Thấy cấu trúc thay vì đoán
Bài học biến tốc độ tức thời, tín hiệu gần ngưỡng, chi phí biên, mô hình chuyển trạng thái và tiệm cận thành mô hình có thể kiểm tra.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 16. Giới hạn của hàm số
Tính giới hạn tại điểm, giới hạn một phía và ở vô cực; xử lí đúng các dạng 0/0 cơ bản bằng phân tích nhân tử hoặc liên hợp.
X gần a không có nghĩa x bằng a; đó là chìa khóa khử dạng vô định
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Lập luận có căn cứ
Biết gọi đúng đối tượng, nêu điều kiện, chọn công cụ và tự kiểm kết luận.
Nền trước, đích sau
Kích hoạt bài 15, hằng đẳng thức, căn thức và đọc đồ thị rồi chuẩn bị trực tiếp cho Bài 17. Hàm số liên tục.
Ví dụ – phản ví dụ – biên
Mỗi quy tắc đi kèm một trường hợp đúng, một lỗi thiếu điều kiện và một phép kiểm.
- Phân biệt giá trị hàm và giới hạn.
- Tính và so sánh hai giới hạn một phía.
- Khử 0/0 bằng nhân tử hoặc liên hợp.
- Tính giới hạn ở vô cực theo bậc.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 15, hằng đẳng thức, căn thức và đọc đồ thị.
- Đọc đúng kí hiệu và phát biểu điều kiện trước khi áp dụng.
- Dự đoán vị trí, dấu hoặc xu thế trước khi biến đổi.
- Dùng hình/tọa độ hoặc phép thế ngược để tự kiểm.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Giới hạn tại điểm
Hiểu đơn giản: Quan sát f(x) khi x tiến gần a từ các giá trị khác a.
lim(x→a)f(x)=L; tồn tại iff giới hạn trái = giới hạn phải =L.
Ví dụ: (x²−a²)/(x−a)→2a.
Hình nên dùng: Đồ thị có lỗ nhưng tiến tới cùng độ cao.
Mô phỏng: Kéo x từ hai phía về a.
Mẹo nhớ: Tách 'gần a' khỏi 'tại a'.
Sai lầm: Thay trực tiếp mọi trường hợp.
Ghi chú: Giá trị f(a) có thể khác hoặc chưa xác định.
Khử dạng 0/0
Hiểu đơn giản: Biến đổi trên lân cận x≠a để lộ hàm đơn giản.
Phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp; giữ điều kiện x≠a trong bước biến đổi.
Ví dụ: (√x−2)/(x−4)=1/(√x+2), x≠4.
Hình nên dùng: Hai biểu thức trùng trên lân cận thủng.
Mô phỏng: Bật/tắt điểm x=a.
Mẹo nhớ: Khử nguyên nhân tạo 0/0, không khử điều kiện.
Sai lầm: Kết luận biểu thức xác định tại điểm loại.
Ghi chú: Dạng 0/0 báo hiệu cần biến đổi.
Một phía và vô cực
Hiểu đơn giản: Trái và phải là hai đường tiếp cận độc lập; ở vô cực quan tâm hành vi xa.
lim x→a−, lim x→a+; lim x→±∞.
Ví dụ: |x−a|/(x−a) cho −1 bên trái, 1 bên phải.
Hình nên dùng: Hai mũi tên tới cùng điểm.
Mô phỏng: Chọn hướng trái/phải/vô cực.
Mẹo nhớ: Hai phía phải khớp mới ghép.
Sai lầm: Chỉ tính một phía.
Ghi chú: Khi x→−∞ phải theo dõi dấu lũy thừa.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB GIỚI HẠN 0/0
Tiến gần mốc nhưng không thay đúng tại mốc
Quan sát (x² − a²)/(x − a) khi x = a + Δ. Công cụ không cho Δ bằng 0 vì biểu thức ban đầu không xác định tại x = a.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B16-NB-04
Đề bài: Xét lim (x→4) |x − 4|/(x − 4).
Phân tích: Tính riêng khi x < a và x > a.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Tính riêng khi x < a và x > a.
- Bước 2: Giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải bằng 1 nên giới hạn hai phía không tồn tại.
