Nhận mô hình trước
Học thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển bằng câu hỏi về đối tượng, thứ tự, điều kiện và tính đồng khả năng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 27. Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
Kết hợp quy tắc đếm với mô hình xúc xắc, đồng xu, chọn bi, bộ bài và xếp người; học sinh kiểm bằng đối xứng và biến cố đối.
Đếm tử và mẫu trong cùng một ngôn ngữ
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Đếm có kiểm soát
Mỗi lời giải đều mô tả một kết quả, chống đếm trùng và có phép kiểm thứ hai.
Ra quyết định thực tế
Xếp lịch, chọn nhóm, mã hóa, kiểm thử và đánh giá rủi ro đều cần tư duy tổ hợp–xác suất.
Không lệ thuộc đáp án
Liệt kê trường hợp nhỏ, dùng sơ đồ cây, biến cố đối, đối xứng hoặc công thức tương đương.
- Tính xác suất với đồng xu và xúc xắc.
- Dùng tổ hợp trong bài chọn vật.
- Vận dụng biến cố đối và đối xứng.
- Giải thích giả thiết đồng khả năng trong bài thực tế.
- Không gian mẫu và biến cố.
- Định nghĩa cổ điển.
- Quy tắc đếm.
- Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Quy trình bốn bước
Hiểu đơn giản: Mô tả kết quả, đếm toàn bộ, đếm thuận lợi, rồi lập và rút gọn tỉ số.
Ω → A → n(Ω),n(A) → P(A).
Ví dụ: Hai xúc xắc: dùng cặp có thứ tự, n(Ω)=36.
Hình nên dùng: Bốn ô nối bằng mũi tên.
Mô phỏng: Điền lần lượt bốn trường.
Mẹo nhớ: Mẫu trước, tử sau, điều kiện luôn có.
Sai lầm: Viết phân số trước khi xác định Ω.
Ghi chú: Cuối cùng phải kiểm 0≤P(A)≤1.
Mô hình xúc xắc và đồng xu
Hiểu đơn giản: Dùng tích Descartes hoặc sơ đồ cây để tạo các kết quả có thứ tự.
m phép thử độc lập về mặt mô tả, mỗi phép n kết quả: n(Ω)=nᵐ.
Ví dụ: Hai xúc xắc phân biệt có 6²=36 cặp.
Hình nên dùng: Bảng 6×6 hoặc cây.
Mô phỏng: Tô các ô có tổng cho trước.
Mẹo nhớ: Cặp kết quả, không phải chỉ tổng.
Sai lầm: Cho 11 tổng từ 2 đến 12 là đồng khả năng.
Ghi chú: Các kết quả sơ cấp có thể đồng khả năng dù đại lượng tổng hợp không đồng khả năng.
Mô hình chọn vật
Hiểu đơn giản: Chọn đồng thời không xét thứ tự thường dùng tổ hợp.
Chọn k trong n vật: n(Ω)=Cₙᵏ nếu mọi nhóm k phần tử đồng khả năng.
Ví dụ: Rút 2 bi cùng lúc từ 10 bi: C₁₀².
Hình nên dùng: Nhóm các viên bi được khoanh.
Mô phỏng: Chọn k viên và bỏ qua thứ tự bấm.
Mẹo nhớ: Rút đồng thời → nhóm.
Sai lầm: Dùng nᵏ như lấy có hoàn lại.
Ghi chú: Nếu rút lần lượt không hoàn lại, có thể đếm có thứ tự ở cả tử và mẫu.
Kết hợp đại số tổ hợp
Hiểu đơn giản: Tử và mẫu phải được đếm trong cùng một quy ước thứ tự.
P(A)=số cấu hình thuận lợi/số cấu hình toàn bộ.
Ví dụ: Hai bi đỏ: Cᵣ²/Cᵣ₊ᵦ².
Hình nên dùng: Hai cột: toàn bộ và thuận lợi.
Mô phỏng: Đổi số bi từng màu.
Mẹo nhớ: Cùng kiểu đếm ở tử và mẫu.
Sai lầm: Tử dùng tổ hợp, mẫu dùng chỉnh hợp mà không bù hệ số.
Ghi chú: Hai cách đếm khác nhau vẫn được nếu mỗi tỉ số quy về cùng kết quả.
Đối xứng và biến cố đối
Hiểu đơn giản: Các vị trí hoặc phần tử có vai trò như nhau thường cho xác suất bằng nhau.
Nếu n khả năng đối xứng và loại trừ nhau phủ Ω, mỗi khả năng có xác suất 1/n.
Ví dụ: Trong n người xếp ngẫu nhiên, mỗi người có xác suất 1/n đứng đầu.
Hình nên dùng: n vị trí đồng dạng.
Mô phỏng: Xáo trộn nhiều lần và theo dõi tần suất.
Mẹo nhớ: Đối xứng giúp đếm tắt có lý do.
Sai lầm: Gọi đối xứng khi điều kiện làm các phần tử khác vai trò.
Ghi chú: Đối xứng là lập luận, không phải phỏng đoán.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB RÚT HAI BI
Tử và mẫu cùng dùng tổ hợp
Rút đồng thời hai bi nên mỗi cặp không xét thứ tự. Đổi dữ kiện để quan sát xác suất.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 1
Đề bài: Hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh giống nhau về kích thước. Rút ngẫu nhiên một bi. Tính xác suất rút bi đỏ.
