Thấy cấu trúc thay vì đoán
Bài học biến đường ống chạy song song sàn, dầm cầu, cắt lớp vật liệu và bản vẽ công nghiệp thành mô hình có thể kiểm tra.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song
Nhận biết và chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng; khai thác giao tuyến của mặt phẳng phụ để dựng đường song song và tìm thiết diện.
Cùng phương với mặt phẳng nhưng nằm trong mặt phẳng thì chưa gọi là song song
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Lập luận có căn cứ
Biết gọi đúng đối tượng, nêu điều kiện, chọn công cụ và tự kiểm kết luận.
Nền trước, đích sau
Kích hoạt bài 10–11, đường trung bình và vectơ rồi chuẩn bị trực tiếp cho Bài 13. Hai mặt phẳng song song.
Ví dụ – phản ví dụ – biên
Mỗi quy tắc đi kèm một trường hợp đúng, một lỗi thiếu điều kiện và một phép kiểm.
- Phân biệt đường nằm trong, cắt và song song mặt.
- Áp dụng đúng tiêu chuẩn d∥(P).
- Dùng mặt phẳng phụ tìm giao tuyến.
- Giải bài thiết diện có phương song song.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 10–11, đường trung bình và vectơ.
- Đọc đúng kí hiệu và phát biểu điều kiện trước khi áp dụng.
- Dự đoán vị trí, dấu hoặc xu thế trước khi biến đổi.
- Dùng hình/tọa độ hoặc phép thế ngược để tự kiểm.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Ba vị trí đường–mặt
Hiểu đơn giản: Đường có thể nằm trong mặt, cắt mặt một điểm hoặc không gặp mặt.
d⊂(P); d∩(P)={A}; d∥(P).
Ví dụ: Đường z=2, hướng ngang song song (Oxy).
Hình nên dùng: Ba thanh và một tấm kính.
Mô phỏng: Đổi cao độ và độ nghiêng của đường.
Mẹo nhớ: Đếm số điểm chung: vô số, một, không.
Sai lầm: Gọi đường nằm trong mặt là song song mặt.
Ghi chú: Định nghĩa song song dùng không có điểm chung.
Tiêu chuẩn song song
Hiểu đơn giản: Tìm một đường làm chứng nằm trong mặt và song song đường đã cho.
d⊄(P), a⊂(P), d∥a ⇒ d∥(P).
Ví dụ: MN là đường trung bình song song BC⊂(BCD).
Hình nên dùng: Mũi tên từ d tới đường chứng a.
Mô phỏng: Chọn đường chứng trong mặt.
Mẹo nhớ: Hai kiểm: phương song song + điểm ngoài.
Sai lầm: Chỉ chứng minh d∥a.
Ghi chú: Nếu d nằm trong (P), kết luận đúng là d⊂(P).
Giao tuyến qua mặt phẳng phụ
Hiểu đơn giản: Đặt d vào một mặt phẳng khác để biến bài toán thành hai đường.
d⊂(Q), (Q)∩(P)=a, d∥(P) ⇒ d∥a.
Ví dụ: Mặt phẳng qua d cắt đáy theo đường song song d.
Hình nên dùng: Hai tấm phẳng và một thanh.
Mô phỏng: Dịch mặt phẳng phụ.
Mẹo nhớ: Mặt phẳng phụ phải chứa đối tượng cần xử lí.
Sai lầm: Vẽ giao tuyến tùy ý.
Ghi chú: Đây là công cụ chính của bài thiết diện.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG
Phân loại bằng tọa độ, không đoán theo hình
Xét mặt phẳng (Oxy): z = 0 và đường d qua điểm có cao độ h, với thành phần đứng của vectơ chỉ phương là uᶻ.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B12-NB-04
Đề bài: Cho d không nằm trong (P). Nếu d song song với một đường a nằm trong (P), kết luận gì?
Phân tích: Đây là tiêu chuẩn cơ bản của đường thẳng song song mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Đây là tiêu chuẩn cơ bản của đường thẳng song song mặt phẳng.
- Bước 2: d ∥ (P).
- Bước 3: Kết luận d ∥ (P).
Vì sao: Điều kiện d không nằm trong (P) là bắt buộc để loại trường hợp d thuộc mặt phẳng.
Cách khác: Dùng mặt phẳng chứa d và a để thấy d không thể cắt (P).
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Bỏ điều kiện d không nằm trong (P).
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B12-NB-14
Đề bài: Cho d không nằm trong (P). Nếu d song song với một đường a nằm trong (P), kết luận gì?
Phân tích: Đây là tiêu chuẩn cơ bản của đường thẳng song song mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Đây là tiêu chuẩn cơ bản của đường thẳng song song mặt phẳng.
- Bước 2: d ∥ (P).
- Bước 3: Kết luận d ∥ (P).
