Nhận mô hình trước
Học nhị thức newton bằng câu hỏi về đối tượng, thứ tự, điều kiện và tính đồng khả năng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 25. Nhị thức Newton
Từ việc chọn a hoặc b trong từng thừa số, học sinh hiểu hệ số tổ hợp, số hạng tổng quát, tam giác Pascal và các phép tìm hệ số thông minh.
Hệ số là số cách chọn, hai số mũ chạy ngược chiều
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Đếm có kiểm soát
Mỗi lời giải đều mô tả một kết quả, chống đếm trùng và có phép kiểm thứ hai.
Ra quyết định thực tế
Xếp lịch, chọn nhóm, mã hóa, kiểm thử và đánh giá rủi ro đều cần tư duy tổ hợp–xác suất.
Không lệ thuộc đáp án
Liệt kê trường hợp nhỏ, dùng sơ đồ cây, biến cố đối, đối xứng hoặc công thức tương đương.
- Khai triển nhị thức Newton.
- Viết số hạng tổng quát.
- Tìm hệ số của lũy thừa cho trước.
- Dùng tam giác Pascal và phép thay đặc biệt để kiểm.
- Tổ hợp C(n,k).
- Quy tắc lũy thừa.
- Thu gọn đơn thức.
- Đồng nhất số mũ.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Nhị thức Newton
Hiểu đơn giản: Khai triển một lũy thừa của tổng thành n+1 số hạng có hệ số tổ hợp.
(a+b)ⁿ=Σₖ₌₀ⁿ Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ.
Ví dụ: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.
Hình nên dùng: Hai số mũ chạy ngược chiều.
Mô phỏng: Kéo n và xem số hạng.
Mẹo nhớ: a giảm, b tăng, tổng số mũ luôn n.
Sai lầm: Cho cả hai số mũ cùng tăng.
Ghi chú: Công thức áp dụng cho n nguyên không âm.
Số hạng tổng quát
Hiểu đơn giản: Chỉ số k cho biết chọn b ở k trong n thừa số.
Tₖ₊₁=Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ.
Ví dụ: Số hạng chứa b² ứng với k=2.
Hình nên dùng: n ô, chọn k ô góp b.
Mô phỏng: Chọn k vị trí trong n vị trí.
Mẹo nhớ: Số mũ b chính là k.
Sai lầm: Dùng C(n,k) nhưng gán sai số mũ a.
Ghi chú: Đánh số số hạng từ 1 thì Tₖ₊₁ ứng với chỉ số k.
Tam giác Pascal
Hiểu đơn giản: Mỗi số bên trong bằng tổng hai số ngay phía trên.
Cₙᵏ=Cₙ₋₁ᵏ₋₁+Cₙ₋₁ᵏ.
Ví dụ: Hàng n=4 là 1,4,6,4,1.
Hình nên dùng: Tam giác hệ số đối xứng.
Mô phỏng: Thêm từng hàng bằng phép cộng.
Mẹo nhớ: Hai vai cộng xuống.
Sai lầm: Bỏ hai số 1 ở hai mép.
Ghi chú: Hàng n cung cấp hệ số của (a+b)ⁿ.
Tìm hệ số
Hiểu đơn giản: Đồng nhất số mũ của biến trong số hạng tổng quát rồi tính hệ số còn lại.
Trong (p+x)ⁿ, hệ số xᵏ là Cₙᵏpⁿ⁻ᵏ.
Ví dụ: Hệ số x² trong (2+x)⁵ là C₅²·2³=80.
Hình nên dùng: Tô số hạng có đúng số mũ.
Mô phỏng: Nhập n,k,p và nhận phép tính.
Mẹo nhớ: Khớp số mũ trước, tính sau.
Sai lầm: Dùng pᵏ thay pⁿ⁻ᵏ.
Ghi chú: Nếu biến nằm trong một đơn thức phức tạp, phải nhân cả hệ số và số mũ.
Tổng hệ số và kiểm nhanh
Hiểu đơn giản: Thay biến bằng 1 để lấy tổng hệ số; thay −1 để lấy tổng đan dấu.
Tổng hệ số của P(x) là P(1).
Ví dụ: Tổng hệ số (x+1)⁶ là 2⁶=64.
Hình nên dùng: Các hệ số được gom vào một tổng.
Mô phỏng: Thay x=1 hoặc x=−1.
Mẹo nhớ: Tổng hệ số → x=1.
Sai lầm: Khai triển dài rồi cộng dễ sai.
