Thấy cấu trúc thay vì đoán
Bài học biến cảm biến, điều khiển nhiệt độ, đường chuyển động, cân bằng thị trường và nghiệm phương trình thành mô hình có thể kiểm tra.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 17. Hàm số liên tục
Kiểm tra liên tục tại điểm và trên khoảng; ghép hàm liên tục bằng phép toán; vận dụng định lí giá trị trung gian để chứng minh sự tồn tại nghiệm.
Liên tục tại điểm là một đẳng thức có đủ ba thành phần, không chỉ là nét vẽ liền
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Lập luận có căn cứ
Biết gọi đúng đối tượng, nêu điều kiện, chọn công cụ và tự kiểm kết luận.
Nền trước, đích sau
Kích hoạt bài 16, hàm số đa thức và hữu tỉ rồi chuẩn bị trực tiếp cho Cổng cuối Chương 5.
Ví dụ – phản ví dụ – biên
Mỗi quy tắc đi kèm một trường hợp đúng, một lỗi thiếu điều kiện và một phép kiểm.
- Kiểm đủ ba điều kiện liên tục tại điểm.
- Tìm tham số để hàm ghép liên tục.
- Xác định khoảng liên tục theo miền xác định.
- Dùng định lí giá trị trung gian đúng giả thiết.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 16, hàm số đa thức và hữu tỉ.
- Đọc đúng kí hiệu và phát biểu điều kiện trước khi áp dụng.
- Dự đoán vị trí, dấu hoặc xu thế trước khi biến đổi.
- Dùng hình/tọa độ hoặc phép thế ngược để tự kiểm.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Liên tục tại một điểm
Hiểu đơn giản: Giá trị đi tới phải đúng bằng giá trị được gán tại điểm.
f liên tục tại a ⇔ f(a) xác định, lim(x→a)f(x) tồn tại và lim=f(a).
Ví dụ: Đa thức liên tục tại mọi a.
Hình nên dùng: Ba thẻ f(a), giới hạn trái, giới hạn phải.
Mô phỏng: Điều chỉnh một điểm rỗng/đặc.
Mẹo nhớ: Đủ ba: có giá trị, có giới hạn, bằng nhau.
Sai lầm: Chỉ kiểm hai giới hạn một phía.
Ghi chú: Một điều kiện sai là không liên tục.
Liên tục trên tập
Hiểu đơn giản: Kiểm tại mọi điểm trong khoảng và một phía ở đầu đoạn.
Đa thức liên tục trên ℝ; hữu tỉ liên tục nơi mẫu khác 0.
Ví dụ: 1/(x−2) liên tục trên (−∞,2) và (2,+∞).
Hình nên dùng: Đồ thị tách tại điểm loại.
Mô phỏng: Bật các điểm miền xác định.
Mẹo nhớ: Tìm miền xác định trước.
Sai lầm: Gọi hàm hữu tỉ liên tục trên ℝ.
Ghi chú: Tổng, tích, thương và hợp bảo toàn liên tục khi thỏa điều kiện.
Định lí giá trị trung gian
Hiểu đơn giản: Đường liên tục đi từ thấp lên cao phải qua mọi mức ở giữa.
f liên tục trên [a,b], y₀ nằm giữa f(a),f(b) ⇒ ∃c∈[a,b]: f(c)=y₀.
Ví dụ: f(a)f(b)<0 ⇒ có ít nhất một nghiệm trong (a,b).
Hình nên dùng: Đường cong cắt một đường ngang.
Mô phỏng: Kéo hai giá trị đầu mút.
Mẹo nhớ: Nêu liên tục trước, đổi dấu sau, kết luận tồn tại.
Sai lầm: Kết luận nghiệm duy nhất.
Ghi chú: Muốn duy nhất cần thêm đơn điệu hoặc lập luận khác.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB HÀM GHÉP LIÊN TỤC
Buộc hai nhánh gặp nhau tại điểm nối
Nhánh trái là mx + b khi x < a; nhánh phải là px + q khi x ≥ a. Hãy chỉnh các hệ số để giới hạn trái bằng giá trị nhánh phải.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B17-NB-04
Đề bài: Xét f(x) = x² − 25 trên [0; 6]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Phân tích: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
- Bước 2: f(0) = −25 < 0, f(6) = 11 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 6) sao cho f(c)=0; thực tế c=5.
- Bước 3: Kết luận Có nghiệm c = 5.