Vì sao: Điều kiện d không nằm trong (P) là bắt buộc để loại trường hợp d thuộc mặt phẳng.
Cách khác: Dùng mặt phẳng chứa d và a để thấy d không thể cắt (P).
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Bỏ điều kiện d không nằm trong (P).
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B12-TH-04
Đề bài: Đường d đi qua M(1; 2; 5) và có vectơ chỉ phương (1; 2; 0). So sánh d với mặt phẳng (Oxy): z = 0.
Phân tích: Tọa độ z trên d có thay đổi không? d có điểm nào z = 0 không?
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Tọa độ z trên d có thay đổi không? d có điểm nào z = 0 không?
- Bước 2: Trên d, z luôn bằng 5 ≠ 0 nên d ∥ (Oxy).
- Bước 3: Kết luận d ∥ (Oxy).
Vì sao: Hướng của d song song mặt phẳng và d không nằm trong mặt phẳng.
Cách khác: Viết tham số d: z = 5.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Chỉ thấy thành phần z của vectơ bằng 0 rồi kết luận, không kiểm tra d có nằm trong mặt phẳng.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B12-TH-14
Đề bài: Đường d đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương (3; 2; 0). So sánh d với mặt phẳng (Oxy): z = 0.
Phân tích: Tọa độ z trên d có thay đổi không? d có điểm nào z = 0 không?
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Tọa độ z trên d có thay đổi không? d có điểm nào z = 0 không?
- Bước 2: Trên d, z luôn bằng 3 ≠ 0 nên d ∥ (Oxy).
- Bước 3: Kết luận d ∥ (Oxy).
Vì sao: Hướng của d song song mặt phẳng và d không nằm trong mặt phẳng.
Cách khác: Viết tham số d: z = 3.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Chỉ thấy thành phần z của vectơ bằng 0 rồi kết luận, không kiểm tra d có nằm trong mặt phẳng.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B12-VD-04
Đề bài: Đường d đi qua M(0; 0; 6) và có vectơ chỉ phương (1; 1; −1). Tìm giao điểm với (Oxy).
Phân tích: Đặt z = h − t = 0.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Đặt z = h − t = 0.
- Bước 2: t = 6; giao điểm là I(6; 6; 0).
- Bước 3: Kết luận I(6; 6; 0).
Vì sao: Thành phần z của vectơ khác 0 nên đường cắt mặt phẳng tại đúng một điểm.
Cách khác: Đi từ M theo vectơ chỉ phương h lần.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cho t = −h nên sai dấu.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B12-VD-14
Đề bài: Đường d đi qua M(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương (1; 1; −1). Tìm giao điểm với (Oxy).
Phân tích: Đặt z = h − t = 0.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Đặt z = h − t = 0.
- Bước 2: t = 4; giao điểm là I(4; 4; 0).
- Bước 3: Kết luận I(4; 4; 0).
Vì sao: Thành phần z của vectơ khác 0 nên đường cắt mặt phẳng tại đúng một điểm.
Cách khác: Đi từ M theo vectơ chỉ phương h lần.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cho t = −h nên sai dấu.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B12-VDC-04
Đề bài: Nếu d ∥ (P) và mặt phẳng (Q) chứa d, đồng thời (Q) cắt (P) theo giao tuyến a, quan hệ giữa d và a là gì?
Phân tích: d và a cùng nằm trong (Q); d không có điểm chung với (P).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: d và a cùng nằm trong (Q); d không có điểm chung với (P).
- Bước 2: d ∥ a.
- Bước 3: Kết luận d ∥ a.
Vì sao: Nếu d cắt a thì d có điểm chung với (P), trái với d ∥ (P).
Cách khác: Dùng định lí về giao tuyến của mặt phẳng qua một đường song song mặt phẳng.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Kết luận d chéo a dù hai đường cùng nằm trong (Q).
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B12-VDC-14
Đề bài: Nếu d ∥ (P) và mặt phẳng (Q) chứa d, đồng thời (Q) cắt (P) theo giao tuyến a, quan hệ giữa d và a là gì?
Phân tích: d và a cùng nằm trong (Q); d không có điểm chung với (P).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: d và a cùng nằm trong (Q); d không có điểm chung với (P).
- Bước 2: d ∥ a.
- Bước 3: Kết luận d ∥ a.
Vì sao: Nếu d cắt a thì d có điểm chung với (P), trái với d ∥ (P).
Cách khác: Dùng định lí về giao tuyến của mặt phẳng qua một đường song song mặt phẳng.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Kết luận d chéo a dù hai đường cùng nằm trong (Q).
09 • Thực tếVí dụ 9 • B12-TT-04
Đề bài: Đường d đi qua M(1; 2; 0), có vectơ chỉ phương (4; 3; 0). So sánh d với (Oxy).
