nghĩa trong ℝ khi A≥0. Kiểm nhanh bằng √(2x−1) cần x≥1/2.
8. Chỉ đặt f≥0.
Quay lại Dạng √f=g: √f(x)=g(x) ⇔ {g(x)≥0; f(x)=g²(x)}. Kiểm nhanh bằng √(x+2)=x cần x≥0.
9. Bỏ miền chung.
Quay lại Dạng hai căn bằng nhau: √f=√g ⇔ {f=g; f≥0; g≥0}. Kiểm nhanh bằng √(x+1)=√(5−x) ⇒ x=2.
10. Bình phương rồi mất nghiệm đối xứng.
Quay lại Mô hình khoảng cách: AB=√[(xB−xA)²+(yB−yA)²]. Kiểm nhanh bằng Điểm cách tâm 5 tạo phương trình đường tròn.
11. Nhận hết nghiệm của phương trình sau bình phương.
Quay lại Nghiệm và nghiệm ngoại lai: A=B ⇒ A²=B²; chiều đảo cần điều kiện dấu hoặc thử lại. Kiểm nhanh bằng √(x+2)=x loại mọi x<0.
12. Chỉ xét điều kiện sau khi giải.
Quay lại Điều kiện xác định: √A có nghĩa trong ℝ khi A≥0. Kiểm nhanh bằng √(2x−1) cần x≥1/2.
13. Chỉ đặt f≥0.
Quay lại Dạng √f=g: √f(x)=g(x) ⇔ {g(x)≥0; f(x)=g²(x)}. Kiểm nhanh bằng √(x+2)=x cần x≥0.
14. Bỏ miền chung.
Quay lại Dạng hai căn bằng nhau: √f=√g ⇔ {f=g; f≥0; g≥0}. Kiểm nhanh bằng √(x+1)=√(5−x) ⇒ x=2.
15. Bình phương rồi mất nghiệm đối xứng.
Quay lại Mô hình khoảng cách: AB=√[(xB−xA)²+(yB−yA)²]. Kiểm nhanh bằng Điểm cách tâm 5 tạo phương trình đường tròn.
16. Nhận hết nghiệm của phương trình sau bình phương.
Quay lại Nghiệm và nghiệm ngoại lai: A=B ⇒ A²=B²; chiều đảo cần điều kiện dấu hoặc thử lại. Kiểm nhanh bằng √(x+2)=x loại mọi x<0.
17. Chỉ xét điều kiện sau khi giải.
Quay lại Điều kiện xác định: √A có nghĩa trong ℝ khi A≥0. Kiểm nhanh bằng √(2x−1) cần x≥1/2.
18. Chỉ đặt f≥0.
Quay lại Dạng √f=g: √f(x)=g(x) ⇔ {g(x)≥0; f(x)=g²(x)}. Kiểm nhanh bằng √(x+2)=x cần x≥0.
19. Bỏ miền chung.
Quay lại Dạng hai căn bằng nhau: √f=√g ⇔ {f=g; f≥0; g≥0}. Kiểm nhanh bằng √(x+1)=√(5−x) ⇒ x=2.
20. Bình phương rồi mất nghiệm đối xứng.
Quay lại Mô hình khoảng cách: AB=√[(xB−xA)²+(yB−yA)²]. Kiểm nhanh bằng Điểm cách tâm 5 tạo phương trình đường tròn.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Miền trước, phép tính sau
Ghi tập xác định hoặc điều kiện hình học trước khi biến đổi.
Dự đoán bằng hình
Ước lượng số nghiệm, dấu, vị trí, hướng mở hoặc số giao điểm trước khi tính.
Một công thức–một phép kiểm
Thế ngược điểm, nghiệm hoặc tọa độ vào phương trình ban đầu.
Hai biểu diễn
Luân phiên đại số ↔ đồ thị, phương trình tổng quát ↔ tham số để hiểu bản chất.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi lỗi, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Ôn flashcard sau 1 ngày, bài trộn sau 3 ngày và đề ngắn sau 7 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Phương trình quy về phương trình bậc hai1 2 3 4 5
Nghiệm và nghiệm ngoại laiBình phương xong phải thử.
