Nhìn quy luật có điều kiện
Bài học biến tăng trưởng theo tỉ lệ, thang đo, tài chính, vật lí và mô hình phân rã thành mô hình có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Căn bậc chẵn của số dương lấy giá trị không âm.
- Với a>0, a^(m/n)=√[n]{aᵐ}.
- aˣaʸ=aˣ⁺ʸ; aˣ/aʸ=aˣ⁻ʸ.
Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực
Mở rộng lũy thừa từ số mũ nguyên sang hữu tỉ và thực; làm chủ căn bậc n, tính chất số mũ và cách biến đổi an toàn.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Lập luận và đo lường
Biết gọi dữ kiện, kiểm điều kiện, chọn công cụ và diễn giải kết quả.
Nối đúng nền
Kích hoạt lũy thừa số mũ nguyên, căn thức, giới hạn dãy và biến đổi đại số rồi chuẩn bị cho Bài 19. Lôgarit.
Ví dụ – phản ví dụ – tự kiểm
Mỗi quy tắc có trường hợp đúng, trường hợp thiếu điều kiện và phép kiểm độc lập.
- Nêu đúng căn bậc n và điều kiện tồn tại.
- Tính lũy thừa số mũ hữu tỉ.
- Dùng quy tắc số mũ thực với cơ số dương.
- Rút gọn biểu thức và tự kiểm bằng giá trị số.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Lũy thừa số mũ nguyên, căn thức, giới hạn dãy và biến đổi đại số.
- Viết điều kiện hoặc quan hệ hình học trước khi tính.
- Ước lượng dấu, miền, góc, khoảng cách hoặc thể tích.
- Kiểm bằng thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Căn bậc n
Hiểu đơn giản: Tìm số mà nâng lên bậc n cho lại số ban đầu.
n chẵn: a≥0 và √[n]{a}≥0; n lẻ: nhận mọi a thực.
Ví dụ: √[3]{−8}=−2; √16=4.
Hình nên dùng: Hai nhánh chẵn và lẻ trên trục số.
Mô phỏng: Đổi n và số dưới căn.
Mẹo nhớ: Chẵn kiểm dấu; lẻ giữ dấu.
Sai lầm: Viết √16=±4.
Ghi chú: Phương trình x²=16 mới có hai nghiệm ±4.
Số mũ hữu tỉ và thực
Hiểu đơn giản: Căn và lũy thừa được ghép thành một ngôn ngữ.
a^(m/n)=√[n]{aᵐ}, a>0; aˣ với x thực được xác định nhất quán bằng giới hạn.
Ví dụ: 8^(2/3)=4.
Hình nên dùng: Trục số mũ từ nguyên tới thực.
Mô phỏng: Kéo số mũ và quan sát aˣ.
Mẹo nhớ: Cơ số dương giữ mọi giá trị xác định.
Sai lầm: Dùng công thức cho a<0 tùy ý.
Ghi chú: Phân số m/n có thể rút gọn nhưng giá trị không đổi khi a>0.
Quy tắc lũy thừa
Hiểu đơn giản: Cùng cơ số thì thao tác trên số mũ.
aˣaʸ=aˣ⁺ʸ; aˣ/aʸ=aˣ⁻ʸ; (aˣ)ʸ=aˣʸ; (ab)ˣ=aˣbˣ với cơ số dương.
Ví dụ: 2^√2·2^(1−√2)=2.
Hình nên dùng: Cây phép toán tương ứng cộng–trừ–nhân số mũ.
Mô phỏng: Thay x,y bằng số thực.
Mẹo nhớ: Nhân→cộng, chia→trừ, lồng→nhân.
Sai lầm: Nhân hai số mũ khi nhân hai lũy thừa.
Ghi chú: Luôn kiểm miền trước khi biến đổi.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB MŨ – LÔGARIT
Kiểm điều kiện trước, tính giá trị sau
Thay cơ số a, số mũ x và đối số b. Công cụ chỉ tính logₐb khi a > 0, a ≠ 1 và b > 0.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B18-NB-04
Đề bài: Tính căn bậc 3 của 8.
Phân tích: Căn bậc lẻ giữ được dấu của số dưới căn.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Căn bậc lẻ giữ được dấu của số dưới căn.
- Bước 2: √[3]{8} = 2.
- Bước 3: Kết luận 2.
Vì sao: Căn bậc n của số dương là số dương có lũy thừa bậc n bằng số đã cho.
