Nhìn cấu trúc trước
Học vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. góc và khoảng cách bằng quan hệ giữa đại số, đồ thị và hình học, không học công thức rời.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Số nghiệm hệ bằng số giao điểm.
- Pháp tuyến cùng phương chưa đủ phân biệt song song và trùng.
- Công thức góc dùng trị tuyệt đối.
Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
Một trang kết nối ba nhiệm vụ lớn: nhận vị trí hai đường, tính góc và đo khoảng cách; học sinh luôn dự đoán hình trước khi giải hệ hoặc thay công thức.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi lời giải bắt đầu từ dữ kiện, điều kiện, mục tiêu và phép kiểm.
Gắn với thực tiễn
Bài toán chi phí, quỹ đạo, đo đạc, bản đồ và thiết kế cho thấy ý nghĩa của mô hình.
Không phụ thuộc đáp án
Thế ngược, đọc đồ thị, so dấu, kiểm đơn vị hoặc dùng cách giải độc lập.
- Xác định cắt, song song hoặc trùng.
- Tìm giao điểm hai đường.
- Tính góc giữa hai đường.
- Tính khoảng cách điểm–đường và hai đường song song.
- Phương trình đường thẳng.
- Giải hệ hai ẩn.
- Tích vô hướng và độ dài.
- Giá trị lượng giác góc.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Vị trí tương đối
Hiểu đơn giản: Hai đường cắt, song song phân biệt hoặc trùng nhau.
Giải hệ hai phương trình; 1 nghiệm: cắt, vô nghiệm: song song, vô số nghiệm: trùng.
Ví dụ: x+y=2 và x−y=0 cắt tại (1;1).
Hình nên dùng: Ba cấu hình đường thẳng.
Mô phỏng: Đổi c và xem giao điểm.
Mẹo nhớ: Số nghiệm hệ = số giao điểm.
Sai lầm: Chỉ so pháp tuyến nên không phân biệt song song với trùng.
Ghi chú: Đường vuông góc là trường hợp đặc biệt của cắt nhau.
Góc giữa hai đường
Hiểu đơn giản: Đo góc không tù giữa hai hướng đường thẳng.
cosφ=|a₁a₂+b₁b₂|/[√(a₁²+b₁²)√(a₂²+b₂²)].
Ví dụ: Pháp tuyến vuông góc cho φ=90°.
Hình nên dùng: Hai đường và góc nhọn.
Mô phỏng: Quay một đường.
Mẹo nhớ: Tích pháp tuyến, lấy trị tuyệt đối.
Sai lầm: Bỏ trị tuyệt đối.
Ghi chú: Công thức dùng được cả đường thẳng đứng.
Khoảng cách điểm–đường
Hiểu đơn giản: Đo đoạn vuông góc ngắn nhất từ điểm đến đường.
d(M,d)=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²).
Ví dụ: d(O,3x+4y−10=0)=2.
Hình nên dùng: Chân đường vuông góc.
Mô phỏng: Kéo M và theo dõi d.
Mẹo nhớ: Thế điểm–trị tuyệt đối–chia độ dài pháp tuyến.
Sai lầm: Quên căn hoặc trị tuyệt đối.
Ghi chú: Nếu M thuộc d thì khoảng cách bằng 0.
Khoảng cách hai đường song song
Hiểu đơn giản: Lấy một điểm trên đường này đo đến đường kia.
ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0 ⇒ d=|c₂−c₁|/√(a²+b²).
Ví dụ: 3x+4y=0 và 3x+4y−10=0 cách 2.
Hình nên dùng: Dải song song có độ rộng cố định.
Mô phỏng: Kéo c₂.
Mẹo nhớ: Hiệu c chia độ dài pháp tuyến.
Sai lầm: Áp dụng khi hai bộ (a;b) chưa được chuẩn hóa giống nhau.
Ghi chú: Nhân một phương trình để đưa về cùng a,b trước.
Bài toán hình học tọa độ
Hiểu đơn giản: Đường cao, trung tuyến, phân giác và trung trực đều bắt đầu từ đúng điểm và đúng hướng.
Đường cao: qua đỉnh, vuông góc cạnh đối; trung tuyến: qua đỉnh và trung điểm.
Ví dụ: Đường cao nhận vectơ cạnh đối làm pháp tuyến.
Hình nên dùng: Tam giác và bốn đường đặc biệt.
Mô phỏng: Kéo đỉnh và cập nhật đường.
Mẹo nhớ: Điểm nào? Hướng nào?
Sai lầm: Đúng hướng nhưng đi qua sai điểm.
Ghi chú: Thế điểm bắt buộc vào phương trình cuối.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB VỊ TRÍ & GÓC
So hai đường tổng quát
Nhập d₁:a₁x+b₁y+c₁=0 và d₂:a₂x+b₂y+c₂=0.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Xét d₁: 1x + 2y − 1=0 và d₂: 2x − 1y + 2=0. Hai đường có vuông góc không?
Phân tích: Hai đường vuông góc khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc.