- Bước 3: Kết luận Không tồn tại.
Vì sao: Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại điểm không tồn tại.
Cách khác: Vẽ hàm dấu gồm hai đoạn ngang y=−1 và y=1.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Rút gọn |x−a| thành x−a ở cả hai phía.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B16-NB-14
Đề bài: Xét lim (x→4) |x − 4|/(x − 4).
Phân tích: Tính riêng khi x < a và x > a.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Tính riêng khi x < a và x > a.
- Bước 2: Giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải bằng 1 nên giới hạn hai phía không tồn tại.
- Bước 3: Kết luận Không tồn tại.
Vì sao: Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại điểm không tồn tại.
Cách khác: Vẽ hàm dấu gồm hai đoạn ngang y=−1 và y=1.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Rút gọn |x−a| thành x−a ở cả hai phía.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B16-TH-04
Đề bài: Tính lim (x→1) (x² − 1)/(x − 1).
Phân tích: Phân tích hiệu hai bình phương; chỉ khử khi x ≠ a.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Phân tích hiệu hai bình phương; chỉ khử khi x ≠ a.
- Bước 2: Với x ≠ 1, biểu thức bằng x + 1; giới hạn bằng 2.
- Bước 3: Kết luận 2.
Vì sao: Giới hạn xét các giá trị x gần a, không bắt buộc biểu thức phải xác định tại a.
Cách khác: Nhận đây là tỉ số sai phân của f(x)=x² tại x=a.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Thay trực tiếp được 0/0 rồi kết luận giới hạn bằng 0.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B16-TH-14
Đề bài: Tính lim (x→1) (x² − 1)/(x − 1).
Phân tích: Phân tích hiệu hai bình phương; chỉ khử khi x ≠ a.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Phân tích hiệu hai bình phương; chỉ khử khi x ≠ a.
- Bước 2: Với x ≠ 1, biểu thức bằng x + 1; giới hạn bằng 2.
- Bước 3: Kết luận 2.
Vì sao: Giới hạn xét các giá trị x gần a, không bắt buộc biểu thức phải xác định tại a.
Cách khác: Nhận đây là tỉ số sai phân của f(x)=x² tại x=a.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Thay trực tiếp được 0/0 rồi kết luận giới hạn bằng 0.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B16-VD-04
Đề bài: Tính lim (x→+∞) (3x² + 1)/(4x² + x).
Phân tích: Chia tử và mẫu cho x².
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Chia tử và mẫu cho x².
- Bước 2: Giới hạn bằng 3/4.
- Bước 3: Kết luận 3/4.
Vì sao: Hai đa thức cùng bậc nên giới hạn là tỉ số hệ số của x².
Cách khác: Dùng bảng bậc và hệ số đầu.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Lấy tỉ số các hằng số 1/0.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B16-VD-14
Đề bài: Tính lim (x→+∞) (3x² + 1)/(2x² + x).
Phân tích: Chia tử và mẫu cho x².
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Chia tử và mẫu cho x².
- Bước 2: Giới hạn bằng 3/2.
- Bước 3: Kết luận 3/2.
Vì sao: Hai đa thức cùng bậc nên giới hạn là tỉ số hệ số của x².
Cách khác: Dùng bảng bậc và hệ số đầu.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Lấy tỉ số các hằng số 1/0.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B16-VDC-04
Đề bài: Tính lim (x→5) (1x² − 5x + 2).
Phân tích: Đa thức liên tục nên thay trực tiếp.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Đa thức liên tục nên thay trực tiếp.
- Bước 2: Giới hạn bằng 2.
- Bước 3: Kết luận 2.
Vì sao: Mọi đa thức liên tục trên ℝ.
Cách khác: Tính giá trị hàm tại x = a.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cố phân tích nhân tử dù không có dạng vô định.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B16-VDC-14
Đề bài: Tính lim (x→5) (3x² − 5x + 2).
Phân tích: Đa thức liên tục nên thay trực tiếp.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Đa thức liên tục nên thay trực tiếp.
- Bước 2: Giới hạn bằng 52.
- Bước 3: Kết luận 52.
Vì sao: Mọi đa thức liên tục trên ℝ.
