Nhìn cấu trúc trước
Học đường tròn trong mặt phẳng tọa độ bằng quan hệ giữa đại số, đồ thị và hình học, không học công thức rời.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Học sinh đọc và lập phương trình đường tròn, xác định vị trí điểm–đường, viết tiếp tuyến và kiểm mọi kết quả bằng khoảng cách.
Tâm là chỗ trừ, bán kính là số bình phương
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Mỗi lời giải bắt đầu từ dữ kiện, điều kiện, mục tiêu và phép kiểm.
Gắn với thực tiễn
Bài toán chi phí, quỹ đạo, đo đạc, bản đồ và thiết kế cho thấy ý nghĩa của mô hình.
Không phụ thuộc đáp án
Thế ngược, đọc đồ thị, so dấu, kiểm đơn vị hoặc dùng cách giải độc lập.
- Viết phương trình từ tâm và bán kính.
- Đọc tâm, bán kính từ dạng khai triển.
- Xét vị trí điểm hoặc đường thẳng.
- Lập tiếp tuyến tại điểm thuộc đường tròn.
- Công thức khoảng cách.
- Phương trình đường thẳng.
- Hằng đẳng thức.
- Vectơ vuông góc.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Phương trình tâm–bán kính
Hiểu đơn giản: Điểm trên đường tròn cách tâm một khoảng cố định R.
(x−a)²+(y−b)²=R², R>0.
Ví dụ: Tâm (2;−1), R=3 ⇒ (x−2)²+(y+1)²=9.
Hình nên dùng: Tâm, bán kính và điểm M.
Mô phỏng: Kéo M quanh tâm.
Mẹo nhớ: Dấu trong ngoặc ngược tọa độ tâm.
Sai lầm: Viết R thay R².
Ghi chú: R phải dương để có đường tròn thực.
Dạng khai triển
Hiểu đơn giản: Hoàn thành bình phương để lộ tâm và bán kính.
x²+y²−2ax−2by+c=0; R²=a²+b²−c>0.
Ví dụ: x²+y²−4x+2y−4=0 có tâm (2;−1).
Hình nên dùng: Ghép bình phương hoàn chỉnh.
Mô phỏng: Đổi hệ số tuyến tính.
Mẹo nhớ: Tâm bằng nửa hệ số, đổi dấu.
Sai lầm: Không kiểm R²>0.
Ghi chú: Hệ số x² và y² phải bằng nhau, không có xy ở dạng này.
Vị trí điểm
Hiểu đơn giản: So khoảng cách từ điểm đến tâm với bán kính.
IM<R: trong; IM=R: trên; IM>R: ngoài.
Ví dụ: M(a+R;b) nằm trên đường tròn.
Hình nên dùng: Ba điểm trong–trên–ngoài.
Mô phỏng: Kéo M qua đường tròn.
Mẹo nhớ: So IM² với R² cho nhanh.
Sai lầm: So IM² với R.
Ghi chú: Thế tọa độ vào phương trình là cách tương đương.
Tiếp tuyến tại điểm
Hiểu đơn giản: Tiếp tuyến vuông góc bán kính đi qua tiếp điểm.
M₀∈(C); n⃗ tiếp tuyến = IM₀⃗.
Ví dụ: x²+y²=25 tại (5;0) có tiếp tuyến x=5.
Hình nên dùng: Bán kính và tiếp tuyến vuông góc.
Mô phỏng: Kéo tiếp điểm.
Mẹo nhớ: Bán kính là pháp tuyến.
Sai lầm: Viết đường qua tâm.
Ghi chú: Phải kiểm tiếp điểm thuộc đường tròn.
Đường thẳng và đường tròn
Hiểu đơn giản: So khoảng cách từ tâm đến đường với bán kính để đếm giao điểm.
d(I,Δ)<R: 2 điểm; =R: tiếp xúc; >R: không giao.
Ví dụ: x=R tiếp xúc x²+y²=R².
Hình nên dùng: Cát tuyến–tiếp tuyến–ngoài.
Mô phỏng: Tịnh tiến đường thẳng.
Mẹo nhớ: Khoảng cách so bán kính.
Sai lầm: Giải hệ dài trước khi dự đoán số nghiệm.
Ghi chú: Dự đoán giúp kiểm nghiệm phương trình giao điểm.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐƯỜNG TRÒN
So khoảng cách với bán kính
Nhập tâm I, bán kính R và điểm M để kiểm vị trí bằng IM.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Viết phương trình đường tròn tâm I(-3;-2), bán kính 2.
Phân tích: Dấu trong ngoặc luôn ngược dấu tọa độ tâm.
Hướng làm: Dùng (x−a)²+(y−b)²=R².
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Dùng (x−a)²+(y−b)²=R².
- Bước 3: (x + 3)² + (y + 2)² = 4.
Vì sao: Dấu trong ngoặc luôn ngược dấu tọa độ tâm.
Cách khác: Thế tâm vào vế trái được 0 và một điểm cách tâm r cho vế trái r².