Ghi chú: Đây là phép kiểm mạnh cho một khai triển đã viết.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB NHỊ THỨC NEWTON
Tìm hệ số xᵏ trong (p+x)ⁿ
Công cụ hiển thị cả hệ số tổ hợp và lũy thừa của p để tránh nhầm k với n−k.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Khai triển (a+b)^3 có bao nhiêu số hạng trước khi thu gọn?
Phân tích: Khai triển nhị thức bậc n có n+1 số hạng tổng quát.
Hướng làm: Số mũ của a giảm từ n đến 0.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Số mũ của a giảm từ n đến 0.
- Bước 3: Các chỉ số k chạy từ 0 đến 3, nên có 4 số hạng.
Vì sao: Khai triển nhị thức bậc n có n+1 số hạng tổng quát.
Cách khác: Liệt kê các số mũ của a: n,n−1,…,0.
Tự kiểm: Đáp số: 4. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Hệ số của a^3b^1 trong (a+b)^4 là bao nhiêu?
Phân tích: Số hạng tổng quát là C(n,k)a^(n−k)b^k.
Hướng làm: Đây là số hạng ứng với chỉ số k=1.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Đây là số hạng ứng với chỉ số k=1.
- Bước 3: Hệ số là C(4,1)=4.
Vì sao: Số hạng tổng quát là C(n,k)a^(n−k)b^k.
Cách khác: Đọc hàng thứ 4 của tam giác Pascal.
Tự kiểm: Đáp số: 4. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Khai triển (x+1)^5.
Phân tích: Các hệ số đối xứng; số mũ của x giảm dần từ n đến 0.
Hướng làm: Dùng các hệ số C(n,k) theo thứ tự k=0,…,n.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Dùng các hệ số C(n,k) theo thứ tự k=0,…,n.
- Bước 3: (x+1)^5=x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1.
Vì sao: Các hệ số đối xứng; số mũ của x giảm dần từ n đến 0.
Cách khác: Dùng tam giác Pascal rồi kiểm tổng hệ số bằng 2^n.
Tự kiểm: Đáp số: x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Tính tổng các hệ số trong khai triển (x+1)^6.
Phân tích: Thay x=1 biến mọi lũy thừa x thành 1.
Hướng làm: Thay trực tiếp x=1 vào nhị thức.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Thay trực tiếp x=1 vào nhị thức.
- Bước 3: Tổng hệ số bằng (1+1)^6=2^6=64.
Vì sao: Thay x=1 biến mọi lũy thừa x thành 1.
Cách khác: Cộng hàng n của tam giác Pascal.
Tự kiểm: Đáp số: 64. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Tính tổng đan dấu các hệ số của (x+1)^7.
Phân tích: Dấu luân phiên tương ứng với việc thay x bằng −1.
Hướng làm: Thay trực tiếp x=−1 vào nhị thức.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Thay trực tiếp x=−1 vào nhị thức.
- Bước 3: Tổng đan dấu bằng (−1+1)^7=0.
Vì sao: Dấu luân phiên tương ứng với việc thay x bằng −1.
Cách khác: Ghép các hệ số đối xứng hoặc dùng định lí nhị thức.
Tự kiểm: Đáp số: 0. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Tìm hệ số của x^5 trong (4+x)^8.
Phân tích: Số mũ của hằng số là n−k, còn số mũ của x là k.
Hướng làm: Chọn x ở đúng 5 thừa số; phần còn lại góp 4.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Chọn x ở đúng 5 thừa số; phần còn lại góp 4.
- Bước 3: Hệ số là C(8,5)·4^3=3584.
Vì sao: Số mũ của hằng số là n−k, còn số mũ của x là k.
Cách khác: Viết số hạng tổng quát rồi đối chiếu số mũ x.
Tự kiểm: Đáp số: 3584. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: So sánh C(3,2) và C(3,1).
Phân tích: Chọn k phần tử tương đương với chọn n−k phần tử bị loại.
Hướng làm: Dùng tính đối xứng của tổ hợp.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Dùng tính đối xứng của tổ hợp.
- Bước 3: C(3,2)=3 và C(3,1)=3; hai số bằng nhau.
Vì sao: Chọn k phần tử tương đương với chọn n−k phần tử bị loại.
Cách khác: Dùng công thức giai thừa cho cả hai vế.
Tự kiểm: Đáp số: 3 = 3. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Khai triển (a+b)^4 có bao nhiêu số hạng trước khi thu gọn?
