Thấy cấu trúc thay vì đoán
Bài học biến ray trượt, dầm nhà, đường dây, cạnh khung hộp và thiết kế cơ khí thành mô hình có thể kiểm tra.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 11. Hai đường thẳng song song
Phân biệt cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau; chứng minh hai đường song song bằng định nghĩa, vectơ hoặc đường trung gian.
Không cắt nhau chưa đủ để gọi là song song trong không gian
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Lập luận có căn cứ
Biết gọi đúng đối tượng, nêu điều kiện, chọn công cụ và tự kiểm kết luận.
Nền trước, đích sau
Kích hoạt bài 10 và vectơ cùng phương từ toán 10 rồi chuẩn bị trực tiếp cho Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song.
Ví dụ – phản ví dụ – biên
Mỗi quy tắc đi kèm một trường hợp đúng, một lỗi thiếu điều kiện và một phép kiểm.
- Phân loại vị trí tương đối của hai đường.
- Giải thích vì sao hai đường chéo nhau không song song.
- Dùng đường thứ ba để chứng minh song song.
- Dùng hình bình hành và đường trung bình trong không gian.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 10 và vectơ cùng phương từ Toán 10.
- Đọc đúng kí hiệu và phát biểu điều kiện trước khi áp dụng.
- Dự đoán vị trí, dấu hoặc xu thế trước khi biến đổi.
- Dùng hình/tọa độ hoặc phép thế ngược để tự kiểm.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Bốn vị trí tương đối
Hiểu đơn giản: Hai đường có thể trùng, cắt, song song hoặc chéo.
Song song ⇔ đồng phẳng, phân biệt, không giao; chéo ⇔ không đồng phẳng.
Ví dụ: AB và CD là cạnh đối tứ diện nên chéo.
Hình nên dùng: Bốn mô hình que trong hộp trong suốt.
Mô phỏng: Xoay góc nhìn để thấy đường chéo.
Mẹo nhớ: Hỏi đồng phẳng trước khi hỏi có cắt.
Sai lầm: Không cắt ⇒ song song.
Ghi chú: Trong mặt phẳng không có trường hợp chéo nhau.
Tiêu chuẩn và tính chất
Hiểu đơn giản: Cùng song song với một đường thì cùng phương và cùng nằm trong một mặt phẳng thích hợp.
a∥c, b∥c, a≠b ⇒ a∥b.
Ví dụ: AB∥A′B′ trong hình hộp.
Hình nên dùng: Ba thanh ray cùng phương.
Mô phỏng: Di chuyển một đường qua điểm cho trước.
Mẹo nhớ: Đường trung gian là cầu nối.
Sai lầm: Bỏ điều kiện các đường phân biệt.
Ghi chú: Qua một điểm ngoài đường có duy nhất một đường song song với đường đó.
Chiến lược chứng minh
Hiểu đơn giản: Tìm hình bình hành, đường trung bình hoặc đường thứ ba.
Chứng minh đồng phẳng + không giao, hoặc a∥c và b∥c.
Ví dụ: Nối trung điểm trong hai tam giác của hình chóp.
Hình nên dùng: Tô màu các mặt phẳng chứa đường.
Mô phỏng: Chọn bật một trong ba chiến lược.
Mẹo nhớ: Nêu căn cứ ở từng mũi tên.
Sai lầm: Dẫn chứng bằng cảm giác cạnh đối.
Ghi chú: Một lời giải tốt ghi cả đối tượng và định lí.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG
Phân loại bằng tọa độ, không đoán theo hình
Xét mặt phẳng (Oxy): z = 0 và đường d qua điểm có cao độ h, với thành phần đứng của vectơ chỉ phương là uᶻ.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B11-NB-04
Đề bài: Trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và A′B′.
Phân tích: Các cạnh tương ứng của hai mặt đáy song song có cùng phương.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Các cạnh tương ứng của hai mặt đáy song song có cùng phương.
- Bước 2: AB ∥ A′B′.
- Bước 3: Kết luận AB ∥ A′B′.
Vì sao: AB và A′B′ cùng nằm trong mặt bên ABB′A′ và không cắt nhau.
Cách khác: Xét tứ giác ABB′A′ là hình bình hành.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Gọi chúng chéo nhau vì nằm trên hai mặt đáy khác nhau.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B11-NB-14
Đề bài: Trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và A′B′.
Phân tích: Các cạnh tương ứng của hai mặt đáy song song có cùng phương.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Các cạnh tương ứng của hai mặt đáy song song có cùng phương.
- Bước 2: AB ∥ A′B′.