Tự kiểm: Đáp số: (x + 3)² + (y + 2)² = 4. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Tìm tâm và bán kính của x²+y² + 4x + 2y − 4=0.
Phân tích: Phương trình tổng quát phải có cùng hệ số của x² và y², không có xy.
Hướng làm: Hoàn thành bình phương hoặc so D=−2a, E=−2b.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Hoàn thành bình phương hoặc so D=−2a, E=−2b.
- Bước 3: Tâm I(-2;-1); R²=5−(-4)=9, nên R=3.
Vì sao: Phương trình tổng quát phải có cùng hệ số của x² và y², không có xy.
Cách khác: Khai triển phương trình tâm–bán kính để kiểm lại.
Tự kiểm: Đáp số: I(-2; -1), R=3. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Điểm M(3;0) nằm ở đâu so với đường tròn tâm I(-1;0), R=4?
Phân tích: Bình phương khoảng cách cũng có thể so trực tiếp với R².
Hướng làm: So sánh IM với R.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: So sánh IM với R.
- Bước 3: IM=√[(3−-1)²+(0−0)²]=4=R, nên M nằm trên đường tròn.
Vì sao: Bình phương khoảng cách cũng có thể so trực tiếp với R².
Cách khác: Thế M vào phương trình đường tròn; hai vế bằng nhau.
Tự kiểm: Đáp số: Trên đường tròn. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Lập tiếp tuyến của đường tròn x²+y²=25 tại A(5;0).
Phân tích: Bán kính đi qua tiếp điểm là pháp tuyến của tiếp tuyến.
Hướng làm: Tiếp tuyến qua A và vuông góc bán kính OA.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Tiếp tuyến qua A và vuông góc bán kính OA.
- Bước 3: OA nằm ngang nên tiếp tuyến thẳng đứng: x=5.
Vì sao: Bán kính đi qua tiếp điểm là pháp tuyến của tiếp tuyến.
Cách khác: Dùng công thức xx₀+yy₀=R²: 5x=25.
Tự kiểm: Đáp số: x = 5. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Đường tròn có đường kính AB với A(-2;0), B(2;0). Viết phương trình.
Phân tích: Đường kính xác định cả tâm và bán kính.
Hướng làm: Tâm là trung điểm AB, bán kính bằng nửa AB.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Tâm là trung điểm AB, bán kính bằng nửa AB.
- Bước 3: Tâm O(0;0), R=2; phương trình x²+y²=4.
Vì sao: Đường kính xác định cả tâm và bán kính.
Cách khác: Dùng điều kiện AM⃗·BM⃗=0 rồi rút gọn.
Tự kiểm: Đáp số: x² + y² = 4. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Xét đường thẳng d: x=5 và đường tròn tâm I(2;-2), R=3. d cắt, tiếp xúc hay không giao đường tròn?
Phân tích: So khoảng cách tâm–đường với bán kính: nhỏ hơn cắt hai điểm, bằng tiếp xúc, lớn hơn không giao.
Hướng làm: Tính khoảng cách từ tâm đến đường.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm đến đường.
- Bước 3: d(I,d)=|2−(5)|=3=R, nên d tiếp xúc đường tròn.
Vì sao: So khoảng cách tâm–đường với bán kính: nhỏ hơn cắt hai điểm, bằng tiếp xúc, lớn hơn không giao.
Cách khác: Tiếp điểm là (5;-2).
Tự kiểm: Đáp số: Tiếp xúc. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Viết phương trình đường tròn tâm I(3;-1), bán kính 4.
Phân tích: Dấu trong ngoặc luôn ngược dấu tọa độ tâm.
Hướng làm: Dùng (x−a)²+(y−b)²=R².
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Dùng (x−a)²+(y−b)²=R².
- Bước 3: (x − 3)² + (y + 1)² = 16.
Vì sao: Dấu trong ngoặc luôn ngược dấu tọa độ tâm.
Cách khác: Thế tâm vào vế trái được 0 và một điểm cách tâm r cho vế trái r².
Tự kiểm: Đáp số: (x − 3)² + (y + 1)² = 16. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Tìm tâm và bán kính của x²+y² + 6x + 0y − 16=0.
Phân tích: Phương trình tổng quát phải có cùng hệ số của x² và y², không có xy.
Hướng làm: Hoàn thành bình phương hoặc so D=−2a, E=−2b.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Hoàn thành bình phương hoặc so D=−2a, E=−2b.
- Bước 3: Tâm I(-3;0); R²=9−(-16)=25, nên R=5.
Vì sao: Phương trình tổng quát phải có cùng hệ số của x² và y², không có xy.
Cách khác: Khai triển phương trình tâm–bán kính để kiểm lại.
Tự kiểm: Đáp số: I(-3; 0), R=5. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Điểm M(0;1) nằm ở đâu so với đường tròn tâm I(-2;1), R=2?
Phân tích: Bình phương khoảng cách cũng có thể so trực tiếp với R².
Hướng làm: So sánh IM với R.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: So sánh IM với R.
- Bước 3: IM=√[(0−-2)²+(1−1)²]=2=R, nên M nằm trên đường tròn.
