Nhận mô hình trước
Học hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp bằng câu hỏi về đối tượng, thứ tự, điều kiện và tính đồng khả năng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 24. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Bài học xây cây quyết định chọn–xếp, giải thích công thức từ quy tắc nhân và dùng các bài phân vai, lập nhóm, xếp cạnh nhau để chống học vẹt.
Đổi thứ tự có đổi phương án hay không?
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Đếm có kiểm soát
Mỗi lời giải đều mô tả một kết quả, chống đếm trùng và có phép kiểm thứ hai.
Ra quyết định thực tế
Xếp lịch, chọn nhóm, mã hóa, kiểm thử và đánh giá rủi ro đều cần tư duy tổ hợp–xác suất.
Không lệ thuộc đáp án
Liệt kê trường hợp nhỏ, dùng sơ đồ cây, biến cố đối, đối xứng hoặc công thức tương đương.
- Tính đúng giai thừa.
- Nhận diện hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
- Giải bài phân vai, lập nhóm và ràng buộc.
- Kiểm kết quả bằng quy tắc nhân hoặc đối xứng.
- Quy tắc cộng–nhân.
- Đếm không lặp.
- Tập hợp con.
- Đọc vai trò của vị trí.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Giai thừa và hoán vị
Hiểu đơn giản: Xếp toàn bộ n phần tử khác nhau thành hàng có n! cách.
Pₙ=n!=n(n−1)…2·1; 0!=1.
Ví dụ: Xếp 5 người: 5!=120 cách.
Hình nên dùng: n vị trí với số lựa chọn giảm dần.
Mô phỏng: Đổi n và quan sát tích.
Mẹo nhớ: Dùng hết–xếp hết → n!.
Sai lầm: Cho 0!=0.
Ghi chú: 0!=1 giúp các công thức tổ hợp đúng ở trường hợp biên.
Chỉnh hợp
Hiểu đơn giản: Chọn k phần tử từ n và xếp vào k vị trí có phân biệt.
Aₙᵏ=n!/(n−k)!, 0≤k≤n.
Ví dụ: Chọn nhất–nhì–ba từ 8 người: A₈³.
Hình nên dùng: Ba bục có vai trò khác nhau.
Mô phỏng: Đổi n,k và xem tích giảm dần.
Mẹo nhớ: Chọn có thứ tự.
Sai lầm: Dùng tổ hợp cho bài có chức vụ.
Ghi chú: Aₙⁿ=Pₙ.
Tổ hợp
Hiểu đơn giản: Chọn một nhóm k phần tử, không quan tâm thứ tự kể tên.
Cₙᵏ=n!/[k!(n−k)!].
Ví dụ: Chọn 3 bạn từ 8 bạn: C₈³.
Hình nên dùng: Một vòng tròn bao quanh nhóm được chọn.
Mô phỏng: Đổi thứ tự thành viên và thấy nhóm không đổi.
Mẹo nhớ: Chỉ chọn nhóm → tổ hợp.
Sai lầm: Đếm ABC và BAC thành hai nhóm.
Ghi chú: Cₙᵏ=Cₙⁿ⁻ᵏ.
Nhận dạng mô hình
Hiểu đơn giản: Câu hỏi quyết định là: đổi thứ tự có tạo phương án mới không?
Dùng hết+có thứ tự: hoán vị; lấy k+có thứ tự: chỉnh hợp; lấy k+không thứ tự: tổ hợp.
Ví dụ: Chọn đội là tổ hợp; phân huy chương là chỉnh hợp.
Hình nên dùng: Cây quyết định ba nhánh.
Mô phỏng: Chuyển bật/tắt “có phân vai”.
Mẹo nhớ: Đổi chỗ có đổi cách?
Sai lầm: Chọn công thức theo từ khóa mà không đọc vai trò.
Ghi chú: Nhiều bài cần phối hợp quy tắc đếm với nhiều mô hình.
Ràng buộc khi xếp
Hiểu đơn giản: Gộp khối khi phải cạnh nhau; đếm bù khi không được cạnh nhau.
Hai phần tử cạnh nhau: xem như một khối rồi nhân số thứ tự trong khối.
Ví dụ: A,B cạnh nhau trong n người: 2(n−1)!.
Hình nên dùng: Khối AB di chuyển trong hàng.
Mô phỏng: Khóa/mở điều kiện cạnh nhau.
Mẹo nhớ: Cạnh nhau → gộp khối.
Sai lầm: Gộp khối nhưng quên AB và BA.
Ghi chú: Điều kiện phức tạp cần tách trường hợp rời nhau.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB CHỌN–XẾP
So sánh Pₙ, Aₙᵏ và Cₙᵏ
Chọn mô hình, nhập n và k. Hãy tự hỏi đổi thứ tự có tạo phương án mới không.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Xếp 5 học sinh khác nhau thành một hàng. Có bao nhiêu cách?
