Nhìn quy luật có điều kiện
Bài học biến khung nhà, robot ba trục, hệ tọa độ, kết cấu cơ khí và đường bay thành mô hình có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 22. Hai đường thẳng vuông góc
Xác định góc giữa hai đường thẳng, kể cả hai đường chéo nhau; chứng minh vuông góc bằng đường song song, hình phẳng hoặc tích vô hướng.
Trong không gian, hai đường chéo nhau vẫn có thể vuông góc
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Lập luận và đo lường
Biết gọi dữ kiện, kiểm điều kiện, chọn công cụ và diễn giải kết quả.
Nối đúng nền
Kích hoạt chương 4, vectơ và tích vô hướng toán 10 rồi chuẩn bị cho Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Ví dụ – phản ví dụ – tự kiểm
Mỗi quy tắc có trường hợp đúng, trường hợp thiếu điều kiện và phép kiểm độc lập.
- Định nghĩa góc giữa hai đường trong không gian.
- Nhận biết đường chéo nhau vuông góc.
- Dùng tích vô hướng kiểm góc.
- Khai thác mặt phẳng phụ và đường song song.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Chương 4, vectơ và tích vô hướng Toán 10.
- Viết điều kiện hoặc quan hệ hình học trước khi tính.
- Ước lượng dấu, miền, góc, khoảng cách hoặc thể tích.
- Kiểm bằng thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Góc giữa hai đường
Hiểu đơn giản: Tịnh tiến phương của hai đường về cùng một điểm rồi đo góc nhỏ hơn.
φ∈[0°,90°]; cosφ=|u·v|/(|u||v|).
Ví dụ: Hai trục Ox,Oy cho φ=90°.
Hình nên dùng: Hai vectơ đặt chung gốc.
Mô phỏng: Xoay một đường chéo về điểm chung.
Mẹo nhớ: Góc giữa phương, không phải góc nhìn.
Sai lầm: Bắt buộc hai đường giao nhau.
Ghi chú: Đường song song cho góc 0°.
Điều kiện vuông góc
Hiểu đơn giản: Tích vô hướng bằng 0 nghĩa là không có thành phần theo nhau.
u,v≠0: u·v=0 ⇔ u⊥v.
Ví dụ: (1,2,3)·(2,−1,0)=0.
Hình nên dùng: Ba thành phần tích vô hướng.
Mô phỏng: Thay tọa độ vectơ.
Mẹo nhớ: Nhân cùng vị trí rồi cộng.
Sai lầm: Nhân chéo tọa độ.
Ghi chú: Cần vectơ khác 0.
Chiến lược hình học
Hiểu đơn giản: Đưa đường về một mặt có tam giác hoặc hình vuông quen thuộc.
Dùng đường song song, định lí Pythagore hoặc tích vô hướng.
Ví dụ: Cạnh đứng và cạnh đáy hình lập phương.
Hình nên dùng: Tô mặt phẳng chứa đường chứng.
Mô phỏng: Chọn đường song song qua điểm.
Mẹo nhớ: Tạo giao điểm giả bằng đường song song.
Sai lầm: Đo trực tiếp trên hình.
Ghi chú: Nêu rõ đường thay thế song song với đường ban đầu.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB GÓC ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG
Đo bằng vectơ chỉ phương và pháp tuyến
Nhập vectơ chỉ phương u⃗ của đường thẳng và pháp tuyến n⃗ của mặt phẳng. Góc cần tìm thỏa sin α = |u⃗·n⃗|/(|u⃗||n⃗|).
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B22-NB-04
Đề bài: Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và BB′.
Phân tích: Hai cạnh kề thuộc mặt vuông ABB′A′.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Hai cạnh kề thuộc mặt vuông ABB′A′.
- Bước 2: AB ⟂ BB′.
- Bước 3: Kết luận AB ⟂ BB′.
Vì sao: Mặt bên là hình vuông nên các cạnh kề vuông góc.
Cách khác: Xét riêng mặt ABB′A′.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng mọi cạnh không song song của hình lập phương đều vuông góc.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B22-NB-14
Đề bài: Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và BB′.