Cách khác: Kiểm: 2^3 = 8.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Với căn chẵn, viết cả ±base.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B18-NB-14
Đề bài: Tính căn bậc 3 của 27.
Phân tích: Căn bậc lẻ giữ được dấu của số dưới căn.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Căn bậc lẻ giữ được dấu của số dưới căn.
- Bước 2: √[3]{27} = 3.
- Bước 3: Kết luận 3.
Vì sao: Căn bậc n của số dương là số dương có lũy thừa bậc n bằng số đã cho.
Cách khác: Kiểm: 3^3 = 27.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Với căn chẵn, viết cả ±base.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B18-TH-04
Đề bài: Rút gọn (4^4)^4.
Phân tích: Lũy thừa của lũy thừa thì nhân các số mũ.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Lũy thừa của lũy thừa thì nhân các số mũ.
- Bước 2: (4^4)^4 = 4^16 = 4294967296.
- Bước 3: Kết luận 4294967296.
Vì sao: Quy tắc (aˣ)ʸ=aˣʸ dùng cơ số dương trong phạm vi số mũ thực.
Cách khác: Hiểu là tích n thừa số aᵐ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng số mũ m+n.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B18-TH-14
Đề bài: Rút gọn (4^2)^2.
Phân tích: Lũy thừa của lũy thừa thì nhân các số mũ.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Lũy thừa của lũy thừa thì nhân các số mũ.
- Bước 2: (4^2)^2 = 4^4 = 256.
- Bước 3: Kết luận 256.
Vì sao: Quy tắc (aˣ)ʸ=aˣʸ dùng cơ số dương trong phạm vi số mũ thực.
Cách khác: Hiểu là tích n thừa số aᵐ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng số mũ m+n.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B18-VD-04
Đề bài: Rút gọn 3^6/3^3.
Phân tích: Trừ số mũ của mẫu khỏi số mũ của tử.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Trừ số mũ của mẫu khỏi số mũ của tử.
- Bước 2: 3^6/3^3 = 3^3 = 27.
- Bước 3: Kết luận 27.
Vì sao: Mẫu khác 0 vì cơ số dương.
Cách khác: Viết tử thành aᵐ·aⁿ rồi khử aⁿ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chia hai số mũ.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B18-VD-14
Đề bài: Rút gọn 3^6/3^1.
Phân tích: Trừ số mũ của mẫu khỏi số mũ của tử.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Trừ số mũ của mẫu khỏi số mũ của tử.
- Bước 2: 3^6/3^1 = 3^5 = 243.
- Bước 3: Kết luận 243.
Vì sao: Mẫu khác 0 vì cơ số dương.
Cách khác: Viết tử thành aᵐ·aⁿ rồi khử aⁿ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chia hai số mũ.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B18-VDC-04
Đề bài: Rút gọn 2^2·2^2.
Phân tích: Cộng số mũ vì hai lũy thừa cùng cơ số.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Cộng số mũ vì hai lũy thừa cùng cơ số.
- Bước 2: 2^2·2^2 = 2^4 = 16.
- Bước 3: Kết luận 16.
Vì sao: Quy tắc aˣaʸ=aˣ⁺ʸ đúng với a>0 khi số mũ là số thực.
Cách khác: Tính riêng hai lũy thừa rồi nhân để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Nhân hai số mũ.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B18-VDC-14
Đề bài: Rút gọn 2^4·2^4.
Phân tích: Cộng số mũ vì hai lũy thừa cùng cơ số.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Cộng số mũ vì hai lũy thừa cùng cơ số.
- Bước 2: 2^4·2^4 = 2^8 = 256.
- Bước 3: Kết luận 256.
Vì sao: Quy tắc aˣaʸ=aˣ⁺ʸ đúng với a>0 khi số mũ là số thực.
Cách khác: Tính riêng hai lũy thừa rồi nhân để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Nhân hai số mũ.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B18-TT-04
Đề bài: Tính (2)^(5/1).
Phân tích: Dùng a^(m/n)=√[n]{aᵐ} với a>0.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Dùng a^(m/n)=√[n]{aᵐ} với a>0.
- Bước 2: (2)^(5/1) = 2^5 = 32.
- Bước 3: Kết luận 32.
Vì sao: Cơ số dương cho phép quy tắc số mũ hữu tỉ hoạt động nhất quán.
