Nhìn cấu trúc trước
Học phương trình đường thẳng bằng quan hệ giữa đại số, đồ thị và hình học, không học công thức rời.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Tổng quát dùng pháp tuyến (a;b).
- Tham số dùng chỉ phương.
- n⃗=(a;b) vuông góc u⃗=(b;−a).
Bài 19. Phương trình đường thẳng
Biến hình học đường thẳng thành đại số qua vectơ pháp tuyến, chỉ phương, phương trình tổng quát và tham số; mọi phương trình đều được kiểm bằng điểm.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi lời giải bắt đầu từ dữ kiện, điều kiện, mục tiêu và phép kiểm.
Gắn với thực tiễn
Bài toán chi phí, quỹ đạo, đo đạc, bản đồ và thiết kế cho thấy ý nghĩa của mô hình.
Không phụ thuộc đáp án
Thế ngược, đọc đồ thị, so dấu, kiểm đơn vị hoặc dùng cách giải độc lập.
- Phân biệt vectơ chỉ phương và pháp tuyến.
- Viết phương trình tổng quát và tham số.
- Lập đường thẳng từ điểm, hướng hoặc hai điểm.
- Lập các đường đặc biệt trong tam giác.
- Vectơ qua hai điểm.
- Điều kiện vuông góc bằng tích vô hướng.
- Phương trình bậc nhất hai ẩn.
- 15% ôn hàm bậc hai và vectơ.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Vectơ pháp tuyến
Hiểu đơn giản: Pháp tuyến chỉ hướng vuông góc với đường thẳng.
n⃗=(a;b)≠0⃗; d: a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.
Ví dụ: n⃗=(2;−1) cho hệ số 2x−y.
Hình nên dùng: Đường thẳng và mũi tên vuông góc.
Mô phỏng: Quay pháp tuyến và theo dõi đường.
Mẹo nhớ: Pháp tuyến vào hệ số x,y.
Sai lầm: Đồng nhất pháp tuyến và chỉ phương.
Ghi chú: Mọi bội khác 0 của n⃗ vẫn là pháp tuyến.
Phương trình tổng quát
Hiểu đơn giản: Mọi đường thẳng có thể viết bằng một phương trình bậc nhất hai ẩn.
ax+by+c=0, a²+b²>0.
Ví dụ: 2x−3y+1=0.
Hình nên dùng: Đường thẳng trên lưới Oxy.
Mô phỏng: Đổi c để tịnh tiến song song.
Mẹo nhớ: (a;b) là pháp tuyến.
Sai lầm: Cho a=b=0.
Ghi chú: b=0 cho đường thẳng đứng; a=0 cho đường ngang.
Vectơ chỉ phương
Hiểu đơn giản: Chỉ phương đi dọc theo đường thẳng.
u⃗=(u₁;u₂)≠0⃗; n⃗·u⃗=0.
Ví dụ: n⃗=(a;b) ⇒ u⃗=(b;−a).
Hình nên dùng: Mũi tên nằm trên đường.
Mô phỏng: Kéo điểm theo u⃗.
Mẹo nhớ: Đổi chỗ, đổi một dấu.
Sai lầm: Lấy u⃗=(a;b).
Ghi chú: Mọi bội khác 0 của u⃗ đều dùng được.
Phương trình tham số
Hiểu đơn giản: Bắt đầu ở một điểm rồi đi t lần theo vectơ chỉ phương.
x=x₀+u₁t; y=y₀+u₂t, t∈ℝ.
Ví dụ: A(1;2),u⃗=(3;−1).
Hình nên dùng: Điểm chạy trên đường.
Mô phỏng: Kéo thanh t.
Mẹo nhớ: Điểm + t·hướng.
Sai lầm: Dùng pháp tuyến trong tham số.
Ghi chú: t=0 luôn trả về điểm gốc đã chọn.
Lập đường qua hai điểm
Hiểu đơn giản: Hai điểm cho vectơ chỉ phương bằng điểm cuối trừ điểm đầu.
u⃗=AB⃗=(xB−xA;yB−yA).
Ví dụ: A(0;1),B(2;4) ⇒ u⃗=(2;3).
Hình nên dùng: Hai điểm và mũi tên AB.
Mô phỏng: Kéo A, B và cập nhật phương trình.
Mẹo nhớ: Hai điểm→chỉ phương→phương trình.
Sai lầm: Lấy AB⃗ làm pháp tuyến.
Ghi chú: A và B phải phân biệt.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐƯỜNG THẲNG
Một điểm và một pháp tuyến
Nhập A(x₀;y₀), n⃗=(a;b). Công cụ lập ax+by+c=0 và chỉ phương (b;−a).
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng qua A(-3;-4) và có vectơ pháp tuyến n⃗=(1;2).
Phân tích: Vectơ pháp tuyến cung cấp trực tiếp hai hệ số của x và y.