Hướng làm: Dùng tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Dùng tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến.
- Bước 3: n⃗₁·n⃗₂ = 1·2+2·(-1)=0, nên d₁ ⟂ d₂.
Vì sao: Hai đường vuông góc khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc.
Cách khác: Chọn vectơ chỉ phương tương ứng và kiểm tích vô hướng.
Tự kiểm: Đáp số: Vuông góc. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Xét d₁: 2x+3y−1=0 và d₂: 6x+9y−3=0.
Phân tích: Tỉ lệ cả a, b, c là điều kiện hai phương trình trùng nhau.
Hướng làm: So sánh bộ ba hệ số.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: So sánh bộ ba hệ số.
- Bước 3: Các hệ số của d₂ bằng 3 lần d₁, nên hai phương trình biểu diễn cùng một đường thẳng.
Vì sao: Tỉ lệ cả a, b, c là điều kiện hai phương trình trùng nhau.
Cách khác: Chia toàn bộ phương trình d₂ cho k.
Tự kiểm: Đáp số: Trùng nhau. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Tìm giao điểm của d₁: x+y=-1 và d₂: x−y=-1.
Phân tích: Giao điểm là nghiệm duy nhất của hệ hai phương trình đường thẳng cắt nhau.
Hướng làm: Cộng và trừ hai phương trình.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Cộng và trừ hai phương trình.
- Bước 3: Cộng hai phương trình: 2x=-2 ⇒ x=-1; suy ra y=0. Giao điểm I(-1;0).
Vì sao: Giao điểm là nghiệm duy nhất của hệ hai phương trình đường thẳng cắt nhau.
Cách khác: Nhận hệ đã được thiết kế theo tổng và hiệu của p, q.
Tự kiểm: Đáp số: I(-1; 0). Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Tính cos góc giữa d₁ có pháp tuyến (1;5) và d₂ có pháp tuyến (5;-1).
Phân tích: Góc giữa hai đường được chọn là góc không tù nên công thức có trị tuyệt đối.
Hướng làm: Dùng trị tuyệt đối tích vô hướng chia tích độ dài.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Dùng trị tuyệt đối tích vô hướng chia tích độ dài.
- Bước 3: cosφ = |0|/[√26·√26] = 0; φ=90°.
Vì sao: Góc giữa hai đường được chọn là góc không tù nên công thức có trị tuyệt đối.
Cách khác: Hai pháp tuyến vuông góc nên hai đường cũng vuông góc.
Tự kiểm: Đáp số: cosφ = 0; φ = 90°. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Tính khoảng cách từ O(0;0) đến d: 3x+4y−5=0.
Phân tích: Mẫu số là độ dài vectơ pháp tuyến.
Hướng làm: Dùng |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²).
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Dùng |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²).
- Bước 3: d(O,d)=|−5|/√(3²+4²)=5/5=1.
Vì sao: Mẫu số là độ dài vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Hạ vuông góc từ O và dùng tam giác 3–4–5.
Tự kiểm: Đáp số: 1. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Tính khoảng cách giữa d₁: 3x+4y+5=0 và d₂: 3x+4y+15=0.
Phân tích: Khoảng cách hai đường song song không phụ thuộc điểm chọn.
Hướng làm: Hai đường song song và đã có cùng hệ số a, b.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Hai đường song song và đã có cùng hệ số a, b.
- Bước 3: d(d₁,d₂)=|15−5|/√(3²+4²)=10/5=2.
Vì sao: Khoảng cách hai đường song song không phụ thuộc điểm chọn.
Cách khác: Lấy một điểm bất kỳ trên d₁ rồi tính khoảng cách đến d₂.
Tự kiểm: Đáp số: 2. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Xét d₁: 1x + 4y − 1=0 và d₂: 4x − 1y + 2=0. Hai đường có vuông góc không?
Phân tích: Hai đường vuông góc khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc.
Hướng làm: Dùng tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Dùng tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến.
- Bước 3: n⃗₁·n⃗₂ = 1·4+4·(-1)=0, nên d₁ ⟂ d₂.
Vì sao: Hai đường vuông góc khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc.
Cách khác: Chọn vectơ chỉ phương tương ứng và kiểm tích vô hướng.
Tự kiểm: Đáp số: Vuông góc. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Xét d₁: 2x+5y−1=0 và d₂: 6x+15y−3=0.
Phân tích: Tỉ lệ cả a, b, c là điều kiện hai phương trình trùng nhau.
Hướng làm: So sánh bộ ba hệ số.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: So sánh bộ ba hệ số.
- Bước 3: Các hệ số của d₂ bằng 3 lần d₁, nên hai phương trình biểu diễn cùng một đường thẳng.
Vì sao: Tỉ lệ cả a, b, c là điều kiện hai phương trình trùng nhau.
Cách khác: Chia toàn bộ phương trình d₂ cho k.
Tự kiểm: Đáp số: Trùng nhau. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Tìm giao điểm của d₁: x+y=-1 và d₂: x−y=-3.