Phân tích: Khai triển nhị thức bậc n có n+1 số hạng tổng quát.
Hướng làm: Số mũ của a giảm từ n đến 0.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Số mũ của a giảm từ n đến 0.
- Bước 3: Các chỉ số k chạy từ 0 đến 4, nên có 5 số hạng.
Vì sao: Khai triển nhị thức bậc n có n+1 số hạng tổng quát.
Cách khác: Liệt kê các số mũ của a: n,n−1,…,0.
Tự kiểm: Đáp số: 5. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Hệ số của a^3b^2 trong (a+b)^5 là bao nhiêu?
Phân tích: Số hạng tổng quát là C(n,k)a^(n−k)b^k.
Hướng làm: Đây là số hạng ứng với chỉ số k=2.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Đây là số hạng ứng với chỉ số k=2.
- Bước 3: Hệ số là C(5,2)=10.
Vì sao: Số hạng tổng quát là C(n,k)a^(n−k)b^k.
Cách khác: Đọc hàng thứ 5 của tam giác Pascal.
Tự kiểm: Đáp số: 10. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Khai triển (x+1)^6.
Phân tích: Các hệ số đối xứng; số mũ của x giảm dần từ n đến 0.
Hướng làm: Dùng các hệ số C(n,k) theo thứ tự k=0,…,n.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Dùng các hệ số C(n,k) theo thứ tự k=0,…,n.
- Bước 3: (x+1)^6=x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1.
Vì sao: Các hệ số đối xứng; số mũ của x giảm dần từ n đến 0.
Cách khác: Dùng tam giác Pascal rồi kiểm tổng hệ số bằng 2^n.
Tự kiểm: Đáp số: x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Lập thực đơn không trùng
Quy tắc đếm cho biết số cách phối món, khung giờ và lựa chọn trong giới hạn ngân sách.
Xếp lịch và chia nhóm
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp giúp phân vai, chọn đội và tránh đếm một nhóm nhiều lần.
Đọc rủi ro đúng
Xác suất biến một nhận xét mơ hồ thành tỉ lệ có không gian mẫu và giả thiết rõ.
Thí nghiệm lặp
Mô hình đồng xu, xúc xắc và chọn mẫu rèn cách mô tả kết quả trước khi kết luận.
Mã hóa và kiểm thử
Số chuỗi, số cấu hình và trường hợp biên quyết định độ lớn của không gian cần kiểm tra.
Kiểm soát chất lượng
Chọn mẫu ngẫu nhiên và xác suất giúp ước lượng rủi ro lỗi trong lô sản phẩm.
Tính đa dạng
Tổ hợp mô tả số cách ghép đặc điểm; xác suất mô tả khả năng xuất hiện trong mô hình.
Dữ liệu và quyết định
Logistics, bảo hiểm, tài chính, AI và an toàn hệ thống đều cần tư duy đếm không trùng.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Nhị thức Newton dùng khi nào?
Khai triển một lũy thừa của tổng thành n+1 số hạng có hệ số tổ hợp. Dấu hiệu nhận biết: a giảm, b tăng, tổng số mũ luôn n.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Cho cả hai số mũ cùng tăng.
Quay lại Nhị thức Newton: (a+b)ⁿ=Σₖ₌₀ⁿ Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ. Kiểm bằng (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.
2. Dùng C(n,k) nhưng gán sai số mũ a.
Quay lại Số hạng tổng quát: Tₖ₊₁=Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ. Kiểm bằng Số hạng chứa b² ứng với k=2.
3. Bỏ hai số 1 ở hai mép.
Quay lại Tam giác Pascal: Cₙᵏ=Cₙ₋₁ᵏ₋₁+Cₙ₋₁ᵏ. Kiểm bằng Hàng n=4 là 1,4,6,4,1.
4. Dùng pᵏ thay pⁿ⁻ᵏ.
Quay lại Tìm hệ số: Trong (p+x)ⁿ, hệ số xᵏ là Cₙᵏpⁿ⁻ᵏ. Kiểm bằng Hệ số x² trong (2+x)⁵ là C₅²·2³=80.
5. Khai triển dài rồi cộng dễ sai.
Quay lại Tổng hệ số và kiểm nhanh: Tổng hệ số của P(x) là P(1). Kiểm bằng Tổng hệ số (x+1)⁶ là 2⁶=64.
6. Cho cả hai số mũ cùng tăng.
Quay lại Nhị thức Newton: (a+b)ⁿ=Σₖ₌₀ⁿ Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ. Kiểm bằng (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.