Cách khác: Tính giá trị hàm tại x = a.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cố phân tích nhân tử dù không có dạng vô định.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B16-TT-04
Đề bài: Tính lim (x→2) [√(x + 2) − √4]/(x − 2).
Phân tích: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
- Bước 2: Giới hạn bằng 1/(2√4).
- Bước 3: Kết luận 1/(2√4).
Vì sao: Sau liên hợp, biểu thức bằng 1/[√(x + 2) + √4] với x ≠ 2.
Cách khác: Nhìn như tỉ số sai phân của hàm căn.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Nhân liên hợp nhưng quên nhân mẫu.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B16-TT-14
Đề bài: Tính lim (x→2) [√(x + 4) − √6]/(x − 2).
Phân tích: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
- Bước 2: Giới hạn bằng 1/(2√6).
- Bước 3: Kết luận 1/(2√6).
Vì sao: Sau liên hợp, biểu thức bằng 1/[√(x + 4) + √6] với x ≠ 2.
Cách khác: Nhìn như tỉ số sai phân của hàm căn.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Nhân liên hợp nhưng quên nhân mẫu.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua giới hạn của hàm số
Tình huống 1 khai thác tốc độ tức thời, tín hiệu gần ngưỡng, chi phí biên, mô hình chuyển trạng thái và tiệm cận; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua giới hạn của hàm số
Tình huống 2 khai thác tốc độ tức thời, tín hiệu gần ngưỡng, chi phí biên, mô hình chuyển trạng thái và tiệm cận; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua giới hạn của hàm số
Tình huống 3 khai thác tốc độ tức thời, tín hiệu gần ngưỡng, chi phí biên, mô hình chuyển trạng thái và tiệm cận; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua giới hạn của hàm số
Tình huống 4 khai thác tốc độ tức thời, tín hiệu gần ngưỡng, chi phí biên, mô hình chuyển trạng thái và tiệm cận; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua giới hạn của hàm số
Tình huống 5 khai thác tốc độ tức thời, tín hiệu gần ngưỡng, chi phí biên, mô hình chuyển trạng thái và tiệm cận; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua giới hạn của hàm số
Tình huống 6 khai thác tốc độ tức thời, tín hiệu gần ngưỡng, chi phí biên, mô hình chuyển trạng thái và tiệm cận; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua giới hạn của hàm số
Tình huống 7 khai thác tốc độ tức thời, tín hiệu gần ngưỡng, chi phí biên, mô hình chuyển trạng thái và tiệm cận; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua giới hạn của hàm số
Tình huống 8 khai thác tốc độ tức thời, tín hiệu gần ngưỡng, chi phí biên, mô hình chuyển trạng thái và tiệm cận; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Giới hạn tại điểm theo cách đơn giản?
Quan sát f(x) khi x tiến gần a từ các giá trị khác a. Mốc chính xác: lim(x→a)f(x)=L; tồn tại iff giới hạn trái = giới hạn phải =L. Ví dụ: (x²−a²)/(x−a)→2a. Cách nhớ: Tách 'gần a' khỏi 'tại a'. Cần tránh: Thay trực tiếp mọi trường hợp.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Giới hạn luôn bằng giá trị hàm
Thay trực tiếp mọi trường hợp. Sửa bằng quy trình: Tách 'gần a' khỏi 'tại a'. Phép kiểm cuối: Giá trị f(a) có thể khác hoặc chưa xác định.
0/0=0
Kết luận biểu thức xác định tại điểm loại. Sửa bằng quy trình: Khử nguyên nhân tạo 0/0, không khử điều kiện. Phép kiểm cuối: Dạng 0/0 báo hiệu cần biến đổi.
Khử nhân tử tại cả điểm loại
Chỉ tính một phía. Sửa bằng quy trình: Hai phía phải khớp mới ghép. Phép kiểm cuối: Khi x→−∞ phải theo dõi dấu lũy thừa.
Không xét trái–phải
Thay trực tiếp mọi trường hợp. Sửa bằng quy trình: Tách 'gần a' khỏi 'tại a'. Phép kiểm cuối: Giá trị f(a) có thể khác hoặc chưa xác định.
