Tách đúng loại lỗi
Phân biệt lỗi khái niệm, thiếu điều kiện, sai biến đổi và kết luận vượt dữ kiện.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài tập cuối Chương 5
Kiểm định trọn mạch giới hạn dãy → giới hạn hàm → liên tục; chặn triệt để lỗi thay vô cực, kết luận từ 0/0 và dùng định lí thiếu giả thiết.
Đúng kết quả chưa đủ: phải đúng điều kiện, đúng mạch suy luận và tự chỉ ra được lỗi
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Nhìn mạch cả chương
Một bài tổng hợp phải gọi đúng nhiều nút kiến thức theo thứ tự.
Đánh giá năng lực
Trộn nhiều lựa chọn, đúng–sai, trả lời ngắn và tự luận trong bối cảnh có ý nghĩa.
Qua cổng bằng hiểu biết
Học sinh phải đạt điểm và giải thích được ba lỗi gần nhất.
- Diễn giải đúng dãy tiến tới một số.
- Dùng các giới hạn 1/nᵏ và qⁿ.
- Áp dụng quy tắc tổng–tích–thương đúng điều kiện.
- Tính giới hạn phân thức và nhận diện ±∞.
- Phân biệt giá trị hàm và giới hạn.
- Tính và so sánh hai giới hạn một phía.
- Khử 0/0 bằng nhân tử hoặc liên hợp.
- Tính giới hạn ở vô cực theo bậc.
- Kiểm đủ ba điều kiện liên tục tại điểm.
- Tìm tham số để hàm ghép liên tục.
- 15% ôn nối từ chương hoặc lớp trước.
- Chương 2, biến đổi phân thức và lũy thừa
- Bài 15, hằng đẳng thức, căn thức và đọc đồ thị
- Bài 16, hàm số đa thức và hữu tỉ
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Giới hạn hữu hạn
Hiểu đơn giản: Từ một lúc nào đó, số hạng nằm tùy ý gần số L.
lim uₙ=L nếu |uₙ−L| có thể nhỏ hơn mọi ε>0 khi n đủ lớn.
Ví dụ: 1/n→0.
Hình nên dùng: Các điểm uₙ tiến gần đường y=L.
Mô phỏng: Tăng n và thu hẹp dải ε.
Mẹo nhớ: Không cần chạm L; chỉ cần gần tùy ý.
Sai lầm: Cho rằng phải có uₙ=L từ một chỉ số.
Ghi chú: Giới hạn nếu có là duy nhất.
Giới hạn cơ bản và quy tắc
Hiểu đơn giản: Ghép các dãy đã biết bằng phép toán hợp lệ.
1/nᵏ→0; qⁿ→0 nếu |q|<1; quy tắc tổng, tích, thương với mẫu giới hạn ≠0.
Ví dụ: (3n+1)/(2n−1)→3/2.
Hình nên dùng: Cây quy tắc có điều kiện đỏ ở mẫu.
Mô phỏng: Điều chỉnh q qua −1,1.
Mẹo nhớ: Kiểm điều kiện trước, biến đổi sau.
Sai lầm: Dùng qⁿ→0 khi |q|≥1.
Ghi chú: Dãy đổi dấu vẫn có thể về 0.
Giới hạn vô cực
Hiểu đơn giản: Độ lớn tăng vượt mọi ngưỡng; dấu cho biết hướng.
uₙ→+∞ nếu với mọi M>0, uₙ>M khi n đủ lớn.
Ví dụ: n²−3n→+∞.
Hình nên dùng: Đồ thị điểm đi lên không bị chặn.
Mô phỏng: So các tốc độ n,n²,qⁿ.
Mẹo nhớ: Đặt bậc cao nhất ra ngoài.
Sai lầm: Xem ∞ như một số để trừ/chia tự do.
Ghi chú: Các dạng ∞−∞, ∞/∞ cần biến đổi.
Giới hạn tại điểm
Hiểu đơn giản: Quan sát f(x) khi x tiến gần a từ các giá trị khác a.
lim(x→a)f(x)=L; tồn tại iff giới hạn trái = giới hạn phải =L.
Ví dụ: (x²−a²)/(x−a)→2a.
Hình nên dùng: Đồ thị có lỗ nhưng tiến tới cùng độ cao.
Mô phỏng: Kéo x từ hai phía về a.
Mẹo nhớ: Tách 'gần a' khỏi 'tại a'.
Sai lầm: Thay trực tiếp mọi trường hợp.
Ghi chú: Giá trị f(a) có thể khác hoặc chưa xác định.
Khử dạng 0/0
Hiểu đơn giản: Biến đổi trên lân cận x≠a để lộ hàm đơn giản.
Phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp; giữ điều kiện x≠a trong bước biến đổi.
Ví dụ: (√x−2)/(x−4)=1/(√x+2), x≠4.
Hình nên dùng: Hai biểu thức trùng trên lân cận thủng.
Mô phỏng: Bật/tắt điểm x=a.
Mẹo nhớ: Khử nguyên nhân tạo 0/0, không khử điều kiện.
Sai lầm: Kết luận biểu thức xác định tại điểm loại.