Vì sao: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B17-NB-14
Đề bài: Xét f(x) = x² − 9 trên [0; 4]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Phân tích: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
- Bước 2: f(0) = −9 < 0, f(4) = 7 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 4) sao cho f(c)=0; thực tế c=3.
- Bước 3: Kết luận Có nghiệm c = 3.
Vì sao: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B17-TH-04
Đề bài: Hàm f(x) = 2x² − 3x + 1 có liên tục tại x = 1 không?
Phân tích: Nhớ tính liên tục của đa thức.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Nhớ tính liên tục của đa thức.
- Bước 2: Có. Đa thức liên tục tại mọi số thực.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: f(1) xác định và lim(x→1)f(x) = f(1).
Cách khác: Thay trực tiếp vì tổng và tích của các hàm liên tục.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Tính đạo hàm để xét liên tục dù chưa cần.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B17-TH-14
Đề bài: Hàm f(x) = 4x² − 4x + 1 có liên tục tại x = 3 không?
Phân tích: Nhớ tính liên tục của đa thức.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Nhớ tính liên tục của đa thức.
- Bước 2: Có. Đa thức liên tục tại mọi số thực.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: f(3) xác định và lim(x→3)f(x) = f(3).
Cách khác: Thay trực tiếp vì tổng và tích của các hàm liên tục.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Tính đạo hàm để xét liên tục dù chưa cần.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B17-VD-04
Đề bài: Cho f(x) = kx + 4 khi x < 2, và f(x) = x + 8 khi x ≥ 2. Tìm k để f liên tục tại 2.
Phân tích: Đặt giới hạn trái bằng giá trị nhánh phải tại điểm nối.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Đặt giới hạn trái bằng giá trị nhánh phải tại điểm nối.
- Bước 2: k·2 + 4 = 2 + 8 = 10, nên k = 3.
- Bước 3: Kết luận k = 3.
Vì sao: Liên tục tại điểm nối đòi giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm cùng bằng nhau.
Cách khác: Vẽ hai đường thẳng và buộc chúng gặp nhau tại cùng điểm có hoành độ a.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Thay x=a vào nhánh trái dù nhánh đó chỉ có x<a rồi bỏ qua giới hạn.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B17-VD-14
Đề bài: Cho f(x) = kx + 2 khi x < 4, và f(x) = x + 2 khi x ≥ 4. Tìm k để f liên tục tại 4.
Phân tích: Đặt giới hạn trái bằng giá trị nhánh phải tại điểm nối.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Đặt giới hạn trái bằng giá trị nhánh phải tại điểm nối.
- Bước 2: k·4 + 2 = 4 + 2 = 6, nên k = 1.
- Bước 3: Kết luận k = 1.
Vì sao: Liên tục tại điểm nối đòi giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm cùng bằng nhau.
Cách khác: Vẽ hai đường thẳng và buộc chúng gặp nhau tại cùng điểm có hoành độ a.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Thay x=a vào nhánh trái dù nhánh đó chỉ có x<a rồi bỏ qua giới hạn.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B17-VDC-04
Đề bài: Cho f liên tục trên [3; 5], f(3) = −2, f(5) = 4. Có thể kết luận gì về phương trình f(x)=0?
Phân tích: Số 0 nằm giữa hai giá trị đầu mút trái dấu.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Số 0 nằm giữa hai giá trị đầu mút trái dấu.
- Bước 2: Tồn tại ít nhất một c ∈ (3; 5) sao cho f(c)=0.
- Bước 3: Kết luận Có ít nhất một nghiệm trong khoảng.
Vì sao: Định lí giá trị trung gian đảm bảo tồn tại, không đảm bảo duy nhất.
Cách khác: Hình dung đường liên tục đi từ dưới lên trên trục hoành.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Kết luận có đúng một nghiệm.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B17-VDC-14
Đề bài: Cho f liên tục trên [1; 3], f(1) = −3, f(3) = 2. Có thể kết luận gì về phương trình f(x)=0?
Phân tích: Số 0 nằm giữa hai giá trị đầu mút trái dấu.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Số 0 nằm giữa hai giá trị đầu mút trái dấu.
- Bước 2: Tồn tại ít nhất một c ∈ (1; 3) sao cho f(c)=0.
- Bước 3: Kết luận Có ít nhất một nghiệm trong khoảng.
Vì sao: Định lí giá trị trung gian đảm bảo tồn tại, không đảm bảo duy nhất.
Cách khác: Hình dung đường liên tục đi từ dưới lên trên trục hoành.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Kết luận có đúng một nghiệm.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B17-TT-04
Đề bài: Hàm f(x) = 1/(x − 4) liên tục trên tập nào?