Phân tích: Kiểm tra mọi điểm trên d có z = 0 hay không.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Kiểm tra mọi điểm trên d có z = 0 hay không.
- Bước 2: d nằm trong (Oxy).
- Bước 3: Kết luận d ⊂ (Oxy).
Vì sao: Điểm đầu thuộc mặt phẳng và hướng của đường song song mặt phẳng nên toàn bộ đường nằm trong mặt phẳng.
Cách khác: Viết phương trình tham số và quan sát z luôn bằng 0.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Gọi d song song (Oxy) dù d có vô số điểm chung với mặt phẳng.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B12-TT-14
Đề bài: Đường d đi qua M(1; 2; 0), có vectơ chỉ phương (2; 3; 0). So sánh d với (Oxy).
Phân tích: Kiểm tra mọi điểm trên d có z = 0 hay không.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Kiểm tra mọi điểm trên d có z = 0 hay không.
- Bước 2: d nằm trong (Oxy).
- Bước 3: Kết luận d ⊂ (Oxy).
Vì sao: Điểm đầu thuộc mặt phẳng và hướng của đường song song mặt phẳng nên toàn bộ đường nằm trong mặt phẳng.
Cách khác: Viết phương trình tham số và quan sát z luôn bằng 0.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Gọi d song song (Oxy) dù d có vô số điểm chung với mặt phẳng.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua đường thẳng và mặt phẳng song song
Tình huống 1 khai thác đường ống chạy song song sàn, dầm cầu, cắt lớp vật liệu và bản vẽ công nghiệp; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua đường thẳng và mặt phẳng song song
Tình huống 2 khai thác đường ống chạy song song sàn, dầm cầu, cắt lớp vật liệu và bản vẽ công nghiệp; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua đường thẳng và mặt phẳng song song
Tình huống 3 khai thác đường ống chạy song song sàn, dầm cầu, cắt lớp vật liệu và bản vẽ công nghiệp; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua đường thẳng và mặt phẳng song song
Tình huống 4 khai thác đường ống chạy song song sàn, dầm cầu, cắt lớp vật liệu và bản vẽ công nghiệp; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua đường thẳng và mặt phẳng song song
Tình huống 5 khai thác đường ống chạy song song sàn, dầm cầu, cắt lớp vật liệu và bản vẽ công nghiệp; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua đường thẳng và mặt phẳng song song
Tình huống 6 khai thác đường ống chạy song song sàn, dầm cầu, cắt lớp vật liệu và bản vẽ công nghiệp; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua đường thẳng và mặt phẳng song song
Tình huống 7 khai thác đường ống chạy song song sàn, dầm cầu, cắt lớp vật liệu và bản vẽ công nghiệp; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua đường thẳng và mặt phẳng song song
Tình huống 8 khai thác đường ống chạy song song sàn, dầm cầu, cắt lớp vật liệu và bản vẽ công nghiệp; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Ba vị trí đường–mặt theo cách đơn giản?
Đường có thể nằm trong mặt, cắt mặt một điểm hoặc không gặp mặt. Mốc chính xác: d⊂(P); d∩(P)={A}; d∥(P). Ví dụ: Đường z=2, hướng ngang song song (Oxy). Cách nhớ: Đếm số điểm chung: vô số, một, không. Cần tránh: Gọi đường nằm trong mặt là song song mặt.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Thiếu d không nằm trong mặt
Gọi đường nằm trong mặt là song song mặt. Sửa bằng quy trình: Đếm số điểm chung: vô số, một, không. Phép kiểm cuối: Định nghĩa song song dùng không có điểm chung.
Một đường trong mặt song song d là đủ mọi trường hợp
Chỉ chứng minh d∥a. Sửa bằng quy trình: Hai kiểm: phương song song + điểm ngoài. Phép kiểm cuối: Nếu d nằm trong (P), kết luận đúng là d⊂(P).
Nhầm cắt với nằm trong
Vẽ giao tuyến tùy ý. Sửa bằng quy trình: Mặt phẳng phụ phải chứa đối tượng cần xử lí. Phép kiểm cuối: Đây là công cụ chính của bài thiết diện.
Dùng giao tuyến chưa chứng minh
Gọi đường nằm trong mặt là song song mặt. Sửa bằng quy trình: Đếm số điểm chung: vô số, một, không. Phép kiểm cuối: Định nghĩa song song dùng không có điểm chung.
Kết luận theo hình nghiêng
Chỉ chứng minh d∥a. Sửa bằng quy trình: Hai kiểm: phương song song + điểm ngoài. Phép kiểm cuối: Nếu d nằm trong (P), kết luận đúng là d⊂(P).
Thiếu d không nằm trong mặt – biến thể 6
Vẽ giao tuyến tùy ý. Sửa bằng quy trình: Mặt phẳng phụ phải chứa đối tượng cần xử lí. Phép kiểm cuối: Đây là công cụ chính của bài thiết diện.