Ghi chú: Dạng 0/0 báo hiệu cần biến đổi.
Một phía và vô cực
Hiểu đơn giản: Trái và phải là hai đường tiếp cận độc lập; ở vô cực quan tâm hành vi xa.
lim x→a−, lim x→a+; lim x→±∞.
Ví dụ: |x−a|/(x−a) cho −1 bên trái, 1 bên phải.
Hình nên dùng: Hai mũi tên tới cùng điểm.
Mô phỏng: Chọn hướng trái/phải/vô cực.
Mẹo nhớ: Hai phía phải khớp mới ghép.
Sai lầm: Chỉ tính một phía.
Ghi chú: Khi x→−∞ phải theo dõi dấu lũy thừa.
Liên tục tại một điểm
Hiểu đơn giản: Giá trị đi tới phải đúng bằng giá trị được gán tại điểm.
f liên tục tại a ⇔ f(a) xác định, lim(x→a)f(x) tồn tại và lim=f(a).
Ví dụ: Đa thức liên tục tại mọi a.
Hình nên dùng: Ba thẻ f(a), giới hạn trái, giới hạn phải.
Mô phỏng: Điều chỉnh một điểm rỗng/đặc.
Mẹo nhớ: Đủ ba: có giá trị, có giới hạn, bằng nhau.
Sai lầm: Chỉ kiểm hai giới hạn một phía.
Ghi chú: Một điều kiện sai là không liên tục.
Liên tục trên tập
Hiểu đơn giản: Kiểm tại mọi điểm trong khoảng và một phía ở đầu đoạn.
Đa thức liên tục trên ℝ; hữu tỉ liên tục nơi mẫu khác 0.
Ví dụ: 1/(x−2) liên tục trên (−∞,2) và (2,+∞).
Hình nên dùng: Đồ thị tách tại điểm loại.
Mô phỏng: Bật các điểm miền xác định.
Mẹo nhớ: Tìm miền xác định trước.
Sai lầm: Gọi hàm hữu tỉ liên tục trên ℝ.
Ghi chú: Tổng, tích, thương và hợp bảo toàn liên tục khi thỏa điều kiện.
Định lí giá trị trung gian
Hiểu đơn giản: Đường liên tục đi từ thấp lên cao phải qua mọi mức ở giữa.
f liên tục trên [a,b], y₀ nằm giữa f(a),f(b) ⇒ ∃c∈[a,b]: f(c)=y₀.
Ví dụ: f(a)f(b)<0 ⇒ có ít nhất một nghiệm trong (a,b).
Hình nên dùng: Đường cong cắt một đường ngang.
Mô phỏng: Kéo hai giá trị đầu mút.
Mẹo nhớ: Nêu liên tục trước, đổi dấu sau, kết luận tồn tại.
Sai lầm: Kết luận nghiệm duy nhất.
Ghi chú: Muốn duy nhất cần thêm đơn điệu hoặc lập luận khác.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB GIỚI HẠN 0/0
Tiến gần mốc nhưng không thay đúng tại mốc
Quan sát (x² − a²)/(x − a) khi x = a + Δ. Công cụ không cho Δ bằng 0 vì biểu thức ban đầu không xác định tại x = a.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • C5-NB-04
Đề bài: Tính lim (n→∞) 1/n^1.
Phân tích: Mẫu tăng không bị chặn và luôn dương.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Mẫu tăng không bị chặn và luôn dương.
- Bước 2: Giới hạn bằng 0.
- Bước 3: Kết luận 0.
Vì sao: Với mọi ε > 0, chọn n > (1/ε)^(1/1) thì 1/n^1 < ε.
Cách khác: So sánh với 1/n khi n ≥ 1.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cho rằng mẫu tiến tới vô cực nên thương không xác định.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • C5-NB-14
Đề bài: Tính lim (x→2) [√(x + 1) − √3]/(x − 2).
Phân tích: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
- Bước 2: Giới hạn bằng 1/(2√3).
- Bước 3: Kết luận 1/(2√3).
Vì sao: Sau liên hợp, biểu thức bằng 1/[√(x + 1) + √3] với x ≠ 2.
Cách khác: Nhìn như tỉ số sai phân của hàm căn.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Nhân liên hợp nhưng quên nhân mẫu.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • C5-TH-04
Đề bài: Tính lim (n→∞) 1/n^1.
Phân tích: Mẫu tăng không bị chặn và luôn dương.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Mẫu tăng không bị chặn và luôn dương.
- Bước 2: Giới hạn bằng 0.
- Bước 3: Kết luận 0.
Vì sao: Với mọi ε > 0, chọn n > (1/ε)^(1/1) thì 1/n^1 < ε.
Cách khác: So sánh với 1/n khi n ≥ 1.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cho rằng mẫu tiến tới vô cực nên thương không xác định.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • C5-TH-14
Đề bài: Tính lim (x→2) [√(x + 1) − √3]/(x − 2).
Phân tích: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
- Bước 2: Giới hạn bằng 1/(2√3).
- Bước 3: Kết luận 1/(2√3).
Vì sao: Sau liên hợp, biểu thức bằng 1/[√(x + 1) + √3] với x ≠ 2.