Phân tích: Hàm hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Hàm hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0.
- Bước 2: f liên tục trên (−∞; 4) và (4; +∞), hay ℝ \ {4}.
- Bước 3: Kết luận ℝ \ {4}.
Vì sao: Tại x = 4, hàm không xác định nên không thể liên tục.
Cách khác: Tìm miền xác định trước.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Kết luận liên tục trên ℝ vì tử và mẫu đều là đa thức.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B17-TT-14
Đề bài: Hàm f(x) = 1/(x − 2) liên tục trên tập nào?
Phân tích: Hàm hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Hàm hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0.
- Bước 2: f liên tục trên (−∞; 2) và (2; +∞), hay ℝ \ {2}.
- Bước 3: Kết luận ℝ \ {2}.
Vì sao: Tại x = 2, hàm không xác định nên không thể liên tục.
Cách khác: Tìm miền xác định trước.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Kết luận liên tục trên ℝ vì tử và mẫu đều là đa thức.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua hàm số liên tục
Tình huống 1 khai thác cảm biến, điều khiển nhiệt độ, đường chuyển động, cân bằng thị trường và nghiệm phương trình; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua hàm số liên tục
Tình huống 2 khai thác cảm biến, điều khiển nhiệt độ, đường chuyển động, cân bằng thị trường và nghiệm phương trình; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua hàm số liên tục
Tình huống 3 khai thác cảm biến, điều khiển nhiệt độ, đường chuyển động, cân bằng thị trường và nghiệm phương trình; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua hàm số liên tục
Tình huống 4 khai thác cảm biến, điều khiển nhiệt độ, đường chuyển động, cân bằng thị trường và nghiệm phương trình; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua hàm số liên tục
Tình huống 5 khai thác cảm biến, điều khiển nhiệt độ, đường chuyển động, cân bằng thị trường và nghiệm phương trình; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua hàm số liên tục
Tình huống 6 khai thác cảm biến, điều khiển nhiệt độ, đường chuyển động, cân bằng thị trường và nghiệm phương trình; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua hàm số liên tục
Tình huống 7 khai thác cảm biến, điều khiển nhiệt độ, đường chuyển động, cân bằng thị trường và nghiệm phương trình; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua hàm số liên tục
Tình huống 8 khai thác cảm biến, điều khiển nhiệt độ, đường chuyển động, cân bằng thị trường và nghiệm phương trình; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Liên tục tại một điểm theo cách đơn giản?
Giá trị đi tới phải đúng bằng giá trị được gán tại điểm. Mốc chính xác: f liên tục tại a ⇔ f(a) xác định, lim(x→a)f(x) tồn tại và lim=f(a). Ví dụ: Đa thức liên tục tại mọi a. Cách nhớ: Đủ ba: có giá trị, có giới hạn, bằng nhau. Cần tránh: Chỉ kiểm hai giới hạn một phía.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Có giới hạn là liên tục
Chỉ kiểm hai giới hạn một phía. Sửa bằng quy trình: Đủ ba: có giá trị, có giới hạn, bằng nhau. Phép kiểm cuối: Một điều kiện sai là không liên tục.
Có giá trị hàm là liên tục
Gọi hàm hữu tỉ liên tục trên ℝ. Sửa bằng quy trình: Tìm miền xác định trước. Phép kiểm cuối: Tổng, tích, thương và hợp bảo toàn liên tục khi thỏa điều kiện.
Quên giới hạn một phía ở hàm ghép
Kết luận nghiệm duy nhất. Sửa bằng quy trình: Nêu liên tục trước, đổi dấu sau, kết luận tồn tại. Phép kiểm cuối: Muốn duy nhất cần thêm đơn điệu hoặc lập luận khác.
Dùng IVT khi hàm gián đoạn
Chỉ kiểm hai giới hạn một phía. Sửa bằng quy trình: Đủ ba: có giá trị, có giới hạn, bằng nhau. Phép kiểm cuối: Một điều kiện sai là không liên tục.
Đổi dấu là có duy nhất một nghiệm
Gọi hàm hữu tỉ liên tục trên ℝ. Sửa bằng quy trình: Tìm miền xác định trước. Phép kiểm cuối: Tổng, tích, thương và hợp bảo toàn liên tục khi thỏa điều kiện.