Một đường trong mặt song song d là đủ mọi trường hợp – biến thể 7
Gọi đường nằm trong mặt là song song mặt. Sửa bằng quy trình: Đếm số điểm chung: vô số, một, không. Phép kiểm cuối: Định nghĩa song song dùng không có điểm chung.
Nhầm cắt với nằm trong – biến thể 8
Chỉ chứng minh d∥a. Sửa bằng quy trình: Hai kiểm: phương song song + điểm ngoài. Phép kiểm cuối: Nếu d nằm trong (P), kết luận đúng là d⊂(P).
Dùng giao tuyến chưa chứng minh – biến thể 9
Vẽ giao tuyến tùy ý. Sửa bằng quy trình: Mặt phẳng phụ phải chứa đối tượng cần xử lí. Phép kiểm cuối: Đây là công cụ chính của bài thiết diện.
Kết luận theo hình nghiêng – biến thể 10
Gọi đường nằm trong mặt là song song mặt. Sửa bằng quy trình: Đếm số điểm chung: vô số, một, không. Phép kiểm cuối: Định nghĩa song song dùng không có điểm chung.
Thiếu d không nằm trong mặt – biến thể 11
Chỉ chứng minh d∥a. Sửa bằng quy trình: Hai kiểm: phương song song + điểm ngoài. Phép kiểm cuối: Nếu d nằm trong (P), kết luận đúng là d⊂(P).
Một đường trong mặt song song d là đủ mọi trường hợp – biến thể 12
Vẽ giao tuyến tùy ý. Sửa bằng quy trình: Mặt phẳng phụ phải chứa đối tượng cần xử lí. Phép kiểm cuối: Đây là công cụ chính của bài thiết diện.
Nhầm cắt với nằm trong – biến thể 13
Gọi đường nằm trong mặt là song song mặt. Sửa bằng quy trình: Đếm số điểm chung: vô số, một, không. Phép kiểm cuối: Định nghĩa song song dùng không có điểm chung.
Dùng giao tuyến chưa chứng minh – biến thể 14
Chỉ chứng minh d∥a. Sửa bằng quy trình: Hai kiểm: phương song song + điểm ngoài. Phép kiểm cuối: Nếu d nằm trong (P), kết luận đúng là d⊂(P).
Kết luận theo hình nghiêng – biến thể 15
Vẽ giao tuyến tùy ý. Sửa bằng quy trình: Mặt phẳng phụ phải chứa đối tượng cần xử lí. Phép kiểm cuối: Đây là công cụ chính của bài thiết diện.
Thiếu d không nằm trong mặt – biến thể 16
Gọi đường nằm trong mặt là song song mặt. Sửa bằng quy trình: Đếm số điểm chung: vô số, một, không. Phép kiểm cuối: Định nghĩa song song dùng không có điểm chung.
Một đường trong mặt song song d là đủ mọi trường hợp – biến thể 17
Chỉ chứng minh d∥a. Sửa bằng quy trình: Hai kiểm: phương song song + điểm ngoài. Phép kiểm cuối: Nếu d nằm trong (P), kết luận đúng là d⊂(P).
Nhầm cắt với nằm trong – biến thể 18
Vẽ giao tuyến tùy ý. Sửa bằng quy trình: Mặt phẳng phụ phải chứa đối tượng cần xử lí. Phép kiểm cuối: Đây là công cụ chính của bài thiết diện.
Dùng giao tuyến chưa chứng minh – biến thể 19
Gọi đường nằm trong mặt là song song mặt. Sửa bằng quy trình: Đếm số điểm chung: vô số, một, không. Phép kiểm cuối: Định nghĩa song song dùng không có điểm chung.
Kết luận theo hình nghiêng – biến thể 20
Chỉ chứng minh d∥a. Sửa bằng quy trình: Hai kiểm: phương song song + điểm ngoài. Phép kiểm cuối: Nếu d nằm trong (P), kết luận đúng là d⊂(P).
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Hỏi điều kiện trước
Trước mỗi định lí, viết một dòng điều kiện; thiếu điều kiện thì chưa được biến đổi.
Hai biểu diễn
Ghép lời giải đại số với hình, bảng, đồ thị hoặc tọa độ để tự kiểm.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, vì sao sai và phép kiểm sẽ dùng ở lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn bài sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
Ước lượng trước
Dự đoán vị trí, dấu, độ lớn hoặc dạng kết quả trước khi tính.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Đường thẳng và mặt phẳng song song1 2 3
Ba vị trí đường–mặtd⊂(P); d∩(P)={A}; d∥(P). Đếm số điểm chung: vô số, một, không.
Tiêu chuẩn song songd⊄(P), a⊂(P), d∥a ⇒ d∥(P). Hai kiểm: phương song song + điểm ngoài.