Cách khác: Nhìn như tỉ số sai phân của hàm căn.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Nhân liên hợp nhưng quên nhân mẫu.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • C5-VD-04
Đề bài: Tính lim (n→∞) 1/n^1.
Phân tích: Mẫu tăng không bị chặn và luôn dương.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Mẫu tăng không bị chặn và luôn dương.
- Bước 2: Giới hạn bằng 0.
- Bước 3: Kết luận 0.
Vì sao: Với mọi ε > 0, chọn n > (1/ε)^(1/1) thì 1/n^1 < ε.
Cách khác: So sánh với 1/n khi n ≥ 1.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cho rằng mẫu tiến tới vô cực nên thương không xác định.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • C5-VD-14
Đề bài: Tính lim (x→2) [√(x + 1) − √3]/(x − 2).
Phân tích: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
- Bước 2: Giới hạn bằng 1/(2√3).
- Bước 3: Kết luận 1/(2√3).
Vì sao: Sau liên hợp, biểu thức bằng 1/[√(x + 1) + √3] với x ≠ 2.
Cách khác: Nhìn như tỉ số sai phân của hàm căn.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Nhân liên hợp nhưng quên nhân mẫu.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • C5-VDC-04
Đề bài: Tính lim (n→∞) 1/n^1.
Phân tích: Mẫu tăng không bị chặn và luôn dương.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Mẫu tăng không bị chặn và luôn dương.
- Bước 2: Giới hạn bằng 0.
- Bước 3: Kết luận 0.
Vì sao: Với mọi ε > 0, chọn n > (1/ε)^(1/1) thì 1/n^1 < ε.
Cách khác: So sánh với 1/n khi n ≥ 1.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cho rằng mẫu tiến tới vô cực nên thương không xác định.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • C5-VDC-14
Đề bài: Tính lim (x→2) [√(x + 1) − √3]/(x − 2).
Phân tích: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
- Bước 2: Giới hạn bằng 1/(2√3).
- Bước 3: Kết luận 1/(2√3).
Vì sao: Sau liên hợp, biểu thức bằng 1/[√(x + 1) + √3] với x ≠ 2.
Cách khác: Nhìn như tỉ số sai phân của hàm căn.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Nhân liên hợp nhưng quên nhân mẫu.
09 • Thực tếVí dụ 9 • C5-TT-04
Đề bài: Tính lim (n→∞) 1/n^1.
Phân tích: Mẫu tăng không bị chặn và luôn dương.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Mẫu tăng không bị chặn và luôn dương.
- Bước 2: Giới hạn bằng 0.
- Bước 3: Kết luận 0.
Vì sao: Với mọi ε > 0, chọn n > (1/ε)^(1/1) thì 1/n^1 < ε.
Cách khác: So sánh với 1/n khi n ≥ 1.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Cho rằng mẫu tiến tới vô cực nên thương không xác định.
10 • Thực tếVí dụ 10 • C5-TT-14
Đề bài: Tính lim (x→2) [√(x + 1) − √3]/(x − 2).
Phân tích: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn định lí rồi mới tính hoặc kết luận.
- Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
- Bước 2: Giới hạn bằng 1/(2√3).
- Bước 3: Kết luận 1/(2√3).
Vì sao: Sau liên hợp, biểu thức bằng 1/[√(x + 1) + √3] với x ≠ 2.
Cách khác: Nhìn như tỉ số sai phân của hàm căn.
Tự kiểm: Đối chiếu điều kiện và chặn lỗi: Nhân liên hợp nhưng quên nhân mẫu.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Giới hạn của dãy số trong gia đình
Chọn mô hình, kiểm điều kiện và diễn giải kết quả trong bối cảnh lãi kép, sai số lặp, làm nguội, xấp xỉ số và tăng trưởng dài hạn.
Giới hạn của hàm số trong trường học
Chọn mô hình, kiểm điều kiện và diễn giải kết quả trong bối cảnh tốc độ tức thời, tín hiệu gần ngưỡng, chi phí biên, mô hình chuyển trạng thái và tiệm cận.
Hàm số liên tục trong đời sống
Chọn mô hình, kiểm điều kiện và diễn giải kết quả trong bối cảnh cảm biến, điều khiển nhiệt độ, đường chuyển động, cân bằng thị trường và nghiệm phương trình.
Giới hạn của dãy số trong khoa học
Chọn mô hình, kiểm điều kiện và diễn giải kết quả trong bối cảnh lãi kép, sai số lặp, làm nguội, xấp xỉ số và tăng trưởng dài hạn.
Giới hạn của hàm số trong kỹ thuật
Chọn mô hình, kiểm điều kiện và diễn giải kết quả trong bối cảnh tốc độ tức thời, tín hiệu gần ngưỡng, chi phí biên, mô hình chuyển trạng thái và tiệm cận.
Hàm số liên tục trong sản xuất
Chọn mô hình, kiểm điều kiện và diễn giải kết quả trong bối cảnh cảm biến, điều khiển nhiệt độ, đường chuyển động, cân bằng thị trường và nghiệm phương trình.