Phân tích: Giao điểm là nghiệm duy nhất của hệ hai phương trình đường thẳng cắt nhau.
Hướng làm: Cộng và trừ hai phương trình.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Cộng và trừ hai phương trình.
- Bước 3: Cộng hai phương trình: 2x=-4 ⇒ x=-2; suy ra y=1. Giao điểm I(-2;1).
Vì sao: Giao điểm là nghiệm duy nhất của hệ hai phương trình đường thẳng cắt nhau.
Cách khác: Nhận hệ đã được thiết kế theo tổng và hiệu của p, q.
Tự kiểm: Đáp số: I(-2; 1). Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Tính cos góc giữa d₁ có pháp tuyến (1;3) và d₂ có pháp tuyến (3;-1).
Phân tích: Góc giữa hai đường được chọn là góc không tù nên công thức có trị tuyệt đối.
Hướng làm: Dùng trị tuyệt đối tích vô hướng chia tích độ dài.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Dùng trị tuyệt đối tích vô hướng chia tích độ dài.
- Bước 3: cosφ = |0|/[√10·√10] = 0; φ=90°.
Vì sao: Góc giữa hai đường được chọn là góc không tù nên công thức có trị tuyệt đối.
Cách khác: Hai pháp tuyến vuông góc nên hai đường cũng vuông góc.
Tự kiểm: Đáp số: cosφ = 0; φ = 90°. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Chi phí và lựa chọn
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách giúp mô hình hóa giá, quãng đường, diện tích và phương án phù hợp với ràng buộc thật.
Dự án đo đạc
Học sinh lấy dữ kiện thật, dựng mô hình, nêu sai số và kiểm kết quả bằng cách thứ hai.
Đọc đồ thị và bản đồ
Đồ thị, tọa độ và khoảng cách biến thông tin trực quan thành quyết định định lượng.
Mô hình chuyển động
Quỹ đạo, tốc độ và vị trí được biểu diễn bằng hàm số hoặc phương trình hình học.
Thiết kế có kiểm chứng
Cầu vòm, đường đi, vùng phủ và chi tiết tròn cần công thức kèm điều kiện an toàn.
Tối ưu nguyên liệu
Hàm bậc hai và miền nghiệm giúp tìm kích thước cho hiệu quả cao nhất trong mô hình phù hợp.
Quỹ đạo và phản xạ
Parabol, elip và hypebol xuất hiện trong chuyển động, âm thanh, ánh sáng và thiên văn.
Ngôn ngữ định lượng
Kiến trúc, bản đồ, robot, dữ liệu, logistics và đồ họa đều dùng hàm số và tọa độ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Vị trí tương đối dùng khi nào?
Hai đường cắt, song song phân biệt hoặc trùng nhau. Dấu hiệu: Số nghiệm hệ = số giao điểm.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Chỉ so pháp tuyến nên không phân biệt song song với trùng.
Quay lại Vị trí tương đối: Giải hệ hai phương trình; 1 nghiệm: cắt, vô nghiệm: song song, vô số nghiệm: trùng. Kiểm nhanh bằng x+y=2 và x−y=0 cắt tại (1;1).
2. Bỏ trị tuyệt đối.
Quay lại Góc giữa hai đường: cosφ=|a₁a₂+b₁b₂|/[√(a₁²+b₁²)√(a₂²+b₂²)]. Kiểm nhanh bằng Pháp tuyến vuông góc cho φ=90°.
3. Quên căn hoặc trị tuyệt đối.
Quay lại Khoảng cách điểm–đường: d(M,d)=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). Kiểm nhanh bằng d(O,3x+4y−10=0)=2.
4. Áp dụng khi hai bộ (a;b) chưa được chuẩn hóa giống nhau.
Quay lại Khoảng cách hai đường song song: ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0 ⇒ d=|c₂−c₁|/√(a²+b²). Kiểm nhanh bằng 3x+4y=0 và 3x+4y−10=0 cách 2.
5. Đúng hướng nhưng đi qua sai điểm.
Quay lại Bài toán hình học tọa độ: Đường cao: qua đỉnh, vuông góc cạnh đối; trung tuyến: qua đỉnh và trung điểm. Kiểm nhanh bằng Đường cao nhận vectơ cạnh đối làm pháp tuyến.
6. Chỉ so pháp tuyến nên không phân biệt song song với trùng.
Quay lại Vị trí tương đối: Giải hệ hai phương trình; 1 nghiệm: cắt, vô nghiệm: song song, vô số nghiệm: trùng. Kiểm nhanh bằng x+y=2 và x−y=0 cắt tại (1;1).
7. Bỏ trị tuyệt đối.
Quay lại Góc giữa hai đường: cosφ=|a₁a₂+b₁b₂|/[√(a₁²+b₁²)√(a₂²+b₂²)]. Kiểm nhanh bằng Pháp tuyến vuông góc cho φ=90°.