- Bước 3: Kết luận AB ∥ A′B′.
Vì sao: AB và A′B′ cùng nằm trong mặt bên ABB′A′ và không cắt nhau.
Cách khác: Xét tứ giác ABB′A′ là hình bình hành.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Gọi chúng chéo nhau vì nằm trên hai mặt đáy khác nhau.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B11-TH-04
Đề bài: Hai đường d₁, d₂ có vectơ chỉ phương u = (1; 2; 3) và v = (3; 6; 9). Hai vectơ có cùng phương không?
Phân tích: Tìm hệ số k sao cho v = ku.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Tìm hệ số k sao cho v = ku.
- Bước 2: v = 3u nên hai vectơ cùng phương.
- Bước 3: Kết luận Có; v = 3u.
Vì sao: Cùng phương là điều kiện về hướng; để kết luận hai đường song song còn phải biết chúng phân biệt và đồng phẳng.
Cách khác: Kiểm tra ba tích chéo đều bằng 0.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Từ vectơ cùng phương kết luận ngay hai đường song song, bỏ khả năng trùng nhau.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B11-TH-14
Đề bài: Hai đường d₁, d₂ có vectơ chỉ phương u = (3; 2; 1) và v = (12; 8; 4). Hai vectơ có cùng phương không?
Phân tích: Tìm hệ số k sao cho v = ku.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Tìm hệ số k sao cho v = ku.
- Bước 2: v = 4u nên hai vectơ cùng phương.
- Bước 3: Kết luận Có; v = 4u.
Vì sao: Cùng phương là điều kiện về hướng; để kết luận hai đường song song còn phải biết chúng phân biệt và đồng phẳng.
Cách khác: Kiểm tra ba tích chéo đều bằng 0.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Từ vectơ cùng phương kết luận ngay hai đường song song, bỏ khả năng trùng nhau.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B11-VD-04
Đề bài: Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Biết a ∥ c và b ∥ c. Kết luận quan hệ giữa a và b.
Phân tích: Dùng tính chất hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thứ ba.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Dùng tính chất hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thứ ba.
- Bước 2: a ∥ b.
- Bước 3: Kết luận a ∥ b.
Vì sao: Hai đường có cùng phương; trong hình học không gian, định lí bảo đảm chúng đồng phẳng.
Cách khác: Qua một điểm trên a dựng đường song song c và dùng tính duy nhất.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cho rằng a và b có thể chéo nhau vì đang ở không gian.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B11-VD-14
Đề bài: Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Biết a ∥ c và b ∥ c. Kết luận quan hệ giữa a và b.
Phân tích: Dùng tính chất hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thứ ba.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Dùng tính chất hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thứ ba.
- Bước 2: a ∥ b.
- Bước 3: Kết luận a ∥ b.
Vì sao: Hai đường có cùng phương; trong hình học không gian, định lí bảo đảm chúng đồng phẳng.
Cách khác: Qua một điểm trên a dựng đường song song c và dùng tính duy nhất.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cho rằng a và b có thể chéo nhau vì đang ở không gian.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B11-VDC-04
Đề bài: Trong tứ diện ABCD, hai cạnh AB và CD có quan hệ gì?
Phân tích: Hai cạnh đối của tứ diện không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Hai cạnh đối của tứ diện không cùng nằm trong một mặt phẳng.
- Bước 2: AB và CD chéo nhau.
- Bước 3: Kết luận Chéo nhau.
Vì sao: Chúng không cắt nhau và không đồng phẳng, nên không phải song song.
Cách khác: Dùng phản chứng: nếu đồng phẳng thì bốn đỉnh tứ diện đồng phẳng.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Thấy không cắt nhau rồi kết luận song song.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B11-VDC-14
Đề bài: Trong tứ diện ABCD, hai cạnh AB và CD có quan hệ gì?
Phân tích: Hai cạnh đối của tứ diện không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Hai cạnh đối của tứ diện không cùng nằm trong một mặt phẳng.
- Bước 2: AB và CD chéo nhau.
- Bước 3: Kết luận Chéo nhau.
Vì sao: Chúng không cắt nhau và không đồng phẳng, nên không phải song song.
Cách khác: Dùng phản chứng: nếu đồng phẳng thì bốn đỉnh tứ diện đồng phẳng.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Thấy không cắt nhau rồi kết luận song song.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B11-TT-04
Đề bài: Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong mặt phẳng (P), có vectơ chỉ phương u = (4; 3; 2), v = (4; 4; 2). Chúng có song song không?