Điều kiện xác địnhCăn không âm.
Dạng √f=gVế phải cũng không âm.
Dạng hai căn bằng nhauBằng căn–bằng ruột, nhưng phải có nghĩa.
Mô hình khoảng cáchCăn của tổng bình phương.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
T10-B18-NB-01Ôn dữ liệu: Tính số trung bình của 2, 4, 6, 8.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng các giá trị rồi chia số quan sát.
Lời giải: x̄=(2+4+6+8)/4=5.
Vì sao: Số trung bình là một mô hình hàm từ cả mẫu dữ liệu đến một số đại diện.
Sai ở đâu: Chia cho 3 khoảng thay vì 4 số.
Cách khác: Ghép cặp đầu–cuối để tính nhanh.
T10-B18-NB-02Ôn đại số: Giải 3t−3=0.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chuyển vế rồi chia cho 3≠0.
Lời giải: 3t=3 ⇒ t=3/3=1.
Vì sao: Biến đổi phương trình là nền để tìm nghiệm và giao điểm.
Sai ở đâu: Chuyển vế sai dấu.
Cách khác: Đặt 3 làm nhân tử: 3(t−1)=0.
T10-B18-NB-03Ôn tọa độ: Tính độ dài vectơ u⃗=(0;1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng căn tổng bình phương hai tọa độ.
Lời giải: |u⃗|=√[0²+1²]=√1.
Vì sao: Độ dài luôn không âm.
Sai ở đâu: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Dùng định lí Pythagore.
T10-B18-NB-04Giải √(x + 1) = 2.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Vế phải không âm; bình phương rồi kiểm điều kiện dưới căn.
Lời giải: x + 1 = 4 ⇒ x = 3. Thử lại: √4 = 2.
Vì sao: Bình phương là tương đương khi vế phải đã không âm.
Sai ở đâu: Viết x+p=±n² hoặc quên thử điều kiện x+p≥0.
Cách khác: Nhìn phương trình như khoảng cách từ 0 đến √(x+p) bằng 2.
T10-B18-NB-05Giải √(x + 6) = x.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Điều kiện x ≥ 0; bình phương rồi loại nghiệm âm.
Lời giải: Điều kiện x ≥ 0. Bình phương: x²−x−6=0 ⇔ (x−3)(x + 2)=0. Hai nghiệm ứng viên 3, -2; chỉ x=3 thỏa.
Vì sao: Bình phương có thể tạo nghiệm ngoại lai nên phải thế lại phương trình gốc.
Sai ở đâu: Nhận cả x = -2 dù vế phải âm.
Cách khác: Đặt y=√(x+k)≥0 rồi dùng giao điểm với y=x.
T10-B18-NB-06Giải √(x + 2) = √(10−x).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai vế căn không âm; bình phương rồi kiểm miền chung.
Lời giải: Miền xác định: x≥-2, x≤10. Bình phương: x+2=10−x ⇒ x=4. Giá trị này thuộc miền xác định.
Vì sao: Hai căn bậc hai bằng nhau khi các biểu thức dưới căn bằng nhau và đều có nghĩa.
Sai ở đâu: Chỉ giải phương trình dưới căn mà không kiểm miền.
Cách khác: Hai đồ thị căn đối xứng gặp nhau tại điểm giữa hai đầu miền.
T10-B18-NB-07Giải √((x + 0)²) = 4.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: √(A²)=|A|, không phải luôn bằng A.
Lời giải: |x + 0| = 4 ⇔ x = -4 hoặc x = 4.
Vì sao: Căn của bình phương là giá trị tuyệt đối nên tạo hai nhánh.
Sai ở đâu: Viết √((x−h)²)=x−h và làm mất một nghiệm.
Cách khác: Diễn giải là khoảng cách từ x đến 0 bằng 4.
T10-B18-NB-08Kiểm tra x = -5 có là nghiệm của √(x + 30) = x hay không.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thế vào cả hai vế của phương trình gốc, không chỉ phương trình sau bình phương.