8. Quên căn hoặc trị tuyệt đối.
Quay lại Khoảng cách điểm–đường: d(M,d)=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). Kiểm nhanh bằng d(O,3x+4y−10=0)=2.
9. Áp dụng khi hai bộ (a;b) chưa được chuẩn hóa giống nhau.
Quay lại Khoảng cách hai đường song song: ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0 ⇒ d=|c₂−c₁|/√(a²+b²). Kiểm nhanh bằng 3x+4y=0 và 3x+4y−10=0 cách 2.
10. Đúng hướng nhưng đi qua sai điểm.
Quay lại Bài toán hình học tọa độ: Đường cao: qua đỉnh, vuông góc cạnh đối; trung tuyến: qua đỉnh và trung điểm. Kiểm nhanh bằng Đường cao nhận vectơ cạnh đối làm pháp tuyến.
11. Chỉ so pháp tuyến nên không phân biệt song song với trùng.
Quay lại Vị trí tương đối: Giải hệ hai phương trình; 1 nghiệm: cắt, vô nghiệm: song song, vô số nghiệm: trùng. Kiểm nhanh bằng x+y=2 và x−y=0 cắt tại (1;1).
12. Bỏ trị tuyệt đối.
Quay lại Góc giữa hai đường: cosφ=|a₁a₂+b₁b₂|/[√(a₁²+b₁²)√(a₂²+b₂²)]. Kiểm nhanh bằng Pháp tuyến vuông góc cho φ=90°.
13. Quên căn hoặc trị tuyệt đối.
Quay lại Khoảng cách điểm–đường: d(M,d)=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). Kiểm nhanh bằng d(O,3x+4y−10=0)=2.
14. Áp dụng khi hai bộ (a;b) chưa được chuẩn hóa giống nhau.
Quay lại Khoảng cách hai đường song song: ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0 ⇒ d=|c₂−c₁|/√(a²+b²). Kiểm nhanh bằng 3x+4y=0 và 3x+4y−10=0 cách 2.
15. Đúng hướng nhưng đi qua sai điểm.
Quay lại Bài toán hình học tọa độ: Đường cao: qua đỉnh, vuông góc cạnh đối; trung tuyến: qua đỉnh và trung điểm. Kiểm nhanh bằng Đường cao nhận vectơ cạnh đối làm pháp tuyến.
16. Chỉ so pháp tuyến nên không phân biệt song song với trùng.
Quay lại Vị trí tương đối: Giải hệ hai phương trình; 1 nghiệm: cắt, vô nghiệm: song song, vô số nghiệm: trùng. Kiểm nhanh bằng x+y=2 và x−y=0 cắt tại (1;1).
17. Bỏ trị tuyệt đối.
Quay lại Góc giữa hai đường: cosφ=|a₁a₂+b₁b₂|/[√(a₁²+b₁²)√(a₂²+b₂²)]. Kiểm nhanh bằng Pháp tuyến vuông góc cho φ=90°.
18. Quên căn hoặc trị tuyệt đối.
Quay lại Khoảng cách điểm–đường: d(M,d)=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). Kiểm nhanh bằng d(O,3x+4y−10=0)=2.
19. Áp dụng khi hai bộ (a;b) chưa được chuẩn hóa giống nhau.
Quay lại Khoảng cách hai đường song song: ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0 ⇒ d=|c₂−c₁|/√(a²+b²). Kiểm nhanh bằng 3x+4y=0 và 3x+4y−10=0 cách 2.
20. Đúng hướng nhưng đi qua sai điểm.
Quay lại Bài toán hình học tọa độ: Đường cao: qua đỉnh, vuông góc cạnh đối; trung tuyến: qua đỉnh và trung điểm. Kiểm nhanh bằng Đường cao nhận vectơ cạnh đối làm pháp tuyến.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Miền trước, phép tính sau
Ghi tập xác định hoặc điều kiện hình học trước khi biến đổi.
Dự đoán bằng hình
Ước lượng số nghiệm, dấu, vị trí, hướng mở hoặc số giao điểm trước khi tính.
Một công thức–một phép kiểm
Thế ngược điểm, nghiệm hoặc tọa độ vào phương trình ban đầu.
Hai biểu diễn
Luân phiên đại số ↔ đồ thị, phương trình tổng quát ↔ tham số để hiểu bản chất.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi lỗi, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Ôn flashcard sau 1 ngày, bài trộn sau 3 ngày và đề ngắn sau 7 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách1 2 3 4 5
Vị trí tương đốiSố nghiệm hệ = số giao điểm.
Góc giữa hai đườngTích pháp tuyến, lấy trị tuyệt đối.
Khoảng cách điểm–đườngThế điểm–trị tuyệt đối–chia độ dài pháp tuyến.
Khoảng cách hai đường song songHiệu c chia độ dài pháp tuyến.
Bài toán hình học tọa độĐiểm nào? Hướng nào?
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
T10-B20-NB-01Tính giá trị của y = -1(x + 1)² − 4 tại x = 1.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính x−h trước rồi mới bình phương.