Phân tích: Hoán vị dùng toàn bộ n phần tử và thứ tự tạo ra cách mới.
Hướng làm: Dùng hoán vị của n phần tử.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Dùng hoán vị của n phần tử.
- Bước 3: Theo công thức hoán vị: P5=5!=120 cách.
Vì sao: Hoán vị dùng toàn bộ n phần tử và thứ tự tạo ra cách mới.
Cách khác: Áp dụng quy tắc nhân: 5·4·…·1.
Tự kiểm: Đáp số: 120. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Từ 6 học sinh, chọn và xếp 3 bạn vào 3 vị trí khác nhau. Có bao nhiêu cách?
Phân tích: Chỉnh hợp chập k dùng k phần tử lấy từ n và có xét thứ tự.
Hướng làm: Có chọn và vị trí có vai trò khác nhau, nên thứ tự quan trọng.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Có chọn và vị trí có vai trò khác nhau, nên thứ tự quan trọng.
- Bước 3: A(6,3)=6!/(6−3)!=120.
Vì sao: Chỉnh hợp chập k dùng k phần tử lấy từ n và có xét thứ tự.
Cách khác: Nhân 3 thừa số giảm dần từ 6.
Tự kiểm: Đáp số: 120. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Chọn 4 học sinh từ 7 học sinh để lập một nhóm không phân vai. Có bao nhiêu cách?
Phân tích: Tổ hợp chập k không xét thứ tự.
Hướng làm: Trong cùng một nhóm, đổi thứ tự kể tên không tạo nhóm mới.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Trong cùng một nhóm, đổi thứ tự kể tên không tạo nhóm mới.
- Bước 3: C(7,4)=7!/[4!(7−4)!]=35.
Vì sao: Tổ hợp chập k không xét thứ tự.
Cách khác: Lấy A(7,4) rồi chia cho 4! cách sắp trong mỗi nhóm.
Tự kiểm: Đáp số: 35. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Từ 8 người, chọn một lớp trưởng và một lớp phó. Có bao nhiêu cách?
Phân tích: Bài có phân vai là bài xét thứ tự.
Hướng làm: Hai chức vụ khác nhau nên đổi người giữa hai chức vụ tạo phương án mới.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Hai chức vụ khác nhau nên đổi người giữa hai chức vụ tạo phương án mới.
- Bước 3: Có A(8,2)=8·7=56 cách.
Vì sao: Bài có phân vai là bài xét thứ tự.
Cách khác: Chọn lớp trưởng 8 cách, rồi lớp phó 7 cách.
Tự kiểm: Đáp số: 56. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Một giải có 9 đội, mỗi cặp đội gặp nhau đúng một trận. Có bao nhiêu trận?
Phân tích: Trận A–B và B–A là cùng một cặp trong mô hình gặp một lượt.
Hướng làm: Mỗi trận tương ứng một cặp đội không phân thứ tự.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Mỗi trận tương ứng một cặp đội không phân thứ tự.
- Bước 3: Số trận là C(9,2)=36.
Vì sao: Trận A–B và B–A là cùng một cặp trong mô hình gặp một lượt.
Cách khác: Tổng (8)+(7)+…+1=36.
Tự kiểm: Đáp số: 36. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Xếp 5 người thành hàng, trong đó An và Bình phải đứng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?
Phân tích: Khối AB cùng n−2 người khác tạo n−1 đối tượng.
Hướng làm: Gộp An–Bình thành một khối rồi xét hai thứ tự trong khối.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Gộp An–Bình thành một khối rồi xét hai thứ tự trong khối.
- Bước 3: Có (5−1)!·2=24·2=48 cách.
Vì sao: Khối AB cùng n−2 người khác tạo n−1 đối tượng.
Cách khác: Đếm hai trường hợp khối AB và BA, mỗi trường hợp (4)! cách.
Tự kiểm: Đáp số: 48. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Một đa giác có 10 đỉnh. Có bao nhiêu đoạn thẳng nối hai đỉnh?
Phân tích: Chọn hai đầu mút là một tổ hợp chập 2.
Hướng làm: Mỗi đoạn được xác định bởi một cặp đỉnh không thứ tự.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Mỗi đoạn được xác định bởi một cặp đỉnh không thứ tự.
- Bước 3: Có C(10,2)=45 đoạn.
Vì sao: Chọn hai đầu mút là một tổ hợp chập 2.
Cách khác: Dùng công thức n(n−1)/2 với n=10.
Tự kiểm: Đáp số: 45. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Xếp 7 học sinh khác nhau thành một hàng. Có bao nhiêu cách?
Phân tích: Hoán vị dùng toàn bộ n phần tử và thứ tự tạo ra cách mới.