7. Dùng C(n,k) nhưng gán sai số mũ a.
Quay lại Số hạng tổng quát: Tₖ₊₁=Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ. Kiểm bằng Số hạng chứa b² ứng với k=2.
8. Bỏ hai số 1 ở hai mép.
Quay lại Tam giác Pascal: Cₙᵏ=Cₙ₋₁ᵏ₋₁+Cₙ₋₁ᵏ. Kiểm bằng Hàng n=4 là 1,4,6,4,1.
9. Dùng pᵏ thay pⁿ⁻ᵏ.
Quay lại Tìm hệ số: Trong (p+x)ⁿ, hệ số xᵏ là Cₙᵏpⁿ⁻ᵏ. Kiểm bằng Hệ số x² trong (2+x)⁵ là C₅²·2³=80.
10. Khai triển dài rồi cộng dễ sai.
Quay lại Tổng hệ số và kiểm nhanh: Tổng hệ số của P(x) là P(1). Kiểm bằng Tổng hệ số (x+1)⁶ là 2⁶=64.
11. Cho cả hai số mũ cùng tăng.
Quay lại Nhị thức Newton: (a+b)ⁿ=Σₖ₌₀ⁿ Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ. Kiểm bằng (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.
12. Dùng C(n,k) nhưng gán sai số mũ a.
Quay lại Số hạng tổng quát: Tₖ₊₁=Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ. Kiểm bằng Số hạng chứa b² ứng với k=2.
13. Bỏ hai số 1 ở hai mép.
Quay lại Tam giác Pascal: Cₙᵏ=Cₙ₋₁ᵏ₋₁+Cₙ₋₁ᵏ. Kiểm bằng Hàng n=4 là 1,4,6,4,1.
14. Dùng pᵏ thay pⁿ⁻ᵏ.
Quay lại Tìm hệ số: Trong (p+x)ⁿ, hệ số xᵏ là Cₙᵏpⁿ⁻ᵏ. Kiểm bằng Hệ số x² trong (2+x)⁵ là C₅²·2³=80.
15. Khai triển dài rồi cộng dễ sai.
Quay lại Tổng hệ số và kiểm nhanh: Tổng hệ số của P(x) là P(1). Kiểm bằng Tổng hệ số (x+1)⁶ là 2⁶=64.
16. Cho cả hai số mũ cùng tăng.
Quay lại Nhị thức Newton: (a+b)ⁿ=Σₖ₌₀ⁿ Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ. Kiểm bằng (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.
17. Dùng C(n,k) nhưng gán sai số mũ a.
Quay lại Số hạng tổng quát: Tₖ₊₁=Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ. Kiểm bằng Số hạng chứa b² ứng với k=2.
18. Bỏ hai số 1 ở hai mép.
Quay lại Tam giác Pascal: Cₙᵏ=Cₙ₋₁ᵏ₋₁+Cₙ₋₁ᵏ. Kiểm bằng Hàng n=4 là 1,4,6,4,1.
19. Dùng pᵏ thay pⁿ⁻ᵏ.
Quay lại Tìm hệ số: Trong (p+x)ⁿ, hệ số xᵏ là Cₙᵏpⁿ⁻ᵏ. Kiểm bằng Hệ số x² trong (2+x)⁵ là C₅²·2³=80.
20. Khai triển dài rồi cộng dễ sai.
Quay lại Tổng hệ số và kiểm nhanh: Tổng hệ số của P(x) là P(1). Kiểm bằng Tổng hệ số (x+1)⁶ là 2⁶=64.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chọn hay xếp?
Đổi thứ tự có tạo phương án mới không? Có thì nghĩ đến chỉnh hợp/hoán vị; không thì nghĩ đến tổ hợp.
Vẽ cây trước công thức
Với bài mới, mô tả các công đoạn và số nhánh để quyết định cộng hay nhân.
Đặt tên kết quả sơ cấp
Viết một kết quả điển hình của Ω để tránh thiếu trường hợp hoặc đếm sai thứ tự.
Kiểm điều kiện đồng khả năng
Chỉ dùng tỉ số số phần tử trực tiếp khi các kết quả sơ cấp có cùng khả năng.
Đếm hai cách
Kiểm bằng biến cố đối, đối xứng, sơ đồ cây hoặc công thức tương đương.
Ôn 1–3–7
Sau 1 ngày ôn công thức có điều kiện; sau 3 ngày làm bài trộn; sau 7 ngày làm đề ngắn.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Nhị thức Newton1 2 3 4 5
Nhị thức Newtona giảm, b tăng, tổng số mũ luôn n.