Phân tích: Đếm theo từng viên bi, không đếm theo hai màu.
Hướng làm: Mỗi viên bi là một kết quả đồng khả năng.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Mỗi viên bi là một kết quả đồng khả năng.
- Bước 3: P(đỏ)=3/(3+2)=3/5.
Vì sao: Đếm theo từng viên bi, không đếm theo hai màu.
Cách khác: Tính biến cố đối rút bi xanh rồi lấy 1 trừ đi.
Tự kiểm: Đáp số: 3/5. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
02 • Nhận biếtVí dụ chiến lược 2
Đề bài: Hộp có 5 bi đỏ và 5 bi xanh. Rút đồng thời hai bi. Tính xác suất cả hai bi đỏ.
Phân tích: Mẫu số đếm mọi cặp bi; tử số đếm cặp gồm hai bi đỏ.
Hướng làm: Chọn đồng thời nên dùng tổ hợp, không xét thứ tự.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Chọn đồng thời nên dùng tổ hợp, không xét thứ tự.
- Bước 3: P=C(5,2)/C(10,2)=10/45=2/9.
Vì sao: Mẫu số đếm mọi cặp bi; tử số đếm cặp gồm hai bi đỏ.
Cách khác: Có thể đếm có thứ tự ở cả tử và mẫu; tỉ số vẫn như nhau.
Tự kiểm: Đáp số: 2/9. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
03 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 3
Đề bài: Hộp có 5 bi đỏ và 7 bi xanh. Rút đồng thời hai bi. Tính xác suất hai bi khác màu.
Phân tích: Chọn một viên từ mỗi màu; tích số cách vì hai công đoạn đồng thời phải xảy ra.
Hướng làm: Cặp thuận lợi gồm một đỏ và một xanh.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Cặp thuận lợi gồm một đỏ và một xanh.
- Bước 3: P=C(5,1)C(7,1)/C(12,2)=35/66=35/66.
Vì sao: Chọn một viên từ mỗi màu; tích số cách vì hai công đoạn đồng thời phải xảy ra.
Cách khác: Lấy 1 trừ xác suất hai bi cùng màu.
Tự kiểm: Đáp số: 35/66. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
04 • Thông hiểuVí dụ chiến lược 4
Đề bài: Gieo hai xúc xắc cân đối phân biệt. Tính xác suất tổng bằng 7.
Phân tích: Các cặp đồng khả năng nhưng các tổng không đồng khả năng.
Hướng làm: Lập 36 cặp có thứ tự và đếm đường chéo tổng.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Lập 36 cặp có thứ tự và đếm đường chéo tổng.
- Bước 3: Có 6 kết quả thuận lợi nên P=6/36=1/6.
Vì sao: Các cặp đồng khả năng nhưng các tổng không đồng khả năng.
Cách khác: Liệt kê a từ max(1,sum−6) đến min(6,sum−1).
Tự kiểm: Đáp số: 1/6. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
05 • Vận dụngVí dụ chiến lược 5
Đề bài: Xếp ngẫu nhiên 9 học sinh thành hàng. Tính xác suất An đứng đầu hàng.
Phân tích: Mỗi học sinh có vai trò đối xứng ở vị trí đầu.
Hướng làm: Mọi hoán vị đồng khả năng; cố định An rồi xếp những bạn còn lại.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Mọi hoán vị đồng khả năng; cố định An rồi xếp những bạn còn lại.
- Bước 3: P=(9−1)!/9!=40320/362880=1/9.
Vì sao: Mỗi học sinh có vai trò đối xứng ở vị trí đầu.
Cách khác: Dùng tính đối xứng: có n học sinh đồng khả năng đứng đầu.
Tự kiểm: Đáp số: 1/9. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
06 • Vận dụngVí dụ chiến lược 6
Đề bài: Rút ngẫu nhiên một lá từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất rút được một quân Át.
Phân tích: Mỗi lá bài là một kết quả đồng khả năng.
Hướng làm: Bộ bài có 4 quân Át.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Bộ bài có 4 quân Át.
- Bước 3: P=4/52=1/13.
Vì sao: Mỗi lá bài là một kết quả đồng khả năng.
Cách khác: Đếm 13 hạng bài đối xứng, mỗi hạng có xác suất 1/13.
Tự kiểm: Đáp số: 1/13. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
07 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 7
Đề bài: Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ 7 học sinh. Tính xác suất một bạn chỉ định được chọn.
Phân tích: Mỗi học sinh có vai trò đối xứng; xác suất cũng bằng k/n.
Hướng làm: Tử số: cố định bạn đó rồi chọn các bạn còn lại.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Tử số: cố định bạn đó rồi chọn các bạn còn lại.
- Bước 3: P=C(6,1)/C(7,2)=6/21=2/7.
Vì sao: Mỗi học sinh có vai trò đối xứng; xác suất cũng bằng k/n.
Cách khác: Dùng đối xứng: xác suất bằng 2/7=2/7.