Giao tuyến qua mặt phẳng phụd⊂(Q), (Q)∩(P)=a, d∥(P) ⇒ d∥a. Mặt phẳng phụ phải chứa đối tượng cần xử lí.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B12-NB-01Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (1; 2) và v = (2; 4) có cùng phương không?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Vì sao: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Sai ở đâu: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 1·4 − 2·2 = 0.
B12-NB-02Trong tam giác ABC, M thuộc AB và AM/AB = 2/5. Qua M kẻ đường song song BC cắt AC tại N. Tính AN/AC.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Thalès trong tam giác.
Lời giải: Vì MN ∥ BC nên AN/AC = AM/AB = 2/5.
Vì sao: Tỉ số trên hai đường cắt được bảo toàn; đây là nền của định lí Thalès trong không gian.
Sai ở đâu: Đảo một tỉ số nhưng không đảo tỉ số tương ứng.
Cách khác: Dùng hai tam giác AMN và ABC đồng dạng.
B12-NB-03Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó xác định được bao nhiêu mặt phẳng?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hình dung ba điểm: chọn hai điểm trên đường thẳng và điểm ở ngoài.
Lời giải: Chúng xác định duy nhất một mặt phẳng.
Vì sao: Hai điểm trên đường thẳng cùng điểm ngoài tạo ba điểm không thẳng hàng.
Sai ở đâu: Cho rằng có vô số mặt phẳng vì có vô số điểm trên đường.
Cách khác: Dùng tiên đề: ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
B12-NB-04Cho d không nằm trong (P). Nếu d song song với một đường a nằm trong (P), kết luận gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đây là tiêu chuẩn cơ bản của đường thẳng song song mặt phẳng.
Lời giải: d ∥ (P).
Vì sao: Điều kiện d không nằm trong (P) là bắt buộc để loại trường hợp d thuộc mặt phẳng.
Sai ở đâu: Bỏ điều kiện d không nằm trong (P).
Cách khác: Dùng mặt phẳng chứa d và a để thấy d không thể cắt (P).
B12-NB-05Nếu d ∥ (P) và mặt phẳng (Q) chứa d, đồng thời (Q) cắt (P) theo giao tuyến a, quan hệ giữa d và a là gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: d và a cùng nằm trong (Q); d không có điểm chung với (P).
Lời giải: d ∥ a.
Vì sao: Nếu d cắt a thì d có điểm chung với (P), trái với d ∥ (P).
Sai ở đâu: Kết luận d chéo a dù hai đường cùng nằm trong (Q).
Cách khác: Dùng định lí về giao tuyến của mặt phẳng qua một đường song song mặt phẳng.
B12-NB-06Đường d đi qua M(1; 2; 6) và có vectơ chỉ phương (2; 2; 0). So sánh d với mặt phẳng (Oxy): z = 0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tọa độ z trên d có thay đổi không? d có điểm nào z = 0 không?
Lời giải: Trên d, z luôn bằng 6 ≠ 0 nên d ∥ (Oxy).
Vì sao: Hướng của d song song mặt phẳng và d không nằm trong mặt phẳng.
Sai ở đâu: Chỉ thấy thành phần z của vectơ bằng 0 rồi kết luận, không kiểm tra d có nằm trong mặt phẳng.
Cách khác: Viết tham số d: z = 6.
B12-NB-07Đường d đi qua M(1; 2; 0), có vectơ chỉ phương (3; 3; 0). So sánh d với (Oxy).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Kiểm tra mọi điểm trên d có z = 0 hay không.
Lời giải: d nằm trong (Oxy).
Vì sao: Điểm đầu thuộc mặt phẳng và hướng của đường song song mặt phẳng nên toàn bộ đường nằm trong mặt phẳng.
Sai ở đâu: Gọi d song song (Oxy) dù d có vô số điểm chung với mặt phẳng.
Cách khác: Viết phương trình tham số và quan sát z luôn bằng 0.
B12-NB-08Đường d đi qua M(0; 0; 2) và có vectơ chỉ phương (1; 1; −1). Tìm giao điểm với (Oxy).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đặt z = h − t = 0.
Lời giải: t = 2; giao điểm là I(2; 2; 0).
Vì sao: Thành phần z của vectơ khác 0 nên đường cắt mặt phẳng tại đúng một điểm.
Sai ở đâu: Cho t = −h nên sai dấu.
Cách khác: Đi từ M theo vectơ chỉ phương h lần.
B12-NB-09Cho d không nằm trong (P). Nếu d song song với một đường a nằm trong (P), kết luận gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đây là tiêu chuẩn cơ bản của đường thẳng song song mặt phẳng.
Lời giải: d ∥ (P).
Vì sao: Điều kiện d không nằm trong (P) là bắt buộc để loại trường hợp d thuộc mặt phẳng.