Vì sao: Bình phương khoảng cách cũng có thể so trực tiếp với R².
Cách khác: Thế M vào phương trình đường tròn; hai vế bằng nhau.
Tự kiểm: Đáp số: Trên đường tròn. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Lập tiếp tuyến của đường tròn x²+y²=9 tại A(3;0).
Phân tích: Bán kính đi qua tiếp điểm là pháp tuyến của tiếp tuyến.
Hướng làm: Tiếp tuyến qua A và vuông góc bán kính OA.
- Bước 1: Ghi dữ kiện, điều kiện và đại lượng cần tìm.
- Bước 2: Tiếp tuyến qua A và vuông góc bán kính OA.
- Bước 3: OA nằm ngang nên tiếp tuyến thẳng đứng: x=3.
Vì sao: Bán kính đi qua tiếp điểm là pháp tuyến của tiếp tuyến.
Cách khác: Dùng công thức xx₀+yy₀=R²: 3x=9.
Tự kiểm: Đáp số: x = 3. Thế ngược hoặc kiểm bằng hình học trước khi kết luận.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Chi phí và lựa chọn
Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ giúp mô hình hóa giá, quãng đường, diện tích và phương án phù hợp với ràng buộc thật.
Dự án đo đạc
Học sinh lấy dữ kiện thật, dựng mô hình, nêu sai số và kiểm kết quả bằng cách thứ hai.
Đọc đồ thị và bản đồ
Đồ thị, tọa độ và khoảng cách biến thông tin trực quan thành quyết định định lượng.
Mô hình chuyển động
Quỹ đạo, tốc độ và vị trí được biểu diễn bằng hàm số hoặc phương trình hình học.
Thiết kế có kiểm chứng
Cầu vòm, đường đi, vùng phủ và chi tiết tròn cần công thức kèm điều kiện an toàn.
Tối ưu nguyên liệu
Hàm bậc hai và miền nghiệm giúp tìm kích thước cho hiệu quả cao nhất trong mô hình phù hợp.
Quỹ đạo và phản xạ
Parabol, elip và hypebol xuất hiện trong chuyển động, âm thanh, ánh sáng và thiên văn.
Ngôn ngữ định lượng
Kiến trúc, bản đồ, robot, dữ liệu, logistics và đồ họa đều dùng hàm số và tọa độ.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Phương trình tâm–bán kính dùng khi nào?
Điểm trên đường tròn cách tâm một khoảng cố định R. Dấu hiệu: Dấu trong ngoặc ngược tọa độ tâm.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Viết R thay R².
Quay lại Phương trình tâm–bán kính: (x−a)²+(y−b)²=R², R>0. Kiểm nhanh bằng Tâm (2;−1), R=3 ⇒ (x−2)²+(y+1)²=9.
2. Không kiểm R²>0.
Quay lại Dạng khai triển: x²+y²−2ax−2by+c=0; R²=a²+b²−c>0. Kiểm nhanh bằng x²+y²−4x+2y−4=0 có tâm (2;−1).
3. So IM² với R.
Quay lại Vị trí điểm: IM<R: trong; IM=R: trên; IM>R: ngoài. Kiểm nhanh bằng M(a+R;b) nằm trên đường tròn.
4. Viết đường qua tâm.
Quay lại Tiếp tuyến tại điểm: M₀∈(C); n⃗ tiếp tuyến = IM₀⃗. Kiểm nhanh bằng x²+y²=25 tại (5;0) có tiếp tuyến x=5.
5. Giải hệ dài trước khi dự đoán số nghiệm.
Quay lại Đường thẳng và đường tròn: d(I,Δ)<R: 2 điểm; =R: tiếp xúc; >R: không giao. Kiểm nhanh bằng x=R tiếp xúc x²+y²=R².
6. Viết R thay R².
Quay lại Phương trình tâm–bán kính: (x−a)²+(y−b)²=R², R>0. Kiểm nhanh bằng Tâm (2;−1), R=3 ⇒ (x−2)²+(y+1)²=9.
7. Không kiểm R²>0.
Quay lại Dạng khai triển: x²+y²−2ax−2by+c=0; R²=a²+b²−c>0. Kiểm nhanh bằng x²+y²−4x+2y−4=0 có tâm (2;−1).
8. So IM² với R.
Quay lại Vị trí điểm: IM<R: trong; IM=R: trên; IM>R: ngoài. Kiểm nhanh bằng M(a+R;b) nằm trên đường tròn.
9. Viết đường qua tâm.
Quay lại Tiếp tuyến tại điểm: M₀∈(C); n⃗ tiếp tuyến = IM₀⃗. Kiểm nhanh bằng x²+y²=25 tại (5;0) có tiếp tuyến x=5.
10. Giải hệ dài trước khi dự đoán số nghiệm.
Quay lại Đường thẳng và đường tròn: d(I,Δ)<R: 2 điểm; =R: tiếp xúc; >R: không giao. Kiểm nhanh bằng x=R tiếp xúc x²+y²=R².
