Bài 16. Giới hạn của hàm số

Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Lời giải: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).

Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.

Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².

Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.

Gợi ý: Phân tích hiệu hai bình phương; chỉ khử khi x ≠ a.

Lời giải: Với x ≠ 1, biểu thức bằng x + 1; giới hạn bằng 2.

Giải thích: Giới hạn xét các giá trị x gần a, không bắt buộc biểu thức phải xác định tại a.

Lỗi cần tránh: Thay trực tiếp được 0/0 rồi kết luận giới hạn bằng 0.

Cách khác: Nhận đây là tỉ số sai phân của f(x)=x² tại x=a.

Gợi ý: Với x ≠ 8, x² − 64 = (x − 8)(x + 8), nên biểu thức bằng x + 8.

Lời giải: Với x ≠ 8, x² − 64 = (x − 8)(x + 8), nên biểu thức bằng x + 8. Giới hạn là 8 + 8 = 16. Việc rút gọn chỉ thực hiện trên lân cận loại điểm x = 8. Kết quả đúng là 16; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.

Giải thích: Với x ≠ 8, x² − 64 = (x − 8)(x + 8), nên biểu thức bằng x + 8. Giới hạn là 8 + 8 = 16. Việc rút gọn chỉ thực hiện trên lân cận loại điểm x = 8. Kết quả đúng là 16; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.

Lỗi cần tránh: Thế trực tiếp rồi kết luận giới hạn bằng 0/0 hoặc hủy nhân tử mà không nêu x khác điểm tới.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Đa thức liên tục tại mọi số thực nên giới hạn tại một điểm bằng giá trị của đa thức ở điểm đó.

Lời giải: Đa thức liên tục tại mọi số thực nên giới hạn tại một điểm bằng giá trị của đa thức ở điểm đó. Thay x = 4: 4² + 5·4 − 1 = 35.

Giải thích: Đa thức liên tục tại mọi số thực nên giới hạn tại một điểm bằng giá trị của đa thức ở điểm đó. Thay x = 4: 4² + 5·4 − 1 = 35.

Lỗi cần tránh: Bỏ bình phương hoặc cho rằng mọi bài giới hạn đều cần biến đổi phức tạp.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Lời giải: x² − 25 = (x − 5)(x + 5).

Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.

Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².

Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.

Gợi ý: Chia tử và mẫu cho x².

Lời giải: Giới hạn bằng 3/1.

Giải thích: Hai đa thức cùng bậc nên giới hạn là tỉ số hệ số của x².

Lỗi cần tránh: Lấy tỉ số các hằng số 1/0.

Cách khác: Dùng bảng bậc và hệ số đầu.

Gợi ý: Với x ≠ 2, x² − 4 = (x − 2)(x + 2), nên biểu thức bằng x + 2.

Lời giải: Với x ≠ 2, x² − 4 = (x − 2)(x + 2), nên biểu thức bằng x + 2. Giới hạn là 2 + 2 = 4. Việc rút gọn chỉ thực hiện trên lân cận loại điểm x = 2.

Giải thích: Với x ≠ 2, x² − 4 = (x − 2)(x + 2), nên biểu thức bằng x + 2. Giới hạn là 2 + 2 = 4. Việc rút gọn chỉ thực hiện trên lân cận loại điểm x = 2.

Lỗi cần tránh: Thế trực tiếp rồi kết luận giới hạn bằng 0/0 hoặc hủy nhân tử mà không nêu x khác điểm tới.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Với x ≠ 5, x² − 25 = (x − 5)(x + 5), nên biểu thức bằng x + 5.

Lời giải: Với x ≠ 5, x² − 25 = (x − 5)(x + 5), nên biểu thức bằng x + 5. Giới hạn là 5 + 5 = 10. Việc rút gọn chỉ thực hiện trên lân cận loại điểm x = 5.

Giải thích: Với x ≠ 5, x² − 25 = (x − 5)(x + 5), nên biểu thức bằng x + 5. Giới hạn là 5 + 5 = 10. Việc rút gọn chỉ thực hiện trên lân cận loại điểm x = 5.

Lỗi cần tránh: Thế trực tiếp rồi kết luận giới hạn bằng 0/0 hoặc hủy nhân tử mà không nêu x khác điểm tới.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Lời giải: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.

Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².

Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.

Gợi ý: Chia tử và mẫu cho x²; các số hạng chứa 1/x² tiến về 0.

Lời giải: Chia tử và mẫu cho x²; các số hạng chứa 1/x² tiến về 0. Giới hạn còn lại là 5/7 = 5/7.

Giải thích: Chia tử và mẫu cho x²; các số hạng chứa 1/x² tiến về 0. Giới hạn còn lại là 5/7 = 5/7.

Lỗi cần tránh: Chỉ nhìn x² nên kết luận vô cực hoặc lấy tỉ số sai thứ tự.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Chia tử và mẫu cho x²; các số hạng chứa 1/x² tiến về 0.

Lời giải: Chia tử và mẫu cho x²; các số hạng chứa 1/x² tiến về 0. Giới hạn còn lại là 8/8 = 1. Kết quả đúng là 1; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.

Giải thích: Chia tử và mẫu cho x²; các số hạng chứa 1/x² tiến về 0. Giới hạn còn lại là 8/8 = 1. Kết quả đúng là 1; vì vậy kết luận đã nêu là đúng.

