Thấy cấu trúc thay vì đoán
Bài học biến bản vẽ kiến trúc, khung nhà, giao tuyến mái, cắt vật thể và mô hình 3D thành mô hình có thể kiểm tra.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
- Một đường và điểm ngoài, hai đường cắt nhau hoặc hai đường song song cũng xác định mặt phẳng.
- Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì giao theo một đường.
Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Nhận biết điểm, đường, mặt phẳng; xác định mặt phẳng, giao tuyến và thiết diện bằng chuỗi lập luận không phụ thuộc cảm giác từ hình vẽ.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Lập luận có căn cứ
Biết gọi đúng đối tượng, nêu điều kiện, chọn công cụ và tự kiểm kết luận.
Nền trước, đích sau
Kích hoạt quan hệ điểm–đường trong mặt phẳng, tam giác và tứ giác rồi chuẩn bị trực tiếp cho Bài 11. Hai đường thẳng song song.
Ví dụ – phản ví dụ – biên
Mỗi quy tắc đi kèm một trường hợp đúng, một lỗi thiếu điều kiện và một phép kiểm.
- Nêu đúng bốn cách xác định mặt phẳng.
- Tìm giao tuyến bằng hai điểm chung.
- Nhận diện giao điểm đường–mặt.
- Biểu diễn hình không gian có nét thấy–khuất hợp lí.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Quan hệ điểm–đường trong mặt phẳng, tam giác và tứ giác.
- Đọc đúng kí hiệu và phát biểu điều kiện trước khi áp dụng.
- Dự đoán vị trí, dấu hoặc xu thế trước khi biến đổi.
- Dùng hình/tọa độ hoặc phép thế ngược để tự kiểm.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Điểm, đường và mặt phẳng
Hiểu đơn giản: Không gian có ba loại đối tượng cơ bản và quan hệ thuộc.
A∈d, A∈(P), d⊂(P).
Ví dụ: A, B thuộc (P) thì AB nằm trong (P).
Hình nên dùng: Mô hình hộp trong suốt có điểm–cạnh–mặt.
Mô phỏng: Bật tắt nét khuất của hình chóp.
Mẹo nhớ: Muốn chứng minh đường nằm trong mặt, chứng minh hai điểm của đường thuộc mặt.
Sai lầm: Nhìn nét vẽ giao nhau rồi cho là có giao điểm.
Ghi chú: Hình biểu diễn không bảo toàn mọi quan hệ.
Cách xác định mặt phẳng
Hiểu đơn giản: Cần đủ hai phương khác nhau trong một mặt phẳng.
Ba điểm không thẳng hàng; đường + điểm ngoài; hai đường cắt; hai đường song song.
Ví dụ: Mặt phẳng (ABC) với A,B,C không thẳng hàng.
Hình nên dùng: Bốn thẻ tương ứng bốn cách xác định.
Mô phỏng: Kéo điểm C vào/ra đường AB.
Mẹo nhớ: Luôn kiểm tra điều kiện không thẳng hàng hoặc phân biệt.
Sai lầm: Dùng ba điểm thẳng hàng.
Ghi chú: Các cách trên là tương đương về lượng thông tin.
Giao tuyến và thiết diện
Hiểu đơn giản: Hai điểm chung phân biệt dựng nên đường chung.
(P)∩(Q)=d khi d⊂(P), d⊂(Q).
Ví dụ: P,Q cùng chứa A,B thì giao tuyến là AB.
Hình nên dùng: Hai tấm kính cắt nhau theo đường.
Mô phỏng: Di chuyển mặt phẳng cắt hình chóp.
Mẹo nhớ: Tìm điểm chung thứ nhất, điểm chung thứ hai, nối lại.
Sai lầm: Đoán phương giao tuyến theo hình.
Ghi chú: Thiết diện phải là đa giác khép kín trên các mặt của khối.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG
Phân loại bằng tọa độ, không đoán theo hình
Xét mặt phẳng (Oxy): z = 0 và đường d qua điểm có cao độ h, với thành phần đứng của vectơ chỉ phương là uᶻ.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B10-NB-04
Đề bài: Hai mặt phẳng (P), (Q) phân biệt cùng chứa hai điểm D, M. Biết D ≠ M. Xác định giao tuyến.
Phân tích: Đường thẳng qua hai điểm chung D, M nằm trong cả hai mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Đường thẳng qua hai điểm chung D, M nằm trong cả hai mặt phẳng.
- Bước 2: (P) ∩ (Q) = DM.
- Bước 3: Kết luận DM.
Vì sao: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có điểm chung thì giao nhau theo một đường thẳng.
Cách khác: Chứng minh DM ⊂ (P) và DM ⊂ (Q).
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Chỉ ghi một điểm là giao tuyến.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B10-NB-14
Đề bài: Hai mặt phẳng (P), (Q) phân biệt cùng chứa hai điểm B, C. Biết B ≠ C. Xác định giao tuyến.
Phân tích: Đường thẳng qua hai điểm chung B, C nằm trong cả hai mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Đường thẳng qua hai điểm chung B, C nằm trong cả hai mặt phẳng.
- Bước 2: (P) ∩ (Q) = BC.
- Bước 3: Kết luận BC.