Có giới hạn là liên tục – biến thể 6
Kết luận nghiệm duy nhất. Sửa bằng quy trình: Nêu liên tục trước, đổi dấu sau, kết luận tồn tại. Phép kiểm cuối: Muốn duy nhất cần thêm đơn điệu hoặc lập luận khác.
Có giá trị hàm là liên tục – biến thể 7
Chỉ kiểm hai giới hạn một phía. Sửa bằng quy trình: Đủ ba: có giá trị, có giới hạn, bằng nhau. Phép kiểm cuối: Một điều kiện sai là không liên tục.
Quên giới hạn một phía ở hàm ghép – biến thể 8
Gọi hàm hữu tỉ liên tục trên ℝ. Sửa bằng quy trình: Tìm miền xác định trước. Phép kiểm cuối: Tổng, tích, thương và hợp bảo toàn liên tục khi thỏa điều kiện.
Dùng IVT khi hàm gián đoạn – biến thể 9
Kết luận nghiệm duy nhất. Sửa bằng quy trình: Nêu liên tục trước, đổi dấu sau, kết luận tồn tại. Phép kiểm cuối: Muốn duy nhất cần thêm đơn điệu hoặc lập luận khác.
Đổi dấu là có duy nhất một nghiệm – biến thể 10
Chỉ kiểm hai giới hạn một phía. Sửa bằng quy trình: Đủ ba: có giá trị, có giới hạn, bằng nhau. Phép kiểm cuối: Một điều kiện sai là không liên tục.
Có giới hạn là liên tục – biến thể 11
Gọi hàm hữu tỉ liên tục trên ℝ. Sửa bằng quy trình: Tìm miền xác định trước. Phép kiểm cuối: Tổng, tích, thương và hợp bảo toàn liên tục khi thỏa điều kiện.
Có giá trị hàm là liên tục – biến thể 12
Kết luận nghiệm duy nhất. Sửa bằng quy trình: Nêu liên tục trước, đổi dấu sau, kết luận tồn tại. Phép kiểm cuối: Muốn duy nhất cần thêm đơn điệu hoặc lập luận khác.
Quên giới hạn một phía ở hàm ghép – biến thể 13
Chỉ kiểm hai giới hạn một phía. Sửa bằng quy trình: Đủ ba: có giá trị, có giới hạn, bằng nhau. Phép kiểm cuối: Một điều kiện sai là không liên tục.
Dùng IVT khi hàm gián đoạn – biến thể 14
Gọi hàm hữu tỉ liên tục trên ℝ. Sửa bằng quy trình: Tìm miền xác định trước. Phép kiểm cuối: Tổng, tích, thương và hợp bảo toàn liên tục khi thỏa điều kiện.
Đổi dấu là có duy nhất một nghiệm – biến thể 15
Kết luận nghiệm duy nhất. Sửa bằng quy trình: Nêu liên tục trước, đổi dấu sau, kết luận tồn tại. Phép kiểm cuối: Muốn duy nhất cần thêm đơn điệu hoặc lập luận khác.
Có giới hạn là liên tục – biến thể 16
Chỉ kiểm hai giới hạn một phía. Sửa bằng quy trình: Đủ ba: có giá trị, có giới hạn, bằng nhau. Phép kiểm cuối: Một điều kiện sai là không liên tục.
Có giá trị hàm là liên tục – biến thể 17
Gọi hàm hữu tỉ liên tục trên ℝ. Sửa bằng quy trình: Tìm miền xác định trước. Phép kiểm cuối: Tổng, tích, thương và hợp bảo toàn liên tục khi thỏa điều kiện.
Quên giới hạn một phía ở hàm ghép – biến thể 18
Kết luận nghiệm duy nhất. Sửa bằng quy trình: Nêu liên tục trước, đổi dấu sau, kết luận tồn tại. Phép kiểm cuối: Muốn duy nhất cần thêm đơn điệu hoặc lập luận khác.
Dùng IVT khi hàm gián đoạn – biến thể 19
Chỉ kiểm hai giới hạn một phía. Sửa bằng quy trình: Đủ ba: có giá trị, có giới hạn, bằng nhau. Phép kiểm cuối: Một điều kiện sai là không liên tục.
Đổi dấu là có duy nhất một nghiệm – biến thể 20
Gọi hàm hữu tỉ liên tục trên ℝ. Sửa bằng quy trình: Tìm miền xác định trước. Phép kiểm cuối: Tổng, tích, thương và hợp bảo toàn liên tục khi thỏa điều kiện.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Hỏi điều kiện trước
Trước mỗi định lí, viết một dòng điều kiện; thiếu điều kiện thì chưa được biến đổi.