Số hạng tổng quátSố mũ b chính là k.
Tam giác PascalHai vai cộng xuống.
Tìm hệ sốKhớp số mũ trước, tính sau.
Tổng hệ số và kiểm nhanhTổng hệ số → x=1.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
T10-B25-NB-01Ôn Chương 6: Tính f(-2) với f(x)=x²−2x−3.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay x=-2, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(-2)=(-2)²−2·(-2)−3=5.
Vì sao: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Sai ở đâu: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=-2 để kiểm.
T10-B25-NB-02Ôn Chương 7: Tính khoảng cách từ O(0;0) đến đường thẳng 3x+4y−10=0.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²).
Lời giải: d=|−10|/√(3²+4²)=10/5=2.
Vì sao: Mẫu số là độ dài vectơ pháp tuyến (3;4), bằng 5.
Sai ở đâu: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho 3+4 thay vì √(3²+4²).
Cách khác: Nhận bộ ba 3–4–5 để rút gọn ngay.
T10-B25-NB-03Ôn Chương 7: Đường tròn (x−2)²+(y+1)²=16 có bán kính bao nhiêu?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh với (x−a)²+(y−b)²=R².
Lời giải: R²=16 nên R=4>0.
Vì sao: Bán kính là căn dương của vế phải, không phải chính vế phải.
Sai ở đâu: Kết luận bán kính bằng R².
Cách khác: Kiểm một điểm cách tâm I(2;−1) đúng 4 đơn vị.
T10-B25-NB-04Khai triển (a+b)^3 có bao nhiêu số hạng trước khi thu gọn?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Số mũ của a giảm từ n đến 0.
Lời giải: Các chỉ số k chạy từ 0 đến 3, nên có 4 số hạng.
Vì sao: Khai triển nhị thức bậc n có n+1 số hạng tổng quát.
Sai ở đâu: Kết luận có n số hạng.
Cách khác: Liệt kê các số mũ của a: n,n−1,…,0.
T10-B25-NB-05Hệ số của a^3b^1 trong (a+b)^4 là bao nhiêu?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đây là số hạng ứng với chỉ số k=1.
Lời giải: Hệ số là C(4,1)=4.
Vì sao: Số hạng tổng quát là C(n,k)a^(n−k)b^k.
Sai ở đâu: Đổi k với n−k trong số mũ nhưng không kiểm cấu trúc.
Cách khác: Đọc hàng thứ 4 của tam giác Pascal.
T10-B25-NB-06Khai triển (x+1)^5.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng các hệ số C(n,k) theo thứ tự k=0,…,n.
Lời giải: (x+1)^5=x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1.
Vì sao: Các hệ số đối xứng; số mũ của x giảm dần từ n đến 0.
Sai ở đâu: Giữ mọi hệ số bằng 1 hoặc bỏ số hạng giữa.
Cách khác: Dùng tam giác Pascal rồi kiểm tổng hệ số bằng 2^n.
T10-B25-NB-07Tính tổng các hệ số trong khai triển (x+1)^6.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay trực tiếp x=1 vào nhị thức.
Lời giải: Tổng hệ số bằng (1+1)^6=2^6=64.
Vì sao: Thay x=1 biến mọi lũy thừa x thành 1.
Sai ở đâu: Cộng thiếu hệ số đầu hoặc cuối.
Cách khác: Cộng hàng n của tam giác Pascal.
T10-B25-NB-08Tính tổng đan dấu các hệ số của (x+1)^7.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay trực tiếp x=−1 vào nhị thức.
Lời giải: Tổng đan dấu bằng (−1+1)^7=0.
Vì sao: Dấu luân phiên tương ứng với việc thay x bằng −1.
Sai ở đâu: Nhầm với tổng các hệ số nên trả lời 2^n.
Cách khác: Ghép các hệ số đối xứng hoặc dùng định lí nhị thức.
T10-B25-NB-09Tìm hệ số của x^5 trong (4+x)^8.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chọn x ở đúng 5 thừa số; phần còn lại góp 4.
Lời giải: Hệ số là C(8,5)·4^3=3584.
Vì sao: Số mũ của hằng số là n−k, còn số mũ của x là k.
Sai ở đâu: Dùng p^k thay vì p^(n−k).
Cách khác: Viết số hạng tổng quát rồi đối chiếu số mũ x.