Tự kiểm: Đáp số: 2/7. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
08 • Vận dụng caoVí dụ chiến lược 8
Đề bài: Hộp có 5 bi đỏ và 6 bi xanh giống nhau về kích thước. Rút ngẫu nhiên một bi. Tính xác suất rút bi đỏ.
Phân tích: Đếm theo từng viên bi, không đếm theo hai màu.
Hướng làm: Mỗi viên bi là một kết quả đồng khả năng.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Mỗi viên bi là một kết quả đồng khả năng.
- Bước 3: P(đỏ)=5/(5+6)=5/11.
Vì sao: Đếm theo từng viên bi, không đếm theo hai màu.
Cách khác: Tính biến cố đối rút bi xanh rồi lấy 1 trừ đi.
Tự kiểm: Đáp số: 5/11. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
09 • Thực tếVí dụ chiến lược 9
Đề bài: Hộp có 4 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút đồng thời hai bi. Tính xác suất cả hai bi đỏ.
Phân tích: Mẫu số đếm mọi cặp bi; tử số đếm cặp gồm hai bi đỏ.
Hướng làm: Chọn đồng thời nên dùng tổ hợp, không xét thứ tự.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Chọn đồng thời nên dùng tổ hợp, không xét thứ tự.
- Bước 3: P=C(4,2)/C(8,2)=6/28=3/14.
Vì sao: Mẫu số đếm mọi cặp bi; tử số đếm cặp gồm hai bi đỏ.
Cách khác: Có thể đếm có thứ tự ở cả tử và mẫu; tỉ số vẫn như nhau.
Tự kiểm: Đáp số: 3/14. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
10 • Thực tếVí dụ chiến lược 10
Đề bài: Hộp có 7 bi đỏ và 6 bi xanh. Rút đồng thời hai bi. Tính xác suất hai bi khác màu.
Phân tích: Chọn một viên từ mỗi màu; tích số cách vì hai công đoạn đồng thời phải xảy ra.
Hướng làm: Cặp thuận lợi gồm một đỏ và một xanh.
- Bước 1: Xác định đối tượng, thứ tự, điều kiện và điều cần đếm.
- Bước 2: Cặp thuận lợi gồm một đỏ và một xanh.
- Bước 3: P=C(7,1)C(6,1)/C(13,2)=42/78=7/13.
Vì sao: Chọn một viên từ mỗi màu; tích số cách vì hai công đoạn đồng thời phải xảy ra.
Cách khác: Lấy 1 trừ xác suất hai bi cùng màu.
Tự kiểm: Đáp số: 7/13. Kiểm bằng liệt kê nhỏ, biến cố đối hoặc phép đếm thứ hai.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Lập thực đơn không trùng
Quy tắc đếm cho biết số cách phối món, khung giờ và lựa chọn trong giới hạn ngân sách.
Xếp lịch và chia nhóm
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp giúp phân vai, chọn đội và tránh đếm một nhóm nhiều lần.
Đọc rủi ro đúng
Xác suất biến một nhận xét mơ hồ thành tỉ lệ có không gian mẫu và giả thiết rõ.
Thí nghiệm lặp
Mô hình đồng xu, xúc xắc và chọn mẫu rèn cách mô tả kết quả trước khi kết luận.
Mã hóa và kiểm thử
Số chuỗi, số cấu hình và trường hợp biên quyết định độ lớn của không gian cần kiểm tra.
Kiểm soát chất lượng
Chọn mẫu ngẫu nhiên và xác suất giúp ước lượng rủi ro lỗi trong lô sản phẩm.
Tính đa dạng
Tổ hợp mô tả số cách ghép đặc điểm; xác suất mô tả khả năng xuất hiện trong mô hình.
Dữ liệu và quyết định
Logistics, bảo hiểm, tài chính, AI và an toàn hệ thống đều cần tư duy đếm không trùng.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
Quy trình bốn bước dùng khi nào?
Mô tả kết quả, đếm toàn bộ, đếm thuận lợi, rồi lập và rút gọn tỉ số. Dấu hiệu nhận biết: Mẫu trước, tử sau, điều kiện luôn có.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
1. Viết phân số trước khi xác định Ω.
Quay lại Quy trình bốn bước: Ω → A → n(Ω),n(A) → P(A). Kiểm bằng Hai xúc xắc: dùng cặp có thứ tự, n(Ω)=36.
2. Cho 11 tổng từ 2 đến 12 là đồng khả năng.
Quay lại Mô hình xúc xắc và đồng xu: m phép thử độc lập về mặt mô tả, mỗi phép n kết quả: n(Ω)=nᵐ. Kiểm bằng Hai xúc xắc phân biệt có 6²=36 cặp.
3. Dùng nᵏ như lấy có hoàn lại.
Quay lại Mô hình chọn vật: Chọn k trong n vật: n(Ω)=Cₙᵏ nếu mọi nhóm k phần tử đồng khả năng. Kiểm bằng Rút 2 bi cùng lúc từ 10 bi: C₁₀².
4. Tử dùng tổ hợp, mẫu dùng chỉnh hợp mà không bù hệ số.
Quay lại Kết hợp đại số tổ hợp: P(A)=số cấu hình thuận lợi/số cấu hình toàn bộ. Kiểm bằng Hai bi đỏ: Cᵣ²/Cᵣ₊ᵦ².
