Bài 13. Hai mặt phẳng song song

Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.

Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.

Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.

Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.

Cách khác: Kiểm tra định thức 1·4 − 2·2 = 0.

Gợi ý: Hai mặt phẳng có cùng phương pháp tuyến và khác hằng số.

Lời giải: (P) ∥ (Q).

Giải thích: Chúng không có điểm chung vì một điểm không thể đồng thời có hai tọa độ z khác nhau.

Lỗi cần tránh: Gọi hai mặt phẳng trùng nhau vì cùng có dạng z = hằng số.

Cách khác: Xem chúng như hai tầng ngang khác cao độ.

Gợi ý: Hai mặt phẳng có cùng phương pháp tuyến và khác hằng số.

Lời giải: (P) ∥ (Q).

Giải thích: Chúng không có điểm chung vì một điểm không thể đồng thời có hai tọa độ z khác nhau.

Lỗi cần tránh: Gọi hai mặt phẳng trùng nhau vì cùng có dạng z = hằng số.

Cách khác: Xem chúng như hai tầng ngang khác cao độ.

Gợi ý: Hai mặt phẳng có cùng phương pháp tuyến và khác hằng số.

Lời giải: (P) ∥ (Q).

Giải thích: Chúng không có điểm chung vì một điểm không thể đồng thời có hai tọa độ z khác nhau.

Lỗi cần tránh: Gọi hai mặt phẳng trùng nhau vì cùng có dạng z = hằng số.

Cách khác: Xem chúng như hai tầng ngang khác cao độ.

Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.

Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.

Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.

Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.

Cách khác: Kiểm tra định thức 4·10 − 5·8 = 0.

Gợi ý: Theo Thales đảo, MN∥AB và hai tam giác SMN, SAB đồng dạng.

Lời giải: Theo Thales đảo, MN∥AB và hai tam giác SMN, SAB đồng dạng. MN/AB=2/8, nên MN=24·2/8=6.

Giải thích: Theo Thales đảo, MN∥AB và hai tam giác SMN, SAB đồng dạng. MN/AB=2/8, nên MN=24·2/8=6.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-space-ratio-1-4

Gợi ý: Vì SM/SA = SN/SB nên MN ∥ AB theo định lí Thales đảo trong tam giác SAB.

Lời giải: Vì SM/SA = SN/SB nên MN ∥ AB theo định lí Thales đảo trong tam giác SAB. Hai tam giác SMN và SAB đồng dạng, do đó MN/AB = 3/5; MN = 30·3/5 = 18.

Giải thích: Vì SM/SA = SN/SB nên MN ∥ AB theo định lí Thales đảo trong tam giác SAB. Hai tam giác SMN và SAB đồng dạng, do đó MN/AB = 3/5; MN = 30·3/5 = 18.

Lỗi cần tránh: Đảo tỉ số hoặc dùng hiệu SA − SM thay cho SM.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Ba trung điểm không thẳng hàng và cùng thuộc một mặt phẳng song song với mặt BCD.

Lời giải: Ba trung điểm không thẳng hàng và cùng thuộc một mặt phẳng song song với mặt BCD. Giao tuyến với ba mặt bên là ba đoạn nối các trung điểm, tạo thành một tam giác song song với BCD.

Giải thích: Ba trung điểm không thẳng hàng và cùng thuộc một mặt phẳng song song với mặt BCD. Giao tuyến với ba mặt bên là ba đoạn nối các trung điểm, tạo thành một tam giác song song với BCD.

Lỗi cần tránh: Suy từ thiết diện của hình chóp đáy tứ giác sang tứ diện mà chọn tứ giác.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.

Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.

Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.

Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.

Cách khác: Kiểm tra định thức 2·8 − 4·4 = 0.

Gợi ý: Hai mặt phẳng cùng đi qua S. Trong đáy, AB ∥ CD.

Lời giải: Hai mặt phẳng cùng đi qua S. Trong đáy, AB ∥ CD. Qua S kẻ đường thẳng song song AB (cũng song song CD); đường này thuộc cả hai mặt phẳng nên là giao tuyến của chúng. Kết quả đúng là Đi qua S và song song với AB; vì vậy kết luận đã nêu là sai.

Giải thích: Hai mặt phẳng cùng đi qua S. Trong đáy, AB ∥ CD. Qua S kẻ đường thẳng song song AB (cũng song song CD); đường này thuộc cả hai mặt phẳng nên là giao tuyến của chúng. Kết quả đúng là Đi qua S và song song với AB; vì vậy kết luận đã nêu là sai.

Lỗi cần tránh: Chọn một đường chéo đáy chỉ vì nó nhìn như đi qua cả hai mặt phẳng.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: a và b cùng thuộc (R) nhưng nằm trên hai mặt phẳng (P), (Q) song song.

Lời giải: a và b cùng thuộc (R) nhưng nằm trên hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Nếu chúng cắt nhau, giao điểm thuộc cả (P) và (Q), vô lí; hai đường đồng phẳng nên song song.

Giải thích: a và b cùng thuộc (R) nhưng nằm trên hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Nếu chúng cắt nhau, giao điểm thuộc cả (P) và (Q), vô lí; hai đường đồng phẳng nên song song.

Lỗi cần tránh: Cho rằng hai giao tuyến phân biệt phải chéo nhau.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: AC và BD cắt nhau, xác định hai phương của mặt phẳng đáy.