Lời giải: y = -1·(2)² − 4 = -8.
Vì sao: Dạng đỉnh làm phép thay số ngắn và ít sai dấu.
Sai ở đâu: Bình phương sau khi nhân a hoặc quên ngoặc với số âm.
Cách khác: Điểm x = 1 cách trục đối xứng 2 đơn vị.
T10-B20-NB-02Ôn vectơ: Với A(-1;-2), B(2;-4), tính AB⃗.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗=(3;-2)=(3;−2).
Vì sao: Tọa độ vectơ là nền trực tiếp của phương trình đường thẳng.
Sai ở đâu: Lấy điểm đầu A trừ điểm cuối B.
Cách khác: Kiểm A+AB⃗=B.
T10-B20-NB-03Ôn tích vô hướng: (3;4)·(−4;3) bằng bao nhiêu?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: 3·(−4)+4·3=0.
Vì sao: Tích bằng 0 cho thấy hai vectơ khác 0 vuông góc.
Sai ở đâu: Nhân chéo rồi cộng.
Cách khác: Nhận (−4;3) là phép quay 90° của (3;4).
T10-B20-NB-04Xét d₁: 1x + 2y − 1=0 và d₂: 2x − 1y + 2=0. Hai đường có vuông góc không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến.
Lời giải: n⃗₁·n⃗₂ = 1·2+2·(-1)=0, nên d₁ ⟂ d₂.
Vì sao: Hai đường vuông góc khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc.
Sai ở đâu: So hai hệ số góc nhưng xử lí sai đường thẳng đứng.
Cách khác: Chọn vectơ chỉ phương tương ứng và kiểm tích vô hướng.
T10-B20-NB-05Xét d₁: 2x+3y−1=0 và d₂: 6x+9y−3=0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh bộ ba hệ số.
Lời giải: Các hệ số của d₂ bằng 3 lần d₁, nên hai phương trình biểu diễn cùng một đường thẳng.
Vì sao: Tỉ lệ cả a, b, c là điều kiện hai phương trình trùng nhau.
Sai ở đâu: Chỉ thấy pháp tuyến cùng phương rồi kết luận song song phân biệt.
Cách khác: Chia toàn bộ phương trình d₂ cho k.
T10-B20-NB-06Tìm giao điểm của d₁: x+y=-1 và d₂: x−y=-1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng và trừ hai phương trình.
Lời giải: Cộng hai phương trình: 2x=-2 ⇒ x=-1; suy ra y=0. Giao điểm I(-1;0).
Vì sao: Giao điểm là nghiệm duy nhất của hệ hai phương trình đường thẳng cắt nhau.
Sai ở đâu: Giải đúng x nhưng thế sai dấu để tìm y.
Cách khác: Nhận hệ đã được thiết kế theo tổng và hiệu của p, q.
T10-B20-NB-07Tính cos góc giữa d₁ có pháp tuyến (1;5) và d₂ có pháp tuyến (5;-1).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng trị tuyệt đối tích vô hướng chia tích độ dài.
Lời giải: cosφ = |0|/[√26·√26] = 0; φ=90°.
Vì sao: Góc giữa hai đường được chọn là góc không tù nên công thức có trị tuyệt đối.
Sai ở đâu: Bỏ trị tuyệt đối hoặc dùng sin thay cos.
Cách khác: Hai pháp tuyến vuông góc nên hai đường cũng vuông góc.
T10-B20-NB-08Tính khoảng cách từ O(0;0) đến d: 3x+4y−5=0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²).
Lời giải: d(O,d)=|−5|/√(3²+4²)=5/5=1.
Vì sao: Mẫu số là độ dài vectơ pháp tuyến.
Sai ở đâu: Quên trị tuyệt đối hoặc quên căn ở mẫu.
Cách khác: Hạ vuông góc từ O và dùng tam giác 3–4–5.
T10-B20-NB-09Tính khoảng cách giữa d₁: 3x+4y+5=0 và d₂: 3x+4y+15=0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai đường song song và đã có cùng hệ số a, b.
Lời giải: d(d₁,d₂)=|15−5|/√(3²+4²)=10/5=2.
Vì sao: Khoảng cách hai đường song song không phụ thuộc điểm chọn.
Sai ở đâu: Lấy |c₂−c₁| mà quên chia độ dài pháp tuyến.
Cách khác: Lấy một điểm bất kỳ trên d₁ rồi tính khoảng cách đến d₂.
T10-B20-NB-10Xét d₁: 1x + 4y − 1=0 và d₂: 4x − 1y + 2=0. Hai đường có vuông góc không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến.
Lời giải: n⃗₁·n⃗₂ = 1·4+4·(-1)=0, nên d₁ ⟂ d₂.
Vì sao: Hai đường vuông góc khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc.
Sai ở đâu: So hai hệ số góc nhưng xử lí sai đường thẳng đứng.