Phân tích: Hai cạnh kề thuộc mặt vuông ABB′A′.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Hai cạnh kề thuộc mặt vuông ABB′A′.
- Bước 2: AB ⟂ BB′.
- Bước 3: Kết luận AB ⟂ BB′.
Vì sao: Mặt bên là hình vuông nên các cạnh kề vuông góc.
Cách khác: Xét riêng mặt ABB′A′.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng mọi cạnh không song song của hình lập phương đều vuông góc.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B22-TH-04
Đề bài: Hai đường thẳng chéo nhau có thể vuông góc không?
Phân tích: Góc giữa hai đường chéo được định nghĩa qua hai đường cắt nhau lần lượt song song với chúng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Góc giữa hai đường chéo được định nghĩa qua hai đường cắt nhau lần lượt song song với chúng.
- Bước 2: Có. Chúng vuông góc nếu góc giữa hai phương bằng 90°.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: Trong không gian, vuông góc không bắt buộc hai đường phải cắt nhau.
Cách khác: Tịnh tiến một đường song song qua điểm trên đường kia.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Áp dụng định nghĩa hình phẳng và bắt buộc phải có giao điểm.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B22-TH-14
Đề bài: Hai đường thẳng chéo nhau có thể vuông góc không?
Phân tích: Góc giữa hai đường chéo được định nghĩa qua hai đường cắt nhau lần lượt song song với chúng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Góc giữa hai đường chéo được định nghĩa qua hai đường cắt nhau lần lượt song song với chúng.
- Bước 2: Có. Chúng vuông góc nếu góc giữa hai phương bằng 90°.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: Trong không gian, vuông góc không bắt buộc hai đường phải cắt nhau.
Cách khác: Tịnh tiến một đường song song qua điểm trên đường kia.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Áp dụng định nghĩa hình phẳng và bắt buộc phải có giao điểm.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B22-VD-04
Đề bài: Cho u = (2; 3; 3), v = (1; 1; 1). Hai phương có vuông góc không?
Phân tích: Tính u·v.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Tính u·v.
- Bước 2: u·v = 8 ≠ 0 nên không vuông góc.
- Bước 3: Kết luận Không vuông góc.
Vì sao: Góc giữa hai đường được tính qua vectơ chỉ phương.
Cách khác: Dùng cos góc = |u·v|/(|u||v|).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Thấy các tọa độ khác nhau rồi đoán vuông góc.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B22-VD-14
Đề bài: Cho u = (2; 5; 1), v = (1; 1; 1). Hai phương có vuông góc không?
Phân tích: Tính u·v.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Tính u·v.
- Bước 2: u·v = 8 ≠ 0 nên không vuông góc.
- Bước 3: Kết luận Không vuông góc.
Vì sao: Góc giữa hai đường được tính qua vectơ chỉ phương.
Cách khác: Dùng cos góc = |u·v|/(|u||v|).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Thấy các tọa độ khác nhau rồi đoán vuông góc.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B22-VDC-04
Đề bài: Cho u = (1; 2; 3), v = (2; −1; 0). Kiểm tra u và v vuông góc.
Phân tích: Tính tích vô hướng ba tọa độ.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Tính tích vô hướng ba tọa độ.
- Bước 2: u·v = 2 − 2 + 0 = 0, nên u ⟂ v.
- Bước 3: Kết luận Vuông góc.
Vì sao: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Cách khác: Xem v là phép quay 90° của phần (a,b).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ so hai tọa độ đầu mà quên tọa độ thứ ba.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B22-VDC-14
Đề bài: Cho u = (1; 4; 1), v = (4; −1; 0). Kiểm tra u và v vuông góc.
Phân tích: Tính tích vô hướng ba tọa độ.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Tính tích vô hướng ba tọa độ.
- Bước 2: u·v = 4 − 4 + 0 = 0, nên u ⟂ v.
- Bước 3: Kết luận Vuông góc.