Hướng làm: Dùng a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Dùng a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.
- Bước 3: 1(x−-3) + 2(y−-4)=0 ⇔ 1x + 2y + 11=0.
Vì sao: Vectơ pháp tuyến cung cấp trực tiếp hai hệ số của x và y.
Cách khác: Thế A vào: 0=0.
Tự kiểm: Đáp số: 1x + 2y + 11 = 0. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(-2;-3) và có vectơ chỉ phương u⃗=(2;-3).
Phân tích: Khi t biến thiên, điểm chạy theo đúng hướng u⃗ trên đường thẳng.
Hướng làm: Lấy tọa độ điểm cộng t lần tọa độ vectơ chỉ phương.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Lấy tọa độ điểm cộng t lần tọa độ vectơ chỉ phương.
- Bước 3: x=-2+2t, y=-3− 3t (t∈ℝ).
Vì sao: Khi t biến thiên, điểm chạy theo đúng hướng u⃗ trên đường thẳng.
Cách khác: Cho t=0 để kiểm đường thẳng đi qua A.
Tự kiểm: Đáp số: x=-2+2t; y=-3− 3t. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Nêu một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 3x + 4y + 11=0.
Phân tích: Chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến: a·b+b·(−a)=0.
Hướng làm: Nếu n⃗=(a;b) là pháp tuyến thì u⃗=(b;−a) là chỉ phương.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Nếu n⃗=(a;b) là pháp tuyến thì u⃗=(b;−a) là chỉ phương.
- Bước 3: Một vectơ pháp tuyến là (3;4), nên có thể chọn u⃗=(4;-3).
Vì sao: Chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến: a·b+b·(−a)=0.
Cách khác: Cũng có thể chọn u⃗=(-4;3), là vectơ đối.
Tự kiểm: Đáp số: (4; -3). Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Điểm M(-2;-5) có thuộc d: 4x − 2y − 2=0 không?
Phân tích: Điểm thuộc đường khi và chỉ khi tọa độ làm phương trình đúng.
Hướng làm: Thế tọa độ M vào vế trái.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Thế tọa độ M vào vế trái.
- Bước 3: 4·-2 − 2·(-5) − 2 = 0, nên M thuộc d.
Vì sao: Điểm thuộc đường khi và chỉ khi tọa độ làm phương trình đúng.
Cách khác: Nhận AM⃗=(b;−a), cùng phương với vectơ chỉ phương của d.
Tự kiểm: Đáp số: Có. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Lập phương trình đường trung trực của đoạn AB với A(-2;0), B(2;0).
Phân tích: Đường trung trực là tập hợp điểm cách đều A và B.
Hướng làm: Đường trung trực đi qua trung điểm và vuông góc AB.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Đường trung trực đi qua trung điểm và vuông góc AB.
- Bước 3: Trung điểm là O(0;0), AB nằm ngang nên đường trung trực là trục Oy: x=0.
Vì sao: Đường trung trực là tập hợp điểm cách đều A và B.
Cách khác: Giải (x+2)²+y²=(x−2)²+y² ⇒ x=0.
Tự kiểm: Đáp số: x = 0. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Lập đường thẳng qua A(2;1) và B(4;-3).
Phân tích: Hai điểm phân biệt xác định duy nhất một đường thẳng.
Hướng làm: AB⃗=(2;-4) là vectơ chỉ phương; chọn pháp tuyến (-4;-2).
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: AB⃗=(2;-4) là vectơ chỉ phương; chọn pháp tuyến (-4;-2).
- Bước 3: Dùng -4(x−2) − 2(y−1)=0.
Vì sao: Hai điểm phân biệt xác định duy nhất một đường thẳng.
Cách khác: Viết phương trình tham số x=x₀+at, y=y₀+bt.
Tự kiểm: Đáp số: -4(x−2) − 2(y−1) = 0. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng qua A(3;2) và có vectơ pháp tuyến n⃗=(3;2).
Phân tích: Vectơ pháp tuyến cung cấp trực tiếp hai hệ số của x và y.
Hướng làm: Dùng a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Dùng a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.
- Bước 3: 3(x−3) + 2(y−2)=0 ⇔ 3x + 2y − 13=0.
Vì sao: Vectơ pháp tuyến cung cấp trực tiếp hai hệ số của x và y.
Cách khác: Thế A vào: 0=0.
Tự kiểm: Đáp số: 3x + 2y − 13 = 0. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(-3;3) và có vectơ chỉ phương u⃗=(4;-3).
Phân tích: Khi t biến thiên, điểm chạy theo đúng hướng u⃗ trên đường thẳng.
Hướng làm: Lấy tọa độ điểm cộng t lần tọa độ vectơ chỉ phương.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Lấy tọa độ điểm cộng t lần tọa độ vectơ chỉ phương.
- Bước 3: x=-3+4t, y=3− 3t (t∈ℝ).