Cách khác: Chọn vectơ chỉ phương tương ứng và kiểm tích vô hướng.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Hai đường thẳng d₁: 1x+2y=0 và d₂: 2x-1y+1=0 có vị trí:
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính giá trị của y = -1(x + 1)² − 4 tại x = 1.
Gợi ý: Tính x−h trước rồi mới bình phương.
Lời giải: y = -1·(2)² − 4 = -8.
Giải thích: Dạng đỉnh làm phép thay số ngắn và ít sai dấu.
Lỗi cần tránh: Bình phương sau khi nhân a hoặc quên ngoặc với số âm.
Cách khác: Điểm x = 1 cách trục đối xứng 2 đơn vị.
TỰ LUẬN 2Tìm giao điểm của d₁: x+y=-1 và d₂: x−y=-1.
Gợi ý: Cộng và trừ hai phương trình.
Lời giải: Cộng hai phương trình: 2x=-2 ⇒ x=-1; suy ra y=0. Giao điểm I(-1;0).
Giải thích: Giao điểm là nghiệm duy nhất của hệ hai phương trình đường thẳng cắt nhau.
Lỗi cần tránh: Giải đúng x nhưng thế sai dấu để tìm y.
Cách khác: Nhận hệ đã được thiết kế theo tổng và hiệu của p, q.
TỰ LUẬN 3Xét d₁: 2x+5y−1=0 và d₂: 6x+15y−3=0.
Gợi ý: So sánh bộ ba hệ số.
Lời giải: Các hệ số của d₂ bằng 3 lần d₁, nên hai phương trình biểu diễn cùng một đường thẳng.
Giải thích: Tỉ lệ cả a, b, c là điều kiện hai phương trình trùng nhau.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy pháp tuyến cùng phương rồi kết luận song song phân biệt.
Cách khác: Chia toàn bộ phương trình d₂ cho k.
TỰ LUẬN 4Tính khoảng cách từ P(15; 19) đến đường thẳng 3x + 4y − 21 = 0.
Gợi ý: d = |3·15 + 4·19 + (-21)|/√(3² + 4²).
Lời giải: d = |3·15 + 4·19 + (-21)|/√(3² + 4²). Tử số bằng 100, mẫu số bằng 5; do đó d = 20.
Giải thích: d = |3·15 + 4·19 + (-21)|/√(3² + 4²). Tử số bằng 100, mẫu số bằng 5; do đó d = 20.
Lỗi cần tránh: Quên giá trị tuyệt đối hoặc quên căn ở mẫu.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra.
TỰ LUẬN 5Cho y = 1(x − 2)² − 1. Xác định đỉnh và trục đối xứng.
Gợi ý: Đọc trực tiếp dạng y = a(x−h)²+k.
Lời giải: Parabol có đỉnh I(2; -1) và trục đối xứng x = 2.
Giải thích: Dạng đỉnh cho hình học của parabol mà không cần khai triển.
Lỗi cần tránh: Đổi sai dấu hoành độ đỉnh: thấy x+h lại ghi h.
Cách khác: Thay x = h để kiểm y = k và hai điểm h±1 có cùng tung độ.
TỰ LUẬN 6Hai đường thẳng x=1 và y=2 tạo với nhau góc:
Gợi ý: Đường x=a song song với Oy, còn y=b song song với Ox.
Lời giải: Đường x=a song song với Oy, còn y=b song song với Ox. Hai trục tọa độ vuông góc nên hai đường đã cho cũng vuông góc.
Giải thích: Đường x=a song song với Oy, còn y=b song song với Ox. Hai trục tọa độ vuông góc nên hai đường đã cho cũng vuông góc.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: line-relation-axis-angle-2-0
TỰ LUẬN 7Đường thẳng đi qua A(2;1) và B(2;5) có phương trình: Hãy kiểm tra bằng cách thay tọa độ vào phương trình.
Gợi ý: Hai điểm A và B có cùng hoành độ 2.
Lời giải: Hai điểm A và B có cùng hoành độ 2. Do đó AB song song Oy và có phương trình x=2.
Giải thích: Hai điểm A và B có cùng hoành độ 2. Do đó AB song song Oy và có phương trình x=2.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: line-vertical-2-1
TỰ LUẬN 8Hai đường thẳng d₁: 3x+4y=0 và d₂: 4x-3y+1=0 có vị trí: Cần phân biệt vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.
Gợi ý: Một cặp vectơ pháp tuyến là (3;4) và (4;-3).
Lời giải: Một cặp vectơ pháp tuyến là (3;4) và (4;-3). Tích vô hướng bằng 12-12=0, nên hai đường thẳng vuông góc.
Giải thích: Một cặp vectơ pháp tuyến là (3;4) và (4;-3). Tích vô hướng bằng 12-12=0, nên hai đường thẳng vuông góc.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: line-relation-perpendicular-1-2
TỰ LUẬN 9Tính giá trị của y = -1(x + 2)² + 2 tại x = 0.
Gợi ý: Tính x−h trước rồi mới bình phương.
Lời giải: y = -1·(2)² + 2 = -2.