Cách khác: Đưa về lũy thừa của lũy thừa.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Rút gọn m/n rồi quên cơ số đang là bⁿ.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B18-TT-14
Đề bài: Tính (27)^(3/3).
Phân tích: Dùng a^(m/n)=√[n]{aᵐ} với a>0.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Dùng a^(m/n)=√[n]{aᵐ} với a>0.
- Bước 2: (27)^(3/3) = 3^3 = 27.
- Bước 3: Kết luận 27.
Vì sao: Cơ số dương cho phép quy tắc số mũ hữu tỉ hoạt động nhất quán.
Cách khác: Đưa về lũy thừa của lũy thừa.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Rút gọn m/n rồi quên cơ số đang là bⁿ.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua lũy thừa với số mũ thực
Tình huống 1 dùng tăng trưởng theo tỉ lệ, thang đo, tài chính, vật lí và mô hình phân rã; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua lũy thừa với số mũ thực
Tình huống 2 dùng tăng trưởng theo tỉ lệ, thang đo, tài chính, vật lí và mô hình phân rã; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua lũy thừa với số mũ thực
Tình huống 3 dùng tăng trưởng theo tỉ lệ, thang đo, tài chính, vật lí và mô hình phân rã; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua lũy thừa với số mũ thực
Tình huống 4 dùng tăng trưởng theo tỉ lệ, thang đo, tài chính, vật lí và mô hình phân rã; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua lũy thừa với số mũ thực
Tình huống 5 dùng tăng trưởng theo tỉ lệ, thang đo, tài chính, vật lí và mô hình phân rã; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua lũy thừa với số mũ thực
Tình huống 6 dùng tăng trưởng theo tỉ lệ, thang đo, tài chính, vật lí và mô hình phân rã; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua lũy thừa với số mũ thực
Tình huống 7 dùng tăng trưởng theo tỉ lệ, thang đo, tài chính, vật lí và mô hình phân rã; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua lũy thừa với số mũ thực
Tình huống 8 dùng tăng trưởng theo tỉ lệ, thang đo, tài chính, vật lí và mô hình phân rã; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Căn bậc n theo cách đơn giản?
Tìm số mà nâng lên bậc n cho lại số ban đầu. Mốc chính xác: n chẵn: a≥0 và √[n]{a}≥0; n lẻ: nhận mọi a thực. Ví dụ: √[3]{−8}=−2; √16=4. Cách nhớ: Chẵn kiểm dấu; lẻ giữ dấu. Cần tránh: Viết √16=±4.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Căn chẵn có hai giá trị
Viết √16=±4. Sửa bằng: Chẵn kiểm dấu; lẻ giữ dấu. Kiểm cuối: Phương trình x²=16 mới có hai nghiệm ±4.
Dùng cơ số âm cho mọi số mũ thực
Dùng công thức cho a<0 tùy ý. Sửa bằng: Cơ số dương giữ mọi giá trị xác định. Kiểm cuối: Phân số m/n có thể rút gọn nhưng giá trị không đổi khi a>0.
Nhân số mũ khi nhân lũy thừa
Nhân hai số mũ khi nhân hai lũy thừa. Sửa bằng: Nhân→cộng, chia→trừ, lồng→nhân. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền trước khi biến đổi.
Cộng số mũ của lũy thừa lồng
Viết √16=±4. Sửa bằng: Chẵn kiểm dấu; lẻ giữ dấu. Kiểm cuối: Phương trình x²=16 mới có hai nghiệm ±4.
Bỏ điều kiện mẫu khác 0
Dùng công thức cho a<0 tùy ý. Sửa bằng: Cơ số dương giữ mọi giá trị xác định. Kiểm cuối: Phân số m/n có thể rút gọn nhưng giá trị không đổi khi a>0.
Căn chẵn có hai giá trị – biến thể 6
Nhân hai số mũ khi nhân hai lũy thừa. Sửa bằng: Nhân→cộng, chia→trừ, lồng→nhân. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền trước khi biến đổi.
Dùng cơ số âm cho mọi số mũ thực – biến thể 7
Viết √16=±4. Sửa bằng: Chẵn kiểm dấu; lẻ giữ dấu. Kiểm cuối: Phương trình x²=16 mới có hai nghiệm ±4.