Hướng làm: Dùng hoán vị của n phần tử.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Dùng hoán vị của n phần tử.
- Bước 3: Theo công thức hoán vị: P7=7!=5040 cách.
Vì sao: Hoán vị dùng toàn bộ n phần tử và thứ tự tạo ra cách mới.
Cách khác: Áp dụng quy tắc nhân: 7·6·…·1.
Tự kiểm: Đáp số: 5040. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Từ 8 học sinh, chọn và xếp 2 bạn vào 2 vị trí khác nhau. Có bao nhiêu cách?
Phân tích: Chỉnh hợp chập k dùng k phần tử lấy từ n và có xét thứ tự.
Hướng làm: Có chọn và vị trí có vai trò khác nhau, nên thứ tự quan trọng.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Có chọn và vị trí có vai trò khác nhau, nên thứ tự quan trọng.
- Bước 3: A(8,2)=8!/(8−2)!=56.
Vì sao: Chỉnh hợp chập k dùng k phần tử lấy từ n và có xét thứ tự.
Cách khác: Nhân 2 thừa số giảm dần từ 8.
Tự kiểm: Đáp số: 56. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Chọn 3 học sinh từ 9 học sinh để lập một nhóm không phân vai. Có bao nhiêu cách?
Phân tích: Tổ hợp chập k không xét thứ tự.
Hướng làm: Trong cùng một nhóm, đổi thứ tự kể tên không tạo nhóm mới.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Trong cùng một nhóm, đổi thứ tự kể tên không tạo nhóm mới.
- Bước 3: C(9,3)=9!/[3!(9−3)!]=84.
Vì sao: Tổ hợp chập k không xét thứ tự.
Cách khác: Lấy A(9,3) rồi chia cho 3! cách sắp trong mỗi nhóm.
Tự kiểm: Đáp số: 84. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Lập thực đơn không trùng
Quy tắc đếm cho biết số cách phối món, khung giờ và lựa chọn trong giới hạn ngân sách.
Xếp lịch và chia nhóm
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp giúp phân vai, chọn đội và tránh đếm một nhóm nhiều lần.
Đọc rủi ro đúng
Xác suất biến một nhận xét mơ hồ thành tỉ lệ có không gian mẫu và giả thiết rõ.
Thí nghiệm lặp
Mô hình đồng xu, xúc xắc và chọn mẫu rèn cách mô tả kết quả trước khi kết luận.
Mã hóa và kiểm thử
Số chuỗi, số cấu hình và trường hợp biên quyết định độ lớn của không gian cần kiểm tra.
Kiểm soát chất lượng
Chọn mẫu ngẫu nhiên và xác suất giúp ước lượng rủi ro lỗi trong lô sản phẩm.
Tính đa dạng
Tổ hợp mô tả số cách ghép đặc điểm; xác suất mô tả khả năng xuất hiện trong mô hình.
Dữ liệu và quyết định
Logistics, bảo hiểm, tài chính, AI và an toàn hệ thống đều cần tư duy đếm không trùng.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Giai thừa và hoán vị dùng khi nào?
Xếp toàn bộ n phần tử khác nhau thành hàng có n! cách. Dấu hiệu nhận biết: Dùng hết–xếp hết → n!.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Cho 0!=0.
Quay lại Giai thừa và hoán vị: Pₙ=n!=n(n−1)…2·1; 0!=1. Kiểm bằng Xếp 5 người: 5!=120 cách.
2. Dùng tổ hợp cho bài có chức vụ.
Quay lại Chỉnh hợp: Aₙᵏ=n!/(n−k)!, 0≤k≤n. Kiểm bằng Chọn nhất–nhì–ba từ 8 người: A₈³.
3. Đếm ABC và BAC thành hai nhóm.
Quay lại Tổ hợp: Cₙᵏ=n!/[k!(n−k)!]. Kiểm bằng Chọn 3 bạn từ 8 bạn: C₈³.
4. Chọn công thức theo từ khóa mà không đọc vai trò.
Quay lại Nhận dạng mô hình: Dùng hết+có thứ tự: hoán vị; lấy k+có thứ tự: chỉnh hợp; lấy k+không thứ tự: tổ hợp. Kiểm bằng Chọn đội là tổ hợp; phân huy chương là chỉnh hợp.
5. Gộp khối nhưng quên AB và BA.
Quay lại Ràng buộc khi xếp: Hai phần tử cạnh nhau: xem như một khối rồi nhân số thứ tự trong khối. Kiểm bằng A,B cạnh nhau trong n người: 2(n−1)!.
6. Cho 0!=0.
Quay lại Giai thừa và hoán vị: Pₙ=n!=n(n−1)…2·1; 0!=1. Kiểm bằng Xếp 5 người: 5!=120 cách.