Phân tích: Hai đường song song phải có vectơ chỉ phương cùng phương.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Hai đường song song phải có vectơ chỉ phương cùng phương.
- Bước 2: Không song song vì u và v không tỉ lệ.
- Bước 3: Kết luận Không song song.
Vì sao: Trong cùng mặt phẳng, hai đường phân biệt không cùng phương sẽ cắt nhau.
Cách khác: So tỉ số tọa độ thứ hai: 3/4 khác 1.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Chỉ thấy hai tọa độ giống nhau rồi kết luận cùng phương.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B11-TT-14
Đề bài: Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong mặt phẳng (P), có vectơ chỉ phương u = (2; 3; 4), v = (2; 4; 4). Chúng có song song không?
Phân tích: Hai đường song song phải có vectơ chỉ phương cùng phương.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Hai đường song song phải có vectơ chỉ phương cùng phương.
- Bước 2: Không song song vì u và v không tỉ lệ.
- Bước 3: Kết luận Không song song.
Vì sao: Trong cùng mặt phẳng, hai đường phân biệt không cùng phương sẽ cắt nhau.
Cách khác: So tỉ số tọa độ thứ hai: 3/4 khác 1.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Chỉ thấy hai tọa độ giống nhau rồi kết luận cùng phương.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua hai đường thẳng song song
Tình huống 1 khai thác ray trượt, dầm nhà, đường dây, cạnh khung hộp và thiết kế cơ khí; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua hai đường thẳng song song
Tình huống 2 khai thác ray trượt, dầm nhà, đường dây, cạnh khung hộp và thiết kế cơ khí; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua hai đường thẳng song song
Tình huống 3 khai thác ray trượt, dầm nhà, đường dây, cạnh khung hộp và thiết kế cơ khí; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua hai đường thẳng song song
Tình huống 4 khai thác ray trượt, dầm nhà, đường dây, cạnh khung hộp và thiết kế cơ khí; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua hai đường thẳng song song
Tình huống 5 khai thác ray trượt, dầm nhà, đường dây, cạnh khung hộp và thiết kế cơ khí; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua hai đường thẳng song song
Tình huống 6 khai thác ray trượt, dầm nhà, đường dây, cạnh khung hộp và thiết kế cơ khí; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua hai đường thẳng song song
Tình huống 7 khai thác ray trượt, dầm nhà, đường dây, cạnh khung hộp và thiết kế cơ khí; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua hai đường thẳng song song
Tình huống 8 khai thác ray trượt, dầm nhà, đường dây, cạnh khung hộp và thiết kế cơ khí; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Bốn vị trí tương đối theo cách đơn giản?
Hai đường có thể trùng, cắt, song song hoặc chéo. Mốc chính xác: Song song ⇔ đồng phẳng, phân biệt, không giao; chéo ⇔ không đồng phẳng. Ví dụ: AB và CD là cạnh đối tứ diện nên chéo. Cách nhớ: Hỏi đồng phẳng trước khi hỏi có cắt. Cần tránh: Không cắt ⇒ song song.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Không cắt là song song
Không cắt ⇒ song song. Sửa bằng quy trình: Hỏi đồng phẳng trước khi hỏi có cắt. Phép kiểm cuối: Trong mặt phẳng không có trường hợp chéo nhau.
Bỏ điều kiện đồng phẳng
Bỏ điều kiện các đường phân biệt. Sửa bằng quy trình: Đường trung gian là cầu nối. Phép kiểm cuối: Qua một điểm ngoài đường có duy nhất một đường song song với đường đó.
Cùng phương là chắc chắn song song
Dẫn chứng bằng cảm giác cạnh đối. Sửa bằng quy trình: Nêu căn cứ ở từng mũi tên. Phép kiểm cuối: Một lời giải tốt ghi cả đối tượng và định lí.
Nhầm cạnh đối tứ diện song song
Không cắt ⇒ song song. Sửa bằng quy trình: Hỏi đồng phẳng trước khi hỏi có cắt. Phép kiểm cuối: Trong mặt phẳng không có trường hợp chéo nhau.
Dùng định lí thiếu đường phân biệt
Bỏ điều kiện các đường phân biệt. Sửa bằng quy trình: Đường trung gian là cầu nối. Phép kiểm cuối: Qua một điểm ngoài đường có duy nhất một đường song song với đường đó.
Không cắt là song song – biến thể 6
Dẫn chứng bằng cảm giác cạnh đối. Sửa bằng quy trình: Nêu căn cứ ở từng mũi tên. Phép kiểm cuối: Một lời giải tốt ghi cả đối tượng và định lí.