Hai biểu diễn
Ghép lời giải đại số với hình, bảng, đồ thị hoặc tọa độ để tự kiểm.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, vì sao sai và phép kiểm sẽ dùng ở lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn bài sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
Ước lượng trước
Dự đoán vị trí, dấu, độ lớn hoặc dạng kết quả trước khi tính.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Hàm số liên tục1 2 3
Liên tục tại một điểmf liên tục tại a ⇔ f(a) xác định, lim(x→a)f(x) tồn tại và lim=f(a). Đủ ba: có giá trị, có giới hạn, bằng nhau.
Liên tục trên tậpĐa thức liên tục trên ℝ; hữu tỉ liên tục nơi mẫu khác 0. Tìm miền xác định trước.
Định lí giá trị trung gianf liên tục trên [a,b], y₀ nằm giữa f(a),f(b) ⇒ ∃c∈[a,b]: f(c)=y₀. Nêu liên tục trước, đổi dấu sau, kết luận tồn tại.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B17-NB-01Phân tích x² − 4 thành nhân tử.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
Vì sao: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Sai ở đâu: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
B17-NB-02Dãy uₙ = (−1/3)ⁿ là cấp số nhân có công bội nào?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So uₙ₊₁/uₙ.
Lời giải: Công bội q = −1/3.
Vì sao: Dãy hình học với |q| < 1 tiến dần về 0 khi n tăng.
Sai ở đâu: Bỏ dấu âm của công bội.
Cách khác: Tính hai số hạng liên tiếp rồi lấy tỉ số.
B17-NB-03Rút gọn phân thức (x² − 16)/(x − 4) với x ≠ 4.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Phân tích tử thành hiệu hai bình phương.
Lời giải: (x² − 16)/(x − 4) = x + 4, với x ≠ 4.
Vì sao: Biểu thức rút gọn bằng biểu thức ban đầu trên miền x khác a, không làm a trở lại miền xác định.
Sai ở đâu: Khẳng định hai biểu thức bằng nhau cả tại x = 4.
Cách khác: Nhân (x − a)(x + a) rồi khử nhân tử chung.
B17-NB-04Xét f(x) = x² − 25 trên [0; 6]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Lời giải: f(0) = −25 < 0, f(6) = 11 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 6) sao cho f(c)=0; thực tế c=5.
Vì sao: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Sai ở đâu: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
B17-NB-05Cho f liên tục trên [1; 3], f(1) = −3, f(3) = 2. Có thể kết luận gì về phương trình f(x)=0?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Số 0 nằm giữa hai giá trị đầu mút trái dấu.
Lời giải: Tồn tại ít nhất một c ∈ (1; 3) sao cho f(c)=0.
Vì sao: Định lí giá trị trung gian đảm bảo tồn tại, không đảm bảo duy nhất.
Sai ở đâu: Kết luận có đúng một nghiệm.
Cách khác: Hình dung đường liên tục đi từ dưới lên trên trục hoành.
B17-NB-06Hàm f(x) = 3x² − 4x + 1 có liên tục tại x = 2 không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhớ tính liên tục của đa thức.
Lời giải: Có. Đa thức liên tục tại mọi số thực.
Vì sao: f(2) xác định và lim(x→2)f(x) = f(2).
Sai ở đâu: Tính đạo hàm để xét liên tục dù chưa cần.
Cách khác: Thay trực tiếp vì tổng và tích của các hàm liên tục.
B17-NB-07Hàm f(x) = 1/(x − 3) liên tục trên tập nào?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hàm hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0.
Lời giải: f liên tục trên (−∞; 3) và (3; +∞), hay ℝ \ {3}.
Vì sao: Tại x = 3, hàm không xác định nên không thể liên tục.
Sai ở đâu: Kết luận liên tục trên ℝ vì tử và mẫu đều là đa thức.
Cách khác: Tìm miền xác định trước.
B17-NB-08Cho f(x) = kx + 3 khi x < 4, và f(x) = x + 3 khi x ≥ 4. Tìm k để f liên tục tại 4.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đặt giới hạn trái bằng giá trị nhánh phải tại điểm nối.
Lời giải: k·4 + 3 = 4 + 3 = 7, nên k = 1.
Vì sao: Liên tục tại điểm nối đòi giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm cùng bằng nhau.
Sai ở đâu: Thay x=a vào nhánh trái dù nhánh đó chỉ có x<a rồi bỏ qua giới hạn.