7. Dùng tổ hợp cho bài có chức vụ.
Quay lại Chỉnh hợp: Aₙᵏ=n!/(n−k)!, 0≤k≤n. Kiểm bằng Chọn nhất–nhì–ba từ 8 người: A₈³.
8. Đếm ABC và BAC thành hai nhóm.
Quay lại Tổ hợp: Cₙᵏ=n!/[k!(n−k)!]. Kiểm bằng Chọn 3 bạn từ 8 bạn: C₈³.
9. Chọn công thức theo từ khóa mà không đọc vai trò.
Quay lại Nhận dạng mô hình: Dùng hết+có thứ tự: hoán vị; lấy k+có thứ tự: chỉnh hợp; lấy k+không thứ tự: tổ hợp. Kiểm bằng Chọn đội là tổ hợp; phân huy chương là chỉnh hợp.
10. Gộp khối nhưng quên AB và BA.
Quay lại Ràng buộc khi xếp: Hai phần tử cạnh nhau: xem như một khối rồi nhân số thứ tự trong khối. Kiểm bằng A,B cạnh nhau trong n người: 2(n−1)!.
11. Cho 0!=0.
Quay lại Giai thừa và hoán vị: Pₙ=n!=n(n−1)…2·1; 0!=1. Kiểm bằng Xếp 5 người: 5!=120 cách.
12. Dùng tổ hợp cho bài có chức vụ.
Quay lại Chỉnh hợp: Aₙᵏ=n!/(n−k)!, 0≤k≤n. Kiểm bằng Chọn nhất–nhì–ba từ 8 người: A₈³.
13. Đếm ABC và BAC thành hai nhóm.
Quay lại Tổ hợp: Cₙᵏ=n!/[k!(n−k)!]. Kiểm bằng Chọn 3 bạn từ 8 bạn: C₈³.
14. Chọn công thức theo từ khóa mà không đọc vai trò.
Quay lại Nhận dạng mô hình: Dùng hết+có thứ tự: hoán vị; lấy k+có thứ tự: chỉnh hợp; lấy k+không thứ tự: tổ hợp. Kiểm bằng Chọn đội là tổ hợp; phân huy chương là chỉnh hợp.
15. Gộp khối nhưng quên AB và BA.
Quay lại Ràng buộc khi xếp: Hai phần tử cạnh nhau: xem như một khối rồi nhân số thứ tự trong khối. Kiểm bằng A,B cạnh nhau trong n người: 2(n−1)!.
16. Cho 0!=0.
Quay lại Giai thừa và hoán vị: Pₙ=n!=n(n−1)…2·1; 0!=1. Kiểm bằng Xếp 5 người: 5!=120 cách.
17. Dùng tổ hợp cho bài có chức vụ.
Quay lại Chỉnh hợp: Aₙᵏ=n!/(n−k)!, 0≤k≤n. Kiểm bằng Chọn nhất–nhì–ba từ 8 người: A₈³.
18. Đếm ABC và BAC thành hai nhóm.
Quay lại Tổ hợp: Cₙᵏ=n!/[k!(n−k)!]. Kiểm bằng Chọn 3 bạn từ 8 bạn: C₈³.
19. Chọn công thức theo từ khóa mà không đọc vai trò.
Quay lại Nhận dạng mô hình: Dùng hết+có thứ tự: hoán vị; lấy k+có thứ tự: chỉnh hợp; lấy k+không thứ tự: tổ hợp. Kiểm bằng Chọn đội là tổ hợp; phân huy chương là chỉnh hợp.
20. Gộp khối nhưng quên AB và BA.
Quay lại Ràng buộc khi xếp: Hai phần tử cạnh nhau: xem như một khối rồi nhân số thứ tự trong khối. Kiểm bằng A,B cạnh nhau trong n người: 2(n−1)!.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chọn hay xếp?
Đổi thứ tự có tạo phương án mới không? Có thì nghĩ đến chỉnh hợp/hoán vị; không thì nghĩ đến tổ hợp.
Vẽ cây trước công thức
Với bài mới, mô tả các công đoạn và số nhánh để quyết định cộng hay nhân.
Đặt tên kết quả sơ cấp
Viết một kết quả điển hình của Ω để tránh thiếu trường hợp hoặc đếm sai thứ tự.
Kiểm điều kiện đồng khả năng
Chỉ dùng tỉ số số phần tử trực tiếp khi các kết quả sơ cấp có cùng khả năng.
Đếm hai cách
Kiểm bằng biến cố đối, đối xứng, sơ đồ cây hoặc công thức tương đương.
Ôn 1–3–7
Sau 1 ngày ôn công thức có điều kiện; sau 3 ngày làm bài trộn; sau 7 ngày làm đề ngắn.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp1 2 3 4 5
Giai thừa và hoán vịDùng hết–xếp hết → n!.