Bỏ điều kiện đồng phẳng – biến thể 7
Không cắt ⇒ song song. Sửa bằng quy trình: Hỏi đồng phẳng trước khi hỏi có cắt. Phép kiểm cuối: Trong mặt phẳng không có trường hợp chéo nhau.
Cùng phương là chắc chắn song song – biến thể 8
Bỏ điều kiện các đường phân biệt. Sửa bằng quy trình: Đường trung gian là cầu nối. Phép kiểm cuối: Qua một điểm ngoài đường có duy nhất một đường song song với đường đó.
Nhầm cạnh đối tứ diện song song – biến thể 9
Dẫn chứng bằng cảm giác cạnh đối. Sửa bằng quy trình: Nêu căn cứ ở từng mũi tên. Phép kiểm cuối: Một lời giải tốt ghi cả đối tượng và định lí.
Dùng định lí thiếu đường phân biệt – biến thể 10
Không cắt ⇒ song song. Sửa bằng quy trình: Hỏi đồng phẳng trước khi hỏi có cắt. Phép kiểm cuối: Trong mặt phẳng không có trường hợp chéo nhau.
Không cắt là song song – biến thể 11
Bỏ điều kiện các đường phân biệt. Sửa bằng quy trình: Đường trung gian là cầu nối. Phép kiểm cuối: Qua một điểm ngoài đường có duy nhất một đường song song với đường đó.
Bỏ điều kiện đồng phẳng – biến thể 12
Dẫn chứng bằng cảm giác cạnh đối. Sửa bằng quy trình: Nêu căn cứ ở từng mũi tên. Phép kiểm cuối: Một lời giải tốt ghi cả đối tượng và định lí.
Cùng phương là chắc chắn song song – biến thể 13
Không cắt ⇒ song song. Sửa bằng quy trình: Hỏi đồng phẳng trước khi hỏi có cắt. Phép kiểm cuối: Trong mặt phẳng không có trường hợp chéo nhau.
Nhầm cạnh đối tứ diện song song – biến thể 14
Bỏ điều kiện các đường phân biệt. Sửa bằng quy trình: Đường trung gian là cầu nối. Phép kiểm cuối: Qua một điểm ngoài đường có duy nhất một đường song song với đường đó.
Dùng định lí thiếu đường phân biệt – biến thể 15
Dẫn chứng bằng cảm giác cạnh đối. Sửa bằng quy trình: Nêu căn cứ ở từng mũi tên. Phép kiểm cuối: Một lời giải tốt ghi cả đối tượng và định lí.
Không cắt là song song – biến thể 16
Không cắt ⇒ song song. Sửa bằng quy trình: Hỏi đồng phẳng trước khi hỏi có cắt. Phép kiểm cuối: Trong mặt phẳng không có trường hợp chéo nhau.
Bỏ điều kiện đồng phẳng – biến thể 17
Bỏ điều kiện các đường phân biệt. Sửa bằng quy trình: Đường trung gian là cầu nối. Phép kiểm cuối: Qua một điểm ngoài đường có duy nhất một đường song song với đường đó.
Cùng phương là chắc chắn song song – biến thể 18
Dẫn chứng bằng cảm giác cạnh đối. Sửa bằng quy trình: Nêu căn cứ ở từng mũi tên. Phép kiểm cuối: Một lời giải tốt ghi cả đối tượng và định lí.
Nhầm cạnh đối tứ diện song song – biến thể 19
Không cắt ⇒ song song. Sửa bằng quy trình: Hỏi đồng phẳng trước khi hỏi có cắt. Phép kiểm cuối: Trong mặt phẳng không có trường hợp chéo nhau.
Dùng định lí thiếu đường phân biệt – biến thể 20
Bỏ điều kiện các đường phân biệt. Sửa bằng quy trình: Đường trung gian là cầu nối. Phép kiểm cuối: Qua một điểm ngoài đường có duy nhất một đường song song với đường đó.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Hỏi điều kiện trước
Trước mỗi định lí, viết một dòng điều kiện; thiếu điều kiện thì chưa được biến đổi.
Hai biểu diễn
Ghép lời giải đại số với hình, bảng, đồ thị hoặc tọa độ để tự kiểm.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, vì sao sai và phép kiểm sẽ dùng ở lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn bài sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
Ước lượng trước
Dự đoán vị trí, dấu, độ lớn hoặc dạng kết quả trước khi tính.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Hai đường thẳng song song1 2 3
Bốn vị trí tương đốiSong song ⇔ đồng phẳng, phân biệt, không giao; chéo ⇔ không đồng phẳng. Hỏi đồng phẳng trước khi hỏi có cắt.