Sai ở đâu: Bỏ điều kiện d không nằm trong (P).
Cách khác: Dùng mặt phẳng chứa d và a để thấy d không thể cắt (P).
B12-NB-10Nếu d ∥ (P) và mặt phẳng (Q) chứa d, đồng thời (Q) cắt (P) theo giao tuyến a, quan hệ giữa d và a là gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: d và a cùng nằm trong (Q); d không có điểm chung với (P).
Lời giải: d ∥ a.
Vì sao: Nếu d cắt a thì d có điểm chung với (P), trái với d ∥ (P).
Sai ở đâu: Kết luận d chéo a dù hai đường cùng nằm trong (Q).
Cách khác: Dùng định lí về giao tuyến của mặt phẳng qua một đường song song mặt phẳng.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B12-NB-01] Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (1; 2) và v = (2; 4) có cùng phương không?
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (1; 2) và v = (2; 4) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 1·4 − 2·2 = 0.
TỰ LUẬN 2Đường d đi qua M(1; 2; 6) và có vectơ chỉ phương (2; 2; 0). So sánh d với mặt phẳng (Oxy): z = 0.
Gợi ý: Tọa độ z trên d có thay đổi không? d có điểm nào z = 0 không?
Lời giải: Trên d, z luôn bằng 6 ≠ 0 nên d ∥ (Oxy).
Giải thích: Hướng của d song song mặt phẳng và d không nằm trong mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy thành phần z của vectơ bằng 0 rồi kết luận, không kiểm tra d có nằm trong mặt phẳng.
Cách khác: Viết tham số d: z = 6.
TỰ LUẬN 3Đường d đi qua M(1; 2; 5) và có vectơ chỉ phương (3; 2; 0). So sánh d với mặt phẳng (Oxy): z = 0.
Gợi ý: Tọa độ z trên d có thay đổi không? d có điểm nào z = 0 không?
Lời giải: Trên d, z luôn bằng 5 ≠ 0 nên d ∥ (Oxy).
Giải thích: Hướng của d song song mặt phẳng và d không nằm trong mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy thành phần z của vectơ bằng 0 rồi kết luận, không kiểm tra d có nằm trong mặt phẳng.
Cách khác: Viết tham số d: z = 5.
TỰ LUẬN 4Đường d đi qua M(1; 2; 4) và có vectơ chỉ phương (4; 2; 0). So sánh d với mặt phẳng (Oxy): z = 0.
Gợi ý: Tọa độ z trên d có thay đổi không? d có điểm nào z = 0 không?
Lời giải: Trên d, z luôn bằng 4 ≠ 0 nên d ∥ (Oxy).
Giải thích: Hướng của d song song mặt phẳng và d không nằm trong mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy thành phần z của vectơ bằng 0 rồi kết luận, không kiểm tra d có nằm trong mặt phẳng.
Cách khác: Viết tham số d: z = 4.
TỰ LUẬN 5Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (4; 5) và v = (8; 10) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 4·10 − 5·8 = 0.
TỰ LUẬN 6Đường d đi qua M(0; 0; 1) và có vectơ chỉ phương (1; 1; −1). Tìm giao điểm với (Oxy).
Gợi ý: Đặt z = h − t = 0.
Lời giải: t = 1; giao điểm là I(1; 1; 0).
Giải thích: Thành phần z của vectơ khác 0 nên đường cắt mặt phẳng tại đúng một điểm.
Lỗi cần tránh: Cho t = −h nên sai dấu.
Cách khác: Đi từ M theo vectơ chỉ phương h lần.
TỰ LUẬN 7Đường d đi qua M(0; 0; 6) và có vectơ chỉ phương (1; 1; −1). Tìm giao điểm với (Oxy).
Gợi ý: Đặt z = h − t = 0.
Lời giải: t = 6; giao điểm là I(6; 6; 0).
Giải thích: Thành phần z của vectơ khác 0 nên đường cắt mặt phẳng tại đúng một điểm.
Lỗi cần tránh: Cho t = −h nên sai dấu.
Cách khác: Đi từ M theo vectơ chỉ phương h lần.
TỰ LUẬN 8Đường d đi qua M(0; 0; 5) và có vectơ chỉ phương (1; 1; −1). Tìm giao điểm với (Oxy).
Gợi ý: Đặt z = h − t = 0.
Lời giải: t = 5; giao điểm là I(5; 5; 0).
Giải thích: Thành phần z của vectơ khác 0 nên đường cắt mặt phẳng tại đúng một điểm.
Lỗi cần tránh: Cho t = −h nên sai dấu.
Cách khác: Đi từ M theo vectơ chỉ phương h lần.
TỰ LUẬN 9Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (2; 4) và v = (4; 8) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 2·8 − 4·4 = 0.
TỰ LUẬN 10Nếu d ∥ (P) và mặt phẳng (Q) chứa d, đồng thời (Q) cắt (P) theo giao tuyến a, quan hệ giữa d và a là gì?