Giới hạn của dãy số trong thiên nhiên
Chọn mô hình, kiểm điều kiện và diễn giải kết quả trong bối cảnh lãi kép, sai số lặp, làm nguội, xấp xỉ số và tăng trưởng dài hạn.
Giới hạn của hàm số trong nghề nghiệp
Chọn mô hình, kiểm điều kiện và diễn giải kết quả trong bối cảnh tốc độ tức thời, tín hiệu gần ngưỡng, chi phí biên, mô hình chuyển trạng thái và tiệm cận.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Giới hạn hữu hạn theo cách đơn giản?
Từ một lúc nào đó, số hạng nằm tùy ý gần số L. Mốc chính xác: lim uₙ=L nếu |uₙ−L| có thể nhỏ hơn mọi ε>0 khi n đủ lớn. Ví dụ: 1/n→0. Cách nhớ: Không cần chạm L; chỉ cần gần tùy ý. Cần tránh: Cho rằng phải có uₙ=L từ một chỉ số.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Thay n=∞
Cho rằng phải có uₙ=L từ một chỉ số. Sửa bằng quy trình: Không cần chạm L; chỉ cần gần tùy ý. Phép kiểm cuối: Giới hạn nếu có là duy nhất.
Dãy đổi dấu chắc chắn không hội tụ
Dùng qⁿ→0 khi |q|≥1. Sửa bằng quy trình: Kiểm điều kiện trước, biến đổi sau. Phép kiểm cuối: Dãy đổi dấu vẫn có thể về 0.
qⁿ→0 với mọi q
Xem ∞ như một số để trừ/chia tự do. Sửa bằng quy trình: Đặt bậc cao nhất ra ngoài. Phép kiểm cuối: Các dạng ∞−∞, ∞/∞ cần biến đổi.
Dùng quy tắc thương khi mẫu về 0
Cho rằng phải có uₙ=L từ một chỉ số. Sửa bằng quy trình: Không cần chạm L; chỉ cần gần tùy ý. Phép kiểm cuối: Giới hạn nếu có là duy nhất.
So bậc nhưng bỏ dấu hệ số
Dùng qⁿ→0 khi |q|≥1. Sửa bằng quy trình: Kiểm điều kiện trước, biến đổi sau. Phép kiểm cuối: Dãy đổi dấu vẫn có thể về 0.
Thay n=∞ – biến thể 6
Xem ∞ như một số để trừ/chia tự do. Sửa bằng quy trình: Đặt bậc cao nhất ra ngoài. Phép kiểm cuối: Các dạng ∞−∞, ∞/∞ cần biến đổi.
Dãy đổi dấu chắc chắn không hội tụ – biến thể 7
Cho rằng phải có uₙ=L từ một chỉ số. Sửa bằng quy trình: Không cần chạm L; chỉ cần gần tùy ý. Phép kiểm cuối: Giới hạn nếu có là duy nhất.
qⁿ→0 với mọi q – biến thể 8
Dùng qⁿ→0 khi |q|≥1. Sửa bằng quy trình: Kiểm điều kiện trước, biến đổi sau. Phép kiểm cuối: Dãy đổi dấu vẫn có thể về 0.
Dùng quy tắc thương khi mẫu về 0 – biến thể 9
Xem ∞ như một số để trừ/chia tự do. Sửa bằng quy trình: Đặt bậc cao nhất ra ngoài. Phép kiểm cuối: Các dạng ∞−∞, ∞/∞ cần biến đổi.
So bậc nhưng bỏ dấu hệ số – biến thể 10
Cho rằng phải có uₙ=L từ một chỉ số. Sửa bằng quy trình: Không cần chạm L; chỉ cần gần tùy ý. Phép kiểm cuối: Giới hạn nếu có là duy nhất.
Thay n=∞ – biến thể 11
Dùng qⁿ→0 khi |q|≥1. Sửa bằng quy trình: Kiểm điều kiện trước, biến đổi sau. Phép kiểm cuối: Dãy đổi dấu vẫn có thể về 0.
Dãy đổi dấu chắc chắn không hội tụ – biến thể 12
Xem ∞ như một số để trừ/chia tự do. Sửa bằng quy trình: Đặt bậc cao nhất ra ngoài. Phép kiểm cuối: Các dạng ∞−∞, ∞/∞ cần biến đổi.
qⁿ→0 với mọi q – biến thể 13
Cho rằng phải có uₙ=L từ một chỉ số. Sửa bằng quy trình: Không cần chạm L; chỉ cần gần tùy ý. Phép kiểm cuối: Giới hạn nếu có là duy nhất.
Dùng quy tắc thương khi mẫu về 0 – biến thể 14
Dùng qⁿ→0 khi |q|≥1. Sửa bằng quy trình: Kiểm điều kiện trước, biến đổi sau. Phép kiểm cuối: Dãy đổi dấu vẫn có thể về 0.
So bậc nhưng bỏ dấu hệ số – biến thể 15
Xem ∞ như một số để trừ/chia tự do. Sửa bằng quy trình: Đặt bậc cao nhất ra ngoài. Phép kiểm cuối: Các dạng ∞−∞, ∞/∞ cần biến đổi.