Nhân số mũ khi nhân lũy thừa – biến thể 8
Dùng công thức cho a<0 tùy ý. Sửa bằng: Cơ số dương giữ mọi giá trị xác định. Kiểm cuối: Phân số m/n có thể rút gọn nhưng giá trị không đổi khi a>0.
Cộng số mũ của lũy thừa lồng – biến thể 9
Nhân hai số mũ khi nhân hai lũy thừa. Sửa bằng: Nhân→cộng, chia→trừ, lồng→nhân. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền trước khi biến đổi.
Bỏ điều kiện mẫu khác 0 – biến thể 10
Viết √16=±4. Sửa bằng: Chẵn kiểm dấu; lẻ giữ dấu. Kiểm cuối: Phương trình x²=16 mới có hai nghiệm ±4.
Căn chẵn có hai giá trị – biến thể 11
Dùng công thức cho a<0 tùy ý. Sửa bằng: Cơ số dương giữ mọi giá trị xác định. Kiểm cuối: Phân số m/n có thể rút gọn nhưng giá trị không đổi khi a>0.
Dùng cơ số âm cho mọi số mũ thực – biến thể 12
Nhân hai số mũ khi nhân hai lũy thừa. Sửa bằng: Nhân→cộng, chia→trừ, lồng→nhân. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền trước khi biến đổi.
Nhân số mũ khi nhân lũy thừa – biến thể 13
Viết √16=±4. Sửa bằng: Chẵn kiểm dấu; lẻ giữ dấu. Kiểm cuối: Phương trình x²=16 mới có hai nghiệm ±4.
Cộng số mũ của lũy thừa lồng – biến thể 14
Dùng công thức cho a<0 tùy ý. Sửa bằng: Cơ số dương giữ mọi giá trị xác định. Kiểm cuối: Phân số m/n có thể rút gọn nhưng giá trị không đổi khi a>0.
Bỏ điều kiện mẫu khác 0 – biến thể 15
Nhân hai số mũ khi nhân hai lũy thừa. Sửa bằng: Nhân→cộng, chia→trừ, lồng→nhân. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền trước khi biến đổi.
Căn chẵn có hai giá trị – biến thể 16
Viết √16=±4. Sửa bằng: Chẵn kiểm dấu; lẻ giữ dấu. Kiểm cuối: Phương trình x²=16 mới có hai nghiệm ±4.
Dùng cơ số âm cho mọi số mũ thực – biến thể 17
Dùng công thức cho a<0 tùy ý. Sửa bằng: Cơ số dương giữ mọi giá trị xác định. Kiểm cuối: Phân số m/n có thể rút gọn nhưng giá trị không đổi khi a>0.
Nhân số mũ khi nhân lũy thừa – biến thể 18
Nhân hai số mũ khi nhân hai lũy thừa. Sửa bằng: Nhân→cộng, chia→trừ, lồng→nhân. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền trước khi biến đổi.
Cộng số mũ của lũy thừa lồng – biến thể 19
Viết √16=±4. Sửa bằng: Chẵn kiểm dấu; lẻ giữ dấu. Kiểm cuối: Phương trình x²=16 mới có hai nghiệm ±4.
Bỏ điều kiện mẫu khác 0 – biến thể 20
Dùng công thức cho a<0 tùy ý. Sửa bằng: Cơ số dương giữ mọi giá trị xác định. Kiểm cuối: Phân số m/n có thể rút gọn nhưng giá trị không đổi khi a>0.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Điều kiện ở lề trái
Viết miền xác định hoặc giả thiết hình học trước dòng biến đổi đầu tiên.
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Ví dụ – phản ví dụ
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp đủ điều kiện và một trường hợp thiếu điều kiện.
Hai phép kiểm
Kiểm bằng biểu diễn thứ hai: thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, nguyên nhân sai và phép tự kiểm cho lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Lũy thừa với số mũ thực1 2 3
Căn bậc nn chẵn: a≥0 và √[n]{a}≥0; n lẻ: nhận mọi a thực. Chẵn kiểm dấu; lẻ giữ dấu.
Số mũ hữu tỉ và thựca^(m/n)=√[n]{aᵐ}, a>0; aˣ với x thực được xác định nhất quán bằng giới hạn. Cơ số dương giữ mọi giá trị xác định.