Gợi ý: d và a cùng nằm trong (Q); d không có điểm chung với (P).
Lời giải: d ∥ a.
Giải thích: Nếu d cắt a thì d có điểm chung với (P), trái với d ∥ (P).
Lỗi cần tránh: Kết luận d chéo a dù hai đường cùng nằm trong (Q).
Cách khác: Dùng định lí về giao tuyến của mặt phẳng qua một đường song song mặt phẳng.
TỰ LUẬN 11Nếu d ∥ (P) và mặt phẳng (Q) chứa d, đồng thời (Q) cắt (P) theo giao tuyến a, quan hệ giữa d và a là gì?
Gợi ý: d và a cùng nằm trong (Q); d không có điểm chung với (P).
Lời giải: d ∥ a.
Giải thích: Nếu d cắt a thì d có điểm chung với (P), trái với d ∥ (P).
Lỗi cần tránh: Kết luận d chéo a dù hai đường cùng nằm trong (Q).
Cách khác: Dùng định lí về giao tuyến của mặt phẳng qua một đường song song mặt phẳng.
TỰ LUẬN 12Nếu d ∥ (P) và mặt phẳng (Q) chứa d, đồng thời (Q) cắt (P) theo giao tuyến a, quan hệ giữa d và a là gì?
Gợi ý: d và a cùng nằm trong (Q); d không có điểm chung với (P).
Lời giải: d ∥ a.
Giải thích: Nếu d cắt a thì d có điểm chung với (P), trái với d ∥ (P).
Lỗi cần tránh: Kết luận d chéo a dù hai đường cùng nằm trong (Q).
Cách khác: Dùng định lí về giao tuyến của mặt phẳng qua một đường song song mặt phẳng.
TỰ LUẬN 13Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (5; 3) và v = (10; 6) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 5·6 − 3·10 = 0.
TỰ LUẬN 14Đường d đi qua M(1; 2; 0), có vectơ chỉ phương (1; 3; 0). So sánh d với (Oxy).
Gợi ý: Kiểm tra mọi điểm trên d có z = 0 hay không.
Lời giải: d nằm trong (Oxy).
Giải thích: Điểm đầu thuộc mặt phẳng và hướng của đường song song mặt phẳng nên toàn bộ đường nằm trong mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Gọi d song song (Oxy) dù d có vô số điểm chung với mặt phẳng.
Cách khác: Viết phương trình tham số và quan sát z luôn bằng 0.
TỰ LUẬN 15Đường d đi qua M(1; 2; 0), có vectơ chỉ phương (2; 3; 0). So sánh d với (Oxy).
Gợi ý: Kiểm tra mọi điểm trên d có z = 0 hay không.
Lời giải: d nằm trong (Oxy).
Giải thích: Điểm đầu thuộc mặt phẳng và hướng của đường song song mặt phẳng nên toàn bộ đường nằm trong mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Gọi d song song (Oxy) dù d có vô số điểm chung với mặt phẳng.
Cách khác: Viết phương trình tham số và quan sát z luôn bằng 0.
TỰ LUẬN 16Đường d đi qua M(1; 2; 0), có vectơ chỉ phương (3; 3; 0). So sánh d với (Oxy).
Gợi ý: Kiểm tra mọi điểm trên d có z = 0 hay không.
Lời giải: d nằm trong (Oxy).
Giải thích: Điểm đầu thuộc mặt phẳng và hướng của đường song song mặt phẳng nên toàn bộ đường nằm trong mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Gọi d song song (Oxy) dù d có vô số điểm chung với mặt phẳng.
Cách khác: Viết phương trình tham số và quan sát z luôn bằng 0.
TỰ LUẬN 17Trong mặt phẳng, hai vectơ u = (3; 2) và v = (6; 4) có cùng phương không?
Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.
Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.
Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.
Cách khác: Kiểm tra định thức 3·4 − 2·6 = 0.
TỰ LUẬN 18Cho d không nằm trong (P). Nếu d song song với một đường a nằm trong (P), kết luận gì?
Gợi ý: Đây là tiêu chuẩn cơ bản của đường thẳng song song mặt phẳng.
Lời giải: d ∥ (P).
Giải thích: Điều kiện d không nằm trong (P) là bắt buộc để loại trường hợp d thuộc mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện d không nằm trong (P).
Cách khác: Dùng mặt phẳng chứa d và a để thấy d không thể cắt (P).
TỰ LUẬN 19Cho d không nằm trong (P). Nếu d song song với một đường a nằm trong (P), kết luận gì?
Gợi ý: Đây là tiêu chuẩn cơ bản của đường thẳng song song mặt phẳng.
Lời giải: d ∥ (P).
Giải thích: Điều kiện d không nằm trong (P) là bắt buộc để loại trường hợp d thuộc mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện d không nằm trong (P).