Tiêu chuẩn và tính chấta∥c, b∥c, a≠b ⇒ a∥b. Đường trung gian là cầu nối.
Chiến lược chứng minhChứng minh đồng phẳng + không giao, hoặc a∥c và b∥c. Nêu căn cứ ở từng mũi tên.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B11-NB-01Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (1; 2) và v = (2; 4) có cùng phương không?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Vì sao: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Sai ở đâu: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 1·4 − 2·2 = 0.
B11-NB-02Trong tam giác ABC, M thuộc AB và AM/AB = 2/5. Qua M kẻ đường song song BC cắt AC tại N. Tính AN/AC.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Thalès trong tam giác.
Lời giải: Vì MN ∥ BC nên AN/AC = AM/AB = 2/5.
Vì sao: Tỉ số trên hai đường cắt được bảo toàn; đây là nền của định lí Thalès trong không gian.
Sai ở đâu: Đảo một tỉ số nhưng không đảo tỉ số tương ứng.
Cách khác: Dùng hai tam giác AMN và ABC đồng dạng.
B11-NB-03Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó xác định được bao nhiêu mặt phẳng?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hình dung ba điểm: chọn hai điểm trên đường thẳng và điểm ở ngoài.
Lời giải: Chúng xác định duy nhất một mặt phẳng.
Vì sao: Hai điểm trên đường thẳng cùng điểm ngoài tạo ba điểm không thẳng hàng.
Sai ở đâu: Cho rằng có vô số mặt phẳng vì có vô số điểm trên đường.
Cách khác: Dùng tiên đề: ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
B11-NB-04Trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và A′B′.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Các cạnh tương ứng của hai mặt đáy song song có cùng phương.
Lời giải: AB ∥ A′B′.
Vì sao: AB và A′B′ cùng nằm trong mặt bên ABB′A′ và không cắt nhau.
Sai ở đâu: Gọi chúng chéo nhau vì nằm trên hai mặt đáy khác nhau.
Cách khác: Xét tứ giác ABB′A′ là hình bình hành.
B11-NB-05Trong tứ diện ABCD, hai cạnh AB và CD có quan hệ gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai cạnh đối của tứ diện không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Lời giải: AB và CD chéo nhau.
Vì sao: Chúng không cắt nhau và không đồng phẳng, nên không phải song song.
Sai ở đâu: Thấy không cắt nhau rồi kết luận song song.
Cách khác: Dùng phản chứng: nếu đồng phẳng thì bốn đỉnh tứ diện đồng phẳng.
B11-NB-06Hai đường d₁, d₂ có vectơ chỉ phương u = (2; 2; 4) và v = (8; 8; 16). Hai vectơ có cùng phương không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tìm hệ số k sao cho v = ku.
Lời giải: v = 4u nên hai vectơ cùng phương.
Vì sao: Cùng phương là điều kiện về hướng; để kết luận hai đường song song còn phải biết chúng phân biệt và đồng phẳng.
Sai ở đâu: Từ vectơ cùng phương kết luận ngay hai đường song song, bỏ khả năng trùng nhau.
Cách khác: Kiểm tra ba tích chéo đều bằng 0.
B11-NB-07Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong mặt phẳng (P), có vectơ chỉ phương u = (3; 3; 1), v = (3; 4; 1). Chúng có song song không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai đường song song phải có vectơ chỉ phương cùng phương.
Lời giải: Không song song vì u và v không tỉ lệ.
Vì sao: Trong cùng mặt phẳng, hai đường phân biệt không cùng phương sẽ cắt nhau.
Sai ở đâu: Chỉ thấy hai tọa độ giống nhau rồi kết luận cùng phương.
Cách khác: So tỉ số tọa độ thứ hai: 3/4 khác 1.
B11-NB-08Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Biết a ∥ c và b ∥ c. Kết luận quan hệ giữa a và b.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tính chất hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thứ ba.
Lời giải: a ∥ b.
Vì sao: Hai đường có cùng phương; trong hình học không gian, định lí bảo đảm chúng đồng phẳng.
Sai ở đâu: Cho rằng a và b có thể chéo nhau vì đang ở không gian.
Cách khác: Qua một điểm trên a dựng đường song song c và dùng tính duy nhất.
B11-NB-09Trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và A′B′.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Các cạnh tương ứng của hai mặt đáy song song có cùng phương.
Lời giải: AB ∥ A′B′.
Vì sao: AB và A′B′ cùng nằm trong mặt bên ABB′A′ và không cắt nhau.