Lỗi cần tránh: Chỉ nhìn x² nên kết luận vô cực hoặc lấy tỉ số sai thứ tự.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Với x ≠ 3, x² − 9 = (x − 3)(x + 3), nên biểu thức bằng x + 3.

Lời giải: Với x ≠ 3, x² − 9 = (x − 3)(x + 3), nên biểu thức bằng x + 3. Giới hạn là 3 + 3 = 6. Việc rút gọn chỉ thực hiện trên lân cận loại điểm x = 3.

Giải thích: Với x ≠ 3, x² − 9 = (x − 3)(x + 3), nên biểu thức bằng x + 3. Giới hạn là 3 + 3 = 6. Việc rút gọn chỉ thực hiện trên lân cận loại điểm x = 3.

Lỗi cần tránh: Thế trực tiếp rồi kết luận giới hạn bằng 0/0 hoặc hủy nhân tử mà không nêu x khác điểm tới.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng

Lời giải: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng. Nếu hai cặp khác nhau cho cùng mặt phẳng thì giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt kính chứa ít nhất ba điểm đánh dấu, trái giả thiết. Vậy có C(7,2)=21 mặt phẳng.

Giải thích: Mỗi cặp đánh dấu xác định một đường thẳng trong mặt kính, rồi cùng S xác định duy nhất một mặt phẳng. Nếu hai cặp khác nhau cho cùng mặt phẳng thì giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt kính chứa ít nhất ba điểm đánh dấu, trái giả thiết. Vậy có C(7,2)=21 mặt phẳng.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Khi x < 5, x − 5 < 0 nên |x − 5| = −(x − 5).

Lời giải: Khi x < 5, x − 5 < 0 nên |x − 5| = −(x − 5). Tỉ số bằng −1 trên lân cận bên trái, do đó giới hạn bên trái là −1. Kết quả đúng là −1; vì vậy kết luận đã nêu là sai.

Giải thích: Khi x < 5, x − 5 < 0 nên |x − 5| = −(x − 5). Tỉ số bằng −1 trên lân cận bên trái, do đó giới hạn bên trái là −1. Kết quả đúng là −1; vì vậy kết luận đã nêu là sai.

Lỗi cần tránh: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối như ở phía bên phải hoặc kết luận giới hạn hai phía không tồn tại thay cho giới hạn bên trái.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

Gợi ý: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=5 phải bằng 0: 25+5m+5=0 nên m=−(30)/5

Lời giải: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=5 phải bằng 0: 25+5m+5=0 nên m=−(30)/5. Khi đó khử nhân tử x−5; giới hạn là 2·5+m. Tổng cần tìm là 2m+10=−10/5=-2.

Giải thích: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=5 phải bằng 0: 25+5m+5=0 nên m=−(30)/5. Khi đó khử nhân tử x−5; giới hạn là 2·5+m. Tổng cần tìm là 2m+10=−10/5=-2.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=10 phải bằng 0: 100+10m+5=0 nên m=−(105)/10

Lời giải: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=10 phải bằng 0: 100+10m+5=0 nên m=−(105)/10. Khi đó khử nhân tử x−10; giới hạn là 2·10+m. Tổng cần tìm là 2m+20=−10/10=-1.

Giải thích: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=10 phải bằng 0: 100+10m+5=0 nên m=−(105)/10. Khi đó khử nhân tử x−10; giới hạn là 2·10+m. Tổng cần tìm là 2m+20=−10/10=-1.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Lời giải: x² − 16 = (x − 4)(x + 4).

Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.

Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².

Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.

Gợi ý: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=17 phải bằng 0: 289+17m+2=0 nên m=−(291)/17

Lời giải: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=17 phải bằng 0: 289+17m+2=0 nên m=−(291)/17. Khi đó khử nhân tử x−17; giới hạn là 2·17+m. Tổng cần tìm là 2m+34=−4/17=-4/17.

Giải thích: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=17 phải bằng 0: 289+17m+2=0 nên m=−(291)/17. Khi đó khử nhân tử x−17; giới hạn là 2·17+m. Tổng cần tìm là 2m+34=−4/17=-4/17.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=22 phải bằng 0: 484+22m+2=0 nên m=−(486)/22

Lời giải: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=22 phải bằng 0: 484+22m+2=0 nên m=−(486)/22. Khi đó khử nhân tử x−22; giới hạn là 2·22+m. Tổng cần tìm là 2m+44=−4/22=-2/11.

Giải thích: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=22 phải bằng 0: 484+22m+2=0 nên m=−(486)/22. Khi đó khử nhân tử x−22; giới hạn là 2·22+m. Tổng cần tìm là 2m+44=−4/22=-2/11.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=27 phải bằng 0: 729+27m+2=0 nên m=−(731)/27

Lời giải: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=27 phải bằng 0: 729+27m+2=0 nên m=−(731)/27. Khi đó khử nhân tử x−27; giới hạn là 2·27+m. Tổng cần tìm là 2m+54=−4/27=-4/27.

Giải thích: Để giới hạn hữu hạn, tử tại x=27 phải bằng 0: 729+27m+2=0 nên m=−(731)/27. Khi đó khử nhân tử x−27; giới hạn là 2·27+m. Tổng cần tìm là 2m+54=−4/27=-4/27.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.