Chỉnh hợpChọn có thứ tự.
Tổ hợpChỉ chọn nhóm → tổ hợp.
Nhận dạng mô hìnhĐổi chỗ có đổi cách?
Ràng buộc khi xếpCạnh nhau → gộp khối.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
T10-B24-NB-01Ôn Chương 6: Tính f(-2) với f(x)=x²−2x−3.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay x=-2, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(-2)=(-2)²−2·(-2)−3=5.
Vì sao: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Sai ở đâu: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=-2 để kiểm.
T10-B24-NB-02Ôn Chương 7: Tính khoảng cách từ O(0;0) đến đường thẳng 3x+4y−10=0.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²).
Lời giải: d=|−10|/√(3²+4²)=10/5=2.
Vì sao: Mẫu số là độ dài vectơ pháp tuyến (3;4), bằng 5.
Sai ở đâu: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho 3+4 thay vì √(3²+4²).
Cách khác: Nhận bộ ba 3–4–5 để rút gọn ngay.
T10-B24-NB-03Ôn Chương 7: Đường tròn (x−2)²+(y+1)²=16 có bán kính bao nhiêu?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh với (x−a)²+(y−b)²=R².
Lời giải: R²=16 nên R=4>0.
Vì sao: Bán kính là căn dương của vế phải, không phải chính vế phải.
Sai ở đâu: Kết luận bán kính bằng R².
Cách khác: Kiểm một điểm cách tâm I(2;−1) đúng 4 đơn vị.
T10-B24-NB-04Xếp 5 học sinh khác nhau thành một hàng. Có bao nhiêu cách?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng hoán vị của n phần tử.
Lời giải: Theo công thức hoán vị: P5=5!=120 cách.
Vì sao: Hoán vị dùng toàn bộ n phần tử và thứ tự tạo ra cách mới.
Sai ở đâu: Dùng n² hoặc n thay cho n!.
Cách khác: Áp dụng quy tắc nhân: 5·4·…·1.
T10-B24-NB-05Từ 6 học sinh, chọn và xếp 3 bạn vào 3 vị trí khác nhau. Có bao nhiêu cách?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Có chọn và vị trí có vai trò khác nhau, nên thứ tự quan trọng.
Lời giải: A(6,3)=6!/(6−3)!=120.
Vì sao: Chỉnh hợp chập k dùng k phần tử lấy từ n và có xét thứ tự.
Sai ở đâu: Dùng tổ hợp vì chỉ chú ý nhóm được chọn.
Cách khác: Nhân 3 thừa số giảm dần từ 6.
T10-B24-NB-06Chọn 4 học sinh từ 7 học sinh để lập một nhóm không phân vai. Có bao nhiêu cách?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Trong cùng một nhóm, đổi thứ tự kể tên không tạo nhóm mới.
Lời giải: C(7,4)=7!/[4!(7−4)!]=35.
Vì sao: Tổ hợp chập k không xét thứ tự.
Sai ở đâu: Dùng chỉnh hợp và đếm mỗi nhóm k! lần.
Cách khác: Lấy A(7,4) rồi chia cho 4! cách sắp trong mỗi nhóm.
T10-B24-NB-07Từ 8 người, chọn một lớp trưởng và một lớp phó. Có bao nhiêu cách?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai chức vụ khác nhau nên đổi người giữa hai chức vụ tạo phương án mới.
Lời giải: Có A(8,2)=8·7=56 cách.
Vì sao: Bài có phân vai là bài xét thứ tự.
Sai ở đâu: Dùng C(n,2) và bỏ mất hai cách phân vai trong mỗi cặp.
Cách khác: Chọn lớp trưởng 8 cách, rồi lớp phó 7 cách.
T10-B24-NB-08Một giải có 9 đội, mỗi cặp đội gặp nhau đúng một trận. Có bao nhiêu trận?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mỗi trận tương ứng một cặp đội không phân thứ tự.
Lời giải: Số trận là C(9,2)=36.
Vì sao: Trận A–B và B–A là cùng một cặp trong mô hình gặp một lượt.
Sai ở đâu: Dùng A(n,2) và đếm mỗi trận hai lần.
Cách khác: Tổng (8)+(7)+…+1=36.
T10-B24-NB-09Xếp 5 người thành hàng, trong đó An và Bình phải đứng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Gộp An–Bình thành một khối rồi xét hai thứ tự trong khối.
Lời giải: Có (5−1)!·2=24·2=48 cách.
Vì sao: Khối AB cùng n−2 người khác tạo n−1 đối tượng.
Sai ở đâu: Dùng n! rồi chia 2 mà không có lập luận.