Lời giải: Vế trái = √25 = 5 ≥ 0, vế phải = -5 < 0; hai vế khác nhau nên không là nghiệm.
Vì sao: Nghiệm của phương trình sau bình phương chỉ là ứng viên.
Sai ở đâu: Thấy ứng viên làm đúng phương trình bậc hai rồi kết luận ngay.
Cách khác: Loại nhanh vì vế trái luôn không âm nhưng vế phải âm.
T10-B18-NB-09Một điểm M(x;0) cách A(-2;3) một khoảng 5. Tìm x.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng công thức khoảng cách rồi quy về phương trình chứa căn.
Lời giải: √[(x−-2)²+3²]=5 ⇒ (x−-2)²=16 ⇒ x=-6 hoặc x=2.
Vì sao: Bài toán khoảng cách thường tạo hai vị trí đối xứng.
Sai ở đâu: Bình phương xong chỉ lấy một dấu căn.
Cách khác: Vẽ đường tròn tâm A bán kính 5 cắt Ox tại hai điểm.
T10-B18-NB-10Giải √(x + 2) = 2.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Vế phải không âm; bình phương rồi kiểm điều kiện dưới căn.
Lời giải: x + 2 = 4 ⇒ x = 2. Thử lại: √4 = 2.
Vì sao: Bình phương là tương đương khi vế phải đã không âm.
Sai ở đâu: Viết x+p=±n² hoặc quên thử điều kiện x+p≥0.
Cách khác: Nhìn phương trình như khoảng cách từ 0 đến √(x+p) bằng 2.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Nghiệm của √(x+1)=3 là:
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Ôn dữ liệu: Tính số trung bình của 2, 4, 6, 8.
Gợi ý: Cộng các giá trị rồi chia số quan sát.
Lời giải: x̄=(2+4+6+8)/4=5.
Giải thích: Số trung bình là một mô hình hàm từ cả mẫu dữ liệu đến một số đại diện.
Lỗi cần tránh: Chia cho 3 khoảng thay vì 4 số.
Cách khác: Ghép cặp đầu–cuối để tính nhanh.
TỰ LUẬN 2Giải √(x + 2) = √(10−x).
Gợi ý: Hai vế căn không âm; bình phương rồi kiểm miền chung.
Lời giải: Miền xác định: x≥-2, x≤10. Bình phương: x+2=10−x ⇒ x=4. Giá trị này thuộc miền xác định.
Giải thích: Hai căn bậc hai bằng nhau khi các biểu thức dưới căn bằng nhau và đều có nghĩa.
Lỗi cần tránh: Chỉ giải phương trình dưới căn mà không kiểm miền.
Cách khác: Hai đồ thị căn đối xứng gặp nhau tại điểm giữa hai đầu miền.
TỰ LUẬN 3Tập xác định của y=√(x-2)/(x-5) là:
Gợi ý: Cần đồng thời x-2≥0 và x-5≠0.
Lời giải: Cần đồng thời x-2≥0 và x-5≠0. Vì 5>2, ta được D=[2;+∞)\{5}.
Giải thích: Cần đồng thời x-2≥0 và x-5≠0. Vì 5>2, ta được D=[2;+∞)\{5}.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: domain-combined-3-0
TỰ LUẬN 4Giải √(x + 3) = 2.
Gợi ý: Vế phải không âm; bình phương rồi kiểm điều kiện dưới căn.
Lời giải: x + 3 = 4 ⇒ x = 1. Thử lại: √4 = 2.
Giải thích: Bình phương là tương đương khi vế phải đã không âm.
Lỗi cần tránh: Viết x+p=±n² hoặc quên thử điều kiện x+p≥0.
Cách khác: Nhìn phương trình như khoảng cách từ 0 đến √(x+p) bằng 2.
TỰ LUẬN 5Ôn dữ liệu: Tính số trung bình của 5, 7, 9, 11.
Gợi ý: Cộng các giá trị rồi chia số quan sát.