11. Viết R thay R².
Quay lại Phương trình tâm–bán kính: (x−a)²+(y−b)²=R², R>0. Kiểm nhanh bằng Tâm (2;−1), R=3 ⇒ (x−2)²+(y+1)²=9.
12. Không kiểm R²>0.
Quay lại Dạng khai triển: x²+y²−2ax−2by+c=0; R²=a²+b²−c>0. Kiểm nhanh bằng x²+y²−4x+2y−4=0 có tâm (2;−1).
13. So IM² với R.
Quay lại Vị trí điểm: IM<R: trong; IM=R: trên; IM>R: ngoài. Kiểm nhanh bằng M(a+R;b) nằm trên đường tròn.
14. Viết đường qua tâm.
Quay lại Tiếp tuyến tại điểm: M₀∈(C); n⃗ tiếp tuyến = IM₀⃗. Kiểm nhanh bằng x²+y²=25 tại (5;0) có tiếp tuyến x=5.
15. Giải hệ dài trước khi dự đoán số nghiệm.
Quay lại Đường thẳng và đường tròn: d(I,Δ)<R: 2 điểm; =R: tiếp xúc; >R: không giao. Kiểm nhanh bằng x=R tiếp xúc x²+y²=R².
16. Viết R thay R².
Quay lại Phương trình tâm–bán kính: (x−a)²+(y−b)²=R², R>0. Kiểm nhanh bằng Tâm (2;−1), R=3 ⇒ (x−2)²+(y+1)²=9.
17. Không kiểm R²>0.
Quay lại Dạng khai triển: x²+y²−2ax−2by+c=0; R²=a²+b²−c>0. Kiểm nhanh bằng x²+y²−4x+2y−4=0 có tâm (2;−1).
18. So IM² với R.
Quay lại Vị trí điểm: IM<R: trong; IM=R: trên; IM>R: ngoài. Kiểm nhanh bằng M(a+R;b) nằm trên đường tròn.
19. Viết đường qua tâm.
Quay lại Tiếp tuyến tại điểm: M₀∈(C); n⃗ tiếp tuyến = IM₀⃗. Kiểm nhanh bằng x²+y²=25 tại (5;0) có tiếp tuyến x=5.
20. Giải hệ dài trước khi dự đoán số nghiệm.
Quay lại Đường thẳng và đường tròn: d(I,Δ)<R: 2 điểm; =R: tiếp xúc; >R: không giao. Kiểm nhanh bằng x=R tiếp xúc x²+y²=R².
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Miền trước, phép tính sau
Ghi tập xác định hoặc điều kiện hình học trước khi biến đổi.
Dự đoán bằng hình
Ước lượng số nghiệm, dấu, vị trí, hướng mở hoặc số giao điểm trước khi tính.
Một công thức–một phép kiểm
Thế ngược điểm, nghiệm hoặc tọa độ vào phương trình ban đầu.
Hai biểu diễn
Luân phiên đại số ↔ đồ thị, phương trình tổng quát ↔ tham số để hiểu bản chất.
Sổ lỗi bốn cột
Ghi lỗi, nguyên nhân, quy tắc sửa và một câu tương tự tự tạo.
Ôn 1–3–7
Ôn flashcard sau 1 ngày, bài trộn sau 3 ngày và đề ngắn sau 7 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ1 2 3 4 5
Phương trình tâm–bán kínhDấu trong ngoặc ngược tọa độ tâm.
Dạng khai triểnTâm bằng nửa hệ số, đổi dấu.
Vị trí điểmSo IM² với R² cho nhanh.
Tiếp tuyến tại điểmBán kính là pháp tuyến.
Đường thẳng và đường trònKhoảng cách so bán kính.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
T10-B21-NB-01Tính giá trị của y = -1(x + 1)² − 4 tại x = 1.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính x−h trước rồi mới bình phương.
Lời giải: y = -1·(2)² − 4 = -8.
Vì sao: Dạng đỉnh làm phép thay số ngắn và ít sai dấu.
Sai ở đâu: Bình phương sau khi nhân a hoặc quên ngoặc với số âm.
Cách khác: Điểm x = 1 cách trục đối xứng 2 đơn vị.
T10-B21-NB-02Ôn vectơ: Với A(-1;-2), B(2;-4), tính AB⃗.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Điểm cuối trừ điểm đầu.
Lời giải: AB⃗=(3;-2)=(3;−2).
Vì sao: Tọa độ vectơ là nền trực tiếp của phương trình đường thẳng.
Sai ở đâu: Lấy điểm đầu A trừ điểm cuối B.
Cách khác: Kiểm A+AB⃗=B.
T10-B21-NB-03Ôn tích vô hướng: (3;4)·(−4;3) bằng bao nhiêu?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: 3·(−4)+4·3=0.
Vì sao: Tích bằng 0 cho thấy hai vectơ khác 0 vuông góc.
Sai ở đâu: Nhân chéo rồi cộng.
Cách khác: Nhận (−4;3) là phép quay 90° của (3;4).