Vì sao: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Cách khác: Xem v là phép quay 90° của phần (a,b).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ so hai tọa độ đầu mà quên tọa độ thứ ba.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B22-TT-04
Đề bài: Hai vectơ chỉ phương có tích vô hướng 25 và độ dài lần lượt 5√2, 5√2. Tính cos góc giữa hai đường.
Phân tích: Dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia tích độ dài.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia tích độ dài.
- Bước 2: cosφ = 25/(5√2·5√2) = 1/2, nên φ = 60°.
- Bước 3: Kết luận 60°.
Vì sao: Góc giữa hai đường được chọn trong [0°;90°].
Cách khác: Dùng tam giác lượng giác cos60°=1/2.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Không lấy trị tuyệt đối nên có thể ra góc tù.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B22-TT-14
Đề bài: Hai vectơ chỉ phương có tích vô hướng 15 và độ dài lần lượt 5√2, 3√2. Tính cos góc giữa hai đường.
Phân tích: Dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia tích độ dài.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia tích độ dài.
- Bước 2: cosφ = 15/(5√2·3√2) = 1/2, nên φ = 60°.
- Bước 3: Kết luận 60°.
Vì sao: Góc giữa hai đường được chọn trong [0°;90°].
Cách khác: Dùng tam giác lượng giác cos60°=1/2.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Không lấy trị tuyệt đối nên có thể ra góc tù.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua hai đường thẳng vuông góc
Tình huống 1 dùng khung nhà, robot ba trục, hệ tọa độ, kết cấu cơ khí và đường bay; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua hai đường thẳng vuông góc
Tình huống 2 dùng khung nhà, robot ba trục, hệ tọa độ, kết cấu cơ khí và đường bay; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua hai đường thẳng vuông góc
Tình huống 3 dùng khung nhà, robot ba trục, hệ tọa độ, kết cấu cơ khí và đường bay; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua hai đường thẳng vuông góc
Tình huống 4 dùng khung nhà, robot ba trục, hệ tọa độ, kết cấu cơ khí và đường bay; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua hai đường thẳng vuông góc
Tình huống 5 dùng khung nhà, robot ba trục, hệ tọa độ, kết cấu cơ khí và đường bay; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua hai đường thẳng vuông góc
Tình huống 6 dùng khung nhà, robot ba trục, hệ tọa độ, kết cấu cơ khí và đường bay; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua hai đường thẳng vuông góc
Tình huống 7 dùng khung nhà, robot ba trục, hệ tọa độ, kết cấu cơ khí và đường bay; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua hai đường thẳng vuông góc
Tình huống 8 dùng khung nhà, robot ba trục, hệ tọa độ, kết cấu cơ khí và đường bay; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Góc giữa hai đường theo cách đơn giản?
Tịnh tiến phương của hai đường về cùng một điểm rồi đo góc nhỏ hơn. Mốc chính xác: φ∈[0°,90°]; cosφ=|u·v|/(|u||v|). Ví dụ: Hai trục Ox,Oy cho φ=90°. Cách nhớ: Góc giữa phương, không phải góc nhìn. Cần tránh: Bắt buộc hai đường giao nhau.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Vuông góc phải cắt nhau
Bắt buộc hai đường giao nhau. Sửa bằng: Góc giữa phương, không phải góc nhìn. Kiểm cuối: Đường song song cho góc 0°.
Lấy góc tù
Nhân chéo tọa độ. Sửa bằng: Nhân cùng vị trí rồi cộng. Kiểm cuối: Cần vectơ khác 0.
Đo góc trên hình biểu diễn
Đo trực tiếp trên hình. Sửa bằng: Tạo giao điểm giả bằng đường song song. Kiểm cuối: Nêu rõ đường thay thế song song với đường ban đầu.
Quên trị tuyệt đối tích vô hướng
Bắt buộc hai đường giao nhau. Sửa bằng: Góc giữa phương, không phải góc nhìn. Kiểm cuối: Đường song song cho góc 0°.
Nhầm không song song với vuông góc
Nhân chéo tọa độ. Sửa bằng: Nhân cùng vị trí rồi cộng. Kiểm cuối: Cần vectơ khác 0.