Cách khác: Vẽ hai đường thẳng và buộc chúng gặp nhau tại cùng điểm có hoành độ a.
B17-NB-09Xét f(x) = x² − 4 trên [0; 3]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Lời giải: f(0) = −4 < 0, f(3) = 5 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 3) sao cho f(c)=0; thực tế c=2.
Vì sao: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Sai ở đâu: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
B17-NB-10Cho f liên tục trên [2; 4], f(2) = −2, f(4) = 3. Có thể kết luận gì về phương trình f(x)=0?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Số 0 nằm giữa hai giá trị đầu mút trái dấu.
Lời giải: Tồn tại ít nhất một c ∈ (2; 4) sao cho f(c)=0.
Vì sao: Định lí giá trị trung gian đảm bảo tồn tại, không đảm bảo duy nhất.
Sai ở đâu: Kết luận có đúng một nghiệm.
Cách khác: Hình dung đường liên tục đi từ dưới lên trên trục hoành.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B17-NB-01] Phân tích x² − 4 thành nhân tử.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Phân tích x² − 4 thành nhân tử.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
TỰ LUẬN 2Hàm f(x) = 3x² − 4x + 1 có liên tục tại x = 2 không?
Gợi ý: Nhớ tính liên tục của đa thức.
Lời giải: Có. Đa thức liên tục tại mọi số thực.
Giải thích: f(2) xác định và lim(x→2)f(x) = f(2).
Lỗi cần tránh: Tính đạo hàm để xét liên tục dù chưa cần.
Cách khác: Thay trực tiếp vì tổng và tích của các hàm liên tục.
TỰ LUẬN 3Hàm f(x) = 4x² − 3x + 1 có liên tục tại x = 3 không?
Gợi ý: Nhớ tính liên tục của đa thức.
Lời giải: Có. Đa thức liên tục tại mọi số thực.
Giải thích: f(3) xác định và lim(x→3)f(x) = f(3).
Lỗi cần tránh: Tính đạo hàm để xét liên tục dù chưa cần.
Cách khác: Thay trực tiếp vì tổng và tích của các hàm liên tục.
TỰ LUẬN 4Hàm f(x) = 1x² − 2x + 1 có liên tục tại x = 4 không?
Gợi ý: Nhớ tính liên tục của đa thức.
Lời giải: Có. Đa thức liên tục tại mọi số thực.
Giải thích: f(4) xác định và lim(x→4)f(x) = f(4).
Lỗi cần tránh: Tính đạo hàm để xét liên tục dù chưa cần.
Cách khác: Thay trực tiếp vì tổng và tích của các hàm liên tục.
TỰ LUẬN 5Phân tích x² − 25 thành nhân tử.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
TỰ LUẬN 6Cho f(x) = kx + 2 khi x < 3, và f(x) = x + 11 khi x ≥ 3. Tìm k để f liên tục tại 3.
Gợi ý: Đặt giới hạn trái bằng giá trị nhánh phải tại điểm nối.
Lời giải: k·3 + 2 = 3 + 11 = 14, nên k = 4.
Giải thích: Liên tục tại điểm nối đòi giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm cùng bằng nhau.
Lỗi cần tránh: Thay x=a vào nhánh trái dù nhánh đó chỉ có x<a rồi bỏ qua giới hạn.
Cách khác: Vẽ hai đường thẳng và buộc chúng gặp nhau tại cùng điểm có hoành độ a.
TỰ LUẬN 7Cho f(x) = kx + 4 khi x < 4, và f(x) = x + 4 khi x ≥ 4. Tìm k để f liên tục tại 4.
Gợi ý: Đặt giới hạn trái bằng giá trị nhánh phải tại điểm nối.
Lời giải: k·4 + 4 = 4 + 4 = 8, nên k = 1.
Giải thích: Liên tục tại điểm nối đòi giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm cùng bằng nhau.
Lỗi cần tránh: Thay x=a vào nhánh trái dù nhánh đó chỉ có x<a rồi bỏ qua giới hạn.
Cách khác: Vẽ hai đường thẳng và buộc chúng gặp nhau tại cùng điểm có hoành độ a.
TỰ LUẬN 8Cho f(x) = kx + 3 khi x < 1, và f(x) = x + 4 khi x ≥ 1. Tìm k để f liên tục tại 1.
Gợi ý: Đặt giới hạn trái bằng giá trị nhánh phải tại điểm nối.
Lời giải: k·1 + 3 = 1 + 4 = 5, nên k = 2.