Vì sao: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có điểm chung thì giao nhau theo một đường thẳng.
Cách khác: Chứng minh BC ⊂ (P) và BC ⊂ (Q).
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Chỉ ghi một điểm là giao tuyến.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B10-TH-04
Đề bài: Ba điểm M, N, A không thẳng hàng xác định bao nhiêu mặt phẳng?
Phân tích: Dùng cách xác định mặt phẳng cơ bản.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Dùng cách xác định mặt phẳng cơ bản.
- Bước 2: Ba điểm M, N, A không thẳng hàng xác định duy nhất mặt phẳng (MNA).
- Bước 3: Kết luận Một mặt phẳng (MNA).
Vì sao: Điều kiện không thẳng hàng loại bỏ trường hợp có vô số mặt phẳng cùng chứa một đường.
Cách khác: Lấy hai đường MN và MA cắt nhau; hai đường cắt nhau xác định một mặt phẳng.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Bỏ điều kiện không thẳng hàng.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B10-TH-14
Đề bài: Ba điểm C, D, M không thẳng hàng xác định bao nhiêu mặt phẳng?
Phân tích: Dùng cách xác định mặt phẳng cơ bản.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Dùng cách xác định mặt phẳng cơ bản.
- Bước 2: Ba điểm C, D, M không thẳng hàng xác định duy nhất mặt phẳng (CDM).
- Bước 3: Kết luận Một mặt phẳng (CDM).
Vì sao: Điều kiện không thẳng hàng loại bỏ trường hợp có vô số mặt phẳng cùng chứa một đường.
Cách khác: Lấy hai đường CD và CM cắt nhau; hai đường cắt nhau xác định một mặt phẳng.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Bỏ điều kiện không thẳng hàng.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B10-VD-04
Đề bài: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại N. Chúng xác định bao nhiêu mặt phẳng?
Phân tích: Hai đường cắt nhau là một trong bốn cách xác định mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Hai đường cắt nhau là một trong bốn cách xác định mặt phẳng.
- Bước 2: a và b xác định duy nhất một mặt phẳng.
- Bước 3: Kết luận Một mặt phẳng duy nhất.
Vì sao: Điểm cắt và mỗi đường cung cấp hai phương khác nhau trong cùng mặt phẳng.
Cách khác: Chọn thêm một điểm trên mỗi đường ngoài giao điểm để có ba điểm không thẳng hàng.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Nhầm hai đường cắt nhau với hai đường chéo nhau.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B10-VD-14
Đề bài: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại D. Chúng xác định bao nhiêu mặt phẳng?
Phân tích: Hai đường cắt nhau là một trong bốn cách xác định mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Hai đường cắt nhau là một trong bốn cách xác định mặt phẳng.
- Bước 2: a và b xác định duy nhất một mặt phẳng.
- Bước 3: Kết luận Một mặt phẳng duy nhất.
Vì sao: Điểm cắt và mỗi đường cung cấp hai phương khác nhau trong cùng mặt phẳng.
Cách khác: Chọn thêm một điểm trên mỗi đường ngoài giao điểm để có ba điểm không thẳng hàng.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Nhầm hai đường cắt nhau với hai đường chéo nhau.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B10-VDC-04
Đề bài: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt, cách chắc chắn nhất là tìm mấy điểm chung phân biệt?
Phân tích: Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm phân biệt.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm phân biệt.
- Bước 2: Tìm hai điểm chung phân biệt rồi nối chúng.
- Bước 3: Kết luận Hai điểm chung phân biệt.
Vì sao: Mỗi điểm chung thuộc giao tuyến; hai điểm xác định đúng giao tuyến.
Cách khác: Tìm một điểm chung và một đường chung đã biết.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Tìm một điểm rồi đoán phương theo hình vẽ.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B10-VDC-14
Đề bài: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt, cách chắc chắn nhất là tìm mấy điểm chung phân biệt?
Phân tích: Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm phân biệt.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm phân biệt.
- Bước 2: Tìm hai điểm chung phân biệt rồi nối chúng.
- Bước 3: Kết luận Hai điểm chung phân biệt.
Vì sao: Mỗi điểm chung thuộc giao tuyến; hai điểm xác định đúng giao tuyến.
Cách khác: Tìm một điểm chung và một đường chung đã biết.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Tìm một điểm rồi đoán phương theo hình vẽ.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B10-TT-04
Đề bài: Cho đường thẳng d và điểm B không thuộc d. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa cả d và B?
Phân tích: Chọn hai điểm phân biệt trên d.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Chọn hai điểm phân biệt trên d.
- Bước 2: Có duy nhất một mặt phẳng chứa d và B.
- Bước 3: Kết luận Một mặt phẳng duy nhất.
Vì sao: Hai điểm trên d cùng điểm ngoài d là ba điểm không thẳng hàng.
Cách khác: Quy về cách xác định mặt phẳng bằng ba điểm không thẳng hàng.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cho rằng quay mặt phẳng quanh d vẫn luôn chứa điểm ngoài.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B10-TT-14
Đề bài: Cho đường thẳng d và điểm N không thuộc d. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa cả d và N?