Thay n=∞ – biến thể 16
Cho rằng phải có uₙ=L từ một chỉ số. Sửa bằng quy trình: Không cần chạm L; chỉ cần gần tùy ý. Phép kiểm cuối: Giới hạn nếu có là duy nhất.
Dãy đổi dấu chắc chắn không hội tụ – biến thể 17
Dùng qⁿ→0 khi |q|≥1. Sửa bằng quy trình: Kiểm điều kiện trước, biến đổi sau. Phép kiểm cuối: Dãy đổi dấu vẫn có thể về 0.
qⁿ→0 với mọi q – biến thể 18
Xem ∞ như một số để trừ/chia tự do. Sửa bằng quy trình: Đặt bậc cao nhất ra ngoài. Phép kiểm cuối: Các dạng ∞−∞, ∞/∞ cần biến đổi.
Dùng quy tắc thương khi mẫu về 0 – biến thể 19
Cho rằng phải có uₙ=L từ một chỉ số. Sửa bằng quy trình: Không cần chạm L; chỉ cần gần tùy ý. Phép kiểm cuối: Giới hạn nếu có là duy nhất.
So bậc nhưng bỏ dấu hệ số – biến thể 20
Dùng qⁿ→0 khi |q|≥1. Sửa bằng quy trình: Kiểm điều kiện trước, biến đổi sau. Phép kiểm cuối: Dãy đổi dấu vẫn có thể về 0.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Hỏi điều kiện trước
Trước mỗi định lí, viết một dòng điều kiện; thiếu điều kiện thì chưa được biến đổi.
Hai biểu diễn
Ghép lời giải đại số với hình, bảng, đồ thị hoặc tọa độ để tự kiểm.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, vì sao sai và phép kiểm sẽ dùng ở lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn bài sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
Ước lượng trước
Dự đoán vị trí, dấu, độ lớn hoặc dạng kết quả trước khi tính.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Bài tập cuối Chương 51 2 3 4 5 6 7 8
Giới hạn hữu hạnlim uₙ=L nếu |uₙ−L| có thể nhỏ hơn mọi ε>0 khi n đủ lớn. Không cần chạm L; chỉ cần gần tùy ý.
Giới hạn cơ bản và quy tắc1/nᵏ→0; qⁿ→0 nếu |q|<1; quy tắc tổng, tích, thương với mẫu giới hạn ≠0. Kiểm điều kiện trước, biến đổi sau.
Giới hạn vô cựcuₙ→+∞ nếu với mọi M>0, uₙ>M khi n đủ lớn. Đặt bậc cao nhất ra ngoài.
Giới hạn tại điểmlim(x→a)f(x)=L; tồn tại iff giới hạn trái = giới hạn phải =L. Tách 'gần a' khỏi 'tại a'.
Khử dạng 0/0Phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp; giữ điều kiện x≠a trong bước biến đổi. Khử nguyên nhân tạo 0/0, không khử điều kiện.
Một phía và vô cựclim x→a−, lim x→a+; lim x→±∞. Hai phía phải khớp mới ghép.
Liên tục tại một điểmf liên tục tại a ⇔ f(a) xác định, lim(x→a)f(x) tồn tại và lim=f(a). Đủ ba: có giá trị, có giới hạn, bằng nhau.
Liên tục trên tậpĐa thức liên tục trên ℝ; hữu tỉ liên tục nơi mẫu khác 0. Tìm miền xác định trước.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
C5-NB-01Rút gọn phân thức (x² − 9)/(x − 3) với x ≠ 3.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Phân tích tử thành hiệu hai bình phương.
Lời giải: (x² − 9)/(x − 3) = x + 3, với x ≠ 3.
Vì sao: Biểu thức rút gọn bằng biểu thức ban đầu trên miền x khác a, không làm a trở lại miền xác định.
Sai ở đâu: Khẳng định hai biểu thức bằng nhau cả tại x = 3.
Cách khác: Nhân (x − a)(x + a) rồi khử nhân tử chung.
C5-NB-02Phân tích x² − 16 thành nhân tử.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 16 = (x − 4)(x + 4).
Vì sao: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Sai ở đâu: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
C5-NB-03Dãy uₙ = (−1/3)ⁿ là cấp số nhân có công bội nào?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So uₙ₊₁/uₙ.
Lời giải: Công bội q = −1/3.
Vì sao: Dãy hình học với |q| < 1 tiến dần về 0 khi n tăng.
Sai ở đâu: Bỏ dấu âm của công bội.
Cách khác: Tính hai số hạng liên tiếp rồi lấy tỉ số.
C5-NB-04Tính lim (n→∞) 1/n^1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mẫu tăng không bị chặn và luôn dương.
Lời giải: Giới hạn bằng 0.
Vì sao: Với mọi ε > 0, chọn n > (1/ε)^(1/1) thì 1/n^1 < ε.
Sai ở đâu: Cho rằng mẫu tiến tới vô cực nên thương không xác định.
Cách khác: So sánh với 1/n khi n ≥ 1.
C5-NB-05Tính lim (x→+∞) (3x² + 1)/(4x² + x).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chia tử và mẫu cho x².