Cách khác: Đếm hai trường hợp khối AB và BA, mỗi trường hợp (4)! cách.
T10-B24-NB-10Một đa giác có 10 đỉnh. Có bao nhiêu đoạn thẳng nối hai đỉnh?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mỗi đoạn được xác định bởi một cặp đỉnh không thứ tự.
Lời giải: Có C(10,2)=45 đoạn.
Vì sao: Chọn hai đầu mút là một tổ hợp chập 2.
Sai ở đâu: Nhân n(n−1) và đếm mỗi đoạn hai lần.
Cách khác: Dùng công thức n(n−1)/2 với n=10.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Ôn Chương 6: Tính f(-2) với f(x)=x²−2x−3.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Ôn Chương 6: Tính f(-2) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=-2, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(-2)=(-2)²−2·(-2)−3=5.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=-2 để kiểm.
TỰ LUẬN 2Chọn 4 học sinh từ 7 học sinh để lập một nhóm không phân vai. Có bao nhiêu cách?
Gợi ý: Trong cùng một nhóm, đổi thứ tự kể tên không tạo nhóm mới.
Lời giải: C(7,4)=7!/[4!(7−4)!]=35.
Giải thích: Tổ hợp chập k không xét thứ tự.
Lỗi cần tránh: Dùng chỉnh hợp và đếm mỗi nhóm k! lần.
Cách khác: Lấy A(7,4) rồi chia cho 4! cách sắp trong mỗi nhóm.
TỰ LUẬN 3Xếp 7 học sinh khác nhau thành một hàng. Có bao nhiêu cách?
Gợi ý: Dùng hoán vị của n phần tử.
Lời giải: Theo công thức hoán vị: P7=7!=5040 cách.
Giải thích: Hoán vị dùng toàn bộ n phần tử và thứ tự tạo ra cách mới.
Lỗi cần tránh: Dùng n² hoặc n thay cho n!.
Cách khác: Áp dụng quy tắc nhân: 7·6·…·1.
TỰ LUẬN 4Xếp 7 người thành hàng, trong đó An và Bình phải đứng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?
Gợi ý: Gộp An–Bình thành một khối rồi xét hai thứ tự trong khối.
Lời giải: Có (7−1)!·2=720·2=1440 cách.
Giải thích: Khối AB cùng n−2 người khác tạo n−1 đối tượng.
Lỗi cần tránh: Dùng n! rồi chia 2 mà không có lập luận.
Cách khác: Đếm hai trường hợp khối AB và BA, mỗi trường hợp (6)! cách.
TỰ LUẬN 5Ôn Chương 6: Tính f(1) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=1, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(1)=(1)²−2·(1)−3=-4.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=1 để kiểm.
TỰ LUẬN 6Xếp 9 người thành hàng, trong đó An và Bình phải đứng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?
Gợi ý: Gộp An–Bình thành một khối rồi xét hai thứ tự trong khối.
Lời giải: Có (9−1)!·2=40320·2=80640 cách.
Giải thích: Khối AB cùng n−2 người khác tạo n−1 đối tượng.
Lỗi cần tránh: Dùng n! rồi chia 2 mà không có lập luận.
Cách khác: Đếm hai trường hợp khối AB và BA, mỗi trường hợp (8)! cách.
TỰ LUẬN 7Từ 9 người, chọn một lớp trưởng và một lớp phó. Có bao nhiêu cách?
Gợi ý: Hai chức vụ khác nhau nên đổi người giữa hai chức vụ tạo phương án mới.
Lời giải: Có A(9,2)=9·8=72 cách.
Giải thích: Bài có phân vai là bài xét thứ tự.
Lỗi cần tránh: Dùng C(n,2) và bỏ mất hai cách phân vai trong mỗi cặp.
Cách khác: Chọn lớp trưởng 9 cách, rồi lớp phó 8 cách.
TỰ LUẬN 8Từ 9 học sinh, chọn và xếp 3 bạn vào 3 vị trí khác nhau. Có bao nhiêu cách?
Gợi ý: Có chọn và vị trí có vai trò khác nhau, nên thứ tự quan trọng.
Lời giải: A(9,3)=9!/(9−3)!=504.
Giải thích: Chỉnh hợp chập k dùng k phần tử lấy từ n và có xét thứ tự.
Lỗi cần tránh: Dùng tổ hợp vì chỉ chú ý nhóm được chọn.
Cách khác: Nhân 3 thừa số giảm dần từ 9.
TỰ LUẬN 9Ôn Chương 6: Tính f(-1) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=-1, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(-1)=(-1)²−2·(-1)−3=0.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=-1 để kiểm.
TỰ LUẬN 10Từ 6 học sinh, chọn và xếp 2 bạn vào 2 vị trí khác nhau. Có bao nhiêu cách?