Nhân liên hợp thiếu mẫu
Kết luận biểu thức xác định tại điểm loại. Sửa bằng quy trình: Khử nguyên nhân tạo 0/0, không khử điều kiện. Phép kiểm cuối: Dạng 0/0 báo hiệu cần biến đổi.
Giới hạn luôn bằng giá trị hàm – biến thể 6
Chỉ tính một phía. Sửa bằng quy trình: Hai phía phải khớp mới ghép. Phép kiểm cuối: Khi x→−∞ phải theo dõi dấu lũy thừa.
0/0=0 – biến thể 7
Thay trực tiếp mọi trường hợp. Sửa bằng quy trình: Tách 'gần a' khỏi 'tại a'. Phép kiểm cuối: Giá trị f(a) có thể khác hoặc chưa xác định.
Khử nhân tử tại cả điểm loại – biến thể 8
Kết luận biểu thức xác định tại điểm loại. Sửa bằng quy trình: Khử nguyên nhân tạo 0/0, không khử điều kiện. Phép kiểm cuối: Dạng 0/0 báo hiệu cần biến đổi.
Không xét trái–phải – biến thể 9
Chỉ tính một phía. Sửa bằng quy trình: Hai phía phải khớp mới ghép. Phép kiểm cuối: Khi x→−∞ phải theo dõi dấu lũy thừa.
Nhân liên hợp thiếu mẫu – biến thể 10
Thay trực tiếp mọi trường hợp. Sửa bằng quy trình: Tách 'gần a' khỏi 'tại a'. Phép kiểm cuối: Giá trị f(a) có thể khác hoặc chưa xác định.
Giới hạn luôn bằng giá trị hàm – biến thể 11
Kết luận biểu thức xác định tại điểm loại. Sửa bằng quy trình: Khử nguyên nhân tạo 0/0, không khử điều kiện. Phép kiểm cuối: Dạng 0/0 báo hiệu cần biến đổi.
0/0=0 – biến thể 12
Chỉ tính một phía. Sửa bằng quy trình: Hai phía phải khớp mới ghép. Phép kiểm cuối: Khi x→−∞ phải theo dõi dấu lũy thừa.
Khử nhân tử tại cả điểm loại – biến thể 13
Thay trực tiếp mọi trường hợp. Sửa bằng quy trình: Tách 'gần a' khỏi 'tại a'. Phép kiểm cuối: Giá trị f(a) có thể khác hoặc chưa xác định.
Không xét trái–phải – biến thể 14
Kết luận biểu thức xác định tại điểm loại. Sửa bằng quy trình: Khử nguyên nhân tạo 0/0, không khử điều kiện. Phép kiểm cuối: Dạng 0/0 báo hiệu cần biến đổi.
Nhân liên hợp thiếu mẫu – biến thể 15
Chỉ tính một phía. Sửa bằng quy trình: Hai phía phải khớp mới ghép. Phép kiểm cuối: Khi x→−∞ phải theo dõi dấu lũy thừa.
Giới hạn luôn bằng giá trị hàm – biến thể 16
Thay trực tiếp mọi trường hợp. Sửa bằng quy trình: Tách 'gần a' khỏi 'tại a'. Phép kiểm cuối: Giá trị f(a) có thể khác hoặc chưa xác định.
0/0=0 – biến thể 17
Kết luận biểu thức xác định tại điểm loại. Sửa bằng quy trình: Khử nguyên nhân tạo 0/0, không khử điều kiện. Phép kiểm cuối: Dạng 0/0 báo hiệu cần biến đổi.
Khử nhân tử tại cả điểm loại – biến thể 18
Chỉ tính một phía. Sửa bằng quy trình: Hai phía phải khớp mới ghép. Phép kiểm cuối: Khi x→−∞ phải theo dõi dấu lũy thừa.
Không xét trái–phải – biến thể 19
Thay trực tiếp mọi trường hợp. Sửa bằng quy trình: Tách 'gần a' khỏi 'tại a'. Phép kiểm cuối: Giá trị f(a) có thể khác hoặc chưa xác định.
Nhân liên hợp thiếu mẫu – biến thể 20
Kết luận biểu thức xác định tại điểm loại. Sửa bằng quy trình: Khử nguyên nhân tạo 0/0, không khử điều kiện. Phép kiểm cuối: Dạng 0/0 báo hiệu cần biến đổi.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Hỏi điều kiện trước
Trước mỗi định lí, viết một dòng điều kiện; thiếu điều kiện thì chưa được biến đổi.