5. Gọi đối xứng khi điều kiện làm các phần tử khác vai trò.
Quay lại Đối xứng và biến cố đối: Nếu n khả năng đối xứng và loại trừ nhau phủ Ω, mỗi khả năng có xác suất 1/n. Kiểm bằng Trong n người xếp ngẫu nhiên, mỗi người có xác suất 1/n đứng đầu.
6. Viết phân số trước khi xác định Ω.
Quay lại Quy trình bốn bước: Ω → A → n(Ω),n(A) → P(A). Kiểm bằng Hai xúc xắc: dùng cặp có thứ tự, n(Ω)=36.
7. Cho 11 tổng từ 2 đến 12 là đồng khả năng.
Quay lại Mô hình xúc xắc và đồng xu: m phép thử độc lập về mặt mô tả, mỗi phép n kết quả: n(Ω)=nᵐ. Kiểm bằng Hai xúc xắc phân biệt có 6²=36 cặp.
8. Dùng nᵏ như lấy có hoàn lại.
Quay lại Mô hình chọn vật: Chọn k trong n vật: n(Ω)=Cₙᵏ nếu mọi nhóm k phần tử đồng khả năng. Kiểm bằng Rút 2 bi cùng lúc từ 10 bi: C₁₀².
9. Tử dùng tổ hợp, mẫu dùng chỉnh hợp mà không bù hệ số.
Quay lại Kết hợp đại số tổ hợp: P(A)=số cấu hình thuận lợi/số cấu hình toàn bộ. Kiểm bằng Hai bi đỏ: Cᵣ²/Cᵣ₊ᵦ².
10. Gọi đối xứng khi điều kiện làm các phần tử khác vai trò.
Quay lại Đối xứng và biến cố đối: Nếu n khả năng đối xứng và loại trừ nhau phủ Ω, mỗi khả năng có xác suất 1/n. Kiểm bằng Trong n người xếp ngẫu nhiên, mỗi người có xác suất 1/n đứng đầu.
11. Viết phân số trước khi xác định Ω.
Quay lại Quy trình bốn bước: Ω → A → n(Ω),n(A) → P(A). Kiểm bằng Hai xúc xắc: dùng cặp có thứ tự, n(Ω)=36.
12. Cho 11 tổng từ 2 đến 12 là đồng khả năng.
Quay lại Mô hình xúc xắc và đồng xu: m phép thử độc lập về mặt mô tả, mỗi phép n kết quả: n(Ω)=nᵐ. Kiểm bằng Hai xúc xắc phân biệt có 6²=36 cặp.
13. Dùng nᵏ như lấy có hoàn lại.
Quay lại Mô hình chọn vật: Chọn k trong n vật: n(Ω)=Cₙᵏ nếu mọi nhóm k phần tử đồng khả năng. Kiểm bằng Rút 2 bi cùng lúc từ 10 bi: C₁₀².
14. Tử dùng tổ hợp, mẫu dùng chỉnh hợp mà không bù hệ số.
Quay lại Kết hợp đại số tổ hợp: P(A)=số cấu hình thuận lợi/số cấu hình toàn bộ. Kiểm bằng Hai bi đỏ: Cᵣ²/Cᵣ₊ᵦ².
15. Gọi đối xứng khi điều kiện làm các phần tử khác vai trò.
Quay lại Đối xứng và biến cố đối: Nếu n khả năng đối xứng và loại trừ nhau phủ Ω, mỗi khả năng có xác suất 1/n. Kiểm bằng Trong n người xếp ngẫu nhiên, mỗi người có xác suất 1/n đứng đầu.
16. Viết phân số trước khi xác định Ω.
Quay lại Quy trình bốn bước: Ω → A → n(Ω),n(A) → P(A). Kiểm bằng Hai xúc xắc: dùng cặp có thứ tự, n(Ω)=36.
17. Cho 11 tổng từ 2 đến 12 là đồng khả năng.
Quay lại Mô hình xúc xắc và đồng xu: m phép thử độc lập về mặt mô tả, mỗi phép n kết quả: n(Ω)=nᵐ. Kiểm bằng Hai xúc xắc phân biệt có 6²=36 cặp.
18. Dùng nᵏ như lấy có hoàn lại.
Quay lại Mô hình chọn vật: Chọn k trong n vật: n(Ω)=Cₙᵏ nếu mọi nhóm k phần tử đồng khả năng. Kiểm bằng Rút 2 bi cùng lúc từ 10 bi: C₁₀².
19. Tử dùng tổ hợp, mẫu dùng chỉnh hợp mà không bù hệ số.
Quay lại Kết hợp đại số tổ hợp: P(A)=số cấu hình thuận lợi/số cấu hình toàn bộ. Kiểm bằng Hai bi đỏ: Cᵣ²/Cᵣ₊ᵦ².
20. Gọi đối xứng khi điều kiện làm các phần tử khác vai trò.
Quay lại Đối xứng và biến cố đối: Nếu n khả năng đối xứng và loại trừ nhau phủ Ω, mỗi khả năng có xác suất 1/n. Kiểm bằng Trong n người xếp ngẫu nhiên, mỗi người có xác suất 1/n đứng đầu.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chọn hay xếp?