Phân tích: Chọn hai điểm phân biệt trên d.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Chọn hai điểm phân biệt trên d.
- Bước 2: Có duy nhất một mặt phẳng chứa d và N.
- Bước 3: Kết luận Một mặt phẳng duy nhất.
Vì sao: Hai điểm trên d cùng điểm ngoài d là ba điểm không thẳng hàng.
Cách khác: Quy về cách xác định mặt phẳng bằng ba điểm không thẳng hàng.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cho rằng quay mặt phẳng quanh d vẫn luôn chứa điểm ngoài.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Tình huống 1 khai thác bản vẽ kiến trúc, khung nhà, giao tuyến mái, cắt vật thể và mô hình 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Tình huống 2 khai thác bản vẽ kiến trúc, khung nhà, giao tuyến mái, cắt vật thể và mô hình 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Tình huống 3 khai thác bản vẽ kiến trúc, khung nhà, giao tuyến mái, cắt vật thể và mô hình 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Tình huống 4 khai thác bản vẽ kiến trúc, khung nhà, giao tuyến mái, cắt vật thể và mô hình 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Tình huống 5 khai thác bản vẽ kiến trúc, khung nhà, giao tuyến mái, cắt vật thể và mô hình 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Tình huống 6 khai thác bản vẽ kiến trúc, khung nhà, giao tuyến mái, cắt vật thể và mô hình 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Tình huống 7 khai thác bản vẽ kiến trúc, khung nhà, giao tuyến mái, cắt vật thể và mô hình 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Tình huống 8 khai thác bản vẽ kiến trúc, khung nhà, giao tuyến mái, cắt vật thể và mô hình 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Điểm, đường và mặt phẳng theo cách đơn giản?
Không gian có ba loại đối tượng cơ bản và quan hệ thuộc. Mốc chính xác: A∈d, A∈(P), d⊂(P). Ví dụ: A, B thuộc (P) thì AB nằm trong (P). Cách nhớ: Muốn chứng minh đường nằm trong mặt, chứng minh hai điểm của đường thuộc mặt. Cần tránh: Nhìn nét vẽ giao nhau rồi cho là có giao điểm.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Ba điểm bất kì luôn xác định mặt phẳng
Nhìn nét vẽ giao nhau rồi cho là có giao điểm. Sửa bằng quy trình: Muốn chứng minh đường nằm trong mặt, chứng minh hai điểm của đường thuộc mặt. Phép kiểm cuối: Hình biểu diễn không bảo toàn mọi quan hệ.
Một điểm đủ xác định giao tuyến
Dùng ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng quy trình: Luôn kiểm tra điều kiện không thẳng hàng hoặc phân biệt. Phép kiểm cuối: Các cách trên là tương đương về lượng thông tin.
Nhìn hình để kết luận thuộc
Đoán phương giao tuyến theo hình. Sửa bằng quy trình: Tìm điểm chung thứ nhất, điểm chung thứ hai, nối lại. Phép kiểm cuối: Thiết diện phải là đa giác khép kín trên các mặt của khối.
Bỏ kí hiệu nét khuất
Nhìn nét vẽ giao nhau rồi cho là có giao điểm. Sửa bằng quy trình: Muốn chứng minh đường nằm trong mặt, chứng minh hai điểm của đường thuộc mặt. Phép kiểm cuối: Hình biểu diễn không bảo toàn mọi quan hệ.
Nhầm giao điểm với giao tuyến
Dùng ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng quy trình: Luôn kiểm tra điều kiện không thẳng hàng hoặc phân biệt. Phép kiểm cuối: Các cách trên là tương đương về lượng thông tin.
Ba điểm bất kì luôn xác định mặt phẳng – biến thể 6
Đoán phương giao tuyến theo hình. Sửa bằng quy trình: Tìm điểm chung thứ nhất, điểm chung thứ hai, nối lại. Phép kiểm cuối: Thiết diện phải là đa giác khép kín trên các mặt của khối.
Một điểm đủ xác định giao tuyến – biến thể 7
Nhìn nét vẽ giao nhau rồi cho là có giao điểm. Sửa bằng quy trình: Muốn chứng minh đường nằm trong mặt, chứng minh hai điểm của đường thuộc mặt. Phép kiểm cuối: Hình biểu diễn không bảo toàn mọi quan hệ.
Nhìn hình để kết luận thuộc – biến thể 8
Dùng ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng quy trình: Luôn kiểm tra điều kiện không thẳng hàng hoặc phân biệt. Phép kiểm cuối: Các cách trên là tương đương về lượng thông tin.
Bỏ kí hiệu nét khuất – biến thể 9
Đoán phương giao tuyến theo hình. Sửa bằng quy trình: Tìm điểm chung thứ nhất, điểm chung thứ hai, nối lại. Phép kiểm cuối: Thiết diện phải là đa giác khép kín trên các mặt của khối.
Nhầm giao điểm với giao tuyến – biến thể 10
Nhìn nét vẽ giao nhau rồi cho là có giao điểm. Sửa bằng quy trình: Muốn chứng minh đường nằm trong mặt, chứng minh hai điểm của đường thuộc mặt. Phép kiểm cuối: Hình biểu diễn không bảo toàn mọi quan hệ.