Lời giải: AC và BD cắt nhau, xác định hai phương của mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua S ngoài đáy và song song cả hai phương ấy nên (P) song song đáy.

Giải thích: AC và BD cắt nhau, xác định hai phương của mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua S ngoài đáy và song song cả hai phương ấy nên (P) song song đáy.

Lỗi cần tránh: Dựa vào một đường chéo rồi kết luận mặt phẳng cắt đáy.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Tổng tần số cho x+y=8

Lời giải: Tổng tần số cho x+y=8. Tổng có trọng số trung điểm 1,3,5 cho x+5y=32. Giải được x=2, y=6, đều là số nguyên dương. Vậy tần số đầu là 2. Đây là ước lượng từ bảng ghép nhóm, không phải khôi phục trung vị chính xác của số liệu gốc.

Giải thích: Tổng tần số cho x+y=8. Tổng có trọng số trung điểm 1,3,5 cho x+5y=32. Giải được x=2, y=6, đều là số nguyên dương. Vậy tần số đầu là 2. Đây là ước lượng từ bảng ghép nhóm, không phải khôi phục trung vị chính xác của số liệu gốc.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: AM và A′M′ tương ứng qua phép tịnh tiến của lăng trụ.

Lời giải: AM và A′M′ tương ứng qua phép tịnh tiến của lăng trụ. Mặt phẳng qua AA′M chứa M′ nên giao với đáy trên theo đường A′M′.

Giải thích: AM và A′M′ tương ứng qua phép tịnh tiến của lăng trụ. Mặt phẳng qua AA′M chứa M′ nên giao với đáy trên theo đường A′M′.

Lỗi cần tránh: Đưa M lên B′ hoặc C′ thay vì trung điểm M′.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Hai mặt phẳng vẫn có thể cắt nhau theo một đường cùng phương với đường thẳng đã cho.

Lời giải: Hai mặt phẳng vẫn có thể cắt nhau theo một đường cùng phương với đường thẳng đã cho. Vậy từ một đường cùng song song với hai mặt, không thể kết luận hai mặt song song.

Giải thích: Hai mặt phẳng vẫn có thể cắt nhau theo một đường cùng phương với đường thẳng đã cho. Vậy từ một đường cùng song song với hai mặt, không thể kết luận hai mặt song song.

Lỗi cần tránh: Đảo chiều sai định lí về hai mặt phẳng song song.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: MNPQ là ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm S tỉ số 1/2.

Lời giải: MNPQ là ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm S tỉ số 1/2. Vì MNPQ là hình bình hành, hai đường chéo MP,NQ cắt nhau và phân đôi nhau.

Giải thích: MNPQ là ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm S tỉ số 1/2. Vì MNPQ là hình bình hành, hai đường chéo MP,NQ cắt nhau và phân đôi nhau.

Lỗi cần tránh: Coi hai đường chéo của thiết diện song song như các cạnh đối.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.

Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.

Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.

Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.

Cách khác: Kiểm tra định thức 3·4 − 2·6 = 0.

Gợi ý: Vì SM/SA = SN/SB nên MN ∥ AB theo định lí Thales đảo trong tam giác SAB.

Lời giải: Vì SM/SA = SN/SB nên MN ∥ AB theo định lí Thales đảo trong tam giác SAB. Hai tam giác SMN và SAB đồng dạng, do đó MN/AB = 3/5; MN = 25·3/5 = 15.

Giải thích: Vì SM/SA = SN/SB nên MN ∥ AB theo định lí Thales đảo trong tam giác SAB. Hai tam giác SMN và SAB đồng dạng, do đó MN/AB = 3/5; MN = 25·3/5 = 15.

Lỗi cần tránh: Đảo tỉ số hoặc dùng hiệu SA − SM thay cho SM.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Dùng định lí Thalès trong không gian.

Lời giải: A′B′/B′C′ = AB/BC = 4/7.

Giải thích: Ba mặt phẳng song song chắn trên mọi đường cắt các đoạn tương ứng tỉ lệ.

Lỗi cần tránh: Đảo một tỉ số mà không đảo tỉ số còn lại.

Cách khác: Xem hai đường cắt như hai thước đo cùng các lớp song song.

Gợi ý: Trong các tam giác SAB, SBC, SCA ta có MN ∥ AB, NP ∥ BC, PM ∥ AC.

Lời giải: Trong các tam giác SAB, SBC, SCA ta có MN ∥ AB, NP ∥ BC, PM ∥ AC. Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường cắt nhau MN, NP lần lượt song song với hai đường cắt nhau AB, BC của (ABC), nên hai mặt phẳng song song. Kết quả đúng là (MNP) song song với (ABC); vì vậy kết luận đã nêu là sai.

Giải thích: Trong các tam giác SAB, SBC, SCA ta có MN ∥ AB, NP ∥ BC, PM ∥ AC. Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường cắt nhau MN, NP lần lượt song song với hai đường cắt nhau AB, BC của (ABC), nên hai mặt phẳng song song. Kết quả đúng là (MNP) song song với (ABC); vì vậy kết luận đã nêu là sai.

Lỗi cần tránh: Chỉ chứng minh một cặp đường song song rồi kết luận ngay hai mặt phẳng song song.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.