Đổi thứ tự có tạo phương án mới không? Có thì nghĩ đến chỉnh hợp/hoán vị; không thì nghĩ đến tổ hợp.
Vẽ cây trước công thức
Với bài mới, mô tả các công đoạn và số nhánh để quyết định cộng hay nhân.
Đặt tên kết quả sơ cấp
Viết một kết quả điển hình của Ω để tránh thiếu trường hợp hoặc đếm sai thứ tự.
Kiểm điều kiện đồng khả năng
Chỉ dùng tỉ số số phần tử trực tiếp khi các kết quả sơ cấp có cùng khả năng.
Đếm hai cách
Kiểm bằng biến cố đối, đối xứng, sơ đồ cây hoặc công thức tương đương.
Ôn 1–3–7
Sau 1 ngày ôn công thức có điều kiện; sau 3 ngày làm bài trộn; sau 7 ngày làm đề ngắn.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển1 2 3 4 5
Quy trình bốn bướcMẫu trước, tử sau, điều kiện luôn có.
Mô hình xúc xắc và đồng xuCặp kết quả, không phải chỉ tổng.
Mô hình chọn vậtRút đồng thời → nhóm.
Kết hợp đại số tổ hợpCùng kiểu đếm ở tử và mẫu.
Đối xứng và biến cố đốiĐối xứng giúp đếm tắt có lý do.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
T10-B27-NB-01Ôn Chương 6: Tính f(-2) với f(x)=x²−2x−3.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay x=-2, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(-2)=(-2)²−2·(-2)−3=5.
Vì sao: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Sai ở đâu: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=-2 để kiểm.
T10-B27-NB-02Ôn Chương 7: Tính khoảng cách từ O(0;0) đến đường thẳng 3x+4y−10=0.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²).
Lời giải: d=|−10|/√(3²+4²)=10/5=2.
Vì sao: Mẫu số là độ dài vectơ pháp tuyến (3;4), bằng 5.
Sai ở đâu: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho 3+4 thay vì √(3²+4²).
Cách khác: Nhận bộ ba 3–4–5 để rút gọn ngay.
T10-B27-NB-03Ôn Chương 7: Đường tròn (x−2)²+(y+1)²=16 có bán kính bao nhiêu?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh với (x−a)²+(y−b)²=R².
Lời giải: R²=16 nên R=4>0.
Vì sao: Bán kính là căn dương của vế phải, không phải chính vế phải.
Sai ở đâu: Kết luận bán kính bằng R².
Cách khác: Kiểm một điểm cách tâm I(2;−1) đúng 4 đơn vị.
T10-B27-NB-04Hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh giống nhau về kích thước. Rút ngẫu nhiên một bi. Tính xác suất rút bi đỏ.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mỗi viên bi là một kết quả đồng khả năng.
Lời giải: P(đỏ)=3/(3+2)=3/5.
Vì sao: Đếm theo từng viên bi, không đếm theo hai màu.
Sai ở đâu: Cho xác suất bằng 1/2 vì hộp có hai màu.
Cách khác: Tính biến cố đối rút bi xanh rồi lấy 1 trừ đi.
T10-B27-NB-05Hộp có 5 bi đỏ và 5 bi xanh. Rút đồng thời hai bi. Tính xác suất cả hai bi đỏ.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chọn đồng thời nên dùng tổ hợp, không xét thứ tự.
Lời giải: P=C(5,2)/C(10,2)=10/45=2/9.
Vì sao: Mẫu số đếm mọi cặp bi; tử số đếm cặp gồm hai bi đỏ.
Sai ở đâu: Dùng red²/(red+blue)² như mô hình có hoàn lại.
Cách khác: Có thể đếm có thứ tự ở cả tử và mẫu; tỉ số vẫn như nhau.
T10-B27-NB-06Hộp có 5 bi đỏ và 7 bi xanh. Rút đồng thời hai bi. Tính xác suất hai bi khác màu.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cặp thuận lợi gồm một đỏ và một xanh.
Lời giải: P=C(5,1)C(7,1)/C(12,2)=35/66=35/66.
Vì sao: Chọn một viên từ mỗi màu; tích số cách vì hai công đoạn đồng thời phải xảy ra.
Sai ở đâu: Nhân thêm 2 dù đang dùng tổ hợp không thứ tự.
Cách khác: Lấy 1 trừ xác suất hai bi cùng màu.
T10-B27-NB-07Gieo hai xúc xắc cân đối phân biệt. Tính xác suất tổng bằng 7.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lập 36 cặp có thứ tự và đếm đường chéo tổng.
Lời giải: Có 6 kết quả thuận lợi nên P=6/36=1/6.
Vì sao: Các cặp đồng khả năng nhưng các tổng không đồng khả năng.
Sai ở đâu: Lấy 1/11 vì có 11 giá trị tổng.
Cách khác: Liệt kê a từ max(1,sum−6) đến min(6,sum−1).
T10-B27-NB-08Xếp ngẫu nhiên 9 học sinh thành hàng. Tính xác suất An đứng đầu hàng.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mọi hoán vị đồng khả năng; cố định An rồi xếp những bạn còn lại.
Lời giải: P=(9−1)!/9!=40320/362880=1/9.