Ba điểm bất kì luôn xác định mặt phẳng – biến thể 11
Dùng ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng quy trình: Luôn kiểm tra điều kiện không thẳng hàng hoặc phân biệt. Phép kiểm cuối: Các cách trên là tương đương về lượng thông tin.
Một điểm đủ xác định giao tuyến – biến thể 12
Đoán phương giao tuyến theo hình. Sửa bằng quy trình: Tìm điểm chung thứ nhất, điểm chung thứ hai, nối lại. Phép kiểm cuối: Thiết diện phải là đa giác khép kín trên các mặt của khối.
Nhìn hình để kết luận thuộc – biến thể 13
Nhìn nét vẽ giao nhau rồi cho là có giao điểm. Sửa bằng quy trình: Muốn chứng minh đường nằm trong mặt, chứng minh hai điểm của đường thuộc mặt. Phép kiểm cuối: Hình biểu diễn không bảo toàn mọi quan hệ.
Bỏ kí hiệu nét khuất – biến thể 14
Dùng ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng quy trình: Luôn kiểm tra điều kiện không thẳng hàng hoặc phân biệt. Phép kiểm cuối: Các cách trên là tương đương về lượng thông tin.
Nhầm giao điểm với giao tuyến – biến thể 15
Đoán phương giao tuyến theo hình. Sửa bằng quy trình: Tìm điểm chung thứ nhất, điểm chung thứ hai, nối lại. Phép kiểm cuối: Thiết diện phải là đa giác khép kín trên các mặt của khối.
Ba điểm bất kì luôn xác định mặt phẳng – biến thể 16
Nhìn nét vẽ giao nhau rồi cho là có giao điểm. Sửa bằng quy trình: Muốn chứng minh đường nằm trong mặt, chứng minh hai điểm của đường thuộc mặt. Phép kiểm cuối: Hình biểu diễn không bảo toàn mọi quan hệ.
Một điểm đủ xác định giao tuyến – biến thể 17
Dùng ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng quy trình: Luôn kiểm tra điều kiện không thẳng hàng hoặc phân biệt. Phép kiểm cuối: Các cách trên là tương đương về lượng thông tin.
Nhìn hình để kết luận thuộc – biến thể 18
Đoán phương giao tuyến theo hình. Sửa bằng quy trình: Tìm điểm chung thứ nhất, điểm chung thứ hai, nối lại. Phép kiểm cuối: Thiết diện phải là đa giác khép kín trên các mặt của khối.
Bỏ kí hiệu nét khuất – biến thể 19
Nhìn nét vẽ giao nhau rồi cho là có giao điểm. Sửa bằng quy trình: Muốn chứng minh đường nằm trong mặt, chứng minh hai điểm của đường thuộc mặt. Phép kiểm cuối: Hình biểu diễn không bảo toàn mọi quan hệ.
Nhầm giao điểm với giao tuyến – biến thể 20
Dùng ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng quy trình: Luôn kiểm tra điều kiện không thẳng hàng hoặc phân biệt. Phép kiểm cuối: Các cách trên là tương đương về lượng thông tin.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Hỏi điều kiện trước
Trước mỗi định lí, viết một dòng điều kiện; thiếu điều kiện thì chưa được biến đổi.
Hai biểu diễn
Ghép lời giải đại số với hình, bảng, đồ thị hoặc tọa độ để tự kiểm.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, vì sao sai và phép kiểm sẽ dùng ở lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn bài sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
Ước lượng trước
Dự đoán vị trí, dấu, độ lớn hoặc dạng kết quả trước khi tính.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian1 2 3
Điểm, đường và mặt phẳngA∈d, A∈(P), d⊂(P). Muốn chứng minh đường nằm trong mặt, chứng minh hai điểm của đường thuộc mặt.
Cách xác định mặt phẳngBa điểm không thẳng hàng; đường + điểm ngoài; hai đường cắt; hai đường song song. Luôn kiểm tra điều kiện không thẳng hàng hoặc phân biệt.
Giao tuyến và thiết diện(P)∩(Q)=d khi d⊂(P), d⊂(Q). Tìm điểm chung thứ nhất, điểm chung thứ hai, nối lại.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B10-NB-01Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (1; 2) và v = (2; 4) có cùng phương không?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Vì sao: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Sai ở đâu: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 1·4 − 2·2 = 0.
B10-NB-02Trong tam giác ABC, M thuộc AB và AM/AB = 2/5. Qua M kẻ đường song song BC cắt AC tại N. Tính AN/AC.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Thalès trong tam giác.
Lời giải: Vì MN ∥ BC nên AN/AC = AM/AB = 2/5.
Vì sao: Tỉ số trên hai đường cắt được bảo toàn; đây là nền của định lí Thalès trong không gian.
Sai ở đâu: Đảo một tỉ số nhưng không đảo tỉ số tương ứng.
Cách khác: Dùng hai tam giác AMN và ABC đồng dạng.
B10-NB-03Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó xác định được bao nhiêu mặt phẳng?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hình dung ba điểm: chọn hai điểm trên đường thẳng và điểm ở ngoài.
Lời giải: Chúng xác định duy nhất một mặt phẳng.