Giải thích: Dạng đỉnh làm phép thay số ngắn và ít sai dấu.
Lỗi cần tránh: Bình phương sau khi nhân a hoặc quên ngoặc với số âm.
Cách khác: Điểm x = 0 cách trục đối xứng 2 đơn vị.
TỰ LUẬN 10Tính khoảng cách từ M(2;3) đến đường thẳng y=5.
Gợi ý: Khoảng cách đến đường thẳng ngang là hiệu tuyệt đối hai tung độ.
Lời giải: Khoảng cách đến đường thẳng ngang là hiệu tuyệt đối hai tung độ. d=|3-(5)|=2.
Giải thích: Khoảng cách đến đường thẳng ngang là hiệu tuyệt đối hai tung độ. d=|3-(5)|=2.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: short-distance-horizontal-1-0
TỰ LUẬN 11Tính khoảng cách từ O(0;0) đến đường thẳng 3x+4y-10=0.
Gợi ý: Áp dụng công thức điểm–đường: d=|3·0+4·0-10|/√(3²+4²).
Lời giải: Áp dụng công thức điểm–đường: d=|3·0+4·0-10|/√(3²+4²). Mẫu số bằng 5, nên d=10/5=2.
Giải thích: Áp dụng công thức điểm–đường: d=|3·0+4·0-10|/√(3²+4²). Mẫu số bằng 5, nên d=10/5=2.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: short-distance-formula-4-0
TỰ LUẬN 12Khoảng cách từ O(0;0) đến đường thẳng x=2 bằng 3. Hãy kiểm tra bằng cách thay tọa độ vào phương trình.
Gợi ý: Đường x=2 song song Oy và cách Oy một đoạn |2|.
Lời giải: Đường x=2 song song Oy và cách Oy một đoạn |2|. Vì 2>0, khoảng cách đúng là 2, không phải 3.
Giải thích: Đường x=2 song song Oy và cách Oy một đoạn |2|. Vì 2>0, khoảng cách đúng là 2, không phải 3.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: truth-distance-axis-3-1
TỰ LUẬN 13Cho y = 1(x − 1)² − 4. Xác định đỉnh và trục đối xứng.
Gợi ý: Đọc trực tiếp dạng y = a(x−h)²+k.
Lời giải: Parabol có đỉnh I(1; -4) và trục đối xứng x = 1.
Giải thích: Dạng đỉnh cho hình học của parabol mà không cần khai triển.
Lỗi cần tránh: Đổi sai dấu hoành độ đỉnh: thấy x+h lại ghi h.
Cách khác: Thay x = h để kiểm y = k và hai điểm h±1 có cùng tung độ.
TỰ LUẬN 14Tại giao điểm của hai đường thẳng x+y=9 và 2x+y=13, tính x. Cần đối chiếu cả hai ràng buộc trước khi chọn.
Gợi ý: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất được x=4.
Lời giải: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất được x=4. Thay lại suy ra y=5; giao điểm thỏa cả hai phương trình.
Giải thích: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất được x=4. Thay lại suy ra y=5; giao điểm thỏa cả hai phương trình.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: short-boundary-solve-1-2
TỰ LUẬN 15Parabol y=-(x-2)²+4 cắt đường thẳng y=3. Tính tổng hoành độ hai giao điểm.
Gợi ý: Giải -(x-2)²+4=3 được (x-2)²=1.
Lời giải: Giải -(x-2)²+4=3 được (x-2)²=1. Hai hoành độ là 1, 3; tổng bằng 4.
Giải thích: Giải -(x-2)²+4=3 được (x-2)²=1. Hai hoành độ là 1, 3; tổng bằng 4.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: short-synthesis-two-intersections-2-0
TỰ LUẬN 16Từ tâm I(2;3) đến đường thẳng x=6 có khoảng cách bao nhiêu? Hãy kiểm tra bằng cách thay tọa độ vào phương trình.
Gợi ý: Khoảng cách đến đường thẳng đứng là hiệu hai hoành độ.
Lời giải: Khoảng cách đến đường thẳng đứng là hiệu hai hoành độ. d=|2-(6)|=4.
Giải thích: Khoảng cách đến đường thẳng đứng là hiệu hai hoành độ. d=|2-(6)|=4.
Lỗi cần tránh: Không bỏ qua điều kiện và đại lượng cần tìm.
Cách khác: short-circle-tangent-distance-3-1
TỰ LUẬN 17Tính giá trị của y = -1(x + 3)² − 1 tại x = -1.
Gợi ý: Tính x−h trước rồi mới bình phương.
Lời giải: y = -1·(2)² − 1 = -5.
Giải thích: Dạng đỉnh làm phép thay số ngắn và ít sai dấu.
Lỗi cần tránh: Bình phương sau khi nhân a hoặc quên ngoặc với số âm.
Cách khác: Điểm x = -1 cách trục đối xứng 2 đơn vị.
TỰ LUẬN 18M(2;2), d: x=5. Tính khoảng cách từ M đến d.