Vuông góc phải cắt nhau – biến thể 6
Đo trực tiếp trên hình. Sửa bằng: Tạo giao điểm giả bằng đường song song. Kiểm cuối: Nêu rõ đường thay thế song song với đường ban đầu.
Lấy góc tù – biến thể 7
Bắt buộc hai đường giao nhau. Sửa bằng: Góc giữa phương, không phải góc nhìn. Kiểm cuối: Đường song song cho góc 0°.
Đo góc trên hình biểu diễn – biến thể 8
Nhân chéo tọa độ. Sửa bằng: Nhân cùng vị trí rồi cộng. Kiểm cuối: Cần vectơ khác 0.
Quên trị tuyệt đối tích vô hướng – biến thể 9
Đo trực tiếp trên hình. Sửa bằng: Tạo giao điểm giả bằng đường song song. Kiểm cuối: Nêu rõ đường thay thế song song với đường ban đầu.
Nhầm không song song với vuông góc – biến thể 10
Bắt buộc hai đường giao nhau. Sửa bằng: Góc giữa phương, không phải góc nhìn. Kiểm cuối: Đường song song cho góc 0°.
Vuông góc phải cắt nhau – biến thể 11
Nhân chéo tọa độ. Sửa bằng: Nhân cùng vị trí rồi cộng. Kiểm cuối: Cần vectơ khác 0.
Lấy góc tù – biến thể 12
Đo trực tiếp trên hình. Sửa bằng: Tạo giao điểm giả bằng đường song song. Kiểm cuối: Nêu rõ đường thay thế song song với đường ban đầu.
Đo góc trên hình biểu diễn – biến thể 13
Bắt buộc hai đường giao nhau. Sửa bằng: Góc giữa phương, không phải góc nhìn. Kiểm cuối: Đường song song cho góc 0°.
Quên trị tuyệt đối tích vô hướng – biến thể 14
Nhân chéo tọa độ. Sửa bằng: Nhân cùng vị trí rồi cộng. Kiểm cuối: Cần vectơ khác 0.
Nhầm không song song với vuông góc – biến thể 15
Đo trực tiếp trên hình. Sửa bằng: Tạo giao điểm giả bằng đường song song. Kiểm cuối: Nêu rõ đường thay thế song song với đường ban đầu.
Vuông góc phải cắt nhau – biến thể 16
Bắt buộc hai đường giao nhau. Sửa bằng: Góc giữa phương, không phải góc nhìn. Kiểm cuối: Đường song song cho góc 0°.
Lấy góc tù – biến thể 17
Nhân chéo tọa độ. Sửa bằng: Nhân cùng vị trí rồi cộng. Kiểm cuối: Cần vectơ khác 0.
Đo góc trên hình biểu diễn – biến thể 18
Đo trực tiếp trên hình. Sửa bằng: Tạo giao điểm giả bằng đường song song. Kiểm cuối: Nêu rõ đường thay thế song song với đường ban đầu.
Quên trị tuyệt đối tích vô hướng – biến thể 19
Bắt buộc hai đường giao nhau. Sửa bằng: Góc giữa phương, không phải góc nhìn. Kiểm cuối: Đường song song cho góc 0°.
Nhầm không song song với vuông góc – biến thể 20
Nhân chéo tọa độ. Sửa bằng: Nhân cùng vị trí rồi cộng. Kiểm cuối: Cần vectơ khác 0.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Điều kiện ở lề trái
Viết miền xác định hoặc giả thiết hình học trước dòng biến đổi đầu tiên.
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Ví dụ – phản ví dụ
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp đủ điều kiện và một trường hợp thiếu điều kiện.
Hai phép kiểm
Kiểm bằng biểu diễn thứ hai: thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, nguyên nhân sai và phép tự kiểm cho lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Hai đường thẳng vuông góc1 2 3
Góc giữa hai đườngφ∈[0°,90°]; cosφ=|u·v|/(|u||v|). Góc giữa phương, không phải góc nhìn.