Vì sao: Hai điểm trên đường thẳng cùng điểm ngoài tạo ba điểm không thẳng hàng.
Sai ở đâu: Cho rằng có vô số mặt phẳng vì có vô số điểm trên đường.
Cách khác: Dùng tiên đề: ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
B10-NB-04Hai mặt phẳng (P), (Q) phân biệt cùng chứa hai điểm D, M. Biết D ≠ M. Xác định giao tuyến.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đường thẳng qua hai điểm chung D, M nằm trong cả hai mặt phẳng.
Lời giải: (P) ∩ (Q) = DM.
Vì sao: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có điểm chung thì giao nhau theo một đường thẳng.
Sai ở đâu: Chỉ ghi một điểm là giao tuyến.
Cách khác: Chứng minh DM ⊂ (P) và DM ⊂ (Q).
B10-NB-05Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt, cách chắc chắn nhất là tìm mấy điểm chung phân biệt?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm phân biệt.
Lời giải: Tìm hai điểm chung phân biệt rồi nối chúng.
Vì sao: Mỗi điểm chung thuộc giao tuyến; hai điểm xác định đúng giao tuyến.
Sai ở đâu: Tìm một điểm rồi đoán phương theo hình vẽ.
Cách khác: Tìm một điểm chung và một đường chung đã biết.
B10-NB-06Ba điểm N, A, B không thẳng hàng xác định bao nhiêu mặt phẳng?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng cách xác định mặt phẳng cơ bản.
Lời giải: Ba điểm N, A, B không thẳng hàng xác định duy nhất mặt phẳng (NAB).
Vì sao: Điều kiện không thẳng hàng loại bỏ trường hợp có vô số mặt phẳng cùng chứa một đường.
Sai ở đâu: Bỏ điều kiện không thẳng hàng.
Cách khác: Lấy hai đường NA và NB cắt nhau; hai đường cắt nhau xác định một mặt phẳng.
B10-NB-07Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa cả d và A?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chọn hai điểm phân biệt trên d.
Lời giải: Có duy nhất một mặt phẳng chứa d và A.
Vì sao: Hai điểm trên d cùng điểm ngoài d là ba điểm không thẳng hàng.
Sai ở đâu: Cho rằng quay mặt phẳng quanh d vẫn luôn chứa điểm ngoài.
Cách khác: Quy về cách xác định mặt phẳng bằng ba điểm không thẳng hàng.
B10-NB-08Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại B. Chúng xác định bao nhiêu mặt phẳng?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai đường cắt nhau là một trong bốn cách xác định mặt phẳng.
Lời giải: a và b xác định duy nhất một mặt phẳng.
Vì sao: Điểm cắt và mỗi đường cung cấp hai phương khác nhau trong cùng mặt phẳng.
Sai ở đâu: Nhầm hai đường cắt nhau với hai đường chéo nhau.
Cách khác: Chọn thêm một điểm trên mỗi đường ngoài giao điểm để có ba điểm không thẳng hàng.
B10-NB-09Trong tứ diện ABCD, giao tuyến của (ABC) và (ABD) là:
Mục tiêu: Thông hiểu — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai mặt phẳng cùng chứa hai điểm phân biệt A và B.
Lời giải: Hai mặt phẳng cùng chứa hai điểm phân biệt A và B. Vì vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng AB.
Vì sao: Hai mặt phẳng cùng chứa hai điểm phân biệt A và B. Vì vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng AB.
Sai ở đâu: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: space-intersection-0-0
B10-NB-10Trong tứ diện ABCD, có bao nhiêu mặt phẳng chứa cạnh AB? Chỉ tính các mặt phẳng là mặt của tứ diện.
Mục tiêu: Vận dụng — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cạnh AB thuộc hai mặt kề.
Lời giải: Cạnh AB thuộc hai mặt kề. Đó là (ABC) và (ABD), nên có 2 mặt phẳng là mặt của tứ diện.
Vì sao: Cạnh AB thuộc hai mặt kề. Đó là (ABC) và (ABD), nên có 2 mặt phẳng là mặt của tứ diện.
Sai ở đâu: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: short-space-faces-2-0
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Trong tứ diện ABCD, giao tuyến của (ABC) và (ABD) là:
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (1; 2) và v = (2; 4) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 1·4 − 2·2 = 0.
TỰ LUẬN 2Ba điểm N, A, B không thẳng hàng xác định bao nhiêu mặt phẳng?
Gợi ý: Dùng cách xác định mặt phẳng cơ bản.
Lời giải: Ba điểm N, A, B không thẳng hàng xác định duy nhất mặt phẳng (NAB).
Giải thích: Điều kiện không thẳng hàng loại bỏ trường hợp có vô số mặt phẳng cùng chứa một đường.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện không thẳng hàng.
Cách khác: Lấy hai đường NA và NB cắt nhau; hai đường cắt nhau xác định một mặt phẳng.
TỰ LUẬN 3Trong tứ diện ABCD, giao tuyến của (ABC) và (ABD) là: Không kết luận theo hình vẽ không theo tỉ lệ.
Gợi ý: Hai mặt phẳng cùng chứa hai điểm phân biệt A và B.