T10-B21-NB-04Viết phương trình đường tròn tâm I(-3;-2), bán kính 2.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng (x−a)²+(y−b)²=R².
Lời giải: (x + 3)² + (y + 2)² = 4.
Vì sao: Dấu trong ngoặc luôn ngược dấu tọa độ tâm.
Sai ở đâu: Viết cùng dấu với tọa độ tâm hoặc quên bình phương bán kính.
Cách khác: Thế tâm vào vế trái được 0 và một điểm cách tâm r cho vế trái r².
T10-B21-NB-05Tìm tâm và bán kính của x²+y² + 4x + 2y − 4=0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hoàn thành bình phương hoặc so D=−2a, E=−2b.
Lời giải: Tâm I(-2;-1); R²=5−(-4)=9, nên R=3.
Vì sao: Phương trình tổng quát phải có cùng hệ số của x² và y², không có xy.
Sai ở đâu: Lấy tâm (D;E) thay vì (−D/2;−E/2).
Cách khác: Khai triển phương trình tâm–bán kính để kiểm lại.
T10-B21-NB-06Điểm M(3;0) nằm ở đâu so với đường tròn tâm I(-1;0), R=4?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh IM với R.
Lời giải: IM=√[(3−-1)²+(0−0)²]=4=R, nên M nằm trên đường tròn.
Vì sao: Bình phương khoảng cách cũng có thể so trực tiếp với R².
Sai ở đâu: So IM² với R thay vì R².
Cách khác: Thế M vào phương trình đường tròn; hai vế bằng nhau.
T10-B21-NB-07Lập tiếp tuyến của đường tròn x²+y²=25 tại A(5;0).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tiếp tuyến qua A và vuông góc bán kính OA.
Lời giải: OA nằm ngang nên tiếp tuyến thẳng đứng: x=5.
Vì sao: Bán kính đi qua tiếp điểm là pháp tuyến của tiếp tuyến.
Sai ở đâu: Viết y=0, chính là đường kính chứ không phải tiếp tuyến.
Cách khác: Dùng công thức xx₀+yy₀=R²: 5x=25.
T10-B21-NB-08Đường tròn có đường kính AB với A(-2;0), B(2;0). Viết phương trình.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tâm là trung điểm AB, bán kính bằng nửa AB.
Lời giải: Tâm O(0;0), R=2; phương trình x²+y²=4.
Vì sao: Đường kính xác định cả tâm và bán kính.
Sai ở đâu: Lấy nhầm bán kính R bằng cả đường kính AB=4.
Cách khác: Dùng điều kiện AM⃗·BM⃗=0 rồi rút gọn.
T10-B21-NB-09Xét đường thẳng d: x=5 và đường tròn tâm I(2;-2), R=3. d cắt, tiếp xúc hay không giao đường tròn?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính khoảng cách từ tâm đến đường.
Lời giải: d(I,d)=|2−(5)|=3=R, nên d tiếp xúc đường tròn.
Vì sao: So khoảng cách tâm–đường với bán kính: nhỏ hơn cắt hai điểm, bằng tiếp xúc, lớn hơn không giao.
Sai ở đâu: Thế một điểm tùy ý trên đường rồi kết luận.
Cách khác: Tiếp điểm là (5;-2).
T10-B21-NB-10Viết phương trình đường tròn tâm I(3;-1), bán kính 4.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng (x−a)²+(y−b)²=R².
Lời giải: (x − 3)² + (y + 1)² = 16.
Vì sao: Dấu trong ngoặc luôn ngược dấu tọa độ tâm.
Sai ở đâu: Viết cùng dấu với tọa độ tâm hoặc quên bình phương bán kính.
Cách khác: Thế tâm vào vế trái được 0 và một điểm cách tâm r cho vế trái r².
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Tính giá trị của y = -1(x + 1)² − 4 tại x = 1.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính giá trị của y = -1(x + 1)² − 4 tại x = 1.
Gợi ý: Tính x−h trước rồi mới bình phương.
Lời giải: y = -1·(2)² − 4 = -8.
Giải thích: Dạng đỉnh làm phép thay số ngắn và ít sai dấu.
Lỗi cần tránh: Bình phương sau khi nhân a hoặc quên ngoặc với số âm.
Cách khác: Điểm x = 1 cách trục đối xứng 2 đơn vị.
TỰ LUẬN 2Điểm M(3;0) nằm ở đâu so với đường tròn tâm I(-1;0), R=4?
Gợi ý: So sánh IM với R.
Lời giải: IM=√[(3−-1)²+(0−0)²]=4=R, nên M nằm trên đường tròn.
Giải thích: Bình phương khoảng cách cũng có thể so trực tiếp với R².
Lỗi cần tránh: So IM² với R thay vì R².
Cách khác: Thế M vào phương trình đường tròn; hai vế bằng nhau.
TỰ LUẬN 3Tìm tâm và bán kính của x²+y² + 6x + 0y − 16=0.
Gợi ý: Hoàn thành bình phương hoặc so D=−2a, E=−2b.