Điều kiện vuông gócu,v≠0: u·v=0 ⇔ u⊥v. Nhân cùng vị trí rồi cộng.
Chiến lược hình họcDùng đường song song, định lí Pythagore hoặc tích vô hướng. Tạo giao điểm giả bằng đường song song.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B22-NB-01Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.
Vì sao: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Sai ở đâu: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
B22-NB-02Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính cạnh huyền.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: Cạnh huyền bằng √(3²+4²) = √25.
Vì sao: Độ dài đường chéo trong không gian cũng được xây từ Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng trực tiếp hai cạnh.
Cách khác: Bình phương kết quả để tự kiểm.
B22-NB-03Trong tam giác ABC, MN ∥ BC và AM/AB = 4/9. Tính AN/AC.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Thalès.
Lời giải: AN/AC = AM/AB = 4/9.
Vì sao: Tỉ số hình phẳng là nền cho bài tỉ số thể tích.
Sai ở đâu: Đảo một tỉ số mà không đảo tỉ số tương ứng.
Cách khác: Dùng hai tam giác đồng dạng.
B22-NB-04Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và BB′.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai cạnh kề thuộc mặt vuông ABB′A′.
Lời giải: AB ⟂ BB′.
Vì sao: Mặt bên là hình vuông nên các cạnh kề vuông góc.
Sai ở đâu: Cho rằng mọi cạnh không song song của hình lập phương đều vuông góc.
Cách khác: Xét riêng mặt ABB′A′.
B22-NB-05Hai vectơ chỉ phương có tích vô hướng 10 và độ dài lần lượt 5√2, 2√2. Tính cos góc giữa hai đường.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia tích độ dài.
Lời giải: cosφ = 10/(5√2·2√2) = 1/2, nên φ = 60°.
Vì sao: Góc giữa hai đường được chọn trong [0°;90°].
Sai ở đâu: Không lấy trị tuyệt đối nên có thể ra góc tù.
Cách khác: Dùng tam giác lượng giác cos60°=1/2.
B22-NB-06Cho u = (1; 3; 2), v = (3; −1; 0). Kiểm tra u và v vuông góc.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính tích vô hướng ba tọa độ.
Lời giải: u·v = 3 − 3 + 0 = 0, nên u ⟂ v.
Vì sao: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Sai ở đâu: Chỉ so hai tọa độ đầu mà quên tọa độ thứ ba.
Cách khác: Xem v là phép quay 90° của phần (a,b).
B22-NB-07Cho u = (2; 4; 3), v = (1; 1; 1). Hai phương có vuông góc không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính u·v.
Lời giải: u·v = 9 ≠ 0 nên không vuông góc.
Vì sao: Góc giữa hai đường được tính qua vectơ chỉ phương.
Sai ở đâu: Thấy các tọa độ khác nhau rồi đoán vuông góc.
Cách khác: Dùng cos góc = |u·v|/(|u||v|).
B22-NB-08Hai đường thẳng chéo nhau có thể vuông góc không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc giữa hai đường chéo được định nghĩa qua hai đường cắt nhau lần lượt song song với chúng.
Lời giải: Có. Chúng vuông góc nếu góc giữa hai phương bằng 90°.
Vì sao: Trong không gian, vuông góc không bắt buộc hai đường phải cắt nhau.
Sai ở đâu: Áp dụng định nghĩa hình phẳng và bắt buộc phải có giao điểm.
Cách khác: Tịnh tiến một đường song song qua điểm trên đường kia.
B22-NB-09Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và BB′.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai cạnh kề thuộc mặt vuông ABB′A′.
Lời giải: AB ⟂ BB′.
Vì sao: Mặt bên là hình vuông nên các cạnh kề vuông góc.
Sai ở đâu: Cho rằng mọi cạnh không song song của hình lập phương đều vuông góc.
Cách khác: Xét riêng mặt ABB′A′.
B22-NB-10Hai vectơ chỉ phương có tích vô hướng 15 và độ dài lần lượt 5√2, 3√2. Tính cos góc giữa hai đường.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia tích độ dài.