Sai ở đâu: Gọi chúng chéo nhau vì nằm trên hai mặt đáy khác nhau.
Cách khác: Xét tứ giác ABB′A′ là hình bình hành.
B11-NB-10Trong tứ diện ABCD, hai cạnh AB và CD có quan hệ gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai cạnh đối của tứ diện không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Lời giải: AB và CD chéo nhau.
Vì sao: Chúng không cắt nhau và không đồng phẳng, nên không phải song song.
Sai ở đâu: Thấy không cắt nhau rồi kết luận song song.
Cách khác: Dùng phản chứng: nếu đồng phẳng thì bốn đỉnh tứ diện đồng phẳng.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B11-NB-01] Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (1; 2) và v = (2; 4) có cùng phương không?
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (1; 2) và v = (2; 4) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 1·4 − 2·2 = 0.
TỰ LUẬN 2Hai đường d₁, d₂ có vectơ chỉ phương u = (2; 2; 4) và v = (8; 8; 16). Hai vectơ có cùng phương không?
Gợi ý: Tìm hệ số k sao cho v = ku.
Lời giải: v = 4u nên hai vectơ cùng phương.
Giải thích: Cùng phương là điều kiện về hướng; để kết luận hai đường song song còn phải biết chúng phân biệt và đồng phẳng.
Lỗi cần tránh: Từ vectơ cùng phương kết luận ngay hai đường song song, bỏ khả năng trùng nhau.
Cách khác: Kiểm tra ba tích chéo đều bằng 0.
TỰ LUẬN 3Hai đường d₁, d₂ có vectơ chỉ phương u = (3; 2; 1) và v = (9; 6; 3). Hai vectơ có cùng phương không?
Gợi ý: Tìm hệ số k sao cho v = ku.
Lời giải: v = 3u nên hai vectơ cùng phương.
Giải thích: Cùng phương là điều kiện về hướng; để kết luận hai đường song song còn phải biết chúng phân biệt và đồng phẳng.
Lỗi cần tránh: Từ vectơ cùng phương kết luận ngay hai đường song song, bỏ khả năng trùng nhau.
Cách khác: Kiểm tra ba tích chéo đều bằng 0.
TỰ LUẬN 4Hai đường d₁, d₂ có vectơ chỉ phương u = (4; 2; 2) và v = (8; 4; 4). Hai vectơ có cùng phương không?
Gợi ý: Tìm hệ số k sao cho v = ku.
Lời giải: v = 2u nên hai vectơ cùng phương.
Giải thích: Cùng phương là điều kiện về hướng; để kết luận hai đường song song còn phải biết chúng phân biệt và đồng phẳng.
Lỗi cần tránh: Từ vectơ cùng phương kết luận ngay hai đường song song, bỏ khả năng trùng nhau.
Cách khác: Kiểm tra ba tích chéo đều bằng 0.
TỰ LUẬN 5Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (4; 5) và v = (8; 10) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 4·10 − 5·8 = 0.
TỰ LUẬN 6Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Biết a ∥ c và b ∥ c. Kết luận quan hệ giữa a và b.
Gợi ý: Dùng tính chất hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thứ ba.
Lời giải: a ∥ b.
Giải thích: Hai đường có cùng phương; trong hình học không gian, định lí bảo đảm chúng đồng phẳng.
Lỗi cần tránh: Cho rằng a và b có thể chéo nhau vì đang ở không gian.
Cách khác: Qua một điểm trên a dựng đường song song c và dùng tính duy nhất.
TỰ LUẬN 7Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Biết a ∥ c và b ∥ c. Kết luận quan hệ giữa a và b.
Gợi ý: Dùng tính chất hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thứ ba.
Lời giải: a ∥ b.
Giải thích: Hai đường có cùng phương; trong hình học không gian, định lí bảo đảm chúng đồng phẳng.
Lỗi cần tránh: Cho rằng a và b có thể chéo nhau vì đang ở không gian.
Cách khác: Qua một điểm trên a dựng đường song song c và dùng tính duy nhất.
TỰ LUẬN 8Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Biết a ∥ c và b ∥ c. Kết luận quan hệ giữa a và b.
Gợi ý: Dùng tính chất hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thứ ba.
Lời giải: a ∥ b.
Giải thích: Hai đường có cùng phương; trong hình học không gian, định lí bảo đảm chúng đồng phẳng.
Lỗi cần tránh: Cho rằng a và b có thể chéo nhau vì đang ở không gian.
Cách khác: Qua một điểm trên a dựng đường song song c và dùng tính duy nhất.