Vì sao: Khi t biến thiên, điểm chạy theo đúng hướng u⃗ trên đường thẳng.
Cách khác: Cho t=0 để kiểm đường thẳng đi qua A.
Tự kiểm: Đáp số: x=-3+4t; y=3− 3t. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Nêu một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 1x + 4y − 14=0.
Phân tích: Chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến: a·b+b·(−a)=0.
Hướng làm: Nếu n⃗=(a;b) là pháp tuyến thì u⃗=(b;−a) là chỉ phương.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Nếu n⃗=(a;b) là pháp tuyến thì u⃗=(b;−a) là chỉ phương.
- Bước 3: Một vectơ pháp tuyến là (1;4), nên có thể chọn u⃗=(4;-1).
Vì sao: Chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến: a·b+b·(−a)=0.
Cách khác: Cũng có thể chọn u⃗=(-4;1), là vectơ đối.
Tự kiểm: Đáp số: (4; -1). Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Điểm M(-3;-6) có thuộc d: 2x − 2y − 6=0 không?
Phân tích: Điểm thuộc đường khi và chỉ khi tọa độ làm phương trình đúng.
Hướng làm: Thế tọa độ M vào vế trái.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Thế tọa độ M vào vế trái.
- Bước 3: 2·-3 − 2·(-6) − 6 = 0, nên M thuộc d.
Vì sao: Điểm thuộc đường khi và chỉ khi tọa độ làm phương trình đúng.
Cách khác: Nhận AM⃗=(b;−a), cùng phương với vectơ chỉ phương của d.
Tự kiểm: Đáp số: Có. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Chi phí và lựa chọn
Phương trình đường thẳng giúp mô hình hóa giá, quãng đường, diện tích và phương án phù hợp với ràng buộc thật.
Dự án đo đạc
Học sinh lấy dữ kiện thật, dựng mô hình, nêu sai số và kiểm kết quả bằng cách thứ hai.
Đọc đồ thị và bản đồ
Đồ thị, tọa độ và khoảng cách biến thông tin trực quan thành quyết định định lượng.
Mô hình chuyển động
Quỹ đạo, tốc độ và vị trí được biểu diễn bằng hàm số hoặc phương trình hình học.
Thiết kế có kiểm chứng
Cầu vòm, đường đi, vùng phủ và chi tiết tròn cần công thức kèm điều kiện an toàn.
Tối ưu nguyên liệu
Hàm bậc hai và miền nghiệm giúp tìm kích thước cho hiệu quả cao nhất trong mô hình phù hợp.
Quỹ đạo và phản xạ
Parabol, elip và hypebol xuất hiện trong chuyển động, âm thanh, ánh sáng và thiên văn.
Ngôn ngữ định lượng
Kiến trúc, bản đồ, robot, dữ liệu, logistics và đồ họa đều dùng hàm số và tọa độ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Vectơ pháp tuyến dùng khi nào?
Pháp tuyến chỉ hướng vuông góc với đường thẳng. Dấu hiệu: Pháp tuyến vào hệ số x,y.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Đồng nhất pháp tuyến và chỉ phương.
Quay lại Vectơ pháp tuyến: n⃗=(a;b)≠0⃗; d: a(x−x₀)+b(y−y₀)=0. Kiểm nhanh bằng n⃗=(2;−1) cho hệ số 2x−y.
2. Cho a=b=0.
Quay lại Phương trình tổng quát: ax+by+c=0, a²+b²>0. Kiểm nhanh bằng 2x−3y+1=0.
3. Lấy u⃗=(a;b).
Quay lại Vectơ chỉ phương: u⃗=(u₁;u₂)≠0⃗; n⃗·u⃗=0. Kiểm nhanh bằng n⃗=(a;b) ⇒ u⃗=(b;−a).
4. Dùng pháp tuyến trong tham số.
Quay lại Phương trình tham số: x=x₀+u₁t; y=y₀+u₂t, t∈ℝ. Kiểm nhanh bằng A(1;2),u⃗=(3;−1).
5. Lấy AB⃗ làm pháp tuyến.
Quay lại Lập đường qua hai điểm: u⃗=AB⃗=(xB−xA;yB−yA). Kiểm nhanh bằng A(0;1),B(2;4) ⇒ u⃗=(2;3).
6. Đồng nhất pháp tuyến và chỉ phương.
Quay lại Vectơ pháp tuyến: n⃗=(a;b)≠0⃗; d: a(x−x₀)+b(y−y₀)=0. Kiểm nhanh bằng n⃗=(2;−1) cho hệ số 2x−y.
7. Cho a=b=0.
Quay lại Phương trình tổng quát: ax+by+c=0, a²+b²>0. Kiểm nhanh bằng 2x−3y+1=0.