Lời giải: cosφ = 15/(5√2·3√2) = 1/2, nên φ = 60°.
Vì sao: Góc giữa hai đường được chọn trong [0°;90°].
Sai ở đâu: Không lấy trị tuyệt đối nên có thể ra góc tù.
Cách khác: Dùng tam giác lượng giác cos60°=1/2.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B22-NB-01] Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 2Cho u = (1; 3; 2), v = (3; −1; 0). Kiểm tra u và v vuông góc.
Gợi ý: Tính tích vô hướng ba tọa độ.
Lời giải: u·v = 3 − 3 + 0 = 0, nên u ⟂ v.
Giải thích: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Lỗi cần tránh: Chỉ so hai tọa độ đầu mà quên tọa độ thứ ba.
Cách khác: Xem v là phép quay 90° của phần (a,b).
TỰ LUẬN 3Cho u = (1; 4; 1), v = (4; −1; 0). Kiểm tra u và v vuông góc.
Gợi ý: Tính tích vô hướng ba tọa độ.
Lời giải: u·v = 4 − 4 + 0 = 0, nên u ⟂ v.
Giải thích: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Lỗi cần tránh: Chỉ so hai tọa độ đầu mà quên tọa độ thứ ba.
Cách khác: Xem v là phép quay 90° của phần (a,b).
TỰ LUẬN 4Cho u = (1; 5; 3), v = (5; −1; 0). Kiểm tra u và v vuông góc.
Gợi ý: Tính tích vô hướng ba tọa độ.
Lời giải: u·v = 5 − 5 + 0 = 0, nên u ⟂ v.
Giải thích: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.
Lỗi cần tránh: Chỉ so hai tọa độ đầu mà quên tọa độ thứ ba.
Cách khác: Xem v là phép quay 90° của phần (a,b).
TỰ LUẬN 5Hai vectơ u = (5; 6) và v = (6; −5) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 30 − 30 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 6Hai vectơ chỉ phương có tích vô hướng 10 và độ dài lần lượt 5√2, 2√2. Tính cos góc giữa hai đường.
Gợi ý: Dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia tích độ dài.
Lời giải: cosφ = 10/(5√2·2√2) = 1/2, nên φ = 60°.
Giải thích: Góc giữa hai đường được chọn trong [0°;90°].
Lỗi cần tránh: Không lấy trị tuyệt đối nên có thể ra góc tù.
Cách khác: Dùng tam giác lượng giác cos60°=1/2.
TỰ LUẬN 7Hai vectơ chỉ phương có tích vô hướng 15 và độ dài lần lượt 5√2, 3√2. Tính cos góc giữa hai đường.
Gợi ý: Dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia tích độ dài.
Lời giải: cosφ = 15/(5√2·3√2) = 1/2, nên φ = 60°.
Giải thích: Góc giữa hai đường được chọn trong [0°;90°].
Lỗi cần tránh: Không lấy trị tuyệt đối nên có thể ra góc tù.
Cách khác: Dùng tam giác lượng giác cos60°=1/2.
TỰ LUẬN 8Hai vectơ chỉ phương có tích vô hướng 20 và độ dài lần lượt 5√2, 4√2. Tính cos góc giữa hai đường.
Gợi ý: Dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia tích độ dài.
Lời giải: cosφ = 20/(5√2·4√2) = 1/2, nên φ = 60°.
Giải thích: Góc giữa hai đường được chọn trong [0°;90°].
Lỗi cần tránh: Không lấy trị tuyệt đối nên có thể ra góc tù.
Cách khác: Dùng tam giác lượng giác cos60°=1/2.
TỰ LUẬN 9Hai vectơ u = (3; 5) và v = (5; −3) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 15 − 15 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 10Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và BB′.
Gợi ý: Hai cạnh kề thuộc mặt vuông ABB′A′.
Lời giải: AB ⟂ BB′.
Giải thích: Mặt bên là hình vuông nên các cạnh kề vuông góc.
Lỗi cần tránh: Cho rằng mọi cạnh không song song của hình lập phương đều vuông góc.