Hai biểu diễn
Ghép lời giải đại số với hình, bảng, đồ thị hoặc tọa độ để tự kiểm.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, vì sao sai và phép kiểm sẽ dùng ở lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn bài sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
Ước lượng trước
Dự đoán vị trí, dấu, độ lớn hoặc dạng kết quả trước khi tính.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Giới hạn của hàm số1 2 3
Giới hạn tại điểmlim(x→a)f(x)=L; tồn tại iff giới hạn trái = giới hạn phải =L. Tách 'gần a' khỏi 'tại a'.
Khử dạng 0/0Phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp; giữ điều kiện x≠a trong bước biến đổi. Khử nguyên nhân tạo 0/0, không khử điều kiện.
Một phía và vô cựclim x→a−, lim x→a+; lim x→±∞. Hai phía phải khớp mới ghép.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B16-NB-01Phân tích x² − 4 thành nhân tử.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
Vì sao: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Sai ở đâu: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
B16-NB-02Dãy uₙ = (−1/3)ⁿ là cấp số nhân có công bội nào?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So uₙ₊₁/uₙ.
Lời giải: Công bội q = −1/3.
Vì sao: Dãy hình học với |q| < 1 tiến dần về 0 khi n tăng.
Sai ở đâu: Bỏ dấu âm của công bội.
Cách khác: Tính hai số hạng liên tiếp rồi lấy tỉ số.
B16-NB-03Rút gọn phân thức (x² − 16)/(x − 4) với x ≠ 4.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Phân tích tử thành hiệu hai bình phương.
Lời giải: (x² − 16)/(x − 4) = x + 4, với x ≠ 4.
Vì sao: Biểu thức rút gọn bằng biểu thức ban đầu trên miền x khác a, không làm a trở lại miền xác định.
Sai ở đâu: Khẳng định hai biểu thức bằng nhau cả tại x = 4.
Cách khác: Nhân (x − a)(x + a) rồi khử nhân tử chung.
B16-NB-04Xét lim (x→4) |x − 4|/(x − 4).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính riêng khi x < a và x > a.
Lời giải: Giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải bằng 1 nên giới hạn hai phía không tồn tại.
Vì sao: Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại điểm không tồn tại.
Sai ở đâu: Rút gọn |x−a| thành x−a ở cả hai phía.
Cách khác: Vẽ hàm dấu gồm hai đoạn ngang y=−1 và y=1.
B16-NB-05Tính lim (x→5) (3x² − 5x + 2).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đa thức liên tục nên thay trực tiếp.
Lời giải: Giới hạn bằng 52.
Vì sao: Mọi đa thức liên tục trên ℝ.
Sai ở đâu: Cố phân tích nhân tử dù không có dạng vô định.
Cách khác: Tính giá trị hàm tại x = a.
B16-NB-06Tính lim (x→1) (x² − 1)/(x − 1).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Phân tích hiệu hai bình phương; chỉ khử khi x ≠ a.
Lời giải: Với x ≠ 1, biểu thức bằng x + 1; giới hạn bằng 2.
Vì sao: Giới hạn xét các giá trị x gần a, không bắt buộc biểu thức phải xác định tại a.
Sai ở đâu: Thay trực tiếp được 0/0 rồi kết luận giới hạn bằng 0.
Cách khác: Nhận đây là tỉ số sai phân của f(x)=x² tại x=a.
B16-NB-07Tính lim (x→2) [√(x + 1) − √3]/(x − 2).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Lời giải: Giới hạn bằng 1/(2√3).
Vì sao: Sau liên hợp, biểu thức bằng 1/[√(x + 1) + √3] với x ≠ 2.
Sai ở đâu: Nhân liên hợp nhưng quên nhân mẫu.
Cách khác: Nhìn như tỉ số sai phân của hàm căn.
B16-NB-08Tính lim (x→+∞) (3x² + 1)/(2x² + x).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chia tử và mẫu cho x².
Lời giải: Giới hạn bằng 3/2.