8. Lấy u⃗=(a;b).
Quay lại Vectơ chỉ phương: u⃗=(u₁;u₂)≠0⃗; n⃗·u⃗=0. Kiểm nhanh bằng n⃗=(a;b) ⇒ u⃗=(b;−a).
9. Dùng pháp tuyến trong tham số.
Quay lại Phương trình tham số: x=x₀+u₁t; y=y₀+u₂t, t∈ℝ. Kiểm nhanh bằng A(1;2),u⃗=(3;−1).
10. Lấy AB⃗ làm pháp tuyến.
Quay lại Lập đường qua hai điểm: u⃗=AB⃗=(xB−xA;yB−yA). Kiểm nhanh bằng A(0;1),B(2;4) ⇒ u⃗=(2;3).
11. Đồng nhất pháp tuyến và chỉ phương.
Quay lại Vectơ pháp tuyến: n⃗=(a;b)≠0⃗; d: a(x−x₀)+b(y−y₀)=0. Kiểm nhanh bằng n⃗=(2;−1) cho hệ số 2x−y.
12. Cho a=b=0.
Quay lại Phương trình tổng quát: ax+by+c=0, a²+b²>0. Kiểm nhanh bằng 2x−3y+1=0.
13. Lấy u⃗=(a;b).
Quay lại Vectơ chỉ phương: u⃗=(u₁;u₂)≠0⃗; n⃗·u⃗=0. Kiểm nhanh bằng n⃗=(a;b) ⇒ u⃗=(b;−a).
14. Dùng pháp tuyến trong tham số.
Quay lại Phương trình tham số: x=x₀+u₁t; y=y₀+u₂t, t∈ℝ. Kiểm nhanh bằng A(1;2),u⃗=(3;−1).
15. Lấy AB⃗ làm pháp tuyến.
Quay lại Lập đường qua hai điểm: u⃗=AB⃗=(xB−xA;yB−yA). Kiểm nhanh bằng A(0;1),B(2;4) ⇒ u⃗=(2;3).
16. Đồng nhất pháp tuyến và chỉ phương.
Quay lại Vectơ pháp tuyến: n⃗=(a;b)≠0⃗; d: a(x−x₀)+b(y−y₀)=0. Kiểm nhanh bằng n⃗=(2;−1) cho hệ số 2x−y.
17. Cho a=b=0.
Quay lại Phương trình tổng quát: ax+by+c=0, a²+b²>0. Kiểm nhanh bằng 2x−3y+1=0.
18. Lấy u⃗=(a;b).
Quay lại Vectơ chỉ phương: u⃗=(u₁;u₂)≠0⃗; n⃗·u⃗=0. Kiểm nhanh bằng n⃗=(a;b) ⇒ u⃗=(b;−a).
19. Dùng pháp tuyến trong tham số.
Quay lại Phương trình tham số: x=x₀+u₁t; y=y₀+u₂t, t∈ℝ. Kiểm nhanh bằng A(1;2),u⃗=(3;−1).
20. Lấy AB⃗ làm pháp tuyến.
Quay lại Lập đường qua hai điểm: u⃗=AB⃗=(xB−xA;yB−yA). Kiểm nhanh bằng A(0;1),B(2;4) ⇒ u⃗=(2;3).
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Miền trước, phép tính sau
Ghi tập xác định hoặc điều kiện hình học trước khi biến đổi.
Dự đoán bằng hình
Ước lượng số nghiệm, dấu, vị trí, hướng mở hoặc số giao điểm trước khi tính.
Một công thức–một phép kiểm
Thế ngược điểm, nghiệm hoặc tọa độ vào phương trình ban đầu.
Hai biểu diễn
Luân phiên đại số ↔ đồ thị, phương trình tổng quát ↔ tham số để hiểu bản chất.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi lỗi, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Ôn flashcard sau 1 ngày, bài trộn sau 3 ngày và đề ngắn sau 7 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Phương trình đường thẳng1 2 3 4 5
Vectơ pháp tuyếnPháp tuyến vào hệ số x,y.
Phương trình tổng quát(a;b) là pháp tuyến.
Vectơ chỉ phươngĐổi chỗ, đổi một dấu.
Phương trình tham sốĐiểm + t·hướng.
Lập đường qua hai điểmHai điểm→chỉ phương→phương trình.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
T10-B19-NB-01Tính giá trị của y = -1(x + 1)² − 4 tại x = 1.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính x−h trước rồi mới bình phương.
Lời giải: y = -1·(2)² − 4 = -8.
Vì sao: Dạng đỉnh làm phép thay số ngắn và ít sai dấu.
Sai ở đâu: Bình phương sau khi nhân a hoặc quên ngoặc với số âm.
Cách khác: Điểm x = 1 cách trục đối xứng 2 đơn vị.
T10-B19-NB-02Ôn vectơ: Với A(-1;-2), B(2;-4), tính AB⃗.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗=(3;-2)=(3;−2).
Vì sao: Tọa độ vectơ là nền trực tiếp của phương trình đường thẳng.