Cách khác: Xét riêng mặt ABB′A′.
TỰ LUẬN 11Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và BB′.
Gợi ý: Hai cạnh kề thuộc mặt vuông ABB′A′.
Lời giải: AB ⟂ BB′.
Giải thích: Mặt bên là hình vuông nên các cạnh kề vuông góc.
Lỗi cần tránh: Cho rằng mọi cạnh không song song của hình lập phương đều vuông góc.
Cách khác: Xét riêng mặt ABB′A′.
TỰ LUẬN 12Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, nêu quan hệ giữa AB và BB′.
Gợi ý: Hai cạnh kề thuộc mặt vuông ABB′A′.
Lời giải: AB ⟂ BB′.
Giải thích: Mặt bên là hình vuông nên các cạnh kề vuông góc.
Lỗi cần tránh: Cho rằng mọi cạnh không song song của hình lập phương đều vuông góc.
Cách khác: Xét riêng mặt ABB′A′.
TỰ LUẬN 13Hai vectơ u = (6; 4) và v = (4; −6) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 24 − 24 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 14Hai đường thẳng chéo nhau có thể vuông góc không?
Gợi ý: Góc giữa hai đường chéo được định nghĩa qua hai đường cắt nhau lần lượt song song với chúng.
Lời giải: Có. Chúng vuông góc nếu góc giữa hai phương bằng 90°.
Giải thích: Trong không gian, vuông góc không bắt buộc hai đường phải cắt nhau.
Lỗi cần tránh: Áp dụng định nghĩa hình phẳng và bắt buộc phải có giao điểm.
Cách khác: Tịnh tiến một đường song song qua điểm trên đường kia.
TỰ LUẬN 15Hai đường thẳng chéo nhau có thể vuông góc không?
Gợi ý: Góc giữa hai đường chéo được định nghĩa qua hai đường cắt nhau lần lượt song song với chúng.
Lời giải: Có. Chúng vuông góc nếu góc giữa hai phương bằng 90°.
Giải thích: Trong không gian, vuông góc không bắt buộc hai đường phải cắt nhau.
Lỗi cần tránh: Áp dụng định nghĩa hình phẳng và bắt buộc phải có giao điểm.
Cách khác: Tịnh tiến một đường song song qua điểm trên đường kia.
TỰ LUẬN 16Hai đường thẳng chéo nhau có thể vuông góc không?
Gợi ý: Góc giữa hai đường chéo được định nghĩa qua hai đường cắt nhau lần lượt song song với chúng.
Lời giải: Có. Chúng vuông góc nếu góc giữa hai phương bằng 90°.
Giải thích: Trong không gian, vuông góc không bắt buộc hai đường phải cắt nhau.
Lỗi cần tránh: Áp dụng định nghĩa hình phẳng và bắt buộc phải có giao điểm.
Cách khác: Tịnh tiến một đường song song qua điểm trên đường kia.
TỰ LUẬN 17Hai vectơ u = (4; 3) và v = (3; −4) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 12 − 12 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 18Cho u = (2; 3; 2), v = (1; 1; 1). Hai phương có vuông góc không?
Gợi ý: Tính u·v.
Lời giải: u·v = 7 ≠ 0 nên không vuông góc.
Giải thích: Góc giữa hai đường được tính qua vectơ chỉ phương.
Lỗi cần tránh: Thấy các tọa độ khác nhau rồi đoán vuông góc.
Cách khác: Dùng cos góc = |u·v|/(|u||v|).
TỰ LUẬN 19Cho u = (2; 4; 1), v = (1; 1; 1). Hai phương có vuông góc không?
Gợi ý: Tính u·v.
Lời giải: u·v = 7 ≠ 0 nên không vuông góc.
Giải thích: Góc giữa hai đường được tính qua vectơ chỉ phương.
Lỗi cần tránh: Thấy các tọa độ khác nhau rồi đoán vuông góc.
Cách khác: Dùng cos góc = |u·v|/(|u||v|).
TỰ LUẬN 20Cho u = (2; 5; 3), v = (1; 1; 1). Hai phương có vuông góc không?