Quy tắc lũy thừaaˣaʸ=aˣ⁺ʸ; aˣ/aʸ=aˣ⁻ʸ; (aˣ)ʸ=aˣʸ; (ab)ˣ=aˣbˣ với cơ số dương. Nhân→cộng, chia→trừ, lồng→nhân.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B18-NB-01Tính lim (n→∞) (2n + 1)/(n + 2).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chia tử và mẫu cho n.
Lời giải: Giới hạn bằng 2.
Vì sao: Hai đa thức cùng bậc nên lấy tỉ số hệ số đầu.
Sai ở đâu: Thay n bằng kí hiệu ∞ như một số.
Cách khác: Dùng quy tắc so bậc.
B18-NB-02Rút gọn a^3·a³ với a > 0.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ.
Lời giải: a^3·a³ = a^6.
Vì sao: Quy tắc số mũ nguyên là nền để mở rộng sang số mũ thực.
Sai ở đâu: Nhân hai số mũ.
Cách khác: Viết mỗi lũy thừa thành tích rồi đếm thừa số.
B18-NB-03Giải phương trình 4x + 1 = 9.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chuyển 1 sang vế phải rồi chia cho hệ số a.
Lời giải: 4x = 8, nên x = 2.
Vì sao: Phương trình tuyến tính sẽ xuất hiện sau bước đưa hai lũy thừa về cùng cơ số.
Sai ở đâu: Chia trước khi chuyển hằng số.
Cách khác: Thay x = 2 vào phương trình gốc.
B18-NB-04Tính căn bậc 3 của 8.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Căn bậc lẻ giữ được dấu của số dưới căn.
Lời giải: √[3]{8} = 2.
Vì sao: Căn bậc n của số dương là số dương có lũy thừa bậc n bằng số đã cho.
Sai ở đâu: Với căn chẵn, viết cả ±base.
Cách khác: Kiểm: 2^3 = 8.
B18-NB-05Tính (9)^(2/2).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng a^(m/n)=√[n]{aᵐ} với a>0.
Lời giải: (9)^(2/2) = 3^2 = 9.
Vì sao: Cơ số dương cho phép quy tắc số mũ hữu tỉ hoạt động nhất quán.
Sai ở đâu: Rút gọn m/n rồi quên cơ số đang là bⁿ.
Cách khác: Đưa về lũy thừa của lũy thừa.
B18-NB-06Rút gọn 2^3·2^3.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng số mũ vì hai lũy thừa cùng cơ số.
Lời giải: 2^3·2^3 = 2^6 = 64.
Vì sao: Quy tắc aˣaʸ=aˣ⁺ʸ đúng với a>0 khi số mũ là số thực.
Sai ở đâu: Nhân hai số mũ.
Cách khác: Tính riêng hai lũy thừa rồi nhân để kiểm.
B18-NB-07Rút gọn 3^8/3^4.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Trừ số mũ của mẫu khỏi số mũ của tử.
Lời giải: 3^8/3^4 = 3^4 = 81.
Vì sao: Mẫu khác 0 vì cơ số dương.
Sai ở đâu: Chia hai số mũ.
Cách khác: Viết tử thành aᵐ·aⁿ rồi khử aⁿ.
B18-NB-08Rút gọn (4^5)^1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lũy thừa của lũy thừa thì nhân các số mũ.
Lời giải: (4^5)^1 = 4^5 = 1024.
Vì sao: Quy tắc (aˣ)ʸ=aˣʸ dùng cơ số dương trong phạm vi số mũ thực.
Sai ở đâu: Cộng số mũ m+n.
Cách khác: Hiểu là tích n thừa số aᵐ.
B18-NB-09Tính căn bậc 2 của 16.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Căn bậc chẵn lấy giá trị không âm.
Lời giải: √[2]{16} = 4.
Vì sao: Căn bậc n của số dương là số dương có lũy thừa bậc n bằng số đã cho.
Sai ở đâu: Với căn chẵn, viết cả ±base.
Cách khác: Kiểm: 4^2 = 16.
B18-NB-10Tính (8)^(3/3).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng a^(m/n)=√[n]{aᵐ} với a>0.
Lời giải: (8)^(3/3) = 2^3 = 8.
Vì sao: Cơ số dương cho phép quy tắc số mũ hữu tỉ hoạt động nhất quán.
Sai ở đâu: Rút gọn m/n rồi quên cơ số đang là bⁿ.
Cách khác: Đưa về lũy thừa của lũy thừa.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Với a>0, biểu thức a^2·a^3/a bằng:
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính lim (n→∞) (2n + 1)/(n + 2).