Gợi ý: Đường d thẳng đứng; khoảng cách chỉ phụ thuộc hiệu hoành độ.
Lời giải: Đường d thẳng đứng; khoảng cách chỉ phụ thuộc hiệu hoành độ. Kết quả: 3.
Giải thích: Đường d thẳng đứng; khoảng cách chỉ phụ thuộc hiệu hoành độ.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 19Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng 3x+4y−15=0.
Gợi ý: Khoảng cách bằng |c|/√(a²+b²), với pháp tuyến dài 5.
Lời giải: Khoảng cách bằng |c|/√(a²+b²), với pháp tuyến dài 5. Kết quả: 3.
Giải thích: Khoảng cách bằng |c|/√(a²+b²), với pháp tuyến dài 5.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện, dấu và đại lượng được hỏi trước khi kết luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác.
TỰ LUẬN 20Tìm giao điểm của d₁: x+y=-2 và d₂: x−y=2.
Gợi ý: Cộng và trừ hai phương trình.
Lời giải: Cộng hai phương trình: 2x=0 ⇒ x=0; suy ra y=-2. Giao điểm I(0;-2).
Giải thích: Giao điểm là nghiệm duy nhất của hệ hai phương trình đường thẳng cắt nhau.
Lỗi cần tránh: Giải đúng x nhưng thế sai dấu để tìm y.
Cách khác: Nhận hệ đã được thiết kế theo tổng và hiệu của p, q.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B20-NB-01, T10-B20-NB-02, T10-B20-NB-03, T10-B20-NB-04, T10-B20-NB-05, T10-B20-NB-06, T10-B20-NB-07, T10-B20-NB-08, T10-B20-NB-09, T10-B20-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B20-NB-01: -8
- T10-B20-NB-02: (3; −2)
- T10-B20-NB-03: 0
- T10-B20-NB-04: Vuông góc
- T10-B20-NB-05: Trùng nhau
- T10-B20-NB-06: I(-1; 0)
- T10-B20-NB-07: cosφ = 0; φ = 90°
- T10-B20-NB-08: 1
- T10-B20-NB-09: 2
- T10-B20-NB-10: Vuông góc
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 7
10 câu đại diện: T10-B20-NB-11, T10-B20-NB-12, T10-B20-NB-13, T10-B20-NB-14, T10-B20-NB-15, T10-B20-NB-16, T10-B20-NB-17, T10-B20-NB-18, T10-B20-NB-19, T10-B20-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B20-NB-11: Trùng nhau
- T10-B20-NB-12: I(-2; 1)
- T10-B20-NB-13: cosφ = 0; φ = 90°
- T10-B20-NB-14: 3
- T10-B20-NB-15: 2
- T10-B20-NB-16: 20
- T10-B20-NB-17: 2
- T10-B20-NB-18: I(-3; 2)
- T10-B20-NB-19: 2
- T10-B20-NB-20: 2
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B20-TH-01, T10-B20-TH-02, T10-B20-TH-03, T10-B20-TH-04, T10-B20-TH-05, T10-B20-TH-06, T10-B20-TH-07, T10-B20-TH-08, T10-B20-TH-09, T10-B20-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B20-TH-01: I(2; -1), x = 2
- T10-B20-TH-02: (3; −2)
- T10-B20-TH-03: 7
- T10-B20-TH-04: Vuông góc
- T10-B20-TH-05: x=1
- T10-B20-TH-06: 90°
- T10-B20-TH-07: I(3; -2)
- T10-B20-TH-08: 2
- T10-B20-TH-09: y=2
- T10-B20-TH-10: Vuông góc
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B20-TH-11, T10-B20-TH-12, T10-B20-TH-13, T10-B20-TH-14, T10-B20-TH-15, T10-B20-TH-16, T10-B20-TH-17, T10-B20-TH-18, T10-B20-TH-19, T10-B20-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B20-TH-11: x=2
- T10-B20-TH-12: 90°
- T10-B20-TH-13: I(2; -1)
- T10-B20-TH-14: 3
- T10-B20-TH-15: y=3
- T10-B20-TH-16: Vuông góc
- T10-B20-TH-17: x=3
- T10-B20-TH-18: 90°
- T10-B20-TH-19: I(1; 0)
- T10-B20-TH-20: 4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B20-VD-01, T10-B20-VD-02, T10-B20-VD-03, T10-B20-VD-04, T10-B20-VD-05, T10-B20-VD-06, T10-B20-VD-07, T10-B20-VD-08, T10-B20-VD-09, T10-B20-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B20-VD-01: -2
- T10-B20-VD-02: (3; −2)
- T10-B20-VD-03: 0
- T10-B20-VD-04: 3
- T10-B20-VD-05: Sai
- T10-B20-VD-06: 2
- T10-B20-VD-07: Sai
- T10-B20-VD-08: I(0; 1)
- T10-B20-VD-09: 3
- T10-B20-VD-10: Đúng
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.