Gợi ý: Có chọn và vị trí có vai trò khác nhau, nên thứ tự quan trọng.
Lời giải: A(6,2)=6!/(6−2)!=30.
Giải thích: Chỉnh hợp chập k dùng k phần tử lấy từ n và có xét thứ tự.
Lỗi cần tránh: Dùng tổ hợp vì chỉ chú ý nhóm được chọn.
Cách khác: Nhân 2 thừa số giảm dần từ 6.
TỰ LUẬN 11Một đa giác có 5 đỉnh. Có bao nhiêu đoạn thẳng nối hai đỉnh?
Gợi ý: Mỗi đoạn được xác định bởi một cặp đỉnh không thứ tự.
Lời giải: Có C(5,2)=10 đoạn.
Giải thích: Chọn hai đầu mút là một tổ hợp chập 2.
Lỗi cần tránh: Nhân n(n−1) và đếm mỗi đoạn hai lần.
Cách khác: Dùng công thức n(n−1)/2 với n=5.
TỰ LUẬN 12Một giải có 6 đội, mỗi cặp đội gặp nhau đúng một trận. Có bao nhiêu trận?
Gợi ý: Mỗi trận tương ứng một cặp đội không phân thứ tự.
Lời giải: Số trận là C(6,2)=15.
Giải thích: Trận A–B và B–A là cùng một cặp trong mô hình gặp một lượt.
Lỗi cần tránh: Dùng A(n,2) và đếm mỗi trận hai lần.
Cách khác: Tổng (5)+(4)+…+1=15.
TỰ LUẬN 13Ôn Chương 6: Tính f(2) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=2, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(2)=(2)²−2·(2)−3=-3.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=2 để kiểm.
TỰ LUẬN 14Một giải có 8 đội, mỗi cặp đội gặp nhau đúng một trận. Có bao nhiêu trận?
Gợi ý: Mỗi trận tương ứng một cặp đội không phân thứ tự.
Lời giải: Số trận là C(8,2)=28.
Giải thích: Trận A–B và B–A là cùng một cặp trong mô hình gặp một lượt.
Lỗi cần tránh: Dùng A(n,2) và đếm mỗi trận hai lần.
Cách khác: Tổng (7)+(6)+…+1=28.
TỰ LUẬN 15Chọn 4 học sinh từ 8 học sinh để lập một nhóm không phân vai. Có bao nhiêu cách?
Gợi ý: Trong cùng một nhóm, đổi thứ tự kể tên không tạo nhóm mới.
Lời giải: C(8,4)=8!/[4!(8−4)!]=70.
Giải thích: Tổ hợp chập k không xét thứ tự.
Lỗi cần tránh: Dùng chỉnh hợp và đếm mỗi nhóm k! lần.
Cách khác: Lấy A(8,4) rồi chia cho 4! cách sắp trong mỗi nhóm.
TỰ LUẬN 16Xếp 8 học sinh khác nhau thành một hàng. Có bao nhiêu cách?
Gợi ý: Dùng hoán vị của n phần tử.
Lời giải: Theo công thức hoán vị: P8=8!=40320 cách.
Giải thích: Hoán vị dùng toàn bộ n phần tử và thứ tự tạo ra cách mới.
Lỗi cần tránh: Dùng n² hoặc n thay cho n!.
Cách khác: Áp dụng quy tắc nhân: 8·7·…·1.
TỰ LUẬN 17Ôn Chương 6: Tính f(0) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=0, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(0)=(0)²−2·(0)−3=-3.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=0 để kiểm.
TỰ LUẬN 18Xếp 5 học sinh khác nhau thành một hàng. Có bao nhiêu cách?
Gợi ý: Dùng hoán vị của n phần tử.
Lời giải: Theo công thức hoán vị: P5=5!=120 cách.
Giải thích: Hoán vị dùng toàn bộ n phần tử và thứ tự tạo ra cách mới.
Lỗi cần tránh: Dùng n² hoặc n thay cho n!.
Cách khác: Áp dụng quy tắc nhân: 5·4·…·1.
TỰ LUẬN 19Xếp 5 người thành hàng, trong đó An và Bình phải đứng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?
Gợi ý: Gộp An–Bình thành một khối rồi xét hai thứ tự trong khối.
Lời giải: Có (5−1)!·2=24·2=48 cách.
Giải thích: Khối AB cùng n−2 người khác tạo n−1 đối tượng.
Lỗi cần tránh: Dùng n! rồi chia 2 mà không có lập luận.
Cách khác: Đếm hai trường hợp khối AB và BA, mỗi trường hợp (4)! cách.
TỰ LUẬN 20Từ 5 người, chọn một lớp trưởng và một lớp phó. Có bao nhiêu cách?
Gợi ý: Hai chức vụ khác nhau nên đổi người giữa hai chức vụ tạo phương án mới.