Gợi ý: Chia tử và mẫu cho n.
Lời giải: Giới hạn bằng 2.
Giải thích: Hai đa thức cùng bậc nên lấy tỉ số hệ số đầu.
Lỗi cần tránh: Thay n bằng kí hiệu ∞ như một số.
Cách khác: Dùng quy tắc so bậc.
TỰ LUẬN 2Rút gọn 2^3·2^3.
Gợi ý: Cộng số mũ vì hai lũy thừa cùng cơ số.
Lời giải: 2^3·2^3 = 2^6 = 64.
Giải thích: Quy tắc aˣaʸ=aˣ⁺ʸ đúng với a>0 khi số mũ là số thực.
Lỗi cần tránh: Nhân hai số mũ.
Cách khác: Tính riêng hai lũy thừa rồi nhân để kiểm.
TỰ LUẬN 3Rút gọn 2^4·2^4.
Gợi ý: Cộng số mũ vì hai lũy thừa cùng cơ số.
Lời giải: 2^4·2^4 = 2^8 = 256.
Giải thích: Quy tắc aˣaʸ=aˣ⁺ʸ đúng với a>0 khi số mũ là số thực.
Lỗi cần tránh: Nhân hai số mũ.
Cách khác: Tính riêng hai lũy thừa rồi nhân để kiểm.
TỰ LUẬN 4Rút gọn 2^5·2^1.
Gợi ý: Cộng số mũ vì hai lũy thừa cùng cơ số.
Lời giải: 2^5·2^1 = 2^6 = 64.
Giải thích: Quy tắc aˣaʸ=aˣ⁺ʸ đúng với a>0 khi số mũ là số thực.
Lỗi cần tránh: Nhân hai số mũ.
Cách khác: Tính riêng hai lũy thừa rồi nhân để kiểm.
TỰ LUẬN 5Tính lim (n→∞) (5n + 1)/(n + 2).
Gợi ý: Chia tử và mẫu cho n.
Lời giải: Giới hạn bằng 5.
Giải thích: Hai đa thức cùng bậc nên lấy tỉ số hệ số đầu.
Lỗi cần tránh: Thay n bằng kí hiệu ∞ như một số.
Cách khác: Dùng quy tắc so bậc.
TỰ LUẬN 6Tính (16)^(2/2).
Gợi ý: Dùng a^(m/n)=√[n]{aᵐ} với a>0.
Lời giải: (16)^(2/2) = 4^2 = 16.
Giải thích: Cơ số dương cho phép quy tắc số mũ hữu tỉ hoạt động nhất quán.
Lỗi cần tránh: Rút gọn m/n rồi quên cơ số đang là bⁿ.
Cách khác: Đưa về lũy thừa của lũy thừa.
TỰ LUẬN 7Tính (27)^(3/3).
Gợi ý: Dùng a^(m/n)=√[n]{aᵐ} với a>0.
Lời giải: (27)^(3/3) = 3^3 = 27.
Giải thích: Cơ số dương cho phép quy tắc số mũ hữu tỉ hoạt động nhất quán.
Lỗi cần tránh: Rút gọn m/n rồi quên cơ số đang là bⁿ.
Cách khác: Đưa về lũy thừa của lũy thừa.
TỰ LUẬN 8Tính (16)^(4/4).
Gợi ý: Dùng a^(m/n)=√[n]{aᵐ} với a>0.
Lời giải: (16)^(4/4) = 2^4 = 16.
Giải thích: Cơ số dương cho phép quy tắc số mũ hữu tỉ hoạt động nhất quán.
Lỗi cần tránh: Rút gọn m/n rồi quên cơ số đang là bⁿ.
Cách khác: Đưa về lũy thừa của lũy thừa.
TỰ LUẬN 9Tính lim (n→∞) (3n + 1)/(n + 2).
Gợi ý: Chia tử và mẫu cho n.
Lời giải: Giới hạn bằng 3.
Giải thích: Hai đa thức cùng bậc nên lấy tỉ số hệ số đầu.
Lỗi cần tránh: Thay n bằng kí hiệu ∞ như một số.
Cách khác: Dùng quy tắc so bậc.
TỰ LUẬN 10Với b>0, b^−3 bằng: Hãy nêu điều kiện trước khi biến đổi.
Gợi ý: Số mũ nguyên âm đổi lũy thừa thành nghịch đảo.