Vì sao: Mỗi học sinh có vai trò đối xứng ở vị trí đầu.
Sai ở đâu: Cho xác suất 1/(n−1) vì chỉ đếm người còn lại.
Cách khác: Dùng tính đối xứng: có n học sinh đồng khả năng đứng đầu.
T10-B27-NB-09Rút ngẫu nhiên một lá từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất rút được một quân Át.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bộ bài có 4 quân Át.
Lời giải: P=4/52=1/13.
Vì sao: Mỗi lá bài là một kết quả đồng khả năng.
Sai ở đâu: Lấy 1/4 vì có bốn chất bài.
Cách khác: Đếm 13 hạng bài đối xứng, mỗi hạng có xác suất 1/13.
T10-B27-NB-10Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ 7 học sinh. Tính xác suất một bạn chỉ định được chọn.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tử số: cố định bạn đó rồi chọn các bạn còn lại.
Lời giải: P=C(6,1)/C(7,2)=6/21=2/7.
Vì sao: Mỗi học sinh có vai trò đối xứng; xác suất cũng bằng k/n.
Sai ở đâu: Dùng 1/n dù nhóm chọn nhiều hơn một người.
Cách khác: Dùng đối xứng: xác suất bằng 2/7=2/7.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Ôn Chương 6: Tính f(-2) với f(x)=x²−2x−3.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Ôn Chương 6: Tính f(-2) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=-2, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(-2)=(-2)²−2·(-2)−3=5.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=-2 để kiểm.
TỰ LUẬN 2Hộp có 5 bi đỏ và 7 bi xanh. Rút đồng thời hai bi. Tính xác suất hai bi khác màu.
Gợi ý: Cặp thuận lợi gồm một đỏ và một xanh.
Lời giải: P=C(5,1)C(7,1)/C(12,2)=35/66=35/66.
Giải thích: Chọn một viên từ mỗi màu; tích số cách vì hai công đoạn đồng thời phải xảy ra.
Lỗi cần tránh: Nhân thêm 2 dù đang dùng tổ hợp không thứ tự.
Cách khác: Lấy 1 trừ xác suất hai bi cùng màu.
TỰ LUẬN 3Hộp có 5 bi đỏ và 6 bi xanh giống nhau về kích thước. Rút ngẫu nhiên một bi. Tính xác suất rút bi đỏ.
Gợi ý: Mỗi viên bi là một kết quả đồng khả năng.
Lời giải: P(đỏ)=5/(5+6)=5/11.
Giải thích: Đếm theo từng viên bi, không đếm theo hai màu.
Lỗi cần tránh: Cho xác suất bằng 1/2 vì hộp có hai màu.
Cách khác: Tính biến cố đối rút bi xanh rồi lấy 1 trừ đi.
TỰ LUẬN 4Rút ngẫu nhiên một lá từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất rút được một quân Át.
Gợi ý: Bộ bài có 4 quân Át.
Lời giải: P=4/52=1/13.
Giải thích: Mỗi lá bài là một kết quả đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Lấy 1/4 vì có bốn chất bài.
Cách khác: Đếm 13 hạng bài đối xứng, mỗi hạng có xác suất 1/13.
TỰ LUẬN 5Ôn Chương 6: Tính f(1) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=1, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(1)=(1)²−2·(1)−3=-4.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=1 để kiểm.
TỰ LUẬN 6Rút ngẫu nhiên một lá từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất rút được một quân Át.
Gợi ý: Bộ bài có 4 quân Át.
Lời giải: P=4/52=1/13.
Giải thích: Mỗi lá bài là một kết quả đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Lấy 1/4 vì có bốn chất bài.
Cách khác: Đếm 13 hạng bài đối xứng, mỗi hạng có xác suất 1/13.
TỰ LUẬN 7Gieo hai xúc xắc cân đối phân biệt. Tính xác suất tổng bằng 7.
Gợi ý: Lập 36 cặp có thứ tự và đếm đường chéo tổng.
Lời giải: Có 6 kết quả thuận lợi nên P=6/36=1/6.
Giải thích: Các cặp đồng khả năng nhưng các tổng không đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Lấy 1/11 vì có 11 giá trị tổng.
Cách khác: Liệt kê a từ max(1,sum−6) đến min(6,sum−1).
TỰ LUẬN 8Hộp có 5 bi đỏ và 5 bi xanh. Rút đồng thời hai bi. Tính xác suất cả hai bi đỏ.
Gợi ý: Chọn đồng thời nên dùng tổ hợp, không xét thứ tự.
Lời giải: P=C(5,2)/C(10,2)=10/45=2/9.
Giải thích: Mẫu số đếm mọi cặp bi; tử số đếm cặp gồm hai bi đỏ.
Lỗi cần tránh: Dùng red²/(red+blue)² như mô hình có hoàn lại.
Cách khác: Có thể đếm có thứ tự ở cả tử và mẫu; tỉ số vẫn như nhau.
TỰ LUẬN 9Ôn Chương 6: Tính f(-1) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=-1, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(-1)=(-1)²−2·(-1)−3=0.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=-1 để kiểm.