Vì sao: Hai đa thức cùng bậc nên giới hạn là tỉ số hệ số của x².
Sai ở đâu: Lấy tỉ số các hằng số 1/0.
Cách khác: Dùng bảng bậc và hệ số đầu.
B16-NB-09Xét lim (x→4) |x − 4|/(x − 4).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính riêng khi x < a và x > a.
Lời giải: Giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải bằng 1 nên giới hạn hai phía không tồn tại.
Vì sao: Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại điểm không tồn tại.
Sai ở đâu: Rút gọn |x−a| thành x−a ở cả hai phía.
Cách khác: Vẽ hàm dấu gồm hai đoạn ngang y=−1 và y=1.
B16-NB-10Tính lim (x→5) (4x² − 5x + 2).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đa thức liên tục nên thay trực tiếp.
Lời giải: Giới hạn bằng 77.
Vì sao: Mọi đa thức liên tục trên ℝ.
Sai ở đâu: Cố phân tích nhân tử dù không có dạng vô định.
Cách khác: Tính giá trị hàm tại x = a.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B16-NB-01] Phân tích x² − 4 thành nhân tử.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Phân tích x² − 4 thành nhân tử.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
TỰ LUẬN 2Tính lim (x→1) (x² − 1)/(x − 1).
Gợi ý: Phân tích hiệu hai bình phương; chỉ khử khi x ≠ a.
Lời giải: Với x ≠ 1, biểu thức bằng x + 1; giới hạn bằng 2.
Giải thích: Giới hạn xét các giá trị x gần a, không bắt buộc biểu thức phải xác định tại a.
Lỗi cần tránh: Thay trực tiếp được 0/0 rồi kết luận giới hạn bằng 0.
Cách khác: Nhận đây là tỉ số sai phân của f(x)=x² tại x=a.
TỰ LUẬN 3Tính lim (x→1) (x² − 1)/(x − 1).
Gợi ý: Phân tích hiệu hai bình phương; chỉ khử khi x ≠ a.
Lời giải: Với x ≠ 1, biểu thức bằng x + 1; giới hạn bằng 2.
Giải thích: Giới hạn xét các giá trị x gần a, không bắt buộc biểu thức phải xác định tại a.
Lỗi cần tránh: Thay trực tiếp được 0/0 rồi kết luận giới hạn bằng 0.
Cách khác: Nhận đây là tỉ số sai phân của f(x)=x² tại x=a.
TỰ LUẬN 4Tính lim (x→1) (x² − 1)/(x − 1).
Gợi ý: Phân tích hiệu hai bình phương; chỉ khử khi x ≠ a.
Lời giải: Với x ≠ 1, biểu thức bằng x + 1; giới hạn bằng 2.
Giải thích: Giới hạn xét các giá trị x gần a, không bắt buộc biểu thức phải xác định tại a.
Lỗi cần tránh: Thay trực tiếp được 0/0 rồi kết luận giới hạn bằng 0.
Cách khác: Nhận đây là tỉ số sai phân của f(x)=x² tại x=a.
TỰ LUẬN 5Phân tích x² − 25 thành nhân tử.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
TỰ LUẬN 6Tính lim (x→+∞) (3x² + 1)/(1x² + x).
Gợi ý: Chia tử và mẫu cho x².
Lời giải: Giới hạn bằng 3/1.
Giải thích: Hai đa thức cùng bậc nên giới hạn là tỉ số hệ số của x².
Lỗi cần tránh: Lấy tỉ số các hằng số 1/0.
Cách khác: Dùng bảng bậc và hệ số đầu.
TỰ LUẬN 7Tính lim (x→+∞) (3x² + 1)/(2x² + x).
Gợi ý: Chia tử và mẫu cho x².
Lời giải: Giới hạn bằng 3/2.
Giải thích: Hai đa thức cùng bậc nên giới hạn là tỉ số hệ số của x².
Lỗi cần tránh: Lấy tỉ số các hằng số 1/0.
Cách khác: Dùng bảng bậc và hệ số đầu.
TỰ LUẬN 8Tính lim (x→+∞) (3x² + 1)/(3x² + x).
Gợi ý: Chia tử và mẫu cho x².
Lời giải: Giới hạn bằng 3/3.