Lời giải: x̄=(5+7+9+11)/4=8.
Giải thích: Số trung bình là một mô hình hàm từ cả mẫu dữ liệu đến một số đại diện.
Lỗi cần tránh: Chia cho 3 khoảng thay vì 4 số.
Cách khác: Ghép cặp đầu–cuối để tính nhanh.
TỰ LUẬN 6Nghiệm của √(x+1)=3 là:
Gợi ý: Hai vế không âm; bình phương được x+1=9.
Lời giải: Hai vế không âm; bình phương được x+1=9. Suy ra x=8; thay lại thỏa phương trình.
Giải thích: Hai vế không âm; bình phương được x+1=9. Suy ra x=8; thay lại thỏa phương trình.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: equation-radical-basic-0-0
TỰ LUẬN 7Giải √(x + 5) = 2.
Gợi ý: Vế phải không âm; bình phương rồi kiểm điều kiện dưới căn.
Lời giải: x + 5 = 4 ⇒ x = -1. Thử lại: √4 = 2.
Giải thích: Bình phương là tương đương khi vế phải đã không âm.
Lỗi cần tránh: Viết x+p=±n² hoặc quên thử điều kiện x+p≥0.
Cách khác: Nhìn phương trình như khoảng cách từ 0 đến √(x+p) bằng 2.
TỰ LUẬN 8Một điểm M(x;0) cách A(2;3) một khoảng 5. Tìm x.
Gợi ý: Dùng công thức khoảng cách rồi quy về phương trình chứa căn.
Lời giải: √[(x−2)²+3²]=5 ⇒ (x−2)²=16 ⇒ x=-2 hoặc x=6.
Giải thích: Bài toán khoảng cách thường tạo hai vị trí đối xứng.
Lỗi cần tránh: Bình phương xong chỉ lấy một dấu căn.
Cách khác: Vẽ đường tròn tâm A bán kính 5 cắt Ox tại hai điểm.
TỰ LUẬN 9Ôn dữ liệu: Tính số trung bình của 4, 6, 8, 10.
Gợi ý: Cộng các giá trị rồi chia số quan sát.
Lời giải: x̄=(4+6+8+10)/4=7.
Giải thích: Số trung bình là một mô hình hàm từ cả mẫu dữ liệu đến một số đại diện.
Lỗi cần tránh: Chia cho 3 khoảng thay vì 4 số.
Cách khác: Ghép cặp đầu–cuối để tính nhanh.
TỰ LUẬN 10Giải √(x+3)=7. Tìm x. Cần đối chiếu kết quả bằng một biểu diễn khác.
Gợi ý: Bình phương hai vế được x+3=49.
Lời giải: Bình phương hai vế được x+3=49. Suy ra x=46; thay lại thỏa phương trình.
Giải thích: Bình phương hai vế được x+3=49. Suy ra x=46; thay lại thỏa phương trình.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: short-algebra-radical-1-2
TỰ LUẬN 11Giải phương trình √(x + 5) = 3.
Gợi ý: Hai vế không âm; bình phương được x + 5 = 9.
Lời giải: Hai vế không âm; bình phương được x + 5 = 9. Suy ra x = 9 − 5 = 4; thay lại cho căn bằng 3.
Giải thích: Hai vế không âm; bình phương được x + 5 = 9. Suy ra x = 9 − 5 = 4; thay lại cho căn bằng 3.
Lỗi cần tránh: Quên bình phương vế phải hoặc không thử kết quả.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 12Giải phương trình √(x + 20) = x.
Gợi ý: Điều kiện x ≥ 0. Bình phương hai vế được x² − x − 20 = 0.
Lời giải: Điều kiện x ≥ 0. Bình phương hai vế được x² − x − 20 = 0. Phương trình có nghiệm 5 và -4; nghiệm -4 < 0 bị loại. Thử lại, x = 5 thỏa mãn.
Giải thích: Điều kiện x ≥ 0. Bình phương hai vế được x² − x − 20 = 0. Phương trình có nghiệm 5 và -4; nghiệm -4 < 0 bị loại. Thử lại, x = 5 thỏa mãn.
