Bài 14. Phép chiếu song song

Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.

Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.

Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.

Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.

Cách khác: Kiểm tra định thức 1·4 − 2·2 = 0.

Gợi ý: Đường chiếu M + tu cắt z = 0 khi z − t = 0.

Lời giải: t = 3; M′(7; 9; 0).

Giải thích: Ảnh là giao điểm của mặt phẳng chiếu với đường qua M song song hướng chiếu.

Lỗi cần tránh: Hạ vuông góc thay vì đi theo hướng chiếu đã cho.

Cách khác: Thay trực tiếp t = z vào ba tọa độ.

Gợi ý: Đường chiếu M + tu cắt z = 0 khi z − t = 0.

Lời giải: t = 2; M′(3; 8; 0).

Giải thích: Ảnh là giao điểm của mặt phẳng chiếu với đường qua M song song hướng chiếu.

Lỗi cần tránh: Hạ vuông góc thay vì đi theo hướng chiếu đã cho.

Cách khác: Thay trực tiếp t = z vào ba tọa độ.

Gợi ý: Đường chiếu M + tu cắt z = 0 khi z − t = 0.

Lời giải: t = 1; M′(3; 7; 0).

Giải thích: Ảnh là giao điểm của mặt phẳng chiếu với đường qua M song song hướng chiếu.

Lỗi cần tránh: Hạ vuông góc thay vì đi theo hướng chiếu đã cho.

Cách khác: Thay trực tiếp t = z vào ba tọa độ.

Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.

Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.

Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.

Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.

Cách khác: Kiểm tra định thức 4·10 − 5·8 = 0.

Gợi ý: Mọi tia chiếu qua các điểm trên d đều nằm trên chính đường d, nên chúng có chung ảnh là giao điểm d∩(P)

Lời giải: Mọi tia chiếu qua các điểm trên d đều nằm trên chính đường d, nên chúng có chung ảnh là giao điểm d∩(P). Các điểm ngoài d cho 2 ảnh khác nhau và khác ảnh đó theo giả thiết. Tổng cộng 3 điểm ảnh; phép chiếu không luôn bảo toàn số điểm phân biệt.

Giải thích: Mọi tia chiếu qua các điểm trên d đều nằm trên chính đường d, nên chúng có chung ảnh là giao điểm d∩(P). Các điểm ngoài d cho 2 ảnh khác nhau và khác ảnh đó theo giả thiết. Tổng cộng 3 điểm ảnh; phép chiếu không luôn bảo toàn số điểm phân biệt.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Phép chiếu bảo toàn các tỉ số trên từng đường nên A'M'/A'B'=1/3, A'N'/A'C'=1/4

Lời giải: Phép chiếu bảo toàn các tỉ số trên từng đường nên A'M'/A'B'=1/3, A'N'/A'C'=1/4. Hai tam giác ảnh có chung góc tại A'; dùng S=1/2·ab·sin góc cho tỉ số diện tích bằng tích hai tỉ số cạnh, là 1/12. Diện tích cần tìm 3 cm². Không cần giả định MN song song BC.

Giải thích: Phép chiếu bảo toàn các tỉ số trên từng đường nên A'M'/A'B'=1/3, A'N'/A'C'=1/4. Hai tam giác ảnh có chung góc tại A'; dùng S=1/2·ab·sin góc cho tỉ số diện tích bằng tích hai tỉ số cạnh, là 1/12. Diện tích cần tìm 3 cm². Không cần giả định MN song song BC.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Mọi tia chiếu qua các điểm trên d đều nằm trên chính đường d, nên chúng có chung ảnh là giao điểm d∩(P)

Lời giải: Mọi tia chiếu qua các điểm trên d đều nằm trên chính đường d, nên chúng có chung ảnh là giao điểm d∩(P). Các điểm ngoài d cho 3 ảnh khác nhau và khác ảnh đó theo giả thiết. Tổng cộng 4 điểm ảnh; phép chiếu không luôn bảo toàn số điểm phân biệt.

Giải thích: Mọi tia chiếu qua các điểm trên d đều nằm trên chính đường d, nên chúng có chung ảnh là giao điểm d∩(P). Các điểm ngoài d cho 3 ảnh khác nhau và khác ảnh đó theo giả thiết. Tổng cộng 4 điểm ảnh; phép chiếu không luôn bảo toàn số điểm phân biệt.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.

Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.

Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.

Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.

Cách khác: Kiểm tra định thức 2·8 − 4·4 = 0.