Giải thích: Liên tục tại điểm nối đòi giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm cùng bằng nhau.
Lỗi cần tránh: Thay x=a vào nhánh trái dù nhánh đó chỉ có x<a rồi bỏ qua giới hạn.
Cách khác: Vẽ hai đường thẳng và buộc chúng gặp nhau tại cùng điểm có hoành độ a.
TỰ LUẬN 9Phân tích x² − 9 thành nhân tử.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
TỰ LUẬN 10Cho f liên tục trên [4; 6], f(4) = −3, f(6) = 1. Có thể kết luận gì về phương trình f(x)=0?
Gợi ý: Số 0 nằm giữa hai giá trị đầu mút trái dấu.
Lời giải: Tồn tại ít nhất một c ∈ (4; 6) sao cho f(c)=0.
Giải thích: Định lí giá trị trung gian đảm bảo tồn tại, không đảm bảo duy nhất.
Lỗi cần tránh: Kết luận có đúng một nghiệm.
Cách khác: Hình dung đường liên tục đi từ dưới lên trên trục hoành.
TỰ LUẬN 11Cho f liên tục trên [1; 3], f(1) = −2, f(3) = 2. Có thể kết luận gì về phương trình f(x)=0?
Gợi ý: Số 0 nằm giữa hai giá trị đầu mút trái dấu.
Lời giải: Tồn tại ít nhất một c ∈ (1; 3) sao cho f(c)=0.
Giải thích: Định lí giá trị trung gian đảm bảo tồn tại, không đảm bảo duy nhất.
Lỗi cần tránh: Kết luận có đúng một nghiệm.
Cách khác: Hình dung đường liên tục đi từ dưới lên trên trục hoành.
TỰ LUẬN 12Cho f liên tục trên [2; 4], f(2) = −4, f(4) = 3. Có thể kết luận gì về phương trình f(x)=0?
Gợi ý: Số 0 nằm giữa hai giá trị đầu mút trái dấu.
Lời giải: Tồn tại ít nhất một c ∈ (2; 4) sao cho f(c)=0.
Giải thích: Định lí giá trị trung gian đảm bảo tồn tại, không đảm bảo duy nhất.
Lỗi cần tránh: Kết luận có đúng một nghiệm.
Cách khác: Hình dung đường liên tục đi từ dưới lên trên trục hoành.
TỰ LUẬN 13Phân tích x² − 36 thành nhân tử.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 36 = (x − 6)(x + 6).
Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
TỰ LUẬN 14Hàm f(x) = 1/(x − 1) liên tục trên tập nào?
Gợi ý: Hàm hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0.
Lời giải: f liên tục trên (−∞; 1) và (1; +∞), hay ℝ \ {1}.
Giải thích: Tại x = 1, hàm không xác định nên không thể liên tục.
Lỗi cần tránh: Kết luận liên tục trên ℝ vì tử và mẫu đều là đa thức.
Cách khác: Tìm miền xác định trước.
TỰ LUẬN 15Hàm f(x) = 1/(x − 2) liên tục trên tập nào?
Gợi ý: Hàm hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0.
Lời giải: f liên tục trên (−∞; 2) và (2; +∞), hay ℝ \ {2}.
Giải thích: Tại x = 2, hàm không xác định nên không thể liên tục.
Lỗi cần tránh: Kết luận liên tục trên ℝ vì tử và mẫu đều là đa thức.
Cách khác: Tìm miền xác định trước.
TỰ LUẬN 16Hàm f(x) = 1/(x − 3) liên tục trên tập nào?
Gợi ý: Hàm hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0.
Lời giải: f liên tục trên (−∞; 3) và (3; +∞), hay ℝ \ {3}.
Giải thích: Tại x = 3, hàm không xác định nên không thể liên tục.
Lỗi cần tránh: Kết luận liên tục trên ℝ vì tử và mẫu đều là đa thức.
Cách khác: Tìm miền xác định trước.
TỰ LUẬN 17Phân tích x² − 16 thành nhân tử.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 16 = (x − 4)(x + 4).
Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
TỰ LUẬN 18Xét f(x) = x² − 9 trên [0; 4]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Gợi ý: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Lời giải: f(0) = −9 < 0, f(4) = 7 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 4) sao cho f(c)=0; thực tế c=3.
Giải thích: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
TỰ LUẬN 19Xét f(x) = x² − 16 trên [0; 5]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Gợi ý: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Lời giải: f(0) = −16 < 0, f(5) = 9 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 5) sao cho f(c)=0; thực tế c=4.