Lời giải: Giới hạn bằng 3/4.
Vì sao: Hai đa thức cùng bậc nên giới hạn là tỉ số hệ số của x².
Sai ở đâu: Lấy tỉ số các hằng số 1/0.
Cách khác: Dùng bảng bậc và hệ số đầu.
C5-NB-06Xét f(x) = x² − 16 trên [0; 5]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Lời giải: f(0) = −16 < 0, f(5) = 9 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 5) sao cho f(c)=0; thực tế c=4.
Vì sao: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Sai ở đâu: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
C5-NB-07Tính lim (n→∞) (5n + 1)/(2n² + 5).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
Lời giải: Giới hạn bằng 0.
Vì sao: Chia tử và mẫu cho n²; tử trở thành a/n + 1/n².
Sai ở đâu: Lấy tỉ số hệ số đầu dù hai đa thức khác bậc.
Cách khác: So sánh độ lớn với C/n khi n đủ lớn.
C5-NB-08Tính lim (x→1) (x² − 1)/(x − 1).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Phân tích hiệu hai bình phương; chỉ khử khi x ≠ a.
Lời giải: Với x ≠ 1, biểu thức bằng x + 1; giới hạn bằng 2.
Vì sao: Giới hạn xét các giá trị x gần a, không bắt buộc biểu thức phải xác định tại a.
Sai ở đâu: Thay trực tiếp được 0/0 rồi kết luận giới hạn bằng 0.
Cách khác: Nhận đây là tỉ số sai phân của f(x)=x² tại x=a.
C5-NB-09Hàm f(x) = 1/(x − 2) liên tục trên tập nào?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hàm hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0.
Lời giải: f liên tục trên (−∞; 2) và (2; +∞), hay ℝ \ {2}.
Vì sao: Tại x = 2, hàm không xác định nên không thể liên tục.
Sai ở đâu: Kết luận liên tục trên ℝ vì tử và mẫu đều là đa thức.
Cách khác: Tìm miền xác định trước.
C5-NB-10Tính lim (n→∞) (−1/4)^n.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xét trị tuyệt đối của công bội.
Lời giải: Giới hạn bằng 0.
Vì sao: Dấu luân phiên nhưng độ lớn (1/4)^n tiến về 0 vì 1/4 < 1.
Sai ở đâu: Thấy đổi dấu rồi kết luận không có giới hạn.
Cách khác: Dùng định lí qⁿ → 0 khi |q| < 1.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[C5-NB-01] Rút gọn phân thức (x² − 9)/(x − 3) với x ≠ 3.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Rút gọn phân thức (x² − 9)/(x − 3) với x ≠ 3.
Gợi ý: Phân tích tử thành hiệu hai bình phương.
Lời giải: (x² − 9)/(x − 3) = x + 3, với x ≠ 3.
Giải thích: Biểu thức rút gọn bằng biểu thức ban đầu trên miền x khác a, không làm a trở lại miền xác định.
Lỗi cần tránh: Khẳng định hai biểu thức bằng nhau cả tại x = 3.
Cách khác: Nhân (x − a)(x + a) rồi khử nhân tử chung.
TỰ LUẬN 2Xét f(x) = x² − 16 trên [0; 5]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Gợi ý: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Lời giải: f(0) = −16 < 0, f(5) = 9 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 5) sao cho f(c)=0; thực tế c=4.
Giải thích: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
TỰ LUẬN 3Xét lim (x→4) |x − 4|/(x − 4).
Gợi ý: Tính riêng khi x < a và x > a.
Lời giải: Giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải bằng 1 nên giới hạn hai phía không tồn tại.
Giải thích: Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại điểm không tồn tại.
Lỗi cần tránh: Rút gọn |x−a| thành x−a ở cả hai phía.
Cách khác: Vẽ hàm dấu gồm hai đoạn ngang y=−1 và y=1.
TỰ LUẬN 4Tính lim (n→∞) (4n² + 7n + 1).
Gợi ý: Đặt n² ra ngoài và xét dấu hệ số đầu.
Lời giải: +∞.
Giải thích: Biểu thức = n²(4 + 7/n + 1/n²); ngoặc tiến tới 4 > 0.
Lỗi cần tránh: Chỉ giữ số hạng tự do 1.
Cách khác: So sánh từ một mốc đủ lớn với một bội dương của n².
TỰ LUẬN 5Dãy uₙ = (−1/3)ⁿ là cấp số nhân có công bội nào?
Gợi ý: So uₙ₊₁/uₙ.
Lời giải: Công bội q = −1/3.
Giải thích: Dãy hình học với |q| < 1 tiến dần về 0 khi n tăng.
Lỗi cần tránh: Bỏ dấu âm của công bội.
Cách khác: Tính hai số hạng liên tiếp rồi lấy tỉ số.
TỰ LUẬN 6Xét f(x) = x² − 16 trên [0; 5]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Gợi ý: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Lời giải: f(0) = −16 < 0, f(5) = 9 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 5) sao cho f(c)=0; thực tế c=4.
Giải thích: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
TỰ LUẬN 7Xét lim (x→4) |x − 4|/(x − 4).