TỰ LUẬN 10Hộp có 4 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút đồng thời hai bi. Tính xác suất cả hai bi đỏ.
Gợi ý: Chọn đồng thời nên dùng tổ hợp, không xét thứ tự.
Lời giải: P=C(4,2)/C(8,2)=6/28=3/14.
Giải thích: Mẫu số đếm mọi cặp bi; tử số đếm cặp gồm hai bi đỏ.
Lỗi cần tránh: Dùng red²/(red+blue)² như mô hình có hoàn lại.
Cách khác: Có thể đếm có thứ tự ở cả tử và mẫu; tỉ số vẫn như nhau.
TỰ LUẬN 11Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 7 học sinh. Tính xác suất một bạn chỉ định được chọn.
Gợi ý: Tử số: cố định bạn đó rồi chọn các bạn còn lại.
Lời giải: P=C(6,3)/C(7,4)=20/35=4/7.
Giải thích: Mỗi học sinh có vai trò đối xứng; xác suất cũng bằng k/n.
Lỗi cần tránh: Dùng 1/n dù nhóm chọn nhiều hơn một người.
Cách khác: Dùng đối xứng: xác suất bằng 4/7=4/7.
TỰ LUẬN 12Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh thành hàng. Tính xác suất An đứng đầu hàng.
Gợi ý: Mọi hoán vị đồng khả năng; cố định An rồi xếp những bạn còn lại.
Lời giải: P=(6−1)!/6!=120/720=1/6.
Giải thích: Mỗi học sinh có vai trò đối xứng ở vị trí đầu.
Lỗi cần tránh: Cho xác suất 1/(n−1) vì chỉ đếm người còn lại.
Cách khác: Dùng tính đối xứng: có n học sinh đồng khả năng đứng đầu.
TỰ LUẬN 13Ôn Chương 6: Tính f(2) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=2, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(2)=(2)²−2·(2)−3=-3.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=2 để kiểm.
TỰ LUẬN 14Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh thành hàng. Tính xác suất An đứng đầu hàng.
Gợi ý: Mọi hoán vị đồng khả năng; cố định An rồi xếp những bạn còn lại.
Lời giải: P=(8−1)!/8!=5040/40320=1/8.
Giải thích: Mỗi học sinh có vai trò đối xứng ở vị trí đầu.
Lỗi cần tránh: Cho xác suất 1/(n−1) vì chỉ đếm người còn lại.
Cách khác: Dùng tính đối xứng: có n học sinh đồng khả năng đứng đầu.
TỰ LUẬN 15Hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút đồng thời hai bi. Tính xác suất hai bi khác màu.
Gợi ý: Cặp thuận lợi gồm một đỏ và một xanh.
Lời giải: P=C(6,1)C(4,1)/C(10,2)=24/45=8/15.
Giải thích: Chọn một viên từ mỗi màu; tích số cách vì hai công đoạn đồng thời phải xảy ra.
Lỗi cần tránh: Nhân thêm 2 dù đang dùng tổ hợp không thứ tự.
Cách khác: Lấy 1 trừ xác suất hai bi cùng màu.
TỰ LUẬN 16Hộp có 6 bi đỏ và 3 bi xanh giống nhau về kích thước. Rút ngẫu nhiên một bi. Tính xác suất rút bi đỏ.
Gợi ý: Mỗi viên bi là một kết quả đồng khả năng.
Lời giải: P(đỏ)=6/(6+3)=2/3.
Giải thích: Đếm theo từng viên bi, không đếm theo hai màu.
Lỗi cần tránh: Cho xác suất bằng 1/2 vì hộp có hai màu.
Cách khác: Tính biến cố đối rút bi xanh rồi lấy 1 trừ đi.
TỰ LUẬN 17Ôn Chương 6: Tính f(0) với f(x)=x²−2x−3.
Gợi ý: Thay x=0, đặt số âm trong ngoặc nếu có.
Lời giải: f(0)=(0)²−2·(0)−3=-3.
Giải thích: Thay số đúng là nền để kiểm mô hình đếm và xác suất bằng tính toán.
Lỗi cần tránh: Bình phương số âm mà không dùng ngoặc hoặc bỏ dấu của tích.
Cách khác: Dùng f(x)=(x−3)(x+1) rồi thay x=0 để kiểm.
TỰ LUẬN 18Hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh giống nhau về kích thước. Rút ngẫu nhiên một bi. Tính xác suất rút bi đỏ.
Gợi ý: Mỗi viên bi là một kết quả đồng khả năng.
Lời giải: P(đỏ)=3/(3+2)=3/5.
Giải thích: Đếm theo từng viên bi, không đếm theo hai màu.
Lỗi cần tránh: Cho xác suất bằng 1/2 vì hộp có hai màu.
Cách khác: Tính biến cố đối rút bi xanh rồi lấy 1 trừ đi.
TỰ LUẬN 19Rút ngẫu nhiên một lá từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất rút được một quân Át.
Gợi ý: Bộ bài có 4 quân Át.
Lời giải: P=4/52=1/13.
Giải thích: Mỗi lá bài là một kết quả đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Lấy 1/4 vì có bốn chất bài.
Cách khác: Đếm 13 hạng bài đối xứng, mỗi hạng có xác suất 1/13.