Giải thích: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
TỰ LUẬN 20Xét f(x) = x² − 25 trên [0; 6]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Gợi ý: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Lời giải: f(0) = −25 < 0, f(6) = 11 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 6) sao cho f(c)=0; thực tế c=5.
Giải thích: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B17-NB-01, B17-NB-02, B17-NB-03, B17-NB-04, B17-NB-05, B17-NB-06, B17-NB-07, B17-NB-08, B17-NB-09, B17-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B17-NB-01: (x − 2)(x + 2)
- B17-NB-02: −1/3
- B17-NB-03: x + 4, x ≠ 4
- B17-NB-04: Có nghiệm c = 5
- B17-NB-05: Có ít nhất một nghiệm trong khoảng
- B17-NB-06: Có
- B17-NB-07: ℝ \ {3}
- B17-NB-08: k = 1
- B17-NB-09: Có nghiệm c = 2
- B17-NB-10: Có ít nhất một nghiệm trong khoảng
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 5
10 câu đại diện: B17-NB-11, B17-NB-12, B17-NB-13, B17-NB-14, B17-NB-15, B17-NB-16, B17-NB-17, B17-NB-18, B17-NB-19, B17-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B17-NB-11: Có
- B17-NB-12: ℝ \ {4}
- B17-NB-13: k = 2
- B17-NB-14: Có nghiệm c = 3
- B17-NB-15: Có ít nhất một nghiệm trong khoảng
- B17-NB-16: Có
- B17-NB-17: ℝ \ {1}
- B17-NB-18: k = 3
- B17-NB-19: Có nghiệm c = 4
- B17-NB-20: Có ít nhất một nghiệm trong khoảng
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B17-TH-01, B17-TH-02, B17-TH-03, B17-TH-04, B17-TH-05, B17-TH-06, B17-TH-07, B17-TH-08, B17-TH-09, B17-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B17-TH-01: (x − 5)(x + 5)
- B17-TH-02: 1/2
- B17-TH-03: x + 2, x ≠ 2
- B17-TH-04: Có
- B17-TH-05: ℝ \ {2}
- B17-TH-06: k = 4
- B17-TH-07: Có nghiệm c = 5
- B17-TH-08: Có ít nhất một nghiệm trong khoảng
- B17-TH-09: Có
- B17-TH-10: ℝ \ {3}
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B17-TH-11, B17-TH-12, B17-TH-13, B17-TH-14, B17-TH-15, B17-TH-16, B17-TH-17, B17-TH-18, B17-TH-19, B17-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B17-TH-11: k = 1
- B17-TH-12: Có nghiệm c = 2
- B17-TH-13: Có ít nhất một nghiệm trong khoảng
- B17-TH-14: Có
- B17-TH-15: ℝ \ {4}
- B17-TH-16: k = 2
- B17-TH-17: Có nghiệm c = 3
- B17-TH-18: Có ít nhất một nghiệm trong khoảng
- B17-TH-19: Có
- B17-TH-20: ℝ \ {1}
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B17-VD-01, B17-VD-02, B17-VD-03, B17-VD-04, B17-VD-05, B17-VD-06, B17-VD-07, B17-VD-08, B17-VD-09, B17-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B17-VD-01: (x − 3)(x + 3)
- B17-VD-02: −1/3
- B17-VD-03: x + 5, x ≠ 5
- B17-VD-04: k = 3
- B17-VD-05: Có nghiệm c = 4
- B17-VD-06: Có ít nhất một nghiệm trong khoảng
- B17-VD-07: Có
- B17-VD-08: ℝ \ {2}
- B17-VD-09: k = 4
- B17-VD-10: Có nghiệm c = 5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 35–50 phút, nghỉ ngắn rồi mới chuyển dạng.
- Hỏi con 'điều kiện nào cho phép dùng định lí?' thay vì chỉ hỏi đáp số.
- Theo dõi ba lỗi lặp lại gần nhất và lịch ôn 1–7–30.
- Khuyến khích con vẽ hình hoặc mô tả xu thế bằng lời trước khi tính.
- Mở bài bằng phản ví dụ để học sinh thấy điều kiện bị thiếu.
- Chấm mốc suy luận và điều kiện, không chỉ chấm kết quả cuối.
- Cho học sinh giải thích một lời giải sai trước khi chữa mẫu.
- Đề nội bộ định hướng Hà Nội phải ghi rõ tính tham khảo, không giả danh đề chính thức.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.