Gợi ý: Tính riêng khi x < a và x > a.
Lời giải: Giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải bằng 1 nên giới hạn hai phía không tồn tại.
Giải thích: Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại điểm không tồn tại.
Lỗi cần tránh: Rút gọn |x−a| thành x−a ở cả hai phía.
Cách khác: Vẽ hàm dấu gồm hai đoạn ngang y=−1 và y=1.
TỰ LUẬN 8Tính lim (n→∞) (4n² + 6n + 1).
Gợi ý: Đặt n² ra ngoài và xét dấu hệ số đầu.
Lời giải: +∞.
Giải thích: Biểu thức = n²(4 + 6/n + 1/n²); ngoặc tiến tới 4 > 0.
Lỗi cần tránh: Chỉ giữ số hạng tự do 1.
Cách khác: So sánh từ một mốc đủ lớn với một bội dương của n².
TỰ LUẬN 9Phân tích x² − 9 thành nhân tử.
Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Lời giải: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Giải thích: Phân tích nhân tử giúp khử nhân tử gây dạng 0/0, nhưng chỉ khử khi x khác mốc.
Lỗi cần tránh: Viết thành (x − a)².
Cách khác: Nhân ngược hai nhân tử để kiểm.
TỰ LUẬN 10Xét f(x) = x² − 16 trên [0; 5]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Gợi ý: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Lời giải: f(0) = −16 < 0, f(5) = 9 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 5) sao cho f(c)=0; thực tế c=4.
Giải thích: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
TỰ LUẬN 11Xét lim (x→4) |x − 4|/(x − 4).
Gợi ý: Tính riêng khi x < a và x > a.
Lời giải: Giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải bằng 1 nên giới hạn hai phía không tồn tại.
Giải thích: Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại điểm không tồn tại.
Lỗi cần tránh: Rút gọn |x−a| thành x−a ở cả hai phía.
Cách khác: Vẽ hàm dấu gồm hai đoạn ngang y=−1 và y=1.
TỰ LUẬN 12Tính lim (n→∞) (4n² + 5n + 1).
Gợi ý: Đặt n² ra ngoài và xét dấu hệ số đầu.
Lời giải: +∞.
Giải thích: Biểu thức = n²(4 + 5/n + 1/n²); ngoặc tiến tới 4 > 0.
Lỗi cần tránh: Chỉ giữ số hạng tự do 1.
Cách khác: So sánh từ một mốc đủ lớn với một bội dương của n².
TỰ LUẬN 13Rút gọn phân thức (x² − 9)/(x − 3) với x ≠ 3.
Gợi ý: Phân tích tử thành hiệu hai bình phương.
Lời giải: (x² − 9)/(x − 3) = x + 3, với x ≠ 3.
Giải thích: Biểu thức rút gọn bằng biểu thức ban đầu trên miền x khác a, không làm a trở lại miền xác định.
Lỗi cần tránh: Khẳng định hai biểu thức bằng nhau cả tại x = 3.
Cách khác: Nhân (x − a)(x + a) rồi khử nhân tử chung.
TỰ LUẬN 14Xét f(x) = x² − 16 trên [0; 5]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Gợi ý: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Lời giải: f(0) = −16 < 0, f(5) = 9 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 5) sao cho f(c)=0; thực tế c=4.
Giải thích: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
TỰ LUẬN 15Xét lim (x→4) |x − 4|/(x − 4).
Gợi ý: Tính riêng khi x < a và x > a.
Lời giải: Giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải bằng 1 nên giới hạn hai phía không tồn tại.
Giải thích: Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại điểm không tồn tại.
Lỗi cần tránh: Rút gọn |x−a| thành x−a ở cả hai phía.
Cách khác: Vẽ hàm dấu gồm hai đoạn ngang y=−1 và y=1.
TỰ LUẬN 16Tính lim (n→∞) (4n² + 4n + 1).
Gợi ý: Đặt n² ra ngoài và xét dấu hệ số đầu.
Lời giải: +∞.
Giải thích: Biểu thức = n²(4 + 4/n + 1/n²); ngoặc tiến tới 4 > 0.
Lỗi cần tránh: Chỉ giữ số hạng tự do 1.
Cách khác: So sánh từ một mốc đủ lớn với một bội dương của n².
TỰ LUẬN 17Dãy uₙ = (−1/3)ⁿ là cấp số nhân có công bội nào?
Gợi ý: So uₙ₊₁/uₙ.
Lời giải: Công bội q = −1/3.
Giải thích: Dãy hình học với |q| < 1 tiến dần về 0 khi n tăng.
Lỗi cần tránh: Bỏ dấu âm của công bội.
Cách khác: Tính hai số hạng liên tiếp rồi lấy tỉ số.
TỰ LUẬN 18Xét f(x) = x² − 16 trên [0; 5]. Dùng định lí giá trị trung gian để khẳng định nghiệm.
Gợi ý: Tính f(0) và f(n+1), rồi xét dấu.
Lời giải: f(0) = −16 < 0, f(5) = 9 > 0. Vì f liên tục, tồn tại c ∈ (0; 5) sao cho f(c)=0; thực tế c=4.