Lời giải: Tâm I(-3;0); R²=9−(-16)=25, nên R=5.
Giải thích: Phương trình tổng quát phải có cùng hệ số của x² và y², không có xy.
Lỗi cần tránh: Lấy tâm (D;E) thay vì (−D/2;−E/2).
Cách khác: Khai triển phương trình tâm–bán kính để kiểm lại.
TỰ LUẬN 4Viết phương trình đường tròn tâm I(2;0), bán kính 2.
Gợi ý: Dùng (x−a)²+(y−b)²=R².
Lời giải: (x − 2)² + (y + 0)² = 4.
Giải thích: Dấu trong ngoặc luôn ngược dấu tọa độ tâm.
Lỗi cần tránh: Viết cùng dấu với tọa độ tâm hoặc quên bình phương bán kính.
Cách khác: Thế tâm vào vế trái được 0 và một điểm cách tâm r cho vế trái r².
TỰ LUẬN 5Cho y = 1(x − 2)² − 1. Xác định đỉnh và trục đối xứng.
Gợi ý: Đọc trực tiếp dạng y = a(x−h)²+k.
Lời giải: Parabol có đỉnh I(2; -1) và trục đối xứng x = 2.
Giải thích: Dạng đỉnh cho hình học của parabol mà không cần khai triển.
Lỗi cần tránh: Đổi sai dấu hoành độ đỉnh: thấy x+h lại ghi h.
Cách khác: Thay x = h để kiểm y = k và hai điểm h±1 có cùng tung độ.
TỰ LUẬN 6Tìm tâm và bán kính của x²+y² − 4x − 4y − 17=0.
Gợi ý: Hoàn thành bình phương hoặc so D=−2a, E=−2b.
Lời giải: Tâm I(2;2); R²=8−(-17)=25, nên R=5.
Giải thích: Phương trình tổng quát phải có cùng hệ số của x² và y², không có xy.
Lỗi cần tránh: Lấy tâm (D;E) thay vì (−D/2;−E/2).
Cách khác: Khai triển phương trình tâm–bán kính để kiểm lại.
TỰ LUẬN 7Viết phương trình đường tròn tâm I(0;2), bán kính 2.
Gợi ý: Dùng (x−a)²+(y−b)²=R².
Lời giải: (x + 0)² + (y − 2)² = 4.
Giải thích: Dấu trong ngoặc luôn ngược dấu tọa độ tâm.
Lỗi cần tránh: Viết cùng dấu với tọa độ tâm hoặc quên bình phương bán kính.
Cách khác: Thế tâm vào vế trái được 0 và một điểm cách tâm r cho vế trái r².
TỰ LUẬN 8Xét đường thẳng d: x=1 và đường tròn tâm I(-2;2), R=3. d cắt, tiếp xúc hay không giao đường tròn?
Gợi ý: Tính khoảng cách từ tâm đến đường.
Lời giải: d(I,d)=|-2−(1)|=3=R, nên d tiếp xúc đường tròn.
Giải thích: So khoảng cách tâm–đường với bán kính: nhỏ hơn cắt hai điểm, bằng tiếp xúc, lớn hơn không giao.
Lỗi cần tránh: Thế một điểm tùy ý trên đường rồi kết luận.
Cách khác: Tiếp điểm là (1;2).
TỰ LUẬN 9Tính giá trị của y = -1(x + 2)² + 2 tại x = 0.
Gợi ý: Tính x−h trước rồi mới bình phương.
Lời giải: y = -1·(2)² + 2 = -2.
Giải thích: Dạng đỉnh làm phép thay số ngắn và ít sai dấu.
Lỗi cần tránh: Bình phương sau khi nhân a hoặc quên ngoặc với số âm.
Cách khác: Điểm x = 0 cách trục đối xứng 2 đơn vị.
TỰ LUẬN 10Viết phương trình đường tròn tâm I(-2;-1), bán kính 2.
Gợi ý: Dùng (x−a)²+(y−b)²=R².
Lời giải: (x + 2)² + (y + 1)² = 4.
Giải thích: Dấu trong ngoặc luôn ngược dấu tọa độ tâm.
Lỗi cần tránh: Viết cùng dấu với tọa độ tâm hoặc quên bình phương bán kính.
Cách khác: Thế tâm vào vế trái được 0 và một điểm cách tâm r cho vế trái r².
TỰ LUẬN 11Xét đường thẳng d: x=6 và đường tròn tâm I(3;-1), R=3. d cắt, tiếp xúc hay không giao đường tròn?
Gợi ý: Tính khoảng cách từ tâm đến đường.
Lời giải: d(I,d)=|3−(6)|=3=R, nên d tiếp xúc đường tròn.
Giải thích: So khoảng cách tâm–đường với bán kính: nhỏ hơn cắt hai điểm, bằng tiếp xúc, lớn hơn không giao.
Lỗi cần tránh: Thế một điểm tùy ý trên đường rồi kết luận.
Cách khác: Tiếp điểm là (6;-1).
TỰ LUẬN 12Đường tròn có đường kính AB với A(-4;0), B(4;0). Viết phương trình.