TỰ LUẬN 9Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (2; 4) và v = (4; 8) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 2·8 − 4·4 = 0.
TỰ LUẬN 10Trong tứ diện ABCD, hai cạnh AB và CD có quan hệ gì?
Gợi ý: Hai cạnh đối của tứ diện không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Lời giải: AB và CD chéo nhau.
Giải thích: Chúng không cắt nhau và không đồng phẳng, nên không phải song song.
Lỗi cần tránh: Thấy không cắt nhau rồi kết luận song song.
Cách khác: Dùng phản chứng: nếu đồng phẳng thì bốn đỉnh tứ diện đồng phẳng.
TỰ LUẬN 11Trong tứ diện ABCD, hai cạnh AB và CD có quan hệ gì?
Gợi ý: Hai cạnh đối của tứ diện không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Lời giải: AB và CD chéo nhau.
Giải thích: Chúng không cắt nhau và không đồng phẳng, nên không phải song song.
Lỗi cần tránh: Thấy không cắt nhau rồi kết luận song song.
Cách khác: Dùng phản chứng: nếu đồng phẳng thì bốn đỉnh tứ diện đồng phẳng.
TỰ LUẬN 12Trong tứ diện ABCD, hai cạnh AB và CD có quan hệ gì?
Gợi ý: Hai cạnh đối của tứ diện không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Lời giải: AB và CD chéo nhau.
Giải thích: Chúng không cắt nhau và không đồng phẳng, nên không phải song song.
Lỗi cần tránh: Thấy không cắt nhau rồi kết luận song song.
Cách khác: Dùng phản chứng: nếu đồng phẳng thì bốn đỉnh tứ diện đồng phẳng.
TỰ LUẬN 13Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (5; 3) và v = (10; 6) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 5·6 − 3·10 = 0.
TỰ LUẬN 14Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong mặt phẳng (P), có vectơ chỉ phương u = (1; 3; 3), v = (1; 4; 3). Chúng có song song không?
Gợi ý: Hai đường song song phải có vectơ chỉ phương cùng phương.
Lời giải: Không song song vì u và v không tỉ lệ.
Giải thích: Trong cùng mặt phẳng, hai đường phân biệt không cùng phương sẽ cắt nhau.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy hai tọa độ giống nhau rồi kết luận cùng phương.
Cách khác: So tỉ số tọa độ thứ hai: 3/4 khác 1.
TỰ LUẬN 15Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong mặt phẳng (P), có vectơ chỉ phương u = (2; 3; 4), v = (2; 4; 4). Chúng có song song không?
Gợi ý: Hai đường song song phải có vectơ chỉ phương cùng phương.
Lời giải: Không song song vì u và v không tỉ lệ.
Giải thích: Trong cùng mặt phẳng, hai đường phân biệt không cùng phương sẽ cắt nhau.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy hai tọa độ giống nhau rồi kết luận cùng phương.
Cách khác: So tỉ số tọa độ thứ hai: 3/4 khác 1.
TỰ LUẬN 16Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong mặt phẳng (P), có vectơ chỉ phương u = (3; 3; 1), v = (3; 4; 1). Chúng có song song không?
Gợi ý: Hai đường song song phải có vectơ chỉ phương cùng phương.
Lời giải: Không song song vì u và v không tỉ lệ.
Giải thích: Trong cùng mặt phẳng, hai đường phân biệt không cùng phương sẽ cắt nhau.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy hai tọa độ giống nhau rồi kết luận cùng phương.
Cách khác: So tỉ số tọa độ thứ hai: 3/4 khác 1.
TỰ LUẬN 17Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (3; 2) và v = (6; 4) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 3·4 − 2·6 = 0.
TỰ LUẬN 18Trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và A′B′.
Gợi ý: Các cạnh tương ứng của hai mặt đáy song song có cùng phương.
Lời giải: AB ∥ A′B′.
Giải thích: AB và A′B′ cùng nằm trong mặt bên ABB′A′ và không cắt nhau.
Lỗi cần tránh: Gọi chúng chéo nhau vì nằm trên hai mặt đáy khác nhau.
Cách khác: Xét tứ giác ABB′A′ là hình bình hành.
TỰ LUẬN 19Trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và A′B′.
Gợi ý: Các cạnh tương ứng của hai mặt đáy song song có cùng phương.
Lời giải: AB ∥ A′B′.
Giải thích: AB và A′B′ cùng nằm trong mặt bên ABB′A′ và không cắt nhau.