Sai ở đâu: Lấy điểm đầu A trừ điểm cuối B.
Cách khác: Kiểm A+AB⃗=B.
T10-B19-NB-03Ôn tích vô hướng: (3;4)·(−4;3) bằng bao nhiêu?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: 3·(−4)+4·3=0.
Vì sao: Tích bằng 0 cho thấy hai vectơ khác 0 vuông góc.
Sai ở đâu: Nhân chéo rồi cộng.
Cách khác: Nhận (−4;3) là phép quay 90° của (3;4).
T10-B19-NB-04Lập phương trình tổng quát của đường thẳng qua A(-3;-4) và có vectơ pháp tuyến n⃗=(1;2).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.
Lời giải: 1(x−-3) + 2(y−-4)=0 ⇔ 1x + 2y + 11=0.
Vì sao: Vectơ pháp tuyến cung cấp trực tiếp hai hệ số của x và y.
Sai ở đâu: Dùng n⃗ làm vectơ chỉ phương hoặc quên thay tọa độ điểm.
Cách khác: Thế A vào: 0=0.
T10-B19-NB-05Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(-2;-3) và có vectơ chỉ phương u⃗=(2;-3).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cộng t lần tọa độ vectơ chỉ phương.
Lời giải: x=-2+2t, y=-3− 3t (t∈ℝ).
Vì sao: Khi t biến thiên, điểm chạy theo đúng hướng u⃗ trên đường thẳng.
Sai ở đâu: Đổi hai thành phần của u⃗ hoặc dùng dấu trừ tùy ý.
Cách khác: Cho t=0 để kiểm đường thẳng đi qua A.
T10-B19-NB-06Nêu một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 3x + 4y + 11=0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nếu n⃗=(a;b) là pháp tuyến thì u⃗=(b;−a) là chỉ phương.
Lời giải: Một vectơ pháp tuyến là (3;4), nên có thể chọn u⃗=(4;-3).
Vì sao: Chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến: a·b+b·(−a)=0.
Sai ở đâu: Lấy luôn (a;b) làm chỉ phương.
Cách khác: Cũng có thể chọn u⃗=(-4;3), là vectơ đối.
T10-B19-NB-07Điểm M(-2;-5) có thuộc d: 4x − 2y − 2=0 không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thế tọa độ M vào vế trái.
Lời giải: 4·-2 − 2·(-5) − 2 = 0, nên M thuộc d.
Vì sao: Điểm thuộc đường khi và chỉ khi tọa độ làm phương trình đúng.
Sai ở đâu: Chỉ nhìn hình dung vị trí rồi kết luận.
Cách khác: Nhận AM⃗=(b;−a), cùng phương với vectơ chỉ phương của d.
T10-B19-NB-08Lập phương trình đường trung trực của đoạn AB với A(-2;0), B(2;0).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đường trung trực đi qua trung điểm và vuông góc AB.
Lời giải: Trung điểm là O(0;0), AB nằm ngang nên đường trung trực là trục Oy: x=0.
Vì sao: Đường trung trực là tập hợp điểm cách đều A và B.
Sai ở đâu: Viết y=0 là đường thẳng AB, không phải đường trung trực.
Cách khác: Giải (x+2)²+y²=(x−2)²+y² ⇒ x=0.
T10-B19-NB-09Lập đường thẳng qua A(2;1) và B(4;-3).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: AB⃗=(2;-4) là vectơ chỉ phương; chọn pháp tuyến (-4;-2).
Lời giải: Dùng -4(x−2) − 2(y−1)=0.
Vì sao: Hai điểm phân biệt xác định duy nhất một đường thẳng.
Sai ở đâu: Lấy AB⃗ làm pháp tuyến nên tạo đường vuông góc với AB.
Cách khác: Viết phương trình tham số x=x₀+at, y=y₀+bt.
T10-B19-NB-10Lập phương trình tổng quát của đường thẳng qua A(3;2) và có vectơ pháp tuyến n⃗=(3;2).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.
Lời giải: 3(x−3) + 2(y−2)=0 ⇔ 3x + 2y − 13=0.
Vì sao: Vectơ pháp tuyến cung cấp trực tiếp hai hệ số của x và y.
Sai ở đâu: Dùng n⃗ làm vectơ chỉ phương hoặc quên thay tọa độ điểm.
Cách khác: Thế A vào: 0=0.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng 1x+2y-1=0 là:
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính giá trị của y = -1(x + 1)² − 4 tại x = 1.
Gợi ý: Tính x−h trước rồi mới bình phương.
Lời giải: y = -1·(2)² − 4 = -8.
Giải thích: Dạng đỉnh làm phép thay số ngắn và ít sai dấu.
Lỗi cần tránh: Bình phương sau khi nhân a hoặc quên ngoặc với số âm.
Cách khác: Điểm x = 1 cách trục đối xứng 2 đơn vị.