Giải thích: Đổi dấu ở hai đầu cùng tính liên tục bảo đảm đồ thị cắt trục hoành.
Lỗi cần tránh: Chỉ thấy đổi dấu nhưng quên nêu hàm liên tục trên đoạn.
Cách khác: Phân tích f(x)=(x−n)(x+n) để kiểm nghiệm.
TỰ LUẬN 19Xét lim (x→4) |x − 4|/(x − 4).
Gợi ý: Tính riêng khi x < a và x > a.
Lời giải: Giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải bằng 1 nên giới hạn hai phía không tồn tại.
Giải thích: Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại điểm không tồn tại.
Lỗi cần tránh: Rút gọn |x−a| thành x−a ở cả hai phía.
Cách khác: Vẽ hàm dấu gồm hai đoạn ngang y=−1 và y=1.
TỰ LUẬN 20Tính lim (n→∞) (4n² + 3n + 1).
Gợi ý: Đặt n² ra ngoài và xét dấu hệ số đầu.
Lời giải: +∞.
Giải thích: Biểu thức = n²(4 + 3/n + 1/n²); ngoặc tiến tới 4 > 0.
Lỗi cần tránh: Chỉ giữ số hạng tự do 1.
Cách khác: So sánh từ một mốc đủ lớn với một bội dương của n².
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: C5-NB-01, C5-NB-02, C5-NB-03, C5-NB-04, C5-NB-05, C5-NB-06, C5-NB-07, C5-NB-08, C5-NB-09, C5-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C5-NB-01: x + 3, x ≠ 3
- C5-NB-02: (x − 4)(x + 4)
- C5-NB-03: −1/3
- C5-NB-04: 0
- C5-NB-05: 3/4
- C5-NB-06: Có nghiệm c = 4
- C5-NB-07: 0
- C5-NB-08: 2
- C5-NB-09: ℝ \ {2}
- C5-NB-10: 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 5
10 câu đại diện: C5-NB-11, C5-NB-12, C5-NB-13, C5-NB-14, C5-NB-15, C5-NB-16, C5-NB-17, C5-NB-18, C5-NB-19, C5-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C5-NB-11: Không tồn tại
- C5-NB-12: Có ít nhất một nghiệm trong khoảng
- C5-NB-13: 1/4
- C5-NB-14: 1/(2√3)
- C5-NB-15: k = 1
- C5-NB-16: +∞
- C5-NB-17: 77
- C5-NB-18: Có
- C5-NB-19: 0
- C5-NB-20: 3/3
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: C5-TH-01, C5-TH-02, C5-TH-03, C5-TH-04, C5-TH-05, C5-TH-06, C5-TH-07, C5-TH-08, C5-TH-09, C5-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C5-TH-01: −1/3
- C5-TH-02: x + 4, x ≠ 4
- C5-TH-03: (x − 5)(x + 5)
- C5-TH-04: 0
- C5-TH-05: 3/4
- C5-TH-06: Có nghiệm c = 4
- C5-TH-07: 0
- C5-TH-08: 2
- C5-TH-09: ℝ \ {2}
- C5-TH-10: 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: C5-TH-11, C5-TH-12, C5-TH-13, C5-TH-14, C5-TH-15, C5-TH-16, C5-TH-17, C5-TH-18, C5-TH-19, C5-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C5-TH-11: Không tồn tại
- C5-TH-12: Có ít nhất một nghiệm trong khoảng
- C5-TH-13: 1/4
- C5-TH-14: 1/(2√3)
- C5-TH-15: k = 1
- C5-TH-16: +∞
- C5-TH-17: 77
- C5-TH-18: Có
- C5-TH-19: 0
- C5-TH-20: 3/3
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: C5-VD-01, C5-VD-02, C5-VD-03, C5-VD-04, C5-VD-05, C5-VD-06, C5-VD-07, C5-VD-08, C5-VD-09, C5-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C5-VD-01: (x − 3)(x + 3)
- C5-VD-02: 1/2
- C5-VD-03: x + 5, x ≠ 5
- C5-VD-04: 0
- C5-VD-05: 3/4
- C5-VD-06: Có nghiệm c = 4
- C5-VD-07: 0
- C5-VD-08: 2
- C5-VD-09: ℝ \ {2}
- C5-VD-10: 0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 35–50 phút, nghỉ ngắn rồi mới chuyển dạng.
- Hỏi con 'điều kiện nào cho phép dùng định lí?' thay vì chỉ hỏi đáp số.
- Theo dõi ba lỗi lặp lại gần nhất và lịch ôn 1–7–30.
- Khuyến khích con vẽ hình hoặc mô tả xu thế bằng lời trước khi tính.
- Mở bài bằng phản ví dụ để học sinh thấy điều kiện bị thiếu.
- Chấm mốc suy luận và điều kiện, không chỉ chấm kết quả cuối.
- Cho học sinh giải thích một lời giải sai trước khi chữa mẫu.
- Đề nội bộ định hướng Hà Nội phải ghi rõ tính tham khảo, không giả danh đề chính thức.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.