Lỗi cần tránh: Gọi chúng chéo nhau vì nằm trên hai mặt đáy khác nhau.
Cách khác: Xét tứ giác ABB′A′ là hình bình hành.
TỰ LUẬN 20Trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và A′B′.
Gợi ý: Các cạnh tương ứng của hai mặt đáy song song có cùng phương.
Lời giải: AB ∥ A′B′.
Giải thích: AB và A′B′ cùng nằm trong mặt bên ABB′A′ và không cắt nhau.
Lỗi cần tránh: Gọi chúng chéo nhau vì nằm trên hai mặt đáy khác nhau.
Cách khác: Xét tứ giác ABB′A′ là hình bình hành.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B11-NB-01, B11-NB-02, B11-NB-03, B11-NB-04, B11-NB-05, B11-NB-06, B11-NB-07, B11-NB-08, B11-NB-09, B11-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B11-NB-01: Có; v = 2u
- B11-NB-02: 2/5
- B11-NB-03: Một mặt phẳng duy nhất
- B11-NB-04: AB ∥ A′B′
- B11-NB-05: Chéo nhau
- B11-NB-06: Có; v = 4u
- B11-NB-07: Không song song
- B11-NB-08: a ∥ b
- B11-NB-09: AB ∥ A′B′
- B11-NB-10: Chéo nhau
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: B11-NB-11, B11-NB-12, B11-NB-13, B11-NB-14, B11-NB-15, B11-NB-16, B11-NB-17, B11-NB-18, B11-NB-19, B11-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B11-NB-11: Có; v = 3u
- B11-NB-12: Không song song
- B11-NB-13: a ∥ b
- B11-NB-14: AB ∥ A′B′
- B11-NB-15: Chéo nhau
- B11-NB-16: Có; v = 2u
- B11-NB-17: Không song song
- B11-NB-18: a ∥ b
- B11-NB-19: AB ∥ A′B′
- B11-NB-20: Chéo nhau
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B11-TH-01, B11-TH-02, B11-TH-03, B11-TH-04, B11-TH-05, B11-TH-06, B11-TH-07, B11-TH-08, B11-TH-09, B11-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B11-TH-01: Có; v = 2u
- B11-TH-02: 5/7
- B11-TH-03: Một mặt phẳng duy nhất
- B11-TH-04: Có; v = 3u
- B11-TH-05: Không song song
- B11-TH-06: a ∥ b
- B11-TH-07: AB ∥ A′B′
- B11-TH-08: Chéo nhau
- B11-TH-09: Có; v = 2u
- B11-TH-10: Không song song
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B11-TH-11, B11-TH-12, B11-TH-13, B11-TH-14, B11-TH-15, B11-TH-16, B11-TH-17, B11-TH-18, B11-TH-19, B11-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B11-TH-11: a ∥ b
- B11-TH-12: AB ∥ A′B′
- B11-TH-13: Chéo nhau
- B11-TH-14: Có; v = 4u
- B11-TH-15: Không song song
- B11-TH-16: a ∥ b
- B11-TH-17: AB ∥ A′B′
- B11-TH-18: Chéo nhau
- B11-TH-19: Có; v = 3u
- B11-TH-20: Không song song
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B11-VD-01, B11-VD-02, B11-VD-03, B11-VD-04, B11-VD-05, B11-VD-06, B11-VD-07, B11-VD-08, B11-VD-09, B11-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B11-VD-01: Có; v = 2u
- B11-VD-02: 3/8
- B11-VD-03: Một mặt phẳng duy nhất
- B11-VD-04: a ∥ b
- B11-VD-05: AB ∥ A′B′
- B11-VD-06: Chéo nhau
- B11-VD-07: Có; v = 4u
- B11-VD-08: Không song song
- B11-VD-09: a ∥ b
- B11-VD-10: AB ∥ A′B′
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 35–50 phút, nghỉ ngắn rồi mới chuyển dạng.
- Hỏi con 'điều kiện nào cho phép dùng định lí?' thay vì chỉ hỏi đáp số.
- Theo dõi ba lỗi lặp lại gần nhất và lịch ôn 1–7–30.
- Khuyến khích con vẽ hình hoặc mô tả xu thế bằng lời trước khi tính.
- Mở bài bằng phản ví dụ để học sinh thấy điều kiện bị thiếu.
- Chấm mốc suy luận và điều kiện, không chỉ chấm kết quả cuối.
- Cho học sinh giải thích một lời giải sai trước khi chữa mẫu.
- Đề nội bộ định hướng Hà Nội phải ghi rõ tính tham khảo, không giả danh đề chính thức.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.