Gợi ý: Tâm là trung điểm AB, bán kính bằng nửa AB.
Lời giải: Tâm O(0;0), R=4; phương trình x²+y²=16.
Giải thích: Đường kính xác định cả tâm và bán kính.
Lỗi cần tránh: Lấy nhầm bán kính R bằng cả đường kính AB=8.
Cách khác: Dùng điều kiện AM⃗·BM⃗=0 rồi rút gọn.
TỰ LUẬN 13Cho y = 1(x − 1)² − 4. Xác định đỉnh và trục đối xứng.
Gợi ý: Đọc trực tiếp dạng y = a(x−h)²+k.
Lời giải: Parabol có đỉnh I(1; -4) và trục đối xứng x = 1.
Giải thích: Dạng đỉnh cho hình học của parabol mà không cần khai triển.
Lỗi cần tránh: Đổi sai dấu hoành độ đỉnh: thấy x+h lại ghi h.
Cách khác: Thay x = h để kiểm y = k và hai điểm h±1 có cùng tung độ.
TỰ LUẬN 14Xét đường thẳng d: x=4 và đường tròn tâm I(1;1), R=3. d cắt, tiếp xúc hay không giao đường tròn?
Gợi ý: Tính khoảng cách từ tâm đến đường.
Lời giải: d(I,d)=|1−(4)|=3=R, nên d tiếp xúc đường tròn.
Giải thích: So khoảng cách tâm–đường với bán kính: nhỏ hơn cắt hai điểm, bằng tiếp xúc, lớn hơn không giao.
Lỗi cần tránh: Thế một điểm tùy ý trên đường rồi kết luận.
Cách khác: Tiếp điểm là (4;1).
TỰ LUẬN 15Đường tròn có đường kính AB với A(-4;0), B(4;0). Viết phương trình.
Gợi ý: Tâm là trung điểm AB, bán kính bằng nửa AB.
Lời giải: Tâm O(0;0), R=4; phương trình x²+y²=16.
Giải thích: Đường kính xác định cả tâm và bán kính.
Lỗi cần tránh: Lấy nhầm bán kính R bằng cả đường kính AB=8.
Cách khác: Dùng điều kiện AM⃗·BM⃗=0 rồi rút gọn.
TỰ LUẬN 16Lập tiếp tuyến của đường tròn x²+y²=25 tại A(5;0).
Gợi ý: Tiếp tuyến qua A và vuông góc bán kính OA.
Lời giải: OA nằm ngang nên tiếp tuyến thẳng đứng: x=5.
Giải thích: Bán kính đi qua tiếp điểm là pháp tuyến của tiếp tuyến.
Lỗi cần tránh: Viết y=0, chính là đường kính chứ không phải tiếp tuyến.
Cách khác: Dùng công thức xx₀+yy₀=R²: 5x=25.
TỰ LUẬN 17Tính giá trị của y = -1(x + 3)² − 1 tại x = -1.
Gợi ý: Tính x−h trước rồi mới bình phương.
Lời giải: y = -1·(2)² − 1 = -5.
Giải thích: Dạng đỉnh làm phép thay số ngắn và ít sai dấu.
Lỗi cần tránh: Bình phương sau khi nhân a hoặc quên ngoặc với số âm.
Cách khác: Điểm x = -1 cách trục đối xứng 2 đơn vị.
TỰ LUẬN 18Đường tròn có đường kính AB với A(-4;0), B(4;0). Viết phương trình.
Gợi ý: Tâm là trung điểm AB, bán kính bằng nửa AB.
Lời giải: Tâm O(0;0), R=4; phương trình x²+y²=16.
Giải thích: Đường kính xác định cả tâm và bán kính.
Lỗi cần tránh: Lấy nhầm bán kính R bằng cả đường kính AB=8.
Cách khác: Dùng điều kiện AM⃗·BM⃗=0 rồi rút gọn.
TỰ LUẬN 19Lập tiếp tuyến của đường tròn x²+y²=25 tại A(5;0).
Gợi ý: Tiếp tuyến qua A và vuông góc bán kính OA.
Lời giải: OA nằm ngang nên tiếp tuyến thẳng đứng: x=5.
Giải thích: Bán kính đi qua tiếp điểm là pháp tuyến của tiếp tuyến.
Lỗi cần tránh: Viết y=0, chính là đường kính chứ không phải tiếp tuyến.
Cách khác: Dùng công thức xx₀+yy₀=R²: 5x=25.
TỰ LUẬN 20Điểm M(2;-2) nằm ở đâu so với đường tròn tâm I(0;-2), R=2?
Gợi ý: So sánh IM với R.
Lời giải: IM=√[(2−0)²+(-2−-2)²]=2=R, nên M nằm trên đường tròn.
Giải thích: Bình phương khoảng cách cũng có thể so trực tiếp với R².
Lỗi cần tránh: So IM² với R thay vì R².