TỰ LUẬN 20Gieo hai xúc xắc cân đối phân biệt. Tính xác suất tổng bằng 7.
Gợi ý: Lập 36 cặp có thứ tự và đếm đường chéo tổng.
Lời giải: Có 6 kết quả thuận lợi nên P=6/36=1/6.
Giải thích: Các cặp đồng khả năng nhưng các tổng không đồng khả năng.
Lỗi cần tránh: Lấy 1/11 vì có 11 giá trị tổng.
Cách khác: Liệt kê a từ max(1,sum−6) đến min(6,sum−1).
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: T10-B27-NB-01, T10-B27-NB-02, T10-B27-NB-03, T10-B27-NB-04, T10-B27-NB-05, T10-B27-NB-06, T10-B27-NB-07, T10-B27-NB-08, T10-B27-NB-09, T10-B27-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B27-NB-01: 5
- T10-B27-NB-02: 2
- T10-B27-NB-03: 4
- T10-B27-NB-04: 3/5
- T10-B27-NB-05: 2/9
- T10-B27-NB-06: 35/66
- T10-B27-NB-07: 1/6
- T10-B27-NB-08: 1/9
- T10-B27-NB-09: 1/13
- T10-B27-NB-10: 2/7
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 9
10 câu đại diện: T10-B27-NB-11, T10-B27-NB-12, T10-B27-NB-13, T10-B27-NB-14, T10-B27-NB-15, T10-B27-NB-16, T10-B27-NB-17, T10-B27-NB-18, T10-B27-NB-19, T10-B27-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B27-NB-11: 5/11
- T10-B27-NB-12: 3/14
- T10-B27-NB-13: 7/13
- T10-B27-NB-14: 1/6
- T10-B27-NB-15: 1/6
- T10-B27-NB-16: 1/13
- T10-B27-NB-17: 1/3
- T10-B27-NB-18: 7/12
- T10-B27-NB-19: 7/15
- T10-B27-NB-20: 5/9
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: T10-B27-TH-01, T10-B27-TH-02, T10-B27-TH-03, T10-B27-TH-04, T10-B27-TH-05, T10-B27-TH-06, T10-B27-TH-07, T10-B27-TH-08, T10-B27-TH-09, T10-B27-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B27-TH-01: -4
- T10-B27-TH-02: 5
- T10-B27-TH-03: 7
- T10-B27-TH-04: 1/6
- T10-B27-TH-05: 1/8
- T10-B27-TH-06: 1/13
- T10-B27-TH-07: 2/3
- T10-B27-TH-08: 1/2
- T10-B27-TH-09: 5/22
- T10-B27-TH-10: 8/15
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: T10-B27-TH-11, T10-B27-TH-12, T10-B27-TH-13, T10-B27-TH-14, T10-B27-TH-15, T10-B27-TH-16, T10-B27-TH-17, T10-B27-TH-18, T10-B27-TH-19, T10-B27-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B27-TH-11: 1/6
- T10-B27-TH-12: 1/5
- T10-B27-TH-13: 1/13
- T10-B27-TH-14: 1/4
- T10-B27-TH-15: 2/3
- T10-B27-TH-16: 2/9
- T10-B27-TH-17: 3/5
- T10-B27-TH-18: 1/6
- T10-B27-TH-19: 1/7
- T10-B27-TH-20: 1/13
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: T10-B27-VD-01, T10-B27-VD-02, T10-B27-VD-03, T10-B27-VD-04, T10-B27-VD-05, T10-B27-VD-06, T10-B27-VD-07, T10-B27-VD-08, T10-B27-VD-09, T10-B27-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- T10-B27-VD-01: 0
- T10-B27-VD-02: 3
- T10-B27-VD-03: 4
- T10-B27-VD-04: 3/10
- T10-B27-VD-05: 3/5
- T10-B27-VD-06: 3/14
- T10-B27-VD-07: 35/66
- T10-B27-VD-08: 1/6
- T10-B27-VD-09: 1/9
- T10-B27-VD-10: 1/13
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi buổi 50–65 phút; yêu cầu con nói rõ “có xét thứ tự không?” trước khi viết công thức.
- Nếu con sai xác suất, hỏi con đã mô tả một kết quả của không gian mẫu và kiểm đồng khả năng chưa.
- Khuyến khích con kiểm bài nhỏ bằng liệt kê hoặc sơ đồ cây trước khi dùng máy tính.
- Cho con làm lại một bài cùng cấu trúc sau 1 ngày, 3 ngày và 7 ngày.
- Chỉ chuyển bài khi đạt 80% và tự sửa được ba lỗi gần nhất.
- Mở bài bằng tình huống chọn–xếp có cùng dữ kiện để học sinh thấy vai trò của thứ tự.
- Yêu cầu học sinh mô tả không gian mẫu bằng lời trước khi tính xác suất.
- Tách lỗi thành: sai đối tượng, sai thứ tự, đếm trùng, thiếu trường hợp và sai điều kiện đồng khả năng.
- Dùng bảng, sơ đồ cây và mô phỏng để kiểm công thức chứ không thay thế lập luận.
- Đề gắn nhãn Hà Nội là đề nội bộ tham khảo cấu trúc, không phải đề chính thức của Sở.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.