Lời giải: Hai mặt phẳng cùng chứa hai điểm phân biệt A và B. Vì vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng AB.
Giải thích: Hai mặt phẳng cùng chứa hai điểm phân biệt A và B. Vì vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng AB.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: space-intersection-0-1
TỰ LUẬN 4Trong tứ diện ABCD, có bao nhiêu mặt phẳng chứa cạnh AB? Chỉ tính các mặt phẳng là mặt của tứ diện. Cần kiểm tra cả điều kiện không nằm trong mặt phẳng.
Gợi ý: Cạnh AB thuộc hai mặt kề.
Lời giải: Cạnh AB thuộc hai mặt kề. Đó là (ABC) và (ABD), nên có 2 mặt phẳng là mặt của tứ diện.
Giải thích: Cạnh AB thuộc hai mặt kề. Đó là (ABC) và (ABD), nên có 2 mặt phẳng là mặt của tứ diện.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: short-space-faces-2-3
TỰ LUẬN 5Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (4; 5) và v = (8; 10) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 4·10 − 5·8 = 0.
TỰ LUẬN 6Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng có bao nhiêu mặt phẳng?
Gợi ý: Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi ba điểm không thẳng hàng.
Lời giải: Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi ba điểm không thẳng hàng. Vì A, B, C thỏa điều kiện không thẳng hàng nên có đúng một mặt phẳng (ABC).
Giải thích: Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi ba điểm không thẳng hàng. Vì A, B, C thỏa điều kiện không thẳng hàng nên có đúng một mặt phẳng (ABC).
Lỗi cần tránh: Bỏ qua điều kiện không thẳng hàng hoặc nhầm với số đường thẳng qua một điểm.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 7Lăng trụ ABC.A′B′C′, M và N lần lượt là trung điểm BB′ và CC′. (AMN) giao (BCC′B′) theo đường nào?
Gợi ý: M và N cùng thuộc mặt bên (BCC′B′), đồng thời thuộc (AMN).
Lời giải: M và N cùng thuộc mặt bên (BCC′B′), đồng thời thuộc (AMN). Hai mặt phẳng phân biệt giao nhau theo đường qua hai điểm chung M, N, tức MN.
Giải thích: M và N cùng thuộc mặt bên (BCC′B′), đồng thời thuộc (AMN). Hai mặt phẳng phân biệt giao nhau theo đường qua hai điểm chung M, N, tức MN.
Lỗi cần tránh: Chọn cạnh BC mà quên M,N là hai điểm cần dùng.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 8Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung gọi là gì?
Gợi ý: Hai đường đã đồng phẳng, phân biệt và không cắt nhau.
Lời giải: Hai đường đã đồng phẳng, phân biệt và không cắt nhau. Theo định nghĩa, chúng song song; chéo nhau phải không đồng phẳng.
Giải thích: Hai đường đã đồng phẳng, phân biệt và không cắt nhau. Theo định nghĩa, chúng song song; chéo nhau phải không đồng phẳng.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện đồng phẳng khi phân biệt song song với chéo nhau.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 9Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (2; 4) và v = (4; 8) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 2·8 − 4·4 = 0.
TỰ LUẬN 10Hình hộp ABCD.A′B′C′D′: M,N,P là trung điểm AB,A′B′,C′D′. (MNP) cắt CD tại K. Tính CK/KD.
Gợi ý: MN∥AA′ và NP∥AD, nên mặt phẳng (MNP) chứa hai phương AA′,AD.
Lời giải: MN∥AA′ và NP∥AD, nên mặt phẳng (MNP) chứa hai phương AA′,AD. Giao tuyến với đáy đi qua M∥AD, cắt CD ở trung điểm K; CK=KD nên tỉ số bằng 1.
Giải thích: MN∥AA′ và NP∥AD, nên mặt phẳng (MNP) chứa hai phương AA′,AD. Giao tuyến với đáy đi qua M∥AD, cắt CD ở trung điểm K; CK=KD nên tỉ số bằng 1.
Lỗi cần tránh: Cho rằng K là đỉnh C vì mặt cắt chứa điểm P phía trên C′D′.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 11Trên một tấm kính phẳng có 7 điểm đánh dấu, không có ba điểm thẳng hàng. Một điểm S nằm ngoài mặt kính. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua S và hai điểm đánh dấu? Chứng minh không có hai cặp bị đếm chung.
Gợi ý: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng
Lời giải: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng. Nếu hai cặp khác nhau cho cùng mặt phẳng thì giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt kính chứa ít nhất ba điểm đánh dấu, trái giả thiết. Vậy có C(7,2)=21 mặt phẳng.
Giải thích: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng. Nếu hai cặp khác nhau cho cùng mặt phẳng thì giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt kính chứa ít nhất ba điểm đánh dấu, trái giả thiết. Vậy có C(7,2)=21 mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 12Trong không gian có 9 điểm, không có ba điểm thẳng hàng; đúng bốn điểm cùng nằm trên một mặt phẳng, ngoài nhóm đó không có bốn điểm đồng phẳng nào. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt được xác định bởi các bộ ba điểm? Giải thích phép trừ đếm lặp.