TỰ LUẬN 2Nêu một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 3x + 4y + 11=0.
Gợi ý: Nếu n⃗=(a;b) là pháp tuyến thì u⃗=(b;−a) là chỉ phương.
Lời giải: Một vectơ pháp tuyến là (3;4), nên có thể chọn u⃗=(4;-3).
Giải thích: Chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến: a·b+b·(−a)=0.
Lỗi cần tránh: Lấy luôn (a;b) làm chỉ phương.
Cách khác: Cũng có thể chọn u⃗=(-4;3), là vectơ đối.
TỰ LUẬN 3Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(-3;3) và có vectơ chỉ phương u⃗=(4;-3).
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cộng t lần tọa độ vectơ chỉ phương.
Lời giải: x=-3+4t, y=3− 3t (t∈ℝ).
Giải thích: Khi t biến thiên, điểm chạy theo đúng hướng u⃗ trên đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Đổi hai thành phần của u⃗ hoặc dùng dấu trừ tùy ý.
Cách khác: Cho t=0 để kiểm đường thẳng đi qua A.
TỰ LUẬN 4Lập phương trình tổng quát của đường thẳng qua A(2;-1) và có vectơ pháp tuyến n⃗=(1;2).
Gợi ý: Dùng a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.
Lời giải: 1(x−2) + 2(y−-1)=0 ⇔ 1x + 2y + 0=0.
Giải thích: Vectơ pháp tuyến cung cấp trực tiếp hai hệ số của x và y.
Lỗi cần tránh: Dùng n⃗ làm vectơ chỉ phương hoặc quên thay tọa độ điểm.
Cách khác: Thế A vào: 0=0.
TỰ LUẬN 5Cho y = 1(x − 2)² − 1. Xác định đỉnh và trục đối xứng.
Gợi ý: Đọc trực tiếp dạng y = a(x−h)²+k.
Lời giải: Parabol có đỉnh I(2; -1) và trục đối xứng x = 2.
Giải thích: Dạng đỉnh cho hình học của parabol mà không cần khai triển.
Lỗi cần tránh: Đổi sai dấu hoành độ đỉnh: thấy x+h lại ghi h.
Cách khác: Thay x = h để kiểm y = k và hai điểm h±1 có cùng tung độ.
TỰ LUẬN 6Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(2;-3) và có vectơ chỉ phương u⃗=(4;-3).
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cộng t lần tọa độ vectơ chỉ phương.
Lời giải: x=2+4t, y=-3− 3t (t∈ℝ).
Giải thích: Khi t biến thiên, điểm chạy theo đúng hướng u⃗ trên đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Đổi hai thành phần của u⃗ hoặc dùng dấu trừ tùy ý.
Cách khác: Cho t=0 để kiểm đường thẳng đi qua A.
TỰ LUẬN 7Lập phương trình tổng quát của đường thẳng qua A(0;2) và có vectơ pháp tuyến n⃗=(1;2).
Gợi ý: Dùng a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.
Lời giải: 1(x−0) + 2(y−2)=0 ⇔ 1x + 2y − 4=0.
Giải thích: Vectơ pháp tuyến cung cấp trực tiếp hai hệ số của x và y.
Lỗi cần tránh: Dùng n⃗ làm vectơ chỉ phương hoặc quên thay tọa độ điểm.
Cách khác: Thế A vào: 0=0.
TỰ LUẬN 8Lập đường thẳng qua A(-2;-2) và B(0;-6).
Gợi ý: AB⃗=(2;-4) là vectơ chỉ phương; chọn pháp tuyến (-4;-2).
Lời giải: Dùng -4(x−-2) − 2(y−-2)=0.
Giải thích: Hai điểm phân biệt xác định duy nhất một đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Lấy AB⃗ làm pháp tuyến nên tạo đường vuông góc với AB.
Cách khác: Viết phương trình tham số x=x₀+at, y=y₀+bt.
TỰ LUẬN 9Tính giá trị của y = -1(x + 2)² + 2 tại x = 0.
Gợi ý: Tính x−h trước rồi mới bình phương.
Lời giải: y = -1·(2)² + 2 = -2.
Giải thích: Dạng đỉnh làm phép thay số ngắn và ít sai dấu.
Lỗi cần tránh: Bình phương sau khi nhân a hoặc quên ngoặc với số âm.
Cách khác: Điểm x = 0 cách trục đối xứng 2 đơn vị.
TỰ LUẬN 10Lập phương trình tổng quát của đường thẳng qua A(-2;-4) và có vectơ pháp tuyến n⃗=(1;2).
Gợi ý: Dùng a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.
Lời giải: 1(x−-2) + 2(y−-4)=0 ⇔ 1x + 2y + 10=0.
Giải thích: Vectơ pháp tuyến cung cấp trực tiếp hai hệ số của x và y.