T10-B25-NB-10So sánh C(3,2) và C(3,1).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tính đối xứng của tổ hợp.
Lời giải: C(3,2)=3 và C(3,1)=3; hai số bằng nhau.
Vì sao: Chọn k phần tử tương đương với chọn n−k phần tử bị loại.
Sai ở đâu: Cho rằng hai số chỉ bằng nhau khi k=n−k.
Cách khác: Dùng công thức giai thừa cho cả hai vế.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Ôn Chương 6: Tính f(-2) với f(x)=x²−2x−3.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Ôn Chương 6: Tính f(-2) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=-2, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(-2)=(-2)²−2·(-2)−3=5.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=-2 để kiểm.
TỰ LUẬN 2Khai triển (x+1)^5.
Gợi ý: Dùng các hệ số C(n,k) theo thứ tự k=0,…,n.
Lời giải: (x+1)^5=x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1.
Giải thích: Các hệ số đối xứng; số mũ của x giảm dần từ n đến 0.
Lỗi cần tránh: Giữ mọi hệ số bằng 1 hoặc bỏ số hạng giữa.
Cách khác: Dùng tam giác Pascal rồi kiểm tổng hệ số bằng 2^n.
TỰ LUẬN 3Khai triển (a+b)^4 có bao nhiêu số hạng trước khi thu gọn?
Gợi ý: Số mũ của a giảm từ n đến 0.
Lời giải: Các chỉ số k chạy từ 0 đến 4, nên có 5 số hạng.
Giải thích: Khai triển nhị thức bậc n có n+1 số hạng tổng quát.
Lỗi cần tránh: Kết luận có n số hạng.
Cách khác: Liệt kê các số mũ của a: n,n−1,…,0.
TỰ LUẬN 4Tìm hệ số của x^0 trong (2+x)^3.
Gợi ý: Chọn x ở đúng 0 thừa số; phần còn lại góp 2.
Lời giải: Hệ số là C(3,0)·2^3=8.
Giải thích: Số mũ của hằng số là n−k, còn số mũ của x là k.
Lỗi cần tránh: Dùng p^k thay vì p^(n−k).
Cách khác: Viết số hạng tổng quát rồi đối chiếu số mũ x.
TỰ LUẬN 5Ôn Chương 6: Tính f(1) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=1, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(1)=(1)²−2·(1)−3=-4.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=1 để kiểm.
TỰ LUẬN 6Tìm hệ số của x^4 trong (3+x)^4.
Gợi ý: Chọn x ở đúng 4 thừa số; phần còn lại góp 3.
Lời giải: Hệ số là C(4,4)·3^0=1.
Giải thích: Số mũ của hằng số là n−k, còn số mũ của x là k.
Lỗi cần tránh: Dùng p^k thay vì p^(n−k).
Cách khác: Viết số hạng tổng quát rồi đối chiếu số mũ x.
TỰ LUẬN 7Tính tổng các hệ số trong khai triển (x+1)^3.
Gợi ý: Thay trực tiếp x=1 vào nhị thức.
Lời giải: Tổng hệ số bằng (1+1)^3=2^3=8.
Giải thích: Thay x=1 biến mọi lũy thừa x thành 1.
Lỗi cần tránh: Cộng thiếu hệ số đầu hoặc cuối.
Cách khác: Cộng hàng n của tam giác Pascal.
TỰ LUẬN 8Hệ số của a^6b^2 trong (a+b)^8 là bao nhiêu?
Gợi ý: Đây là số hạng ứng với chỉ số k=2.
Lời giải: Hệ số là C(8,2)=28.
Giải thích: Số hạng tổng quát là C(n,k)a^(n−k)b^k.
Lỗi cần tránh: Đổi k với n−k trong số mũ nhưng không kiểm cấu trúc.
Cách khác: Đọc hàng thứ 8 của tam giác Pascal.
TỰ LUẬN 9Ôn Chương 6: Tính f(-1) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=-1, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(-1)=(-1)²−2·(-1)−3=0.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=-1 để kiểm.
TỰ LUẬN 10Hệ số của a^3b^0 trong (a+b)^3 là bao nhiêu?
Gợi ý: Đây là số hạng ứng với chỉ số k=0.
Lời giải: Hệ số là C(3,0)=1.
Giải thích: Số hạng tổng quát là C(n,k)a^(n−k)b^k.
Lỗi cần tránh: Đổi k với n−k trong số mũ nhưng không kiểm cấu trúc.
Cách khác: Đọc hàng thứ 3 của tam giác Pascal.