Lời giải: Có A(5,2)=5·4=20 cách.
Giải thích: Bài có phân vai là bài xét thứ tự.
Lỗi cần tránh: Dùng C(n,2) và bỏ mất hai cách phân vai trong mỗi cặp.
Cách khác: Chọn lớp trưởng 5 cách, rồi lớp phó 4 cách.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B24-NB-01, T10-B24-NB-02, T10-B24-NB-03, T10-B24-NB-04, T10-B24-NB-05, T10-B24-NB-06, T10-B24-NB-07, T10-B24-NB-08, T10-B24-NB-09, T10-B24-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B24-NB-01: 5
- T10-B24-NB-02: 2
- T10-B24-NB-03: 4
- T10-B24-NB-04: 120
- T10-B24-NB-05: 120
- T10-B24-NB-06: 35
- T10-B24-NB-07: 56
- T10-B24-NB-08: 36
- T10-B24-NB-09: 48
- T10-B24-NB-10: 45
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 8
10 câu đại diện: T10-B24-NB-11, T10-B24-NB-12, T10-B24-NB-13, T10-B24-NB-14, T10-B24-NB-15, T10-B24-NB-16, T10-B24-NB-17, T10-B24-NB-18, T10-B24-NB-19, T10-B24-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B24-NB-11: 5040
- T10-B24-NB-12: 56
- T10-B24-NB-13: 84
- T10-B24-NB-14: 20
- T10-B24-NB-15: 15
- T10-B24-NB-16: 1440
- T10-B24-NB-17: 36
- T10-B24-NB-18: 362880
- T10-B24-NB-19: 120
- T10-B24-NB-20: 15
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B24-TH-01, T10-B24-TH-02, T10-B24-TH-03, T10-B24-TH-04, T10-B24-TH-05, T10-B24-TH-06, T10-B24-TH-07, T10-B24-TH-08, T10-B24-TH-09, T10-B24-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B24-TH-01: -4
- T10-B24-TH-02: 5
- T10-B24-TH-03: 7
- T10-B24-TH-04: 42
- T10-B24-TH-05: 28
- T10-B24-TH-06: 80640
- T10-B24-TH-07: 28
- T10-B24-TH-08: 720
- T10-B24-TH-09: 840
- T10-B24-TH-10: 56
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B24-TH-11, T10-B24-TH-12, T10-B24-TH-13, T10-B24-TH-14, T10-B24-TH-15, T10-B24-TH-16, T10-B24-TH-17, T10-B24-TH-18, T10-B24-TH-19, T10-B24-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B24-TH-11: 72
- T10-B24-TH-12: 10
- T10-B24-TH-13: 240
- T10-B24-TH-14: 21
- T10-B24-TH-15: 40320
- T10-B24-TH-16: 504
- T10-B24-TH-17: 5
- T10-B24-TH-18: 30
- T10-B24-TH-19: 21
- T10-B24-TH-20: 10080
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B24-VD-01, T10-B24-VD-02, T10-B24-VD-03, T10-B24-VD-04, T10-B24-VD-05, T10-B24-VD-06, T10-B24-VD-07, T10-B24-VD-08, T10-B24-VD-09, T10-B24-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B24-VD-01: 0
- T10-B24-VD-02: 3
- T10-B24-VD-03: 4
- T10-B24-VD-04: 15
- T10-B24-VD-05: 120
- T10-B24-VD-06: 30
- T10-B24-VD-07: 35
- T10-B24-VD-08: 56
- T10-B24-VD-09: 36
- T10-B24-VD-10: 48
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 50–65 phút; yêu cầu con nói rõ “có xét thứ tự không?” trước khi viết công thức.
- Nếu con sai xác suất, hỏi con đã mô tả một kết quả của không gian mẫu và kiểm đồng khả năng chưa.
- Khuyến khích con kiểm bài nhỏ bằng liệt kê hoặc sơ đồ cây trước khi dùng máy tính.
- Cho con làm lại một bài cùng cấu trúc sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày.
- Chỉ chuyển bài khi đạt 80% và tự sửa được ba lỗi gần nhất.
- Mở bài bằng tình huống chọn–xếp có cùng dữ kiện để học sinh thấy vai trò của thứ tự.
- Yêu cầu học sinh mô tả không gian mẫu bằng lời trước khi tính xác suất.
- Tách lỗi thành: sai đối tượng, sai thứ tự, đếm trùng, thiếu trường hợp và sai điều kiện đồng khả năng.
- Dùng bảng, sơ đồ cây và mô phỏng để kiểm công thức chứ không thay thế lập luận.
- Đề gắn nhãn Hà Nội là đề nội bộ tham khảo cấu trúc, không phải đề chính thức của Sở.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.