Lỗi cần tránh: Dùng n⃗ làm vectơ chỉ phương hoặc quên thay tọa độ điểm.
Cách khác: Thế A vào: 0=0.
TỰ LUẬN 11Lập đường thẳng qua A(3;1) và B(5;-3).
Gợi ý: AB⃗=(2;-4) là vectơ chỉ phương; chọn pháp tuyến (-4;-2).
Lời giải: Dùng -4(x−3) − 2(y−1)=0.
Giải thích: Hai điểm phân biệt xác định duy nhất một đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Lấy AB⃗ làm pháp tuyến nên tạo đường vuông góc với AB.
Cách khác: Viết phương trình tham số x=x₀+at, y=y₀+bt.
TỰ LUẬN 12Vectơ (2;3) là pháp tuyến của đường thẳng 2x+3y-1=0. Hãy kiểm tra bằng cách thay tọa độ vào phương trình.
Gợi ý: Hai hệ số của x và y tạo thành một vectơ pháp tuyến.
Lời giải: Hai hệ số của x và y tạo thành một vectơ pháp tuyến. Do đó phát biểu đúng.
Giải thích: Hai hệ số của x và y tạo thành một vectơ pháp tuyến. Do đó phát biểu đúng.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: truth-line-normal-0-1
TỰ LUẬN 13Cho y = 1(x − 1)² − 4. Xác định đỉnh và trục đối xứng.
Gợi ý: Đọc trực tiếp dạng y = a(x−h)²+k.
Lời giải: Parabol có đỉnh I(1; -4) và trục đối xứng x = 1.
Giải thích: Dạng đỉnh cho hình học của parabol mà không cần khai triển.
Lỗi cần tránh: Đổi sai dấu hoành độ đỉnh: thấy x+h lại ghi h.
Cách khác: Thay x = h để kiểm y = k và hai điểm h±1 có cùng tung độ.
TỰ LUẬN 14Lập đường thẳng qua A(1;4) và B(3;0).
Gợi ý: AB⃗=(2;-4) là vectơ chỉ phương; chọn pháp tuyến (-4;-2).
Lời giải: Dùng -4(x−1) − 2(y−4)=0.
Giải thích: Hai điểm phân biệt xác định duy nhất một đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Lấy AB⃗ làm pháp tuyến nên tạo đường vuông góc với AB.
Cách khác: Viết phương trình tham số x=x₀+at, y=y₀+bt.
TỰ LUẬN 15Tìm m để đường thẳng x=m tiếp xúc với đường tròn (x-2)²+y²=16 ở phía bên phải tâm.
Gợi ý: Khoảng cách từ tâm I(2;0) đến x=m phải bằng bán kính 4.
Lời giải: Khoảng cách từ tâm I(2;0) đến x=m phải bằng bán kính 4. Ở phía phải tâm nên m-2=4, suy ra m=6.
Giải thích: Khoảng cách từ tâm I(2;0) đến x=m phải bằng bán kính 4. Ở phía phải tâm nên m-2=4, suy ra m=6.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: short-synthesis-tangent-parameter-4-0
TỰ LUẬN 16Điểm M(-5;-8) có thuộc d: 4x − 2y + 4=0 không?
Gợi ý: Thế tọa độ M vào vế trái.
Lời giải: 4·-5 − 2·(-8) + 4 = 0, nên M thuộc d.
Giải thích: Điểm thuộc đường khi và chỉ khi tọa độ làm phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: Chỉ nhìn hình dung vị trí rồi kết luận.
Cách khác: Nhận AM⃗=(b;−a), cùng phương với vectơ chỉ phương của d.
TỰ LUẬN 17Tính giá trị của y = -1(x + 3)² − 1 tại x = -1.
Gợi ý: Tính x−h trước rồi mới bình phương.
Lời giải: y = -1·(2)² − 1 = -5.
Giải thích: Dạng đỉnh làm phép thay số ngắn và ít sai dấu.
Lỗi cần tránh: Bình phương sau khi nhân a hoặc quên ngoặc với số âm.
Cách khác: Điểm x = -1 cách trục đối xứng 2 đơn vị.
TỰ LUẬN 18Đường tròn (x-3)²+(y+4)²=25 có tâm và bán kính: Cần phân biệt vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.
Gợi ý: So sánh với (x-a)²+(y-b)²=R².
Lời giải: So sánh với (x-a)²+(y-b)²=R². Tâm là I(3;-4) và bán kính R=√25=5.
Giải thích: So sánh với (x-a)²+(y-b)²=R². Tâm là I(3;-4) và bán kính R=√25=5.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: circle-center-radius-0-2
TỰ LUẬN 19Điểm M(0;-5) có thuộc d: 4x − 2y − 10=0 không?
Gợi ý: Thế tọa độ M vào vế trái.
Lời giải: 4·0 − 2·(-5) − 10 = 0, nên M thuộc d.