Lỗi cần tránh: Nhận cả nghiệm sau khi bình phương mà không đối chiếu điều kiện và thử lại.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 13Ôn dữ liệu: Tính số trung bình của 3, 5, 7, 9.
Gợi ý: Cộng các giá trị rồi chia số quan sát.
Lời giải: x̄=(3+5+7+9)/4=6.
Giải thích: Số trung bình là một mô hình hàm từ cả mẫu dữ liệu đến một số đại diện.
Lỗi cần tránh: Chia cho 3 khoảng thay vì 4 số.
Cách khác: Ghép cặp đầu–cuối để tính nhanh.
TỰ LUẬN 14Giải phương trình x − 1 = √(x + 5).
Gợi ý: Điều kiện x ≥ 1; bình phương được (x − 1)² = x + 5, tức (x − 4)(x + 1) = 0.
Lời giải: Điều kiện x ≥ 1; bình phương được (x − 1)² = x + 5, tức (x − 4)(x + 1) = 0. x = −1 bị loại bởi điều kiện; x = 4 thỏa 3 = √9.
Giải thích: Điều kiện x ≥ 1; bình phương được (x − 1)² = x + 5, tức (x − 4)(x + 1) = 0. x = −1 bị loại bởi điều kiện; x = 4 thỏa 3 = √9.
Lỗi cần tránh: Giữ nghiệm ngoại lai x = −1 sau khi bình phương.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 15Giải phương trình √(x + 2) = 3. Xét kết luận: “x = 11”.
Gợi ý: Hai vế không âm; bình phương được x + 2 = 9.
Lời giải: Hai vế không âm; bình phương được x + 2 = 9. Suy ra x = 9 − 2 = 7; thay lại cho căn bằng 3. Kết quả đúng là x = 7; vì vậy kết luận đã nêu là sai.
Giải thích: Hai vế không âm; bình phương được x + 2 = 9. Suy ra x = 9 − 2 = 7; thay lại cho căn bằng 3. Kết quả đúng là x = 7; vì vậy kết luận đã nêu là sai.
Lỗi cần tránh: Quên bình phương vế phải hoặc không thử kết quả.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 16Giải √((x + 3)²) = 4.
Gợi ý: √(A²)=|A|, không phải luôn bằng A.
Lời giải: |x + 3| = 4 ⇔ x = -7 hoặc x = 1.
Giải thích: Căn của bình phương là giá trị tuyệt đối nên tạo hai nhánh.
Lỗi cần tránh: Viết √((x−h)²)=x−h và làm mất một nghiệm.
Cách khác: Diễn giải là khoảng cách từ x đến -3 bằng 4.
TỰ LUẬN 17Một phép đo có giá trị đúng 200, sai số tuyệt đối 2. Tính sai số tương đối theo phần trăm.
Gợi ý: Sai số tương đối bằng sai số tuyệt đối chia giá trị đúng, rồi nhân 100%.
Lời giải: Sai số tương đối bằng sai số tuyệt đối chia giá trị đúng, rồi nhân 100%. Kết quả: 1.
Giải thích: Sai số tương đối bằng sai số tuyệt đối chia giá trị đúng, rồi nhân 100%.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 18Tìm số nghiệm thực của √((x−2)²)=0.
Gợi ý: Trị tuyệt đối bằng 0 chỉ khi biểu thức bên trong bằng 0.
Lời giải: Trị tuyệt đối bằng 0 chỉ khi biểu thức bên trong bằng 0. Kết quả: 1.
Giải thích: Trị tuyệt đối bằng 0 chỉ khi biểu thức bên trong bằng 0.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 19Giải √((x − 2)²) = 4.
Gợi ý: √(A²)=|A|, không phải luôn bằng A.
Lời giải: |x − 2| = 4 ⇔ x = -2 hoặc x = 6.
Giải thích: Căn của bình phương là giá trị tuyệt đối nên tạo hai nhánh.