Gợi ý: Tính u·v.
Lời giải: u·v = 10 ≠ 0 nên không vuông góc.
Giải thích: Góc giữa hai đường được tính qua vectơ chỉ phương.
Lỗi cần tránh: Thấy các tọa độ khác nhau rồi đoán vuông góc.
Cách khác: Dùng cos góc = |u·v|/(|u||v|).
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B22-NB-01, B22-NB-02, B22-NB-03, B22-NB-04, B22-NB-05, B22-NB-06, B22-NB-07, B22-NB-08, B22-NB-09, B22-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B22-NB-01: Có
- B22-NB-02: √25
- B22-NB-03: 4/9
- B22-NB-04: AB ⟂ BB′
- B22-NB-05: 60°
- B22-NB-06: Vuông góc
- B22-NB-07: Không vuông góc
- B22-NB-08: Có
- B22-NB-09: AB ⟂ BB′
- B22-NB-10: 60°
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 7
10 câu đại diện: B22-NB-11, B22-NB-12, B22-NB-13, B22-NB-14, B22-NB-15, B22-NB-16, B22-NB-17, B22-NB-18, B22-NB-19, B22-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B22-NB-11: Vuông góc
- B22-NB-12: Không vuông góc
- B22-NB-13: Có
- B22-NB-14: AB ⟂ BB′
- B22-NB-15: 60°
- B22-NB-16: Vuông góc
- B22-NB-17: Không vuông góc
- B22-NB-18: Có
- B22-NB-19: AB ⟂ BB′
- B22-NB-20: 60°
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B22-TH-01, B22-TH-02, B22-TH-03, B22-TH-04, B22-TH-05, B22-TH-06, B22-TH-07, B22-TH-08, B22-TH-09, B22-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B22-TH-01: Có
- B22-TH-02: √45
- B22-TH-03: 2/6
- B22-TH-04: Có
- B22-TH-05: AB ⟂ BB′
- B22-TH-06: 60°
- B22-TH-07: Vuông góc
- B22-TH-08: Không vuông góc
- B22-TH-09: Có
- B22-TH-10: AB ⟂ BB′
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B22-TH-11, B22-TH-12, B22-TH-13, B22-TH-14, B22-TH-15, B22-TH-16, B22-TH-17, B22-TH-18, B22-TH-19, B22-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B22-TH-11: 60°
- B22-TH-12: Vuông góc
- B22-TH-13: Không vuông góc
- B22-TH-14: Có
- B22-TH-15: AB ⟂ BB′
- B22-TH-16: 60°
- B22-TH-17: Vuông góc
- B22-TH-18: Không vuông góc
- B22-TH-19: Có
- B22-TH-20: AB ⟂ BB′
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B22-VD-01, B22-VD-02, B22-VD-03, B22-VD-04, B22-VD-05, B22-VD-06, B22-VD-07, B22-VD-08, B22-VD-09, B22-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B22-VD-01: Có
- B22-VD-02: √52
- B22-VD-03: 5/8
- B22-VD-04: Không vuông góc
- B22-VD-05: Có
- B22-VD-06: AB ⟂ BB′
- B22-VD-07: 60°
- B22-VD-08: Vuông góc
- B22-VD-09: Không vuông góc
- B22-VD-10: Có
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 35–50 phút, ưu tiên con giải thích điều kiện hơn làm thật nhiều câu.
- Hỏi con vì sao công thức dùng được và cách tự kiểm đáp số.
- Theo dõi ba lỗi lặp lại gần nhất cùng lịch ôn 1–7–30.
- Khuyến khích con vẽ mô hình, đọc đơn vị và ước lượng trước khi tính.
- Mở bài bằng phản ví dụ thiếu điều kiện để học sinh tự phát hiện.
- Chấm theo mốc điều kiện–công cụ–suy luận–kết luận, không chỉ đáp số.
- Kết hợp đại số, đồ thị, hình học tổng hợp và tọa độ để kiểm chéo.
- Đề nội bộ định hướng Hà Nội phải ghi rõ tính tham khảo.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.