Gợi ý: Mỗi bộ ba không thẳng hàng xác định một mặt phẳng
Lời giải: Mỗi bộ ba không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Bốn điểm đồng phẳng tạo C(4,3)=4 bộ ba nhưng chỉ một mặt phẳng, nên phải bớt 3. Mọi bộ ba khác xác định các mặt phẳng khác nhau theo giả thiết không còn bộ bốn đồng phẳng. Kết quả C(9,3)−3=81.
Giải thích: Mỗi bộ ba không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Bốn điểm đồng phẳng tạo C(4,3)=4 bộ ba nhưng chỉ một mặt phẳng, nên phải bớt 3. Mọi bộ ba khác xác định các mặt phẳng khác nhau theo giả thiết không còn bộ bốn đồng phẳng. Kết quả C(9,3)−3=81.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 13Thời gian chờ xe (phút) được ghép thành [0;2), [2;4), [4;6), với tần số lần lượt x, 4, y. Cỡ mẫu 12; số trung bình ước lượng bằng trung điểm nhóm là 11/3 phút. Tìm tần số x. Giải thích các bước khôi phục bảng.
Gợi ý: Tổng tần số cho x+y=8
Lời giải: Tổng tần số cho x+y=8. Tổng có trọng số trung điểm 1,3,5 cho x+5y=32. Giải được x=2, y=6, đều là số nguyên dương. Vậy tần số đầu là 2. Đây là ước lượng từ bảng ghép nhóm, không phải khôi phục trung vị chính xác của số liệu gốc.
Giải thích: Tổng tần số cho x+y=8. Tổng có trọng số trung điểm 1,3,5 cho x+5y=32. Giải được x=2, y=6, đều là số nguyên dương. Vậy tần số đầu là 2. Đây là ước lượng từ bảng ghép nhóm, không phải khôi phục trung vị chính xác của số liệu gốc.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 14Trên một tấm kính phẳng có 13 điểm đánh dấu, không có ba điểm thẳng hàng. Một điểm S nằm ngoài mặt kính. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua S và hai điểm đánh dấu? Chứng minh không có hai cặp bị đếm chung.
Gợi ý: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng
Lời giải: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng. Nếu hai cặp khác nhau cho cùng mặt phẳng thì giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt kính chứa ít nhất ba điểm đánh dấu, trái giả thiết. Vậy có C(13,2)=78 mặt phẳng.
Giải thích: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng. Nếu hai cặp khác nhau cho cùng mặt phẳng thì giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt kính chứa ít nhất ba điểm đánh dấu, trái giả thiết. Vậy có C(13,2)=78 mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 15Trong không gian có 15 điểm, không có ba điểm thẳng hàng; đúng bốn điểm cùng nằm trên một mặt phẳng, ngoài nhóm đó không có bốn điểm đồng phẳng nào. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt được xác định bởi các bộ ba điểm? Giải thích phép trừ đếm lặp.
Gợi ý: Mỗi bộ ba không thẳng hàng xác định một mặt phẳng
Lời giải: Mỗi bộ ba không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Bốn điểm đồng phẳng tạo C(4,3)=4 bộ ba nhưng chỉ một mặt phẳng, nên phải bớt 3. Mọi bộ ba khác xác định các mặt phẳng khác nhau theo giả thiết không còn bộ bốn đồng phẳng. Kết quả C(15,3)−3=452.
Giải thích: Mỗi bộ ba không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Bốn điểm đồng phẳng tạo C(4,3)=4 bộ ba nhưng chỉ một mặt phẳng, nên phải bớt 3. Mọi bộ ba khác xác định các mặt phẳng khác nhau theo giả thiết không còn bộ bốn đồng phẳng. Kết quả C(15,3)−3=452.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 16Trên một tấm kính phẳng có 18 điểm đánh dấu, không có ba điểm thẳng hàng. Một điểm S nằm ngoài mặt kính. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua S và hai điểm đánh dấu? Chứng minh không có hai cặp bị đếm chung.
Gợi ý: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng
Lời giải: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng. Nếu hai cặp khác nhau cho cùng mặt phẳng thì giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt kính chứa ít nhất ba điểm đánh dấu, trái giả thiết. Vậy có C(18,2)=153 mặt phẳng.
Giải thích: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng. Nếu hai cặp khác nhau cho cùng mặt phẳng thì giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt kính chứa ít nhất ba điểm đánh dấu, trái giả thiết. Vậy có C(18,2)=153 mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 17Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (3; 2) và v = (6; 4) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 3·4 − 2·6 = 0.
TỰ LUẬN 18Trong không gian có 21 điểm, không có ba điểm thẳng hàng; đúng bốn điểm cùng nằm trên một mặt phẳng, ngoài nhóm đó không có bốn điểm đồng phẳng nào. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt được xác định bởi các bộ ba điểm? Giải thích phép trừ đếm lặp.
Gợi ý: Mỗi bộ ba không thẳng hàng xác định một mặt phẳng
Lời giải: Mỗi bộ ba không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Bốn điểm đồng phẳng tạo C(4,3)=4 bộ ba nhưng chỉ một mặt phẳng, nên phải bớt 3. Mọi bộ ba khác xác định các mặt phẳng khác nhau theo giả thiết không còn bộ bốn đồng phẳng. Kết quả C(21,3)−3=1327.