Giải thích: Hai đa thức cùng bậc nên giới hạn là tỉ số hệ số của x².
Lỗi cần tránh: Lấy tỉ số các hằng số 1/0.
Cách khác: Dùng bảng bậc và hệ số đầu.
TỰ LUẬN 9Phân tích x² − 9 thành nhân tử.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
TỰ LUẬN 10Tính lim (x→5) (2x² − 5x + 2).
Gợi ý: Đa thức liên tục nên thay trực tiếp.
Lời giải: Giới hạn bằng 27.
Giải thích: Mọi đa thức liên tục trên ℝ.
Lỗi cần tránh: Cố phân tích nhân tử dù không có dạng vô định.
Cách khác: Tính giá trị hàm tại x = a.
TỰ LUẬN 11Tính lim (x→5) (3x² − 5x + 2).
Gợi ý: Đa thức liên tục nên thay trực tiếp.
Lời giải: Giới hạn bằng 52.
Giải thích: Mọi đa thức liên tục trên ℝ.
Lỗi cần tránh: Cố phân tích nhân tử dù không có dạng vô định.
Cách khác: Tính giá trị hàm tại x = a.
TỰ LUẬN 12Tính lim (x→5) (4x² − 5x + 2).
Gợi ý: Đa thức liên tục nên thay trực tiếp.
Lời giải: Giới hạn bằng 77.
Giải thích: Mọi đa thức liên tục trên ℝ.
Lỗi cần tránh: Cố phân tích nhân tử dù không có dạng vô định.
Cách khác: Tính giá trị hàm tại x = a.
TỰ LUẬN 13Phân tích x² − 36 thành nhân tử.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 36 = (x − 6)(x + 6).
Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
TỰ LUẬN 14Tính lim (x→2) [√(x + 3) − √5]/(x − 2).
Gợi ý: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Lời giải: Giới hạn bằng 1/(2√5).
Giải thích: Sau liên hợp, biểu thức bằng 1/[√(x + 3) + √5] với x ≠ 2.
Lỗi cần tránh: Nhân liên hợp nhưng quên nhân mẫu.
Cách khác: Nhìn như tỉ số sai phân của hàm căn.
TỰ LUẬN 15Tính lim (x→2) [√(x + 4) − √6]/(x − 2).
Gợi ý: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Lời giải: Giới hạn bằng 1/(2√6).
Giải thích: Sau liên hợp, biểu thức bằng 1/[√(x + 4) + √6] với x ≠ 2.
Lỗi cần tránh: Nhân liên hợp nhưng quên nhân mẫu.
Cách khác: Nhìn như tỉ số sai phân của hàm căn.
TỰ LUẬN 16Tính lim (x→2) [√(x + 1) − √3]/(x − 2).
Gợi ý: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Lời giải: Giới hạn bằng 1/(2√3).
Giải thích: Sau liên hợp, biểu thức bằng 1/[√(x + 1) + √3] với x ≠ 2.
Lỗi cần tránh: Nhân liên hợp nhưng quên nhân mẫu.
Cách khác: Nhìn như tỉ số sai phân của hàm căn.
TỰ LUẬN 17Phân tích x² − 16 thành nhân tử.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 16 = (x − 4)(x + 4).
Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
TỰ LUẬN 18Xét lim (x→4) |x − 4|/(x − 4).
Gợi ý: Tính riêng khi x < a và x > a.
Lời giải: Giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải bằng 1 nên giới hạn hai phía không tồn tại.
Giải thích: Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại điểm không tồn tại.
Lỗi cần tránh: Rút gọn |x−a| thành x−a ở cả hai phía.
Cách khác: Vẽ hàm dấu gồm hai đoạn ngang y=−1 và y=1.
TỰ LUẬN 19Xét lim (x→4) |x − 4|/(x − 4).
Gợi ý: Tính riêng khi x < a và x > a.
Lời giải: Giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải bằng 1 nên giới hạn hai phía không tồn tại.
Giải thích: Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại điểm không tồn tại.
Lỗi cần tránh: Rút gọn |x−a| thành x−a ở cả hai phía.
Cách khác: Vẽ hàm dấu gồm hai đoạn ngang y=−1 và y=1.