Lời giải: Số mũ nguyên âm đổi lũy thừa thành nghịch đảo. b^−3=1/b^3.
Giải thích: Số mũ nguyên âm đổi lũy thừa thành nghịch đảo. b^−3=1/b^3.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: power-negative-2-1
TỰ LUẬN 11Để lũy thừa x^√2 được định nghĩa theo lũy thừa số mũ vô tỉ, điều kiện của x là: Hãy nêu điều kiện trước khi biến đổi.
Gợi ý: Trong chương trình lớp 11, lũy thừa với số mũ vô tỉ được xác định cho cơ số dương.
Lời giải: Trong chương trình lớp 11, lũy thừa với số mũ vô tỉ được xác định cho cơ số dương. Do đó điều kiện đúng là x>0; x=0 không thuộc định nghĩa này.
Giải thích: Trong chương trình lớp 11, lũy thừa với số mũ vô tỉ được xác định cho cơ số dương. Do đó điều kiện đúng là x>0; x=0 không thuộc định nghĩa này.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: power-real-domain-4-1
TỰ LUẬN 12Căn bậc ba số học của 27² bằng bao nhiêu? Cần kiểm tra ngược kết quả bằng định nghĩa hoặc công thức gốc.
Gợi ý: Căn bậc ba của 27² được viết là 27^(2/3).
Lời giải: Căn bậc ba của 27² được viết là 27^(2/3). Vì 27=3³ nên giá trị bằng 3²=9.
Giải thích: Căn bậc ba của 27² được viết là 27^(2/3). Vì 27=3³ nên giá trị bằng 3²=9.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: short-power-third-1-2
TỰ LUẬN 13Tính lim (n→∞) n[√(n²+4n+8)−n−2]. Không thay ∞ như một số; trình bày phép nhân liên hợp và giới hạn từng thừa số.
Gợi ý: Nhân liên hợp với √(n²+4n+8)+n+2
Lời giải: Nhân liên hợp với √(n²+4n+8)+n+2. Hiệu bình phương của tử là 4; biểu thức thành 4n/[√(n²+4n+8)+n+2]. Chia mẫu cho n, mẫu tiến đến 2; giới hạn bằng 2.
Giải thích: Nhân liên hợp với √(n²+4n+8)+n+2. Hiệu bình phương của tử là 4; biểu thức thành 4n/[√(n²+4n+8)+n+2]. Chia mẫu cho n, mẫu tiến đến 2; giới hạn bằng 2.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 14Đặt u là căn bậc bốn số học của 81. Tính u³. Cần kiểm tra ngược kết quả bằng định nghĩa hoặc công thức gốc.
Gợi ý: Căn bậc bốn số học của 81=3⁴ là u=3.
Lời giải: Căn bậc bốn số học của 81=3⁴ là u=3. Do đó u³=3³=27.
Giải thích: Căn bậc bốn số học của 81=3⁴ là u=3. Do đó u³=3³=27.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: short-power-81-3-2
TỰ LUẬN 15Căn bậc ba số học của 27² bằng bao nhiêu? Hãy đối chiếu dấu, tính đơn điệu và trường hợp biên.
Gợi ý: Căn bậc ba của 27² được viết là 27^(2/3).
Lời giải: Căn bậc ba của 27² được viết là 27^(2/3). Vì 27=3³ nên giá trị bằng 3²=9.
Giải thích: Căn bậc ba của 27² được viết là 27^(2/3). Vì 27=3³ nên giá trị bằng 3²=9.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: short-power-third-1-3
TỰ LUẬN 16Để lũy thừa x^√2 được định nghĩa theo lũy thừa số mũ vô tỉ, điều kiện của x là: Hãy đối chiếu dấu, tính đơn điệu và trường hợp biên.
Gợi ý: Trong chương trình lớp 11, lũy thừa với số mũ vô tỉ được xác định cho cơ số dương.
Lời giải: Trong chương trình lớp 11, lũy thừa với số mũ vô tỉ được xác định cho cơ số dương. Do đó điều kiện đúng là x>0; x=0 không thuộc định nghĩa này.
Giải thích: Trong chương trình lớp 11, lũy thừa với số mũ vô tỉ được xác định cho cơ số dương. Do đó điều kiện đúng là x>0; x=0 không thuộc định nghĩa này.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: power-real-domain-4-3
TỰ LUẬN 17Tính lim (n→∞) (4n + 1)/(n + 2).