Cách khác: Thế M vào phương trình đường tròn; hai vế bằng nhau.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B21-NB-01, T10-B21-NB-02, T10-B21-NB-03, T10-B21-NB-04, T10-B21-NB-05, T10-B21-NB-06, T10-B21-NB-07, T10-B21-NB-08, T10-B21-NB-09, T10-B21-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B21-NB-01: -8
- T10-B21-NB-02: (3; −2)
- T10-B21-NB-03: 0
- T10-B21-NB-04: (x + 3)² + (y + 2)² = 4
- T10-B21-NB-05: I(-2; -1), R=3
- T10-B21-NB-06: Trên đường tròn
- T10-B21-NB-07: x = 5
- T10-B21-NB-08: x² + y² = 4
- T10-B21-NB-09: Tiếp xúc
- T10-B21-NB-10: (x − 3)² + (y + 1)² = 16
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 7
10 câu đại diện: T10-B21-NB-11, T10-B21-NB-12, T10-B21-NB-13, T10-B21-NB-14, T10-B21-NB-15, T10-B21-NB-16, T10-B21-NB-17, T10-B21-NB-18, T10-B21-NB-19, T10-B21-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B21-NB-11: I(-3; 0), R=5
- T10-B21-NB-12: Trên đường tròn
- T10-B21-NB-13: x = 3
- T10-B21-NB-14: x² + y² = 16
- T10-B21-NB-15: Tiếp xúc
- T10-B21-NB-16: (x − 2)² + (y + 0)² = 4
- T10-B21-NB-17: I(3; 1), R=3
- T10-B21-NB-18: Trên đường tròn
- T10-B21-NB-19: x = 5
- T10-B21-NB-20: x² + y² = 4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B21-TH-01, T10-B21-TH-02, T10-B21-TH-03, T10-B21-TH-04, T10-B21-TH-05, T10-B21-TH-06, T10-B21-TH-07, T10-B21-TH-08, T10-B21-TH-09, T10-B21-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B21-TH-01: I(2; -1), x = 2
- T10-B21-TH-02: (3; −2)
- T10-B21-TH-03: 0
- T10-B21-TH-04: Tiếp xúc
- T10-B21-TH-05: (x − 1)² + (y − 1)² = 16
- T10-B21-TH-06: I(2; 2), R=5
- T10-B21-TH-07: Trên đường tròn
- T10-B21-TH-08: x = 3
- T10-B21-TH-09: x² + y² = 16
- T10-B21-TH-10: Tiếp xúc
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B21-TH-11, T10-B21-TH-12, T10-B21-TH-13, T10-B21-TH-14, T10-B21-TH-15, T10-B21-TH-16, T10-B21-TH-17, T10-B21-TH-18, T10-B21-TH-19, T10-B21-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B21-TH-11: (x + 0)² + (y − 2)² = 4
- T10-B21-TH-12: I(1; -2), R=3
- T10-B21-TH-13: Trên đường tròn
- T10-B21-TH-14: x = 5
- T10-B21-TH-15: x² + y² = 4
- T10-B21-TH-16: Tiếp xúc
- T10-B21-TH-17: (x + 1)² + (y + 2)² = 16
- T10-B21-TH-18: I(0; -1), R=5
- T10-B21-TH-19: Trên đường tròn
- T10-B21-TH-20: x = 3
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B21-VD-01, T10-B21-VD-02, T10-B21-VD-03, T10-B21-VD-04, T10-B21-VD-05, T10-B21-VD-06, T10-B21-VD-07, T10-B21-VD-08, T10-B21-VD-09, T10-B21-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B21-VD-01: -2
- T10-B21-VD-02: (3; −2)
- T10-B21-VD-03: 0
- T10-B21-VD-04: x² + y² = 16
- T10-B21-VD-05: Tiếp xúc
- T10-B21-VD-06: (x + 2)² + (y + 1)² = 4
- T10-B21-VD-07: I(-1; 0), R=3
- T10-B21-VD-08: Trên đường tròn
- T10-B21-VD-09: x = 5
- T10-B21-VD-10: x² + y² = 4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 50–65 phút; yêu cầu con nói điều kiện và dự đoán kết quả trước khi bấm máy.
- Nếu con sai, hỏi con đang dùng biểu diễn đại số hay hình học và có thể đổi sang cách kia không.
- Cho con làm lại một câu tương tự sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày.
- Theo dõi loại lỗi giảm dần: điều kiện, công thức, biến đổi, kết luận và trình bày.
- Chỉ chuyển bài khi đạt 80% và giải thích được ba câu sai gần nhất.
- Mở bài bằng một dữ liệu thực tế hoặc hình động để học sinh dự đoán trước công thức.
- Yêu cầu học sinh nói miền xác định, dấu, số giao điểm hoặc hình dạng trước khi tính.
- Tách lỗi khái niệm, điều kiện, biểu diễn, biến đổi và nghiệm ngoại lai.
- Dùng câu hỏi ngược: thay đổi tham số nào thì đồ thị hoặc vị trí hình học đổi ra sao?
- Đề gắn nhãn Hà Nội là đề nội bộ tham khảo cấu trúc, không phải đề chính thức của Sở.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.