TỰ LUẬN 11So sánh C(8,5) và C(8,3).
Gợi ý: Dùng tính đối xứng của tổ hợp.
Lời giải: C(8,5)=56 và C(8,3)=56; hai số bằng nhau.
Giải thích: Chọn k phần tử tương đương với chọn n−k phần tử bị loại.
Lỗi cần tránh: Cho rằng hai số chỉ bằng nhau khi k=n−k.
Cách khác: Dùng công thức giai thừa cho cả hai vế.
TỰ LUẬN 12Tính tổng đan dấu các hệ số của (x+1)^7.
Gợi ý: Thay trực tiếp x=−1 vào nhị thức.
Lời giải: Tổng đan dấu bằng (−1+1)^7=0.
Giải thích: Dấu luân phiên tương ứng với việc thay x bằng −1.
Lỗi cần tránh: Nhầm với tổng các hệ số nên trả lời 2^n.
Cách khác: Ghép các hệ số đối xứng hoặc dùng định lí nhị thức.
TỰ LUẬN 13Ôn Chương 6: Tính f(2) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=2, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(2)=(2)²−2·(2)−3=-3.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=2 để kiểm.
TỰ LUẬN 14Tính tổng đan dấu các hệ số của (x+1)^8.
Gợi ý: Thay trực tiếp x=−1 vào nhị thức.
Lời giải: Tổng đan dấu bằng (−1+1)^8=0.
Giải thích: Dấu luân phiên tương ứng với việc thay x bằng −1.
Lỗi cần tránh: Nhầm với tổng các hệ số nên trả lời 2^n.
Cách khác: Ghép các hệ số đối xứng hoặc dùng định lí nhị thức.
TỰ LUẬN 15Khai triển (x+1)^7.
Gợi ý: Dùng các hệ số C(n,k) theo thứ tự k=0,…,n.
Lời giải: (x+1)^7=x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1.
Giải thích: Các hệ số đối xứng; số mũ của x giảm dần từ n đến 0.
Lỗi cần tránh: Giữ mọi hệ số bằng 1 hoặc bỏ số hạng giữa.
Cách khác: Dùng tam giác Pascal rồi kiểm tổng hệ số bằng 2^n.
TỰ LUẬN 16Khai triển (a+b)^6 có bao nhiêu số hạng trước khi thu gọn?
Gợi ý: Số mũ của a giảm từ n đến 0.
Lời giải: Các chỉ số k chạy từ 0 đến 6, nên có 7 số hạng.
Giải thích: Khai triển nhị thức bậc n có n+1 số hạng tổng quát.
Lỗi cần tránh: Kết luận có n số hạng.
Cách khác: Liệt kê các số mũ của a: n,n−1,…,0.
TỰ LUẬN 17Ôn Chương 6: Tính f(0) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=0, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(0)=(0)²−2·(0)−3=-3.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=0 để kiểm.
TỰ LUẬN 18Khai triển (a+b)^7 có bao nhiêu số hạng trước khi thu gọn?
Gợi ý: Số mũ của a giảm từ n đến 0.
Lời giải: Các chỉ số k chạy từ 0 đến 7, nên có 8 số hạng.
Giải thích: Khai triển nhị thức bậc n có n+1 số hạng tổng quát.
Lỗi cần tránh: Kết luận có n số hạng.
Cách khác: Liệt kê các số mũ của a: n,n−1,…,0.
TỰ LUẬN 19Tìm hệ số của x^5 trong (2+x)^6.
Gợi ý: Chọn x ở đúng 5 thừa số; phần còn lại góp 2.
Lời giải: Hệ số là C(6,5)·2^1=12.
Giải thích: Số mũ của hằng số là n−k, còn số mũ của x là k.
Lỗi cần tránh: Dùng p^k thay vì p^(n−k).
Cách khác: Viết số hạng tổng quát rồi đối chiếu số mũ x.
TỰ LUẬN 20Tính tổng các hệ số trong khai triển (x+1)^5.
Gợi ý: Thay trực tiếp x=1 vào nhị thức.
Lời giải: Tổng hệ số bằng (1+1)^5=2^5=32.
Giải thích: Thay x=1 biến mọi lũy thừa x thành 1.
Lỗi cần tránh: Cộng thiếu hệ số đầu hoặc cuối.