Gợi ý: Tỉ số trung điểm được bảo toàn nên O' là trung điểm cả hai đường chéo ảnh

Lời giải: Tỉ số trung điểm được bảo toàn nên O' là trung điểm cả hai đường chéo ảnh. Mỗi đường chéo chia hình bình hành ảnh thành hai tam giác bằng diện tích; trong từng tam giác, đường trung tuyến từ đỉnh chia tiếp thành hai phần bằng nhau. Vì vậy S(A'O'B')=S(A'B'C'D')/4=16 cm².

Giải thích: Tỉ số trung điểm được bảo toàn nên O' là trung điểm cả hai đường chéo ảnh. Mỗi đường chéo chia hình bình hành ảnh thành hai tam giác bằng diện tích; trong từng tam giác, đường trung tuyến từ đỉnh chia tiếp thành hai phần bằng nhau. Vì vậy S(A'O'B')=S(A'B'C'D')/4=16 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số các đoạn cùng phương, nên M'N'/A'B'=AN/AB−AM/AB=5/7

Lời giải: Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số các đoạn cùng phương, nên M'N'/A'B'=AN/AB−AM/AB=5/7. Suy ra A'B'=25·7/5=35 cm. Phép chiếu này không bảo toàn độ dài; chưa biết hướng và độ nghiêng AB nên không khôi phục duy nhất AB.

Giải thích: Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số các đoạn cùng phương, nên M'N'/A'B'=AN/AB−AM/AB=5/7. Suy ra A'B'=25·7/5=35 cm. Phép chiếu này không bảo toàn độ dài; chưa biết hướng và độ nghiêng AB nên không khôi phục duy nhất AB.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Tỉ số trung điểm được bảo toàn nên O' là trung điểm cả hai đường chéo ảnh

Lời giải: Tỉ số trung điểm được bảo toàn nên O' là trung điểm cả hai đường chéo ảnh. Mỗi đường chéo chia hình bình hành ảnh thành hai tam giác bằng diện tích; trong từng tam giác, đường trung tuyến từ đỉnh chia tiếp thành hai phần bằng nhau. Vì vậy S(A'O'B')=S(A'B'C'D')/4=25 cm².

Giải thích: Tỉ số trung điểm được bảo toàn nên O' là trung điểm cả hai đường chéo ảnh. Mỗi đường chéo chia hình bình hành ảnh thành hai tam giác bằng diện tích; trong từng tam giác, đường trung tuyến từ đỉnh chia tiếp thành hai phần bằng nhau. Vì vậy S(A'O'B')=S(A'B'C'D')/4=25 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Tổng tần số cho x+y=8

Lời giải: Tổng tần số cho x+y=8. Tổng có trọng số trung điểm 1,3,5 cho x+5y=32. Giải được x=2, y=6, đều là số nguyên dương. Vậy tần số đầu là 2. Đây là ước lượng từ bảng ghép nhóm, không phải khôi phục trung vị chính xác của số liệu gốc.

Giải thích: Tổng tần số cho x+y=8. Tổng có trọng số trung điểm 1,3,5 cho x+5y=32. Giải được x=2, y=6, đều là số nguyên dương. Vậy tần số đầu là 2. Đây là ước lượng từ bảng ghép nhóm, không phải khôi phục trung vị chính xác của số liệu gốc.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Phép chiếu bảo toàn các tỉ số trên từng đường nên A'M'/A'B'=1/6, A'N'/A'C'=1/3

Lời giải: Phép chiếu bảo toàn các tỉ số trên từng đường nên A'M'/A'B'=1/6, A'N'/A'C'=1/3. Hai tam giác ảnh có chung góc tại A'; dùng S=1/2·ab·sin góc cho tỉ số diện tích bằng tích hai tỉ số cạnh, là 1/18. Diện tích cần tìm 6 cm². Không cần giả định MN song song BC.

Giải thích: Phép chiếu bảo toàn các tỉ số trên từng đường nên A'M'/A'B'=1/6, A'N'/A'C'=1/3. Hai tam giác ảnh có chung góc tại A'; dùng S=1/2·ab·sin góc cho tỉ số diện tích bằng tích hai tỉ số cạnh, là 1/18. Diện tích cần tìm 6 cm². Không cần giả định MN song song BC.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Mọi tia chiếu qua các điểm trên d đều nằm trên chính đường d, nên chúng có chung ảnh là giao điểm d∩(P)

Lời giải: Mọi tia chiếu qua các điểm trên d đều nằm trên chính đường d, nên chúng có chung ảnh là giao điểm d∩(P). Các điểm ngoài d cho 6 ảnh khác nhau và khác ảnh đó theo giả thiết. Tổng cộng 7 điểm ảnh; phép chiếu không luôn bảo toàn số điểm phân biệt.