Lỗi cần tránh: Viết √((x−h)²)=x−h và làm mất một nghiệm.
Cách khác: Diễn giải là khoảng cách từ x đến 2 bằng 4.
TỰ LUẬN 20Giải √(x+4)=4. Tìm x.
Gợi ý: Vế phải không âm; bình phương tương đương và kiểm tra dưới căn.
Lời giải: Vế phải không âm; bình phương tương đương và kiểm tra dưới căn. Kết quả: 12.
Giải thích: Vế phải không âm; bình phương tương đương và kiểm tra dưới căn.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B18-NB-01, T10-B18-NB-02, T10-B18-NB-03, T10-B18-NB-04, T10-B18-NB-05, T10-B18-NB-06, T10-B18-NB-07, T10-B18-NB-08, T10-B18-NB-09, T10-B18-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B18-NB-01: 5
- T10-B18-NB-02: 1
- T10-B18-NB-03: √1
- T10-B18-NB-04: 3
- T10-B18-NB-05: {3}
- T10-B18-NB-06: 4
- T10-B18-NB-07: {-4; 4}
- T10-B18-NB-08: Không
- T10-B18-NB-09: {-6; 2}
- T10-B18-NB-10: 2
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 6
10 câu đại diện: T10-B18-NB-11, T10-B18-NB-12, T10-B18-NB-13, T10-B18-NB-14, T10-B18-NB-15, T10-B18-NB-16, T10-B18-NB-17, T10-B18-NB-18, T10-B18-NB-19, T10-B18-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B18-NB-11: [2;+∞)\{5}
- T10-B18-NB-12: 4
- T10-B18-NB-13: {-3; 1}
- T10-B18-NB-14: [3;+∞)
- T10-B18-NB-15: {-5; 3}
- T10-B18-NB-16: 1
- T10-B18-NB-17: (-∞;6]
- T10-B18-NB-18: 4
- T10-B18-NB-19: {-6; 2}
- T10-B18-NB-20: [3;+∞)\{6}
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B18-TH-01, T10-B18-TH-02, T10-B18-TH-03, T10-B18-TH-04, T10-B18-TH-05, T10-B18-TH-06, T10-B18-TH-07, T10-B18-TH-08, T10-B18-TH-09, T10-B18-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B18-TH-01: 8
- T10-B18-TH-02: 1
- T10-B18-TH-03: √5
- T10-B18-TH-04: {-4; 4}
- T10-B18-TH-05: 0
- T10-B18-TH-06: 8
- T10-B18-TH-07: 4
- T10-B18-TH-08: {-5; -1}
- T10-B18-TH-09: x=0 hoặc x=1
- T10-B18-TH-10: {-3; 5}
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B18-TH-11, T10-B18-TH-12, T10-B18-TH-13, T10-B18-TH-14, T10-B18-TH-15, T10-B18-TH-16, T10-B18-TH-17, T10-B18-TH-18, T10-B18-TH-19, T10-B18-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B18-TH-11: -1
- T10-B18-TH-12: 14
- T10-B18-TH-13: 4
- T10-B18-TH-14: {-1; 7}
- T10-B18-TH-15: x=0 hoặc x=1
- T10-B18-TH-16: {-2; 6}
- T10-B18-TH-17: 22
- T10-B18-TH-18: x=0 hoặc x=1
- T10-B18-TH-19: 32
- T10-B18-TH-20: {0; 4}
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B18-VD-01, T10-B18-VD-02, T10-B18-VD-03, T10-B18-VD-04, T10-B18-VD-05, T10-B18-VD-06, T10-B18-VD-07, T10-B18-VD-08, T10-B18-VD-09, T10-B18-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B18-VD-01: 7
- T10-B18-VD-02: 1
- T10-B18-VD-03: √5
- T10-B18-VD-04: 24
- T10-B18-VD-05: 34
- T10-B18-VD-06: 46
- T10-B18-VD-07: 60
- T10-B18-VD-08: 76
- T10-B18-VD-09: {-3; 5}
- T10-B18-VD-10: x = 6
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.