Giải thích: Mỗi bộ ba không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Bốn điểm đồng phẳng tạo C(4,3)=4 bộ ba nhưng chỉ một mặt phẳng, nên phải bớt 3. Mọi bộ ba khác xác định các mặt phẳng khác nhau theo giả thiết không còn bộ bốn đồng phẳng. Kết quả C(21,3)−3=1327.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 19Trên một tấm kính phẳng có 24 điểm đánh dấu, không có ba điểm thẳng hàng. Một điểm S nằm ngoài mặt kính. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua S và hai điểm đánh dấu? Chứng minh không có hai cặp bị đếm chung.
Gợi ý: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng
Lời giải: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng. Nếu hai cặp khác nhau cho cùng mặt phẳng thì giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt kính chứa ít nhất ba điểm đánh dấu, trái giả thiết. Vậy có C(24,2)=276 mặt phẳng.
Giải thích: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng. Nếu hai cặp khác nhau cho cùng mặt phẳng thì giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt kính chứa ít nhất ba điểm đánh dấu, trái giả thiết. Vậy có C(24,2)=276 mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 20Trong không gian có 26 điểm, không có ba điểm thẳng hàng; đúng bốn điểm cùng nằm trên một mặt phẳng, ngoài nhóm đó không có bốn điểm đồng phẳng nào. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt được xác định bởi các bộ ba điểm? Giải thích phép trừ đếm lặp.
Gợi ý: Mỗi bộ ba không thẳng hàng xác định một mặt phẳng
Lời giải: Mỗi bộ ba không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Bốn điểm đồng phẳng tạo C(4,3)=4 bộ ba nhưng chỉ một mặt phẳng, nên phải bớt 3. Mọi bộ ba khác xác định các mặt phẳng khác nhau theo giả thiết không còn bộ bốn đồng phẳng. Kết quả C(26,3)−3=2597.
Giải thích: Mỗi bộ ba không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Bốn điểm đồng phẳng tạo C(4,3)=4 bộ ba nhưng chỉ một mặt phẳng, nên phải bớt 3. Mọi bộ ba khác xác định các mặt phẳng khác nhau theo giả thiết không còn bộ bốn đồng phẳng. Kết quả C(26,3)−3=2597.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B10-NB-01, B10-NB-02, B10-NB-03, B10-NB-04, B10-NB-05, B10-NB-06, B10-NB-07, B10-NB-08, B10-NB-09, B10-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B10-NB-01: Có; v = 2u
- B10-NB-02: 2/5
- B10-NB-03: Một mặt phẳng duy nhất
- B10-NB-04: DM
- B10-NB-05: Hai điểm chung phân biệt
- B10-NB-06: Một mặt phẳng (NAB)
- B10-NB-07: Một mặt phẳng duy nhất
- B10-NB-08: Một mặt phẳng duy nhất
- B10-NB-09: AB
- B10-NB-10: 2
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: B10-NB-11, B10-NB-12, B10-NB-13, B10-NB-14, B10-NB-15, B10-NB-16, B10-NB-17, B10-NB-18, B10-NB-19, B10-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B10-NB-11: AB
- B10-NB-12: 2
- B10-NB-13: AB
- B10-NB-14: 2
- B10-NB-15: AB
- B10-NB-16: 2
- B10-NB-17: AB
- B10-NB-18: 2
- B10-NB-19: AB ⟂ AA′
- B10-NB-20: AB ⟂ AA′
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B10-TH-01, B10-TH-02, B10-TH-03, B10-TH-04, B10-TH-05, B10-TH-06, B10-TH-07, B10-TH-08, B10-TH-09, B10-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B10-TH-01: Có; v = 2u
- B10-TH-02: 5/7
- B10-TH-03: 2/7
- B10-TH-04: AB ⟂ AA′
- B10-TH-05: Chéo nhau
- B10-TH-06: 1
- B10-TH-07: SO
- B10-TH-08: Đúng
- B10-TH-09: Song song
- B10-TH-10: AN
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B10-TH-11, B10-TH-12, B10-TH-13, B10-TH-14, B10-TH-15, B10-TH-16, B10-TH-17, B10-TH-18, B10-TH-19, B10-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B10-TH-11: MN
- B10-TH-12: Chéo nhau
- B10-TH-13: BB′
- B10-TH-14: CC′
- B10-TH-15: Sai
- B10-TH-16: Song song
- B10-TH-17: Song song
- B10-TH-18: 3
- B10-TH-19: Một đường thẳng
- B10-TH-20: Một mặt phẳng duy nhất
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B10-VD-01, B10-VD-02, B10-VD-03, B10-VD-04, B10-VD-05, B10-VD-06, B10-VD-07, B10-VD-08, B10-VD-09, B10-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B10-VD-01: Có; v = 2u
- B10-VD-02: 3/8
- B10-VD-03: Có; v = 2u
- B10-VD-04: Song song
- B10-VD-05: M
- B10-VD-06: 1
- B10-VD-07: Chéo nhau
- B10-VD-08: 2
- B10-VD-09: C
- B10-VD-10: 17
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.