Giải thích: Điểm thuộc đường khi và chỉ khi tọa độ làm phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: Chỉ nhìn hình dung vị trí rồi kết luận.
Cách khác: Nhận AM⃗=(b;−a), cùng phương với vectơ chỉ phương của d.
TỰ LUẬN 20Nêu một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 1x + 4y − 16=0.
Gợi ý: Nếu n⃗=(a;b) là pháp tuyến thì u⃗=(b;−a) là chỉ phương.
Lời giải: Một vectơ pháp tuyến là (1;4), nên có thể chọn u⃗=(4;-1).
Giải thích: Chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến: a·b+b·(−a)=0.
Lỗi cần tránh: Lấy luôn (a;b) làm chỉ phương.
Cách khác: Cũng có thể chọn u⃗=(-4;1), là vectơ đối.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B19-NB-01, T10-B19-NB-02, T10-B19-NB-03, T10-B19-NB-04, T10-B19-NB-05, T10-B19-NB-06, T10-B19-NB-07, T10-B19-NB-08, T10-B19-NB-09, T10-B19-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B19-NB-01: -8
- T10-B19-NB-02: (3; −2)
- T10-B19-NB-03: 0
- T10-B19-NB-04: 1x + 2y + 11 = 0
- T10-B19-NB-05: x=-2+2t; y=-3− 3t
- T10-B19-NB-06: (4; -3)
- T10-B19-NB-07: Có
- T10-B19-NB-08: x = 0
- T10-B19-NB-09: -4(x−2) − 2(y−1) = 0
- T10-B19-NB-10: 3x + 2y − 13 = 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 7
10 câu đại diện: T10-B19-NB-11, T10-B19-NB-12, T10-B19-NB-13, T10-B19-NB-14, T10-B19-NB-15, T10-B19-NB-16, T10-B19-NB-17, T10-B19-NB-18, T10-B19-NB-19, T10-B19-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B19-NB-11: x=-3+4t; y=3− 3t
- T10-B19-NB-12: (4; -1)
- T10-B19-NB-13: Có
- T10-B19-NB-14: x = 0
- T10-B19-NB-15: -4(x−1) − 4(y−-2) = 0
- T10-B19-NB-16: 1x + 2y + 0 = 0
- T10-B19-NB-17: x=3+2t; y=0− 3t
- T10-B19-NB-18: (4; -3)
- T10-B19-NB-19: Có
- T10-B19-NB-20: 36
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B19-TH-01, T10-B19-TH-02, T10-B19-TH-03, T10-B19-TH-04, T10-B19-TH-05, T10-B19-TH-06, T10-B19-TH-07, T10-B19-TH-08, T10-B19-TH-09, T10-B19-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B19-TH-01: I(2; -1), x = 2
- T10-B19-TH-02: (3; −2)
- T10-B19-TH-03: 7
- T10-B19-TH-04: -4(x−0) − 2(y−4) = 0
- T10-B19-TH-05: 3x + 2y + 5 = 0
- T10-B19-TH-06: x=2+4t; y=-3− 3t
- T10-B19-TH-07: (4; -1)
- T10-B19-TH-08: Có
- T10-B19-TH-09: n=(1;2)
- T10-B19-TH-10: -4(x−-1) − 4(y−1) = 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B19-TH-11, T10-B19-TH-12, T10-B19-TH-13, T10-B19-TH-14, T10-B19-TH-15, T10-B19-TH-16, T10-B19-TH-17, T10-B19-TH-18, T10-B19-TH-19, T10-B19-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B19-TH-11: 1x + 2y − 4 = 0
- T10-B19-TH-12: x=1+2t; y=3− 3t
- T10-B19-TH-13: (4; -3)
- T10-B19-TH-14: Có
- T10-B19-TH-15: 1x+2y-5=0
- T10-B19-TH-16: -4(x−-2) − 2(y−-2) = 0
- T10-B19-TH-17: 3x + 2y + 5 = 0
- T10-B19-TH-18: x=0+4t; y=0− 3t
- T10-B19-TH-19: (4; -1)
- T10-B19-TH-20: Có
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B19-VD-01, T10-B19-VD-02, T10-B19-VD-03, T10-B19-VD-04, T10-B19-VD-05, T10-B19-VD-06, T10-B19-VD-07, T10-B19-VD-08, T10-B19-VD-09, T10-B19-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B19-VD-01: -2
- T10-B19-VD-02: (3; −2)
- T10-B19-VD-03: 0
- T10-B19-VD-04: Đúng
- T10-B19-VD-05: -4(x−-3) − 4(y−4) = 0
- T10-B19-VD-06: 1x + 2y + 10 = 0
- T10-B19-VD-07: x=-1+2t; y=-3− 3t
- T10-B19-VD-08: (4; -3)
- T10-B19-VD-09: Có
- T10-B19-VD-10: 6
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.