TỰ LUẬN 20Xét lim (x→4) |x − 4|/(x − 4).
Gợi ý: Tính riêng khi x < a và x > a.
Lời giải: Giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải bằng 1 nên giới hạn hai phía không tồn tại.
Giải thích: Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại điểm không tồn tại.
Lỗi cần tránh: Rút gọn |x−a| thành x−a ở cả hai phía.
Cách khác: Vẽ hàm dấu gồm hai đoạn ngang y=−1 và y=1.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B16-NB-01, B16-NB-02, B16-NB-03, B16-NB-04, B16-NB-05, B16-NB-06, B16-NB-07, B16-NB-08, B16-NB-09, B16-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B16-NB-01: (x − 2)(x + 2)
- B16-NB-02: −1/3
- B16-NB-03: x + 4, x ≠ 4
- B16-NB-04: Không tồn tại
- B16-NB-05: 52
- B16-NB-06: 2
- B16-NB-07: 1/(2√3)
- B16-NB-08: 3/2
- B16-NB-09: Không tồn tại
- B16-NB-10: 77
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 5
10 câu đại diện: B16-NB-11, B16-NB-12, B16-NB-13, B16-NB-14, B16-NB-15, B16-NB-16, B16-NB-17, B16-NB-18, B16-NB-19, B16-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B16-NB-11: 2
- B16-NB-12: 1/(2√4)
- B16-NB-13: 3/3
- B16-NB-14: Không tồn tại
- B16-NB-15: 2
- B16-NB-16: 2
- B16-NB-17: 1/(2√5)
- B16-NB-18: 3/4
- B16-NB-19: Không tồn tại
- B16-NB-20: 27
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B16-TH-01, B16-TH-02, B16-TH-03, B16-TH-04, B16-TH-05, B16-TH-06, B16-TH-07, B16-TH-08, B16-TH-09, B16-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B16-TH-01: (x − 5)(x + 5)
- B16-TH-02: 1/2
- B16-TH-03: x + 2, x ≠ 2
- B16-TH-04: 2
- B16-TH-05: 1/(2√6)
- B16-TH-06: 3/1
- B16-TH-07: Không tồn tại
- B16-TH-08: 52
- B16-TH-09: 2
- B16-TH-10: 1/(2√3)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B16-TH-11, B16-TH-12, B16-TH-13, B16-TH-14, B16-TH-15, B16-TH-16, B16-TH-17, B16-TH-18, B16-TH-19, B16-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B16-TH-11: 3/2
- B16-TH-12: Không tồn tại
- B16-TH-13: 77
- B16-TH-14: 2
- B16-TH-15: 1/(2√4)
- B16-TH-16: 3/3
- B16-TH-17: Không tồn tại
- B16-TH-18: 2
- B16-TH-19: 2
- B16-TH-20: 1/(2√5)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B16-VD-01, B16-VD-02, B16-VD-03, B16-VD-04, B16-VD-05, B16-VD-06, B16-VD-07, B16-VD-08, B16-VD-09, B16-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B16-VD-01: (x − 3)(x + 3)
- B16-VD-02: −1/3
- B16-VD-03: x + 5, x ≠ 5
- B16-VD-04: 3/4
- B16-VD-05: Không tồn tại
- B16-VD-06: 27
- B16-VD-07: 2
- B16-VD-08: 1/(2√6)
- B16-VD-09: 3/1
- B16-VD-10: Không tồn tại
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 35–50 phút, nghỉ ngắn rồi mới chuyển dạng.
- Hỏi con 'điều kiện nào cho phép dùng định lí?' thay vì chỉ hỏi đáp số.
- Theo dõi ba lỗi lặp lại gần nhất và lịch ôn 1–7–30.
- Khuyến khích con vẽ hình hoặc mô tả xu thế bằng lời trước khi tính.
- Mở bài bằng phản ví dụ để học sinh thấy điều kiện bị thiếu.
- Chấm mốc suy luận và điều kiện, không chỉ chấm kết quả cuối.
- Cho học sinh giải thích một lời giải sai trước khi chữa mẫu.
- Đề nội bộ định hướng Hà Nội phải ghi rõ tính tham khảo, không giả danh đề chính thức.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.