Giải thích: Mọi tia chiếu qua các điểm trên d đều nằm trên chính đường d, nên chúng có chung ảnh là giao điểm d∩(P). Các điểm ngoài d cho 6 ảnh khác nhau và khác ảnh đó theo giả thiết. Tổng cộng 7 điểm ảnh; phép chiếu không luôn bảo toàn số điểm phân biệt.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Trên đường trung tuyến AM, trọng tâm thỏa AG/AM=2/3

Lời giải: Trên đường trung tuyến AM, trọng tâm thỏa AG/AM=2/3. Phép chiếu song song không suy biến bảo toàn tỉ số các đoạn thẳng cùng phương, nên A'G'=2A'M'/3=14 cm. Phép chiếu nói chung làm thay đổi độ dài, nên chưa thể suy AG từ độ dài ảnh.

Giải thích: Trên đường trung tuyến AM, trọng tâm thỏa AG/AM=2/3. Phép chiếu song song không suy biến bảo toàn tỉ số các đoạn thẳng cùng phương, nên A'G'=2A'M'/3=14 cm. Phép chiếu nói chung làm thay đổi độ dài, nên chưa thể suy AG từ độ dài ảnh.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Kiểm tra một vectơ có bằng một bội khác 0 của vectơ kia hay không.

Lời giải: v = 2u nên u và v cùng phương.

Giải thích: Quan hệ cùng phương của vectơ là nền để nhận diện phương của đường thẳng trong không gian.

Lỗi cần tránh: Chỉ so một tọa độ rồi kết luận.

Cách khác: Kiểm tra định thức 3·4 − 2·6 = 0.

Gợi ý: Phép chiếu bảo toàn các tỉ số trên từng đường nên A'M'/A'B'=1/3, A'N'/A'C'=1/5

Lời giải: Phép chiếu bảo toàn các tỉ số trên từng đường nên A'M'/A'B'=1/3, A'N'/A'C'=1/5. Hai tam giác ảnh có chung góc tại A'; dùng S=1/2·ab·sin góc cho tỉ số diện tích bằng tích hai tỉ số cạnh, là 1/15. Diện tích cần tìm 8 cm². Không cần giả định MN song song BC.

Giải thích: Phép chiếu bảo toàn các tỉ số trên từng đường nên A'M'/A'B'=1/3, A'N'/A'C'=1/5. Hai tam giác ảnh có chung góc tại A'; dùng S=1/2·ab·sin góc cho tỉ số diện tích bằng tích hai tỉ số cạnh, là 1/15. Diện tích cần tìm 8 cm². Không cần giả định MN song song BC.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Mọi tia chiếu qua các điểm trên d đều nằm trên chính đường d, nên chúng có chung ảnh là giao điểm d∩(P)

Lời giải: Mọi tia chiếu qua các điểm trên d đều nằm trên chính đường d, nên chúng có chung ảnh là giao điểm d∩(P). Các điểm ngoài d cho 3 ảnh khác nhau và khác ảnh đó theo giả thiết. Tổng cộng 4 điểm ảnh; phép chiếu không luôn bảo toàn số điểm phân biệt.

Giải thích: Mọi tia chiếu qua các điểm trên d đều nằm trên chính đường d, nên chúng có chung ảnh là giao điểm d∩(P). Các điểm ngoài d cho 3 ảnh khác nhau và khác ảnh đó theo giả thiết. Tổng cộng 4 điểm ảnh; phép chiếu không luôn bảo toàn số điểm phân biệt.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Trên đường trung tuyến AM, trọng tâm thỏa AG/AM=2/3

Lời giải: Trên đường trung tuyến AM, trọng tâm thỏa AG/AM=2/3. Phép chiếu song song không suy biến bảo toàn tỉ số các đoạn thẳng cùng phương, nên A'G'=2A'M'/3=18 cm. Phép chiếu nói chung làm thay đổi độ dài, nên chưa thể suy AG từ độ dài ảnh.

Giải thích: Trên đường trung tuyến AM, trọng tâm thỏa AG/AM=2/3. Phép chiếu song song không suy biến bảo toàn tỉ số các đoạn thẳng cùng phương, nên A'G'=2A'M'/3=18 cm. Phép chiếu nói chung làm thay đổi độ dài, nên chưa thể suy AG từ độ dài ảnh.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.