Cách khác: Dùng mặt phẳng chứa d và a để thấy d không thể cắt (P).
TỰ LUẬN 20Cho d không nằm trong (P). Nếu d song song với một đường a nằm trong (P), kết luận gì?
Gợi ý: Đây là tiêu chuẩn cơ bản của đường thẳng song song mặt phẳng.
Lời giải: d ∥ (P).
Giải thích: Điều kiện d không nằm trong (P) là bắt buộc để loại trường hợp d thuộc mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện d không nằm trong (P).
Cách khác: Dùng mặt phẳng chứa d và a để thấy d không thể cắt (P).
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B12-NB-01, B12-NB-02, B12-NB-03, B12-NB-04, B12-NB-05, B12-NB-06, B12-NB-07, B12-NB-08, B12-NB-09, B12-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B12-NB-01: Có; v = 2u
- B12-NB-02: 2/5
- B12-NB-03: Một mặt phẳng duy nhất
- B12-NB-04: d ∥ (P)
- B12-NB-05: d ∥ a
- B12-NB-06: d ∥ (Oxy)
- B12-NB-07: d ⊂ (Oxy)
- B12-NB-08: I(2; 2; 0)
- B12-NB-09: d ∥ (P)
- B12-NB-10: d ∥ a
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: B12-NB-11, B12-NB-12, B12-NB-13, B12-NB-14, B12-NB-15, B12-NB-16, B12-NB-17, B12-NB-18, B12-NB-19, B12-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B12-NB-11: d ∥ (Oxy)
- B12-NB-12: d ⊂ (Oxy)
- B12-NB-13: I(1; 1; 0)
- B12-NB-14: d ∥ (P)
- B12-NB-15: d ∥ a
- B12-NB-16: d ∥ (Oxy)
- B12-NB-17: d ⊂ (Oxy)
- B12-NB-18: I(6; 6; 0)
- B12-NB-19: d ∥ (P)
- B12-NB-20: d ∥ a
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B12-TH-01, B12-TH-02, B12-TH-03, B12-TH-04, B12-TH-05, B12-TH-06, B12-TH-07, B12-TH-08, B12-TH-09, B12-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B12-TH-01: Có; v = 2u
- B12-TH-02: 5/7
- B12-TH-03: Một mặt phẳng duy nhất
- B12-TH-04: d ∥ (Oxy)
- B12-TH-05: d ⊂ (Oxy)
- B12-TH-06: I(1; 1; 0)
- B12-TH-07: d ∥ (P)
- B12-TH-08: d ∥ a
- B12-TH-09: d ∥ (Oxy)
- B12-TH-10: d ⊂ (Oxy)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B12-TH-11, B12-TH-12, B12-TH-13, B12-TH-14, B12-TH-15, B12-TH-16, B12-TH-17, B12-TH-18, B12-TH-19, B12-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B12-TH-11: I(6; 6; 0)
- B12-TH-12: d ∥ (P)
- B12-TH-13: d ∥ a
- B12-TH-14: d ∥ (Oxy)
- B12-TH-15: d ⊂ (Oxy)
- B12-TH-16: I(5; 5; 0)
- B12-TH-17: d ∥ (P)
- B12-TH-18: d ∥ a
- B12-TH-19: d ∥ (Oxy)
- B12-TH-20: d ⊂ (Oxy)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B12-VD-01, B12-VD-02, B12-VD-03, B12-VD-04, B12-VD-05, B12-VD-06, B12-VD-07, B12-VD-08, B12-VD-09, B12-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B12-VD-01: Có; v = 2u
- B12-VD-02: 3/8
- B12-VD-03: Một mặt phẳng duy nhất
- B12-VD-04: I(6; 6; 0)
- B12-VD-05: d ∥ (P)
- B12-VD-06: d ∥ a
- B12-VD-07: d ∥ (Oxy)
- B12-VD-08: d ⊂ (Oxy)
- B12-VD-09: I(5; 5; 0)
- B12-VD-10: d ∥ (P)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 35–50 phút, nghỉ ngắn rồi mới chuyển dạng.
- Hỏi con 'điều kiện nào cho phép dùng định lí?' thay vì chỉ hỏi đáp số.
- Theo dõi ba lỗi lặp lại gần nhất và lịch ôn 1–7–30.
- Khuyến khích con vẽ hình hoặc mô tả xu thế bằng lời trước khi tính.
- Mở bài bằng phản ví dụ để học sinh thấy điều kiện bị thiếu.
- Chấm mốc suy luận và điều kiện, không chỉ chấm kết quả cuối.
- Cho học sinh giải thích một lời giải sai trước khi chữa mẫu.
- Đề nội bộ định hướng Hà Nội phải ghi rõ tính tham khảo, không giả danh đề chính thức.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.