Cách khác: Cộng hàng n của tam giác Pascal.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B25-NB-01, T10-B25-NB-02, T10-B25-NB-03, T10-B25-NB-04, T10-B25-NB-05, T10-B25-NB-06, T10-B25-NB-07, T10-B25-NB-08, T10-B25-NB-09, T10-B25-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B25-NB-01: 5
- T10-B25-NB-02: 2
- T10-B25-NB-03: 4
- T10-B25-NB-04: 4
- T10-B25-NB-05: 4
- T10-B25-NB-06: x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1
- T10-B25-NB-07: 64
- T10-B25-NB-08: 0
- T10-B25-NB-09: 3584
- T10-B25-NB-10: 3 = 3
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 8
10 câu đại diện: T10-B25-NB-11, T10-B25-NB-12, T10-B25-NB-13, T10-B25-NB-14, T10-B25-NB-15, T10-B25-NB-16, T10-B25-NB-17, T10-B25-NB-18, T10-B25-NB-19, T10-B25-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B25-NB-11: 5
- T10-B25-NB-12: 10
- T10-B25-NB-13: x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1
- T10-B25-NB-14: 128
- T10-B25-NB-15: 0
- T10-B25-NB-16: 8
- T10-B25-NB-17: 4 = 4
- T10-B25-NB-18: 6
- T10-B25-NB-19: 6
- T10-B25-NB-20: x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B25-TH-01, T10-B25-TH-02, T10-B25-TH-03, T10-B25-TH-04, T10-B25-TH-05, T10-B25-TH-06, T10-B25-TH-07, T10-B25-TH-08, T10-B25-TH-09, T10-B25-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B25-TH-01: -4
- T10-B25-TH-02: 5
- T10-B25-TH-03: 7
- T10-B25-TH-04: 256
- T10-B25-TH-05: 0
- T10-B25-TH-06: 1
- T10-B25-TH-07: 10 = 10
- T10-B25-TH-08: 7
- T10-B25-TH-09: 7
- T10-B25-TH-10: x^8 + 8x^7 + 28x^6 + 56x^5 + 70x^4 + 56x^3 + 28x^2 + 8x + 1
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B25-TH-11, T10-B25-TH-12, T10-B25-TH-13, T10-B25-TH-14, T10-B25-TH-15, T10-B25-TH-16, T10-B25-TH-17, T10-B25-TH-18, T10-B25-TH-19, T10-B25-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B25-TH-11: 8
- T10-B25-TH-12: 0
- T10-B25-TH-13: 640
- T10-B25-TH-14: 1 = 1
- T10-B25-TH-15: 8
- T10-B25-TH-16: 28
- T10-B25-TH-17: x^3 + 3x^2 + 3x + 1
- T10-B25-TH-18: 16
- T10-B25-TH-19: 0
- T10-B25-TH-20: 12
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B25-VD-01, T10-B25-VD-02, T10-B25-VD-03, T10-B25-VD-04, T10-B25-VD-05, T10-B25-VD-06, T10-B25-VD-07, T10-B25-VD-08, T10-B25-VD-09, T10-B25-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B25-VD-01: 0
- T10-B25-VD-02: 3
- T10-B25-VD-03: 4
- T10-B25-VD-04: 21 = 21
- T10-B25-VD-05: 9
- T10-B25-VD-06: 1
- T10-B25-VD-07: x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
- T10-B25-VD-08: 32
- T10-B25-VD-09: 0
- T10-B25-VD-10: 2187
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 50–65 phút; yêu cầu con nói rõ “có xét thứ tự không?” trước khi viết công thức.
- Nếu con sai xác suất, hỏi con đã mô tả một kết quả của không gian mẫu và kiểm đồng khả năng chưa.
- Khuyến khích con kiểm bài nhỏ bằng liệt kê hoặc sơ đồ cây trước khi dùng máy tính.
- Cho con làm lại một bài cùng cấu trúc sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày.
- Chỉ chuyển bài khi đạt 80% và tự sửa được ba lỗi gần nhất.
- Mở bài bằng tình huống chọn–xếp có cùng dữ kiện để học sinh thấy vai trò của thứ tự.
- Yêu cầu học sinh mô tả không gian mẫu bằng lời trước khi tính xác suất.
- Tách lỗi thành: sai đối tượng, sai thứ tự, đếm trùng, thiếu trường hợp và sai điều kiện đồng khả năng.
- Dùng bảng, sơ đồ cây và mô phỏng để kiểm công thức chứ không thay thế lập luận.
- Đề gắn nhãn Hà Nội là đề nội bộ tham khảo cấu trúc, không phải đề chính thức của Sở.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.