Gợi ý: Chia tử và mẫu cho n.
Lời giải: Giới hạn bằng 4.
Giải thích: Hai đa thức cùng bậc nên lấy tỉ số hệ số đầu.
Lỗi cần tránh: Thay n bằng kí hiệu ∞ như một số.
Cách khác: Dùng quy tắc so bậc.
TỰ LUẬN 18Với b>0, b^−6 bằng: Cần phản biện một cách hiểu sai thường gặp trước khi kết luận.
Gợi ý: Số mũ nguyên âm đổi lũy thừa thành nghịch đảo.
Lời giải: Số mũ nguyên âm đổi lũy thừa thành nghịch đảo. b^−6=1/b^6.
Giải thích: Số mũ nguyên âm đổi lũy thừa thành nghịch đảo. b^−6=1/b^6.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: power-negative-2-4
TỰ LUẬN 19Một mô hình cho A=2D^(3/2). Khi D=36, tính A. Cần phản biện một cách hiểu sai thường gặp trước khi kết luận.
Gợi ý: Vì D=6² nên D^(3/2)=(6²)^(3/2)=6³.
Lời giải: Vì D=6² nên D^(3/2)=(6²)^(3/2)=6³. Do đó A=2·6³=432.
Giải thích: Vì D=6² nên D^(3/2)=(6²)^(3/2)=6³. Do đó A=2·6³=432.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: short-model-power-4-4
TỰ LUẬN 20Viết (3^4)^2 dưới dạng 3^k. Số mũ k bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: (a^m)^n = a^(mn).
Lời giải: Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: (a^m)^n = a^(mn). k = 4·2 = 8.
Giải thích: Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: (a^m)^n = a^(mn). k = 4·2 = 8.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B18-NB-01, B18-NB-02, B18-NB-03, B18-NB-04, B18-NB-05, B18-NB-06, B18-NB-07, B18-NB-08, B18-NB-09, B18-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B18-NB-01: 2
- B18-NB-02: a^6
- B18-NB-03: x = 2
- B18-NB-04: 2
- B18-NB-05: 9
- B18-NB-06: 64
- B18-NB-07: 81
- B18-NB-08: 1024
- B18-NB-09: 4
- B18-NB-10: 8
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 6
10 câu đại diện: B18-NB-11, B18-NB-12, B18-NB-13, B18-NB-14, B18-NB-15, B18-NB-16, B18-NB-17, B18-NB-18, B18-NB-19, B18-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B18-NB-11: 256
- B18-NB-12: 243
- B18-NB-13: 256
- B18-NB-14: 3
- B18-NB-15: 256
- B18-NB-16: 64
- B18-NB-17: 9
- B18-NB-18: 262144
- B18-NB-19: 2
- B18-NB-20: 243
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B18-TH-01, B18-TH-02, B18-TH-03, B18-TH-04, B18-TH-05, B18-TH-06, B18-TH-07, B18-TH-08, B18-TH-09, B18-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B18-TH-01: 5
- B18-TH-02: a^5
- B18-TH-03: x = 2
- B18-TH-04: 4294967296
- B18-TH-05: a^4
- B18-TH-06: 16
- B18-TH-07: x^6
- B18-TH-08: 9
- B18-TH-09: 1/b^2
- B18-TH-10: 8
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B18-TH-11, B18-TH-12, B18-TH-13, B18-TH-14, B18-TH-15, B18-TH-16, B18-TH-17, B18-TH-18, B18-TH-19, B18-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B18-TH-11: 27
- B18-TH-12: c^(2/3)
- B18-TH-13: 27
- B18-TH-14: x>0
- B18-TH-15: 4
- B18-TH-16: 16
- B18-TH-17: 16
- B18-TH-18: a^6
- B18-TH-19: x^12
- B18-TH-20: 3
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B18-VD-01, B18-VD-02, B18-VD-03, B18-VD-04, B18-VD-05, B18-VD-06, B18-VD-07, B18-VD-08, B18-VD-09, B18-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B18-VD-01: 3
- B18-VD-02: a^8
- B18-VD-03: x = 2
- B18-VD-04: 27
- B18-VD-05: 9
- B18-VD-06: 1/b^3
- B18-VD-07: 4
- B18-VD-08: 8
- B18-VD-09: c^(3/4)
- B18-VD-10: 27
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.